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人教版八年级下同步分层训练24.2 数据的离散程度
一、夯实基础
1．体育中考前甲、乙、丙、丁四名学生各进行20次跳绳模拟测试，他们的平均成绩相同，方差分别是这四名学生成绩最稳定的是（　　）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】D
【知识点】方差
【解析】【解答】解：因为0.8＜1.2＜1.3＜2.0，
所以丁同学的方差最小，
所以四名学生成绩最稳定的是 ：丁。
故答案为：D。
【分析】通过比较四位同学方差的大小，即可得出答案。
2． 已知甲、乙、丙、丁四位射击运动员10次射击平均成绩相同，其方差如右表.如果选择一名射击成绩最稳定的运动员参加比赛，应选择（　　）
运动员 甲 乙 丙 丁
方差 2.1 5.2 4.3 1.1
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】D
【知识点】分析数据的波动程度
【解析】【解答】解：∵，
∴丁的方差最小，即丁的射击成绩最稳定．
故答案为：D.
【分析】比较四名运动员的方差，根据方差越小，数据波动越小，射击成绩越稳定解答即可．
3．在对一组样本数据进行分析时，小明列出了方差的计算公式：，由公式提供的信息，判断下列关于样本的说法错误的是（　　）
A．平均数是8 B．众数是6 C．中位数是9 D．方差是3.6
【答案】C
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；众数
4．校运动队统计男、女各5名队员的一周训练达标次数，数据整理如下，分析两组队员的达标情况，说法正确的是 (　　)
A．男生训练达标次数的平均数高于女生
B．男、女生训练达标次数的离差平方和相等
C．男、女生训练达标次数的中位数均为4
D．男、女生训练达标次数平均数相同，女生达标情况更稳定
【答案】D
【知识点】中位数；方差；离差平方和
【解析】【解答】解：男生的平均数：，
女生平均数：，
∴男、女生训练达标次数的平均数相等，
故A错误；
男生的离差平方利：(4-5)2+(5-5)2+(2-5)2+(8-5)2+(6-5)2=1+0+9+9+1=20；
女生的离差平方利：(5-5)2+(3-5)2+(7-5)2+(6-5)2+(4-5)2=0+4+4+1+1=10；
∴男、女生训练达标次数的离差平方和不相等，
故B错误；
把男生训练达标次数从小到大排列：2，4，5，6，8，
∴中位数为5；
把女生训练达标次数从小到大排列：3，4，5，6，7，
∴中位数为5；
∴男、女生训练达标次数的中位数均为5，
故C错误；
男生训练达标次数的方差：
女生训练达标次数的方差：
∵2<4，
∴男、女生训练达标次数平均数相同，女生达标情况更稳定，
故D正确；
故选：D.
【分析】根据中位数，平均数，方差的计算公式逐项计算即可.
5．如果一组数据3，a，4，6，7的平均数是5，那么这组数据的离差平方和是（　　）
A．10 B． C．2 D．
【答案】A
【知识点】平均数及其计算；离差平方和
【解析】【解答】解：∵一组数据3，a，4，6，7的平均数是5，
∴，解得a=5，
∴离差平方和为(3-5)2+(5-5)2+(4-5)2+(6-5)2+(7-5)2=10.
故答案为：A.
【分析】先根据平均数求出未知数a的值，再计算各数据与平均数的离差平方和.
6．某班甲、乙、丙名同学参加实心球测试，每人投掷实心球次成绩的平均数单位：米及方差如下表：
项目 甲 乙 丙
根据表中信息，选择名成绩好且发挥稳定的同学参加运动会掷实心球比赛，应选择参赛的同学是　 　．
【答案】丙
【知识点】分析数据的波动程度；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【解答】解：由表格数据可得：，，，
因此乙和丙的平均成绩优于甲
又，方差越小，数据波动越小，发挥越稳定，
因此丙的发挥比乙更稳定
综上，丙的成绩好且发挥稳定．
故答案为：丙.
【分析】先比较平均数，平均数越大成绩越好；然后比较方差，根据方差越小，成绩越稳定；据此解答即可．
7．把5个数据分成和两组，则这种分组情况的组内离差平方和为　 　．
【答案】4
【知识点】离差平方和
【解析】【解答】解：-1，1的平均数为0，则{-1，1}的离差平方和为(-1-0)2+(1-0)2=2；
3，4，5的平均数为4，则{3，4，5}的离差平方和为(3-4)2+(4-4)2+(5-4)2=2
所以这种分组情况的组内离差平方和为2+2=4
故答案为：4.
【分析】先分别求出两组的平均数，再计算两组的离差平方和，然后把两组的离差平方和相加.
8． 跳远运动员李阳对训练效果进行了5次测试，成绩如下：7.9，7.6，7.8，7.7，8.0（单位：m），这五次成绩的平均数为7.8m，方差为0.02；如果李阳再跳一次，成绩为7.8m.则李阳这6次跳远成绩的方差　 　（填“变大”、“不变”或“变小”）.
【答案】变小
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：已知 5 次成绩平均数x=7.8，方差=0.02，
数据个数n=5 把数值代入公式变形： 所有差的平方相加 = 方差 × 数据个数，
总和 = 0.02×5=0.1，
第 6 次成绩正好等于平均数 7.8， 这个数与平均数的差：7.8 7.8=0，平方后还是0 新的平方总和 = 原来总和 + 0 = 0.1+0=0.1，
现在一共有 6 个数据， 新方差 = 0.1 ÷ 6 ≈ 0.0167，
原来方差0.02，新方差约0.0167，
0.0167<0.02，
所以方差变小，
故答案为：变小 .
【分析】由方差计算公式，先求出 5 组数据的偏差平方总和；新增成绩等于平均数，不会增加平方和，但数据总数变多，分母变大，算出的方差数值更小。由方差公式反向求出所有数据与平均数差值的平方总和；新增数据等于平均数，差值为 0，不会增加平方总和；分子不变，分母变大，最终方差变小.
9．丁荷、丁信中学举办国学知识竞赛，设定满分10分，学生得分均为整数.在初赛中，小荷、小信两组（每组10人）学生成绩如下（单位：分）
小荷组：5，6，6，6，6，6，7，9，9，10.
小信组：5，6，6，6，7，7，7，7，9，10.
组别 平均数 中位数 众数 方差
小荷组 7 a 6 2.6
小信组 b 7 c S2信
（1）以上成绩统计分析表中a=　 　，b=　 　，c=　 　；
（2）小明同学说：“这次竞赛我得了7分，在我们小组中属中游略偏上！”观察上面表格判断，小明可能是　 　组的学生；
（3）从平均数和方差看，若从小荷、小信两组学生中选择一个成绩较为稳定的小组参加决赛，应选哪个组 并说明理由.
【答案】（1）6；7；7
（2）小荷
（3）解：，
两组平均数都是7，平均数相同；方差越小成绩越稳定，因为（小信方差更小），小信组成绩更稳定，
因此应选小信组参加决赛．
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；分析数据的波动程度；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【解答】解：（1）10个数据从小到大排列后，中位数是第5、第6个数的平均数，小荷组第5、6个数都是6，
∴．
小信组总分为，
∴．
小信组中出现次数最多（共4次），
∴众数．
故答案为：6；7；7；
（2）小荷组中位数为，，符合“中游略偏上”，
小信组中位数为，等于中位数，仅为中游，不符合描述，
∴小明是小荷组的学生．
故答案为：小荷；
【分析】（1）根据中位数、众数的定义，平均数的计算公式解答即可．
（2）根据题意得到成绩大于小组的中位数，所以比较7分与两组中位数的大小关系，判断解答即可．
（3）先计算小信组的房产，然后根据方差越小数据越稳定，解答即可．
二、能力提升
10．一位射击运动员在一次训练效果测试中射击了10次，成绩如图所示，对于这10次射击的成绩有如下结论，其中不正确的是（　　）
A．众数是8 B．中位数是8 C．平均数是8 D．方差是1
【答案】D
【知识点】折线统计图；中位数；方差；众数
【解析】【解答】解：由题意得：这10次成绩的环数为：6，7，7，8，8，8，8，9，9，10（已按照从小到大的顺序排列）；
所以这10个数据的众数是8环，中位数是8环，平均数=环，
方差=环2．
所以在以上4个选项中，D选项是错误的．
故答案为：D．
【分析】众数是指一组数据中出现次数最多的数；中位数是指一组数据按序排列后，①偶数个数据时，中间两个数的平均数就是这组数据的中位数；②奇数个数据时，中间的数就是这组数据的中位数；平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数；方差是指每个样本值与全体样本值的平均数之差的平方值的平均数，根据定义并结合条形图的信息计算即可判断求解.
11．若样本，，…，的平均数为，方差为，则对于样本，，…，，下列结论正确的是（　　）
A．平均数为，方差为 B．平均数为，方差为
C．平均数为，方差为 D．平均数为，方差为
【答案】B
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：∵样本，，…，的平均数为，方差为，
∴样本，，…，的平均数为10+2=12，方差为6，
故答案为：B.
【分析】利用平均数和方差的定义及计算方法分析求解即可.
12．近年来，绿色、健康、可持续的农业发展稳中有进，科技赋能增强，呈现良好的发展势头，某地果农公司为了解几种新推广的葡萄树的产量情况，随机从甲、乙、丙、丁四个品种的葡萄树中各采摘了10棵，每棵产量的平均数x方差s2（单位：千克）如表：
甲 乙 丙 丁
z 25 25 24 22
s2 2.1 a 2 1.9
已知乙品种产量最稳定，且乙的10棵果树的产量不都一样，则a的值可能是（　　）
A．0 B．2 C．2.2 D．1.6
【答案】D
【知识点】方差；分析数据的波动程度
【解析】【解答】解：∵乙的10棵果树产量不都一样，
∴a＞0；
∵乙品种产量最稳定，
∴方差a最小；
其他品种方差：甲为2.1，丙为2，丁为1.9，最小方差为1.9；
∴a＜1.9
∴a的值可能是1.6．
故答案为：D
【分析】根据乙品种产量最稳定即方差最小，且产量不都一样即方差不为零；比较各品种方差，乙的方差a需小于其他品种的最小方差1.9且大于0，即可．
13．已知一组数据的离差平方和为 62.9，将数据分成{1.2， 3.5， 6.1}、{9.8，10.4}两组，这两组数据的组间离差平方和为 50.7，则这两组数据的组内离差平方和为　 　．
【答案】12.2
【知识点】离差平方和
【解析】【解答】解：根据题意可知：62.9-50.7=12.2，
∴这两组数据的组内离差平方和为12.2，
故答案为： 12.2.
【分析】根据离差平方和、组间离差平方和、组内离差平方和的关系得出结论.
14．月季作为我市的市花，被广泛种植，形成独特的月季文化景观．某校为了美化校园，用月季花树做景观造型，先后种植了两批各12棵，测量并获取了所有花树的高度（单位：），数据整理如下：
a．两批月季花树高度的频数：
121 125 126 130 134 138 139
第一批 1 3 1 0 4 3 0
第二批 0 1 3 2 5 0 1
b．两批月季花树高度的平均数、中位数、众数：
平均数 中位数 众数
第一批 131 134
第二批 131 m 134
（1）写出表中，的值；
（2）在这两批花树中，高度的整齐度更好的是　 　（填“第一批”或“第二批”）；
（3）根据造型的需要，这两批花树各选用10棵，且使它们高度的平均数尽可能接近．若第二批去掉了高度为和的两棵花树，则第一批去掉的两棵花树的高度分别是多少？
【答案】（1）解：∵为第二批月季花高度的中位数，第二批有12个数据，
∴中位数是数据按大小顺序排列是第6、7个数据的平均数，
从表格中可得：第6个数据为130，第7个数据为134，
∴，
∵为第一批月季花高度的众数，即频数最多的数据，
∴．
（2）第二批
（3）解：由表格可知，两批花原本的平均数是相等的，
∴在各去掉两棵花后，还要平均数尽可能接近，就是要去掉的花的高度和尽可能接近，
∵，
在第一批花树中，仅有
第一批去掉的两棵花树的高度为和．
【知识点】频数与频率；频数（率）分布表；方差；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【解答】解：（2）第一批的方差：
≈34.7
第二批的方差是：x[（125-131)2+3x(126- 131)2+2 x (130 - 131)2+5 x(134- 131)2+(139-131)2]≈18.5，
18.5<34.7，
则在这两批花树中，高度的整齐度更好的是第二批；
故答案为：第二批；
【分析】（1）根据中位数的定义，结合表中数据，即可得出答案；
（2）通过计算并比较凉皮花树的方差，即可得出答案；
（3）根据平均数不变，选取两个高度和与264cm接近的数据即可。
15．在2025年全国科技活动周期间，某校科技小组对甲、乙两个水产养殖基地水体的pH值进行了检测，并对一天（24小时）内每小时的pH值进行了整理、描述及分析.
【收集数据】
甲基地水体的pH值数据：
7.27，7.28，7.34，7.35，7.36，7.51，7.53，7.67，7.67，7.67，7.67，7.67，7.81，7.81，7.88，7.91，8.01，8.02，8.03，8.07，8.16，8.17，8.23，8.26，8.26.
乙基地水体的pH值数据：
7.11，7.12，7.14，7.25，7.36，7.52，7.63，7.67，7.69，7.75，7.77，7.77，7.81，7.84，7.89，8.01，8.12，8.13，8.14，8.16，8.17，8.18，8.20，8.21.
【整理数据】
7.00≤x<7.30 7.30≤x<7.60 7.60≤x<7.90 7.90≤x<8.20 8.20≤x≤8.50
甲 2 5 7 7 3
乙 4 2 9 a 2
【描述数据】
【分析数据】
平均数 众数 中位数 方差
甲 7.79 b 7.81 0.10
乙 7.78 7.77 c 0.13
根据以上信息解决下列问题：
（1）补全频数分布直方图；
（2）填空：b=　 　，c=　 　；
（3）请判断甲、乙哪个基地水体的pH值更稳定，并说明理由；
（4）已知两基地对水体pH值的日变化量（pH值最大值与最小值的差）要求为0.5~1，分别判断并说明该日两基地的pH值是否符合要求.
【答案】（1）由题意得：a=24-4-2-9-2=7，
补全频数分布直方图如下：
（2）7.67；7.79
（3）甲基地水体的pH值更稳定，理由：
因为甲基地水体的pH值的方差比乙基地水体的pH值的方差小，所以甲基地水体的pH值更稳定
（4）甲基地水体的pH值的极差为：8.26-7.27=0.99<1，
乙基地水体的pH值的极差为：8.21-7.11=1.1>1，
所以甲基地的pH值符合要求，乙基地的pH值不符合要求.
【知识点】频数（率）分布表；频数（率）分布直方图；中位数；分析数据的波动程度；众数
【解析】【解答】解：（2）甲基地水体的值数据中，7.67出现了4次，出现次数最多，
则；
乙基地水体的值数据中，由小到大排列中间两个数为7.77和7.81：
则；
故答案为：；；
【分析】（1）先根据乙组数据的个数减去其它组数据求得a的值，补全频数分布直方图即可；
（2）根据中位数、众数的定义解答；
（3）比较两组数据的方差的，解答即可；
（4）计算两组数据值最大值与最小值的差解答即可．
16． 为培育玉米新品种，研究人员对某生长期试验田和对照田中的玉米株高进行抽样调查并作比较研究，分别随机选取40株玉米测量其株高，整理数据如下．
【数据收集】
试验田玉米株高（cm） 对照田玉米株高（cm）
56，43，51，52，45，55，46，55，46，51，54，54，48，55，48，49，51，50，48，49，49，51，46，51，43，51，52，47，54，49，55，46，48，45，53，47，43，54，43，56． 41，52，40，48，60，40，44，54，44，45，46，55，48，40，48，54，50，50，52，52，52，60，52，52，40，54，48，40，54，54，55，46，56，40，60，60，56，57，52，60．
【数据整理】
把数据分为5组，制成如下频数分布表．（用表示株高，）
A B C D E
试验田玉米株频数 4 8 15 11 2
对照田玉米株频数 7 5 6 14 8
（1）你赞同下面小亮的观点吗？请说明你的理由．
（2）【数据描述】
根据频数分布表分别制作试验田频数直方图和对照田扇形统计图．
补全试验田频数直方图并计算对照田D组所占圆心角的度数；
（3）已知此生长期的玉米株高满足为长势良好．比较以上两个统计图，写出图中蕴含的信息．（一条即可）
（4）【数据分析】
对收集的数据进行分析，得出的统计量如下表：
统计量 中位数 众数 平均数 方差
试验田 49.5 51 49.73 15.10
对照田 52 52 50.28 40.05
根据（3）中“长势良好”的标准及以上信息，评估此生长期试验田的玉米生长情况．
【答案】（1）解：不赞同.
理由：样本中数据的个数是40，数据的最大值与最小值之差是20．
若组数为5，则组距为4，是合适的．
若分成10组，则组距为2，不仅繁琐，且会使某些组的频数为0，容易将性质相近的数据分散到其它组，不能正确显示数据分布的特征和规律.
（2）解：
D组对应的圆心角为
（3）解：试验田中长势良好的玉米株数为，占比65%；
对照田中长势良好的玉米株数占比为；
所以，试验田中长势良好的玉米株数占比高于对照田
（4）解：从中位数、众数、平均数来看，试验田略低于对照田，且均在长势良好范围内；
而从方差看，试验田明显低于对照田，说明试验田玉米株高数据波动小，相对集中．
综合以上信息，试验田长势好于对照田.
【知识点】扇形统计图；条形统计图；方差；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【分析】（1）根据题意进行分析即可求出答案.
（2）根据题意补全图形即可，再根据360°乘以D组占比即可求出答案.
（3）根据试验田与对照田长势良好的玉米株数的占比，比较大小即可求出答案.
（4）根据各统计量的意义进行分析即可求出答案.
三、拓展创新
17．某老师绘制了一次数学小测验中甲、乙、丙三个班级学生得分的箱线图（如图），根据该图能判断分数方差最小、数据最集中的班级是（　　）
A．甲 B．乙 C．丙 D．无法判断
【答案】A
【知识点】方差；箱线图
【解析】【解答】解：由甲、乙、丙三个班级学生得分的箱线图可知，甲的数据最集中，波动最小，即甲的方差最小．
故答案为：A
【分析】根据箱线图与方差的意义解答即可．
18．【问题情境】数学活动课上，老师带领同学们开展“利用树叶的特征对树木进行分类”的实践活动．
【实践发现】同学们随机收集芒果树、荔枝树的树叶各10片，通过测量得到这些树叶的长（单位：），宽（单位：）的数据后，分别计算长宽比，整理数据如下：
实验序号
芒果树叶的长宽比
荔枝树叶的长宽比
【实践探究】分析数据如下：
平均数 中位数 众数 方差
芒果树叶的长宽比
荔枝树叶的长宽比
【问题解决】
（1）_________，_________，_________；
（2）同学说：“从树叶的长宽比的方差来看，我认为芒果树叶的形状差别大．”同学说：“从树叶的长宽比的平均数、中位数和众数来看，我发现荔枝树叶的长约为宽的两倍．”以上两位同学的说法中，合理的是_________同学；
（3）现有一片长，宽的树叶，请判断这片树叶更可能来自于芒果、荔枝中的哪种树？并给出你的理由．
【答案】（1），，
（2）B
（3）解：这片树叶更可能来自荔枝，理由如下：
∵一片长，宽的树叶，长宽比接近，
∴这片树叶更可能来自荔枝．
【知识点】平均数及其计算；中位数；分析数据的波动程度；众数
【解析】【解答】解：（1）由题意得，，
把10片芒果树叶的长宽比从小到大排列，排在中间的两个数分别为、，
故；
10片荔枝树叶的长宽比中出现次数最多的是2.0，故；
故答案为：；；；
（2）∵，
∴芒果树叶的形状差别小，故A同学说法不合理；
∵荔枝树叶的长宽比的平均数，中位数是，众数是，
∴B同学说法合理．
故答案为：B；
【分析】（1）根据平均数是指一组数据之和，除以这组数的个数，列式计算可求出a的值；在一组数据中，出现次数最多的数据叫做众数，(众数可能有多个)，据此可求出c的值；将一组数据按从小到大（或者从大到小）的顺序排列后，如果数据的个数是奇数个时，则处在最中间的那个数据叫做这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数个时，则处在最中间的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数据此可求出b的值；
（2）方差是反映一组数据的波动大小的一个量，方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好，从而比较题干给出的两种树叶长宽比的方差即可判断得出结论；
（3）求出所给树叶的长宽比，然后与题干给出的两种树叶的长宽比比较即可判断得出答案.
1 / 1人教版八年级下同步分层训练24.2 数据的离散程度
一、夯实基础
1．体育中考前甲、乙、丙、丁四名学生各进行20次跳绳模拟测试，他们的平均成绩相同，方差分别是这四名学生成绩最稳定的是（　　）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
2． 已知甲、乙、丙、丁四位射击运动员10次射击平均成绩相同，其方差如右表.如果选择一名射击成绩最稳定的运动员参加比赛，应选择（　　）
运动员 甲 乙 丙 丁
方差 2.1 5.2 4.3 1.1
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
3．在对一组样本数据进行分析时，小明列出了方差的计算公式：，由公式提供的信息，判断下列关于样本的说法错误的是（　　）
A．平均数是8 B．众数是6 C．中位数是9 D．方差是3.6
4．校运动队统计男、女各5名队员的一周训练达标次数，数据整理如下，分析两组队员的达标情况，说法正确的是 (　　)
A．男生训练达标次数的平均数高于女生
B．男、女生训练达标次数的离差平方和相等
C．男、女生训练达标次数的中位数均为4
D．男、女生训练达标次数平均数相同，女生达标情况更稳定
5．如果一组数据3，a，4，6，7的平均数是5，那么这组数据的离差平方和是（　　）
A．10 B． C．2 D．
6．某班甲、乙、丙名同学参加实心球测试，每人投掷实心球次成绩的平均数单位：米及方差如下表：
项目 甲 乙 丙
根据表中信息，选择名成绩好且发挥稳定的同学参加运动会掷实心球比赛，应选择参赛的同学是　 　．
7．把5个数据分成和两组，则这种分组情况的组内离差平方和为　 　．
8． 跳远运动员李阳对训练效果进行了5次测试，成绩如下：7.9，7.6，7.8，7.7，8.0（单位：m），这五次成绩的平均数为7.8m，方差为0.02；如果李阳再跳一次，成绩为7.8m.则李阳这6次跳远成绩的方差　 　（填“变大”、“不变”或“变小”）.
9．丁荷、丁信中学举办国学知识竞赛，设定满分10分，学生得分均为整数.在初赛中，小荷、小信两组（每组10人）学生成绩如下（单位：分）
小荷组：5，6，6，6，6，6，7，9，9，10.
小信组：5，6，6，6，7，7，7，7，9，10.
组别 平均数 中位数 众数 方差
小荷组 7 a 6 2.6
小信组 b 7 c S2信
（1）以上成绩统计分析表中a=　 　，b=　 　，c=　 　；
（2）小明同学说：“这次竞赛我得了7分，在我们小组中属中游略偏上！”观察上面表格判断，小明可能是　 　组的学生；
（3）从平均数和方差看，若从小荷、小信两组学生中选择一个成绩较为稳定的小组参加决赛，应选哪个组 并说明理由.
二、能力提升
10．一位射击运动员在一次训练效果测试中射击了10次，成绩如图所示，对于这10次射击的成绩有如下结论，其中不正确的是（　　）
A．众数是8 B．中位数是8 C．平均数是8 D．方差是1
11．若样本，，…，的平均数为，方差为，则对于样本，，…，，下列结论正确的是（　　）
A．平均数为，方差为 B．平均数为，方差为
C．平均数为，方差为 D．平均数为，方差为
12．近年来，绿色、健康、可持续的农业发展稳中有进，科技赋能增强，呈现良好的发展势头，某地果农公司为了解几种新推广的葡萄树的产量情况，随机从甲、乙、丙、丁四个品种的葡萄树中各采摘了10棵，每棵产量的平均数x方差s2（单位：千克）如表：
甲 乙 丙 丁
z 25 25 24 22
s2 2.1 a 2 1.9
已知乙品种产量最稳定，且乙的10棵果树的产量不都一样，则a的值可能是（　　）
A．0 B．2 C．2.2 D．1.6
13．已知一组数据的离差平方和为 62.9，将数据分成{1.2， 3.5， 6.1}、{9.8，10.4}两组，这两组数据的组间离差平方和为 50.7，则这两组数据的组内离差平方和为　 　．
14．月季作为我市的市花，被广泛种植，形成独特的月季文化景观．某校为了美化校园，用月季花树做景观造型，先后种植了两批各12棵，测量并获取了所有花树的高度（单位：），数据整理如下：
a．两批月季花树高度的频数：
121 125 126 130 134 138 139
第一批 1 3 1 0 4 3 0
第二批 0 1 3 2 5 0 1
b．两批月季花树高度的平均数、中位数、众数：
平均数 中位数 众数
第一批 131 134
第二批 131 m 134
（1）写出表中，的值；
（2）在这两批花树中，高度的整齐度更好的是　 　（填“第一批”或“第二批”）；
（3）根据造型的需要，这两批花树各选用10棵，且使它们高度的平均数尽可能接近．若第二批去掉了高度为和的两棵花树，则第一批去掉的两棵花树的高度分别是多少？
15．在2025年全国科技活动周期间，某校科技小组对甲、乙两个水产养殖基地水体的pH值进行了检测，并对一天（24小时）内每小时的pH值进行了整理、描述及分析.
【收集数据】
甲基地水体的pH值数据：
7.27，7.28，7.34，7.35，7.36，7.51，7.53，7.67，7.67，7.67，7.67，7.67，7.81，7.81，7.88，7.91，8.01，8.02，8.03，8.07，8.16，8.17，8.23，8.26，8.26.
乙基地水体的pH值数据：
7.11，7.12，7.14，7.25，7.36，7.52，7.63，7.67，7.69，7.75，7.77，7.77，7.81，7.84，7.89，8.01，8.12，8.13，8.14，8.16，8.17，8.18，8.20，8.21.
【整理数据】
7.00≤x<7.30 7.30≤x<7.60 7.60≤x<7.90 7.90≤x<8.20 8.20≤x≤8.50
甲 2 5 7 7 3
乙 4 2 9 a 2
【描述数据】
【分析数据】
平均数 众数 中位数 方差
甲 7.79 b 7.81 0.10
乙 7.78 7.77 c 0.13
根据以上信息解决下列问题：
（1）补全频数分布直方图；
（2）填空：b=　 　，c=　 　；
（3）请判断甲、乙哪个基地水体的pH值更稳定，并说明理由；
（4）已知两基地对水体pH值的日变化量（pH值最大值与最小值的差）要求为0.5~1，分别判断并说明该日两基地的pH值是否符合要求.
16． 为培育玉米新品种，研究人员对某生长期试验田和对照田中的玉米株高进行抽样调查并作比较研究，分别随机选取40株玉米测量其株高，整理数据如下．
【数据收集】
试验田玉米株高（cm） 对照田玉米株高（cm）
56，43，51，52，45，55，46，55，46，51，54，54，48，55，48，49，51，50，48，49，49，51，46，51，43，51，52，47，54，49，55，46，48，45，53，47，43，54，43，56． 41，52，40，48，60，40，44，54，44，45，46，55，48，40，48，54，50，50，52，52，52，60，52，52，40，54，48，40，54，54，55，46，56，40，60，60，56，57，52，60．
【数据整理】
把数据分为5组，制成如下频数分布表．（用表示株高，）
A B C D E
试验田玉米株频数 4 8 15 11 2
对照田玉米株频数 7 5 6 14 8
（1）你赞同下面小亮的观点吗？请说明你的理由．
（2）【数据描述】
根据频数分布表分别制作试验田频数直方图和对照田扇形统计图．
补全试验田频数直方图并计算对照田D组所占圆心角的度数；
（3）已知此生长期的玉米株高满足为长势良好．比较以上两个统计图，写出图中蕴含的信息．（一条即可）
（4）【数据分析】
对收集的数据进行分析，得出的统计量如下表：
统计量 中位数 众数 平均数 方差
试验田 49.5 51 49.73 15.10
对照田 52 52 50.28 40.05
根据（3）中“长势良好”的标准及以上信息，评估此生长期试验田的玉米生长情况．
三、拓展创新
17．某老师绘制了一次数学小测验中甲、乙、丙三个班级学生得分的箱线图（如图），根据该图能判断分数方差最小、数据最集中的班级是（　　）
A．甲 B．乙 C．丙 D．无法判断
18．【问题情境】数学活动课上，老师带领同学们开展“利用树叶的特征对树木进行分类”的实践活动．
【实践发现】同学们随机收集芒果树、荔枝树的树叶各10片，通过测量得到这些树叶的长（单位：），宽（单位：）的数据后，分别计算长宽比，整理数据如下：
实验序号
芒果树叶的长宽比
荔枝树叶的长宽比
【实践探究】分析数据如下：
平均数 中位数 众数 方差
芒果树叶的长宽比
荔枝树叶的长宽比
【问题解决】
（1）_________，_________，_________；
（2）同学说：“从树叶的长宽比的方差来看，我认为芒果树叶的形状差别大．”同学说：“从树叶的长宽比的平均数、中位数和众数来看，我发现荔枝树叶的长约为宽的两倍．”以上两位同学的说法中，合理的是_________同学；
（3）现有一片长，宽的树叶，请判断这片树叶更可能来自于芒果、荔枝中的哪种树？并给出你的理由．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】方差
【解析】【解答】解：因为0.8＜1.2＜1.3＜2.0，
所以丁同学的方差最小，
所以四名学生成绩最稳定的是 ：丁。
故答案为：D。
【分析】通过比较四位同学方差的大小，即可得出答案。
2．【答案】D
【知识点】分析数据的波动程度
【解析】【解答】解：∵，
∴丁的方差最小，即丁的射击成绩最稳定．
故答案为：D.
【分析】比较四名运动员的方差，根据方差越小，数据波动越小，射击成绩越稳定解答即可．
3．【答案】C
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；众数
4．【答案】D
【知识点】中位数；方差；离差平方和
【解析】【解答】解：男生的平均数：，
女生平均数：，
∴男、女生训练达标次数的平均数相等，
故A错误；
男生的离差平方利：(4-5)2+(5-5)2+(2-5)2+(8-5)2+(6-5)2=1+0+9+9+1=20；
女生的离差平方利：(5-5)2+(3-5)2+(7-5)2+(6-5)2+(4-5)2=0+4+4+1+1=10；
∴男、女生训练达标次数的离差平方和不相等，
故B错误；
把男生训练达标次数从小到大排列：2，4，5，6，8，
∴中位数为5；
把女生训练达标次数从小到大排列：3，4，5，6，7，
∴中位数为5；
∴男、女生训练达标次数的中位数均为5，
故C错误；
男生训练达标次数的方差：
女生训练达标次数的方差：
∵2<4，
∴男、女生训练达标次数平均数相同，女生达标情况更稳定，
故D正确；
故选：D.
【分析】根据中位数，平均数，方差的计算公式逐项计算即可.
5．【答案】A
【知识点】平均数及其计算；离差平方和
【解析】【解答】解：∵一组数据3，a，4，6，7的平均数是5，
∴，解得a=5，
∴离差平方和为(3-5)2+(5-5)2+(4-5)2+(6-5)2+(7-5)2=10.
故答案为：A.
【分析】先根据平均数求出未知数a的值，再计算各数据与平均数的离差平方和.
6．【答案】丙
【知识点】分析数据的波动程度；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【解答】解：由表格数据可得：，，，
因此乙和丙的平均成绩优于甲
又，方差越小，数据波动越小，发挥越稳定，
因此丙的发挥比乙更稳定
综上，丙的成绩好且发挥稳定．
故答案为：丙.
【分析】先比较平均数，平均数越大成绩越好；然后比较方差，根据方差越小，成绩越稳定；据此解答即可．
7．【答案】4
【知识点】离差平方和
【解析】【解答】解：-1，1的平均数为0，则{-1，1}的离差平方和为(-1-0)2+(1-0)2=2；
3，4，5的平均数为4，则{3，4，5}的离差平方和为(3-4)2+(4-4)2+(5-4)2=2
所以这种分组情况的组内离差平方和为2+2=4
故答案为：4.
【分析】先分别求出两组的平均数，再计算两组的离差平方和，然后把两组的离差平方和相加.
8．【答案】变小
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：已知 5 次成绩平均数x=7.8，方差=0.02，
数据个数n=5 把数值代入公式变形： 所有差的平方相加 = 方差 × 数据个数，
总和 = 0.02×5=0.1，
第 6 次成绩正好等于平均数 7.8， 这个数与平均数的差：7.8 7.8=0，平方后还是0 新的平方总和 = 原来总和 + 0 = 0.1+0=0.1，
现在一共有 6 个数据， 新方差 = 0.1 ÷ 6 ≈ 0.0167，
原来方差0.02，新方差约0.0167，
0.0167<0.02，
所以方差变小，
故答案为：变小 .
【分析】由方差计算公式，先求出 5 组数据的偏差平方总和；新增成绩等于平均数，不会增加平方和，但数据总数变多，分母变大，算出的方差数值更小。由方差公式反向求出所有数据与平均数差值的平方总和；新增数据等于平均数，差值为 0，不会增加平方总和；分子不变，分母变大，最终方差变小.
9．【答案】（1）6；7；7
（2）小荷
（3）解：，
两组平均数都是7，平均数相同；方差越小成绩越稳定，因为（小信方差更小），小信组成绩更稳定，
因此应选小信组参加决赛．
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；分析数据的波动程度；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【解答】解：（1）10个数据从小到大排列后，中位数是第5、第6个数的平均数，小荷组第5、6个数都是6，
∴．
小信组总分为，
∴．
小信组中出现次数最多（共4次），
∴众数．
故答案为：6；7；7；
（2）小荷组中位数为，，符合“中游略偏上”，
小信组中位数为，等于中位数，仅为中游，不符合描述，
∴小明是小荷组的学生．
故答案为：小荷；
【分析】（1）根据中位数、众数的定义，平均数的计算公式解答即可．
（2）根据题意得到成绩大于小组的中位数，所以比较7分与两组中位数的大小关系，判断解答即可．
（3）先计算小信组的房产，然后根据方差越小数据越稳定，解答即可．
10．【答案】D
【知识点】折线统计图；中位数；方差；众数
【解析】【解答】解：由题意得：这10次成绩的环数为：6，7，7，8，8，8，8，9，9，10（已按照从小到大的顺序排列）；
所以这10个数据的众数是8环，中位数是8环，平均数=环，
方差=环2．
所以在以上4个选项中，D选项是错误的．
故答案为：D．
【分析】众数是指一组数据中出现次数最多的数；中位数是指一组数据按序排列后，①偶数个数据时，中间两个数的平均数就是这组数据的中位数；②奇数个数据时，中间的数就是这组数据的中位数；平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数；方差是指每个样本值与全体样本值的平均数之差的平方值的平均数，根据定义并结合条形图的信息计算即可判断求解.
11．【答案】B
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：∵样本，，…，的平均数为，方差为，
∴样本，，…，的平均数为10+2=12，方差为6，
故答案为：B.
【分析】利用平均数和方差的定义及计算方法分析求解即可.
12．【答案】D
【知识点】方差；分析数据的波动程度
【解析】【解答】解：∵乙的10棵果树产量不都一样，
∴a＞0；
∵乙品种产量最稳定，
∴方差a最小；
其他品种方差：甲为2.1，丙为2，丁为1.9，最小方差为1.9；
∴a＜1.9
∴a的值可能是1.6．
故答案为：D
【分析】根据乙品种产量最稳定即方差最小，且产量不都一样即方差不为零；比较各品种方差，乙的方差a需小于其他品种的最小方差1.9且大于0，即可．
13．【答案】12.2
【知识点】离差平方和
【解析】【解答】解：根据题意可知：62.9-50.7=12.2，
∴这两组数据的组内离差平方和为12.2，
故答案为： 12.2.
【分析】根据离差平方和、组间离差平方和、组内离差平方和的关系得出结论.
14．【答案】（1）解：∵为第二批月季花高度的中位数，第二批有12个数据，
∴中位数是数据按大小顺序排列是第6、7个数据的平均数，
从表格中可得：第6个数据为130，第7个数据为134，
∴，
∵为第一批月季花高度的众数，即频数最多的数据，
∴．
（2）第二批
（3）解：由表格可知，两批花原本的平均数是相等的，
∴在各去掉两棵花后，还要平均数尽可能接近，就是要去掉的花的高度和尽可能接近，
∵，
在第一批花树中，仅有
第一批去掉的两棵花树的高度为和．
【知识点】频数与频率；频数（率）分布表；方差；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【解答】解：（2）第一批的方差：
≈34.7
第二批的方差是：x[（125-131)2+3x(126- 131)2+2 x (130 - 131)2+5 x(134- 131)2+(139-131)2]≈18.5，
18.5<34.7，
则在这两批花树中，高度的整齐度更好的是第二批；
故答案为：第二批；
【分析】（1）根据中位数的定义，结合表中数据，即可得出答案；
（2）通过计算并比较凉皮花树的方差，即可得出答案；
（3）根据平均数不变，选取两个高度和与264cm接近的数据即可。
15．【答案】（1）由题意得：a=24-4-2-9-2=7，
补全频数分布直方图如下：
（2）7.67；7.79
（3）甲基地水体的pH值更稳定，理由：
因为甲基地水体的pH值的方差比乙基地水体的pH值的方差小，所以甲基地水体的pH值更稳定
（4）甲基地水体的pH值的极差为：8.26-7.27=0.99<1，
乙基地水体的pH值的极差为：8.21-7.11=1.1>1，
所以甲基地的pH值符合要求，乙基地的pH值不符合要求.
【知识点】频数（率）分布表；频数（率）分布直方图；中位数；分析数据的波动程度；众数
【解析】【解答】解：（2）甲基地水体的值数据中，7.67出现了4次，出现次数最多，
则；
乙基地水体的值数据中，由小到大排列中间两个数为7.77和7.81：
则；
故答案为：；；
【分析】（1）先根据乙组数据的个数减去其它组数据求得a的值，补全频数分布直方图即可；
（2）根据中位数、众数的定义解答；
（3）比较两组数据的方差的，解答即可；
（4）计算两组数据值最大值与最小值的差解答即可．
16．【答案】（1）解：不赞同.
理由：样本中数据的个数是40，数据的最大值与最小值之差是20．
若组数为5，则组距为4，是合适的．
若分成10组，则组距为2，不仅繁琐，且会使某些组的频数为0，容易将性质相近的数据分散到其它组，不能正确显示数据分布的特征和规律.
（2）解：
D组对应的圆心角为
（3）解：试验田中长势良好的玉米株数为，占比65%；
对照田中长势良好的玉米株数占比为；
所以，试验田中长势良好的玉米株数占比高于对照田
（4）解：从中位数、众数、平均数来看，试验田略低于对照田，且均在长势良好范围内；
而从方差看，试验田明显低于对照田，说明试验田玉米株高数据波动小，相对集中．
综合以上信息，试验田长势好于对照田.
【知识点】扇形统计图；条形统计图；方差；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【分析】（1）根据题意进行分析即可求出答案.
（2）根据题意补全图形即可，再根据360°乘以D组占比即可求出答案.
（3）根据试验田与对照田长势良好的玉米株数的占比，比较大小即可求出答案.
（4）根据各统计量的意义进行分析即可求出答案.
17．【答案】A
【知识点】方差；箱线图
【解析】【解答】解：由甲、乙、丙三个班级学生得分的箱线图可知，甲的数据最集中，波动最小，即甲的方差最小．
故答案为：A
【分析】根据箱线图与方差的意义解答即可．
18．【答案】（1），，
（2）B
（3）解：这片树叶更可能来自荔枝，理由如下：
∵一片长，宽的树叶，长宽比接近，
∴这片树叶更可能来自荔枝．
【知识点】平均数及其计算；中位数；分析数据的波动程度；众数
【解析】【解答】解：（1）由题意得，，
把10片芒果树叶的长宽比从小到大排列，排在中间的两个数分别为、，
故；
10片荔枝树叶的长宽比中出现次数最多的是2.0，故；
故答案为：；；；
（2）∵，
∴芒果树叶的形状差别小，故A同学说法不合理；
∵荔枝树叶的长宽比的平均数，中位数是，众数是，
∴B同学说法合理．
故答案为：B；
【分析】（1）根据平均数是指一组数据之和，除以这组数的个数，列式计算可求出a的值；在一组数据中，出现次数最多的数据叫做众数，(众数可能有多个)，据此可求出c的值；将一组数据按从小到大（或者从大到小）的顺序排列后，如果数据的个数是奇数个时，则处在最中间的那个数据叫做这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数个时，则处在最中间的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数据此可求出b的值；
（2）方差是反映一组数据的波动大小的一个量，方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好，从而比较题干给出的两种树叶长宽比的方差即可判断得出结论；
（3）求出所给树叶的长宽比，然后与题干给出的两种树叶的长宽比比较即可判断得出答案.
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