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北师大版（2024）八年级下册暑假专题训练：线段的垂直平分线
一、选择题
1.线段AB外有两点C，D（在AB同侧）使CA=CB，DA=DB，∠ADB=80°，∠CAD=10°，则∠ACB等于（　　）
A.80° B.90° C.100° D.110°
2.如图所示，在等腰△ABC中，∠BAC=120°，若EM和FN分别垂直平分AB和AC，垂足分别为E，F，M，N都在BC边上，且EM=FN=4，则BC的长度为（ ）
A.12 B.16 C.20 D.24
3.如图，在△ABC中，AB=AC=8，BC=5，AB的垂直平分线交AC于D，则△BCD的周长为（ ）
A.13 B.15 C.18 D.21
4.如图，直线l与线段AB交于点O，点P在直线l上，且PA=PB．小明说：“直线l是AB的垂直平分线．”小亮说：“需再添加一个条件，小明的结论才正确．”下列判断正确的是（　　）
A.小明说得对
B.小亮说得对，可添条件为“∠A=∠B”
C.小亮说得对，可添条件为“PO⊥AB”
D.两人说得都不对
5.如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交BC边于点E，AC的垂直平分线交BC边于点F，若∠BAC=140°，则∠EAF的度数为（　　）
A.95° B.100° C.105° D.110°
6.如图，在△ABC中，P为△ABC内一点，过点P的直线MN分别交AB，BC于点M，N，若M在PA的垂直平分线上，N在PC的垂直平分线上，若∠MAP+∠NCP=64°，则∠PAC+∠PCA的度数为（　　）
A.116° B.64° C.68° D.118°
7.如图，△ABC的周长为30cm，把△ABC的边AC对折，使顶点C和点A重合，折痕交BC边于点D，交AC边于点E，连接AD，若AE=4cm，则△ABD的周长是（ ）
A.22cm B.20cm C.18cm D.15cm
8.如图，点P为△ABC三边垂直平分线的交点，∠PAC=22°，∠PCB=33°，则∠PAB的度数为（　　）
A.33° B.35° C.37° D.39°
9.如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点，已知线段PA=5，则线段PB的长度为（ ）
A.6 B.5 C.4 D.3
10.如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，BE平分∠ABC，ED垂直平分AB于点D．若AC=9，则AE的值是（ ）
A.63 B.43 C.6 D.4
11.如图，∠ACD＝90°，∠D＝15°，点B在AD的垂直平分线上，若AC＝4，则AB为(　　)
A.4 B.6 C.8 D.10
12.如图，在△ABC中，∠A=70°，OD垂直平分AB，垂足为点D，OE垂直平分AC，垂足为点E，连接OC，则∠BCO的度数为（　　）
A.20° B.30° C.25° D.35°
二、填空题
13.如图，在△ABC中，D为AB上的一点，且DE垂直平分AC，∠B=115°，且∠ACD∶∠BCD=5∶3，则∠ACB=__________度．
14.如图，在等腰△ABC中，AB=AC，∠DBC=15°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，则∠A的度数是_______．
15.点P在线段AB的垂直平分线上，PB=10，则PA= ．
16.如图，已知△ABC，BC=10，BC边的垂直平分线分别交AB，BC于点E，D．若△ACE的周长为12，则△ABC的周长为 ．
17.已知M，N是线段AB的垂直平分线上任意两点，则∠MAN和∠MBN之间的关系是_____________．
三、解答题
18.如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线交AC于E，△ABC和△BEC的周长分别是24和14，求线段AB的长.
19.如图，在△ABC中，点D在边BC上，连接AD，BC=BD+AD．点D在哪条线段的垂直平分线上？证明你的结论．
20.如图，已知△ABC，请用尺规过点A作一条直线，使其将△ABC分成面积相等的两部分．（保留作图痕迹，不写作法）
21.如图，已知△ABC，按如下步骤作图：
①分别以A，C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧交于P，Q两点；
②作直线PQ，分别交AB，AC于点E，D，连接CE；
③过C作CF∥AB交PQ于点F，连接AF．
求证：△AED≌△CFD．
22.如图，已知△ABC是等边三角形，D是BC边上的一个动点（异于点B，C），过点D作DE⊥AB，垂足为E，DE的垂直平分线分别交AC，BC于点F，G，连接FD，FE．当点D在BC边上移动时，
求证：（1）△DEF一定为等腰三角形；
（2）△CFG一定为等边三角形；
（3）△FDC不可能为等腰三角形.
北师大版（2024）八年级下册暑假专题训练：线段的垂直平分线（参考答案）
一、选择题
1.线段AB外有两点C，D（在AB同侧）使CA=CB，DA=DB，∠ADB=80°，∠CAD=10°，则∠ACB等于（　　）
A.80° B.90° C.100° D.110°
【答案】C
【解析】由已知条件易得CD的连线垂直平分AB，所以AM=BM，∠AMD=∠BMD=90°，从而可证Rt△AMD≌Rt△BMD，Rt△AMC≌Rt△BMC，所以∠ACB=2∠ACM=2（∠ADM+∠CAD）=2×（∠ADB+10°）=2×（×80°+10°）=100°.
2.如图所示，在等腰△ABC中，∠BAC=120°，若EM和FN分别垂直平分AB和AC，垂足分别为E，F，M，N都在BC边上，且EM=FN=4，则BC的长度为（ ）
A.12 B.16 C.20 D.24
【答案】D
【解析】等腰三角形底角相等，线段垂直平分线上的点到线段两个端点距离相等，直角三角形中30°所对的直角边等于斜边的一半．BM=AM=2EM，CN=AN=2FN，△AMN为等边三角形，AM=AN=MN，则BC=6EM=24．
3.如图，在△ABC中，AB=AC=8，BC=5，AB的垂直平分线交AC于D，则△BCD的周长为（ ）
A.13 B.15 C.18 D.21
【答案】A
【解析】∵AB=AC=8，BC=5，AB的垂直平分线交AC于D，
∴AD=BD，∴△BCD的周长为CD+BD+BC=AC+BC=8+5=13．
4.如图，直线l与线段AB交于点O，点P在直线l上，且PA=PB．小明说：“直线l是AB的垂直平分线．”小亮说：“需再添加一个条件，小明的结论才正确．”下列判断正确的是（　　）
A.小明说得对
B.小亮说得对，可添条件为“∠A=∠B”
C.小亮说得对，可添条件为“PO⊥AB”
D.两人说得都不对
【答案】C
【解析】可添条件为PO⊥AB才能说直线l是AB的垂直平分线，
证明如下：
∵PO⊥AB，
∴∠POA=∠POB=90°，
在Rt△PAO和Rt△PBO中，
PA=PB，PO=PO，
∴Rt△PAO≌Rt△PBO（HL），
∴AO=BO，
∴直线l是AB的垂直平分线．
5.如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交BC边于点E，AC的垂直平分线交BC边于点F，若∠BAC=140°，则∠EAF的度数为（　　）
A.95° B.100° C.105° D.110°
【答案】B
【解析】∵∠BAC=140°，
∴∠B+∠C=180°-∠BAC=40°，
∵AB的垂直平分线交BC于点E，AC的垂直平分线交BC于点F，
∴EA=EB，FA=FC，
∴∠B=∠BAE，∠C=∠FAC，
∴∠BAE+∠FAC=40°，
∴∠EAF=∠BAC-（∠BAE+∠FAC）=100°．
6.如图，在△ABC中，P为△ABC内一点，过点P的直线MN分别交AB，BC于点M，N，若M在PA的垂直平分线上，N在PC的垂直平分线上，若∠MAP+∠NCP=64°，则∠PAC+∠PCA的度数为（　　）
A.116° B.64° C.68° D.118°
【答案】B
【解析】∵M在PA的垂直平分线上，N在PC的垂直平分线上，
∴AM=PM，PN=CN．
∴∠MAP=∠MPA，∠CPN=∠PCN．
∵∠MAP+∠NCP=64°，
∴∠APM+∠CPN=∠MAP+∠NCP=64°，
∴∠APC=180°-(∠APM+∠CPN)=116°，
在△APC中，∠PAC+∠PCA=180°-∠APC=64°．
7.如图，△ABC的周长为30cm，把△ABC的边AC对折，使顶点C和点A重合，折痕交BC边于点D，交AC边于点E，连接AD，若AE=4cm，则△ABD的周长是（ ）
A.22cm B.20cm C.18cm D.15cm
【答案】A
【解析】由题意可知，DE是AC的垂直平分线，所以DA=DC，CE=AE=4(cm)，那么AC= CE+AE=8(cm)，所以△ABD的周长是AB+BD+AD=AB+BD+DC=AB+BC=△ABC的周长-AC=30-8=22(cm).
8.如图，点P为△ABC三边垂直平分线的交点，∠PAC=22°，∠PCB=33°，则∠PAB的度数为（　　）
A.33° B.35° C.37° D.39°
【答案】B
【解析】∵点P为△ABC三边垂直平分线的交点，
∴PA=PB=PC，
∴∠PCA=∠PAC=22°，∠PBC=∠PCB=33°，∠PAB=∠PBA，
∵∠PCA+∠PAC+∠PBC+∠PCB+∠PAB+∠PBA=180°，
∴∠PAB=∠PBA=35°．
9.如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点，已知线段PA=5，则线段PB的长度为（ ）
A.6 B.5 C.4 D.3
【答案】B
【解析】∵直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点，
∴PB=PA，又PA=5，∴PB=5．
10.如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，BE平分∠ABC，ED垂直平分AB于点D．若AC=9，则AE的值是（ ）
A.63 B.43 C.6 D.4
【答案】C
【解析】∵BE平分∠ABC，∴∠CBE=∠ABE，∵ED垂直平分AB于D，∴EA=EB，AD=BD，∠EDA=∠EDB=90°，∴Rt△EAD≌Rt△EBD，∴∠A=∠ABE，∴∠CBE=30°，∴BE=2EC，即AE=2EC，而AE+EC=AC=9，∴AE=6．
11.如图，∠ACD＝90°，∠D＝15°，点B在AD的垂直平分线上，若AC＝4，则AB为(　　)
A.4 B.6 C.8 D.10
【答案】C
【解析】∵点B在AD的垂直平分线上，
∴AB＝BD，
∴∠BAD＝∠D＝15°，
∴∠ABC＝∠BAD＋∠D＝30°，
∵∠ACD＝90°，AC＝4，
∴AB＝2AC＝8.
12.如图，在△ABC中，∠A=70°，OD垂直平分AB，垂足为点D，OE垂直平分AC，垂足为点E，连接OC，则∠BCO的度数为（　　）
A.20° B.30° C.25° D.35°
【答案】A
【解析】连接OA、OB，如图，
∵∠BAC=70°，
∴∠ABC+∠ACB=110°．
∵O是AB，AC垂直平分线的交点，
∴OA=OB，OA=OC，
∴∠OAB=∠OBA，∠OCA=∠OAC，OB=OC，
∴∠OBA+∠OCA=70°，
∴∠OBC+∠BCO=110°-70°=40°，
∵OB=OC，
∴∠BCO=∠OBC=20°．
二、填空题
13.如图，在△ABC中，D为AB上的一点，且DE垂直平分AC，∠B=115°，且∠ACD∶∠BCD=5∶3，则∠ACB=__________度．
【答案】40
【解析】∵DE垂直平分AC，∴EA=EC，AD=CD，∠ADE=∠CDE=90°，
∴Rt△ADE≌Rt△CDE，∴∠A=∠ACD，又∵∠ACD∶∠BCD=5∶3，∴∠ACD∶∠ACB=5∶8，∴∠A∶∠ACB=5∶8，又∵∠B=115°，∴∠A+∠ACB=65°，∴∠ACB=（65×8）÷13=40°．
14.如图，在等腰△ABC中，AB=AC，∠DBC=15°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，则∠A的度数是_______．
【答案】50°
【解析】设∠A=x，根据DM为AB的垂直平分线，得∠ABD=∠A=x，则∠ABC=x+15°，
根据AB=AC可得∠C=∠ABC=x+15°，根据△ABC的内角和定理可得x+x+15+x+15=180°，解得x=50°．
15.点P在线段AB的垂直平分线上，PB=10，则PA= ．
【答案】10
【解析】∵点P在线段AB的垂直平分线上，PB=10，∴PA=PB=10．故答案为：10．
16.如图，已知△ABC，BC=10，BC边的垂直平分线分别交AB，BC于点E，D．若△ACE的周长为12，则△ABC的周长为 ．
【答案】22
【解析】由BC边的垂直平分线交AB，根据线段垂直平分线的性质，可得BE=CE，又由△ACE的周长为12，即可得AB+AC=12，继而求得答案．
17.已知M，N是线段AB的垂直平分线上任意两点，则∠MAN和∠MBN之间的关系是_____________．
【答案】∠MAN=∠MBN
【解析】如图1，∵MN垂直平分AB，∴MA=MB，AO=BO，
∠MOA=∠MOB=90°，∴Rt△MOA≌Rt△MOB，∴∠MAO=∠MBO．
同理∠NAO=∠NBO，∴∠MAO+∠NAO=∠MBO+∠NBO，
即∠MAN=∠MBN．
如图2，同上可知，∠MAO-∠NAO=∠MBO-∠NBO， 即∠MAN=∠MBN．
三、解答题
18.如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线交AC于E，△ABC和△BEC的周长分别是24和14，求线段AB的长.
【答案】解 ∵边AB的垂直平分线交AC于E，
∴BE=AE．∵△ABC和△BEC的周长
分别是24和14，∴AB+BC+AC=24，BC+CE+BE=BC+CE+AE=BC+AC=14．∴AB=10．
19.如图，在△ABC中，点D在边BC上，连接AD，BC=BD+AD．点D在哪条线段的垂直平分线上？证明你的结论．
【答案】解　点D在AC的垂直平分线上．
证明：∵BC=BD+AD，BC=BD+CD，
∴AD=CD，
∴点D在AC的垂直平分线上．
20.如图，已知△ABC，请用尺规过点A作一条直线，使其将△ABC分成面积相等的两部分．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】解 如图，直线AD即为所求.
21.如图，已知△ABC，按如下步骤作图：
①分别以A，C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧交于P，Q两点；
②作直线PQ，分别交AB，AC于点E，D，连接CE；
③过C作CF∥AB交PQ于点F，连接AF．
求证：△AED≌△CFD．
【答案】解 由作图知，PQ为线段AC的垂直平分线，
∴AE=CE，AD=CD，∵CF∥AB，∴∠EAC=∠FCA，
∠CFD=∠AED，在△AED与△CFD中，∠EAC=∠FCA，∠CFD=∠AED，AD=CD，∴△AED≌△CFD.
22.如图，已知△ABC是等边三角形，D是BC边上的一个动点（异于点B，C），过点D作DE⊥AB，垂足为E，DE的垂直平分线分别交AC，BC于点F，G，连接FD，FE．当点D在BC边上移动时，
求证：（1）△DEF一定为等腰三角形；
（2）△CFG一定为等边三角形；
（3）△FDC不可能为等腰三角形.
【答案】解 （1）∵FG为DE的垂直平分线，
∴FE=FD，
∴△DEF一定为等腰三角形．
（2）∵DE⊥AB，DE⊥FG，
∴AB∥FG，
∴∠FGC=∠B=60°，
又∵△ABC是等边三角形，
∴∠C=60°，
∴∠C=∠CFG=∠CGF，
∴△CFG一定为等边三角形．
（3）∵∠FDC＞∠FGC=60°，∠C=60°，
∠CFD＜∠CFG=60°，
∴△FDC不可能为等腰三角形．

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