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专题5　一次函数
　　　　　　 　　　　　　　　　　　　
题型一　函数的概念及函数图象
【典例1】 向如图所示的空容器内匀速注水，从水刚接触底部时开始计时，直至把容器注满。在注水过程中，设容器内底部所受水的压强为y帕，时间为x秒，则y关于x的函数图象大致为( )
典例1图
　 　 　
A B C D
【变式1】 如图所示的图象对应的函数表达式为( )
变式1图
A.y=|x－1|(0≤x≤2)
B.y=|x－1|(0≤x≤2)
C.y=|x－1|(0≤x≤2)
D.y=1－|x－1|(0≤x≤2)
题型二　一次函数的图象与性质
【典例2】 当b＜0时，一次函数y=x＋b的图象可能是( )
　 A　　 　B　　　 　 C　　　　 D
【点悟】 一次函数y=kx＋b(k≠0)的图象与性质和表达式中k，b的关系如下表所示：
k＞0 k＜0
图象
b＞0 b=0 b＜0 b＞0 b=0 b＜0
经过 象限 一、二、三 一、三 一、三、四 一、二、四 二、四 二、三、四
增减性 y随x的增大而增大 y随x的增大而减小
　　【变式2－1】 已知一次函数y1=mx＋n和y2=nx＋m(mn≠0)，则两函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是( )
A B C D
【变式2－2】 直线y=－2x－1向上平移3个单位长度得到的直线的函数表达式为 。
题型三　求一次函数的表达式
【典例3】 已知A，B是一次函数y=kx＋b图象上的两点。
(1)若A，B两点的坐标分别是(3，－4)，(0，2)，求这个一次函数的表达式。
(2)若A，B两点的坐标分别是(m，n－2)，(m＋1，n)，求k的值。
【变式3】 已知y关于x的一次函数y=mx＋2－2m(m≠0且m≠1)，其图象交x轴于点A，交y轴于点B，O为坐标原点。
(1)若OB=6，求此时m的值。
(2)该函数图象必过一定点，请求出该定点的坐标。
题型四　一次函数与方程(组)、不等式(组)的关系
【典例4】 如图，函数y=kx＋b(k≠0)的图象经过点B(2，0)，与函数y=2x的图象相交于点A，则不等式0＜kx＋b＜2x的解集为( )
　典例4图
A.x＞0 B.0＜x＜1
C.1＜x＜2 D.x＞2
【点悟】 在自变量取相同值的情况下，图象在上方的函数的函数值大于图象在下方的函数的函数值。
【变式4】 已知一次函数y=(a＋1)x＋a－2(a为常数，a≠－1)的图象过点(－2，4)。
(1)求一次函数的表达式。
(2)若点P(m，y1)，Q(m＋1，y2)都在该函数的图象上。
①当－1＜m＜2时，求y1的取值范围。
②请判断y1，y2的大小关系，并说明理由。
题型五　一次函数的应用
【典例5】 综合与实践
项目任务：设计由10根弹簧构成且成本不超过40元的弹簧拉力计。
素材1：弹簧并联时，拉力计拉力等于每根弹簧拉力之和，如图1，y=y1＋y2，弹簧A拉力y1(N)与长度x(cm)之间有关系式y1=1.4x－7；测得弹簧B拉力y2(N)与长度x(cm)的数据如下表：
弹簧长度x/cm 10 15 20 25
拉力y2/N 5 10 15 20
　　素材2：在弹性限度内，弹簧A，B伸长后最大长度均为30 cm。弹簧A每根6元，弹簧B每根3元。
任务1：(1)在图2中描出以弹簧B测得数据的各对x与y2的对应值为坐标的各点，并判断这些点是否在同一直线上。
任务2：(2)求y2关于x的函数表达式，并求出弹簧B在弹性限度内的最大拉力。
任务3：(3)如何购买A，B两种弹簧，使并联后的弹簧拉力计拉力最大(在弹性限度内)？并求出弹簧拉力计的最大拉力。
　
典例5图
【变式5】 “低碳环保，绿色出行”的理念逐渐深入人心，越来越多的人选择自行车作为出行工具。小军和爸爸同时从家骑自行车去图书馆，爸爸先以150米/分的速度骑行一段时间，休息了5分钟，再以m米/分的速度到达图书馆。小军始终以同一速度骑行，两人行驶的路程y(米)与时间x(分)的关系如图，请结合图象，解答下列问题：
(1)a= ，b= ，m= 。
(2)若小军的速度是120米/分，求小军在途中与爸爸第二次相遇时距图书馆的距离。
(3)在(2)的条件下，爸爸自第二次出发后至到达图书馆前，何时与小军相距100米？请直接写出此时小军骑行的时间。
变式5图
【点悟】 在利用两个一次函数描述两组变量之间的关系时，要熟练地在函数图象上标注有代表性的点，如与x轴和y轴的交点，与平行于坐标轴的直线的交点，两个一次函数图象的交点，运动状态的转折点等。由这些特殊点可以得到等量关系，列出的方程可以解得我们要求的量。在利用图象交点解行程问题时，要注意只有两组运动中的运动距离是相对同一点的距离时，图象的交点才代表相遇。
1.已知(k，b)为第四象限内的点，则一次函数y=kx－b的图象可能是( )
　 　 　
A B C D
2.匀速地向如图所示的容器内注水，直到把容器注满。注水过程中，容器内水面高度h随时间t变化的大致图象是( )
第2题图
　　　　
A B
　　　　
C D
3.在平面直角坐标系中，将直线y=3x向下平移4个单位长度后，所得直线与坐标轴围成的三角形的面积为 。
4.元朝朱世杰的《算学启蒙》一书记载：“今有良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何日追及之。”方方想到了用一次函数来解决这个问题，他画出两匹马行走的路程s(里)关于驽马行走的时间t(日)的函数图象(如图)，并说只要求出两图象的交点P的坐标就可以了。方方的说法对吗？请你算出点P的坐标并写出良马出发后几日追上驽马。
　第4题图
5.如图，直线y=kx＋b(k≠0)过点A(0，5)，B(5，0)。
(1)求直线AB的表达式。
(2)若直线y=2x－4与直线AB相交于点C，求点C的坐标。
(3)根据图象直接写出关于x的不等式2x－4≥kx＋b的解集。
第5题图
6.某游泳馆推出了两种收费方式。
方式一：顾客先购买会员卡，每张会员卡200元，仅限本人使用一年，凭卡游泳，每次游泳再付费30元；
方式二：顾客不购买会员卡，每次游泳付费40元。
设小亮在一年内来此游泳馆的次数是x，选择方式一的总费用为y1(元)，选择方式二的总费用为y2(元)。
(1)请分别写出y1，y2与x之间的函数表达式。
(2)小亮一年内在此游泳馆游泳的次数x在什么范围时，选择方式一比方式二省钱？
7.甲、乙两位同学周末相约去游玩，沿同一路线从A地出发前往B地，甲、乙分别以不同的速度匀速前行，乙比甲晚0.5 h出发，并且在中途停留1 h后，按原来速度的一半继续前进。在此过程中，甲、乙两人离A地的路程s(km)与甲出发的时间t(h)之间的关系如图所示。有下列说法：①A，B两地相距24 km；②甲比乙晚到B地1 h；③乙从A地刚出发时的速度为72 km/h；④乙出发 h时与甲第三次相遇。其中正确的是( )
第7题图
A.①② B.③④ C.①②③ D.①②③④
8.物理实验课上，小明做“小球反弹实验”，如图1所示，光滑桌面AB长为240 cm。小球P与木块Q同时从点A出发向B沿直线路径始终保持匀速运动(小球P和木块Q大小厚度忽略不计)，速度较快的小球P到达B处的挡板l后被弹回(忽略转向时间)，沿原来路径和速度返回，遇到木块Q后又被反弹向挡板l运动，如此反复，直到木块Q到达l，同时停止运动。设小球P的运动时间为t(s)，木块Q与小球之间的距离为y(cm)，图2是y与t的部分函数关系图象，结合图象回答下列问题。
(1)小球P第一次到达挡板l的时间是 s，小球P的速度为 cm/s，木块Q的速度为 cm/s。
(2)小球P第一次从挡板l返回到与木块Q第一次相遇(实验开始时小球和木块在同一起点，不视为相遇)，求出该过程中y关于t的函数关系式。
(3)若小球P每一次反弹后的速度与第一次弹回时的速度保持一致，在整个运动过程中，当小球P与木块Q距离为24 cm时，直接写出t的值。
　
第8题图
9.如图，直线y=x＋8分别交x轴，y轴于点A，B，C为射线OB上一点，把△AOC沿直线AC翻折得到△ADC。
(1)求点A，B的坐标。
(2)当点D在△ABO的内部时，连结OD并延长交AB于点P。若AC=OP，求点P的坐标。
第9题图专题5　一次函数
　　　　　　 　　　　　　　　　　　　
题型一　函数的概念及函数图象
【典例1】 向如图所示的空容器内匀速注水，从水刚接触底部时开始计时，直至把容器注满。在注水过程中，设容器内底部所受水的压强为y帕，时间为x秒，则y关于x的函数图象大致为(　B　)
典例1图
　 　 　
A B C D
【点悟】 解这类用函数图象描述事物的变化规律的问题时，关键是正确分析事物的变化过程，理解函数图象的横、纵坐标的含义，同时要注意函数自变量的取值范围。
【变式1】 如图所示的图象对应的函数表达式为(　B　)
变式1图
A.y=|x－1|(0≤x≤2)
B.y=|x－1|(0≤x≤2)
C.y=|x－1|(0≤x≤2)
D.y=1－|x－1|(0≤x≤2)
题型二　一次函数的图象与性质
【典例2】 当b＜0时，一次函数y=x＋b的图象可能是(　B　)
　 A　　 　 　B　　　 　　 C　　　　　 D
【点悟】 一次函数y=kx＋b(k≠0)的图象与性质和表达式中k，b的关系如下表所示：
k＞0 k＜0
图象
b＞0 b=0 b＜0 b＞0 b=0 b＜0
经过 象限 一、二、三 一、三 一、三、四 一、二、四 二、四 二、三、四
增减性 y随x的增大而增大 y随x的增大而减小
　　【变式2－1】 已知一次函数y1=mx＋n和y2=nx＋m(mn≠0)，则两函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是(　A　)
A B C D
【变式2－2】 直线y=－2x－1向上平移3个单位长度得到的直线的函数表达式为　y=－2x＋2　。
题型三　求一次函数的表达式
【典例3】 已知A，B是一次函数y=kx＋b图象上的两点。
(1)若A，B两点的坐标分别是(3，－4)，(0，2)，求这个一次函数的表达式。
(2)若A，B两点的坐标分别是(m，n－2)，(m＋1，n)，求k的值。
解：(1)∵A，B两点的坐标分别是(3，－4)，(0，2)且在一次函数y=kx＋b图象上，
∴解得
∴一次函数的表达式为y=－2x＋2。
(2)∵A，B两点的坐标分别是(m，n－2)，(m＋1，n)且在一次函数y=kx＋b图象上，
∴
两式相减，得k=2。
【点悟】 求一次函数的表达式通常是把已知点的坐标代入表达式，运用待定系数法求出k，b的值。当求与坐标轴的交点坐标时，只要根据坐标轴的坐标特征代入表达式算出符合题意的解即可。
【变式3】 已知y关于x的一次函数y=mx＋2－2m(m≠0且m≠1)，其图象交x轴于点A，交y轴于点B，O为坐标原点。
(1)若OB=6，求此时m的值。
(2)该函数图象必过一定点，请求出该定点的坐标。
解：(1)∵OB=6，
∴2－2m=±6，解得m=－2或4。
(2)y=mx＋2－2m=m(x－2)＋2，
∴当x=2时，y=2，
∴该定点的坐标为(2，2)。
题型四　一次函数与方程(组)、不等式(组)的关系
【典例4】 如图，函数y=kx＋b(k≠0)的图象经过点B(2，0)，与函数y=2x的图象相交于点A，则不等式0＜kx＋b＜2x的解集为(　C　)
　典例4图
A.x＞0 B.0＜x＜1
C.1＜x＜2 D.x＞2
【解析】 把点A(x，2)的坐标代入y=2x，得2x=2，解得x=1，
∴点A的坐标为(1，2)，
∴当x＞1时，kx＋b＜2x。
又∵函数y=kx＋b(k≠0)的图象经过点B(2，0)，
∴不等式0＜kx＋b＜2x的解集为1＜x＜2。
【点悟】 在自变量取相同值的情况下，图象在上方的函数的函数值大于图象在下方的函数的函数值。
【变式4】 已知一次函数y=(a＋1)x＋a－2(a为常数，a≠－1)的图象过点(－2，4)。
(1)求一次函数的表达式。
(2)若点P(m，y1)，Q(m＋1，y2)都在该函数的图象上。
①当－1＜m＜2时，求y1的取值范围。
②请判断y1，y2的大小关系，并说明理由。
解：(1)∵一次函数y=(a＋1)x＋a－2(a为常数，a≠－1)的图象过点(－2，4)，
∴4=－2a－2＋a－2，解得a=－8，
∴一次函数的表达式为y=－7x－10。
(2)①∵y=－7x－10，k=－7＜0，
∴当－1＜m＜2时，y1的取值范围是－24＜y1＜－3。
②∵k=－7＜0，
∴y随x的增大而减小。
又∵m＜m＋1，
∴y1＞y2。
题型五　一次函数的应用
【典例5】 综合与实践
项目任务：设计由10根弹簧构成且成本不超过40元的弹簧拉力计。
素材1：弹簧并联时，拉力计拉力等于每根弹簧拉力之和，如图1，y=y1＋y2，弹簧A拉力y1(N)与长度x(cm)之间有关系式y1=1.4x－7；测得弹簧B拉力y2(N)与长度x(cm)的数据如下表：
弹簧长度x/cm 10 15 20 25
拉力y2/N 5 10 15 20
　　素材2：在弹性限度内，弹簧A，B伸长后最大长度均为30 cm。弹簧A每根6元，弹簧B每根3元。
任务1：(1)在图2中描出以弹簧B测得数据的各对x与y2的对应值为坐标的各点，并判断这些点是否在同一直线上。
任务2：(2)求y2关于x的函数表达式，并求出弹簧B在弹性限度内的最大拉力。
任务3：(3)如何购买A，B两种弹簧，使并联后的弹簧拉力计拉力最大(在弹性限度内)？并求出弹簧拉力计的最大拉力。
　
典例5图
解：(1)如答图。
典例5答图
这些点是在同一直线上。
(2)设y2=kx＋b，
则
解得
∴y2=x－5。
当x=30时，y2=25，
∴弹簧B在弹性限度内的最大拉力为25 N。
(3)设购买A种弹簧a根，弹簧拉力计的最大拉力为y，
当x=30时，A的最大拉力为1.4×30－7=35(N)，B的最大拉力为25 N，
则y=35a＋25(10－a)=10a＋250。
∵6a＋3(10－a)≤40，解得a≤3。
又∵a≥0，
∴0≤a≤3，且a为整数，
∴当a=3时，y的最大值为280，
即购买3根A弹簧，7根B弹簧，弹簧拉力计的最大拉力为280 N。
【变式5】 “低碳环保，绿色出行”的理念逐渐深入人心，越来越多的人选择自行车作为出行工具。小军和爸爸同时从家骑自行车去图书馆，爸爸先以150米/分的速度骑行一段时间，休息了5分钟，再以m米/分的速度到达图书馆。小军始终以同一速度骑行，两人行驶的路程y(米)与时间x(分)的关系如图，请结合图象，解答下列问题：
(1)a=　10　，b=　15　，m=　200　。
(2)若小军的速度是120米/分，求小军在途中与爸爸第二次相遇时距图书馆的距离。
(3)在(2)的条件下，爸爸自第二次出发后至到达图书馆前，何时与小军相距100米？请直接写出此时小军骑行的时间。
变式5图
解：(1)由题意，得a=1 500÷150=10，
b=10＋5=15，
m=(3 000－1 500)÷(22.5－15)=200。
(2)设BC所在直线的表达式为y=kx＋b(k≠0)，
将点(15，1 500)，(22.5，3 000)代入，
得
解得
∴y=200x－1 500(15≤x≤22.5)。
∵小军速度为120米/分，
∴OD所在直线的表达式为y=120x，
联立，得
解得
3 000－2 250=750(米)，
∴小军在途中与爸爸第二次相遇时距离图书馆750米。
(3)由题意得，当x＜时，120x－(200x－1 500)=100，
解得x=17.5。
当x＞时，200x－1 500－120x=100，
解得x=20，
∴小军骑行的时间为17.5或20分钟
【点悟】 在利用两个一次函数描述两组变量之间的关系时，要熟练地在函数图象上标注有代表性的点，如与x轴和y轴的交点，与平行于坐标轴的直线的交点，两个一次函数图象的交点，运动状态的转折点等。由这些特殊点可以得到等量关系，列出的方程可以解得我们要求的量。在利用图象交点解行程问题时，要注意只有两组运动中的运动距离是相对同一点的距离时，图象的交点才代表相遇。
1.已知(k，b)为第四象限内的点，则一次函数y=kx－b的图象可能是(　A　)
　 　 　
A B C D
2.匀速地向如图所示的容器内注水，直到把容器注满。注水过程中，容器内水面高度h随时间t变化的大致图象是(　C　)
第2题图
　　　　
A B
　　　　
C D
3.在平面直角坐标系中，将直线y=3x向下平移4个单位长度后，所得直线与坐标轴围成的三角形的面积为 　。
【解析】 将直线y=3x向下平移4个单位长度后，所得直线为y=3x－4，它与x轴的交点坐标为，与y轴的交点坐标为(0，－4)，
∴它与坐标轴围成的三角形的面积为×4=。
4.元朝朱世杰的《算学启蒙》一书记载：“今有良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何日追及之。”方方想到了用一次函数来解决这个问题，他画出两匹马行走的路程s(里)关于驽马行走的时间t(日)的函数图象(如图)，并说只要求出两图象的交点P的坐标就可以了。方方的说法对吗？请你算出点P的坐标并写出良马出发后几日追上驽马。
　第4题图
解：方方的说法对。由题意得，驽马行走的路程关于驽马行走的时间的函数表达式为s=150t，良马行走的路程关于驽马行走的时间的函数表达式为s=240(t－12)，
联立
解得
∴点P的坐标为(32，4 800)，
32－12=20(日)，
∴良马出发后20日追上驽马。
5.如图，直线y=kx＋b(k≠0)过点A(0，5)，B(5，0)。
(1)求直线AB的表达式。
(2)若直线y=2x－4与直线AB相交于点C，求点C的坐标。
(3)根据图象直接写出关于x的不等式2x－4≥kx＋b的解集。
第5题图
解：(1)由题意，得解得
∴直线AB的表达式为y=－x＋5。
(2)联立，得
解得
∴点C的坐标为(3，2)。
(3)x≥3。
6.某游泳馆推出了两种收费方式。
方式一：顾客先购买会员卡，每张会员卡200元，仅限本人使用一年，凭卡游泳，每次游泳再付费30元；
方式二：顾客不购买会员卡，每次游泳付费40元。
设小亮在一年内来此游泳馆的次数是x，选择方式一的总费用为y1(元)，选择方式二的总费用为y2(元)。
(1)请分别写出y1，y2与x之间的函数表达式。
(2)小亮一年内在此游泳馆游泳的次数x在什么范围时，选择方式一比方式二省钱？
解：(1)由题意，得y1=30x＋200，y2=40x。
(2)当y1＜y2时，30x＋200＜40x，解得x＞20，
∴当x＞20时，选择方式一比方式二省钱。
7.甲、乙两位同学周末相约去游玩，沿同一路线从A地出发前往B地，甲、乙分别以不同的速度匀速前行，乙比甲晚0.5 h出发，并且在中途停留1 h后，按原来速度的一半继续前进。在此过程中，甲、乙两人离A地的路程s(km)与甲出发的时间t(h)之间的关系如图所示。有下列说法：①A，B两地相距24 km；②甲比乙晚到B地1 h；③乙从A地刚出发时的速度为72 km/h；④乙出发 h时与甲第三次相遇。其中正确的是(　D　)
第7题图
A.①② B.③④ C.①②③ D.①②③④
【解析】 从图中可以看出，A，B两地相距24 km，甲比乙晚到B地1 h，①②正确。
设乙从A地刚出发时的速度为v(km/h)，
则=2－1－0.5，解得v=72，
经检验，v=72是原方程的解，且符合题意，
∴乙从A地刚出发时的速度为72 km/h，③正确。
根据图象可知，甲的速度为=8(km/h)，乙再次运动时，二者第三次相遇，乙中途停留前运动时间为(h)。
设乙继续前进t(h)后二者相遇，
根据题意，得8=12＋36t，解得t=，
故第三次相遇时，乙出发的时间是＋1＋(h)，④正确。
综上所述，正确的是①②③④。
8.物理实验课上，小明做“小球反弹实验”，如图1所示，光滑桌面AB长为240 cm。小球P与木块Q同时从点A出发向B沿直线路径始终保持匀速运动(小球P和木块Q大小厚度忽略不计)，速度较快的小球P到达B处的挡板l后被弹回(忽略转向时间)，沿原来路径和速度返回，遇到木块Q后又被反弹向挡板l运动，如此反复，直到木块Q到达l，同时停止运动。设小球P的运动时间为t(s)，木块Q与小球之间的距离为y(cm)，图2是y与t的部分函数关系图象，结合图象回答下列问题。
(1)小球P第一次到达挡板l的时间是　24　s，小球P的速度为　10　cm/s，木块Q的速度为　6　cm/s。
(2)小球P第一次从挡板l返回到与木块Q第一次相遇(实验开始时小球和木块在同一起点，不视为相遇)，求出该过程中y关于t的函数关系式。
(3)若小球P每一次反弹后的速度与第一次弹回时的速度保持一致，在整个运动过程中，当小球P与木块Q距离为24 cm时，直接写出t的值。
　
第8题图
解：(1)∵小球P第一次到达挡板l的时间是24 s，
∴小球P的速度为240÷24=10(cm/s)。
由题意，(vP－vQ)×24=96，vP=10 cm/s，
∴vQ=10－4=6(cm/s)。
(2)∵a==30(s)，
设小球P第一次返回时，y=kt＋b，
将点(24，96)，(30，0)代入，得
解得
∴y=－16t＋480。
(3)①当0≤t≤24时，设小球P运动的函数关系式为y=mt，
由题意得，24m=96，
∴m=4，
∴此时函数为y=4t。
令y=4t=24，
∴t=6；
②当24＜t≤30时，令y=－16t＋480=24，
解得t=；
③当小球运动30 s后，由(vP－vQ)(t－30)=24，得(10－6)(t－30)=24，
解得t=36。
由240－36×6=24(cm)，知此时木块Q距离挡板l24 cm，小球P刚好第二次到达挡板l，此后小球P与木块Q的距离均小于24 cm。
综上所述，t=6或或36。
9.如图，直线y=x＋8分别交x轴，y轴于点A，B，C为射线OB上一点，把△AOC沿直线AC翻折得到△ADC。
(1)求点A，B的坐标。
(2)当点D在△ABO的内部时，连结OD并延长交AB于点P。若AC=OP，求点P的坐标。
第9题图
解：(1)对于y=x＋8，当x=0时，y=8，
当y=0时，y=x＋8=0，
解得x=6，
∴点A的坐标(6，0)，点B的坐标为(0，8)。
(2)过点P作PE⊥y轴于点E，如答图1，
第9题答图1
∴∠AOC=∠OEP=90°。
设点C的坐标为(0，a)，
∴OC=a。
点D在△ABO的内部，如答图2，当点D落在直线AB上时，
第9题答图2
此时CD=OC=a，AD=OA=6，∠ADC=∠AOC=90°。
∵AB==10，∴BD=4，BC=8－a。
在Rt△BCD中，a2＋42=(8－a)2，解得a=3，
∴0＜a＜3。
由翻折的性质得，AC是线段OD的垂直平分线，
∴AC⊥OD，
∴∠AOD＋∠OAC=90°。
又∵∠EOP＋∠AOD=90°，
∴∠OAC=∠EOP。
在△OAC和△EOP中，
∵
∴△OAC≌△EOP(AAS)，
∴OC=EP=a，
∴点P的横坐标为a。
∵点P在直线y=x＋8上，
∴点P的坐标为，
∴OP=。
∵点A的坐标为(6，0)，
∴AC=。
∵AC=OP，
∴，
整理得=36，
∴a＋8=±6。
由a＋8=6，解得a=，
由a＋8=－6，解得a=＞3，不合题意，舍去，
∴点P的坐标为。

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