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专题5-1 任意角与弧度制
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【题型1】任意角的概念
任意角的概念
①角的概念：角可以看成平面内一条射线绕着它的端点旋转所成的图形．
②角的分类
名称 定义 图示
正角 一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角
负角 一条射线绕其端点按顺时针方向旋转形成的角
零角 一条射线没有做任何旋转形成的角
③任意角的概念：任意角指的是不仅包括通常的0°到360°之间的角，还包括了正角、零角和负角 。在实际生活中，经常会遇到角的旋转量不在[0°,360°]这个区间的情况，为了描述这种现实状况，角的概念被推广到了任意角
【例题】时钟走了3小时20分，则时针所转过的角的度数为 ，分针转过的角的度数为 ．
【答案】
【分析】根据时针每小时转，分针每小时转，时针、分针都按顺时针方向旋转，结合角的定义即可求解.
【详解】因为时针每小时转，分针每小时转，又因为时针、分针都按顺时针方向旋转，
故时针转过的角度数为，分针转过的角度数为．
【巩固练习1】如图，射线绕顶点逆时针旋转到位置，并在此基础上顺时针旋转120到达位置，则 ．
【答案】．
【分析】由角的定义即可求解.
【详解】由角的定义可得．
【巩固练习2】时针走了1h 20min，则分针转过的角是 ．
【答案】
【分析】由时针走过得时间换算为以分钟为单位的时间，根据每60分钟转（因为分针是顺时针旋转，所以对应的是负角），由此即可求解.
【详解】因为时针走了1h 20min，所以分针也走了，
注意到分针每分钟转的角度为（因为分针是顺时针旋转，所以对应的是负角），
所以时针走了1h 20min，则分针转过的角是.
【题型2】弧度制与角度制的互化
（1）弧度制的概念
①弧度制定义：以弧度为单位来度量角的单位制；
②1弧度的角：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角.(1弧度记作1 rad)
③规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零，，l是以角作为圆心角时所对圆弧的长，r为半径．
（2）角度制与弧度制的换算
角度化弧度 弧度化角度
360°＝2πrad 2π rad＝360°
180°＝πrad π rad＝180°
1°＝rad≈0.017 45 rad 1 rad＝°≈57.30°
度数×＝弧度数 弧度数×°＝度数
【例题1】（多选题）将下列角度与弧度进行互化正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【解析】对于A，因，故A错误；
对于B，，故B正确；
对于C，，故C正确；
对于D，，故D正确.
【例题2】若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则此圆弧所对的圆心角的弧度数为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】C
【分析】画图设外接圆半径，利用正三角形性质可得圆弧长，再由弧度制定义可得.
【详解】不妨设正的外接圆半径，圆心为，
取的中点为，连接，易知在上，且，；如下图所示：
在中，，所以；
依题意可知该圆弧长，
所以圆心角.
【巩固练习1】的角化成弧度制为 ．
【答案】
【解析】因为，所以.
【巩固练习2】经过2小时，钟表上时针转过的弧度数为 .
【答案】
【解析】根据题意，表盘平分为12等份，每等份对应的弧度数大小为，
经过2小时，钟表上时针转过的弧度数大小为，
因为时针按顺时针转动，钟表上时针转过的弧度数为
【巩固练习3】已知扇形的半径是3，弧长为6，则扇形圆心角的弧度数是 .
【答案】2
【解析】依题意，设扇形的圆心角为，
因为扇形的半径是，弧长为，所以由，得，则.
故答案为：.
【巩固练习4】要在半径cm的圆形金属板上截取一块扇形板，使其弧的长为cm，则圆心角的弧度数是 ．
【答案】
【解析】圆心角的弧度数为.
【题型3】终边相同的角
终边相同的角: 所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和
【例题1】下列各角中，与 角终边相同的角是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据即可得到答案.
【详解】对选项A，，故A错误.
对选项B，因为，故B正确.
对选项C，，故C错误.
对选项D，，故D错误.
【例题2】设集合，那么（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】变形表达式为相同的形式，利用集合间的关系，比较可得．
【详解】由题意得，
即M是由的奇数倍构成的集合，
又，即N是由的整数倍构成的集合，
则
【巩固练习1】将化为的形式是 ．
【答案】
【分析】根据条件直接计算即可.
【详解】因为,
故答案为：
【巩固练习2】与角终边相同的角的集合是 ．
【答案】
【分析】终边相同的角相差360°的整数倍.
【详解】由于，故与角终边相同的角的集合是.
故答案为：
【巩固练习3】已知集合A={| 为锐角}，B={|为小于的角}，C={|为第一象限角}，D={|为小于的正角}，则下列等式中成立的是（ ）
A．A=B B．B=C C．A=C D．A=D
【答案】D
【分析】根据题意，将各个集合化简，即可得到结果.
【详解】因为A={| 为锐角}，D={|为小于的正角}，
对于集合，小于的角包括零角与负角，
对于集合，C={|为第一象限角}
【题型4】象限角与轴线角
象限角: 把角放在平面直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限
（1）象限角的集合表示
象限角 象限角α的集合表示
第一象限角 {α|k·360°<α第二象限角 {α|k·360°＋90°<α第三象限角 {α|k·360°＋180°<α第四象限角 {α|k·360°＋270°<α（2）轴线角的集合表示
角α终边的位置 角α的集合表示
在x轴的非负半轴上 {α|α＝k·360°，k∈Z}
在x轴的非正半轴上 {α|α＝k·360°＋180°，k∈Z}
在y轴的非负半轴上 {α|α＝k·360°＋90°，k∈Z}
在y轴的非正半轴上 {α|α＝k·360°＋270°，k∈Z}
在x轴上 {α|α＝k·180°，k∈Z}
在y轴上 {α|α＝k·180°＋90°，k∈Z}
在坐标轴上 {α|α＝k·90°，k∈Z}
【例题1】(多选) 下列命题中错误的是（ ）
A．三角形的内角必是第一、二象限角
B．始边相同而终边不同的角一定不相等
C．第四象限角不一定是负角
D．钝角比第三象限角小
【答案】AD
【分析】根据任意角、象限角的定义判断各项的正误.
【详解】A：由于三角形内角范围为，内角为不是第一、二象限角，错；
B：由任意角定义，始边相同而终边不同的角一定不相等，对；
C：如为正角且在第四象限角，故第四象限角不一定是负角，对；
D：钝角范围为，而是第三象限角，此时钝角大，错.
【例题2】的终边在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【解析】且角是第二象限角，
角的终边在第二象限.
【例题3】若角满足＝(k∈Z)，则的终边一定在(　　)
A．第一象限或第二象限或第三象限 B．第一象限或第二象限或第四象限
C．第一象限或第二象限或x轴非正半轴上 D．第一象限或第二象限或y轴非正半轴上
【答案】D
【解析】当时，，终边位于第一象限；当时，，终边位于第二象限
当时，，终边位于轴的非正半轴上；当时，，终边位于第一象限
综上可知，则的终边一定在第一象限或第二象限或轴的非正半轴上
【例题4】若是第二象限角，则（ ）
A．是第一象限角 B．是第一或第三象限角
C．是第二象限角 D．是第三象限角或是第四象限角或的终边在y轴负半轴上
【答案】BD
【分析】由已知可得，然后逐个分析判断即可
【详解】因为是第二象限角，所以可得．
对于A，，则是第三象限角，所以A错误;
对于B，可得，当k为偶数时，是第一象限角；当k为奇数时，是第三象限角．所以B正确;
对于C，，即，所以是第一象限角，所以C错误;
对于D，，所以的终边位于第三象限或第四象限或y轴负半轴上，所以D正确．
【巩固练习1】在平面直角坐标系中，给出下列命题：①小于的角一定是锐角；②钝角一定是第二象限的角；③终边不重合的角一定不相等；④第二象限角大于第一象限角.其中假命题的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】结合任意角的概念分析即可.
【详解】因为锐角，所以小于的角不一定是锐角，故①不成立；
因为钝角，第二象限角，，所以钝角一定是第二象限角，故②成立；
若两个角的终边不重合，则这两个角一定不相等，故③成立；
例如，，但，故④不成立.
【巩固练习2】是（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
【答案】A
【解析】，与终边相同，所以是第一象限角．
【巩固练习3】已知是锐角，那么是（ ）．
A．第一象限角 B．第二象限角
C．小于180°的正角 D．第一或第二象限角
【答案】C
【分析】由题知，故，进而得答案.
【详解】因为是锐角,所以,所以,满足小于180°的正角.
其中D选项不包括，故错误.
【巩固练习4】已知是锐角，则（ ）
A．是第三象限角 B．是小于的正角
C．是第一或第二象限角 D．是锐角
【答案】ABD
【分析】根据锐角的范围，直接利用不等式的运算法则即可求解.
【详解】由题知，因为是锐角，所以，
对于A：所以，故A选项正确；
对于BC：，故B选项正确，C选项错误；
对于D：，故D选项正确
【题型5】区域角的表示
解答此类题目应先在0°~360°上写出角的集合，再利用终边相同的角写出符合条件的所有角的集合，如果集合能化简的还要化成最简．本题还要注意实线边界与虚线边界的差异．
【例题1】已知集合，则图中表示角的终边所在区域正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】当，时，角的终边落在第一象限的角平分线上，
当，时，角的终边落在y轴的非负半轴上，
按照逆时针旋转的方向确定范围可得角的终边所在区域如选项B所示．
【例题2】若角的终边落在如图所示的阴影部分内，则角的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】依题意，在内阴影部分的边界射线对应的角分别为，
在内阴影部分对应角的范围是，
所以角的取值范围是.
【巩固练习1】集合中的角所表示的范围(阴影部分)是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】当时，，此时表示的范围与表示的范围一样；
当时，，此时表示的范围与表示的范围一样，
故选：C．
【巩固练习2】集合中的角所表示的范围（阴影部分）是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】当时，，
当时，,所以选项C满足题意.
【巩固练习3】集合中角表示的范围用阴影表示是图中的（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】集合中，
当为偶数时，此集合与表示终边相同的角，位于第一象限；
当为奇数时，此集合与表示终边相同的角，位于第三象限.
所以集合中角表示的范围为选项B中阴影所示.
【巩固练习4】已知角的终边落在阴影区域内（不含边界），角的终边和相同，则角的集合为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】首先求阴影的边界表示的角的集合，再用不等式表示集合.
【详解】终边落在上的角为，终边落在上的角为，
故角的集合为.
【巩固练习5】如图，用弧度表示顶点在原点，始边重合于x轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合(不包括边界).
（1） ；
（2）
【答案】（1）；
（2）或.
【分析】由图①可知，以OA为终边的角为+2kπ(k∈Z)；以OB为终边的角为+2kπ(k∈Z)，由此可求出阴影部分内的角的集合；
由图②可知，以OA为终边的角为+2kπ(k∈Z)；以OB为终边的角为+2kπ(k∈Z).
不妨设右边阴影部分所表示的集合为M1，左边阴影部分所表示的集合为M2，由阴影部分内的角的集合为.
【详解】如题图①，以OA为终边的角为+2kπ(k∈Z)；以OB为终边的角为+2kπ(k∈Z)，
所以阴影部分内的角的集合为
；
如题图②，以OA为终边的角为+2kπ(k∈Z)；以OB为终边的角为+2kπ(k∈Z).
不妨设右边阴影部分所表示的集合为M1，左边阴影部分所表示的集合为M2，
则M1=，M2=.
所以阴影部分内的角的集合为
或.
【题型6】关于某条线对称的2个角的表示
若角与角的终边关于x轴对称，则与的数量关系为：；
若角与角的终边关于y轴对称，则与的数量关系为：；
若角与角的终边在一条直线上，则与的数量关系为：；
若角与角的终边关于轴对称，则与的数量关系为：
若角与角的终边关于轴对称，则与的数量关系为：
【例题1】在平面直角坐标系中，若角与的终边关于轴对称，则角与之间的关系满足（ ）.
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据题意得到，即可求解.
【详解】由题意，角和的终边关于y轴对称，
则.
【例题2】的终边与的终边关于直线对称，则的取值集合为 ．
【答案】
【分析】由题知的终边与角的终边相同，再根据终边相同的角的集合求解即可.
【详解】解：的终边与的终边关于直线对称，所以的终边与角的终边相同，
所以的取值集合为
【巩固练习1】（21-22高一上·陕西宝鸡·期中）若角和的终边关于直线对称，且，则角的集合是 .
【答案】
【分析】根据，可得其关于直线对称的一个角，然后根据终边相同的角得到相应的集合.
【详解】由题可知： 关于直线对称的一个角为
所以角的集合为
【巩固练习2】是一个任意角，则的终边与的终边（ ）
A．关于坐标原点对称 B．关于轴对称
C．关于轴对称 D．关于直线对称
【答案】C
【分析】根据角终边位置的周期性判断出的终边与的终边相同，从而得出答案.
【详解】因为的终边与的终边相同，而的终边与的终边关于轴对称，
所以的终边与的终边关于轴对称.
【巩固练习3】直角坐标系中，以原点为顶点，以轴正半轴为始边，那么，角的终边与的终边关于 对称；角的终边与的终边关于 对称.
【答案】 轴 直线.
【分析】将两角相加再除以2，即可得到对称轴终边所在位置，即可得到对称轴方程；
【详解】解：因为，所以角的终边与的终边关于轴对称；
因为，所以角的终边与的终边关于直线对称；
故答案为：轴；直线；
【题型7】 n等分角的象限问题
如何确定角终边所在象限
法1分类讨论法：利用已知条件写出的范围（用表示），由此确定的范围，在对进行分类讨论，从而确定所在象限。
法2几何法：先把各象限分为等份，再从轴的正方向的上方起，逆时针依次将各区域标上1、2、3、4……则原来是第几象限的角，标号为几的区域即角终边所在的区域。
【例题1】（多选）如果是第四象限角，那么可能是（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
【答案】BD
【解析】由已知得，，所以，，
当为偶数时，在第四象限，当为奇数时，在第二象限，即在第二或第四象限．故选：BD．
【例题2】已知是第三象限角,试确定终边所在位置.
【答案】在第一或第二象限,或终边在y轴的正半轴上
【解析】写出的范围，由不等式得的范围，即可分析角的终边所在的位置.
【详解】是第三象限角,..
:,
即,
的终边在第一或第二象限,或终边在y轴的正半轴上.
【例题3】已知角α的终边在第四象限，确定下列各角终边所在的象限：
(1)； (2)； (3)； (4)．
【解析】（1）由于为第四象限角，所以，
所以，
当时，，终边在第二象限，
当时，，终边在第四象限，
所以的终边在第二或第四象限；
（2）由（1）得，
所以的终边在第三或第四象限，也可在轴的负半轴上.
（3）由（1）得，
当时，，终边在第二象限，
当时，，终边在第三象限，
当时，，终边在第四象限，
所以的终边在第二 第三或第四象限；
（4）由（1）得，即，
所以的终边在第二或三或第四象限，也可在轴的负半轴上.
【巩固练习1】（高一上·湖北武汉·期末）角是第二象限的角，则所在的象限为（ ）
A．第一、三象限 B．第二、三象限 C．第一、四象限 D．第三、四象限
【答案】A
【分析】表示出在第二象限的集合，再求所在象限的集合即可
【详解】由题可知，故，
当为偶数时，在第一象限；当为奇数时，在第三象限.
故所在象限是第一或第三象限.
【巩固练习2】（高一上·河南新乡·期末）“是第四象限角”是“是第二或第四象限角”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】由象限角的知识结合充分和必要条件的定义作出判断.
【详解】当是第四象限角时，，则，即是第二或第四象限角.当为第二象限角，但不是第四象限角，故“是第四象限角”是“是第二或第四象限角”的充分不必要条件．
【巩固练习3】角的终边在第三象限，那么的终边不可能在的象限是第象限
A．一 B．二 C．三 D．四
【答案】B
【解析】根据的范围，求解出的范围，然后考虑与的倍数关系，从而可判断出终边所在象限.
【详解】因为角的终边在第三象限，所以，
当时，，故的终边在第一象限，
当时，，故的终边在第三象限，
当时，，故的终边在第四象限，
综上可知：的终边不可能在第二象限.
【巩固练习4】已知终边在第四象限，则终边所在的象限为 ．
【答案】第三象限或第四象限或轴负半轴
【分析】由角α的范围求出2α的范围，再结合象限角的概念求解即可.
【详解】由于是第四象限角,故,故,即终边在” 第三象限或第四象限或轴负半轴”.
故答案为：第三象限或第四象限或y轴负半轴.
【题型8】扇形的弧长及面积公式
一、扇形弧长与面积的基本公式
已知扇形的半径为R，圆心角为
弧长公式：
面积公式：
二、应用弧度制解决问题的方法
（1）利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．
（2）求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题．
（3）在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形．
【例题1】已知扇形的圆心角是，半径为，则扇形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用扇形的面积公式可求得该扇形的面积.
【详解】因为扇形的圆心角是，半径为，则该扇形的面积为.
【例题2】如图中，的半径为20，则阴影部分的面积为 .

【答案】200
【分析】由图可知弓形的面积等于扇形的面积减去的面积，所以阴影部分的面积等于以为半径的半圆的面积减去弓形的面积，求解即可.
【详解】由已知，所以，
所以，
，扇形的面积为，
所以阴影部分的面积为.
【例题3】以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形弧就是勒洛三角形．如图，已知中间正三角形的边长为2，则该勒洛三角形的面积与周长之比为 ．
【答案】
【分析】利用扇形的弧长、面积公式计算即可.
【详解】由题意易知以点为圆心，圆弧所对的扇形面积各为，
中间等边的面积为，
所以莱洛三角形的面积是，周长为，
故面积与周长之比为．
【巩固练习1】一个扇形的弧长和面积都是，则这个扇形的半径为 ．
【答案】
【分析】由扇形的面积公式求解即可.
【详解】设扇形的弧长为，半径为，
所以，，解得：.
【巩固练习2】已知扇形的圆心角为2rad，弧长为2cm，则该扇形的面积为 ．
【答案】1
【解析】设扇形半径为，弧长为，圆心角为，则，扇形面积为．
【巩固练习3】（2024·高一·天津·期末）砖雕是我国古建筑雕刻中的重要艺术形式，传统砖雕精致细腻、气韵生动、极富书卷气.如图所示，一扇环形砖雕，可视为将扇形截去同心扇形所得图形，已知，，，则该扇环形砖雕的面积为 .

【答案】
【解析】因为扇形的院校为，
又因为，，
所以，该扇环形砖雕的面积为.
【巩固练习4】古代文人墨客与丹青手都善于在纸扇上题字题画，题字题画的部分多为扇环.已知某扇形的扇环如图所示，其中外弧线的长为，内弧线的长为，连接外弧与内弧的两端的线段均为，则该扇形的中心角的弧度数为 .
【答案】3
【分析】利用扇形弧长与扇形的中心角的关系，求得，进而可得该扇形的中心角的弧度数.
【详解】依题意可得弧的长为，弧的长为，设扇形的中心角的弧度数为，
如图，
则，则，即．
因为，所以，则，
所以该扇形的中心角的弧度数.
【题型9】扇形中的最值问题
扇形中的最值问题一般结合基本不等式和二次函数来进行求解
相关结论及其推导：设扇形周长C，面积S，圆心角，半径r
1、已知扇形周长C为定值，面积取得最大值时圆心角的大小为定值
【证明】： ，
由二次函数的性质可知，当时也即时，面积取最大值.
2、已知扇形面积S为定值，当周长C取得最小值时，半径
【证明】，，当且仅当时取等
【例题1】若一个扇形的面积为，则当半径为 时扇形的周长最小.
【答案】2
【分析】根据扇形的面积公式列出周长表达式，利用基本不等式求解.
【详解】设扇形的弧长为，半径为，
由扇形的面积为，则，得，
扇形的周长为，
当且仅当即时，等号成立.
所以当时，扇形的周长最小.
【例题2】若一个扇形的面积为，则当半径为 时扇形的周长最小.
【答案】2
【分析】根据扇形的面积公式列出周长表达式，利用基本不等式求解.
【详解】设扇形的弧长为，半径为，
由扇形的面积为，则，得，
扇形的周长为，
当且仅当即时，等号成立.
所以当时，扇形的周长最小.
【例题3】（多选）已知扇形的半径为，弧长为.若其周长的数值为面积的数值的2倍，则下列说法正确的是（ ）
A．该扇形面积的最小值为8
B．当扇形周长最小时，其圆心角为2
C．的最小值为9
D．的最小值为
【答案】BCD
【分析】由题意，知，则，对于选项ABC利用基本不等式可判断，对于选项D利用二次函数可解.
【详解】由题意，知，则，
所以扇形面积
，
当且仅当，即时，等号成立，选项A错误；
扇形周长为
，
当且仅当，即时，等号成立，
此时，圆心角为，选项B正确；
，
当且仅当，即时，等号成立，选项C正确；
,
当时，上式取得最小值为，选项D正确.
【巩固练习1】炎炎夏日，古代人们乘凉时用的纸叠扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形加工制作而成.如图，扇形纸叠扇完全展开后，得到的扇形ABC面积为，则当该纸叠扇的周长最小时，的长度为 cm.
【答案】
【分析】设扇形ABC的半径为，弧长为，根据扇形ABC的面积得到，纸叠扇的周长，利用基本不等式求解即可.
【详解】设扇形ABC的半径为，弧长为，则扇形面积.
由题意得，所以.
所以纸叠扇的周长，
当且仅当即，时，等号成立，
所以此时的长度为.
【巩固练习2】立德中学拟建一个扇环形状的花坛（如图），该扇环面由以点为圆心的两个同心圆弧和延长后可通过点的两条直线段围成.按设计要求扇环的周长为30米，其中大圆环所在圆的半径为10米，设计小圆环所在圆的半径为米，圆心角为（弧度），当时， 米；现要给花坛的边缘（实线部分）进行装饰，已知直线部分的装饰费用为4元/米，弧线部分的装饰费用为9元/米，则花坛每平方米的装饰费用的最小值为 元（）.
【答案】
【分析】由题意可得，，当时，解得，再结合换元法，以及基本不等式的公式，即可求解.
【详解】由题意可得，，解得，
当时，解得，，
装饰费为
故，
令，，则，
∵，当且仅当，即，即时，等号成立，
∴的最小值为，
花坛每平方米的装饰费用最小为元.
【巩固练习3】如图是杭州2023年第19届亚运会会徽，名为“潮涌”，形象象征着新时代中国特色社会主义大潮的涌动和发展.如图是会徽的几何图形.设弧的长度是，弧的长度是，几何图形面积为，扇形面积为，扇形周长为定值，圆心角为，若，则当取得最大值时，圆心角为的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】先利用扇形的周长得到推得，再利用扇形的面积公式将问题转化为二次函数的最值问题，从而得解.
【详解】依题意，知，则，，
因为，所以，不妨设，则，
因为扇形周长为定值，所以，则，
因为，
扇形的面积为，
则，
对于，其开口向下，对称轴为，
故当，即时，取得最大值，即取得最大值，
此时，.
【巩固练习4】若扇形周长为10，当其面积最大时，其内切圆的半径r为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设出扇形半径和圆心角，根据周长得到方程，并表示出扇形面积，利用基本不等式求出最值，得到扇形的半径和圆心角，从而结合三角函数得到，求出答案.
【详解】设扇形的半径为，圆心角为，则弧长，
故，则，
故扇形面积为，
由基本不等式得，当且仅当，即时，等号成立，
故，
此时，
由对称性可知，
设内切圆的圆心为，因为，故，
过点作⊥于点，
则，在中，，即，
解得.
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专题5-1 任意角与弧度制
TOC \o "1-3" \n \h \z \u
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【题型1】任意角的概念
任意角的概念
①角的概念：角可以看成平面内一条射线绕着它的端点旋转所成的图形．
②角的分类
名称 定义 图示
正角 一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角
负角 一条射线绕其端点按顺时针方向旋转形成的角
零角 一条射线没有做任何旋转形成的角
③任意角的概念：任意角指的是不仅包括通常的0°到360°之间的角，还包括了正角、零角和负角 。在实际生活中，经常会遇到角的旋转量不在[0°,360°]这个区间的情况，为了描述这种现实状况，角的概念被推广到了任意角
【例题】时钟走了3小时20分，则时针所转过的角的度数为 ，分针转过的角的度数为 ．
【巩固练习1】如图，射线绕顶点逆时针旋转到位置，并在此基础上顺时针旋转120到达位置，则 ．
【巩固练习2】时针走了1h 20min，则分针转过的角是 ．
【题型2】弧度制与角度制的互化
（1）弧度制的概念
①弧度制定义：以弧度为单位来度量角的单位制；
②1弧度的角：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角.(1弧度记作1 rad)
③规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零，，l是以角作为圆心角时所对圆弧的长，r为半径．
（2）角度制与弧度制的换算
角度化弧度 弧度化角度
360°＝2πrad 2π rad＝360°
180°＝πrad π rad＝180°
1°＝rad≈0.017 45 rad 1 rad＝°≈57.30°
度数×＝弧度数 弧度数×°＝度数
【例题1】（多选题）将下列角度与弧度进行互化正确的是（ ）
A． B． C． D．
【例题2】若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则此圆弧所对的圆心角的弧度数为（ ）
A． B． C． D．2
【巩固练习1】的角化成弧度制为 ．
【巩固练习2】经过2小时，钟表上时针转过的弧度数为 .
【巩固练习3】已知扇形的半径是3，弧长为6，则扇形圆心角的弧度数是 .
【巩固练习4】要在半径cm的圆形金属板上截取一块扇形板，使其弧的长为cm，则圆心角的弧度数是 ．
【题型3】终边相同的角
终边相同的角: 所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和
【例题1】下列各角中，与 角终边相同的角是（ ）
A． B． C． D．
【例题2】设集合，那么（ ）
A． B． C． D．
【巩固练习1】将化为的形式是 ．
【巩固练习2】与角终边相同的角的集合是 ．
【巩固练习3】已知集合A={| 为锐角}，B={|为小于的角}，C={|为第一象限角}，D={|为小于的正角}，则下列等式中成立的是（ ）
A．A=B B．B=C C．A=C D．A=D
【题型4】象限角与轴线角
象限角: 把角放在平面直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限
（1）象限角的集合表示
象限角 象限角α的集合表示
第一象限角 {α|k·360°<α第二象限角 {α|k·360°＋90°<α第三象限角 {α|k·360°＋180°<α第四象限角 {α|k·360°＋270°<α（2）轴线角的集合表示
角α终边的位置 角α的集合表示
在x轴的非负半轴上 {α|α＝k·360°，k∈Z}
在x轴的非正半轴上 {α|α＝k·360°＋180°，k∈Z}
在y轴的非负半轴上 {α|α＝k·360°＋90°，k∈Z}
在y轴的非正半轴上 {α|α＝k·360°＋270°，k∈Z}
在x轴上 {α|α＝k·180°，k∈Z}
在y轴上 {α|α＝k·180°＋90°，k∈Z}
在坐标轴上 {α|α＝k·90°，k∈Z}
【例题1】(多选) 下列命题中错误的是（ ）
A．三角形的内角必是第一、二象限角 B．始边相同而终边不同的角一定不相等
C．第四象限角不一定是负角 D．钝角比第三象限角小
【例题2】的终边在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【例题3】若角满足＝(k∈Z)，则的终边一定在(　　)
A．第一象限或第二象限或第三象限 B．第一象限或第二象限或第四象限
C．第一象限或第二象限或x轴非正半轴上 D．第一象限或第二象限或y轴非正半轴上
【例题4】若是第二象限角，则（ ）
A．是第一象限角 B．是第一或第三象限角
C．是第二象限 D．是第三象限角或是第四象限角或的终边在y轴负半轴上
【巩固练习1】在平面直角坐标系中，给出下列命题：①小于的角一定是锐角；②钝角一定是第二象限的角；③终边不重合的角一定不相等；④第二象限角大于第一象限角.其中假命题的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【巩固练习2】是（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
【巩固练习3】已知是锐角，那么是（ ）．
A．第一象限角 B．第二象限角
C．小于180°的正角 D．第一或第二象限角
【巩固练习4】已知是锐角，则（ ）
A．是第三象限角 B．是小于的正角
C．是第一或第二象限角 D．是锐角
【题型5】区域角的表示
解答此类题目应先在0°~360°上写出角的集合，再利用终边相同的角写出符合条件的所有角的集合，如果集合能化简的还要化成最简．本题还要注意实线边界与虚线边界的差异．
【例题1】已知集合，则图中表示角的终边所在区域正确的是（ ）
A． B． C． D．
【例题2】若角的终边落在如图所示的阴影部分内，则角的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【巩固练习1】集合中的角所表示的范围(阴影部分)是（ ）
B．
C． D．
【巩固练习2】集合中的角所表示的范围（阴影部分）是（ ）
A． B． C． D．
【巩固练习3】集合中角表示的范围用阴影表示是图中的（ ）
A． B．
C． D．
【巩固练习4】已知角的终边落在阴影区域内（不含边界），角的终边和相同，则角的集合为（ ）
A． B．
C． D．
【巩固练习5】如图，用弧度表示顶点在原点，始边重合于x轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合(不包括边界).
（1） ； （2）
【题型6】关于某条线对称的2个角的表示
若角与角的终边关于x轴对称，则与的数量关系为：；
若角与角的终边关于y轴对称，则与的数量关系为：；
若角与角的终边在一条直线上，则与的数量关系为：；
若角与角的终边关于轴对称，则与的数量关系为：
若角与角的终边关于轴对称，则与的数量关系为：
【例题1】在平面直角坐标系中，若角与的终边关于轴对称，则角与之间的关系满足（ ）.
A． B．
C． D．
【例题2】的终边与的终边关于直线对称，则的取值集合为 ．
【巩固练习1】若角和的终边关于直线对称，且，则角的集合是 .
【巩固练习2】是一个任意角，则的终边与的终边（ ）
A．关于坐标原点对称 B．关于轴对称
C．关于轴对称 D．关于直线对称
【巩固练习3】直角坐标系中，以原点为顶点，以轴正半轴为始边，那么，角的终边与的终边关于 对称；角的终边与的终边关于 对称.
【题型7】 n等分角的象限问题
如何确定角终边所在象限
法1分类讨论法：利用已知条件写出的范围（用表示），由此确定的范围，在对进行分类讨论，从而确定所在象限。
法2几何法：先把各象限分为等份，再从轴的正方向的上方起，逆时针依次将各区域标上1、2、3、4……则原来是第几象限的角，标号为几的区域即角终边所在的区域。
【例题1】（多选）如果是第四象限角，那么可能是（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
【例题2】已知是第三象限角,试确定终边所在位置.
【例题3】已知角α的终边在第四象限，确定下列各角终边所在的象限：
(1)； (2)； (3)； (4)．
【巩固练习1】角是第二象限的角，则所在的象限为（ ）
A．第一、三象限 B．第二、三象限 C．第一、四象限 D．第三、四象限
【巩固练习2】“是第四象限角”是“是第二或第四象限角”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【巩固练习3】角的终边在第三象限，那么的终边不可能在的象限是第象限
A．一 B．二 C．三 D．四
【巩固练习4】已知终边在第四象限，则终边所在的象限为 ．
【题型8】扇形的弧长及面积公式
一、扇形弧长与面积的基本公式
已知扇形的半径为R，圆心角为
弧长公式：
面积公式：
二、应用弧度制解决问题的方法
（1）利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．
（2）求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题．
（3）在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形．
【例题1】已知扇形的圆心角是，半径为，则扇形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【例题2】如图中，的半径为20，则阴影部分的面积为 .

【例题3】以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形弧就是勒洛三角形．如图，已知中间正三角形的边长为2，则该勒洛三角形的面积与周长之比为 ．
【巩固练习1】一个扇形的弧长和面积都是，则这个扇形的半径为 ．
【巩固练习2】已知扇形的圆心角为2rad，弧长为2cm，则该扇形的面积为 ．
【巩固练习3】（2024·高一·天津·期末）砖雕是我国古建筑雕刻中的重要艺术形式，传统砖雕精致细腻、气韵生动、极富书卷气.如图所示，一扇环形砖雕，可视为将扇形截去同心扇形所得图形，已知，，，则该扇环形砖雕的面积为 .
【巩固练习4】古代文人墨客与丹青手都善于在纸扇上题字题画，题字题画的部分多为扇环.已知某扇形的扇环如图所示，其中外弧线的长为，内弧线的长为，连接外弧与内弧的两端的线段均为，则该扇形的中心角的弧度数为 .
【题型9】扇形中的最值问题
扇形中的最值问题一般结合基本不等式和二次函数来进行求解
相关结论及其推导：设扇形周长C，面积S，圆心角，半径r
1、已知扇形周长C为定值，面积取得最大值时圆心角的大小为定值
【证明】： ，
由二次函数的性质可知，当时也即时，面积取最大值.
2、已知扇形面积S为定值，当周长C取得最小值时，半径
【证明】，，当且仅当时取等
【例题1】若一个扇形的面积为，则当半径为 时扇形的周长最小.
【例题2】若一个扇形的面积为，则当半径为 时扇形的周长最小.
【例题3】（多选）已知扇形的半径为，弧长为.若其周长的数值为面积的数值的2倍，则下列说法正确的是（ ）
A．该扇形面积的最小值为8 B．当扇形周长最小时，其圆心角为2
C．的最小值为9 D．的最小值为
【巩固练习1】炎炎夏日，古代人们乘凉时用的纸叠扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形加工制作而成.如图，扇形纸叠扇完全展开后，得到的扇形ABC面积为，则当该纸叠扇的周长最小时，的长度为 cm.
【巩固练习2】立德中学拟建一个扇环形状的花坛（如图），该扇环面由以点为圆心的两个同心圆弧和延长后可通过点的两条直线段围成.按设计要求扇环的周长为30米，其中大圆环所在圆的半径为10米，设计小圆环所在圆的半径为米，圆心角为（弧度），当时， 米；现要给花坛的边缘（实线部分）进行装饰，已知直线部分的装饰费用为4元/米，弧线部分的装饰费用为9元/米，则花坛每平方米的装饰费用的最小值为 元（）.
【巩固练习3】如图是杭州2023年第19届亚运会会徽，名为“潮涌”，形象象征着新时代中国特色社会主义大潮的涌动和发展.如图是会徽的几何图形.设弧的长度是，弧的长度是，几何图形面积为，扇形面积为，扇形周长为定值，圆心角为，若，则当取得最大值时，圆心角为的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【巩固练习4】若扇形周长为10，当其面积最大时，其内切圆的半径r为（ ）
A． B． C． D．
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