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匀变速直线运动规律的应用——重难点
三种常见的抛体运动的规律
三种运动 自由落体运动 竖直上抛运动 竖直下抛运动
条件 初速度为0，只受重力 初速度向上、只受重力 初速度向下、只受重力
基本 公式 v＝gt v＝v0－gt v＝v0＋gt
h＝gt2 h＝v0t－gt2 h＝v0t+gt2
v2＝2gh v2－＝－2gh v2－＝2gh
竖直上抛运动的研究方法
分段法 上升阶段：a＝g的匀减速直线运动 下降阶段：自由落体运动
全程法 初速度v0向上，加速度g向下的匀变速直线运动，v＝v0－gt，h＝v0t－gt2（向上方向为正方向） 若v>0，物体上升，若v<0，物体下落 若h>0，物体在抛出点上方，若h<0，物体在抛出点下方
1．假设一位同学在某星球上完成自由落体运动实验：让一个质量为2 kg的物体从一定的高度自由下落，测得在第5 s内的位移是18 m（未落地），则（　　）
A．物体在2 s末的速度大小是20 m/s
B．物体在第5 s内的平均速度大小是3.6 m/s
C．物体在前2 s内的位移大小是20 m
D．物体在前5 s内的位移大小是50 m
2．气球以10 m/s的速度匀速上升，当它上升到离地175 m的高处时，一重物从气球上掉落，则重物需要经过多长时间才能落到地面？到达地面时的速度是多大？(g取10 m/s2)
3．一个物体从离地125m高度处开始做自由落体运动，已知重力加速度大小取10m/s2，则：
(1)落地速度是多少？
(2)落地时间是多少？
(3)该物体最后1s内位移是多少？
4．某课外活动小组自制一枚“水火箭”，设“水火箭”发射后始终在垂直于地面的方向上运动。“水火箭”可认为从地面开始先向上做匀加速直线运动，经过达到最大速度，之后动力消失继续上升到最高点再落回地面。若不计空气阻力，取，求：
(1)“水火箭”从地面开始到上升到最高点经历的时间；
(2)“水火箭”向上的速度为时距离地面的高度。
三种图象比较
图象 x－t图象 v－t图象 a－t图象
图象实例
图线含义 图线①表示质点做匀速直线运动(斜率表示速度v) 图线①表示质点做匀加速直线运动(斜率表示加速度a) 图线①表示质点做加速度增大的运动
图线②表示质点静止 图线②表示质点做匀速直线运动 图线②表示质点做匀变速运动
图线③表示质点向负方向做匀速直线运动 图线③表示质点做匀减速直线运动 图线③表示质点做加速度减小的运动
交点④表示此时三个质点相遇 交点④表示此时三个质点有相同的速度 交点④表示此时三个质点有相同的加速度
点⑤表示t1时刻质点位移为x1(图中阴影部分的面积没有意义) 点⑤表示t1时刻质点速度为v1(图中阴影部分的面积表示质点在0～t1时间内的位移) 点⑤表示t1时刻质点加速度为a1(图中阴影部分的面积表示质点在0～t1时间内的速度变化量)
5．甲、乙两物体从同一点开始沿一直线运动， 甲和乙的运动图像如图所示，下列说法中正确的是（　　）
A．甲、乙均在3s末回到出发点，距出发点的最大距离均为4m
B．0~2s内与4~6s内， 甲的速度等大、反向
C．0~6s内，甲、乙的运动方向均改变一次
D．6s内甲的路程为16m， 乙的路程为12m
6．如图所示，图甲、乙、丙、丁分别是不同物体沿轴做直线运动的速度、加速度、位移随时间的变化情况。关于各物体在时间内的运动，下列说法正确的是（ ）
A．图甲所示的物体在时刻加速度改变方向
B．若图乙所示的物体由静止出发，则时刻速度最大
C．图丙与图甲可以描述同一物体的运动规律
D．图丁所示的物体在和内的速度等大但不同向
7．一质点沿轴做直线运动，其图像如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．前4s内质点先向正方向运动后向负方向运动 B．第4s末质点离出发点最远
C．第2s末质点的运动方向发生改变 D．第4s末质点的加速度发生改变
8．一质点沿x轴正方向做直线运动，通过坐标原点时开始计时，其图像如图所示，则（　　）
A．质点做匀加速直线运动，初速度为2m/s
B．质点做匀加速直线运动，加速度为1m/s2
C．质点在0~2s内的位移大小为4m
D．质点在3s末速度为5m/s
一、“0—v—0”运动模型
1.特点：初速度为零，末速度为v，两段初末速度相同，平均速度相同。三个比例式：
①速度公式 推导可得：
②速度位移公式 推导可得：
③平均速度位移公式 推导可得：
2.位移三个公式：；；
二、先减速为为0，后原路返回运动模型
（1）特点：初（或末）速度为零，两段运动位移大小相等为x。
（2）位移三个公式：位移公式；速度位移公式；
平均速度位移公式
（3）三个比例式：① ；② ； ③
三、先匀速，后减速运动模型---反应时间问题
总位移
四、先加速后匀速运动模型----限速问题
加速时间；加速距离
匀速时间；匀速距离
总位移
9．在国庆节阅兵仪式中，某直升机在地面上空某高度A处于静止待命状态，要求该直升机在零时刻由静止状态沿着直线方向做匀加速直线运动，经过段加速区后，进入段的匀速受阅区，在时刻t达到C位置，已知段长度为，段长度为，求：
（1）直升机在段的速度大小；
（2）直升机在段运动时的加速度大小。
10．水平面上某物体从时刻起以4m/s的速度做匀速直线运动，运动3s后又立即以大小为的加速度做匀减速直线运动，停止后物体不再运动，则下列判断正确的是（ ）
A．该物体从时刻算起6s内运动的位移大小为15m
B．该物体在整个运动过程中的平均速度大小为2m/s
C．该物体减速后最后1s内的位移大小为1m
D．该物体减速后第1s末的速度大小为3m/s
11．如图所示，甲、乙两车同时由静止从A点出发，沿直线AC运动。甲以加速度a3做初速度为零的匀加速运动，到达C点时的速度为v。乙以加速度a1做初速度为零的匀加速运动，到达B点后做加速度为a2的匀加速运动，到达C点时的速度也为v。若a1≠a2≠a3，则（　　）
A．甲、乙不可能同时由A到达C B．甲一定先由A到达C
C．乙一定先由A到达C D．若a1>a3，则甲一定先由A到达C
12．一物体沿一直线运动，先后经过匀加速、匀速和匀减速运动过程，已知物体在这三个运动过程中依次通过三段位移为s的路径，所用时间分别为2t、t和t，则（　　）
A．物体做匀加速运动时加速度大小为
B．物体做匀减速运动时加速度大小为
C．物体在这三个运动过程中的平均速度大小为
D．物体做匀减速运动的末速度大小为
追及、相遇问题常见情景
1．速度小者追速度大者
追及类型 图象描述 相关结论
匀加速追匀速 设x0为开始时两物体间的距离，则应有下面结论：①t＝t0以前，后面物体与前面物体间的距离增大 ②t＝t0时，两物体相距最远，为x0＋Δx ③t＝t0以后，后面物体与前面物体间的距离减小 ④一定能追上且只能相遇一次
匀速追匀减速
匀加速追匀减速
2.速度大者追速度小者
追及类型 图象描述 相关结论
匀减速追匀速 设x0为开始时两物体间的距离，开始追及时，后面物体与前面物体间的距离在减小，当两物体速度相等时，即t＝t0时刻：①若Δx＝x0，则恰能追上，两物体只能相遇一次，这也是避免相撞的临界条件 ②若Δxx0，则相遇两次，设t1时刻两物体第一次相遇，则t2＝2t0－t1时刻两物体第二次相遇
匀速追匀加速
匀减速追匀加速
13．如图所示是A、B两物体的速度时间图像，则下列说法正确的是（　　）
A．若A、B两物体0时刻从同一位置开始运动，则以后它们一定能相遇
B．若0时刻A在B的前方某一位置，则以后它们一定不能相遇
C．若0时刻B在A的前面且两者相距60m，则以后它们一定能相遇两次
D．若0时刻B在A的前面且两者相距30m，则以后它们一定能相遇三次
14．在平直公路上，有甲、乙两辆车，初始时，甲车在前，乙车在后，它们相距为x0=100m，不计汽车长度。
(1)若甲车以v1=20m/s的速度做匀速直线运动，同时，乙车以v2=30m/s的初速度开始做加速度大小为a=0.4m/s2的匀减速直线运动，直到速度为零。问到乙车速度为零，甲、乙两车前进的位移各是多少？此过程中乙车能否追上甲车？
(2)若甲车以v1=20m/s的初速度做匀速直线运动，同时，乙车以v2=30m/s的初速度开始做匀减速直线运动，其加速度大小至少为多少时，才能避免乙车追上甲车？
(3)若乙车以v2=30m/s的速度做匀速直线运动，同时，甲车从静止开始做加速度为a=2m/s2匀加速直线运动，乙车能否追上甲车？
(4)若乙车以v2=30m/s的速度做匀速直线运动，同时，甲车以v1=20m/s的初速度开始做加速度为a=6m/s2的匀减速直线运动，直到速度为零，乙车何时追上甲车？
15．甲、乙两车在平直公路上同向行驶，其中v-t图像如图所示。已知两车在时并排行驶，则（ ）
A．在时，甲车在乙车后
B．在时，甲车在乙车后7.5m
C．两车另一次并排行驶的时刻是
D．甲、乙车两次并排行驶的位置之间沿公路方向的距离为40m
16．A、B两辆汽车相距14m，沿同一直线同向运动，A车在后，B车在前，B车以5m/s 的速度匀速，A车从静止开始以2m/s2的加速度加速。求：
（1）何时两车相距最远；最远距离为多少；
（2）经多长时间两车相遇；
（3）若A、B两辆汽车相距2m，沿同一直线同向运动，B车在前做初速度为零，加速度为1m/s2的匀加速直线运动，A 车在后面做初速度为2m/s，加速度为2m/s2的匀加速直线运动，A、B经过多长时间相遇；
（4）接（3），A、B相遇时，两车各运动了多长距离；
（5）画出（3）中从开始运动到相遇的v-t图像，准确标计时间和速度。
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参考答案：
1．D
【详解】A．设该星球表面的重力加速度为g，由自由下落在第5s内的位移是18m，可得
其中
得
物体在2s末的速度大小为
故A错误；
B．物体在第5s内的平均速度大小为
故B错误；
C．物体在前2s内的位移大小是
故C错误；
D．物体在前5 s内的位移大小是
故D正确。
故选D。
2．7s；60m/s
【详解】取全过程为一整体进行研究，从重物自气球上掉落计时，经时间t落地，规定初速度方向为正方向，画出运动草图，如图所示

重物在时间t内的位移为：h=-175m，将h=-175m，v0=10m/s代入位移公式
解得：
t=7s或t=-5s（舍去）
(2)所以重物落地速度为：
v=v0-gt=10m/s-10×7m/s=-60m/s
3．(1)50m/s
(2)5s
(3)45m
【详解】（1）根据速度位移关系可得
代入数据可得
（2）根据位移时间关系可得
代入数据可得
（3）物体最后1s内位移为
4．(1)4.2s
(2)8m和22m
【详解】（1）取向上为正方向，达到最大速度之后以g=10m/s2向上做匀减速直线运动
由
t2=
得
t2=1.2s
则经历的时间为
t=t1+t2=4.2s
（2）取向上为正方向，向上匀加速的加速度为
a==4m/s2
向上匀加速阶段上升的高度为
h1==18m
当向上加速达到v2=8m/s时，此时
h2==8m
从12m/s减速到8m/s，由
h3==4m
则此时距离地面的高度为
h4=h1+h3=22m
即向上速度为8m/s时，距离地面高度为8m和22m。
5．D
【详解】A．甲在3s末回到出发点，距出发点的最大距离为4m；由图像与时间轴所围面积表示位移可知，乙在6s末回到出发点，距出发点的最大距离为
故A错误；
B．x t图像的斜率等于速度，可知0~2s内与4~6s内，甲的速度等大、同向，故B错误；
C．0~6s内，甲在2s末和4s末运动方向共改变两次，乙在3s末运动方向改变一次，故C错误；
D．6s内甲的路程为
v t图像与时间轴所围的面积等于位移，可知6s内乙的路程为
故D正确。
故选D。
6．BD
【详解】A．由图可知，图甲所示的物体在时刻运动方向发生改变，但加速度的大小和方向均未改变，A错误；
B．若图乙所示的物体由静止出发，由于图线与坐标轴围成的面积表示速度的变化量，时刻速度最大，B正确；
C．由图像的物理意义可知，甲图描述的物体最终位移为正方向，而丙图中的物体最终位移为负方向，其运动规律不同，C错误；
D．图像中，斜率表示速度的大小，故图丁所示的物体在和内的速度等大但不同向，D正确。
故选BD。
7．B
【详解】AC．前4s内质点速度一直大于零，可知前4s内质点一直向正方向运动，第2s末质点的运动方向未发生改变，故AC错误；
B．由图可知，前4s内质点向正方向运动，后4s内质点向负方向运动，图像与坐标轴围成的面积表示位移，可知前4s内质点的位移大小等于后4s内质点的位移大小，故第4s末质点离出发点最远，故B正确；
D．图像的斜率表示加速度，内图像的斜率不变，可知内质点的加速度不变，故第4s末质点的加速度未发生改变，故D错误。
故选B。
8．BC
【详解】AB．由位移公式有
整理得
根据图像得
解得
A错误，B正确；
C．质点在0~2s内的位移大小为
C正确；
D．质点在3s末速度为
D错误。
故选BC。
9．（1）；（2）
【详解】（1）设在段的速度为v，通过的时间分别为，则
在段有
在段有
又
联立解得
（2在段做匀加速直线运动时的加速度大小
所以
10．C
【详解】A．物体速度减为0的时间为
物体在末停止运动，所以物体在6s内的位移等于前5s内的位移，总位移为
故A错误；
B．物体的平均速度为
故B错误；
C．根据运动的可逆性可知，物体减速后最后1s内的位移大小等于以2m/s2加速1s内的位移，大小为
故C正确；
D．物体减速后第1s末的速度大小为
故D错误；
故选C。
11．A
【详解】根据速度时间图线得，若，如图所示：
因为末速度相等，位移相等，即图线与时间轴所围成的面积相等，则，即乙一定先由A到达C；
若，如图所示：
因为末速度相等，位移相等，即图线与时间轴所围成的面积相等，则；通过图线作不出位移相等，速度相等，时间相等的图线，所以甲乙不能同时到达。
故选A。
12．B
【详解】A．由题意知物体在匀加速运动过程中的平均速度为，物体在匀速运动过程中的速度为，物体在匀减速运动过程中的平均速度为。匀变速直线运动中，某段时间中间时刻的瞬时速度等于这段时间内的平均速度，所以有
，
可求得
故A错误；
B．设匀减速阶段加速度大小为，则有
，
解得
故B正确；
C．由平均速度定义知物体在这三个运动过程中的平均速度为
，
故C错误；
D．设物体做匀减速运动的末速度大小为
可求得
，
故D错误。
故选B。
13．BD
【详解】A．由于A的速度较大，故应该是B追A，面积表示位移，t=10s时A的位移为
B的位移为
若A、B两物体0时刻从同一位置开始运动，由于10s时A的位移大于B的位移，所以A、B一定不能相遇，故A错误；
B．若0时刻A在B的前方某一位置，A的位移一直大于B的位移，所以A、B一定不能相遇，故B正确；
C．若0时刻B在A的前面且两者相距60m，由A分析知，10s时A比B多走25m，没有追上B，之后B的速度小于A，故一定能够追上B，并且相遇一次，故C错误；
D．若0时刻B在A的前面且两者相距30m，在前5s内A的位移为
而B的位移为
故A会超过B一次，超出的位移为
从5s到10s内，B的位移比A的位移多
故此时间内B会在超过A前面5m，此后B速度减小，A速度大，故A会再次超过B，故它们一定能相遇三次，故D正确。
故选BD。
14．(1)；；能；
(2)；
(3)能；
(4)
【详解】（1）依题意，乙车匀减速时间为
此过程甲、乙两车前进的位移分别为
，
二者共速时，有
解得
此过程二者位移分别为
，
可得
即此过程中乙车能追上甲车。
（2）乙车恰好能追上甲车时，有
，
解得
即加速度大小至少为时，才能避免乙车追上甲车。
（3）二者共速时，有
解得
此过程二者位移分别为
，
可得
即此过程中乙车能追上甲车。
（4）甲车速度减为零，所需时间为
此时二者位移分别为
，
可得
即此时乙车没有追上甲车，设乙车再经时间追上甲车，则有
则乙车追上甲车的总时间为
15．CD
【详解】B．图像中，图线与坐标轴围成的面积代表物体位移，已知两车在时并排行驶，在内有
所以时甲车在前，距乙车的距离为
故B错误；
AC．在内有
此时甲乙两车相距
所以另一次并排行驶的时刻为，故A错误，C正确；
D．甲、乙车两次并排行驶的位置之间沿公路方向的距离为
故D正确。
故选CD。
16．（1）2.5s；20.25m；（2）7s；（3）；（4）；（5）
【详解】（1）设t1时两车速度相等，此时两车相距最远，有
vB=at1
则最远距离为
（2）设t2时两车相遇有
xA=xB+x0
即
代入数据解得
t2=7s
（3）两车相遇时满足
即
解得
（4）接（3），A、B相遇时，A车运动的距离
B车运动距离
（5）图像如图

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