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北师大版（2024）八年级下册暑假专题训练：三角形内角和定理
一、选择题
1.如图，一艘轮船在A处看见巡逻艇C在其北偏东62°的方向上，此时一艘客船在B处看见巡逻艇C在其北偏东13°的方向上．则此时在巡逻艇上看这两艘船的视角∠ACB的度数是(　　)
A.13° B.49° C.62° D.75°
2.如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝50°，CD平分∠ACB，则∠ADC的度数是(　　)
A.80° B.90° C.100° D.110°
3.已知在△ABC中，∠A﹣∠B＝30°，且∠C＝4∠B，则△ABC为(　　)
A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形
4.如图，在△ABC中，AD为△ABC的角平分线，BE为△ABC的高，∠C＝70°，∠ABC＝48°，那么∠3是(　　)
A.59° B.60° C.56° D.22°
5.如图，P是△ABC内一点，连接BP，CP，已知∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠A＝100°，则∠BPC的度数为(　　)
A.110° B.120° C.130° D.140°
6.如图，在△ABC中，∠C＝30°，BD平分∠ABC交AC于点D，DE∥AB，交BC于点E，若∠BDE＝50°，则∠A的度数是(　　)
A.40° B.50° C.60° D.70°
7.△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝2:3:4，则∠A的度数为(　　)
A.35° B.40° C.70° D.110°
8.如图，在△ABC中，∠A的度数是(　　)
A.60° B.40° C.30° D.20°
9.在下列条件中，可以确定△ABC是直角三角形的是(　　)
A.∠A+∠B+∠C＝180° B.∠A＝∠B＝∠C C.∠A＝∠C﹣∠B D.∠A＝∠B＝2∠C
10.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE∥AC，且∠B＝50°，∠C＝60°，则∠ADE的度数为(　　)
A.80° B.30° C.35° D.50°
11.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，且与BC相交于点D，∠B＝40°，∠BAD＝30°，则∠C的度数是(　　)
A.70° B.80° C.100° D.110°
12.如图，两面镜子AB，BC的夹角为∠α，当光线经过镜子后反射，∠1＝∠2，∠3＝∠4．若∠α＝70°，则∠β的度数是(　　)
A.30° B.35° C.40° D.45°
二、填空题
13.三角形三个内角度数之比为1:2:3，其中最大的角度数为 　　．
14.在△ABC中，AD为边BC上的高，∠BAD＝50°，∠CAD＝20°，则∠BAC的度数为 　 　．
15.在△ABC中，∠A+∠B＝2∠C，则∠C＝　 　．
16.如图，某轮船上午8时在A处测得灯塔S在其北偏东60°的方向上，向东行驶至中午12时，在B处测得灯塔S在其北偏西30°的方向上(自己完成图形)，已知轮船行驶的速度为20 km/h，则∠ASB＝________，AB的长为________km.
17.如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，∠BDC＝118°，则∠A＝　 　．
三、解答题
18.阅读下列材料，并完成相应任务．
(1)证法一的思路是先用平行线的性质得到∠B＝∠1，∠C＝∠2，此处，括号内应填写的理由是 　 　，再将三角形内角和问题转化为一个平角，进而得到三角形内角和是180°，这种方法主要体现的数学思想是 　　；(单选，将正确选项填入空格处)
A．数形结合思想
B．分类思想
C．转化思想
(2)将证法二补充完整．
19.在小学我们通过观察、实验的方法得到“三角形的内角和是180°”的结论．小明通过这学期的学习知道：由观察、实验、归纳、类比、猜想得到的结论还需要通过证明确认他的正确性，实验的方法能给我们证明提供思路，如图1，有两种实验方法．小明受实验方法1的启发，形成了证明该结论的思路，写出了已知、求证，并进行了证明，如下：
已知：∠A，∠B，∠C是△ABC的三个内角，求证：∠A+∠B+∠C＝180°．
证明：延长BC，过点C作CM//BA．
∴∠A＝∠1，∠B＝∠2．
∵∠1+∠2+∠ACB＝180°，
∴∠A+∠B+∠ACB＝180°．
(1)小明的证明过程依据有哪些？(写两条即可)
　 　；
　 .
(2)请你参考小明同学解决问题的方法1的思路，写出实验方法2的证明过程．
20.如图，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D，过点D作DE∥BC交AC于点E，∠A＝54°，∠B＝48°，求∠CDE的度数．
21.如图，B岛在A岛的南偏西40°方向，C岛在A岛的南偏东15°方向，C岛在B岛的北偏东80°方向，求从C岛看A，B两岛的视角∠ACB的度数．
22.如图，在△ABC中，BD是∠ABC的平分线，且∠ABD＝∠A，∠C＝3∠A．
(1)求△ABC各内角的度数；
(2)求∠ADB的度数．
北师大版（2024）八年级下册暑假专题训练：三角形内角和定理（参考答案）
一、选择题
1.如图，一艘轮船在A处看见巡逻艇C在其北偏东62°的方向上，此时一艘客船在B处看见巡逻艇C在其北偏东13°的方向上．则此时在巡逻艇上看这两艘船的视角∠ACB的度数是(　　)
A.13° B.49° C.62° D.75°
【答案】B
【解析】由题意得，∠CAB＝90°﹣62°＝28°，∠ABC＝90°+13°＝103°，
∴∠ACB＝180° ∠CAB﹣∠ABC＝49°．
故选：B．
2.如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝50°，CD平分∠ACB，则∠ADC的度数是(　　)
A.80° B.90° C.100° D.110°
【答案】C
【解析】∠ACB＝180°－30°－50°＝100°，
因为CD平分∠ACB，
所以∠ACD＝50°，∠ADC＝180°－30°－50°＝100°.
故选：C .
3.已知在△ABC中，∠A﹣∠B＝30°，且∠C＝4∠B，则△ABC为(　　)
A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形
【答案】C
【解析】由∠A﹣∠B＝30°，可得出∠A＝∠B+30°，在△ABC中，∠A=∠B+30°, ∠C=4∠B.利用三角形内角和定理，得∠A+∠B+∠C=∠B+30°+∠B+4∠B=180°，解得∠B=25°，∠C=100°，结合∠C＝100°＞90°，可得出△ABC为钝角三角形．
故选：C．
4.如图，在△ABC中，AD为△ABC的角平分线，BE为△ABC的高，∠C＝70°，∠ABC＝48°，那么∠3是(　　)
A.59° B.60° C.56° D.22°
【答案】A
【解析】∵BE为△ABC的高，
∴∠AEB＝90°.
∵∠C＝70°，∠ABC＝48°，
∴∠CAB＝62°，
∵AF是角平分线，
∴∠1＝∠CAB＝31°，
在△AEF中，∠EFA＝180°﹣31°﹣90°＝59°．
∴∠3＝∠EFA＝59°.
故选：A．
5.如图，P是△ABC内一点，连接BP，CP，已知∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠A＝100°，则∠BPC的度数为(　　)
A.110° B.120° C.130° D.140°
【答案】D
【解析】在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，
∵∠A＝100°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣100°＝80°，
即∠1+∠2+∠3+∠4＝80°，
∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∴2∠2+2∠4＝80°，
∴∠2+∠4＝40°，
在△BPC中，∠BPC+∠2+∠4＝180°，
∴∠BPC＝140°.
故选：D．
6.如图，在△ABC中，∠C＝30°，BD平分∠ABC交AC于点D，DE∥AB，交BC于点E，若∠BDE＝50°，则∠A的度数是(　　)
A.40° B.50° C.60° D.70°
【答案】B
【解析】∵DE∥AB，∠BDE＝50°，
∴∠ABD＝∠BDE＝50°，
而BD平分∠ABC，
∴∠ABC＝2∠ABD＝100°，
∴∠A＝180°﹣∠C﹣∠ABC＝180°﹣100°﹣30°＝50°．
故选：B．
7.△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝2:3:4，则∠A的度数为(　　)
A.35° B.40° C.70° D.110°
【答案】B
【解析】∵△ABC中∠A∶∠B∶∠C＝2:3:4，
∴设∠A＝2x，∠B＝3x，∠C＝4x．
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴2x+3x+4x＝180°，解得x＝20°，
∴∠A＝2x＝40°．
故选：B．
8.如图，在△ABC中，∠A的度数是(　　)
A.60° B.40° C.30° D.20°
【答案】A
【解析】∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴3x+2x+4x＝180°，
解得x＝20°，
∴∠A＝3×20°＝60°．
故选：A．
9.在下列条件中，可以确定△ABC是直角三角形的是(　　)
A.∠A+∠B+∠C＝180° B.∠A＝∠B＝∠C C.∠A＝∠C﹣∠B D.∠A＝∠B＝2∠C
【答案】C
【解析】∠A+∠B+∠C＝180°，∠A，∠B，∠C的度数不确定，A不能确定△ABC是直角三角形；
∠A＝∠B＝∠C，则△ABC是等边三角形，B不能确定△ABC是直角三角形；
由∠A=∠C﹣∠B得∠A+∠B＝∠C，根据三角形内角和定理得到∠C＝90°，C可以确定△ABC是直角三角形；
∠A＝∠B＝2∠C，则△ABC是等腰三角形，D不能确定△ABC是直角三角形.
故选：C．
10.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE∥AC，且∠B＝50°，∠C＝60°，则∠ADE的度数为(　　)
A.80° B.30° C.35° D.50°
【答案】C
【解析】∵∠B＝50°，∠C＝60°，
∴∠BAC＝180°﹣50°﹣60°＝70°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠DAC＝35°，
∵DE∥AC，
∴∠ADE＝∠DAC＝35°.
故选：C．
11.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，且与BC相交于点D，∠B＝40°，∠BAD＝30°，则∠C的度数是(　　)
A.70° B.80° C.100° D.110°
【答案】B
【解析】∵AD平分∠BAC，∠BAD＝30°，
∴∠BAC＝2×30°＝60°，
∵∠B＝40°，
∴∠C＝180°－40°－60°＝80°.
故选：B.
12.如图，两面镜子AB，BC的夹角为∠α，当光线经过镜子后反射，∠1＝∠2，∠3＝∠4．若∠α＝70°，则∠β的度数是(　　)
A.30° B.35° C.40° D.45°
【答案】C
【解析】如图，
由题意得∠5＝180°﹣(∠1+∠2)＝180°﹣2∠2，∠6＝180°﹣(∠3+∠4)＝180°﹣2∠3，
∵∠α＝70°，
∴∠2+∠3＝180°﹣∠α＝110°，
∵∠β＝180°﹣(∠5+∠6)
∴∠β＝180°﹣(180°﹣2∠2+180°﹣2∠3)
＝2(∠2+∠3)﹣180°
＝2×110°﹣180°
＝220°﹣180°
＝40°．
故选：C．
二、填空题
13.三角形三个内角度数之比为1:2:3，其中最大的角度数为 　　．
【答案】90°
【解析】若三角形三个内角度数的比为1:2:3，
设一个角是x度，则另两角分别是2x度，3x度．
根据三角形内角和定理得到x+2x+3x＝180，
解得x＝30．
则最大的角是3x＝90．
故答案为：90°．
14.在△ABC中，AD为边BC上的高，∠BAD＝50°，∠CAD＝20°，则∠BAC的度数为 　 　．
【答案】70°或30°
【解析】如图1，∵AD为边BC上的高，
∴∠ADC＝∠ADB＝90°，
∴∠BAC＝∠BAD+∠CAD＝50°+20°＝70°，
如图2，∵AD为边BC上的高，
∴∠ADC＝∠ADB＝90°，
∴∠BAC＝∠BAD﹣∠CAD＝50°﹣20°＝30°.
故答案为：70°或30°．
15.在△ABC中，∠A+∠B＝2∠C，则∠C＝　 　．
【答案】60°
【解析】∵∠A+∠B+∠C＝180°，∠A+∠B＝2∠C，
∴3∠C＝180°，
∴∠C＝60°．
故答案为60°
16.如图，某轮船上午8时在A处测得灯塔S在其北偏东60°的方向上，向东行驶至中午12时，在B处测得灯塔S在其北偏西30°的方向上(自己完成图形)，已知轮船行驶的速度为20 km/h，则∠ASB＝________，AB的长为________km.
【答案】90°；80
【解析】由图可知，
∠SAB＝90°－∠SAD＝90°－60°＝30°，∠SBA＝90°－∠SBC＝90°－30°＝60°，
∴∠ASB＝180°－∠SAB－∠SBA＝180°－30°－60°＝90°，
∴AB＝20×(12－8)＝80(km)．
故答案为：90°；80.
17.如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，∠BDC＝118°，则∠A＝　 　．
【答案】56°
【解析】由三角形内角和定理知∠DBC+∠DCB+∠BDC＝180°，
∴∠DBC+∠DCB＝180°﹣∠BDC＝62°，
∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，
∴∠ABC＝2∠DBC，∠ACB＝2∠DCB，
∴∠ABC+∠ACB＝2(∠DBC+∠DCB)＝124°，
由三角形内角和定理知∠A＝180°﹣(∠ABC+∠ACB)＝180°﹣124°＝56°．
故答案为：56°．
三、解答题
18.阅读下列材料，并完成相应任务．
(1)证法一的思路是先用平行线的性质得到∠B＝∠1，∠C＝∠2，此处，括号内应填写的理由是 　 　，再将三角形内角和问题转化为一个平角，进而得到三角形内角和是180°，这种方法主要体现的数学思想是 　　；(单选，将正确选项填入空格处)
A．数形结合思想
B．分类思想
C．转化思想
(2)将证法二补充完整．
【答案】解：(1)两直线平行，内错角相等；转化思想．
故答案为：C.
(2)∵CN∥AB，
∴∠A＝∠ACN，∠B＝∠NCM，
∵∠ACB+∠ACN+∠NCM＝180°，
∴∠ABC+∠ACB+∠BAC＝180°．
19.在小学我们通过观察、实验的方法得到“三角形的内角和是180°”的结论．小明通过这学期的学习知道：由观察、实验、归纳、类比、猜想得到的结论还需要通过证明确认他的正确性，实验的方法能给我们证明提供思路，如图1，有两种实验方法．小明受实验方法1的启发，形成了证明该结论的思路，写出了已知、求证，并进行了证明，如下：
已知：∠A，∠B，∠C是△ABC的三个内角，求证：∠A+∠B+∠C＝180°．
证明：延长BC，过点C作CM//BA．
∴∠A＝∠1，∠B＝∠2．
∵∠1+∠2+∠ACB＝180°，
∴∠A+∠B+∠ACB＝180°．
(1)小明的证明过程依据有哪些？(写两条即可)
　 　；
　 .
(2)请你参考小明同学解决问题的方法1的思路，写出实验方法2的证明过程．
【答案】(1)解：延长BC，过点C作CM∥BA．
∴∠A＝∠1(两直线平行，内错角相等)，
∠B＝∠2(两直线平行，同位角相等)．
∵∠1+∠2+∠ACB＝180°(平角的定义)，
∴∠A+∠B+∠ACB＝180°(等量代换)．
故答案为：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同位角相等；平角的定义；等量代换(写两条即可).
(2)证明：过点A作DE∥BC，
∴∠2＝∠B，∠3＝∠C，
∵∠BAC+∠2+∠3＝180°，
∴∠BAC+∠B+∠C＝180°.
20.如图，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D，过点D作DE∥BC交AC于点E，∠A＝54°，∠B＝48°，求∠CDE的度数．
【答案】解：∵∠A＝54°，∠B＝48°，
∴∠ACB＝180°﹣54°﹣48°＝78°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠BCD＝∠ACB＝39°，
∵DE∥BC，
∴∠CDE＝∠BCD＝39°．
21.如图，B岛在A岛的南偏西40°方向，C岛在A岛的南偏东15°方向，C岛在B岛的北偏东80°方向，求从C岛看A，B两岛的视角∠ACB的度数．
【答案】解：由题意得，BE∥AD，∠BAD＝40°，
∠CAD＝15°，∠EBC＝80°，
∴∠EBA＝∠BAD＝40°，∠BAC＝40°＋15°＝55°，
∴∠ABC＝∠EBC－∠EBA＝80°－40°＝40°，
∴∠ACB＝180°－∠BAC－∠ABC＝180°－55°－40°＝85°.
22.如图，在△ABC中，BD是∠ABC的平分线，且∠ABD＝∠A，∠C＝3∠A．
(1)求△ABC各内角的度数；
(2)求∠ADB的度数．
【答案】解：(1)∵BD是∠ABC的平分线，∠ABD＝∠A，
∴∠CBD＝∠ABD＝∠A，
∴∠ABC＝∠CBD+∠ABD＝2∠A，
∵∠A+∠ABC+∠C＝180°，
∴∠A+2∠A+3∠A＝180°，
∴∠A＝30°，
∴∠ABC＝2∠A＝60°，∠C＝3∠A＝90°.
(2)由(1)可知∠ABD＝∠A＝30°，
∵∠ADB+∠ABD+∠A＝180°，
∴∠ADB＝180°﹣(∠ABD+∠A)＝120°．

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