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北师大版（2024）八年级下册暑假专题训练：直角三角形
一、选择题
1.如图，湖的两岸有A，C两点，在与AC成直角的BC方向上的点C处测得AB＝15米，BC＝12米，则A，C两点间的距离为（　　）
A.3米
B.6米
C.9米
D.10米
2.有下列说法：
①∵0.6，0.8，1不是勾股数，∴三边长分别为0.6，0.8，1的三角形不是直角三角形；
②∵三边长分别为1，2，的三角形是直角三角形，∴1，2，是勾股数；
③若整数a，整数b，整数c分别是直角三角形的三边长，则0.1a，0.1b，0.1c必定不是勾股数．
其中错误的有（　　）
A.3个
B.2个
C.1个
D.0个
3.如图，小明在计算机上用“几何画板”画了一个Rt△ABC，∠C=90°，并画出了两锐角的角平分线AD，BE及其交点F．小明发现，无论怎样变动Rt△ABC的形状和大小，∠AFB的度数是定值，则这个定值为（　　）
A.135°
B.150°
C.120
D.110°
4.民生大院入口的正上方A处装有红外线激光测温仪（如图所示），测温仪离地面的距离AB＝2.4米，当人体进入感应范围内时，测温仪就会自动测温并报告人体体温．当身高为1.8米的市民CD正对门缓慢走到离门0.8米的地方时（即BC＝0.8米），测温仪自动显示体温，则人头顶离测温仪的距离AD等于（　　）
A.1.0米
B.1.2米
C.1.25米
D.1.5米
5.如图，小明和小华同时从P处分别向北偏东60°和南偏东30°方向出发，他们的速度分别是3m/s和4m/s，则10s后他们之间的距离为（　　）
A.30m
B.40m
C.50m
D.60m
6.若3，4，a为勾股数，则a的值为（　　）
A.
B.5
C.5或7
D.5或
7.如图，将长为8cm的橡皮筋放置在水平桌面上，固定两端A和B，然后把中点P垂直向上拉升3cm至点C，则橡皮筋被拉长了（　　）
A.4cm
B.3cm
C.2cm
D.1cm
8.如图，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，道路BC因为施工需要封闭，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点H（A，H，B在同一条直线上），并新修一条道路CH，已知AC＝千米，CH＝2千米，AH＝1千米．新的取水点H与原取水点B相距1.5千米，则新建后比原来少走的路程为______千米．（　　）
A.1.5
B.1
C.0.5
D.0.2
9.小彬用3D打印机制作了一个底面周长为18cm、高为12cm的圆柱粮仓模型（如图1）．如图2，BC是底面直径，AB是圆柱的高．现要在此模型的侧面贴一圈彩色装饰带，使装饰带经过A，C两点（接头不计），则装饰带的长度最短为（　　）
A.20cm
B.25cm
C.30cm
D.35cm
10.如图，透明的圆柱形玻璃容器（容器厚度忽略不计）的高为16cm，在容器内壁离容器底部4cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，位于离容器上沿4cm的点A处，若蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为20cm，则该圆柱底面周长为（　　）
A.20cm
B.24cm
C.12cm
D.14cm
11.如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝45°，过点A作AB的垂线交BC于点D，DE平分∠ADB交AB于点E．若DE＝4，则AC的长为（　　）
A.3
B.4
C.
D.
12.在平面直角坐标系内，点O为坐标原点，A（-4，0），B（0，3）．若在该坐标平面内有以点P（不与点A，B，O重合）为一个顶点的直角三角形与Rt△ABO全等，且这个以点P为顶点的直角三角形与Rt△ABO有一条公共边，则所有符合条件的三角形个数为（　　）
A.9
B.7
C.5
D.3
二、填空题
13.有一组勾股数，其中的两个分别是8和17，则第三个数是　?????　．
14.命题：“两直线平行，则同旁内角互补”的逆命题为????????????????????????．
15.如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行 　???　米．
16.勾股定理a2+b2＝c2本身就是一个关于a，b，c的方程，满足这个方程的正整数解（a，b，c）通常叫做勾股数组，毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式，根据该公式可以构造出如下勾股数组：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25），……分析上面勾股数组可以发现，4＝1×（3+1），12＝2×（5+1），24＝3×（7+……分析上面规律，第7个勾股数组为 　??????????　．
17.若一个四位数M的个位数字与十位数字的平方和恰好是M去掉个位与十位数字后得到的两位数，则这个四位数M为“勾股和数”．如：M＝2543，∵32+42＝25．∴2543是“勾股和数”．
（1）判断2022，2023，2024是“勾股和数”的是 　??????　；
（2）一个“勾股和数”M的千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，若c+d＝9，c≠0，当为整数时，M是 　????????????　．
三、解答题
18.已知：如图，AD是△ABC的高，点E在AC上，G在AB上，∠2+∠C=90°，∠1=∠2．求证：GD∥AC．
19.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，点D是BC的中点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．求证：△ABC是等腰三角形．
20.已知：如图，△ABC中，点D，E是边BC上的两点，点G是边AB上一点，连接EG并延长．交CA的延长线于点F．从以下：①AD平分∠BAC，②EF∥AD，③∠AGF=∠F，三个条件中选两个作为条件，另一个作为结论，构成一个正确的数学命题，并加以证明．
条件：?????????????????????????????，结论：????．（填序号）
证明：???????????????????????????．
21.（1）如图，DE∥BC，∠1=∠3，CD⊥AB，试说明FG⊥AB；
（2）若把（1）中的题设中的“DE∥BC”与结论“FG⊥AB”对调，所得命题是否为真命题？试说明理由．
22.如图所示，已知△ABC中，∠B＝90°，AB＝16cm，BC＝12cm，P，Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为ts．
（1）出发3s后，求PQ的长；
（2）当点Q在边BC上运动时，出发多久后，△PQB能形成等腰三角形？
（3）当点Q在边CA上运动时，求能使△BCQ成为等腰三角形的运动时间．
北师大版（2024）八年级下册暑假专题训练：直角三角形（参考答案）
一、选择题
1.如图，湖的两岸有A，C两点，在与AC成直角的BC方向上的点C处测得AB＝15米，BC＝12米，则A，C两点间的距离为（　　）
A.3米
B.6米
C.9米
D.10米
【答案】C
【解析】由题意可知，∠ACB＝90°，
∵AB＝15米，BC＝12米，
∴AC＝（米），
故选：C．
2.有下列说法：
①∵0.6，0.8，1不是勾股数，∴三边长分别为0.6，0.8，1的三角形不是直角三角形；
②∵三边长分别为1，2，的三角形是直角三角形，∴1，2，是勾股数；
③若整数a，整数b，整数c分别是直角三角形的三边长，则0.1a，0.1b，0.1c必定不是勾股数．
其中错误的有（　　）
A.3个
B.2个
C.1个
D.0个
【答案】A
【解析】①虽然0.6，0.8，1不是勾股数，但是0.62+0.82＝12，所以以0.6，0.8，1为边的三角形是直角三角形，故①说法错误；
②因勾股数必须都是整数，故②说法错误；
③若整数a，整数b，整数c分别是直角三角形的三边长，则0.1a，0.1b，0.1c有可能是勾股数，故③说法错误．
故选：A．
3.如图，小明在计算机上用“几何画板”画了一个Rt△ABC，∠C=90°，并画出了两锐角的角平分线AD，BE及其交点F．小明发现，无论怎样变动Rt△ABC的形状和大小，∠AFB的度数是定值，则这个定值为（　　）
A.135°
B.150°
C.120
D.110°
【答案】A
【解析】∵∠C=90°，
∴∠CAB+∠CBA=90°，
∵AD平分∠CAB，EB平分∠ABC，
∴∠FAB＝∠CAB，∠FBA＝∠CBA，
∴∠FAB+∠FBA＝ (∠CAB+∠CBA)＝45°，
∴∠AFB=180°-45°=135°．
故选：A．
4.民生大院入口的正上方A处装有红外线激光测温仪（如图所示），测温仪离地面的距离AB＝2.4米，当人体进入感应范围内时，测温仪就会自动测温并报告人体体温．当身高为1.8米的市民CD正对门缓慢走到离门0.8米的地方时（即BC＝0.8米），测温仪自动显示体温，则人头顶离测温仪的距离AD等于（　　）
A.1.0米
B.1.2米
C.1.25米
D.1.5米
【答案】A
【解析】如图，过点D作DE⊥AB于点E，
∵AB＝2.4米，BE＝CD＝1.8米，ED＝BC＝0.8米，
∴AE＝AB﹣BE＝2.4﹣1.8＝0.6（米），
在Rt△ADE中，由勾股定理得到，
AD＝＝＝1.0（米），
故选：A．
5.如图，小明和小华同时从P处分别向北偏东60°和南偏东30°方向出发，他们的速度分别是3m/s和4m/s，则10s后他们之间的距离为（　　）
A.30m
B.40m
C.50m
D.60m
【答案】C
【解析】根据题意得：∠APB＝180°﹣30°﹣60°＝90°，
AP＝3×10＝30（m），BP＝4×10＝40（m），
∴AB==50(m)，
即10s后他们之间的距离为50m．
故选：C．
6.若3，4，a为勾股数，则a的值为（　　）
A.
B.5
C.5或7
D.5或
【答案】B
【解析】∵3,4,a为勾股数，
∴当a最大时，此时a＝＝5，
当4时最大时，a＝＝，不能构成勾股数，
故选：B．
7.如图，将长为8cm的橡皮筋放置在水平桌面上，固定两端A和B，然后把中点P垂直向上拉升3cm至点C，则橡皮筋被拉长了（　　）
A.4cm
B.3cm
C.2cm
D.1cm
【答案】C
【解析】Rt△ACP中，AP＝AB＝4cm，CP＝3cm；
根据勾股定理，得AC＝＝5（cm）；
∴AC+BC﹣AB＝2AC﹣AB＝10﹣8＝2（cm）；
故橡皮筋被拉长了2cm．
故选：C．
8.如图，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，道路BC因为施工需要封闭，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点H（A，H，B在同一条直线上），并新修一条道路CH，已知AC＝千米，CH＝2千米，AH＝1千米．新的取水点H与原取水点B相距1.5千米，则新建后比原来少走的路程为______千米．（　　）
A.1.5
B.1
C.0.5
D.0.2
【答案】C
【解析】∵AC＝千米，CH＝2千米，AH＝1千米，
∴AC2＝（）2＝5，CH2+AH2＝4+1＝5，
∴AC2＝CH2+AH2，
∴△ACH是直角三角形，∠AHC＝90°，
∴BC＝＝＝2.5（千米），
故2.5﹣2＝0.5（千米）．
故选：C．
9.小彬用3D打印机制作了一个底面周长为18cm、高为12cm的圆柱粮仓模型（如图1）．如图2，BC是底面直径，AB是圆柱的高．现要在此模型的侧面贴一圈彩色装饰带，使装饰带经过A，C两点（接头不计），则装饰带的长度最短为（　　）
A.20cm
B.25cm
C.30cm
D.35cm
【答案】C
【解析】如图，圆柱的侧面展开图为长方形，AC＝A'C，且点C为BB'的中点，
∵AB＝12，BC＝18＝9，
∴装饰带的长度＝2AC＝2×＝30（cm），
故选：C．
10.如图，透明的圆柱形玻璃容器（容器厚度忽略不计）的高为16cm，在容器内壁离容器底部4cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，位于离容器上沿4cm的点A处，若蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为20cm，则该圆柱底面周长为（　　）
A.20cm
B.24cm
C.12cm
D.14cm
【答案】B
【解析】如图，将圆柱展开，EG为上底面圆周长的一半，
作A关于EG的对称点A'，连接A'B交EG于F，则蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为AF+BF的长，即AF+BF＝A'B＝20cm，
延长BG，过A'作A'D⊥BG于D，
∵AE＝A'E＝DG＝4cm，
∴BD＝16cm，
Rt△A'DB中，由勾股定理得A'D＝＝12（cm），
∴则该圆柱底面周长为24cm．
故选：B．
11.如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝45°，过点A作AB的垂线交BC于点D，DE平分∠ADB交AB于点E．若DE＝4，则AC的长为（　　）
A.3
B.4
C.
D.
【答案】D
【解析】过点A作AG⊥BC于点G，
∵∠C＝45°，
∴∠GAC＝∠C＝45°，
∴GA＝GC，
∴AC=GA；
∵∠B＝30°，∠BAD＝90°，
∴∠ADB＝60°，∠GAD＝30°，
∵DE平分∠ADB，
∴∠ADE＝30°，
∵DE＝4，
∴AE= =2，
∴AD=，
∴GD=，
∴AG=，
∴AC=GA，
故选：D．
12.在平面直角坐标系内，点O为坐标原点，A（-4，0），B（0，3）．若在该坐标平面内有以点P（不与点A，B，O重合）为一个顶点的直角三角形与Rt△ABO全等，且这个以点P为顶点的直角三角形与Rt△ABO有一条公共边，则所有符合条件的三角形个数为（　　）
A.9
B.7
C.5
D.3
【答案】A
【解析】如图，分别以OA，OB，AB为边作与Rt△ABO全等的三角形各有3个，则所有符合条件的三角形个数为9，故选A．
二、填空题
13.有一组勾股数，其中的两个分别是8和17，则第三个数是　?????　．
【答案】15
【解析】设第三个数为x，
∵是一组勾股数，
∴①x2+82＝172，
解得x＝15，
②172+82＝x2，
解得x＝（不合题意，舍去），
故答案为：15．
14.命题：“两直线平行，则同旁内角互补”的逆命题为????????????????????????．
【答案】同旁内角互补，两直线平行
15.如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行 　???　米．
【答案】10
【解析】如图，设大树高为AB＝10米，
小树高为CD＝4米，
过C点作CE⊥AB于E，则EBDC是矩形，
连接AC，
∴EB＝4米，EC＝8米，AE＝AB﹣EB＝10﹣4＝6（米），
在Rt△AEC中，AC＝＝10（米），
故答案为：10．
16.勾股定理a2+b2＝c2本身就是一个关于a，b，c的方程，满足这个方程的正整数解（a，b，c）通常叫做勾股数组，毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式，根据该公式可以构造出如下勾股数组：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25），……分析上面勾股数组可以发现，4＝1×（3+1），12＝2×（5+1），24＝3×（7+……分析上面规律，第7个勾股数组为 　??????????　．
【答案】（15，112，113）
【解析】由勾股数组（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25）…中，
4＝1×（3+1），12＝2×（5+1），24＝3×（7+1），…可得
第4组勾股数中间的数为4×（9+1）＝40，即勾股数为（9，40，41）；
第5组勾股数中间的数为5×（11+1）＝60，即（11，60，61），
第6组勾股数中间的数为6×（13+1）＝84，即（13，84，61），
第7组勾股数中间的数为7×（15+1）＝112，即（15，112，113），
故答案为（15，112，113）．
17.若一个四位数M的个位数字与十位数字的平方和恰好是M去掉个位与十位数字后得到的两位数，则这个四位数M为“勾股和数”．如：M＝2543，∵32+42＝25．∴2543是“勾股和数”．
（1）判断2022，2023，2024是“勾股和数”的是 　??????　；
（2）一个“勾股和数”M的千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，若c+d＝9，c≠0，当为整数时，M是 　????????????　．
【答案】（1）2024 （2）8190或4536或4563
【解析】（1）∵22+22＝8，8≠20，
∴2022不是“勾股和数”；
∵22+32＝13，13≠20，
∴2023不是“勾股和数”；
∵22+42＝20，
∴2024是“勾股和数”．
（2）∵M为“勾股和数”，
∴10a+b＝c2+d2，
∴0＜c2+d2＜100，
∵c+d＝9，
∴＝为整数，
∴c2+d2＝81﹣2cd为3的倍数，
∴cd为3的倍数．
又c≠0，
∴①c＝9，d＝0，此时M＝8190；
②c＝3，d＝6或c＝6，d＝3，此时M＝4536或4563．
即M的值为8190或4536或4563．
故答案为：8190或4536或4563．
三、解答题
18.已知：如图，AD是△ABC的高，点E在AC上，G在AB上，∠2+∠C=90°，∠1=∠2．求证：GD∥AC．
【答案】证明 ∵AD是△ABC的高，
∴AD⊥BC（三角形高线的定义），
∴∠ADC=90°（垂直的定义），
∴∠3+∠C=90°（直角三角形两个锐角互余），
又∵∠2+∠C=90°（已知），
∴∠2=∠3（同角的余角相等），
又∵∠1=∠2（已知），
∴∠1=∠3（等量代换），
∴GD∥AC（内错角相等，两直线平行）．
19.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，点D是BC的中点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．求证：△ABC是等腰三角形．
【答案】证明 ∵AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，
∴DE=DF，
在Rt△BDE和Rt△CDF中，BD=CD，DE=DF，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），
∴∠B=∠C；∴△ABC为等腰三角形．
20.已知：如图，△ABC中，点D，E是边BC上的两点，点G是边AB上一点，连接EG并延长．交CA的延长线于点F．从以下：①AD平分∠BAC，②EF∥AD，③∠AGF=∠F，三个条件中选两个作为条件，另一个作为结论，构成一个正确的数学命题，并加以证明．
条件：?????????????????????????????，结论：????．（填序号）
证明：???????????????????????????．
【答案】解 条件是①AD平分∠BAC，②EF∥AD；结论是③∠AGF=∠F，
证明：∵AD平分∠BAC，
∴∠DAB=∠DAC，
∵EF∥AD，
∴∠AGF=∠BAD，∠F=∠DAC，
∴∠AGF=∠F．
21.（1）如图，DE∥BC，∠1=∠3，CD⊥AB，试说明FG⊥AB；
（2）若把（1）中的题设中的“DE∥BC”与结论“FG⊥AB”对调，所得命题是否为真命题？试说明理由．
【答案】解 （1）∵DE∥BC，
∴∠1=∠2，
∵∠1=∠3，
∴∠2=∠3，
∴CD∥FG，
∵CD⊥AB，
∴FG⊥AB．
（2）把题设中的“DE∥BC”与结论“FG⊥AB”对调，所得命题为真命题，理由如下：
∵FG⊥AB，CD⊥AB，
∴FG∥CD，
∴∠2=∠3，
∵∠1=∠3，
∴∠1=∠2，
∴DE∥BC．
22.如图所示，已知△ABC中，∠B＝90°，AB＝16cm，BC＝12cm，P，Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为ts．
（1）出发3s后，求PQ的长；
（2）当点Q在边BC上运动时，出发多久后，△PQB能形成等腰三角形？
（3）当点Q在边CA上运动时，求能使△BCQ成为等腰三角形的运动时间．
【答案】解 （1）当t＝3时，则AP＝3cm，BQ＝2t＝6 cm，
∵AB＝16cm，
∴BP＝AB﹣AP＝16﹣3＝13（cm），
在Rt△BPQ中，PQ＝＝＝（cm）．
（2）由题意可知AP＝t，BQ＝2t，
∵AB＝16，
∴BP＝AB﹣AP＝16﹣t，
当△PQB为等腰三角形时，则有BP＝BQ，
即16﹣t＝2t，解得t＝，
∴出发秒后△PQB能形成等腰三角形．
（3）易知AC=20cm，①当CQ＝BQ时，如图1所示，
则∠C＝∠CBQ，
∵∠ABC＝90°，
∴∠CBQ+∠ABQ＝90°．
∠A+∠C＝90°，
∴∠A＝∠ABQ，
∴BQ＝AQ，
∴CQ＝AQ＝10cm，
∴BC+CQ＝22cm，
∴t＝22÷2＝11秒．
②当CQ＝BC时，如图2所示，
则BC+CQ＝24，
∴t＝24÷2＝12秒．
③当BC＝BQ时，如图3所示，
过B点作BE⊥AC于点E，
则BE＝，
∴CE＝＝＝，
∴CQ＝2CE＝14.4cm，
∴BC+CQ＝26.4 cm，
∴t＝26.4÷2＝13.2秒．
综上所述：当t为11秒或12秒或13.2秒时，△BCQ为等腰三角形．

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