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专题5-4 三角函数的图像与性质
TOC \o "1-4" \n \h \z \u
类型二：二次函数型 HYPERLINK \l "_Toc183876037"
SHAPE \* MERGEFORMAT
函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x
图象
单调性 递增递减 递增递减 递增
对称中心
对称轴
周期 2π 2π π
【题型1】五点作图法
五点法作,的简图
在函数y=sinx，的图象上，起关键作用的点有以下五个：
,如下表：
x 0
y=sinx 0 1 0 0
描出这五个点后,函数y=sinx，的图象形状就基本上确定了．因此，在精确度要求不高时，我们可以先找出这五个关键点，然后用光滑的曲线顺次将它们连接起来，就得到函数的简图，这种作图的方法称为五点法作图．
作的图像时也是先描出波峰、波谷和三个平衡位置这五个点，再利用光滑曲线把这五点连接起来，就得到曲线在一个周期内的图象．
【例题1】已知函数.
填写下表，并画出在上的图象；
0
【答案】(1)表格见解析，图象见解析
(2)
【分析】（1）令分别等于，，，作图.
（2）整体思想：令，求解即可
【详解】（1）
0
0 0
【例题2】已知函数
(1)填写下表，并用“五点法”画出在上的图象；
x 0

【分析】（1）首先根据五点法将表格补充完整，然后描点，最终用一条“光滑”的曲线连接起来即可.
【详解】
x 0
0 0

【巩固练习1】函数，的简图是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】利用五点作图法可得出函数，的简图.
【详解】列表：
观察各图象发现A项符合．
【巩固练习2】已知函数．完成下面表格，并用“五点法”作函数在上的简图：

x 0 π 2π
【解析】补充完整的表格如下：
x 0 π 2π
1 3 5 3 1
描点、连线得函数的图象如图所示，
【巩固练习3】已知函数
(1)填写下表，并用“五点法”画出的图象.
x 0

(2)若函数满足不等式，求的范围.
【答案】(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）令相位等于，，，求出对应角，即可完成表格画出图像；
（2）求出解，再结合图像解不三角等式即可.
【详解】（1）
0

（2）令，
，又，
所以或，即或，
结合图形

可得不等式的解为.
【题型2】含绝对值的三角函数问题
分类讨论去绝对值
【例题1】画出函数的简图．
【解析】，
的图象如下图所示，
【例题2】当时，作出下列函数的图象，把这些图象与的图象进行比较，你能发现图象变换的什么规律？
（1）；
（2）；
（3）.
【答案】答案见解析
【分析】（1）作出图象，根据图象观察即可解出；
（2）作出图象，根据图象观察即可解出；
（3）作出图象，根据图象观察即可解出．
【详解】（1）该图象与的图象关于轴对称，故将的图象作关于轴对称的图象即可得到的图象.
（2）将的图象在轴上方部分保持不变，下半部分作关于轴对称的图形，即可得到的图象.
（3）将的图象在轴右边部分保持不变，并将其作关于轴对称的图形，即可得到的图象.
【巩固练习1】作出函数，的大致图像．
【解析】函数，
其图如下所示：
【巩固练习2】已知函数，．
（1）作出函数的图象；
（2）求方程的解．
【解析】（1）当时，，则；
当时，，则.
，函数的图象如下图所示：
（2）当时，令，即，得，解得；
当时，令，得，该方程无解.
综上所述，方程的解为.
【巩固练习3】作函数的图象.
【解析】
故的图象实际就是的图象在x轴下方的部分翻折到x轴上方后得到的图象，如图
【题型3】解三角函数不等式
用三角函数图象解三角不等式的方法
1、作出相应正弦函数或余弦函数在上的图象；
2、写出适合不等式在区间上的解集；
3、根据公式一写出不等式的解集．
【例题1】若，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据给定条件，利用正弦函数的性质解不等式即得.
【详解】由，得，而，解得或，
所以的取值范围是.
【例题2】在上，函数的定义域是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】运用正弦函数性质，结合图象解题
【详解】在[0，2π]上，函数的定义域满足，
即，结合图象，知道．
【例题3】设，使且同时成立的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据正弦曲线与余弦曲线分别求出在下的角的范围，再求交集
【详解】因为，由正弦曲线得：时，
由余弦曲线得：时，，
因为，
所以且同时成立的x的取值范围是
【例题4】利用正切函数的图象，写出使下列不等式成立的x的集合：
（1）；（2）.
【答案】（1）（2）
【解析】作出在上的图象，找出不等式在一个周期内的解集，结合周期即可得出在实数范围内的解集.
【详解】（1）在同一平面直角坐标系中作出正切函数在上的图象和直线，如图：
显然在上，满足.
由图可知在上，使不等式成立的x的取值范围是.
故使不等式成立的x的集合为.
（2）不等式即，
在同一平面直角坐标系中作出正切函数在上的图象和直线，如图：
显然在上，满足.
由图可知在上，使不等式成立的x的取值范围是.
故使不等式成立的x的集合为.
【巩固练习1】函数的定义域是（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据给定的函数有意义，列出不等式，再借助余弦函数的性质求解作答.
【详解】函数有意义，则，即，
因此，解得，
所以函数的定义域是.
【巩固练习2】函数的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据题意，列出不等式求解，即可得到结果.
【详解】由题知，即，解得，
故函数的定义域为.
【巩固练习3】不等式的解集为 ．
【答案】
【分析】可先求出，的解集，在将代替解出，则不等式的解集可求.
【详解】画出时，的图象．

令，，解得或
又的周期为，所以的解集为．
用代替解出．可得
则的解集为.
【巩固练习4】在内，求使成立的x的取值范围.
【答案】
【分析】画出函数，利用图象求解即可.
【详解】当时，由，得，解得或.
函数在的图象如下图所示：

由图可知，该不等式的解集为.
【巩固练习5】求函数的定义域．
【答案】．
【分析】由被开方数非负得不等式，先利用同角三角函数关系将余弦化正弦，再把看作整体解不等式，然后借助正弦函数图象可得.
【详解】要使函数有意义，需满足，
即，
解得，由正弦函数的图象，可得．

【题型4】三角函数相关图像的识别
结合三角函数的奇偶性与正负来识别图像
【例题1】函数的大致图像为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】函数定义域为，又因为，
所以函数是奇函数，函数图像关于原点对称，故A和B错误；
当时，则，故C错误.
【例题2】函数的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】函数是定义域上的奇函数
其图象关于原点对称，排除选项D；
当时，，此时，
∴当时，的图象在轴上方，排除选项B；
当时，，的图象在轴下方，排除选项C；
综上所述，函数的大致图象为选项A.
【巩固练习1】图中的曲线对应的函数解析式是（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【解析】对于A选项，当时，，A选项不满足条件；
对于B选项，当时，，，B选项不满足条件；
对于C选项，令，该函数的定义域为，，
故函数为偶函数，当时，，由三角函数图象可知，C选项满足条件；
对于D选项，当时，，D选项不满足条件.
【巩固练习2】函数在上的图像大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】易知f(x)是偶函数，排除B，C项；
当时，，所以，排除A项.
故选：D
【巩固练习3】函数的图像是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】因为函数定义域为关于原点对称，
且，则函数为偶函数，故BD错误；
当时，，故A错误，C正确
【巩固练习4】已知函数，则在上的大致图像是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由题意可知，，
即函数为上的奇函数，所以其图象关于原点对称，排除AB；
不妨取，则，排除D
【题型5】三角函数图像与其他函数交点个数问题
图象法判断零点个数方法
将函数拆成两个函数和的差，根据，则函数的零点个数就是函数和的图象的交点个数
【例题1】方程的实数解的个数为 个.
【答案】5
【解析】方程的实数解的个数，即为函数与图象交点个数，
作出两函数的图象，如图所示：
由此可得两函数共有5个交点，所以方程的实数解的个数为5.
【例题2】（多选题）（2024·高三·全国·专题练习）函数，的图象与直线的交点个数可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABC
【解析】由题意可得，
作出函数、的图象如下图所示：
当或时，直线与函数的图象没有交点；
当时，直线与函数的图象只有一个交点；
当时，直线与函数的图象有两个交点；
当或时，直线与函数的图象有三个交点；
当时，直线与函数的图象有四个交点.
【巩固练习1】与交点个数为 个．
【答案】
【解析】作出函数与的大致图象，如图：
因为，，，，
且两个函数图象均关于原点对称，所以两个函数图象有个交点
【巩固练习2】方程在内实数根的个数为（ ）
A．11 B．10 C．9 D．8
【答案】A
【解析】由，得，
方程实根的个数就是函数与图象公共点的个数，
当时，由两函数图象可知两图象共有11个公共点，从而方程有11个实数根．
【巩固练习3】方程的实数根的个数为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【解析】由，得，即，
方程实根的个数就是函数与图象公共点的个数，
当时，两函数图象如图所示，
两图象有3个公共点，同理，当时，两图象也有3个公共点，
故两图象共有6个公共点，从而方程有6个实数根．
【巩固练习4】当时，曲线与的交点个数为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
【答案】C
【分析】画出两函数在上的图象，根据图象即可求解
【详解】因为函数的的最小正周期为，
函数的最小正周期为，
所以在上函数有三个周期的图象，
在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示：
由图可知，两函数图象有6个交点.
【题型6】求单调区间（3种类型）
（1）求形如 (其中A≠0，)的函数的单调区间，可以通过解不等式的方法去解答，列不等式的原则是：
①把“ ()”视为一个“整体”；
②A＞0(A＜0)时，所列不等式的方向与 ()，的单调区间对应的不等式方向相同(反)．
（2）当时，需要利用诱导公式把负号提出来，转化为的形式，然后求其单调递增区间，应把放在正弦函数的递减区间之内；若求其递减区间，应把放在正弦函数的递增区间之内．
类型一：整体法求单调区间
【例题1】已知函数，求的单调递减区间.
【答案 ，.
【分析】根据复合函数的单调性，得到，计算可得函数的单调递减区间.
【详解】由，得，，
∴函数的单调递减区间为： ，.
【例题2】函数的单调递增区间为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据题意，由正切函数的单调区间，列出不等式，求解即可得到结果.
【详解】令，解得，
所以函数的单调递增区间为.
类型二：括号内有符号的情况
【例题3】已知函数,若，求函数的单调递增区间
【解析】依题意，
由，得，
所以函数的单调递增区间为.
类型三：复合函数且有定义域限制
【例题4】函数的单调递增区间为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】先换元,求定义域再结合复合函数的单调性,最后根据正弦函数的单调性求解即可.
【详解】设，即，，单调递增，取单调增的部分，
所以可得：，即，
解得：
【巩固练习1】函数的单调递减区间为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【解析】因为，
且的单调递增区间为，，
所以函数的单调递减区间为，.
【巩固练习2】函数单调减区间为
【答案】
【解析】正弦函数的单调递减区间为，
由，得，
记，则
【巩固练习3】函数的单调区间是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用诱导公式化简，再根据正切函数的性质计算可得.
【详解】因为，
令，，解得，，
所以函数的单调递减区间为.
【巩固练习4】函数，的增区间是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用诱导公式可得，再用整体代换的方法即可求出单调增区间.
【详解】由题意，得.
令，解得.
所以函数的单调增区间为.
因为，所以令，则得函数，的单调增区间为 .
【巩固练习5】函数单调减区间为
【答案】
【详解】
正弦函数的单调递减区间为，
由，得，
记，则
【巩固练习6】求函数的单调区间．
【答案】函数的单调递增区间为，单调递减区间为.
【分析】根据复合函数单调性及对数函数定义域与单调性进行求解
【详解】由于为定义域为的单调递增函数，故的单调递增区间为的单调递增区间，且保证，即，，解得：，；的单调递减区间为的单调递减区间，且保证，即，，解得：，，综上：函数的单调递增区间为，单调递减区间为.
【题型7】求值域与最值
以下归纳求值域的几种方法，不过考虑到辅助角公式还没学，所以本专题暂时仅涉及前2种
1、形如求值域：令,先通过不等式性质求出t的范围，再求值域。
2、形如求值域：设，化为二次函数在闭区间上的最值求解，也可以是；
3、形如求值域：引入辅助角，化为（注：）
4、形如，求值域：，则，故，故原函数化为二次函数在闭区间上的最值求解．
类型一：y=Asin(ωx+φ)+B
【例题1】已知函数，.则的最大值为 .
【答案】1
【解析】因为，所以，
又函数在上单调递增，在上单调递减，
所以，所以的最大值为1．
类型二：二次函数型
【例题2】函数，值域是 .
【答案】
【解析】因为，所以，
，
所以函数，值域是.
【例题3】函数，的值域为 .
【答案】
【分析】求出的取值范围，再结合二次函数的基本性质可求得结果.
【详解】令，，
因为函数在上单调递增，当时，，即，
又因为函数在上单调递增，
当时，，
所以，函数，的值域为.
类型三：已知值域求参数
【例题4】已知函数,若在区间上的取值范围是，求实数的最大值.
【解析】由，可得，
当时，，
由正弦函数的性质可知，解得.
所以实数m的最大值为.
类型四：嵌套函数值域问题
【例题5】函数的值域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由于， 在上为增函数，从而可求得函数的值域
【详解】，且函数在上为增函数，∴．
即．
【巩固练习1】函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由，得，则.
【巩固练习2】函数的最大值为 .
【答案】
【解析】由于，所以.
又函数，
所以当时，.
【巩固练习3】函数的值域为 .
【答案】
【解析】因为，所以，
故，令，
得到，由二次函数性质得在上单调递减，
在上单调递增，所以的最小值为，
而，，故，故原函数值域为.
【巩固练习4】函数，函数的值域为，则 ．
【答案】
【分析】根据给定条件，求出相位的范围，再利用正弦函数的性质求出值域即得结果.
【详解】当时，，正弦函数在上递增，在上递减，
于是函数在上单调递增，在上单调递减，
因此，即函数的值域为
【巩固练习5】关于的不等式对任意恒成立，则实数的最大值为 .
【答案】
【分析】令,，将不等式转化成关于的一元二次不等式，根据一元二次函数性质即可求出结果.
【详解】因为，
所以，即，
令，，有
令，，要使不等式对于任意恒成立，
只需满足，，
函数在上单调递减，在上单调递增，
所以时，即，得或，有最小值，
，得，所以实数的最大值为.
【巩固练习6】函数的值域是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据正弦函数的有界性与正切函数的单调性，即可求出函数的值域．
【详解】∵，∴.
∵在上是单调递增的．即
∴函数的值域为.
【巩固练习7】已知函数，的值域为，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】首先化简函数的解析式，再利用复合函数的值域，求实数的取值范围.
【详解】
，设，，函数的对称轴为
且，，，
因为函数在区间的值域为，所以在区间上能取得，但是不能小于0，所以.
【题型8】周期性，奇偶性与对称性问题
1、求三角函数的周期的方法
（1）定义法：使得当取定义域内的每一个值时，都有.利用定义我们可采用取值进行验证的思路，非常适合选择题；
（2）公式法：最小正周期都是，
(3)图象法：可以画出函数的图象，利用图象的重复的特征进行确定，一般适应于不易直接判断，但是能够容易画出函数草图的函数；
（4）使用周期公式，必须先将解析式化为 SKIPIF 1 < 0 HYPERLINK "http://gk./" \o "中国教育出版网" " 的形式；正弦余弦函数的最小正周期是 SKIPIF 1 < 0 HYPERLINK "http://gk./" \o "中国教育出版网" "
2、奇偶性
（1）定义法：首先必须考虑函数的定义域，如果函数的定义域不关于原点对称，则函数一定是非奇非偶函数；如果函数的定义域关于原点对称，则继续求 SKIPIF 1 < 0 HYPERLINK "http://gk./" \o "中国教育出版网" " ；最后比较 SKIPIF 1 < 0 HYPERLINK "http://gk./" \o "中国教育出版网" " 和 SKIPIF 1 < 0 HYPERLINK "http://gk./" \o "中国教育出版网" " 的关系，如果有 SKIPIF 1 < 0 HYPERLINK "http://gk./" \o "中国教育出版网" " = SKIPIF 1 < 0 HYPERLINK "http://gk./" \o "中国教育出版网" " ，则函数是偶函数，如果有 SKIPIF 1 < 0 HYPERLINK "http://gk./" \o "中国教育出版网" " =- SKIPIF 1 < 0 HYPERLINK "http://gk./" \o "中国教育出版网" " ，则函数是奇函数，否则是非奇非偶函数.
（2） 如何判断函数的奇偶性:根据三角函数的奇偶性，利用诱导公式可推得函数的奇偶性，常见的结论如下：
(1)若为偶函数，则有;若为奇函数则有；
(2)若为偶函数，则有;若为奇函数则有；
(3)若为奇函数则有.
3、对称性问题
（1）函数的对称性问题，往往先将函数化成的形式，其图象的对称轴是直线，凡是该图象与直线的交点都是该图象的对称中心, 关键是记住三角函数的图象，根据图象并结合整体代入的基本思想即可求三角函数的对称轴与对称中心．
（2）求函数的对称轴或对 称中心时，应把作为整体，代入相应的公式中，解出x的值，最后写出结果．
【例题1】（多选）对于函数，下列说法正确的是（ ）
A．最小正周期为 B．其图象关于点对称
C．对称轴方程为 D．单调增区间
【答案】AC
【分析】利用余弦型函数的周期公式可判断A选项；利用余弦型函数的对称性可判断BC选项；利用余弦型函数的单调性可判断D选项.
【详解】对于A选项，函数的最小正周期为，A对；
对于B选项，，B错；
对于C选项，由，可得，
即函数的对称轴方程为，C对；
对于D选项，由，解得，
所以，函数的单调增区间，D错.
【例题2】已知函数，下列说法正确的有（ ）
①函数最小正周期为；
②定义域为
③图象的所有对称中心为；
④函数的单调递增区间为．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】根据正切函数的图象与性质，代入周期、定义域、对称中心和单调递增期间的公式即可求解.
【详解】对①，函数，可得的最小正周期为，所以①正确；
对②，令，解得，
即函数的定义域为，所以②错误；
对③，令，解得，所以函数的图象关于点对称，所以③正确；
对④，令，解得，故函数的单调递增区间为，所以④正确
【例题3】（多选）已知函数，则（ ）
A．的最小正周期为
B．的图象关于直线对称
C．是偶函数
D．的单调递减区间为
【答案】AD
【分析】根据正弦型函数的周期公式可判断A；代入验证函数值可判断B；求出的表达式即可判断其奇偶性，判断C；结合正弦函数的单调区间求出的单调减区间即可判断D.
【详解】对于A，由三角函数的性质，可得的最小正周期为，所以A正确；
对于B，当时，可得，
所以的图象不关于直线对称，所以B错误；
对于C，由，
此时函数为非奇非偶函数，所以C错误；
对于D，令，，解得，，
即函数的递减区间为，，所以D正确．
【巩固练习1】函数的图象的对称轴方程为 ，对称中心为 .
【答案】
【分析】根据正弦函数的对称性直接求解可得.
【详解】由，解得，
所以函数的对称轴方程为.
令，得，所以函数的对称中心为.
故答案为：，
【巩固练习2】已知直线是函数图象的一条对称轴，则（ ）
A． B．的图象关于点对称
C．的图象关于直线对称 D．在上单调递减
【答案】BCD
【分析】根据直线是函数图象的一条对称轴，求得，再逐项判断.
【详解】解：因为直线是图象的一条对称轴，所以，．又，所以．A不正确．
当时，，所以的图象关于点对称．B正确．
因为，所以C正确．
当时，，单调递减．D正确．
【巩固练习3】函数的最小正周期为 .
【答案】
【分析】根据正弦型函数的最小正周期公式运算求解.
【详解】由题意可得：函数的最小正周期.
【巩固练习4】若为偶函数，则 ．
【答案】1
【解析】，定义域为R，
由题意得，即，
故，解得.
【巩固练习5】若，（），则（ ）
A． B． C．0 D．
【答案】B
【分析】是周期为3的周期函数，计算的值，由此能求出的值．
【详解】是周期为3的周期函数，，，，．
【巩固练习6】已知函数，曲线的一个对称中心为，一条对称轴为，则的最小值为 .
【答案】9
【分析】分别由对称轴和对称中心可得的表达式，由综合可得．
【详解】因为为的一个对称中心，为的一条对称轴，
，得，
，，代入①得，
，当，时，.
【题型9】利用三角函数性质比大小
结合弧度制，判断选项中各角的范围，并且角的范围尽量小，并包含特殊角，进而利用函数的单调性比较大小
【例题1】若实数，，满足，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，又，则，且，即，
因为，所以，所以.
【例题2】已知，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】依题意，，而，
即，所以.
【例题3】已知，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】通过放缩，再利用平方关系及辅助角公式得到，利用函数在区间上单调递增，得出，再利用对数函数的单调性可得到，利用函数在区间上单调递减及指数函数的单调性可得到，进而得出结果.
【详解】因为，所以，且，故，
又，，而函数在区间上单调递增，
所以，得到，所以
又，函数在区间上单调递减，所以，
故，所以
【巩固练习1】设，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，则，，，
即，．故．
【巩固练习2】（多选）下列各式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】CD
【分析】根据三角函数的单调性及诱导公式，逐个选项判断即可得到答案．
【详解】对于A，因为在单调递增，而，所以，故A错误；
对于B，因为在上单调递减，而，所以，故B错误；
对于C，由诱导公式得，，因为
在单调递增，而，所以，故C正确；
对于D，因为，所以，而，所以
【巩固练习3】下列不等关系成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】结合弧度制，判断各选项中各角的范围，结合正余弦函数以及正切函数的单调性，结合特殊角的函数值，比较大小，即可得答案.
【详解】对于A，，故，
故，A正确；
对于B，，则，
则，B正确；
对于C，，故，
故，C错误；
对于D，，则，
故，D正确
【题型10】与零点有关的问题
类型一：由交点个数求参数范围
【例题1】已知函数的图象与直线有且仅有两个不同的交点，则实数k 的取值范围是 ．
【答案】
【分析】将函数写成分段函数的形式，在同一坐标系下画出函数和函数图象，利用数形结合即可判断两函数有两个不同的交点时实数k 的取值范围.
【详解】由题意，得
画出函数的图象，如下图所示：

由图象可知，
当时，函数的图象与直线有且仅有两个不同的交点．
类型二：关于零点的运算求值
【例题2】函数在区间上恰有2个零点，（），求的值．
【答案
【分析】根据三角函数的对称性结合诱导公式即可得的值．
【详解】在区间上恰有2个零点，（），∴在有两个根．
对于函数，由，，得，，
当时，函数图像的对称轴为
所以，则，
所以，
又，故．
【巩固练习1】已知函数在上有两个零点，则m的取值范围为 ．
【答案】
【解析】当时，，由，得；
由，得，因此函数，
在上单调递增，函数值从增大到，
在上单调递减，函数值从减小到，且，
由函数在上有两个零点，得，解得，
所以m的取值范围为.
【巩固练习2】已知函数，若在上有两个零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由，可得，所以，从而求出的取值范围．
【详解】因为，所以，
因为函数在区间上有2个零点，
所以，解得，即的取值范围是
【巩固练习3】设，若函数在上有且仅有2个零点，则的取值范围是 .
【答案】
【分析】由题意可得 ，解得可得答案.
【详解】因为函数在上有且仅有2个零点，且当 时， ，
所以 ，解得 .
【巩固练习4】若函数在上有两个零点，则实数a的取值范围是 ．
【答案】
【解析】令得．作出在上的图像，
如图所示．
要使函数在上有两个零点，需满足，所以．
【巩固练习5】已知函数，令在区间上恰有2个零点，则 ， .
【答案】
【分析】转化为在上恰有2个零点，当时，，画出在时的解析式，得到，求出，所以.
【详解】由题意得在上恰有2个零点，
即在上恰有2个零点，
当时，，
画出在时的函数图象，

关于对称，故，
即，解得，
且，，
因为，所以
【题型11】三角函数对称性的综合应用
类型一：由解析式得出对称中心
【例题1】已知函数，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用可直接构造方程求解.
【详解】，，
，解得：.
类型二：由称性求交点横（纵）坐标值的和
【例题2】当时，函数与的图象所有交点横坐标之和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】作出函数和在上的图象，通过图象即可求出交点横坐标．
【详解】作出函数和在上的图象如下
从图像上可得：函数的图象和的图象在内有两个交点：
，即，得，
，，得，
所有交点横坐标之和为.
类型三：称性的综合运算
【例题3】若函数满足，则的值为（ ）
A．1 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【解析】因为函数满足，
可得函数关于点对称，所以，且，
所以，则，
又，当时，，所以.
【巩固练习1】已知函数，若，则 .
【答案】5
【分析】由奇函数相关性质可得答案.
【详解】根据题意，即.
所以.
【巩固练习2】函数，且，则的值为 .
【答案】0
【分析】构造，得到为奇函数，从而根据得到，由求出.
【详解】令，
定义域为或且，关于原点对称，
则，
故为奇函数，又，故，解得.
【巩固练习3】已知函数，，则方程的所有根的和等于 .
【答案】0
【解析】函数与函数的图象如下图所示
不妨设方程的所有根从小到大为，
由对称性可知，
则方程的所有根的和等于0.
【巩固练习4】已知函数的图象关于点对称，且，则的最小值为 ．
【答案】
【解析】由的图象关于点对称，得，
由及得，或，
当时，，由得的最小值为；
当时，，由得的最小值为；
综上所述，的最小值为
【巩固练习5】已知函数在内单调递减，是函数的一条对称轴，且函数为奇函数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为函数在内单调递减，所以，得，
因为是函数的一条对称轴，所以，①
因为函数是奇函数，所以，②，
由①②可得，，而，所以
当时，，得，，
因为，所以，即，
当时，，显然此时函数单调递减，符合题意，
所以
当时，，得，，
因为，所以，即，
当时，，显然此时函数不是单调递减函数，不符合题意，
所以.
【巩固练习6】已知函数，则图象有如下性质（ ）
A．关于点中心对称 B．关于直线轴对称
C．关于点中心对称 D．关于点中心对称
【答案】C
【解析】ACD选项，
，故，
故关于点中心对称，C正确，AD错误；
B选项，，
故不关于直线轴对称，B错误.
【巩固练习7】己知函数，则
__________.
【答案】 8082
【详解】到2020关于原点对称，显然部分的和刚好为0
令，则
∴
【巩固练习8】已知在上是单调函数，函数的图象关于点中心对称，且对任意的，都有.
(1)求解析式；
(2)若函数在上有两个零点，，求的值.
【解析】（1）由题对任意，都有，故当时，取得最大值.
因为在是单调函数，且的图象关于点对称，
所以得，所以
又因为函数在时取得最大值，所以，，
即，.因为，所以，
所以：.
（2）因为，令，则
在内的图象如图所示，
由题函数在有两个零点，，
即与在内有两个交点，，
数形结合可得：，，即，
所以.
【题型12】求ω范围问题初步
解题策略：数形结合求出区间终点在图像上对应的位置
类型一：由零点个数求ω的范围
【例题1】已知函数在上有且仅有2个零点，则的取值范围为 ．
【答案】
【分析】首先求的取值范围，再根据余弦函数的图象，列式求的取值范围.
【详解】令当时，，
因为在上有且仅有2个零点，变为在上有且仅有2个零点，
所以，，解得．
类型二：由值域求ω的范围
【例题2】若函数，的值域为，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用可得，再由三角函数图像性质可得，解不等式即可求得的取值范围.
【详解】根据题意可知若，则可得；
显然当时，可得，
由的值域为，利用三角函数图像性质可得
类型三：由对称轴（中心）个数求ω的范围
【例题3】已知函数的图象在上有且仅有两条对称轴，则的取值范围为________
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】因为，则，根据正弦函数的对称轴列出不等式求解
【详解】因为，则，根据正弦函数的对称轴可知两条对称轴为，则，解得.
类型四：在某区间上单调增（减）求ω的范围
【例题4】已知函数在区间上单调递减，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】在区间上单调递减，，
由，得①.
又，图象关于点对称，
即②.
由②-①得，由于，
则，代入①，即，
由于，则．
【巩固练习1】已知函数在区间有且仅有3个零点，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】令，得有3个根，从而结合余弦函数的图像性质即可得解.
【详解】因为，所以，
令，则有3个根，
令，则有3个根，其中，
结合余弦函数的图像性质可得，故，
【巩固练习2】已知函数，若至少存在两个不相等的实数，使得，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【分析】当时，易知必满足题意；当时，根据可得，由最大值点的个数可构造不等式组，结合确定具体范围．
【详解】至少存在两个不相等的实数，使得，
当，即时，必存在两个不相等的实数满足题意；
当，即时，，
，；
当时，解集为，不合题意；令，则；令，则；
综上所述：实数的取值范围为.
【巩固练习3】已知函数，若在上有且仅有2个零点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】结合正弦函数图象确定范围即可.
【详解】令，则在上仅有2个零点，
所以，解得
【巩固练习4】设函数在区间恰有三个对称轴、两个零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】依题意可得，因为，所以，
要使函数在区间恰有三个对称轴、两个零点，又，的图象如下所示：
则，解得，即．
【巩固练习5】函数的图象在区间上恰有一条对称轴和一个对称中心，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由，设，则，
由图可知直线在线段之间，不含点，所以，得．
【巩固练习6】定义在上的函数有零点，且值域，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】利用正弦函数的图象性质求解即可.
【详解】因为，所以，又因为函数有零点，
且值域，所以，解得
【巩固练习7】已知（，为常数），若在上单调，且，则的最小正周期是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用正弦函数的图象性质求解.
【详解】因为在上单调，所以，所以，
又因为，所以函数图象关于直线对称，
又因为，所以函数图象关于点中心对称，
所以，则有，
所以，所以只有当满足，此时，
【题型13】三角函数性质综合
【例题1】（多选）已知函数，，则下列说法不正确的有（ ）
A．若，则
B．若，则
C．函数的单调递增区间为
D．若方程有三个不同的解，则或
【答案】AC
【分析】对A、B：由，可得，即可得或；对C、D：可画出函数图象，由图象即可判断.
【详解】由，可得，
由，得，即可得，解得或，故A不正确，B正确；
在坐标系中画出函数的图象，
如图所示，由函数图象可知函数的单调递增区间为和，故C不正确；
由方程有三个不同的解，可知或，故D正确．
【例题2】设函数，则下列说法正确的是（ ）
A．若的最小正周期为，则
B．若，则的图象关于点对称
C．若在区间上单调递增，则
D．若在区间上恰有2个零点，则
【答案】AD
【分析】根据正弦函数的图象和性质逐一判断即可.
【详解】对于A，若的最小正周期为，则，解得，故A正确；
对于B，若，则，时，，故B错误；
对于C，时，，
因为在上单调递增，则，解得，故C错误；
对于D，时，，
若在上恰有2个零点，
则，解得，故D正确.
【巩固练习1】已知函数，则（ ）
A．的图象关于原点对称 B．的最小正周期为
C．的图象关于直线对称 D．的值域为R
【答案】ACD
【分析】根据奇函数的定义即可判断A，根据周期的定义即可判断B，根据即可判断C，根据奇偶性以及单调性即可判断D.
【详解】令,故的定义域为，关于原点对称，
有为奇函数，A正确，
，不是的周期，故B错误，
，由于，故是的一条对称轴，故C正确，
令，在单调递增，故在上的范围为，由于为奇函数，所以在上的范围为，故的值域为R，D正确，
【巩固练习2】（多选）已知函数，则（ ）
A．为函数的一个周期 B．对于任意的，函数都满足
C．函数在上单调递减 D．的值域为
【答案】ABD
【分析】计算，可判定选项A；根据三角函数的诱导公式进行化简运算，可判定选项B；化简函数，结合三角函数的性质，可判定选项C；根据，且，结合选项A、B及函数的单调性，可判定选项D.
【详解】对于A，由，
所以为的周期，故A正确；
对于B，由，
，所以，故B正确；
对于C，由，则，且，
根据正弦函数的性质，可得函数在上单调递增，在上单调递减，故C错误；
对于D，函数，由，且，所以函数的最小值为；
由时，函数在上单调递增，在上单调递减，当时，函数的最大值为；
由B选项知函数关于对称，又为的周期，的值域为，故D正确.
故选：ABD.
【巩固练习3】已知函数，则下列结论中正确的个数是（ ）
①是周期为的周期函数
②是函数的一个单调递增区间
③若，，则的最小值为
④的对称中心为，
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】C
【解析】因为,所以周期不是，①错误；
，
，所以不是的单调递增区间，②错误；
,因为设，
所以,所以,
所以的最小值为，③正确；
,④正确.
【巩固练习4】（多选题）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．若的最小正周期是，则
B．当时，的对称中心的坐标为
C．当时，
D．若在区间上单调递增，则
【答案】ACD
【分析】对于利用函数周期公式求解即可；对于，求出当时，函数的对称中心，即可判定；对于，，求出，利用函数的单调性即可比较大小；对于，求出函数的单调递增区间，结合题中条件列出不等式组，解出结果，再结合周期范围及，即可求出的范围.
【详解】对于当的最小正周期是，即则，故正确；
对于,当时，，
所以令,解得，所以函数的对称中心的坐标为，
故错误；
对于，当时，，
，，
由于正切函数在单调递增，故，故正确；
对于,令解得：，
所以函数的单调递增区间为，
又因为在区间上单调递增，所以解得:，
另一方面，所以
又因为所以故，故正确.
【巩固练习5】（多选题）（2024·高一·江苏盐城·开学考试）函数在上单调递增，下列命题正确的是（ ）
A．在区间上单调递减 B．的图象有一个对称中心为
C．是图象的一条对称轴 D．在上的值域为
【答案】ABD
【解析】由，得，而在，
则，解得，
由，解得，则，，
又，因此，，
对于A，当时，，而在上单调递减，
因此在区间上单调递减，A正确；
对于B，，则的图象的一个对称中心为，B正确；
对于C，，则不是图象的对称轴，C错误；
对于D，当时，，，
因此，D正确.
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知识梳理与常考题型
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专题5-4 三角函数的图像与性质
TOC \o "1-4" \n \h \z \u
类型二：二次函数型 HYPERLINK \l "_Toc183876037"
SHAPE \* MERGEFORMAT
函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x
图象
单调性 递增递减 递增递减 递增
对称中心
对称轴
周期 2π 2π π
【题型1】五点作图法
五点法作,的简图
在函数y=sinx，的图象上，起关键作用的点有以下五个：
,如下表：
x 0
y=sinx 0 1 0 0
描出这五个点后,函数y=sinx，的图象形状就基本上确定了．因此，在精确度要求不高时，我们可以先找出这五个关键点，然后用光滑的曲线顺次将它们连接起来，就得到函数的简图，这种作图的方法称为五点法作图．
作的图像时也是先描出波峰、波谷和三个平衡位置这五个点，再利用光滑曲线把这五点连接起来，就得到曲线在一个周期内的图象．
【例题1】已知函数.
填写下表，并画出在上的图象；
0
【例题2】已知函数
(1)填写下表，并用“五点法”画出在上的图象；
x 0

【巩固练习1】函数，的简图是（ ）
A． B． C． D．
【巩固练习2】已知函数．完成下面表格，并用“五点法”作函数在上的简图：

x 0 π 2π
【巩固练习3】已知函数
(1)填写下表，并用“五点法”画出的图象.
x 0

(2)若函数满足不等式，求的范围.
【题型2】含绝对值的三角函数问题
分类讨论去绝对值
【例题1】画出函数的简图．
【例题2】当时，作出下列函数的图象，把这些图象与的图象进行比较，你能发现图象变换的什么规律？
（1）； （2）； （3）.
【巩固练习1】作出函数，的大致图像．
【巩固练习2】已知函数，．
（1）作出函数的图象；（2）求方程的解．
【巩固练习3】作函数的图象.
【题型3】解三角函数不等式
用三角函数图象解三角不等式的方法
1、作出相应正弦函数或余弦函数在上的图象；
2、写出适合不等式在区间上的解集；
3、根据公式一写出不等式的解集．
【例题1】若，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【例题2】在上，函数的定义域是（ ）
A． B． C． D．
【例题3】设，使且同时成立的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【例题4】利用正切函数的图象，写出使下列不等式成立的x的集合：
（1）； （2）.
【巩固练习1】函数的定义域是（　　）
A． B．
C． D．
【巩固练习2】（22-23高一上·甘肃定西·期末）函数的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
【巩固练习3】不等式的解集为 ．
【巩固练习4】在内，求使成立的x的取值范围.
【巩固练习5】求函数的定义域．
【题型4】三角函数相关图像的识别
结合三角函数的奇偶性与正负来识别图像
【例题1】函数的大致图像为（ ）

A． B． C． D．
【例题2】函数的大致图象是（ ）
A． B． C． D．
【巩固练习1】图中的曲线对应的函数解析式是（ ）

A． B． C． D．
【巩固练习2】函数在上的图像大致是（ ）
A． B．
C． D．
【巩固练习3】（2024·广东深圳·阶段练习）函数的图像是（ ）
B．
A． B． C． D．
【巩固练习4】已知函数，则在上的大致图像是（ ）
A． B． C． D．
【题型5】三角函数图像与其他函数交点个数问题
图象法判断零点个数方法
将函数拆成两个函数和的差，根据，则函数的零点个数就是函数和的图象的交点个数
【例题1】方程的实数解的个数为 个.
【例题2】（多选题）函数，的图象与直线的交点个数可能是（ ）
A． B． C． D．
【巩固练习1】与交点个数为 个．
【巩固练习2】方程在内实数根的个数为（ ）
A．11 B．10 C．9 D．8
【巩固练习3】方程的实数根的个数为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【巩固练习4】当时，曲线与的交点个数为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
【题型6】求单调区间（3种类型）
（1）求形如 (其中A≠0，)的函数的单调区间，可以通过解不等式的方法去解答，列不等式的原则是：
①把“ ()”视为一个“整体”；
②A＞0(A＜0)时，所列不等式的方向与 ()，的单调区间对应的不等式方向相同(反)．
（2）当时，需要利用诱导公式把负号提出来，转化为的形式，然后求其单调递增区间，应把放在正弦函数的递减区间之内；若求其递减区间，应把放在正弦函数的递增区间之内．
类型一：整体法求单调区间
【例题1】已知函数，求的单调递减区间.
【例题2】函数的单调递增区间为（ ）
A． B．
C． D．
类型二：括号内有符号的情况
【例题3】已知函数,若，求函数的单调递增区间
类型三：复合函数且有定义域限制
【例题4】函数的单调递增区间为（ ）
A． B．
C． D．
【巩固练习1】函数的单调递减区间为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【巩固练习2】函数单调减区间为
【巩固练习3】函数的单调区间是（ ）
A． B．
C． D．
【巩固练习4】函数，的增区间是（ ）
A． B．
C． D．
【巩固练习5】函数单调减区间为
【巩固练习6】求函数的单调区间．
【题型7】求值域与最值
以下归纳求值域的几种方法，不过考虑到辅助角公式还没学，所以本专题暂时仅涉及前2种
1、形如求值域：令,先通过不等式性质求出t的范围，再求值域。
2、形如求值域：设，化为二次函数在闭区间上的最值求解，也可以是；
3、形如求值域：引入辅助角，化为（注：）
4、形如，求值域：，则，故，故原函数化为二次函数在闭区间上的最值求解．
类型一：y=Asin(ωx+φ)+B
【例题1】已知函数，.则的最大值为 .
类型二：二次函数型
【例题2】函数，值域是 .
【例题3】函数，的值域为 .
类型三：已知值域求参数
【例题4】已知函数,若在区间上的取值范围是，求实数的最大值.
类型四：嵌套函数值域问题
【例题5】函数的值域是（ ）
A． B． C． D．
【巩固练习1】函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
【巩固练习2】函数的最大值为 .
【巩固练习3】函数的值域为 .
【巩固练习4】函数，函数的值域为，则 ．
【巩固练习5】关于的不等式对任意恒成立，则实数的最大值为 .
【巩固练习6】函数的值域是（　　）
A． B． C． D．
【巩固练习7】已知函数，的值域为，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【题型8】周期性，奇偶性与对称性问题
1、求三角函数的周期的方法
（1）定义法：使得当取定义域内的每一个值时，都有.利用定义我们可采用取值进行验证的思路，非常适合选择题；
（2）公式法：最小正周期都是，
(3)图象法：可以画出函数的图象，利用图象的重复的特征进行确定，一般适应于不易直接判断，但是能够容易画出函数草图的函数；
（4）使用周期公式，必须先将解析式化为 SKIPIF 1 < 0 HYPERLINK "http://gk./" \o "中国教育出版网" " 的形式；正弦余弦函数的最小正周期是 SKIPIF 1 < 0 HYPERLINK "http://gk./" \o "中国教育出版网" "
2、奇偶性
（1）定义法：首先必须考虑函数的定义域，如果函数的定义域不关于原点对称，则函数一定是非奇非偶函数；如果函数的定义域关于原点对称，则继续求 SKIPIF 1 < 0 HYPERLINK "http://gk./" \o "中国教育出版网" " ；最后比较 SKIPIF 1 < 0 HYPERLINK "http://gk./" \o "中国教育出版网" " 和 SKIPIF 1 < 0 HYPERLINK "http://gk./" \o "中国教育出版网" " 的关系，如果有 SKIPIF 1 < 0 HYPERLINK "http://gk./" \o "中国教育出版网" " = SKIPIF 1 < 0 HYPERLINK "http://gk./" \o "中国教育出版网" " ，则函数是偶函数，如果有 SKIPIF 1 < 0 HYPERLINK "http://gk./" \o "中国教育出版网" " =- SKIPIF 1 < 0 HYPERLINK "http://gk./" \o "中国教育出版网" " ，则函数是奇函数，否则是非奇非偶函数.
（2） 如何判断函数的奇偶性:根据三角函数的奇偶性，利用诱导公式可推得函数的奇偶性，常见的结论如下：
(1)若为偶函数，则有;若为奇函数则有；
(2)若为偶函数，则有;若为奇函数则有；
(3)若为奇函数则有.
3、对称性问题
（1）函数的对称性问题，往往先将函数化成的形式，其图象的对称轴是直线，凡是该图象与直线的交点都是该图象的对称中心, 关键是记住三角函数的图象，根据图象并结合整体代入的基本思想即可求三角函数的对称轴与对称中心．
（2）求函数的对称轴或对 称中心时，应把作为整体，代入相应的公式中，解出x的值，最后写出结果．
【例题1】（多选）对于函数，下列说法正确的是（ ）
A．最小正周期为 B．其图象关于点对称
C．对称轴方程为 D．单调增区间
【例题2】已知函数，下列说法正确的有（ ）
①函数最小正周期为；
②定义域为
③图象的所有对称中心为；
④函数的单调递增区间为．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【例题3】（多选）已知函数，则（ ）
A．的最小正周期为
B．的图象关于直线对称
C．是偶函数
D．的单调递减区间为
【巩固练习1】函数的图象的对称轴方程为 ，对称中心为 .
【巩固练习2】已知直线是函数图象的一条对称轴，则（ ）
A． B．的图象关于点对称
C．的图象关于直线对称 D．在上单调递减
【巩固练习3】函数的最小正周期为 .
【巩固练习4】若为偶函数，则 ．
【巩固练习5】若，（），则（ ）
A． B． C．0 D．
【巩固练习6】已知函数，曲线的一个对称中心为，一条对称轴为，则的最小值为 .
【题型9】利用三角函数性质比大小
结合弧度制，判断选项中各角的范围，并且角的范围尽量小，并包含特殊角，进而利用函数的单调性比较大小
【例题1】若实数，，满足，，，则（ ）
A． B． C． D．
【例题2】已知，则（ ）
A． B． C． D．
【例题3】已知，则（ ）
A． B． C． D．
【巩固练习1】设，，，则（ ）
A． B． C． D．
【巩固练习2】（多选）下列各式正确的是（ ）
A． B． C． D．
【巩固练习3】下列不等关系成立的是（ ）
A． B． C． D．
【题型10】与零点有关的问题
解题策略：数形结合
类型一：由交点个数求参数范围
【例题1】已知函数的图象与直线有且仅有两个不同的交点，则实数k 的取值范围是 ．
类型二：关于零点的运算求值
【例题2】函数在区间上恰有2个零点，（），求的值．
【巩固练习1】已知函数在上有两个零点，则m的取值范围为 ．
【巩固练习2】已知函数，若在上有两个零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【巩固练习3设，若函数在上有且仅有2个零点，则的取值范围是 .
【巩固练习4】若函数在上有两个零点，则实数a的取值范围是 ．
【巩固练习5】已知函数，令在区间上恰有2个零点，则 ， .
【题型11】三角函数对称性的综合应用
类型一：由解析式得出对称中心
【例题1】已知函数，若，则（ ）
A． B． C． D．
类型二：由称性求交点横（纵）坐标值的和
【例题2】（23-24高一上·山东青岛·期末）当时，函数与的图象所有交点横坐标之和为（ ）
A． B． C． D．
类型三：称性的综合运算
【例题3】若函数满足，则的值为（ ）
A．1 B．3 C．4 D．5
【巩固练习1】已知函数，若，则 .
【巩固练习2】函数，且，则的值为 .
【巩固练习3】已知函数，，则方程的所有根的和等于 .
【巩固练习4】已知函数的图象关于点对称，且，则的最小值为 ．
【巩固练习5】已知函数在内单调递减，是函数的一条对称轴，且函数为奇函数，则（ ）
A． B． C． D．
【巩固练习6】已知函数，则图象有如下性质（ ）
A．关于点中心对称 B．关于直线轴对称
C．关于点中心对称 D．关于点中心对称
【巩固练习7】己知函数，则
__________.
【巩固练习8】已知在上是单调函数，函数的图象关于点中心对称，且对任意的，都有.
(1)求解析式；
(2)若函数在上有两个零点，，求的值.
【题型12】求ω范围问题初步
解题策略：
数形结合，换元化归思想，结合图像分析区间终点在x轴上对应的范围，详情见例1解析
类型一：由零点个数求ω的范围
【例题1】已知函数在上有且仅有2个零点，则的取值范围为 ．
类型二：由值域求ω的范围
【例题2】若函数，的值域为，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
类型三：由对称轴（中心）个数求ω的范围
【例题3】已知函数的图象在上有且仅有两条对称轴，则的取值范围为________
A． B． C． D．
类型四：在某区间上单调增（减）求ω的范围
【例题4】已知函数在区间上单调递减，，则（ ）
A． B． C． D．
【巩固练习1】已知函数在区间有且仅有3个零点，则的取值范围是 ．
【巩固练习2】已知函数，若至少存在两个不相等的实数，使得，则实数的取值范围是 ．
【巩固练习3】（23-24高二上·云南大理·期中）已知函数，若在上有且仅有2个零点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【巩固练习4】设函数在区间恰有三个对称轴、两个零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【巩固练习5】函数的图象在区间上恰有一条对称轴和一个对称中心，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【巩固练习6】定义在上的函数有零点，且值域，则的取值范围是 ．
【巩固练习7】已知（，为常数），若在上单调，且，则的最小正周期是（ ）
A． B． C． D．
【题型13】三角函数性质综合
【例题1】（多选）已知函数，，则下列说法不正确的有（ ）
A．若，则 B．若，则
C．函数的单调递增区间为 D．若方程有三个不同的解，则或
【例题2】设函数，则下列说法正确的是（ ）
A．若的最小正周期为，则
B．若，则的图象关于点对称
C．若在区间上单调递增，则
D．若在区间上恰有2个零点，则
【巩固练习1】已知函数，则（ ）
A．的图象关于原点对称 B．的最小正周期为
C．的图象关于直线对称 D．的值域为R
【巩固练习2】（多选）已知函数，则（ ）
A．为函数的一个周期 B．对于任意的，函数都满足
C．函数在上单调递减 D．的值域为
【巩固练习3】已知函数，则下列结论中正确的个数是（ ）
①是周期为的周期函数
②是函数的一个单调递增区间
③若，，则的最小值为
④的对称中心为，
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【巩固练习4】（多选题）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．若的最小正周期是，则
B．当时，的对称中心的坐标为
C．当时， D．若在区间上单调递增，则
【巩固练习5】（多选题）（2024·高一·江苏盐城·开学考试）函数在上单调递增，下列命题正确的是（ ）
A．在区间上单调递减 B．的图象有一个对称中心为
C．是图象的一条对称轴 D．在上的值域为
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知识梳理与常考题型
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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