资源简介 中小学教育资源及组卷应用平台专题5-3 诱导公式TOC \o "1-3" \n \h \z \uSHAPE \* MERGEFORMAT诱导公式公式 终边关系 图示 公式公式一 终边相同的角的同一三角函数的值相等. ，公式二 角π＋α与角α的终边关于原点对称公式三 角－α与角α的终边关于x轴对称公式四 角π－α与角α的终边关于y轴对称公式五公式六记忆口诀：可概括为“奇变偶不变，符号看象限”：①“偶”当中k取偶数时，如，三角函数名不变，符号由原三角函数角所在象限决定；②“奇”当中k取奇数时，如，三角函数名改变，符号由原三角函数角所在象限决定；【题型1】利用诱导公式求解给角求值解题思路：利用诱导公式公式求任意角三角函数值的步骤(1)“负化正”：用公式一或三来转化.(2)“大化小”：用公式一将角化为0°到360°间的角.(3)“小化锐”：用公式二或四将大于90°的角转化为锐角.(4)“锐求值”：得到锐角的三角函数后求值.【例题1】（ ）A． B． C． D．【答案】B【分析】直接利用诱导公式计算得到答案.【详解】.【巩固练习1】的值为（ ）A． B． C． D．【答案】C【解析】.【巩固练习2】的值是（ ）A． B． C． D．【答案】B【解析】.【巩固练习3】（ ）A． B． C． D．【答案】C【解析】.【巩固练习4】点位于（ ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A【解析】.同理，，所以点P位于第一象限．故选：A．【巩固练习5】化简： .【答案】【分析】利用诱导公式及同角的三角函数关系式化简即可.【详解】原式.【题型2】利用诱导公式求解给值求值问题利用诱导公式变形时注意“符号看象限”是看变之前的函数对应的象限符号【例题1】已知为第四象限的角，且，则（ ）A． B． C． D．【答案】A【解析】为第四象限的角，且，即，..【例题2】已知，且α是第四象限角，那么的值是（ ）A． B． C． D．【答案】B【解析】，即，因为是第四象限角，所以，所以.【巩固练习1】已知角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的正半轴重合，若角的终边与角的终边相同，则( )A． B． C． D．【答案】C【分析】利用三角函数定义求得，再利用诱导公式化简即可.【详解】由题意得，【巩固练习2】已知，则的值为（ ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据题意利用诱导公式结合同角三角关系运算求解.【详解】因为，且，，所以.【巩固练习3】已知为第二象限角，若则（ ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据诱导公式以及同角三角函数的关系式，可得答案.【详解】由，则，由为第二象限角，则，所以.【题型3】利用诱导公式化简与求值基本步骤：先用诱导公式化简去括号，再进一步化简求值【例题1】化简（ ）A． B． C．1 D．【答案】D【分析】直接利用诱导公式化简得解.【详解】.【例题2】化简下列各式：(1)；(2)．【答案】(1)1；(2)【分析】利用诱导公式，化简求值.【详解】（1）原式．（2）原式．【巩固练习1】化简求值：(1)已知，且为第四象限的角，求的值．(2)已知，求的值．【解析】（1），且为第四象限的角，（2）原式【巩固练习2】已知．(1)化简；(2)若为第三象限角，且，求的值．【答案】(1)；(2).【分析】（1）利用诱导公式代入计算即可得；（2）根据角的范围将代入计算即可得.【详解】（1）即（2）由，可得．因为为第三象限角，因此，故.【题型4】利用诱导公式证明恒等式利用诱导公式化简后再证明等式两边相等【例题1】求证：当或3时，.【答案】证明见解析【分析】根据题设，应用诱导公式化简等式左侧即可.【详解】当时，左边=；当时，左边=；综上，或有原等式恒成立.【例题2】求证：．【答案】证明见解析【分析】直接利用诱导公式化简左边即得证明.【详解】证明：左边=右边，所以原式或立．【巩固练习1】已知角的终边在第三象限，，证明：．【解析】由题可知．．为第三象限角，为第三或第四象限角．又，为第四象限角，．．．【巩固练习2】（1）求证：；（2）设，求证.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）（2）应用诱导公式化简等式中结构复杂的一侧，即可证结论.【详解】（1）左边= =右边，所以原等式成立.方法1：左边= ===右边，所以原等式成立.方法2：由，得，所以，等式左边= ===右边，等式成立.【巩固练习3】若，求证：.【答案】证明见解析【解析】分为偶数和为奇数讨论，利用诱导公式化简即可证明；【详解】证明：若为偶数，则左边；若为奇数，则左边【题型5】诱导公式在三角形中的应用因为三角形内角和为180°，所以提供了诱导公式变形的条件A,B,C为△ABC的三个内角，则有①，②，③若，则④若△ABC为锐角三角形，则任意角的正弦值大于其它2个角的余弦值【例题1】（多选题）在△ABC中，下列关系式恒成立的有（ ）A． B．C． D．【答案】ABC【分析】结合三角形的内角和定理和诱导公式，准确运算，即可求解.【详解】对于A中，由，所以A正确；对于B中由，所以B正确；对于C中，由，所以C正确；对于D中，，所以D错误．【例题2】在锐角中，证明：.(注：函数在第一象限递增)【解析】证明：因为是锐角三角形，所以，【巩固练习1】（23-24高一·浙江·期中）已知为的三个内角，下列各式不成立的是（ ）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用三角函数诱导公式，结合三角形的内角和为，逐个去分析即可选出答案．【详解】由题意知，在中，，对A选项，，故A选项正确；对B选项，，故B选项正确；对C选项，，故C选项正确；对D选项，，故D选项不正确．【巩固练习2】（23-24高一上·广东深圳·期末）已知是的三个内角，下列条件是“”的一个充分不必要条件的为（ ）A． B．C． D．【答案】BD【分析】根据题意要逐一判断由选项能否推出，推出为钝角三角形，其中A,C项都无从推出钝角，B项可以利用诱导公式判断是钝角，D项利用两角差的余弦公式可推得，从而得出钝角.【详解】对于A选项，由可得，则可以是锐角或者钝角，无法判断的符号，故A项错误；对于B选项，由可得，因，故是钝角，都是锐角，即有；反过来，由可得中必有一个钝角，当时,，故B项正确；对于C选项，当 时，如果取,则，此时，不合题意，故C项错误；对于D选项，由可得,即，因,,则，即中必有一个是钝角，从而是锐角，即必成立，反过来，由可得中必有一个钝角，当时,，故D项正确.【巩固练习3】在中，是钝角，设证明：.(注：函数在第一象限递增)【解析】证明：因为是钝角，所以都是锐角，因为，同理，所以,所以【题型6】利用隐藏的互余互补关系整体带入或换元求值（重点题型）（1）诱导公式用于角的变换，凡遇到2个角的和差为的整数时都可用诱导公式．（2）对其中一个括号中的式子换元（3）利用诱导公式变形，注意若题目给了象限范围则一般需要改变函数名【例题1】已知，则（ ）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为，所以.【例题2】若，则等于（ ）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为，所以.【例题3】若是第四象限角，且, ．【答案】【解析】因为是第四象限角，所以，所以，又，故在第四象限，，所以，所以【巩固练习1】已知，则等于 ．【答案】【解析】.故答案为：【巩固练习2】已知，，则（ ）A． B． C． D．【答案】C【解析】.【巩固练习3】已知，则的值为 ；【答案】【解析】，，，，.【巩固练习4】已知，则的值为【答案】【解析】原式．故答案为：．【巩固练习5】已知，且是第三象限角，求的值．【解析】因为是第三象限角，所以是第二象限角，则，又，所以是第二象限角，可得，所以．【巩固练习6】（23-24高一上·浙江温州·期末）已知，，则【答案】【分析】先求得，再利用两角和的余弦公式求解即可．【详解】因为，，所以，则．故答案为：．【巩固练习7】（23-24高一上·江苏南京·期末）已知，则的值是 .【答案】【分析】利用诱导公式得到，再由同角基本关系式可解.【详解】由于，所以.【题型7】诱导公式与同角三角函数的综合运用【例题1】已知，且，则 ＝ .【答案】【解析】∵，.又，，，，原式.故答案为：.【例题2】在单位圆中，锐角的终边与单位圆相交于点，将射线绕点按逆时针方向旋转后与单位圆相交于点．(1)求的值；(2)记点的横坐标为，若，且，求的值．【解析】（1）由题意，，，所以，，所以.由题及第（1）小问可得，又，，又，所以，所以，所以.【巩固练习1】如图，以为始边作角与，它们的终边分别与单位圆相交于点P，Q，已知点Q的坐标为. (1)求的值；(2)若，求P的坐标.【解析】（1）因为点在单位圆上且，所以，得.即，且由三角函数定义知，，，故.（2）由题意：，；故.【巩固练习2】已知(1)若角的终边过点，求；(2)若，求的值．【解析】（1）若角的终边过点，则，所以（2）若，所以【巩固练习3】在单位圆中，锐角的终边与单位圆相交于点，连接圆心和得到射线，将射线绕点按逆时针方向旋转后与单位圆相交于点，其中.(1)求的值；(2)记点的横坐标为，若，求的值.【解析】（1）由于点在单位圆上，且是锐角，可得，所以，所以；由（1）可知，且为锐角，可得，根据三角函数定义可得：，因为，且，因此，所以所以.总览题型解读题型汇编知识梳理与常考题型21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台专题5-3 诱导公式TOC \o "1-3" \n \h \z \uSHAPE \* MERGEFORMAT诱导公式公式 终边关系 图示 公式公式一 终边相同的角的同一三角函数的值相等. ，公式二 角π＋α与角α的终边关于原点对称公式三 角－α与角α的终边关于x轴对称公式四 角π－α与角α的终边关于y轴对称公式五公式六记忆口诀：可概括为“奇变偶不变，符号看象限”：①“偶”当中k取偶数时，如，三角函数名不变，符号由原三角函数角所在象限决定；②“奇”当中k取奇数时，如，三角函数名改变，符号由原三角函数角所在象限决定；【题型1】利用诱导公式求解给角求值解题思路：利用诱导公式公式求任意角三角函数值的步骤(1)“负化正”：用公式一或三来转化.(2)“大化小”：用公式一将角化为0°到360°间的角.(3)“小化锐”：用公式二或四将大于90°的角转化为锐角.(4)“锐求值”：得到锐角的三角函数后求值.【例题1】（ ）A． B． C． D．【巩固练习1】的值为（ ）A． B． C． D．【巩固练习2】的值是（ ）A． B． C． D．【巩固练习3】（ ）A． B． C． D．【巩固练习4】点位于（ ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【巩固练习5】化简： .【题型2】利用诱导公式求解给值求值问题利用诱导公式变形时注意“符号看象限”是看变之前的函数对应的象限符号【例题1】已知为第四象限的角，且，则（ ）A． B． C． D．【例题2】已知，且α是第四象限角，那么的值是（ ）A． B． C． D．【巩固练习1】已知角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的正半轴重合，若角的终边与角的终边相同，则( )A． B． C． D．【巩固练习2】已知，则的值为（ ）A． B． C． D．【巩固练习3】已知为第二象限角，若则（ ）A． B． C． D．【题型3】利用诱导公式化简与求值基本步骤：先用诱导公式化简去括号，再进一步化简求值【例题1】化简（ ）A． B． C．1 D．【例题2】化简下列各式：(1)；(2)．【巩固练习1】化简求值：(1)已知，且为第四象限的角，求的值．(2)已知，求的值．【巩固练习2】已知．(1)化简；(2)若为第三象限角，且，求的值．【题型4】利用诱导公式证明恒等式利用诱导公式化简后再证明等式两边相等【例题1】求证：当或3时，.【例题2】求证：．【巩固练习1】已知角的终边在第三象限，，证明：．【巩固练习2】（1）求证：；（2）设，求证.【巩固练习3】若，求证：.【题型5】诱导公式在三角形中的应用因为三角形内角和为180°，所以提供了诱导公式变形的条件A,B,C为△ABC的三个内角，则有①，②，③若，则④若△ABC为锐角三角形，则任意角的正弦值大于其它2个角的余弦值【例题1】（多选题）在△ABC中，下列关系式恒成立的有（ ）A． B．C． D．【例题2】在锐角中，证明：.(注：函数在第一象限递增)【巩固练习1】已知为的三个内角，下列各式不成立的是（ ）A． B．C． D．【巩固练习2】已知是的三个内角，下列条件是“”的一个充分不必要条件的为（ ）A． B．C． D．【巩固练习3】在中，是钝角，设证明：.(注：函数在第一象限递增)【题型6】利用隐藏的互余互补关系整体带入或换元求值（重点题型）（1）诱导公式用于角的变换，凡遇到2个角的和差为的整数时都可用诱导公式．（2）对其中一个括号中的式子换元（3）利用诱导公式变形，注意若题目给了象限范围则一般需要改变函数名【例题1】已知，则（ ）A． B． C． D．【例题2】若，则等于（ ）A． B． C． D．【例题3】若是第四象限角，且, ．【巩固练习1】已知，则等于 ．【巩固练习2】已知，，则（ ）A． B． C． D．【巩固练习3】已知，则的值为 ；【巩固练习4】已知，则的值为【巩固练习5】已知，且是第三象限角，求的值．【巩固练习6】已知，，则【巩固练习7】已知，则的值是 .【题型7】诱导公式与同角三角函数的综合运用【例题1】已知，且，则 ＝ .【例题2】在单位圆中，锐角的终边与单位圆相交于点，将射线绕点按逆时针方向旋转后与单位圆相交于点．(1)求的值；(2)记点的横坐标为，若，且，求的值．【巩固练习1】如图，以为始边作角与，它们的终边分别与单位圆相交于点P，Q，已知点Q的坐标为. (1)求的值；(2)若，求P的坐标.【巩固练习2】已知(1)若角的终边过点，求；(2)若，求的值．【巩固练习3】在单位圆中，锐角的终边与单位圆相交于点，连接圆心和得到射线，将射线绕点按逆时针方向旋转后与单位圆相交于点，其中.(1)求的值；(2)记点的横坐标为，若，求的值.总览题型解读题型汇编知识梳理与常考题型21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)" 21世纪教育网(www.21cnjy.com) 展开更多...... 收起↑ 资源列表 专题5-3 诱导公式（原卷版).doc 专题5-3 诱导公式（解析版).doc
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