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专题4-3 函数与方程零点问题综合
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图像的变换
（1）平移变换
①函数的图像是把函数的图像沿轴向左平移个单位得到的；
②函数的图像是把函数的图像沿轴向右平移个单位得到的；
③函数的图像是把函数的图像沿轴向上平移个单位得到的；
④函数的图像是把函数的图像沿轴向下平移个单位得到的；
（2）对称变换
①函数与函数的图像关于轴对称；
函数与函数的图像关于轴对称；
函数与函数的图像关于坐标原点对称；
②若函数的图像关于直线对称，则对定义域内的任意都有
或（实质上是图像上关于直线对称的两点连线的中点横坐标为，即为常数）；
若函数的图像关于点对称，则对定义域内的任意都有
③的图像是将函数的图像保留轴上方的部分不变，将轴下方的部分关于轴对称翻折上来得到的（如图（a）和图（b））所示
④的图像是将函数的图像只保留轴右边的部分不变，并将右边的图像关于轴对称得到函数左边的图像即函数是一个偶函数（如图（c）所示）．
注：的图像先保留原来在轴上方的图像，做出轴下方的图像关于轴对称图形，然后擦去轴下方的图像得到；而的图像是先保留在轴右方的图像，擦去轴左方的图像，然后做出轴右方的图像关于轴的对称图形得到．这两变换又叫翻折变换．
⑤函数与的图像关于对称．
【题型1】零点存在定理
零点存在定理及其推论
1、定理：如果函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，且，
那么，函数在区间内至少有一个零点，
即存在，使得，这个也就是方程的解。
【注意】（1）定义不能确定零点的个数；
（2）不满足定理条件时依然可能有零点；
（3）定理中的“连续不断”是必不可少的条件；
（4）定理反之是不成立的.
2、重要推论：
（1）推论1：函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，，
且具有单调性，则函数在区间内只有一个零点.
（2）推论2：函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，
函数在区间内有零点，且函数具有单调性，则
函数的零点所在区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】在上单调递增，，所以的零点在区间.
已知是函数的一个零点，若，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】B
【解析】因为是函数的一个零点，则是函数与的交点的横坐标，画出函数图像，如图所示，
则当时，在下方，即；
当时，在上方，即，
函数，则“”是“函数在上存在零点”的（ ）
A．充分不必要条件 B．充分必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】首先得出“函数在上存在零点”的充要条件是的取值范围是，进一步结合必要不充分条件的定义即可得解.
【详解】设方程即方程在上存在零点，
令，显然在上单调递减，
而，所以的值域为，
所以函数在上存在零点当且仅当的取值范围是，
所以“”是“函数在上存在零点”的必要不充分条件.
【巩固练习1】方程的解所在区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用零点存在性定理分析判断即可.
【详解】令，在上连续，且单调递增，
对于A，因为，，
所以的零点不在内，所以A错误，
对于B，因为，，
所以的零点不在内，所以B错误，
对于C，因为，，
所以的零点在内，所以方程的解所在区间为，所以C正确，
对于D，因为，，
所以的零点不在内，所以D错误
【巩固练习2】已知是函数的一个零点，若，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】函数在区间上单调递减，函数在区间上单调递减，
故函数在区间上单调递减，
又，
所以，
因为，，
由单调性知，即．
【题型2】二分法
对于在区间上连续不断且的函数，通过不断把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
用二分法求方程近似解时，所取的第一个区间可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】令，因为函数在上都是增函数，
所以函数在上是增函数，，
所以函数在区间上有唯一零点，
所以用二分法求方程近似解时，所取的第一个区间可以是.
用二分法研究函数的零点时，第一次计算，得，，第二次应计算，则等于（ ）
A．1 B． C．0.25 D．0.75
【答案】C
【解析】因为，，所以在内存在零点，
根据二分法第二次应该计算，其中
【巩固练习1】已知函数()的一个零点附近的函数值的参考数据如下表:
x 0 0.5 0.53125 0.5625 0.625 0.75 1
f(x) -1.307 -0.084 -0.009 0.066 0.215 0.512 1.099
由二分法,方程的近似解(精确度0.05)可能是（　　）
A．0.625 B．-0.009 C．0.5625 D．0.066
【答案】C
【解析】在上单调递增.设近似值为，
由表格有，所以
【巩固练习2】已知函数，在区间内存在一个零点，在利用二分法求函数近似解的过程中，第二次求得的区间中点值为 ．
【答案】
【分析】根据题意，利用对数的运算法则，结合零点二分法，准确计算，即可求解.
【详解】由函数为单调递增函数，且在内存在一个零点，
又由，则，
第一次用二分法，由，
因为，可得，即，可得，所以，
所以确定函数的零点所在区间为；
第二次用二分法，由，
因为，可得，即
所以，所以确定函数的零点所在区间为，
所以第二次求得的区间的中点值为.
【巩固练习3】一块电路板的线段之间有个串联的焊接点，知道电路不通的原因是焊口脱落造成的，要想用二分法的思想检测出哪处焊口脱落，至少需要检测（　　）
A．次 B．次
C．次 D．次
【答案】B
【解析】利用二分法检测，每次取中点，焊接点数减半，不妨设需要次检测，则，
即，因为，故的最小值为，即至少需要检测次.
【题型3】 零点个数问题
零点个数的判断方法
1、直接法：直接求零点，令，如果能求出解，则有几个不同的解就有几个零点.
2、定理法：利用零点存在定理，函数的图象在区间上是连续不断的曲线，且，
结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点.
3、图象法：
（1）单个函数图象：利用图象交点的个数，画出函数的图象，函数的图象与轴交点的个数就是函数的零点个数；
（2）两个函数图象：将函数拆成两个函数和的差，根据，则函数的零点个数就是函数和的图象的交点个数
4、性质法：利用函数性质，若能确定函数的单调性，则其零点个数不难得到；
若所考查的函数是周期函数，则只需解决在一个周期内的零点的个数
函数的零点个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【解析】令，得，画出函数与的图象，
可得这两个函数在上的图象有唯一公共点，故的零点个数为1．故选：B
函数的零点个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【解析】通过图形可以得出有3个零点
【巩固练习1】函数在定义域内的零点个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【解析】函数分别是R上的减函数和增函数，则函数是减函数，
而，，所以函数在R上的零点个数是1.故选：B
【巩固练习2】方程的解的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．2或3或4
【答案】A
【分析】将方程根的个数转化为函数交点的个数问题，数形结合作出函数图象计算即可.
【详解】方程的解的个数，
等价于函数和函数的图象的交点个数，
作出两函数的图象，如图所示．
数形结合可得，函数和函数的图象的交点个数为2，
故方程的解的个数为2．
【巩固练习3】已知函数则函数的零点个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】由题意可知，的零点个数可以转化为和函数的图象交点个数，
它们的函数图象如图所示.故选：C．
【题型4】比较零点的大小
利用数形结合、等价转化等数学思想,将函数零点问题转化成图象交点，作出函数的图象，再根据图象求结果.
若函数，，的零点分别为，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据条件，将零点问题转化成函数图象交点，再根据图象即可求出结果.
【详解】由，得到，由，得到，
由，得到，
在同一直角坐标系中，作出函数的图象，如图所示，
由图知，
故选：B.
设，，均为实数，且，，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】利用指数函数与对数函数的图象与性质画出图象，即可得出结论.
【详解】由题意得，分别是函数与，，图象的交点横坐标．
在同一坐标系内作出函数，，，的图象，
如图所示，由图可得．

（23-24高一上·山东日照·期末）若，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先由可得，，，由，得，，在同一个平面直角坐标系作出，和的图象，结合图象可得结果.
【详解】因为，而当时，，当时，，
所以，
因为，而当时，，所以，
因为，而当时，，所以，由，得，，
所以为和图象交点的横坐标，为和图象交点的横坐标，
在同一个平面直角坐标系作出，和的图象，如图所示，
由图可得
综上，
故选：A
（23-24高一上·北京丰台·期末）函数，，的零点分别为，，，则，，，的大小顺序为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用函数与方程之间的关系，转化为两个函数的交点问题，利用数形结合求解即可.
【详解】令，即，令，即，
令，即，分别作出，，和的图象，
如图所示：
由图象可知：，所以.
故选：.
（2024·贵州贵阳·模拟预测）设方程的两根为，，则（ ）
A．， B．
C． D．
【答案】C
【分析】由数形结合及零点的判定方法可确定出，即可判断AD，计算出，可判断BC.
【详解】由可得，
在同一直角坐标系中同时画出函数和的图象，如图所示：
因为，，
由图象可知，， 所以故A，D错误；
，
因为，所以，所以，
所以，即，故B错误，C正确.
【巩固练习1】（23-24高一下·广东揭阳·期末）已知，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】构造函数，，由其单调性结合图象得出大小关系.
【详解】构造函数，，所以，，
因为均为上增函数，则函数，为增函数.
函数，与函数的图象，如下图所示：
由图可知，.
又，，所以.
综上，.
【巩固练习2】（2024·广东梅州）三个函数，，的零点分别为，则之间的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】先判断各函数的单调性，再根据零点的存在性定理求出函数零点的范围，即可得出答案.
【详解】因为函数，，，都是增函数，
所以函数，，均为增函数，
因为，所以函数的零点在上，即，
因为，所以函数的零点在上，即，
因为，所以函数的零点在上，即，
综上，．
【巩固练习3】已知函数的零点分别是，则的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】令，从而将问题转化为、、与交点的横坐标，画出函数图象，数形结合即可判断.
【详解】令，得，
则为函数与交点的横坐标，
为函数与交点的横坐标，
为函数与交点的横坐标，
在同一直角坐标系中，分别作出和的图象，如图所示，

由图可知，.
【巩固练习4】（23-24高一上·湖南株洲·期末）. 已知函数的零点分别为，则的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】将函数的零点转化为两个图象的交点的横坐标，结合函数的图象，即可求解.
【详解】因为函数的零点分别为，
可转化为与三个函数的交点的横坐标为，
在同一坐标系下，画出函数与函数的图象，
如图所示，
结合图象可得：.
【题型5】由零点个数求参数范围
已知函数零点个数(方程根的个数)求参数值(取值范围)常用的方法：
（1）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围.
设函数，若函数恰有3个零点，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意，设函数，令，即，
所以问题转化为，有3个交点；
在坐标系内，作出函数的图像如下所示，
结合图象可知，，故实数的取值范围为.
故选：B
已知函数．若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是
A．[–1，0） B．[0，+∞） C．[–1，+∞） D．[1，+∞）
【答案】C
【详解】分析：首先根据g（x）存在2个零点，得到方程有两个解，将其转化为有两个解，即直线与曲线有两个交点，根据题中所给的函数解析式，画出函数的图像（将去掉），再画出直线，并将其上下移动，从图中可以发现，当时，满足与曲线有两个交点，从而求得结果.
详解：画出函数的图像，在y轴右侧的去掉，
再画出直线，之后上下移动，
可以发现当直线过点A时，直线与函数图像有两个交点，
并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图像有两个交点，
即方程有两个解，也就是函数有两个零点，
此时满足，即，故选C.
已知函数若函数有四个不同的零点，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】将函数有四个不同的零点，转化为函数与图象由四个交点，再数形结合即可解答.
【详解】
依题意，函数有四个不同的零点，即有四个解，
转化为函数与图象由四个交点，由函数函数可知，
当时，函数为单调递减函数，；
当时，函数为单调递增函数，；
当时，函数为单调递减函数，；
当时，函数为单调递增函数，；
结合图象，可知实数的取值范围为.
已知函数有唯一零点，则负实数
A． B． C． D．或
【答案】A
【解析】函数有唯一零点，设
则函数有唯一零点，则
设∴ 为偶函数，
∵函数 有唯一零点，∴与有唯一的交点，
∴此交点的横坐标为0， 解得 或（舍去）
已知函数有唯一零点，则实数（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】D
【解析】设，定义域为R,
∴，
故函数为偶函数，则函数的图象关于y轴对称，故函数的图象关于直线对称，
∵有唯一零点，∴，即．
已知是定义在上的偶函数，且对，都有，且当时，.若在区间内关于的方程至少有2个不同的实数根，至多有3个不同的实数根，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】先根据题意分析函数的对称性及周期性；再利用函数的对称性和周期性作出函数在上的图象；最后数形结合列出不等式组求解即可.
【详解】由，可得：，
又因为是定义在R上的偶函数，
则，且函数图象关于轴对称，
所以，即的周期为4，
作出函数在上的图象，
根据对称性及周期为4，可得出在上的图象：
令，
若在区间内关于的方程至少有2个不同的实数根，
至多有3个不同的实数根，
则函数与函数在上至少有2个不同的交点，
至多有3个不同的交点，
所以，即，解得.
【巩固练习1】（23-24高一下·云南昆明·期中）已知函数，若方程有四个不同的解，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】画出分段函数图象，数形结合，再用图象交点问题解题即可.
【详解】画出的图象如图所示.
因为方程有四个不同的解，
故的图象与的图象有四个不同的交点，又由图，求得，，
故的取值范围是.
【巩固练习2】已知函数若函数有三个零点，则实数的取值范围 .
【答案】
【分析】转化为与的图象有3个交点，做出的图象，结合图象可得答案.
【详解】若函数有三个零点，则与的图象有3个交点，
，
当时，，当时，，
与轴的交点为，的大致图象如下，
要使与的图象有3个交点，则，解得，或.

故答案为：.
【巩固练习3】已知关于的函数有唯一零点，则（ ）
A． B．3 C．或3 D．4
【答案】B
【解析】，令，则有是偶函数，
若只有唯一零点，则必过原点，即，从而.
当时，有3个零点，舍去.
故，此时，则，故.
【巩固练习4】设，函数 若恰有一个零点，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】画出函数的图象如下图所示：
函数可由分段平移得到，
易知当时，函数恰有一个零点，满足题意；
当时，代表图象往上平移，显然没有零点，不符合题意；
当时，图象往下平移，当时，函数有两个零点；
当时，恰有一个零点，满足题意，即；
综上可得的取值范围是.
【题型6】求零点的和
零点的和一般通过函数图像对称性来求
已知函数，，的零点分别为a，b，c，则 ．
【答案】3
【分析】先把转化为函数，，与的交点的横坐标，再利用与互为反函数，可得，又，所以.
【详解】如图，在平面直角坐标系中，作函数，，的图象，它们的图象与函数的交点的横坐标就是.
因为，互为反函数，其图象关于直线对称，与垂直，所以.
又，所以. 所以.
函数的所有零点之和为（ ）
A．0 B．-1 C． D．2
【答案】A
【分析】令，即，构造函数与函数，画出函数图象，可知两个函数图象相交于两点，设为，得，进而得到，即
【详解】由零点定义可知，函数的零点，就是方程的实数根，令，
则，显然，所以，
构造函数与函数，则方程的根，
可转化为两个函数图象的交点问题，根据图象可知，两个函数图象相交于两点，
所以此方程有两个实数根，即函数有两个零点，
设为，所以，，
即，
另外发现，将代入，可得，
所以也是函数的零点，说明，即.
故选:A.
（23-24高一上·辽宁沈阳·期末）已知函数的定义域为R，且是奇函数，当时，，函数，则方程的所有的根之和为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【分析】先判断函数的对称中心，再结合图象及交点个数，最后结合对称性得出所有根的和.
【详解】由题知 是奇函数,则有： , 关于对称，
且 , 时， ,恒过，且 关于对称，
方程的所有的根之和也即是两函数交点的横坐标和，
根据 对称性及解析式画出图象如下：
由图像可知 有5个交点，其中一个交点横坐标为1,
另外四个，两两分别关于对称， 故五个交点横坐标和为, 即所有根之和5.
已知是函数的零点，是函数的零点，则的值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【分析】由题意可得的零点为函数与交点的横坐标，的零点为函数与交点的横坐标，再由函数图象的对称性可求得结果.
【详解】由题意可得的零点为函数与交点的横坐标，
因为和在上递增，所以在上递增，
所以为唯一的零点，设函数与交点为，
的零点为函数与交点的横坐标，
因为和在上递减，所以在上递减，
所以为唯一的零点，设函数与交点为，
因为与的图象关于直线对称，与的图象关于直线对称，
所以关于直线对称，所以.
故选：B
设满足，满足，则 .
【答案】
【分析】根据给定条件，构造函数并探讨其单调性，借助函数零点确定与得解.
【详解】令函数，而函数在上都是增函数，因此函数是增函数，
由满足，得，即，于是，
由满足，得，因此，而函数在上递增，
于是，即，所以.
已知定义在上的偶函数满足，当时，.设，则与图象的所有交点的横坐标之和为 .
【答案】
【分析】由可得关于对称，结合为偶函数可得周期，由解析式可得该函数也关于对称，即可由对数函数及幂函数图象将与图象画在同一直角坐标系中，结合图象与函数对称性即可得到与图象的所有交点的横坐标之和.
【详解】由为偶函数，故，即，
由，故关于对称，且，
即有，故周期为，则也关于对称；
由，故，
由，即关于对称，
由时，，作出及图象如图所示：

当时，，，
故当时，与图象无交点，由图象可知，当时，，有一个交点，
当时，与图象存在一个交点，设该点横坐标为，
则结合函数对称性可知，当，
与图象必有两交点，且两交点横坐标分别为，，
故与图象的所有交点的横坐标之和为.
【巩固练习1】设函数的零点为，函数的零点为，则 .
【答案】6
【分析】根据的零点即为与的交点之横坐标，的零点即为与的交点之横坐标，且与互为反函数，即图象关于对称，且与垂直，所以和与的交点也关于对称，据此求解
【详解】解：令得，则的零点即为与的交点之横坐标，
同理函数的零点为与的交点之横坐标，
又与互为反函数，即它们的图象关于对称，且与垂直，
所以和与的交点也关于对称，
由解得两直线交点为， 所以.
【巩固练习2】（湖北省鄂东南2024-2025高一上期中联考）设函数关于x的方程有三个不等实根，且，则的取值范围是 .
【答案】
【分析】画出函数图象，数形结合得到，，求出答案.
【详解】画出函数的图象，观察图形知，仅当时，方程有三个不等实根，
分别对应直线与图象三个交点的横坐标，其中两个交点位于二次函数图象上，
不妨设，显然关于对称，则，
另一个交点位于直线上，在中，当时，，即，
因此，所以.
【巩固练习3】（山东省泰安市肥城市2023-2024学年高一上学期11月期中考试数学试题）已知函数，方程有三个解，则（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【分析】变换得到，设，确定函数为奇函数，得到，，计算得到答案.
【详解】，，即，即，
设，函数定义域为，，
函数为奇函数，，
不妨取，则，，.
【巩固练习4】（广东省珠海市高一上学期11月联考）若，分别是方程，的根，则（ ）
A． B．2023 C． D．4046
【答案】A
【分析】由于的图像与图像关于直线对称，而直线也关于直线对称，利用对称性，结合数形结合，再利用中点坐标公式可求出的值.
【详解】
由题意可得是函数的图像与直线交点的横坐标，是函数图像与直线交点的横坐标，
因为的图像与图像关于直线对称，而直线也关于直线对称，
所以线段的中点就是直线与的交点，
由，得，即线段的中点为，所以.
【题型7】由二次函数零点分布求参数范围
一元二次方程根的分布问题，原理简单，难点在于要有清晰的分类讨论和数形结合的思想.一般考虑以下几方面：
开口（若不能判定，则需分类讨论，特别要注意二次项系数有可能等于零的情况 ）.
判定给定点处函数值的正负.（开口向上的二次函数若存在函数值小于零，则△＞0 恒成立）
判定△符号.
判定对称轴的位置.
总之，耐心去分类讨论（分类讨论不容易失误，一步到位往往会漏解或多解），借助图象去分析就可以得到结论，无需记忆.
（1）二元二次方程在上根的分布情况
①方程有两个不等的实数根;
②方程有两个相等的实数根;
③方程没有实数根
（2）一元二次方程的根的“0”分布
①方程有两个不等正根；
②方程有两个不等负根
③方程有一正根和一负根,设两根为
（3）一元二次方程的根的“”分布
①两根都小于；
②两根都大于
③一根小于，一根大于
（4）一元二次方程根在区间的分布
①两根都在内
②两根都在外
③两根仅有一根在内
④一根在内,另一根在内
如果函数的两零点分别落在区间和上，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由一元二次方程根的分布列出不等式求解即可.
【详解】为开口向上的抛物线，
由题意可得：，即解得：.
方程的两个根均大于1，则实数m的取值范围是 ．
【答案】
【分析】结合二次函数的图像和性质，根据一元二次方程根的分布，求参数的范围.
【详解】设，因为的两个实数根均大于1，
所以，解得，所以m的取值范围为．
故答案为：.
若函数在内恰有一个零点，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据判别式结合零点存在原理分类讨论即可.
【详解】当时，，解得，符合题意，则；
当时，二次函数的判别式为：，
若，即时，函数的零点为，符合题意，则；
当，即时，由，解得且，
则且；
当时，，方程另一根，当时，
，方程中一根，则或，
所以实数a的取值范围为.
【巩固练习1】已知函数有一个零点在区间内，求实数的取值范围是（ ）
A． B．或
C．或 D．或
【答案】D
【分析】分函数只有一个零点且在区间内和函数有两个零点，且一个零点在上两种情况讨论，分别求出参数的取值范围.
【详解】当函数只有一个零点，则，解得；
当函数有两个零点，且一个零点在上时，则，
即，解得，
综上所述，实数的取值范围是或.
【巩固练习2】若二次函数在区间上存在一个零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．或
【答案】A
【分析】根据一元二次方程的根的判别，结合二次函数以及零点存在性定理，可得答案.
【详解】由题意可得方程在上存在一个根，，
由函数，则其对称轴为直线，
当时，，可得，解得；
当时，，可得，显然无解.
综上所述，.
【巩固练习3】已知函数至少有一个零点在区间内，求实数m的取值范围是（ ）
A． B．或
C． D．或
【答案】C
【分析】根据判别式、零点存在性定理、二次函数的性质等知识确定正确答案.
【详解】对于函数，，
当，即时，没有零点，不符合题意.
当，即或时，
当时，，零点为，，符合题意.
当时，，零点为，，不符合题意.
当，即或时，有两个不相等的零点，至少有一个零点在区间内，
则需或，解得，，
另外若，则，零点为或，不符合题意.
若，则，零点为或，
，符合题意.
综上所述，的取值范围是：.
【题型8】等值线问题
数形结合思想
（23-24高一上·广东潮州·期末）已知函数有两个零点分别为和，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】不妨设，根据对数的运算性质可得出，则，且，利用对勾函数的单调性可求得的取值范围.
【详解】不妨设，因为函数有两个零点分别为、，
所以，所以，即，即，
所以，，其中，所以，，
因为函数在上为减函数，当时，，
所以，，故的取值范围是.
故答案为：.
（23-24高一上·江苏苏州·期中）已知若，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】画出函数图象，结合对称性，数形结合得到，，，求出，得到答案.
【详解】画出的图象，如下，

设，则，
令，解得或0，因为的对称轴为，由对称性可得，
且，其中，
因为，所以，故，
又，故，.
(多选)已知函数，若存在，使得，则的取值可以是（ ）
A． B．3 C． D．
【答案】CD
【分析】设，则直线与函数的图象有三个交点，结合函数的对称性求出的取值范围即可.
【详解】设，作出函数与的图象，如图：
观察图形知，当时，直线与函数的图象有三个交点，
点、关于直线对称，则，且函数在上为增函数，
由，，得，因此，
所以的取值可以是，.
（24-25高一上·云南昆明·期中）已知，若，且，则的取值范围是 .
【答案】
【分析】作出图形，设，数形结合可得出的取值范围，由对称性可得出的值，由此可得出的取值范围.
【详解】作出函数的图象如下图所示：
设，由图可知，当时，直线与函数的图象有三个公共点，
且点、关于直线对称，则，且，
故.
【巩固练习1】已知函数．若，则的零点为 ；若函数有两个零点，，则的最小值为 ．
【答案】 50
【分析】空1：求解即可；空2：作出的图象，结合题意可得，再根据基本不等式求解最小值即可.
【详解】，解得，故的零点为；由题意有两个零点，
作出的图象可得，且，故，
即.故，
当且仅当，即时取等号.

故答案为：5；50
【巩固练习2】（23-24高一上·山西阳泉·期末）已知函数，若方程有四个不同的解，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】画出函数大致图象，数形结合得，利用对称性及对数函数的性质有、，进而求目标式的范围.
【详解】由解析式可得函数大致图象如下，
由图知：，则，
且，，
所以，又在上递减，则.
【巩固练习3】已知函数，若方程有四个不同的解，，，，且，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】画出函数图像，根据图像结合函数性质确定，，，变换，根据函数的单调性计算最值即可.
【详解】画出函数的图象，如图所示：
方程有四个不同的解，，，，且，
由时，，则与的中点横坐标为，即：，
当时，由于在上是减函数，在上是增函数，
又因为，，则，有，
，又，，
在上递增，故取值范围是．
【巩固练习4】已知函数，若，，满足，记，则的取值范围为 ．
【答案】
【分析】画出函数图像，结合二次函数和一次函数的性质，找出满足题意得图像段，缩小变量范围，后将M转化为求二次函数的值域问题.
【详解】因为的图象是将在轴下方部分沿轴翻折得到的.
满足，则直线在如图所示两条虚线间上下平移.
令，即，解得或.
令时，解得.
令，即，解得或.
令时，解得.
画出草图如下：
由，，知，，
又因为，由函数的对称性，此两点关于对称，则 .
令，
则，，
则，，
，对称轴为，则在单调递减.
.则的取值范围为.
【巩固练习5】已知，若互不相等且，且，则的范围是 ．
【答案】
【分析】画出函数的大致图象，根据图象知，，且， ，再建立的函数并结合对勾函数求出范围.
【详解】函数在，上单调递减，在上单调递增，，
画出的图象，如图，
因为，由，得，，，
由，得，即，由，得，
于是，由对勾函数性质知，在上递增，则，
所以的范围是．
【题型9】函数零点和指数式与对数式的互化
函数零点题型常涉及求解方程根、判断函数图像与x轴交点等。指数式与对数式互化题型则注重转换技巧，如给定指数式求对数式表达，或利用对数定义解指数方程。两类题型均考验数学基础与逻辑转换能力。
已知函数（其中为自然对数的底数）.设分别为的零点，则 .
【答案】3
【分析】利用，结合的单调性求解即可.
【详解】分别为的零点，
故，
因为，所以，且，
因为函数为增函数，且，
故，所以.
已知是函数的零点，则 .
【答案】
【分析】根据题意列出方程，进而得到进行求解即可.
【详解】由题可知，，所以，
令,则单调递增，且,
所以，所以，所以.
已知是函数的零点，则 .
【答案】1
【分析】首先由可得，然后构造函数，由的单调性以及得，则的值可求.
【详解】令，，
由于，所以，即，
令，则，因为在上均大于0，且单调递增，
所以在上单调递增，所以，，所以.
【巩固练习1】（23-24高一上·湖南长沙·期末）已知分别是函数与的零点，若，则的取值范围为 .
【答案】
【分析】分别为与图象交点的横坐标，而与的图象关于直线对称，直线与直线垂直，从而可得，再得出的范围后即可得结论．
【详解】由题意，分别为与图象交点的横坐标，
而与的图象关于直线对称，直线与直线垂直，
因此这两个交点关于直线对称，如图所示：
，
∵，∴，
.
故答案为：．
【巩固练习2】（23-24高二下·山东菏泽·阶段练习）设是函数的零点，则 ．
【答案】3
【分析】根据零点的定义，结合对数与指数互化公式，通过构造新函数，利用新函数的单调性进行求解即可.
【详解】由题意，．注意到，
所以，在两边同时加上，
即，即，
设函数，显然该函数是实数集上的增函数，
由，
即即，
所以
【巩固练习3】已知是函数的零点，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】对A：根据零点存在定理，即可判断零点范围；对B：，两边取对数，即可判断；对C：，结合的范围，即可得到，从而进行判断；对D：根据的范围，再结合指数函数单调性，即可判断.
【详解】均为单调增函数，故为单调增函数；
对A：因为，故，故A错误；
对B：因为，故，两边取对数可得，故B正确；
对C：，故，则，则，故C错误；
对D：因为，，故，则，，故D错误.
【巩固练习4】已知的零点为，若，则整数的最大值是 .
【答案】
【分析】根据题意分析的零点，，得到，通过判断的范围即可得到答案.
【详解】函数的定义域为，
当时，恒成立，不存在零点；
当时，单调递增，且，，
所以的零点，，
即，两边同时取对数，即，即，
所以，所以，
记，显然，单调递减，所以，
所以，所以整数的最大值是0.
【题型10】嵌套函数零点问题
数形结合与换元法
对于嵌套型复合函数的零点个数问题，求解思路如下：
（1）确定内层函数和外层函数；
（2）确定外层函数的零点；
（3）确定直线与内层函数图象的交点个数分别为，则函数的零点个数为.
注意：抓住两点：(1)转化换元；(2)充分利用函数的图象与性质．
（23-24高一上·陕西西安·阶段练习）定义域和值域均为（常数）的函数和图象如图所示，则方程有 个解．
【答案】3
【分析】先利用换元法将方程根的问题转化方程及根的问题，由图象可得方程在上有三个实数解，结合函数的单调性及值域即可求解.
【详解】令则，
由函数的图象可得：方程有个解，其中
由函数的图象可知：函数在上单调递减
又因为值域为，所以对于每一个，都存在唯一的与之对应.
所以方程有个解.
已知函数若关于的方程有且仅有两个实数根，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用换元法设，则方程等价为，根据指数函数和对数函数图象和性质求出，利用数形结合进行求解即可．
【详解】令，则．
①当时，若；若，由，得．
所以由可得或．
如图所示，满足的有无数个，方程只有一个解，不满足题意；
②当时，若，则；若，由，得．
所以由可得，当时，由，可得，
因为关于的方程有且仅有两个实数根，则方程在]上有且仅有一个实数根，
若且，故；若且，不满足题意．
综上所述，实数的取值范围是
已知函数，则至多有______个实数解.
【答案】7
【解析】由可得，由知，，
当时，，，
当时，，在单调递增，
当时，，在单调递减，
当时，，，在单调递增，
则可作出函数的大致图像如图：
三个图分别对应时的情况，
设，则即，
则的解的个数问题即为的交点个数问题，
结合的图象可知的交点个数最多是3个，
即为图2个和图3所示情况，
不妨设交点横坐标为，当如图2所示时，，
此时无解，有1个解，最多有3个解，
故此时最多有4个解；
当如第3个图所示时，，
此时有一个解，最多有3个解，最多有3个解，
故此时最多有7个解
已知，若只有5个不同的实根，则实数a的取值范围是 .
【答案】
【分析】令，本题转化为中x的解的个数为5，作出函数图象，根据嵌套函数的性质一一分析即可.
【详解】令，本题转化为中x的解的个数为5.
，当时，令，解得或，
，当时，令，解得，
则作出的图象,如下图所示，

当时，有两个根，，，则有1个实数根，
当时，有3个根，时有两个根，故共有3个或4个根，故舍去；
当时，此时有3个根，，，，
有1个根，有1个根，
时，有1个根，不合题意；
时，有2个根，不合题意；
时，有3个根，
此时满足题意共5个根的情况，而，则；
当时，有两个根，，，
有1个根，有1个根，共有两个根，不合题意舍去；
当时，有1个根，，此时共1个根，舍去.
综上所述：实数a的取值范围是.
【巩固练习1】已知函数则方程的所有根之积为 ．
【答案】
【分析】解方程，可得出该方程的根，再将所有根全部相乘，即可得解.
【详解】令，由可得，
当时，由，即，则，即方程无解；
当时，由，可得或.
（1）当时，当时，由可得，
解得，，当时，由可得，；
（2）当时，当时，由可得，
，方程无解，
当时，由可得，，
因此，方程的所有根之积为.
【巩固练习2】已知函数为上的奇函数，当时，，若函数满足，且有8个不同的解，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】先利用函数的奇偶性与题设条件得到与的解析式，设，作出函数的图象，数形结合，分类讨论函数、与三种情况，得到对应情况下的解的个数，从而得解.
【详解】因为函数为上的奇函数，当时，
令，则，则，
又
所以，则，
设，作出函数的图象，
对于A，当时，函数没有实数根，不满足题意；
对于B，当时，函数有四个根，
其中，，，；
作出与、、与的图象，如图，
显然几个函数恰有8个交点，则有8个不同的解，故B正确；
对于CD，当时，函数有两个根，其中，，
与选项B同理可知与、各有一个交点，
则只有2个不同的解，不满足题意，故CD错误.
【巩固练习3】已知函数，则函数的零点为 .
【答案】
【分析】由题意可将方程转化成，再利用函数单调性即可求得其零点.
【详解】易知将化简可得：
；
令函数，显然的定义域为，且满足，
因此即可得函数为奇函数，且为单调递增，若，解得；
令，可得，解得；即可得函数的零点为.
【巩固练习4】若和都是R上的函数，且有实数解，则可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】这是一个抽象函数与方程的问题，如何化抽象为具体，则需要根据题意转换变量，即可得到方程至少有一解，从而检验四种可能，通过是否有解来作出判断.
【详解】设有实数解，则，
因为和都是R上的函数，
所以有，再令，
则有，从而可知至少有一个解是，
对于A，由，此方程有解，故A正确；
对于B，由，此方程无解，故B错误；
对于C，由，此方程有解，故C正确；
对于D，由，此方程有解，故D正确
【题型11】关于f(x)的方程 ( )2+ ( )+ =0解的个数问题
先换元再因式分解，最后数形结合
已知则函数的零点个数是______．
【答案】7
【解析】函数的零点即为方程的根，解方程得或．
作出函数的图像，如图所示．
由图像知直线与的图像有4个交点，直线与的图像有3个交点．
因此函数的零点有7个．
故答案为：7
（24-25高一上·浙江·期中）已知，若函数有5个不同的零点，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】令，画出的图象，要使函数有5个不同的零点，即函数有两个零点即，或，，再结合二次函数根的分布即可求解.
【详解】令，画出的图象，如下图，
要使函数有5个不同的零点，
即函数有两个零点，或，，
当，时，即，所以有两根和，符合题意；
当，时，又因为，所以，解得.
综上所述：的取值范围为.

已知函数有3个不同的零点则实数的取值范围是 ；若，则 .
【答案】 /
【分析】令，得到或，结合的图象求解计算即可.
【详解】令，
解得或.
作出的图象如图.
要使有3个不同的零点，则的图象与直线和一共有3个交点，
由图可知当即时，的图象与直线有1个交点，与直线有2个交点，符合条件.易得，所以，即，
不妨设，由，得，由，得，所以.
故答案为：
【巩固练习1】已知，则函数的零点个数是 .
【答案】6
【分析】先由函数的零点转化为方程和2的根，再利用数形结合求出零点个数即可；
【详解】令，即，
解得或2，
画出图象，如下：
由图可知，实线和虚线共有6个交点，所以函数的零点个数是6.
【巩固练习2】已知函数，关于x的方程恰有3个不同的实数解，则实数m的取值范围是 .
【答案】或
【分析】作出的图象，由，得，所以或，所以与和的图象共3个公共点，结合图象分析求解即可.
【详解】作出的图象：

因为，故，
解得：或，
由题意，与和的图象共3个公共点，由图象可得或，
故或，
所以的取值范围为或.
故答案为：或.
【巩固练习3】设函数，若关于的方程恰有三个不相等的实根，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【分析】先画出函数的图象，再结合题意，令，可得关于的方程有两个不相等的实数根，一个根在上，一个根为0或一个根在上，一个根为1或一个根在上，一个根在上，分类求解即可.
【详解】如图，画出函数的图象：

关于的方程恰有三个不相等的实根，
令，则关于的方程有两个不相等的实数根，
一个根在上，一个根为0或一个根在上，一个根为1或一个根在上，一个根在上.
当一个根在上，一个根为0时，
则，即，此时方程为，解得或，符合题意；
当一个根在上，一个根为1时，
则，即，此时方程为，解得，不符合题意；
当一个根在上，一个根在上时，
设，则，解得.
综上所述，实数的取值范围是.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题关键在于画出函数的图象，令，转化问题为关于的方程有两个不相等的实数根，进而分类求解即可.
【巩固练习4】设，若关于x的方程有三个不同的实数根，则实数t的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】作出函数的图象，由题意可得或，的图象与直线共有三个不同的交点，从而可求出实数t的取值范围.
【详解】由得或，作出函数的图象，
易知当时，不符合题意；
当时，，结合函数的图象知，要使方程有三个不同的解，需满足方程有两个解，方程有且只有一个解，
由图象知，所以．
故选：C．
【巩固练习5】已知函数，若关于的方程有5个不同的实数根，则的取值范围为
【答案】
【分析】由方程可得或，将方程有5个不等的实数根等价于与的图象与直线和共有五个交点，再作出的图象，数形结合求出的范围.
【详解】当时，在上单调递增，函数值集合为，
在上单调递减，函数值集合为，
当时，在上单调递增，函数值集合为，
函数的图象如下：

方程化为，解得或，
方程有5个不等的实数根，
等价于与的图象与直线和共有五个交点，而，
因此或，解得或，
所以的取值范围为.
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专题4-3 函数与方程零点问题综合
TOC \o "1-3" \n \h \z \u
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图像的变换
（1）平移变换
①函数的图像是把函数的图像沿轴向左平移个单位得到的；
②函数的图像是把函数的图像沿轴向右平移个单位得到的；
③函数的图像是把函数的图像沿轴向上平移个单位得到的；
④函数的图像是把函数的图像沿轴向下平移个单位得到的；
（2）对称变换
①函数与函数的图像关于轴对称；
函数与函数的图像关于轴对称；
函数与函数的图像关于坐标原点对称；
②若函数的图像关于直线对称，则对定义域内的任意都有
或（实质上是图像上关于直线对称的两点连线的中点横坐标为，即为常数）；
若函数的图像关于点对称，则对定义域内的任意都有
③的图像是将函数的图像保留轴上方的部分不变，将轴下方的部分关于轴对称翻折上来得到的（如图（a）和图（b））所示
④的图像是将函数的图像只保留轴右边的部分不变，并将右边的图像关于轴对称得到函数左边的图像即函数是一个偶函数（如图（c）所示）．
注：的图像先保留原来在轴上方的图像，做出轴下方的图像关于轴对称图形，然后擦去轴下方的图像得到；而的图像是先保留在轴右方的图像，擦去轴左方的图像，然后做出轴右方的图像关于轴的对称图形得到．这两变换又叫翻折变换．
⑤函数与的图像关于对称．
【题型1】零点存在定理
零点存在定理及其推论
1、定理：如果函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，且，
那么，函数在区间内至少有一个零点，
即存在，使得，这个也就是方程的解。
【注意】（1）定义不能确定零点的个数；
（2）不满足定理条件时依然可能有零点；
（3）定理中的“连续不断”是必不可少的条件；
（4）定理反之是不成立的.
2、重要推论：
（1）推论1：函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，，
且具有单调性，则函数在区间内只有一个零点.
（2）推论2：函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，
函数在区间内有零点，且函数具有单调性，则
函数的零点所在区间是（ ）
A． B． C． D．
已知是函数的一个零点，若，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
函数，则“”是“函数在上存在零点”的（ ）
A．充分不必要条件 B．充分必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【巩固练习1】方程的解所在区间为（ ）
A． B． C． D．
【巩固练习2】已知是函数的一个零点，若，则（ ）
A． B．
C． D．
【题型2】二分法
对于在区间上连续不断且的函数，通过不断把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
用二分法求方程近似解时，所取的第一个区间可以是（ ）
A． B． C． D．
用二分法研究函数的零点时，第一次计算，得，，第二次应计算，则等于（ ）
A．1 B． C．0.25 D．0.75
【巩固练习1】已知函数()的一个零点附近的函数值的参考数据如下表:
x 0 0.5 0.53125 0.5625 0.625 0.75 1
f(x) -1.307 -0.084 -0.009 0.066 0.215 0.512 1.099
由二分法,方程的近似解(精确度0.05)可能是（　　）
A．0.625 B．-0.009 C．0.5625 D．0.066
【巩固练习2】已知函数，在区间内存在一个零点，在利用二分法求函数近似解的过程中，第二次求得的区间中点值为 ．
【巩固练习3】一块电路板的线段之间有个串联的焊接点，知道电路不通的原因是焊口脱落造成的，要想用二分法的思想检测出哪处焊口脱落，至少需要检测（　　）
A．次 B．次 C．次 D．次
【题型3】 零点个数问题
零点个数的判断方法
1、直接法：直接求零点，令，如果能求出解，则有几个不同的解就有几个零点.
2、定理法：利用零点存在定理，函数的图象在区间上是连续不断的曲线，且，
结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点.
3、图象法：
（1）单个函数图象：利用图象交点的个数，画出函数的图象，函数的图象与轴交点的个数就是函数的零点个数；
（2）两个函数图象：将函数拆成两个函数和的差，根据，则函数的零点个数就是函数和的图象的交点个数
4、性质法：利用函数性质，若能确定函数的单调性，则其零点个数不难得到；
若所考查的函数是周期函数，则只需解决在一个周期内的零点的个数
函数的零点个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
函数的零点个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【巩固练习1】函数在定义域内的零点个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【巩固练习2】方程的解的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．2或3或4
【巩固练习3】已知函数则函数的零点个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【题型4】比较零点的大小
利用数形结合、等价转化等数学思想,将函数零点问题转化成图象交点，作出函数的图象，再根据图象求结果.
若函数，，的零点分别为，，，则（ ）
A． B． C． D．
设，，均为实数，且，，，则（ ）
A． B．
C． D．
若，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
函数，，的零点分别为，，，则，，，的大小顺序为（ ）
A． B． C． D．
设方程的两根为，，则（ ）
A．， B．
C． D．
【巩固练习1】已知，则（ ）
A． B．
C． D．
【巩固练习2】三个函数，，的零点分别为，则之间的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【巩固练习3】已知函数的零点分别是，则的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【巩固练习4】 已知函数的零点分别为，则的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【题型5】由零点个数求参数范围
已知函数零点个数(方程根的个数)求参数值(取值范围)常用的方法：
（1）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围.
设函数，若函数恰有3个零点，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
已知函数．若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是
A．[–1，0） B．[0，+∞） C．[–1，+∞） D．[1，+∞）
已知函数若函数有四个不同的零点，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
已知函数有唯一零点，则负实数
A． B． C． D．或
已知函数有唯一零点，则实数（ ）
A．1 B． C．2 D．
已知是定义在上的偶函数，且对，都有，且当时，.若在区间内关于的方程至少有2个不同的实数根，至多有3个不同的实数根，则实数的取值范围是 .
【巩固练习1】已知函数，若方程有四个不同的解，则的取值范围是 ．
【巩固练习2】已知函数若函数有三个零点，则实数的取值范围 .
【巩固练习3】已知关于的函数有唯一零点，则（ ）
A． B．3 C．或3 D．4
【巩固练习4】设，函数 若恰有一个零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【题型6】求零点的和
零点的和一般通过函数图像对称性来求
已知函数，，的零点分别为a，b，c，则 ．
函数的所有零点之和为（ ）
A．0 B．-1 C． D．2
已知函数的定义域为R，且是奇函数，当时，，函数，则方程的所有的根之和为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
已知是函数的零点，是函数的零点，则的值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
设满足，满足，则 .
已知定义在上的偶函数满足，当时，.设，则与图象的所有交点的横坐标之和为 .
【巩固练习1】设函数的零点为，函数的零点为，则 .
【巩固练习2】设函数关于x的方程有三个不等实根，且，则的取值范围是 .
【巩固练习3】已知函数，方程有三个解，则（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【巩固练习4】若，分别是方程，的根，则（ ）
A． B．2023 C． D．4046
【题型7】由二次函数零点分布求参数范围
一元二次方程根的分布问题，原理简单，难点在于要有清晰的分类讨论和数形结合的思想.一般考虑以下几方面：
开口（若不能判定，则需分类讨论，特别要注意二次项系数有可能等于零的情况 ）.
判定给定点处函数值的正负.（开口向上的二次函数若存在函数值小于零，则△＞0 恒成立）
判定△符号.
判定对称轴的位置.
总之，耐心去分类讨论（分类讨论不容易失误，一步到位往往会漏解或多解），借助图象去分析就可以得到结论，无需记忆.
（1）二元二次方程在上根的分布情况
①方程有两个不等的实数根;
②方程有两个相等的实数根;
③方程没有实数根
（2）一元二次方程的根的“0”分布
①方程有两个不等正根；
②方程有两个不等负根
③方程有一正根和一负根,设两根为
（3）一元二次方程的根的“”分布
①两根都小于；
②两根都大于
③一根小于，一根大于
（4）一元二次方程根在区间的分布
①两根都在内
②两根都在外
③两根仅有一根在内
④一根在内,另一根在内
如果函数的两零点分别落在区间和上，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
方程的两个根均大于1，则实数m的取值范围是 ．
若函数在内恰有一个零点，则实数的取值范围是 ．
【巩固练习1】已知函数有一个零点在区间内，求实数的取值范围是（ ）
A． B．或
C．或 D．或
【巩固练习2】若二次函数在区间上存在一个零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．或
【巩固练习3】已知函数至少有一个零点在区间内，求实数m的取值范围是（ ）
A． B．或
C． D．或
【题型8】等值线问题
数形结合思想
已知函数有两个零点分别为和，则的取值范围是 ．
已知若，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
(多选)已知函数，若存在，使得，则的取值可以是（ ）
A． B．3 C． D．
已知，若，且，则的取值范围是 .
【巩固练习1】已知函数．若，则的零点为 ；若函数有两个零点，，则的最小值为 ．
【巩固练习2】已知函数，若方程有四个不同的解，则的取值范围是 ．
【巩固练习3】已知函数，若方程有四个不同的解，，，，且，则的取值范围是 ．
【巩固练习4】已知函数，若，，满足，记，则的取值范围为 ．
【巩固练习5】已知，若互不相等且，且，则的范围是 ．
【题型9】函数零点和指数式与对数式的互化
函数零点题型常涉及求解方程根、判断函数图像与x轴交点等。指数式与对数式互化题型则注重转换技巧，如给定指数式求对数式表达，或利用对数定义解指数方程。两类题型均考验数学基础与逻辑转换能力。
已知函数（其中为自然对数的底数）.设分别为的零点，则 .
已知是函数的零点，则 .
已知是函数的零点，则 .
【巩固练习1】已知分别是函数与的零点，若，则的取值范围为 .
【巩固练习2】设是函数的零点，则 ．
【巩固练习3】已知是函数的零点，则（ ）
A． B． C． D．
【巩固练习4】已知的零点为，若，则整数的最大值是 .
【题型10】嵌套函数零点问题
数形结合与换元法
对于嵌套型复合函数的零点个数问题，求解思路如下：
（1）确定内层函数和外层函数；
（2）确定外层函数的零点；
（3）确定直线与内层函数图象的交点个数分别为，则函数的零点个数为.
注意：抓住两点：(1)转化换元；(2)充分利用函数的图象与性质．
（23-24高一上·陕西西安·阶段练习）定义域和值域均为（常数）的函数和图象如图所示，则方程有 个解．
已知函数若关于的方程有且仅有两个实数根，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
已知函数，则至多有______个实数解.
已知，若只有5个不同的实根，则实数a的取值范围是 .
【巩固练习1】已知函数则方程的所有根之积为 ．
【巩固练习2】已知函数为上的奇函数，当时，，若函数满足，且有8个不同的解，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【巩固练习3】已知函数，则函数的零点为 .
【巩固练习4】若和都是R上的函数，且有实数解，则可能是（ ）
A． B． C． D．
【题型11】关于f(x)的方程 ( )2+ ( )+ =0解的个数问题
先换元再因式分解，最后数形结合
已知则函数的零点个数是______．
已知，若函数有5个不同的零点，则实数的取值范围是 .
已知函数有3个不同的零点则实数的取值范围是 ；若，则 .
【巩固练习1】已知，则函数的零点个数是 .
【巩固练习2】已知函数，关于x的方程恰有3个不同的实数解，则实数m的取值范围是 .
【巩固练习3】设函数，若关于 的方程恰有三个不相等的实根，则实数的取值范围是 ．
【巩固练习4】设，若关于x的方程有三个不同的实数根，则实数t的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【巩固练习5】已知函数，若关于的方程有5个不同的实数根，则的取值范围为
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