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专题5-6 三角函数：y=Asin(ωx +φ)的图像及性质
TOC \o "1-4" \n \h \z \u
类型三：设 HYPERLINK \l "_Toc184052994" EMBED Equation.DSMT4
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【题型1】五点法作y＝Asin(ωx＋φ)图像及其应用
解题思路：用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图的步骤
第一步：列表；如下表所示：
x － － －
ωx＋φ 2π
y＝Asin(ωx＋φ) 0 A 0 －A 0
第二步：在同一坐标系中描出各点．
第三步：用光滑曲线连接这些点，形成图象．
【例题1】某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：
0
x
0 2 0
(1)将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并写出函数的解析式；
(2)将函数图象上所有点向左平行移动个单位长度，得到函数的图象，求使成立的x的取值集合．
【答案】(1)数据补充见解析，；(2).
【分析】（1）根据已知数据求参数可得，进而补充表格数据；
（2）由图象平移得，结合正弦型函数性质解不等式求解集即可.
【详解】（1）由表格知：且，即，故，
由，则，
所以，表格补充如下：
0
x
0 2 0 0
（2）由题设，即，
所以，即.
【巩固练习1】某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：
0
x m n p
1 6 1 1
(1)求出实数m，n，p的值；
(2)求出函数的解析式；
(3)将图象向左平移个单位，得到的图象．若为偶函数，求t的最小值．
【答案】(1)，，
(2)
(3)
【分析】（1）根据表格列方程，解方程得到，，；
（2）根据表格得到，解方程得到，然后结合（1）中结论即可得到的解析式；
（3）根据图象的平移变换得到，根据为偶函数得到为最值，然后解方程求即可.
【巩固练习2】（1）利用“五点法”画出函数在长度为一个周期的闭区间的简图.
列表:
x
y
作图:

（2）并说明该函数图象可由的图象经过怎么变换得到的.
【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析.
【分析】（1）利用“五点法”作图，先列表确定五点的坐标，后描点并画图；
（2）依据三角函数图象的变换规律求解.
【详解】（1）先列表，后描点并画图.
0
x
y 0 1 0 0
（2）把的图象上所有的点向左平移个单位，得到的图象，再把所得图象的点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到的图象.
【巩固练习3】已知函数．

(1)请用“五点法”画出函数在一个周期上的图像（先在所给的表格中填上所需的数字，再画图）；
(2)求的单调递增区间．
【答案】(1)答案见解析
(2)，．
【分析】（1）分别令，，，，，列表描点连线可得函数图像；
（2）将表示出来并化简，利用三角函数的单调性求解即可．
【详解】（1）分别令，，，，，可得：
0
0 1 0 0
画出在一个周期的图像如图所示：

（2），
若求单调递增区间，需满足，，
，，
则的单调递增区间为，．
【题型2】三角函数图像的平移与伸缩变换
平移时注意点：对于
(1)确定平移方向和平移的量是解决平移变换的关键．
(2)当x的系数是1时，左移个单位则．
(3)当x的系数是ω(ω>0)时，左移个单位则．
【例】由函数的图像变换为函数的图像的步骤；
方法一：先平移后伸缩．
方法二：先伸缩后平移．
注：在进行图像变换时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移在题目中也经常出现，所以必须熟练掌握，无论哪种变化，切记每一个变换总是对变量而言的，即图像变换要看“变量”发生多大变化，而不是“角”变化多少．
注：函数名称不一致的平移：诱导公式化同名
类型一：函数名不改变
【例题1】为了得到函数，的图象，只需把函数，的图象上所有的点（ ）
A．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）
B．向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）
C．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变）
D．向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变）
【答案】C
【分析】根据三角函数平移和伸缩变换原则依次判断各个选项即可.
【详解】记，变换后所得函数为，
对于A，，A错误；
对于B，，B错误；
对于C，，C正确；
对于D，，D错误.
类型二：函数名改变（结合诱导公式）
【例题2】将函数的图象平移后所得的图象对应的函数为，则进行的平移是（ ）
A．向左平移个单位 B．向右平移个单位
C．向右平移个单位 D．向左平移个单位
【答案】A
【分析】分析各选项平移后的函数解析式，由此作出判断即可.
【详解】对于A：向左平移个单位可得到，符合；
对于B：向右平移个单位可得到，不符合；
对于C：向右平移个单位可得到，不符合；
对于D：向左平移个单位可得到，不符合
类型三：由平移前后函数性质求参数
【例题3】将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，再将所得图象向左平移（）个单位长度，得到函数的图象，若，请写出的一个可能值为 .
【答案】(答案不唯一)
【详解】将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数，
再将所得图象向左平移（）个单位长度，得到函数的图象，
因为，则为偶函数，所以，解得：，取，可得：
【例题4】将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，且的图象关于对称，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用三角恒等变换将化简，根据图像平移可得，根据余弦函数的性质可得解.
【详解】由，，
则函数的对称轴为，，又的图象关于对称，且，可得.
【巩固练习1】将函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】首先求平移后的函数解析式，再比较两个函数，即可求解.
【详解】函数的图象向左平移个单位后得到函数为，
由题意可知，，则，得，，
当时，.
【巩固练习2】（多选）要得到函数的图象，只需将函数图象上的所有点（ ）
A．横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位长度
B．横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位长度
C．先向右平移个单位长度，再把横坐标伸长到原来的2倍
D．先向右平移个单位长度，再把横坐标缩短到原来的
【答案】AC
【详解】要得到函数的图象，只需将函数图象上的所有点先横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位长度;
要得到函数的图象，只需将函数图象上的所有点先向右平移个单位长度，再把横坐标伸长到原来的2倍即可
【巩固练习3】已知函数的最小正周期为，为了得到函数的图像，只要将的图像（ ）
A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
【答案】A
【分析】根据最小正周期为可得，进而得到，再根据诱导公式结合三角函数图象平移的性质分析即可.
【详解】因为函数的最小正周期为，所有，即，
因为，
所以只需将函数图象左平移个单位长度即可得到函数图象.
【巩固练习4】已知曲线C1：y=cos x，C2：y=sin (2x+)，则下面结论正确的是
A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2
B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2
C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2
D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2
【答案】D
【详解】把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到函数y=cos2x图象，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到函数y=cos2（x+）=cos（2x+）=sin（2x+）的图象，即曲线C2，故选D．
点睛：三角函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也常出现在题目中，所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母而言. 函数是奇函数；函数是偶函数；函数是奇函数；函数是偶函数.
【巩固练习6】为得到函数的图像，只需将函数的图像（ ）
A．向左平移个长度单位 B．向右平移个长度单位
C．向左平移个长度单位 D．向右平移个长度单位
【答案】A
【分析】设出向左平移个长度，利用诱导公式将余弦函数变为正弦函数，列出方程，求出答案.
【详解】，
将函数向左平移个长度单位，得到，
故，解得，即向左平移个长度单位.
【巩固练习7】函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，若，当最小时，φ的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由题知，且为偶函数，进而得，再讨论最小值即可得答案.
【详解】解：因为函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，
所以，
因为，即函数为偶函数，所以，即，
所以当时，最小，此时.
【巩固练习8】将函数的图象沿水平方向平移个单位后得到的图象关于直线对称（向左移动，向右移动），当最小时，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据图像的平移公式先求出平移后的解析式，再根据平移后的图像关于直线对称，结合正弦函数的图像性质可得答案.
【详解】将函数的图象沿水平方向平移个单位后得到
即由题意的图像关于直线对称.
所以，即 当时，，此时最小
【题型3】由图像识别函数解析式
确定的步骤和方法:
(1)求 ：确定函数的最大值和最小值，则 ，；
(2)求：确定函数的周期，则；
(3)求：常用的方法有代入法和五点法．
①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时已知)或代入图象与直线的交点求解(此时要注意交点是在增区间还是在减区间)．
②五点法：确定值时，往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口．
【例题1】（2020·新高考1卷真题）（多选）下图是函数y= sin(ωx+φ)的部分图像，则sin(ωx+φ)= （ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【分析】首先利用周期确定的值，然后确定的值即可确定函数的解析式，最后利用诱导公式可得正确结果.
【详解】由函数图像可知：，则，所以不选A,
不妨令, 当时，，
解得：，
即函数的解析式为：.
而
【例题2】函数在一个周期内的图象如图，此函数的解析式为 .

【答案】
【详解】根据所给的图象，可以看出图象的振幅是，得到，看出半个周期的值，得到，根据函数的图象过点，把点的坐标代入函数解析式，结合的取值范围求出的值，从而得到三角函数的解析式.
【解答】由图象可知，，
函数的最小正周期为，
所以，，则函数解析式为，
因为函数的图象过点，则，可得，
因为，则，所以，，解得，
故函数解析式为.
【例题3】如图，某地一天中6时至14时的温度变化曲线近似满足函数（其中，），则估计中午12时的温度近似为 ℃；（精确到）
【答案】27
【详解】由图易得，，所以，由，
所以，代入，所以，即，即，
又，所以，所以，
当时，．
【巩固练习1】已知函数的部分图像如图所示，则 .
【答案】
【分析】首先确定函数的解析式，然后求解的值即可.
【详解】由题意可得：，
当时，，
令可得：，据此有：.
【巩固练习2】已知函数（，）的部分图象如图所示，则 ．

【答案】
【分析】根据已知可推得，.然后由函数图象结合五点法以及的范围可得，，.代入，即可得出答案.
【详解】由已知可得，，所以，，.
又由函数图象结合五点法可得，，所以，.
因为，所以，，所以，.
【巩固练习3】函数是常数，的部分图象如图所示，则的值是 .

【答案】
【分析】根据给定的图象，依次求出即得函数解析式，再求出函数值作答.
【详解】观察图象知，，函数的周期，则，
由，得，而，于是，，
因此，所以.
【巩固练习4】已知函数的部分图象如图所示，则 ．

【答案】
【分析】由图象可知余弦型函数的周期，求出 ，根据“五点作图法”知可看作“五点作图法”中的第二个点，即可求，写出函数解析式，求对应函数值.
【详解】由图可知：（为的最小正周期），即：，所以，即，
故，点可看作“五点作图法”中的第二个点，
所以，，所以，
所以.
【题型4】 单调性问题
函数
图象
单调性 在上是增函数；在上是减函数． 在上是增函数；在上是减函数． 在上是增函数．
类型一：求单调区间
【例题1】函数，，的单调递减区间为 　　．
【答案】，
【解答】解：，
令，，，则，，，
因为，，所以，．
类型二：复合函数型
【例题2】函数的单调减区间为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题首先可求出函数的定义域，然后求出函数的单调性，最后根据复合函数的单调性的相关性质以及的单调性即可得出结果.
【详解】令，则，
因为，所以，
即，解得，
函数的定义域为.
当时，，是增函数，
当时，，是减函数，
因为是减函数，
所以根据复合函数的单调性的相关性质易知，
当时，函数是减函数
类型三：由单调性求参数范围
【例题3】若在区间上单调递增，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】令，所以，
所以函数的单调增区间为，又因为在上单调递增，
则是，的一个子区间，当时，即，
若是的子集，则
【巩固练习1】函数的单调递减区间为　　
A． B．
C． D．
【答案】C
【解答】解：，
令，，，则，，，
所以的单调递减区间为，，．
【巩固练习2】函数的单调增区间是　　
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【解答】解：的单调增区间，即函数的单调减区间．
令，求得，，
故函数函数的单调减区间为，
【巩固练习3】函数的单调增区间为（　　）.
A． B．
C． D．不存在
【答案】C
【详解】即，
由此可知与同增同减即可得函数的单调增区间，
则增区间满足或，，
即或，，
解得或，
所以函数的单调增区间为：.
【巩固练习4】若函数在上单调递增，则实数的取值范围是 　 　．
【答案】，
【解答】解：函数在上单调递增，
恒成立，
设，即恒成立．时，不等式显然成立，
当时，，由在，递减，得时，取最小值1，故，
当时，，由 在，递减，得时，取最大值，故，
综上：的取值范围是，
【题型5】最值与值域问题（4种类型）
求三角函数的最值，一般是通过三角变换化归为下列基本类型处理．
（1），引入辅助角，化为
（2），设，化为二次函数在闭区间上的最值求解，也可以是或型．
（3），设，则，故，故原函数化为二次函数在闭区间上的最值求解．
心为
类型一：求指定区间上的值域
【例题1】求，的值域.
【答案】(1)
【详解】，令，
则，，画草图，如图：
由图知，即时，取最小值为；，即时，取最大值为.
故值域为.
类型二：化为二次函数型
【例题2】函数（）的最大值是 ．
【答案】1
【详解】化简三角函数的解析式，可得
，由，可得，当时，函数取得最大值1．
类型三：设
【例题3】已知，则函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】令，可得出，求出二次函数在上的值域即可得解.
【详解】因为，则，则，
令，
所以，，则，
则，
函数在上单调递增，在上单调递减，
所以，，
当时，；当时，，则.
因此，当时，则函数的值域为.
【例4】已知，，则的值域为 .
【答案】
【分析】令，再结合平方关系将用表示，根据三角函数的性质求出的范围，再结合二次函数的性质即可得解.
【详解】令，则，
故，因为，所以，所以，
令，则在单调递增，
则当，所以的值域为.
类型四：已知值域求参数范围
【例5】已知函数的定义域为（），值域为，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】当时，.由题意可得，解得.
【巩固练习1】求下列函数的值域.
(1)，；
(2)，.
【答案】(1)； (2).
【详解】（1）因为，所以，
令，则，.
①当时，y取最大值4；
②当或时，y取最小值.
故函数，的值域为.
（2），.
令，，则，，
∴当时，y取最小值；当时，y取最大值3.
故函数，的值域为.
【巩固练习2】函数的值域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用平方关系将函数写成关于的一元二次函数形式，再利用换元法求二次函数的值域即可.
【详解】由可得
令，则，
易知，二次函数关于对称，且开口向上，
所以函数在为单调递增，
所以，；
所以，其值域为.
【巩固练习3】求的值域.
【答案】
【详解】，
令，，则，
故时，取最小值为，时，y取最大值为1，
故其值域为.
【巩固练习4】函数在区间上的值域是 ．
【答案】
【分析】令，根据同角的三角函数关系式求出关于的表达式，最后利用二次函数的单调性求出函数的值域.
【详解】令，因为，，所以，
，
设，
显然一元二次函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，
所以，
所以函数的值域为.
【巩固练习5】函数y＝sin x＋cos x－sin xcos x的值域为 ．
【答案】[－，1]
【分析】根据同角三角函数基本关系化简原函数得到，然后利用换元法求值域即可.
【详解】，
令，则，，
因为函数在上单调递增，上单调递减，
所以当时取得最大值，，
当时取得最小值，，
所以函数的值域为.
【巩固练习6】（23-24高一上·河北沧州·阶段练习）已知．
(1)若，求的值；
(2)求的值域．
【答案】(1) ；(2)
【分析】（1）若，两边同时平方，结合同角三角函数的平方关系，可求的值；
（2）令，则有，由的取值范围结合二次函数的性质，求的值域．
【详解】（1），，
．
（2）令，
因为，则，所以，即，
因为，即，所以，
所以，，
由二次函数性质可知，在上单调递增，
所以，即的值域为．
【巩固练习7】已知，当时，取最大值，当时，取最小值，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】令，则，，
可知的开口向上，对称轴为，
原题意等价于：当时，取最大值，当时，取最小值，
结合二次函数对称性可知：，
所以实数的取值范围是.
【巩固练习8】已知函数，的值域为，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】首先化简函数的解析式，再利用复合函数的值域，求实数的取值范围.
【详解】
，设，，函数的对称轴为
且，，，
因为函数在区间的值域为，所以在区间上能取得，但是不能小于0，所以.
【巩固练习9】（23-24高一上·浙江杭州·阶段练习）已知函数当时，
(1)若，求的值；
(2)求函数的值域.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用辅助角公式及特殊角的三角函数值即可求解.
（2）先利用换元法由（1）可得；再利用二次函数的单调性求出最值即可得出答案.
【详解】（1），.
，解得：.
.
（2），.
，
.
则，.
函数在区间上单调递减，在区间上单调递增.
当时，.
又当时，；
当时，.
当时，.
故函数的值域为.
【巩固练习10】（23-24高一下·江苏镇江·阶段练习）（1）求的值；
（2）已知，求函数的值域.
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）利用辅助角公式，结合三角函数的诱导公式即可得解；
（2）利用换元法与辅助角公式、同角的基本关系式将函数转化为关于的二次函数，从而得解.
【详解】（1）
.
（2）令，
当时，，故，即，
又，所以，
故，
又在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，取得最大值，当时，函数取得最小值，
所以的值域为.
【巩固练习11】已知函数的定义域为，，值域为，则的取值范围为 　 　．
【答案】，
【解答】解：
，值域为，，
，，所以，，
故，，，，所以最大值为；
令，得，令，得，所以的最小值为，
所以的取值范围是，．
【题型6】对称性与周期
1.一般情况下，两个点关于中心对称，则函数值互为相反数。
2.对称中心之间的距离是半个周期的整数倍。
3.周期与轴之间的距离，是四分之一周期的整数倍。
4正余弦与水平线交点的中点，是函数的对称轴。
5.一般情况下，的最大值或者最小值，必在对称轴处。
6.对称轴之间的距离，是半个周期的整数倍。
7、求函数的对称轴的方法；令，得；对称中心的求取方法；令，得，即对称中心为．
8、求函数的对称轴的方法；令得，即
【例题1】已知函数（其中）的图象与直线的两个相邻交点的距离等于，则的值为（ ）
A． B．2 C．1 D．3
【答案】C
【详解】由函数的图象与直线的两个相邻交点的距离等于，又，
所以，可得．
【例题2】（高一·浙江杭州·期末）将函数的图象向右平移个单位长度，则平移后函数图象的解析式为 ；平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程是 ．
【答案】
【解析】根据三角函数的图象变换，化简得到，再结合三角函数的性质，即可求解.
【详解】由题意，函数的图象向右平移个单位长度，
可得，
即平移后函数图象的解析式为
令，解得，
当时，；当时，,
所以平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程是.
故答案为：；.
【例题3】一学生在求解以下问题“已知函数的图象关于直线对称，关于中心对称，且，求的值”时，思路如下：令（，），由对称轴和对称中心可求得，再由对称轴求，对称中心求，根据以上信息可得（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【分析】根据已知条件可求得，结合周期的性质可求，可得结论.
【详解】因为函数的图象关于中心对称，所以，
函数的图象关于直线对称，且，可得，解得，
又因为的图象关于中心对称，关于直线对称，
可得周期，所以，解得，
又时，，解得，
又，可得，所以，
所以，，，
所以，
.
【巩固练习1】（多选）将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，则下列结论正确的为（ ）
A．的最小正周期为 B．的图象关于直线对称
C．在区间上单调递减 D．的图象与的图象关于对称
【答案】AD
【分析】先根据左加右减得到的解析式，A选项，根据正切函数最小正周期公式求出A正确；B选项，无意义，B错误；C选项，整体法判断出函数的单调性；D选项，计算出，故D正确.
【详解】由题意得，
A选项，的最小正周期为，A正确；
B选项，因为正切函数没有对称轴，故不是的对称轴，B错误；
C选项，当时，，
由于在上单调递增，故在上单调递增，C错误；
D选项，，
故的图象与的图象关于对称，D正确.
【巩固练习2】已知直线和都是函数图象的对称轴，则的解析式可能为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】由题可知，当或时，取得最值；
对于A： ，
，符合题意，故A正确；
对于B：，故B错误；
对于C：，故C错误；
对于D：，故D错误.
【巩固练习3】设函数与函数的对称轴完全相同，则的值为 ．
【答案】
【详解】由题意，求函数，的对称轴，令，解得
函数，令，解得，
因为函数，与函数的对称轴完全相同,则周期也相同，故，，所以.
【巩固练习4】函数的图象在区间上恰有一条对称轴和一个对称中心，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】由，设，则，
由图可知直线在线段之间，不含点，所以，得．
【巩固练习5】已知函数，则（　　）
A．2025 B．
C． D．
【答案】B
【详解】由
得，
所以，
所以
【巩固练习6】函数与函数的图象所有交点的横坐标之和为 ．
【答案】10
【分析】判断函数的性质与最小值，判断函数的性质，作出函数与的大致图象，判断两个图象在上的交点情况，根据对称性得结果.
【详解】因为，所以函数的图象关于直线对称，
且在上单调递减，在上单调递增，所以的最小值为．
所以函数的图象关于直线对称，且的最大值为2．
由于的图象和的图象都关于直线对称，所以先考虑两个图象在上的情形，
易知在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，
在上单调递增，在上单调递减．
易知，，
所以可作出函数与的大致图象如图所示，
所以的图象和的图象在上有5个交点．
根据对称性可知两函数图象共有10个交点，且两两关于直线对称，
因此所有交点的横坐标之和为．
【题型7】三角函数性质辨析
在多选题中经常出现三角函数性质辨析题，其常见选项有
辨析1：判断或是否为对称轴或对称中心
辨析2: 在某区间上有是否单调递增（减）；
辨析3: 判断在某区间上有多少个零点或对称轴
辨析4: 判断在某区间上的值域
辨析5：给出限制条件辨析参数范围是否正确
【例题1】已知函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．的图象关于点对称 B．为奇函数
C．在区间上单调递增 D．的图象关于直线对称
【答案】D
【分析】根据函数图象求得，然后根据三角函数的对称性、单调性、奇偶性等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】由题可知，又因，所以，则，
，则，，所以，，
由于，所以，所以，则.
对A：，故A错误；
对B：为偶函数，故B错误；
对C：，则，函数不具有单调性，故C错误；
对D：当时，，则是函数的一条对称轴，故D正确.
【例题2】（多选）函数（，，）的部分图象如图所示，下列结论中正确的是（ ）

A．
B．函数的图象关于点对称
C．函数在上单调递增
D．将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象
【答案】ABC
【分析】借助图象周期求出、再由定点结合范围求出，得出解析式后结合正弦型函数性质可得A、B、C，结合函数图象的平移可得D．
【详解】对于选项A:由题意可得，故，
则，，
即，解得，又，即，故A正确；
对于选项B:即，当时，有，
故的图象关于点对称，故B正确；
对于选项C:令，则，当时，，
而在单调递增，故C正确；
对于选项D:将函数的图象向由右平移个单位得到，故D错误．
【巩固练习1】（多选）已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．的最小正周期为
B．的图象关于直线对称
C．是奇函数
D．的单调递减区间为
【答案】ACD
【分析】根据正弦型函数最小正周期的计算公式即可判断选项A；利用代入验证法即可判断选项B；根据奇函数的定义及三角函数的诱导公式即可判断选项C；利用整体代入法及正弦函数的单调性即可判断选项D.
【详解】对于选项A：因为的最小正周期为，故选项A正确；
对于选项B：因为，
所以的图象不关于直线对称，故选项B错误；
对于选项C：因为，定义域为，且，
所以是奇函数，故选项C正确；
对于选项D：令,
解得：，
所以的单调递减区间为，故选项D正确.
【巩固练习2】（多选）已知函数（，，）的部分图象如图所示，则下列结论正确的有（ ）.

A．的最小正周期为
B．为偶函数
C．在区间内的最小值为1
D．的图象关于直线对称
【答案】AC
【分析】根据给定的三角函数的图象，得到函数的解析式为，根据余弦函数的性质，逐项判定，即可求解.
【详解】根据函数的部分图象，
可得，，可得，，故选项A正确；
由得，又，所以，
所以，所以，
因为定义域为R，且，所以为奇函数，故选项B错误；
当，可得，所以，所以，
故在区间内的最小值为1，选项C正确；
当时，可得，所以函数的对称中心为，
即函数的图象不关于直线对称，所以D错误.
【巩固练习3】（23-24高一上·江苏淮安·期末）用“五点法”作函数（，，）在一个周期内的图象时，列表计算了部分数据，下列有关函数描述正确的是（ ）
0
x a b c
1 3 1 d 1
A．函数的最小正周期是
B．函数的图象关于点对称
C．函数的图象关于直线对称
D．函数与表示同一函数
【答案】ACD
【分析】根据表格及三角函数的图象与性质一一分析选项即可.
【详解】根据表格可知，且，则，
由正弦函数的周期性可知的最小正周期为，故A正确；
由已知结合正弦函数的对称性可知：
，
显然此时取得最小值，所以的图象不关于点对称，故B错误；
由已知结合正弦函数的对称性可知：
，此时取得最大值，
所以的图象关于直线对称，故C正确；
由诱导公式可知，故D正确.
【巩固练习4】（23-24高一上·浙江杭州·期末）（多选）关于函数，下列结论正确的是（　　）
A．函数的最大值是2
B．函数在单调递减
C．函数的图像可以由函数y＝2sin2x+1的图像向右平移个单位得到
D．若方程在区间有两个实根，则
【答案】BC
【分析】根据题意，化简函数，结合三角函数的图象与性质，逐项判定，即可求解.
【详解】由函数
，
对于A中，当时，函数的最大值为，所以A错误；
对于B中，当时，可得，
根据正弦函数的性质，可得正弦函数单调递增，所以B正确；
对于C中，函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，所以C正确；
对于D中，令，解得，
所以在上单调递增，
令，解得，
所以在上单调递减，
当时，函数在上单调递增，在上单调递减，
且，
所以在区间上有两个实根，可得，所以 D不正确.
【巩固练习5】（23-24高一上·江苏无锡·期末）函数的部分图象如图所示，则下列说法中正确的是（ ）
A．
B．的表达式可以写成
C．的图象向右平移个单位长度后得到的新函数是奇函数
D．若方程在上有且只有6个根，则
【答案】BCD
【分析】A选项，将代入解析式得到，结合求出；B选项，结合为函数的零点，得到，得到函数解析式，并结合诱导公式得到B正确；C选项，先得到平移后的解析式，从而根据函数奇偶性定义进行判断；D选项，转化为在上有6个解，数形结合得到不等式组，求出的取值范围.
【详解】A选项，由图象可得，函数过点，
将代入得，故，
又，解得，A错误；
B选项，，
又为函数的第一个正零点，故，
故，解得，
因为，故只有当时满足要求，此时，
故，B正确；
C选项，的图象向右平移个单位长度后得到的新函数为，
即，其定义域为R，故为奇函数，C正确；
D选项，令得，
当时，，
要想在上有6个解，
则，解得，
若方程在上有且只有6个根，则，D正确.
【巩固练习7】（23-24高一上·广东深圳·期末）（多选）已知函数（，），为的零点，且在上单调递减，则下列结论正确的是（ ）
A． B．若，则
C．是偶函数 D．的取值范围是
【答案】ABD
【分析】对A，将代入结合题目条件可得的值；对B，由函数的图象是中心对称图形，且即可得；对C，由无法判断奇偶性可得；对D，结合函数单调性即可得.
【详解】对于A选项，由是的零点得，
所以，即，
因为，所以，故A正确；
对于B选项，函数的图象是中心对称图形，
由得是函数的对称中心，
所以，故B正确；
对于C选项，，奇偶性无法判断，故C错误；
对于D选项，由A选项得，
因为函数在上单调递减，
所以，，
解得（），
所以当时，，当无解，
所以，故D正确.
【题型8】由三角函数性质求参数的值
【例题1】（2023·全国·统考高考真题）已知函数在区间单调递增，直线和为函数的图像的两条相邻对称轴，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意分别求出其周期，再根据其最小值求出初相，代入即可得到答案.
【详解】因为在区间单调递增，
所以，且，则，，
当时，取得最小值，则，，
则，，不妨取，则，
则
【例题2】（2022·全国·统考高考真题）记函数的最小正周期为T．若，且的图象关于点中心对称，则（ ）
A．1 B． C． D．3
【答案】A
【分析】由三角函数的图象与性质可求得参数，进而可得函数解析式，代入即可得解.
【详解】由函数的最小正周期T满足，得，解得，
又因为函数图象关于点对称，所以，且，
所以，所以，，
所以.
【例题3】已知函数满足恒成立，，且在区间上有5个零点，则 .
【答案】
【分析】由可知，由此可求得的值；根据函数在区间零点的个数，结合正弦函数的图象可知的取值范围；由可知函数的对称轴，得出,再结合的取值范围即可得出的值.
【详解】由题意，
所以，得，
因为，所以，所以；
因为在区间上有5个零点，
所以，
解得；
因为，
所以函数的图象关于直线对称，
所以，得，所以.
【巩固练习1】已知函数在区间上单调递减，直线和为函数的图象的两条相邻对称轴，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由题求出，得到，然后根据最值得出，求出的解析式，得出答案.
【详解】因为直线和为函数的图象的两条相邻对称轴，
所以，且，则，
又在区间上单调递减，
所以当时，取得最大值，则，
则，不妨取，则，则
【巩固练习2】（23-24高一上·江苏南通·期末）设函数的最小正周期为. 若，且对任意，恒成立，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由可得，由对任意，恒成立，可得，计算即可得.
【详解】由，且，故，
即有，解得，
又，，故，即，
综上，.
【巩固练习3】已知函数在区间上单调递减，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】在区间上单调递减，，
由，得①.
又，图象关于点对称，
即②.由②-①得，由于，
则，代入①，即，
由于，则，则．
【巩固练习4】已知函数在区间单调递增，直线和为函数的图像的两条相邻对称轴，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意分别求出其周期，再根据其最小值求出初相，代入即可得到答案.
【详解】因为在区间上单调递增，且直线与为相邻的两条对称轴，
所以，即，且，，
又时取得最小值，即，所以，
解得，
.
【巩固练习5】已知函数有一个零点为为其图象的一条对称轴．且函数在区间上单调递增，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意可知，利用，可求得的值，再根据可求得的值，求出的解析式后，即可求值.
【详解】由题意可知，则，
故，所以，
又为其图象的一条对称轴，
且函数在区间上单调递增，则，
所以,
故，可取，
则，所以
【巩固练习6】函数满足，且恒成立，若在区间上有最小值而无最大值，则 .
【答案】
【分析】由题意可得为函数的对称中心，为函数的对称轴，再结合在区间上有最小值而无最大值，可得，即可得解.
【详解】因为，所以为函数的对称中心，
因为恒成立，所以，
所以为函数的对称轴，
又因为在区间上有最小值而无最大值，
所以，解得
【题型9】三角函数新定义问题
【例题1】计算器是如何计算、、、、等函数值的 计算器使用的是数值计算法，如，，其中，英国数学家泰勒（B．Taylor，1685-1731）发现了这些公式，可以看出，右边的项用得超多、计算得出的和的值也就越精确，运用上述思想，可得到的近似值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】取代入公式中，直接计算取近似值即可．
【详解】.
【巩固练习1】定义:正割，余割.已知为正实数，且对任意的实数均成立，则的最小值为（　　）
A．1 B．4 C．8 D．9
【答案】D
【分析】利用已知条件先化简，分离参数，转化恒成立求最值问题
【详解】由已知可得，
即.
因为，所以，
则
，当且仅当时等号成立,故
【巩固练习2】人脸识别技术在各行各业的应用改变着人类的生活，所谓人脸识别，就是利用计算机分析人脸视频或者图像，并从中提取出有效的识别信息，最终判别对象的身份，在人脸识别中为了检测样本之间的相似度主要应用距离的测试，常用测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离.若二维空间有两个点，，则曼哈顿距离为：，余弦相似度为：，余弦距离为
(1)若，，求A，B之间的曼哈顿距离和余弦距离；
(2)已知，，，若，，求的值
【答案】(1)，，(2)
【分析】（1）根据公式直接计算即可.
（2）根据公式得到，，计算得到答案.
【详解】（1），
，故余弦距离等于；
（2）；
故，，则.
【巩固练习3】已知函数，称向量为的特征向量，为的特征函数.
(1)设，求的特征向量；
(2)设向量的特征函数为，求当且时，的值；
(3)设向量的特征函数为，记，若在区间上至少有40个零点，求的最小值.
【答案】(1)，(2)，(3)
【分析】（1）根据诱导公式化简，再根据函数的特征向量的定义即可得解；
（2）根据向量的特征函数求出函数解析式，化简可得，再根据结合两角差的正弦公式即可得解；
（3）根据三角恒等变换求出函数的解析式，不妨设为其中的一个零点，再根据三角函数的性质即可得出答案.
【详解】（1）解：因为，
所以函数的特征向量；
（2）解：因为向量的特征函数为，
所以，
由，得，
因为，所以，
所以，
所以；
（3）解：因为向量的特征函数为，
所以，
则，
令，则，
则或，
则或，
由在区间上至少有40个零点，
不妨设，
则，
则，
所以的最小值为.
【题型10】三角图像性质综合
【例题1】已知函数的部分图像如图所示：
(1)求函数的表达式；
(2)当时，求方程的所有根的和．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：由函数的图象，可得，可得，所以，
因为，即，
可得，即，
又因为，可得，所以.
（2）解：由，可得或，
因为，可得，
当时，，设方程的解为，
则，可得；
当时，，则，可得，
综上所述，方程的所有根的和为.
【例题2】已知函数.
(1)求函数及其最小正周期；
(2)求函数在区间上的单调减区间；
(3)将函数图象向右移动个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短到原来的倍得到的图象，若在区间上至少有100个最大值，求a的取值范围．
【答案】(1)，最小正周期；
(2)递减区间为；
(3).
【分析】（1）由和角余弦公式、二倍角公式化简得，再求出最小正周期即可；
（2）设，结合正弦函数性质求递减区间；
（3）根据图象平移得，再由正弦函数图象和区间最值个数列不等式求参数范围.
【详解】（1）因为，
所以，
所以最小正周期为.
（2）设，由，可得，
而在上递增，在上递减，
所以在上递增，在上递减，
故在区间上的单调减区间为.
（3）由题意,可得，
则，则为奇函数，
由，可得，
要使在区间上至少有100个最大值，则上有50个最大值，
所以，即；
上有50个最大值，则，即，
综上，.
【巩固练习1】将函数图象上所有点的横坐标缩小为原来的，再向右平移个单位长度，得到函数的图象，若在上有两个不同的零点，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据函数图象的变换可得，即可结合正弦函数的对称性得，进而，即可求解.
【详解】将函数图象上所有点的横坐标缩小为原来的，得到的图象，
再向右平移个单位长度，得到的图象．
当时，，令，，
则关于t的方程在上有两个不等的实数根，，所以，
即，则，所以．
【巩固练习2】已知函数的部分图象如下图所示，若曲线过点，，，，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：因为，所以，而，因此，
即
因为，所以由“五点法”作图得：，解得，
由于,解得，故取，则，
因此.
因为，所以，.
因为由函数的图象，结合“五点法”作图知：，，
所以由和得：，，
因此
.
【巩固练习3】已知函数为奇函数，且图象的相邻两条对称轴间的距离为.
(1)求的解析式与单调递减区间；
(2)将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，当时，求方程的所有根的和.
【答案】(1)，
(2).
【分析】（1）利用恒等变换化简后，结合三角函数的性质求解；
（2）利用图象变换法,求得的函数表达式，解方程求得的值，利用换元思想，结合三角函数的图象和性质分析求出即可.
【详解】（1）由题意可得：因为图象的相邻两条对称轴间的距离为，
所以的最小正周期为，即可得，
又为奇函数，则，
又，所以，故.
令，得，
所以函数的递减区间为.
（2）将函数的图象向右平移个单位长度，可得的图象，
再把横坐标缩小为原来的，得到函数的图象，
又，则或，即或.
令，当时，，
画出的图象如图所示：
的两个根对应的点关于直线对称，即，
有，
在上有两个不同的根，所以；
又的根为，
所以方程在内所有根的和为.
【巩固练习4】已知函数，将的图象各点横坐标缩短到原来的，纵坐标伸长到原来的2倍，然后再将所得函数图象向左平移个单位后得到函数的图象.
(1)方程在上有且只有一个解，求实数的取值范围；
(2)实数满足对任意，都存在，使得成立，求的取值范围.
【答案】(1).；(2)
【分析】（1）将方程的解转化为函数的图象与直线有且只有一个交点，结合图象求解范围即可；
（2）条件转化为，易求的最大值为.求函数在的最大值，则利用整体换元法，转化为二次函数轴动区间定最值问题分类讨论求解再整合即可.
【详解】（1）已知函数，将的图象各点横坐标缩短到原来的得到的图象，
再将所得函数图象纵坐标伸长到原来的2倍得到的图象，
再将所得函数图象向左平移个单位后，得到函数的图象，
则，
当时，，方程在上有且只有一个解，
即函数的图象与直线有且只有一个交点，
由函数图象可知，，或，解得，或，
故实数的取值范围为.

（2）设函数
若实数满足对任意，都存在，成立，
则.，则；
由，
令，由为增函数，则，
设，，图象开口向上，对称轴为.
当，即时，，
则，解得，则；
当，即时，，
则，解得，则.
综上，的取值范围为.
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题型汇编
知识梳理与常考题型
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专题5-6 三角函数：y=Asin(ωx +φ)的图像及性质
TOC \o "1-4" \n \h \z \u
类型三：设 HYPERLINK \l "_Toc184052994" EMBED Equation.DSMT4
SHAPE \* MERGEFORMAT
【题型1】五点法作y＝Asin(ωx＋φ)图像及其应用
解题思路：用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图的步骤
第一步：列表；如下表所示：
x － － －
ωx＋φ 2π
y＝Asin(ωx＋φ) 0 A 0 －A 0
第二步：在同一坐标系中描出各点．
第三步：用光滑曲线连接这些点，形成图象．
【例题1】某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：
0
x
0 2 0
(1)将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并写出函数的解析式；
(2)将函数图象上所有点向左平行移动个单位长度，得到函数的图象，求使成立的x的取值集合．
【巩固练习1】某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：
0
x m n p
1 6 1 1
(1)求出实数m，n，p的值；(2)求出函数的解析式；
(3)将图象向左平移个单位，得到的图象．若为偶函数，求t的最小值．
【巩固练习2】（1）利用“五点法”画出函数在长度为一个周期的闭区间的简图.
列表:
x
y
作图:

（2）并说明该函数图象可由的图象经过怎么变换得到的.
【巩固练习3】已知函数．

(1)请用“五点法”画出函数在一个周期上的图像（先在所给的表格中填上所需的数字，再画图）；
(2)求的单调递增区间．
【题型2】三角函数图像的平移与伸缩变换
平移时注意点：对于
(1)确定平移方向和平移的量是解决平移变换的关键．
(2)当x的系数是1时，左移个单位则．
(3)当x的系数是ω(ω>0)时，左移个单位则．
【例】由函数的图像变换为函数的图像的步骤；
方法一：先平移后伸缩．
方法二：先伸缩后平移．
注：在进行图像变换时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移在题目中也经常出现，所以必须熟练掌握，无论哪种变化，切记每一个变换总是对变量而言的，即图像变换要看“变量”发生多大变化，而不是“角”变化多少．
注：函数名称不一致的平移：诱导公式化同名
类型一：函数名不改变
【例题1】为了得到函数，的图象，只需把函数，的图象上所有的点（ ）
A．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）
B．向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）
C．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变）
D．向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变）
类型二：函数名改变（结合诱导公式）
【例题2】将函数的图象平移后所得的图象对应的函数为，则进行的平移是（ ）
A．向左平移个单位 B．向右平移个单位
C．向右平移个单位 D．向左平移个单位
类型三：由平移前后函数性质求参数
【例题3】将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，再将所得图象向左平移（）个单位长度，得到函数的图象，若，请写出的一个可能值为 .
【例题4】将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，且的图象关于对称，则（ ）
A． B． C． D．
【巩固练习1】将函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【巩固练习2】（多选）要得到函数的图象，只需将函数图象上的所有点（ ）
A．横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位长度
B．横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位长度
C．先向右平移个单位长度，再把横坐标伸长到原来的2倍
D．先向右平移个单位长度，再把横坐标缩短到原来的
【巩固练习3】已知函数的最小正周期为，为了得到函数的图像，只要将的图像（ ）
A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
【巩固练习4】已知曲线C1：y=cos x，C2：y=sin (2x+)，则下面结论正确的是
A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2
B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2
C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2
D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2
【巩固练习6】为得到函数的图像，只需将函数的图像（ ）
A．向左平移个长度单位 B．向右平移个长度单位
C．向左平移个长度单位 D．向右平移个长度单位
【巩固练习7】函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，若，当最小时，φ的值是（ ）
A． B． C． D．
【巩固练习8】将函数的图象沿水平方向平移个单位后得到的图象关于直线对称（向左移动，向右移动），当最小时，则（ ）
A． B． C． D．
【题型3】由图像识别函数解析式
确定的步骤和方法:
(1)求 ：确定函数的最大值和最小值，则 ，；
(2)求：确定函数的周期，则；
(3)求：常用的方法有代入法和五点法．
①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时已知)或代入图象与直线的交点求解(此时要注意交点是在增区间还是在减区间)．
②五点法：确定值时，往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口．
【例题1】（2020·新高考1卷真题）（多选）下图是函数y= sin(ωx+φ)的部分图像，则sin(ωx+φ)= （ ）
A． B． C． D．
【例题2】函数在一个周期内的图象如图，此函数的解析式为 .

【例题3】如图，某地一天中6时至14时的温度变化曲线近似满足函数（其中，），则估计中午12时的温度近似为 ℃；（精确到）
【巩固练习1】已知函数的部分图像如图所示，则 .
【巩固练习2】已知函数（，）的部分图象如图所示，则 ．

【巩固练习3】函数是常数，的部分图象如图所示，则的值是 .

【巩固练习4】已知函数的部分图象如图所示，则 ．

【题型4】 单调性问题
函数
图象
单调性 在上是增函数；在上是减函数． 在上是增函数；在上是减函数． 在上是增函数．
类型一：求单调区间
【例题1】函数，，的单调递减区间为 　 　．
类型二：复合函数型
【例题2】函数的单调减区间为（ ）
A． B．
C． D．
类型三：由单调性求参数范围
【例题3】若在区间上单调递增，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【巩固练习1】函数的单调递减区间为　　
A． B．
C． D．
【巩固练习2】函数的单调增区间是　　
A．， B．，
C．， D．，
【巩固练习3】函数的单调增区间为（　　）.
A． B．
C． D．不存在
【巩固练习4】若函数在上单调递增，则实数的取值范围是 　 　．
【题型5】最值与值域问题（4种类型）
求三角函数的最值，一般是通过三角变换化归为下列基本类型处理．
（1），引入辅助角，化为
（2），设，化为二次函数在闭区间上的最值求解，也可以是或型．
（3），设，则，故，故原函数化为二次函数在闭区间上的最值求解．
心为
类型一：求指定区间上的值域
【例题1】求，的值域.
类型二：化为二次函数型
【例题2】（2017·全国·高考真题）函数（）的最大值是 ．
类型三：设
【例题3】（23-24高一上·湖北武汉·期末）已知，则函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
【例4】（23-24高一下·云南昭通·阶段练习）已知，，则的值域为 .
类型四：已知值域求参数范围
【例5】已知函数的定义域为（），值域为，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【巩固练习1】求下列函数的值域.
(1)，；(2)，.
【巩固练习2】函数的值域是（ ）
A． B． C． D．
【巩固练习3】求的值域.
【巩固练习4】（23-24高一上·广东广州·期末）函数在区间上的值域是 ．
【巩固练习5】（23-24高三上·江苏连云港·阶段练习）函数y＝sin x＋cos x－sin xcos x的值域为 ．
【巩固练习6】（23-24高一上·河北沧州·阶段练习）已知．
(1)若，求的值；(2)求的值域．
【巩固练习7】已知，当时，取最大值，当时，取最小值，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【巩固练习8】已知函数，的值域为，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【巩固练习9】（23-24高一上·浙江杭州·阶段练习）已知函数当时，
(1)若，求的值；(2)求函数的值域.
【巩固练习10】（23-24高一下·江苏镇江·阶段练习）（1）求的值；
（2）已知，求函数的值域.
【巩固练习11】已知函数的定义域为，，值域为，则的取值范围为 　 　．
【题型6】对称性与周期
1.一般情况下，两个点关于中心对称，则函数值互为相反数。
2.对称中心之间的距离是半个周期的整数倍。
3.周期与轴之间的距离，是四分之一周期的整数倍。
4正余弦与水平线交点的中点，是函数的对称轴。
5.一般情况下，的最大值或者最小值，必在对称轴处。
6.对称轴之间的距离，是半个周期的整数倍。
7、求函数的对称轴的方法；令，得；对称中心的求取方法；令，得，即对称中心为．
8、求函数的对称轴的方法；令得，即
【例题1】已知函数（其中）的图象与直线的两个相邻交点的距离等于，则的值为（ ）
A． B．2 C．1 D．3
【例题2】（高一·浙江杭州·期末）将函数的图象向右平移个单位长度，则平移后函数图象的解析式为 ；平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程是 ．
【例题3】（23-24高一下·浙江衢州·期末）一学生在求解以下问题“已知函数的图象关于直线对称，关于中心对称，且，求的值”时，思路如下：令（，），由对称轴和对称中心可求得，再由对称轴求，对称中心求，根据以上信息可得（ ）
A． B． C． D．
【巩固练习1】（23-24·广东深圳·阶段练习）（多选）将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，则下列结论正确的为（ ）
A．的最小正周期为 B．的图象关于直线对称
C．在区间上单调递减 D．的图象与的图象关于对称
【巩固练习2】已知直线和都是函数图象的对称轴，则的解析式可能为（ ）
A． B．
C． D．
【巩固练习3】设函数与函数的对称轴完全相同，则的值为 ．
【巩固练习4】函数的图象在区间上恰有一条对称轴和一个对称中心，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【巩固练习5】已知函数，则（　　）
A．2025 B．
C． D．
【巩固练习6】函数与函数的图象所有交点的横坐标之和为 ．
【题型7】三角函数性质辨析
在多选题中经常出现三角函数性质辨析题，其常见选项有
辨析1：判断或是否为对称轴或对称中心
辨析2: 在某区间上有是否单调递增（减）；
辨析3: 判断在某区间上有多少个零点或对称轴
辨析4: 判断在某区间上的值域
辨析5：给出限制条件辨析参数范围是否正确
【例题1】（23-24高一上·湖北武汉·期末）已知函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．的图象关于点对称 B．为奇函数
C．在区间上单调递增 D．的图象关于直线对称
【例题2】（23-24高一上·广东深圳·期末）（多选）函数（，，）的部分图象如图所示，下列结论中正确的是（ ）

A．
B．函数的图象关于点对称
C．函数在上单调递增
D．将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象
【巩固练习1】（多选）已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．的最小正周期为
B．的图象关于直线对称
C．是奇函数
D．的单调递减区间为
【巩固练习2】（多选）已知函数（，，）的部分图象如图所示，则下列结论正确的有（ ）.

A．的最小正周期为
B．为偶函数
C．在区间内的最小值为1
D．的图象关于直线对称
【巩固练习3】用“五点法”作函数（，，）在一个周期内的图象时，列表计算了部分数据，下列有关函数描述正确的是（ ）
0
x a b c
1 3 1 d 1
A．函数的最小正周期是
B．函数的图象关于点对称
C．函数的图象关于直线对称
D．函数与表示同一函数
【巩固练习4】（多选）关于函数，下列结论正确的是（　　）
A．函数的最大值是2
B．函数在单调递减
C．函数的图像可以由函数y＝2sin2x+1的图像向右平移个单位得到
D．若方程在区间有两个实根，则
【巩固练习5】函数的部分图象如图所示，则下列说法中正确的是（ ）
A．
B．的表达式可以写成
C．的图象向右平移个单位长度后得到的新函数是奇函数
D．若方程在上有且只有6个根，则
【巩固练习7】（多选）已知函数（，），为的零点，且在上单调递减，则下列结论正确的是（ ）
A． B．若，则
C．是偶函数 D．的取值范围是
【题型8】由三角函数性质求参数的值
【例题1】已知函数在区间单调递增，直线和为函数的图像的两条相邻对称轴，则（ ）
A． B． C． D．
【例题2】记函数的最小正周期为T．若，且的图象关于点中心对称，则（ ）
A．1 B． C． D．3
【例题3】已知函数满足恒成立，，且在区间上有5个零点，则 .
【巩固练习1】已知函数在区间上单调递减，直线和为函数的图象的两条相邻对称轴，则（ ）
A． B． C． D．
【巩固练习2】设函数的最小正周期为. 若，且对任意，恒成立，则（ ）
A． B． C． D．
【巩固练习3】已知函数在区间上单调递减，，则（ ）
A． B． C． D．
【巩固练习4】已知函数在区间单调递增，直线和为函数的图像的两条相邻对称轴，则（ ）
A． B． C． D．
【巩固练习5】已知函数有一个零点为为其图象的一条对称轴．且函数在区间上单调递增，则（ ）
A． B． C． D．
【巩固练习6】函数满足，且恒成立，若在区间上有最小值而无最大值，则 .
【题型9】三角函数新定义问题
【例题1】计算器是如何计算、、、、等函数值的 计算器使用的是数值计算法，如，，其中，英国数学家泰勒（B．Taylor，1685-1731）发现了这些公式，可以看出，右边的项用得超多、计算得出的和的值也就越精确，运用上述思想，可得到的近似值为（ ）
A． B． C． D．
【巩固练习1】定义:正割，余割.已知为正实数，且对任意的实数均成立，则的最小值为（　　）
A．1 B．4 C．8 D．9
【巩固练习2】人脸识别技术在各行各业的应用改变着人类的生活，所谓人脸识别，就是利用计算机分析人脸视频或者图像，并从中提取出有效的识别信息，最终判别对象的身份，在人脸识别中为了检测样本之间的相似度主要应用距离的测试，常用测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离.若二维空间有两个点，，则曼哈顿距离为：，余弦相似度为：，余弦距离为
(1)若，，求A，B之间的曼哈顿距离和余弦距离；
(2)已知，，，若，，求的值
【巩固练习3】已知函数，称向量为的特征向量，为的特征函数.
(1)设，求的特征向量；
(2)设向量的特征函数为，求当且时，的值；
(3)设向量的特征函数为，记，若在区间上至少有40个零点，求的最小值.
【题型10】三角图像性质综合
【例题1】已知函数的部分图像如图所示：
(1)求函数的表达式；
(2)当时，求方程的所有根的和．
【例题2】已知函数.
(1)求函数及其最小正周期；
(2)求函数在区间上的单调减区间；
(3)将函数图象向右移动个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短到原来的倍得到的图象，若在区间上至少有100个最大值，求a的取值范围．
【巩固练习1】将函数图象上所有点的横坐标缩小为原来的，再向右平移个单位长度，得到函数的图象，若在上有两个不同的零点，，则（ ）
A． B． C． D．
【巩固练习2】已知函数的部分图象如下图所示，若曲线过点，，，，且，则（ ）
A． B． C． D．
【巩固练习3】已知函数为奇函数，且图象的相邻两条对称轴间的距离为.
(1)求的解析式与单调递减区间；
(2)将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，当时，求方程的所有根的和.
【巩固练习4】已知函数，将的图象各点横坐标缩短到原来的，纵坐标伸长到原来的2倍，然后再将所得函数图象向左平移个单位后得到函数的图象.
(1)方程在上有且只有一个解，求实数的取值范围；
(2)实数满足对任意，都存在，使得成立，求的取值范围.
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题型解读
题型汇编
知识梳理与常考题型
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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