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专题5-5 三角恒等变换及其应用
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【题型1】和差公式及其逆用
两角和与差的正弦、余弦和正切公式
1、两角和与差的正弦：
:
:
2、两角和与差的余弦：
:
:
3、两角和与差的正切：
:.
:.
要注意的是：
一、
二、
【例题1】已知，则a的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先由诱导公式化简，再由余弦两角和差公式即可求得.
【详解】
【例题2】的值为（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】D
【分析】根据正切的两角和公式变形可得.
【详解】因为，
变形得，
所以.
【例题3】（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用诱导公式，结合切化弦，原式可化为，再利用二倍角公式与两角差的正弦公式可得答案.
【详解】
.
【巩固练习1】（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据给定条件，利用诱导公式及和角正弦公式的逆用求解即得.
【详解】
.
【巩固练习2】已知，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用同角三角函数的基本关系求出的值，再利用两角差的正弦公式可求得的值.
【详解】因为，，则，
.
【巩固练习3】已知为第二象限角，且终边与单位圆的交点的横坐标为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由题意首先求出，然后利用诱导公式、两角和差的余弦公式运算即可求解.
【详解】由题意，得，
所以.
【巩固练习4】（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】A
【分析】根据两角和的正切公式以及诱导公式求得正确答案.
【详解】，
，
，
所以，
所以
.
【巩固练习5】若，则的值为（ ）
A． B．1
C． D．2
【答案】D
【分析】根据已知条件利用两角和的正切公式求解
【详解】因为，所以，
所以，所以，
所以
【巩固练习6】 的值等于（ ）
A． B．1 C．0 D．
【答案】B
【分析】运用正弦函数两角和公式计算.
【详解】
【题型2】二倍角公式的简单应用
二倍角公式
①；
②；
③；
【例题1】已知角的终边过点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据终边过点，应用三角函数的定义，求出，再应用二倍角公式即可.
【详解】因为角的终边过点，根据三角函数的定义，可得，
则．
【例题2】已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用二倍角的余弦公式代入计算即可得出结果.
【详解】根据二倍角的余弦公式可得：
.
【巩固练习1】已知，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据，的值即可求解，再代入二倍角公式即可求解.
【详解】因为，
所以，则，
所以
代入二倍角公式.
【巩固练习2】已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】用二倍角公式即可求解.
【详解】，
【巩固练习3】已知角的终边过点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用三角函数的定义、同角三角函数的商数关系及二倍角公式计算即可
【详解】由题意知，所以．
【题型3】二倍角公式与诱导公式结合（换元与凑角）
若题目中出现了角的和差结构比如这类条件，一般不拆括号，先尝试换元进行配凑，若能凑出则用诱导公式，否则就用和差公式
【例题1】若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】将写成，利用诱导公式，化为，然后利用余弦函数的二倍角公式可得出答案.
【详解】
【例题2】已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】因为，所以
.
【例题3】已知，，则
【答案】
【详解】，，
.
【巩固练习1】已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用诱导公式和二倍角公式可求的值.
【详解】
【巩固练习2】已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】应用诱导公式可得，再由倍角余弦公式求即可.
【详解】由，
所以.
【巩固练习3】已知，则 。
【答案】
【解析】
【巩固练习4】已知，，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：因为
=-.
，
；
，，所以，故．
【题型4】二倍角与齐次式化简
【二倍角公式变形】
完全平方式：
平方差公式：
对于二次结构：可以通过出除“1”来化为齐次式
【例题1】（2021·全国·统考高考真题）若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】将式子进行齐次化处理得：
．
【例题2】已知角θ的大小如图所示，则＝（　　）

A． B． C． D．4
【答案】C
【分析】根据三角函数的定义可得进而又和差角公式得，又二倍角和齐次式即可求解.
【详解】由图可知
所以，
则
【巩固练习1】（2021·全国·统考高考真题）若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由二倍角公式可得，再结合已知可求得，利用同角三角函数的基本关系即可求解.
【详解】
，
，，，解得，
，.
【巩固练习2】若，，则 .
【答案】
【详解】由，得，
所以，即，解得：或，
因为，所以，则
【巩固练习3】已知，则　　
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：因为，
所以，
所以【巩固练习4】已知角α满足，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据三角恒等变换可得，然后利用二倍角公式结合齐次式即得.
【详解】因为，
所以，
所以，即，
所以.
【巩固练习5】我国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》一书时介绍了“赵爽弦图”，如图所示，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的大正方形，记直角三角形中较大的锐角为，大正方形的边长为，小正方形的边长为，若，则（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先根据三角恒等变换化简，可得，进而结合同角三角函数关系可得，，结合题意可得，进而求解即可.
【详解】由题意可得
，
解得或（舍去），
因为是直角三角形中较大的锐角，所以，
所以，
所以，
又直角三角形的直角边分别为，则，
所以．
【题型5】给值求值（角）问题（不拆括号）
给角求值与给值求值拆凑角常见的配角技巧：①；；②；
③；④；⑤．⑥，
【例题1】已知，且，则=________
【答案】
【详解】
【例题2】已知均是锐角，已知，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
先求得，利用两角差的正弦公式求得正确答案.
【详解】因为均是锐角，，
则，，又，
所以
.
【例题3】已知，，则
【答案】
【分析】由，，可得，由，求值即可.
【详解】，
，
法一：
，
，
则，
所以.
法二：换元法
令，，则，，
即，，
故，所以.
【巩固练习1】已知角，均在内，，，则角的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意，由同角的平方关系可得，再由余弦的和差角公式，即可得到结果.
【详解】因为，且，所以，
因为，所以，所以为钝角，
所以，
则
，且，则
【巩固练习2】设为锐角，若，则　　
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：因为为锐角，所以，，
又，所以，
所以．
【巩固练习3】已知，，，．
(1)求的值；(2)求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）首先根据确定的取值范围，再由同角三角函数的平方关系及诱导公式即可求得的值；
（2）由题意求得，再利用凑角即可求得的值.
【详解】（1）∵，∴，
又，，
∴，
∴
.
（2）∵，，
∴，，，
∴，
∴
.
【巩固练习4】若，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用两角和（差）的余弦公式求出，再由二倍角公式计算可得.
【详解】因为，，
所以，
所以，所以，
所以
.
【题型6】辅助角公式及其应用
一、对于形如的式子，可变形如下：
=
令，
则==
其中角所在象限由的符号确定，与在同一象限,角的值由确定
二、辅助角公式的应用：研究三角函数的性质时往往需要先通过辅助角公式把解析式化成的形式
【例题1】当时，函数的（ ）
A．最大值为1，最小值为 B．最大值为1，最小值为
C．最大值为2，最小值为 D．最大值为2，最小值为
【答案】D
【分析】先根据辅助角公式化简，然后采用整体替换的方法结合正弦函数的单调性求解出最大值和最小值.
【详解】∵，
由于，∴，
当时，函数取得最大值，即，
当时，函数取得最小值，即
【例题2】已知函数在处取到最大值，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】运用辅助角公式或逆用两角差的正弦公式化简后求出，再代入运用两角差的正弦公式即可求解.
【详解】因为，
其中，，又在处取到最大值，
所以（），即（），
则，，
所以
【例题3】函数在区间上的最大值为（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】C
【分析】确定，，得到最值.
【详解】
【巩固练习1】当函数取得最大值时， .
【答案】
【详解】试题分析：，所以当时函数取得最大值，此时
考点：三角函数最值
【巩固练习2】已知,则 .
【答案】/0.8
【分析】根据辅助角公式和两角差的余弦公式求解即可.
【详解】因为,
所以.
【巩固练习3】若，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用辅助角公式得到，从而求出，再由二倍角公式求出、，再由计算可得.
【详解】因为，所以，
所以，
因为，所以，所以，
所以，
.
所以
.
【巩固练习4】（23-24高一上·湖北孝感·期末）已知函数，求函数f（x）在区间 上的单增区间为 .
【答案】
【分析】利用两角差的正弦公式以及正余弦的二倍角公式恒等变换，再利用正弦函数的单调性求出上的单调递增区间.
【详解】
，
令，Z，求得 ，Z，
可得函数的增区间为，Z，
再根据，可得函数f（x）在区间 上的单增区间为
【巩固练习5】若，则 ．
【答案】
【分析】利用诱导公式、二倍角公式和辅助角公式化简可得，然后由可解.
【详解】因为
，
所以，
所以．
【巩固练习6】化简： .
【答案】
【分析】根据条件，利用辅助角公式、平方关系及正弦和余弦倍角公式，即可求出结果.
【详解】原式
【巩固练习7】已知函数的定义域为，在定义域内存在唯一，使得，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先将函数化为一角一函数，再将函数在定义域内存在唯一，使得转化成在上有唯一解，接着结合正弦函数图像性质即可求解.
【详解】由题意，，
在定义域内存在唯一，使得，
所以在上有唯一解，令，
所以在上有唯一解，
则由正弦函数图像性质可知，
【题型7】和差公式与二倍角公式结合
与相加减可以得到与有关的式子
所以以上4个式子知二求二，而二倍角公式则可以通过配凑得出，
【例题1】（2023·新高考I卷T8）已知，则（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据给定条件，利用和角、差角的正弦公式求出，再利用二倍角的余弦公式计算作答.
【详解】因为，而，因此，
则，
所以.
【例题2】已知均为锐角，，且，则 .
【答案】
【分析】化切为弦，然后逆用两角和正弦公式，求得，再利用两角和与差的余弦公式求得，根据二倍角公式即可得结果.
【详解】，
因为，则，因此，
而，从而，
因此，则.
【巩固练习1】已知，且，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由两角和正切公式及条件求得，然后化切为弦，结合两角差的余弦公式求得，从而利用两角和余弦公式得，从而利用二倍角公式可求解.
【详解】由题意可得，因为，所以，
由，得，
故，所以.
【巩固练习2】已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用二倍角余弦公式可求得，利用两角和差余弦公式可依次求得和.
【详解】，，
，，，则，
，，
.
【巩固练习3】若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由，
所以，即，
【巩固练习4】（多选）已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【分析】根据，判断的范围，再根据，求出，再由，求出，，，从而得出答案.
【详解】因为，所以，
又，所以，，由，得.
对于A选项，若，则，又，所以，
而矛盾，所以.故A错误；
对于B选项，根据A选项知， ，则，又，
所以，而，所以，
这样，故B正确；
对于C选项，根据A选项知，，再根据B选项中，，
知，从而，
则，
又，，，所以，故C正确；
对于D选项，根据C选项知，所以，
又，解得，故D错误
【题型8】三角形中的恒等变换
因为三角形内角和为180°，所以提供了诱导公式变形的条件
A,B,C为△ABC的三个内角，则有
①，
②，
③若，则
④正切恒等式
由③可知：：，
去分母得
移项得
⑤在△ABC，与是等价的，结合图像可以得出这个结论
【例题1】在中，下列等式错误的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】对A：由平方差公式分析判断；对B、C、D：根据三角恒等变换结合三角形中角的关系分析判断.
【详解】对于选项A：由平方差公式可知，故A正确；
对于选项B：
，故B正确；
对于选项C：因为，即，
所以，故C正确；
对于选项D：因为，则
所以，故D错误
【例题2】在△ABC中，若，则△ABC是（ ）
A．等边三角形 B．等腰直角三角形
C．等腰三角形 D．直角三角形
【答案】C
【分析】根据两角和与差的余弦公式可得，再结合诱导公式化简计算得出结果．
【详解】因为
所以，因为
则又，所以,
所以；所以.
又为△ABC的内角，所以.所以，故△ABC为等腰三角形.
【巩固练习1】若在中，，则的形状为（ ）
A．直角三角形 B．等边三角形
C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
【答案】C
【分析】由降幂公式，内角和性质，恒等变换化简已知等式即可.
【详解】因为，所以，
又，所以，
所以，即，
又，所以，
所以，即的形状为等腰三角形
【巩固练习2】在中，为它的三个内角，且满足，，则 .
【答案】
【分析】将题目中的两个式子平方后相加，可得，再利用诱导公式和三角函数单调性即可求得结果.
【详解】由题意可知，将两边同时平方得
将两式相加得
，即，所以可得或；
又因为，得，
由余弦函数单调性可得，所以不合题意；因此.
【巩固练习3】在△ABC中，AB边上的高，则的最小值为 .
【答案】
【分析】根据几何关系得，利用即可求出其最小值.
【详解】，，∴，，
，
∵，∴，∴当时，x＋y的最小值为.
【巩固练习4】已知为斜三角形．
(1)证明：；
(2)若为锐角三角形，，求的最小值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）利用诱导公式结合两角和的正切公式可证得结论成立；
（2）推导出，利用（1）中的结论结合基本不等式可求得的最小值.
【详解】（1）证明：，所以．
因为，所以，所以．
由，可得．
（2）解：因为，
所以，可得．
由（1）得．
因为为锐角三角形，由可知，
设，则，
当且仅当时取等号，再由（1）可得，
此时，解得或时，
即当或时，等号成立，故的最小值为.
【题型9】给式子求角（值）问题
解题策略：
1、若题目中出现了角的和差结构比如，一般不拆括号，先尝试进行配凑
2、对于这类式子，若和在同一象限，则有；
若和不在同一象限，要再进行讨论，当它们分别在一，二象限时，则有，
若是在三，四象限，则有，所以不能直接去掉sin，要先看和之间的关系再选择适当的等式，这个思想在之后的解三角形中模块也会用到.
3、若题目中给的角可能在两个象限中，一般需要结合其他条件，确定角最终所在象限
如：已知,
分析：，则，而，
故
【例题1】已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据三角恒等变换的知识化简已知等式，从而求得.
【详解】因为，
即，两边平方可得，
解得.
【例题2】已知，则（ ）
A．5 B． C．-5 D．
【答案】D
【分析】由角的变换，利用余弦的和，差角公式和展开，从而可得答案.
【详解】，则
则，
即，所以，∴，
【例题3】已知，且，则= ．
【答案】
【分析】利用二倍角公式可求得，结合，即可求得，利用
即可求解.
【详解】由，得，即，
所以，因为，解得，
又，所以，所以．
【例题4】设，且，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用三角恒等变换可得答案.
【详解】因为，所以．
因为，所以，
所以，则．
【例题5】已知，，，则（ ）
A． B． C． D．或
【答案】B
【分析】先利用三角函数的符号确定角、、的范围，再利用两角差的正弦公式、同角三角函数基本关系的商数关系得到关于和的方程组，再利用两角和的正弦公式求出，进而结合角的范围进行求解.
【详解】因为，，所以或；
若，则，此时（舍）；
若，则，此时（符合题意），
所以即；
因为且，所以且，
解得，，则，
又，所以.
【巩固练习1】已知,，则的值为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【详解】，故，
则
【巩固练习2】已知，且，则（ ）
A． B． C． D．1
【答案】B
【详解】，,，
又，则，即所以，
因为，所以，.
由平方可得，即，符合题意.
综上，.
【巩固练习3】已知角，且，则________
【答案】2
【分析】由两角和与差公式化简后求解．
【详解】由，可得，即，
故.又，故，
即，代入可得.故
【巩固练习4】已知，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由倍角余弦公式并整理得，结合角的范围得，进而求，应用倍角正切公式求值即可.
【详解】由，即，
所以或，又，则，
所以，则，
由.
【巩固练习5】若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由于，因为，且，
整理得，故，
整理得：，故．
【巩固练习6】若，则 .
【答案】
【分析】利用和角的正余弦公式化简，再利用诱导公式及齐次式求法求解即可.
【详解】，
则
.
【巩固练习7】已知，，，则下列判断正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据三角函数同角的三角函数关系以及二倍角公式和两角和的正切公式化简可得，结合正切函数单调性，可推得，即可判断答案.
【详解】由，，，
可得，即，
由于，，则，故，
由于在上单调递增，故，即，
所以，故A正确，B错误，
由于得，则不可能成立，C错误，
由于不能确定是否等于，故也无法确定，D错误
【题型10】扩角降幂与缩角升幂
扩角降幂：（可用二倍角公式推导）
缩角升幂：化为半角即缩角升幂，
（1）当分子或分母出现或这类结构时可以考虑令
（2）当条件出现时，可以考虑换元令，只要灵活运用二倍角公式就不需要记半角公式了
【例题1】（ ）
A．1 B． C． D．-1
【答案】B
【分析】利用降幂升角公式和诱导公式化简即可得到结果.
【详解】
【例题2】已知，则 .
【答案】
【分析】利用正余弦的二倍角公式对条件进行化简，可求得的值，再利用正切的二倍角公式代入求值即可.
【详解】，
故又
【例题3】已知，则的值为 ．
【答案】
【分析】根据二倍角公式，结合同角商数关系即可求解，或者利用正切的二倍角公式，结合弦切互化求解.
【详解】（法一）
．
（法二）因为，所以，
则
．
【巩固练习1】，则，=
【答案】
【解析】
【巩固练习2】若，是第三象限角，则　　
A． B．2 C． D．
【解答】A
法一：换元-令，则，
策略一：
策略二：，
因为，故是第二象限角，则
而，接下来还得判断的正负，比较麻烦
法二：不换元，解：，是第三象限角，，
则
【巩固练习3】已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】法一：设θ=2α，则有，
法二：解：因为，所以，即，所以，
即，所以，所以或，
所以或，，
当时，，不合题意，舍去，
当时，，所以.
【巩固练习4】已知，求的值.
【答案】
【分析】首先利用二倍角公式化简条件等式，求得的值，再将余弦，用二倍角公式公式表示，再表示成正切，即可求值.
【详解】∵，
∴，.
【巩固练习5】
【题型11】利用三角恒等变换化简求值
例：对于可以考虑引入特殊角30°，变为，到达统一角度的目的
【例题1】算：（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用两角和差的正弦公式，二倍角余弦公式和同角关系化简即可.
【详解】因为
，所以原式
【例题2】化简：（ ）
A． B． C．4 D．8
【答案】B
【分析】根据题意，由辅助角公式以及正弦函数的和差角公式化简，代入计算，即可得到结果.
【详解】
.
【例题3】计算:
【答案】
【分析】应用诱导公式转化为表示，再切化弦，结合二倍角公式和辅助角公式即可.
【详解】原式
【巩固练习1】（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【分析】利用两角和与差的余弦公式将转化为，进行展开，对于分子则是结合二倍角正弦公式及完全平方式进行化简，最后再约分即可.
【详解】
【巩固练习2】（ ）
A． B． C． D．2
【答案】B
【分析】利用同角的三角函数关系将切化弦，再根据二倍角公式以及两角和差的正余弦公式，化简求值，即得答案.
【详解】
【巩固练习3】若，则 .
【答案】
【详解】，
则
【巩固练习4】的值为 .
【答案】
【分析】根据两角差的正切公式、同角三角函数的基本关系式、二倍角公式等知识求得正确答案.
【详解】
，
所以.
故答案为：
【巩固练习5】已知，则________
【答案】
【详解】因为，
所以，
所以，所以，
所以
【巩固练习6】化简求值（1）； （2）.
【答案】（1）；（2）32.
【解析】（1）
.
（2）
.
【题型12】化为同名函数
统一函数名：，具体是选还是要看题目给出的范围
【例题1】设，，且，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】对题中条件进行变化化简，可以得到，进一步即可判断正确答案.
【详解】
即即
又，，则
所以，故正确.
【例题2】若，且，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由及二倍角的余弦公式可得，根据两角和的余弦公式可得，由诱导公式及的范围即可求解.
【详解】，.
由，可得，
即.，
，，，且，
根据函数易知：，即得：.
【例题3】若两个锐角，满足，则 .
【答案】
【分析】根据二倍角的正弦、余弦公式，化简可得角，的关系，代入即可求解.
【详解】因为，所以
所以，因为，为锐角，所以有，
所以，即，
所以，即，
因为，为锐角，所以有，即，
所以
【巩固练习1】若，且，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】，.由，
可得，即.
，，
，，且，
根据函数易知：，即得：
【巩固练习2】已知，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据两角和与差的正弦公式，化简得到，得到，再由，结合正弦函数的性质，即可求解
【详解】由
，
所以，可得，即，即，
因为，可得，所以，所以
【巩固练习3】若两个锐角，满足，则 .
【答案】
【详解】因为，所以
所以，因为，为锐角，所以有，
所以，即，
所以，即，
因为，为锐角，所以有，即，
所以
【巩固练习4】若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由商数关系及两角差的正切公式将已知化为，得出，再根据二倍角的余弦公式即可得解.
【详解】由，
所以，即，
，
【题型13】积化和差、和差化积公式
1、积化和差
2、和差化积
和差化积公式助记口诀
正加正，正在前；
正减正，余在前；
余加余，余并肩；
余减余，负正弦。
积化和差公式助记口诀1
正余余正，正加正减；
余余正正，余加负余减。
积化和差公式助记口诀2
正弦相加正在前，
正弦相减余提前，
余弦相加无正弦，
余弦相减负正弦
和差化积的应用：以2023年新高考I卷第8题为例
已知，则
简析：由和差化积，可得，
【例题1】，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用和差角的正弦公式求出，再利用同角公式计算即得.
【详解】由，得，即，而，
所以.
【例题2】已知对任意的角α，β，满足，.则当，时， ；若，则 （填“>”“<”或“＝”）.
【答案】
【分析】利用和差化积化简，再两式相除得到答案；利用积化和差及同角三角函数关系求出答案.
【详解】由题意知 ①，
②，
①式除以②式，得；
若，则，
故，即．
【例题3】求值：（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】A
【详解】由积化和差公式可得
，
故
，
由和差化积公式可得
，
故
所以.
【巩固练习1】（ ）
A．0 B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用两角和差的余弦公式和诱导公式化简即可.
【详解】
【巩固练习2】 ．
【答案】
【分析】根据积化和差公式和诱导公式可求出结果.
【详解】原式
.
【巩固练习3】已知则的值为 .
【答案】
【分析】应用三角函数的恒等变换公式对变形求得，再由求得，可得结论．
【详解】，所以，
，所以．
【巩固练习4】（1） ；
（2） ．
【答案】 ，
【分析】（1）由和差化积公式求解；
（2）由和差化积和积化和差公式求解.
【详解】（1）由和差化积公式可得，
；
（2）由和差化积和积化和差公式可得，
．
【题型14】恒等变形的综合应用
【例题1】已知函数，在曲线与直线的交点中，若相邻交点的距离为.
(1)求函数的解析式；
(2)若，解不等式；
(3)若，且关于的方程有三个不等的实根，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)或
(3)
【分析】（1）结合二倍角公式及辅助角公式进行化简，然后结合正弦函数的周期公式可求，即可求解函数解析式；
（2）结合正弦函数的性质即可求解不等式；
（3）由已知方程可得或，然后结合正弦函数的性质即可求解.
【详解】（1）由可得，
因此其最大值为2，由与直线的交点中相邻交点的距离为，可得，故，
所以解析式为
（2）由不等式可得，，
解得，所以；
因为，所以或，
故的范围为或；
（3）关于的方程有三个不等的实根，
即有三个不等的实根，
也即或有三个不等实根，
画出函数在上的图象如下：
结合函数图象可知，有一个根，故有两个不等实数根，
所以，故的范围为.
【例题2】如图，已知面积为的扇形，半径为，是弧上任意一点，作矩形内接于该扇形．
(1)求扇形圆心角的大小；
(2)点在什么位置时，矩形的面积最大？并说明理由．
【答案】(1)；
(2)点是弧的中点时，矩形的面积最大，最大为.
【分析】（1）利用扇形的面积公式可求得的大小；
（2）连接，设，将、用的代数式表示，利用三角恒等变换化简矩形面积的表达式，利用正弦型函数的有界性可求得矩形面积的最大值及其对应的值，即可得出结论.
【详解】（1）解：设，根据扇形的面积公式可得，得.
（2）解：连接，设，则，，
在中，，则，
于是矩形的面积
，
由于，则，
当，即当时，矩形的面积最大，最大为，此时点是弧的中点．
因此，当点是弧的中点时，矩形的面积最大，最大为.
【巩固练习1】已知函数，在曲线与直线的交点中，若相邻交点的距离为.
(1)求函数的解析式；
(2)若，解不等式；
(3)若，且关于的方程有三个不等的实根，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)或
(3)
【分析】（1）结合二倍角公式及辅助角公式进行化简，然后结合正弦函数的周期公式可求，即可求解函数解析式；
（2）结合正弦函数的性质即可求解不等式；
（3）由已知方程可得或，然后结合正弦函数的性质即可求解.
【详解】（1）由可得，
因此其最大值为2，由与直线的交点中相邻交点的距离为，可得，故，
所以解析式为
（2）由不等式可得，，
解得，所以；
因为，所以或，
故的范围为或；
（3）关于的方程有三个不等的实根，
即有三个不等的实根，
也即或有三个不等实根，
画出函数在上的图象如下：
结合函数图象可知，有一个根，故有两个不等实数根，所以，
故的范围为.
【巩固练习2】如图是一个半圆和长方形组成的木块，长方形的边为半圆的直径，为半圆的圆心，，，现要将此木块锯出一个等腰三角形，其底边，点在半圆上，点在线段上，三角形木块选的面积记为S.
(1)①设点到底边的距离为，将S表示为的函数；
②设，将S表示为的函数；
(2)从（1）中选择一个合适的函数，解决以下问题：当点在何处时，三角形木块的面积S最大？并求出该最大值.
【答案】(1)①，（）；②，（）.
(2)E位于半圆上，且时，三角形木块的面积最大.
【详解】（1）
①设，则（），所以,,,
所以，（）.
即，（）.
②设，设，（），所以,,,
所以，（）.
所以，（）.
（2）选择函数②：.
令，
则，在上单调递增，
所以当，即时，最大. 此时E位于半圆上，且.
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专题5-5 三角恒等变换及其应用
TOC \o "1-3" \n \h \z \u
SHAPE \* MERGEFORMAT
【题型1】和差公式及其逆用
两角和与差的正弦、余弦和正切公式
1、两角和与差的正弦：
:
:
2、两角和与差的余弦：
:
:
3、两角和与差的正切：
:.
:.
要注意的是：
一、
二、
【例题1】已知，则a的值为（ ）
A． B． C． D．
【例题2】的值为（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【例题3】（ ）
A． B．
C． D．
【巩固练习1】（ ）
A． B． C． D．
【巩固练习2】已知，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【巩固练习3】已知为第二象限角，且终边与单位圆的交点的横坐标为，则（ ）
A． B． C． D．
【巩固练习4】（ ）
A． B． C．1 D．
【巩固练习5】若，则的值为（ ）
A． B．1
C． D．2
【巩固练习6】 的值等于（ ）
A． B．1 C．0 D．
【题型2】二倍角公式的简单应用
二倍角公式
①；
②；
③；
【例题1】已知角的终边过点，则（ ）
A． B． C． D．
【例题2】已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【巩固练习1】已知，，则（ ）
A． B． C． D．
【巩固练习2】已知，则（ ）
A． B． C． D．
【巩固练习3】已知角的终边过点，则（ ）
A． B． C． D．
【题型3】二倍角公式与诱导公式结合（换元与凑角）
若题目中出现了角的和差结构比如这类条件，一般不拆括号，先尝试换元进行配凑，若能凑出则用诱导公式，否则就用和差公式
【例题1】若，则（ ）
A． B． C． D．
【例题2】已知，则（ ）
A． B． C． D．
【例题3】已知，，则
【巩固练习1】已知，则（ ）
A． B． C． D．
【巩固练习2】已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【巩固练习3】已知，则 。
【巩固练习4】已知，，，，则（ ）
A． B． C． D．
【题型4】二倍角与齐次式化简
【二倍角公式变形】
完全平方式：
平方差公式：
对于二次结构：可以通过出除“1”来化为齐次式
【例题1】（2021·全国·统考高考真题）若，则（ ）
A． B． C． D．
【例题2】已知角θ的大小如图所示，则＝（　　）

A． B． C． D．4
【巩固练习1】（2021·全国·统考高考真题）若，则（ ）
A． B． C． D．
【巩固练习2】若，，则 .
【巩固练习3】已知，则　　
A． B． C． D．
【巩固练习4】已知角α满足，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【巩固练习5】我国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》一书时介绍了“赵爽弦图”，如图所示，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的大正方形，记直角三角形中较大的锐角为，大正方形的边长为，小正方形的边长为，若，则（ ）

A． B． C． D．
【题型5】给值求值（角）问题（不拆括号）
给角求值与给值求值拆凑角常见的配角技巧：①；；②；
③；④；⑤．⑥，
【例题1】已知，且，则=________
【例题2】已知均是锐角，已知，，则（ ）
A． B． C． D．
【例题3】已知，，则
【巩固练习1】已知角，均在内，，，则角的值为（ ）
A． B． C． D．
【巩固练习2】设为锐角，若，则　　
A． B． C． D．
【巩固练习3】已知，，，．
(1)求的值；(2)求的值．
【巩固练习4】若，，则（ ）
A． B． C． D．
【题型6】辅助角公式及其应用
一、对于形如的式子，可变形如下：
=
令，
则==
其中角所在象限由的符号确定，与在同一象限,角的值由确定
二、辅助角公式的应用：研究三角函数的性质时往往需要先通过辅助角公式把解析式化成的形式
【例题1】当时，函数的（ ）
A．最大值为1，最小值为 B．最大值为1，最小值为
C．最大值为2，最小值为 D．最大值为2，最小值为
【例题2】已知函数在处取到最大值，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【例题3】函数在区间上的最大值为（ ）
A． B． C．1 D．
【巩固练习1】当函数取得最大值时， .
【巩固练习2】已知,则 .
【巩固练习3】若，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【巩固练习4】（23-24高一上·湖北孝感·期末）已知函数，求函数f（x）在区间 上的单增区间为 .
【巩固练习5】若，则 ．
【巩固练习6】化简： .
【巩固练习7】已知函数的定义域为，在定义域内存在唯一，使得，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【题型7】和差公式与二倍角公式结合
与相加减可以得到与有关的式子
所以以上4个式子知二求二，而二倍角公式则可以通过配凑得出，
【例题1】（2023·新高考I卷T8）已知，则（ ）．
A． B． C． D．
【例题2】已知均为锐角，，且，则 .
【巩固练习1】（2024届·广东佛山·统考）已知，且，，则（ ）
A． B． C． D．
【巩固练习2】已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
【巩固练习3】若，则（ ）
【巩固练习4】（重庆巴蜀中学适应性月考）（多选）已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
【题型8】三角形中的恒等变换
因为三角形内角和为180°，所以提供了诱导公式变形的条件
A,B,C为△ABC的三个内角，则有
①，
②，
③若，则
④正切恒等式
由③可知：：，
去分母得
移项得
⑤在△ABC，与是等价的，结合图像可以得出这个结论
【例题1】在中，下列等式错误的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【例题2】在△ABC中，若，则△ABC是（ ）
A．等边三角形 B．等腰直角三角形
C．等腰三角形 D．直角三角形
【巩固练习1】若在中，，则的形状为（ ）
A．直角三角形 B．等边三角形
C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
【巩固练习2】（高一上·湖北武汉·期末）在中，为它的三个内角，且满足，，则 .
【巩固练习3】在△ABC中，AB边上的高，则的最小值为 .
【巩固练习4】已知为斜三角形．
(1)证明：；
(2)若为锐角三角形，，求的最小值．
【题型9】给式子求角（值）问题
解题策略：
1、若题目中出现了角的和差结构比如，一般不拆括号，先尝试进行配凑
2、对于这类式子，若和在同一象限，则有；
若和不在同一象限，要再进行讨论，当它们分别在一，二象限时，则有，
若是在三，四象限，则有，所以不能直接去掉sin，要先看和之间的关系再选择适当的等式，这个思想在之后的解三角形中模块也会用到.
3、若题目中给的角可能在两个象限中，一般需要结合其他条件，确定角最终所在象限
如：已知,
分析：，则，而，
故
【例题1】已知，则（ ）
A． B． C． D．
【例题2】已知，则（ ）
A．5 B． C．-5 D．
【例题3】（深圳中学校考阶段练习）已知，且，则= ．
【例题4】设，且，则（ ）
A． B．
C． D．
【例题5】已知，，，则（ ）
A． B． C． D．或
【巩固练习1】已知,，则的值为( )
A. B. C. D.
【巩固练习2】已知，且，则（ ）
A． B． C． D．1
【巩固练习3】已知角，且，则________
【巩固练习4】已知，且，则（ ）
A． B． C． D．
【巩固练习5】若，则（ ）
A． B． C． D．
【巩固练习6】若，则 .
【巩固练习7】已知，，，则下列判断正确的是（ ）
A． B． C． D．
【题型10】扩角降幂与缩角升幂
扩角降幂：（可用二倍角公式推导）
缩角升幂：化为半角即缩角升幂，
（1）当分子或分母出现或这类结构时可以考虑令
（2）当条件出现时，可以考虑换元令，只要灵活运用二倍角公式就不需要记半角公式了
【例题1】（ ）
A．1 B． C． D．-1
【例题2】已知，则 .
【例题3】已知，则的值为 ．
【巩固练习1】，则，=
【巩固练习2】若，是第三象限角，则　　
A． B．2 C． D．
【巩固练习3】已知，则（ ）
A． B． C． D．
【巩固练习4】已知，求的值.
【巩固练习5】
【题型11】利用三角恒等变换化简求值
例：对于可以考虑引入特殊角30°，变为，到达统一角度的目的
【例题1】算：（ ）
A． B． C． D．
【例题2】化简：（ ）
A． B． C．4 D．8
【例题3】计算:
【巩固练习1】（ ）
A．1 B． C． D．
【巩固练习2】（ ）
A． B． C． D．2
【巩固练习3】若，则 .
【巩固练习4】的值为 .
【巩固练习5】已知，则________
【巩固练习6】化简求值（1）； （2）.
【题型12】化为同名函数
统一函数名：，具体是选还是要看题目给出的范围
【例题1】（云南师范大学附属中学月考）设，，且，则（ ）
A． B．
C． D．
【例题2】若，且，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【例题3】若两个锐角，满足，则 .
【巩固练习1】若，且，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【巩固练习2】（2023·重庆市第八中月考）已知，则（ ）
A． B．
C． D．
【巩固练习3】若两个锐角，满足，则 .
【巩固练习4】（广州市天河区综合测试）若，则（ ）
A． B． C． D．
【题型13】积化和差、和差化积公式
1、积化和差
2、和差化积
和差化积公式助记口诀
正加正，正在前；
正减正，余在前；
余加余，余并肩；
余减余，负正弦。
积化和差公式助记口诀1
正余余正，正加正减；
余余正正，余加负余减。
积化和差公式助记口诀2
正弦相加正在前，
正弦相减余提前，
余弦相加无正弦，
余弦相减负正弦
和差化积的应用：以2023年新高考I卷第8题为例
已知，则
简析：由和差化积，可得，
【例题1】，，则（ ）
A． B． C． D．
【例题2】已知对任意的角α，β，满足，.则当，时， ；若，则 （填“>”“<”或“＝”）.
【例题3】求值：（ ）
A． B． C．1 D．
【巩固练习1】（ ）
A．0 B．
C． D．
【巩固练习2】 ．
【巩固练习3】已知则的值为 .
【巩固练习4】（1） ；
（2） ．
【题型14】恒等变形的综合应用
【例题1】已知函数，在曲线与直线的交点中，若相邻交点的距离为.
(1)求函数的解析式；
(2)若，解不等式；
(3)若，且关于的方程有三个不等的实根，求实数的取值范围.
【例题2】如图，已知面积为的扇形，半径为，是弧上任意一点，作矩形内接于该扇形．
(1)求扇形圆心角的大小；
(2)点在什么位置时，矩形的面积最大？并说明理由．
【巩固练习1】已知函数，在曲线与直线的交点中，若相邻交点的距离为.
(1)求函数的解析式；
(2)若，解不等式；
(3)若，且关于的方程有三个不等的实根，求实数的取值范围.
【巩固练习2】如图是一个半圆和长方形组成的木块，长方形的边为半圆的直径，为半圆的圆心，，，现要将此木块锯出一个等腰三角形，其底边，点在半圆上，点在线段上，三角形木块选的面积记为S.
(1)①设点到底边的距离为，将S表示为的函数；
②设，将S表示为的函数；
从（1）中选择一个合适的函数，解决以下问题：当点在何处时，三角形木块的面积S最大？并求出该最大值.
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