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专题3　一元一次不等式
　　　　　　 　　　　　　　　　　　　
题型一　不等式的概念和基本性质
【典例1】 下列不等式的变形中，错误的是( )
A.若a＞b，则a＋3＞b＋3
B.若a＜b，则－a＞－b
C.若x＜y，则x＞－2y
D.若－2x＞a，则x＞a
【变式1】 设a＞b＞0，c为常数，给出下列不等式：①a－b＞0；②ac＞bc；③；④b2＞ab。其中正确的是( )
A.①② B.①③
C.①③④ D.②③④
题型二　一元一次不等式的解法
【典例2】 解下列不等式，并把解集表示在数轴上：
(1)5x－12＜2(4x－3)；
(2)≥＋1。
【变式2】 解不等式，并把解集在数轴上表示出来。
(1)2≥1；
(2)≥3(x－2)。
题型三　一元一次不等式组的解法
【典例3】 利用数轴解不等式组：
【变式3】 解不等式组：并写出它的所有整数解。
题型四　确定不等式(组)参数的取值范围
【典例4】 已知关于x的不等式组仅有三个整数解，求a的取值范围。
【变式4】 对于任意实数m，n，定义一种新运算：m※n=mn－m－n＋3，例如：2※6=2×6－2－6＋3=7。请根据上述定义解决问题：若关于x的不等式a＜4※x＜8有2个整数解，则a的取值范围是( )
A.－1＜a≤2 B.－1≤a＜2
C.－4≤a＜－1 D.－4＜a≤－1
题型五　一元一次不等式(组)的应用
【典例5】 某中学决定增设乒乓球、羽毛球两门选修课程，需要购进一批乒乓球拍和羽毛球拍。已知购买2副乒乓球拍和4副羽毛球拍共需要350元，购买6副乒乓球拍和3副羽毛球拍共需要420元。
(1)购买一副乒乓球拍和一副羽毛球拍各需多少元？
(2)已知该中学需要购买两种球拍共80副，所花费用不超过4 340元，则可购买的羽毛球拍最多有多少副？
【变式5】 【问题情境】
小明所在的班级准备开展学科知识竞赛，需要购买A，B两种款式的运动盲盒作为奖品。
素材1：已知甲、乙两个商店均有价格、款式相同的两种运动盲盒出售，在无促销活动时，若买15个A款运动盲盒、10个B款运动盲盒，共需230元；若买25个A款运动盲盒、25个B款运动盲盒，共需450元。
素材2：现甲、乙两商店开展不同的促销活动：
甲商店：用35元购买会员卡成为会员后，凭会员卡购买商店内任何商品，一律按商品价格的八折出售(已知小明在此之前不是该商店的会员)；乙商店：购买商店内任何商品，一律按商品价格的九折出售。
【解决问题】
(1)在无促销活动时，求A款运动盲盒和B款运动盲盒的销售单价各是多少元。
(2)小明计划在促销期间购买A，B两款运动盲盒共40个，其中A款运动盲盒m个(0＜m＜40)。若小明在甲商店成为会员购买，共需要 元；若在乙商店购买，共需要 元(均用含m的代数式表示)。
(3)请你帮小明算一算，在(2)的条件下，购买A款运动盲盒的数量m在什么范围内时，去甲商店更合算？
1.若a＜b，则不等式(a－b)x＞a－b的解集为( )
A.x＞－1 B.x＞1
C.x＜1 D.x＜－1
2.利用数轴表示不等式组的解集，正确的是( )
A B
C D
3.不等式组的解集为 。
4.若不等式组的解集是－1＜x＜2，则a的值为 。
5.已知关于x的不等式组无解，则a的取值范围是 。
6.解不等式(组)：
(1)4x－1≥2x＋4；
(2)
7.已知△ABC的三边长分别为a，b，c，其中a=3，b=5。
(1)若△ABC是直角三角形，求c的值。
(2)若a，b，c的平均数小于c，求整数c的值。
8.每年11月份脐橙和蜜桔进入销售旺季。某水果专销商购进脐橙和蜜桔共1 000箱。这两种水果的售价与进价如下表所示：
品种 售价/(元/箱) 进价/(元/箱)
蜜桔 28 20
脐橙 31 25
(1)该商家售完这1 000箱水果所获得的利润为6 400元，则该商家购进了蜜桔多少箱？
(2)为了迎接“双11”活动，商家决定进行组合促销活动：两种水果各一箱打包成一组，售价为55元/组，其组数为购进蜜桔箱数的，未打包的按原价出售。若这两种水果全部卖出，利润不少于6 500元，则该商家至少要购进蜜桔多少箱？
9.某校在一次外出郊游中，把学生编为9个组。若每组比预定的人数多1人，则学生总数超过200人；若每组比预定的人数少1人，则学生总数不到190人。每组预定的学生有( )
A.24人 B.23人
C.22人 D.无法确定
10.若关于x的分式方程=1的解为正数，且关于y的不等式组的解集为y≥5，则所有满足条件的整数a的和是( )
A.13 B.15 C.18 D.20
11.对于实数x，y，我们定义符号min{x，y}的意义为当x＜y时，min{x，y}=x；当x≥y时，min{x，y}=y。如：min{6，－4}=－4，min{4，4}=4。若min，则x的取值范围是 。
12.若不等式＞―x―的解都能使不等式(m―6)x＜2m＋1成立，则实数m的取值范围是 。
13.阅读材料，并解决问题：
解方程组
将①整体代入②，得2×4＋y=10，解得y=2。
把y=2代入①，得x=6，∴
这种解法称为“整体代入法”。
很多方程组都可采用此方法进行求解。
已知关于a，b的方程组
(1)求a＋b的值。
(2)若关于x的不等式组恰好有1个整数解，求m的取值范围。
14.根据以下素材，探究完成任务。
如何设计新能源公交车采购方案？
素材1 为响应绿色出行政策，某公交公司计划采购一批新能源公交车。现有A型(纯电动)和B型(插电式混动)两种车可供选择。
素材2 若第一次采购3辆A型车和2辆B型车，总费用为306万元；第二次采购2辆A型车和5辆B型车，总费用为468万元。
素材3 若公司计划第三次采购A型车和B型车共10辆，且B型车不少于4辆，总费用不超过660万元。
问题解决
任务1 (1)请运用适当方法，求出A型车与B型车的单价。
任务2 (2)探究符合要求的A型车与B型车的采购方案。专题3　一元一次不等式
　　　　　　 　　　　　　　　　　　　
题型一　不等式的概念和基本性质
【典例1】 下列不等式的变形中，错误的是(　D　)
A.若a＞b，则a＋3＞b＋3
B.若a＜b，则－a＞－b
C.若x＜y，则x＞－2y
D.若－2x＞a，则x＞a
【点悟】 不等式的两边都加上(或减去)同一个数，所得到的不等式仍成立；不等式的两边都乘(或都除以)同一个正数，所得的不等式仍成立；不等式的两边都乘(或都除以)同一个负数，必须改变不等号的方向，所得的不等式仍成立。
【变式1】 设a＞b＞0，c为常数，给出下列不等式：①a－b＞0；②ac＞bc；③；④b2＞ab。其中正确的是(　B　)
A.①② B.①③
C.①③④ D.②③④
题型二　一元一次不等式的解法
【典例2】 解下列不等式，并把解集表示在数轴上：
(1)5x－12＜2(4x－3)；
(2)≥＋1。
解：(1)5x－12＜2(4x－3)，
5x－12＜8x－6，
5x－8x＜12－6，
－3x＜6，
∴x＞－2。
在数轴上表示解集如答图1。
典例2答图1
(2)≥＋1，
2x＋2≥3(2x－5)＋12，
2x＋2≥6x－15＋12，
2x－6x≥－15＋12－2，
－4x≥－5，
∴x≤。
在数轴上表示解集如答图2。
典例2答图2
【点悟】 解一元一次不等式与解一元一次方程类似，不同的是在将未知数的系数化为1时，如果都乘(或除以)的数是负数，不等号要改变方向。在数轴上表示不等式的解集时，要确定边界和方向。(1)边界：有等号的是圆点，无等号的是圆圈；(2)方向：大于向右，小于向左。
【变式2】 解不等式，并把解集在数轴上表示出来。
(1)2≥1；
(2)≥3(x－2)。
解：(1)去分母，得3x－12≥4x－6。
移项、合并同类项，得－x≥6。
两边都除以－1，得x≤－6。
解在数轴上表示略。
(2)去分母，得x＋5≥6(x－2)，
去括号，得x＋5≥6x－12，
移项，得x－6x≥－12－5，
合并同类项，得－5x≥－17，
x的系数化为1，得x≤。
解在数轴上表示略。
题型三　一元一次不等式组的解法
【典例3】 利用数轴解不等式组：
解：
解不等式①，得x≥－2。
解不等式②，得x＜3。
解在数轴上表示如答图。
典例3答图
∴原不等式组的解集为－2≤x＜3。
【点悟】 确定不等式组的解集有两种方法：(1)口诀法：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到；(2)数轴法：将各个不等式的解在数轴上表示出来，借助数轴确定各不等式解的公共部分。
求不等式组的特殊解(整数解、负整数解、自然数解等)，先要求出不等式组的解集，再找出解集中满足条件的特殊解。
【变式3】 解不等式组：并写出它的所有整数解。
解：
由①，得x≥－5，
由②，得x≤－3，
∴不等式组的解集为－5≤x≤－3，
∴整数解为－5，－4，－3。
题型四　确定不等式(组)参数的取值范围
【典例4】 已知关于x的不等式组仅有三个整数解，求a的取值范围。
解：解不等式组，得2a－3＜x≤1。
又∵关于x的不等式组仅有三个整数解，
∴－2≤2a－3＜－1，解得≤a＜1。
【点悟】 已知不等式组的解集，求不等式(组)中字母系数(或有关字母的代数式)的值，一般先求出已知不等式(组)的解，再结合给定的解，得出等量关系或不等关系。
【变式4】 对于任意实数m，n，定义一种新运算：m※n=mn－m－n＋3，例如：2※6=2×6－2－6＋3=7。请根据上述定义解决问题：若关于x的不等式a＜4※x＜8有2个整数解，则a的取值范围是(　B　)
A.－1＜a≤2 B.－1≤a＜2
C.－4≤a＜－1 D.－4＜a≤－1
【解析】 4※x=4x－4－x＋3=3x－1。解不等式组得＜x＜3。
又∵不等式组有2个整数解，
∴0≤＜1，解得－1≤a＜2。
题型五　一元一次不等式(组)的应用
【典例5】 某中学决定增设乒乓球、羽毛球两门选修课程，需要购进一批乒乓球拍和羽毛球拍。已知购买2副乒乓球拍和4副羽毛球拍共需要350元，购买6副乒乓球拍和3副羽毛球拍共需要420元。
(1)购买一副乒乓球拍和一副羽毛球拍各需多少元？
(2)已知该中学需要购买两种球拍共80副，所花费用不超过4 340元，则可购买的羽毛球拍最多有多少副？
解：(1)设购买一副乒乓球拍需要x元，一副羽毛球拍需要y元，
根据题意，得
解得
答：购买一副乒乓球拍需要35元，一副羽毛球拍需要70元。
(2)设购买m副羽毛球拍，则购买(80－m)副乒乓球拍，
根据题意，得35(80－m)＋70m≤4 340，
解得m≤44，
∴m的最大值为44。
答：可购买的羽毛球拍最多44副。
【点悟】 列不等式(组)解决实际问题时，要注意找到“小于”“大于”“不足”“不超过”“至少”“以上”等关键词语。解题时，要善于从这些词语中找不等关系，建立不等式(组)，然后求出这个不等式(组)的解集，再结合实际情况确定符合题意的解。
【变式5】 【问题情境】
小明所在的班级准备开展学科知识竞赛，需要购买A，B两种款式的运动盲盒作为奖品。
素材1：已知甲、乙两个商店均有价格、款式相同的两种运动盲盒出售，在无促销活动时，若买15个A款运动盲盒、10个B款运动盲盒，共需230元；若买25个A款运动盲盒、25个B款运动盲盒，共需450元。
素材2：现甲、乙两商店开展不同的促销活动：
甲商店：用35元购买会员卡成为会员后，凭会员卡购买商店内任何商品，一律按商品价格的八折出售(已知小明在此之前不是该商店的会员)；乙商店：购买商店内任何商品，一律按商品价格的九折出售。
【解决问题】
(1)在无促销活动时，求A款运动盲盒和B款运动盲盒的销售单价各是多少元。
(2)小明计划在促销期间购买A，B两款运动盲盒共40个，其中A款运动盲盒m个(0＜m＜40)。若小明在甲商店成为会员购买，共需要　1.6m＋291　元；若在乙商店购买，共需要　1.8m＋288　元(均用含m的代数式表示)。
(3)请你帮小明算一算，在(2)的条件下，购买A款运动盲盒的数量m在什么范围内时，去甲商店更合算？
解：(1)设在无促销活动时，A款运动盲盒的销售单价为x元，B款运动盲盒的销售单价为y元。
由题意，得解得
答：在无促销活动时，A款运动盲盒的销售单价为10元，B款运动盲盒的销售单价为8元。
(2)若在甲商店购买，共需要35＋0.8×10m＋0.8×8×(40－m)=(1.6m＋291)元。
若在乙商店购买，共需要0.9×10m＋0.9×8×(40－m)=(1.8m＋288)元。
(3)当1.6m＋291＜1.8m＋288时，
解得m＞15，
∴15＜m＜40。
答：购买A款运动盲盒的数量在15＜m＜40范围内时，去甲商店更合算。
1.若a＜b，则不等式(a－b)x＞a－b的解集为(　C　)
A.x＞－1 B.x＞1
C.x＜1 D.x＜－1
【解析】 ∵a＜b，∴a－b＜0，
∴原不等式的解集为x＜1。
2.利用数轴表示不等式组的解集，正确的是(　A　)
A B
C D
【解析】
解不等式①，得x＜2。
解不等式②，得x≥－1，
∴原不等式组的解集为－1≤x＜2。
3.不等式组的解集为　x≥－1　。
【解析】
解不等式①，得x≥－3。
解不等式②，得x≥－1，
∴原不等式组的解集为x≥－1。
4.若不等式组的解集是－1＜x＜2，则a的值为　－1　。
【解析】 解不等式组，得a＜x＜2。
又∵不等式组的解集是－1＜x＜2，
∴a的值为－1。
5.已知关于x的不等式组无解，则a的取值范围是　a≥2　。
【解析】 解不等式5－3x≥－1，得x≤2。
解不等式a－x＜0，得x＞a。
又∵该不等式组无解，∴a≥2。
6.解不等式(组)：
(1)4x－1≥2x＋4；
(2)
解：(1)移项，得4x－2x≥4＋1。
合并同类项，得2x≥5。
两边都除以2，得x≥2.5。
(2)
解不等式①，得x＜2。
解不等式②，得x＜，
∴原不等式组的解集为x＜。
7.已知△ABC的三边长分别为a，b，c，其中a=3，b=5。
(1)若△ABC是直角三角形，求c的值。
(2)若a，b，c的平均数小于c，求整数c的值。
解：(1)若b为斜边，则c==4；
若c为斜边，则c=。
综上所述，c的值为4或。
(2)∵a，b，c的平均数小于c，
∴＜c，∴c＞4。
又∵5－3＜c＜5＋3，
∴4＜c＜8，即整数c的值为5或6或7。
8.每年11月份脐橙和蜜桔进入销售旺季。某水果专销商购进脐橙和蜜桔共1 000箱。这两种水果的售价与进价如下表所示：
品种 售价/(元/箱) 进价/(元/箱)
蜜桔 28 20
脐橙 31 25
(1)该商家售完这1 000箱水果所获得的利润为6 400元，则该商家购进了蜜桔多少箱？
(2)为了迎接“双11”活动，商家决定进行组合促销活动：两种水果各一箱打包成一组，售价为55元/组，其组数为购进蜜桔箱数的，未打包的按原价出售。若这两种水果全部卖出，利润不少于6 500元，则该商家至少要购进蜜桔多少箱？
解：(1)设购进蜜桔x箱，则购进脐橙(1 000－x)箱，
(28－20)x＋(31－25)(1 000－x)=6 400，
解得x=200。
答：该商家购进了蜜桔200箱。
(2)设购进蜜桔y箱，则购进脐橙(1 000－y)箱，
y(55－20－25)＋(31－25)＋(28－20)×≥6 500，
解得y≥416。
∵y是整数且是5的整数倍，
∴y至少取420。
答：商家至少要购进蜜桔420箱。
9.某校在一次外出郊游中，把学生编为9个组。若每组比预定的人数多1人，则学生总数超过200人；若每组比预定的人数少1人，则学生总数不到190人。每组预定的学生有(　C　)
A.24人 B.23人
C.22人 D.无法确定
【解析】 设每组预定的学生有x人，
由题意，得
解得21＜x＜22。
∵x为正整数，∴x=22。
10.若关于x的分式方程=1的解为正数，且关于y的不等式组的解集为y≥5，则所有满足条件的整数a的和是(　A　)
A.13 B.15 C.18 D.20
【解析】 解分式方程，得x=a－2。
∵x＞0且x≠3，∴a－2＞0且a－2≠3，
∴a＞2且a≠5。
解不等式组，得
∵不等式组的解集为y≥5，
∴＜5，∴a＜7，
∴2＜a＜7且a≠5，
∴所有满足条件的整数a的和为3＋4＋6=13。
11.对于实数x，y，我们定义符号min{x，y}的意义为当x＜y时，min{x，y}=x；当x≥y时，min{x，y}=y。如：min{6，－4}=－4，min{4，4}=4。若min，则x的取值范围是　x≥　。
【解析】 ∵min，
∴≤，解得x≥。
12.若不等式＞―x―的解都能使不等式(m―6)x＜2m＋1成立，则实数m的取值范围是 ≤m≤6　。
【解析】 解不等式＞－x，得x＞－4。
当m－6=0，即m=6时，0＜13恒成立；
当m－6≠0，即m≠6时，不等式(m－6)x＜2m＋1的解要改变方向，
∴m－6＜0，即m＜6，
解得x＞。
又∵x＞－4都能使x＞成立，
∴－4≥，解得m≥。
综上所述，m的取值范围是≤m≤6。
13.阅读材料，并解决问题：
解方程组
将①整体代入②，得2×4＋y=10，解得y=2。
把y=2代入①，得x=6，∴
这种解法称为“整体代入法”。
很多方程组都可采用此方法进行求解。
已知关于a，b的方程组
(1)求a＋b的值。
(2)若关于x的不等式组恰好有1个整数解，求m的取值范围。
解：(1)运用“整体代入法”解方程组
将a＋3，b－1分别看作整体，
得
∴a＋3＋b－1=7，∴a＋b=5。
(2)∵a＋b=5，
∴关于x的不等式组为
解得5＜x＜。
又∵不等式组恰好有1个整数解，
∴6＜≤7，
解得＜m≤6。
14.根据以下素材，探究完成任务。
如何设计新能源公交车采购方案？
素材1 为响应绿色出行政策，某公交公司计划采购一批新能源公交车。现有A型(纯电动)和B型(插电式混动)两种车可供选择。
素材2 若第一次采购3辆A型车和2辆B型车，总费用为306万元；第二次采购2辆A型车和5辆B型车，总费用为468万元。
素材3 若公司计划第三次采购A型车和B型车共10辆，且B型车不少于4辆，总费用不超过660万元。
问题解决
任务1 (1)请运用适当方法，求出A型车与B型车的单价。
任务2 (2)探究符合要求的A型车与B型车的采购方案。
解：(1)设A型车单价为x万元，B型车单价为y万元，
∴
答：A型车单价为54万元，B型车单价为72万元。
(2)设采购B型车m辆，则采购A型车(10－m)辆。
∴54(10－m)＋72m≤660，
∴m≤6。
又∵m≥4，
∴4≤m≤6，
∴有以下三种采购方案：
①采购A型车6辆，采购B型车4辆；
②采购A型车5辆，采购B型车5辆；
③采购A型车4辆，采购B型车6辆。

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