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沪科版（2024）八年级下册暑假专题训练：勾股定理
一、选择题
1.新方向模型思想我们在学习勾股定理的第2课时时，如图所示可以用来验证勾股定理的有（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2.下面图形能够验证勾股定理的有（ ）个
A.4 B.3 C.2 D.1
3.如图，海天号、顺艺号两艘轮船同时从港口O出发，海天号轮船以20海里/时的速度向南偏东方向航行，顺艺号轮船向南偏西方向航行，已知它们离开港口O两小时后，两艘轮船相距50海里，则顺艺号轮船平均每小时航行（ ）

A.15海里 B.16海里 C.17海里 D.18海里
4.如图，中，，下列等式成立的是（ ）
A. B. C. D.
5.若直角三角形的三边长分别为2，4，x，则x的可能值有（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
6.如图，一艘船由A港沿北偏东方向航行至B港，然后再沿北偏西30°方向航行至C港，则A，C两港之间的距离是（　　）

A. B.30 C.40 D.50
7.对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，点E为对角线BD上任意一点，连接AE、CE． 若AB=5，BC=3，则AE2-CE2等于( )
A.7 B.9 C.16 D.25
8.如图，一架梯子若靠墙直立时比窗户的下沿高．若斜靠在墙上，当梯子的下端离墙时，梯子的上端恰好与窗户的下沿对齐，则梯子的长度为（ ）
A. B. C. D.
9.如图，两个全等的直角三角形和一个等腰直角三角形恰好构成一个梯形．甲说：梯形的面积可以表示为，乙说：梯形的面积可以表示为，则有(　　)
A. B. C. D.
10.如图是楼梯的一部分，若，，，一只蚂蚁在A处发现C处有一块糖，则这只蚂蚁吃到糖所走的最短路程为（ ）
A. B.3 C. D.
11.已知直角三角形两边的长为3和4，则此三角形的周长为（　　）
A.12 B.7+ C.12或7+ D.以上都不对
12.在△ABC中，∠C=90°，若AB=5，则AB2+AC2+BC2=( )
A.10 B.15 C.30 D.50
二、填空题
13.已知直角三角形的三内角、、所对的边分别是、、，是直角，则、、三者之间的关系是 ．
14.在中，斜边，则的值为 ．
15.如图，以的三边分别向外作正方形，其面积分别用，， 表示，若，则的形状是 ．
16.甲、乙两艘客轮同时离开港口，航行的速度都是．甲客轮用到达点，乙客轮用到达点．若两点的直线距离为，甲客轮沿着北偏东的方向航行，则乙客轮的航行方向为 ．
17.如图，在△中，，分别是，上的点，⊥，⊥，垂足分别是，，若，，那么下面四个结论：①；②//；③△≌△；④，其中一定正确的是（填写编号） .
三、解答题
18.如图，台风过后，某希望小学的旗杆在离地面某处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部处，已知旗杆原长，你能求出旗杆在离底部什么位置折断吗？请说明理由
19.如图在中，，点E，F分别在上，求证：．
20.已知一架5m长的梯子斜靠在一竖直的墙上，这时梯足距墙脚3m，若梯子的顶端下滑1m，则梯足将滑动多远？
21.如图，一架梯子AB的长为2.5m， 斜靠在竖直的墙上， 这时梯子的底端A到墙的距离AO=0.7m，如果梯子顶端B沿墙下滑0.4m到达D，梯子底端A将向左滑动到C，求AC的距离．
22.定义：如点M、N把线段AB分割成AM、MN、BN，若以AM、MN、BN，为边的三角形是一个直角三角形，则称点M、N是线段AB的勾股分割点．
（1）如图2，已知点C、D是线段AB的勾股分割点，若AC=3，DB=4，求CD的长；
（2）如图3，在正方形ABCD中，∠MAM=45°，角的两边AM、AN分别交BD于E、F（不与端点重合），求证：E、F是BD的勾股分割点．
沪科版（2024）八年级下册暑假专题训练：勾股定理（参考答案）
一、选择题
1.新方向模型思想我们在学习勾股定理的第2课时时，如图所示可以用来验证勾股定理的有（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【答案】C
【解析】∵，
∴.
所以图1，3符合题意；
∵图形的面积表示为：，，
∴，
所以图2符合题意．
图4不能验证勾股定理．
所以符合题意的有3个．
故选：C．
2.下面图形能够验证勾股定理的有（ ）个
A.4 B.3 C.2 D.1
【答案】A
【解析】第一个图形：两个小正方形的面积分别为4和9，大正方形的面积为13，可得，可得，可以验证勾股定理．
第二个图形：梯形的面积，化简得；可以证明勾股定理．
第三个图形：中间小正方形的面积；化简得，可以证明勾股定理．
第四个图形：由图形可知割补前后的两个小直角三角形全等，则正方形的面积两个直角三角形的面积的和，即，化简得；可以证明勾股定理，
能够验证勾股定理的有4个．
故选：A．
3.如图，海天号、顺艺号两艘轮船同时从港口O出发，海天号轮船以20海里/时的速度向南偏东方向航行，顺艺号轮船向南偏西方向航行，已知它们离开港口O两小时后，两艘轮船相距50海里，则顺艺号轮船平均每小时航行（ ）

A.15海里 B.16海里 C.17海里 D.18海里
【答案】A
【解析】由题意得：，
∴
∴顺艺号轮船平每小时航行：（海里）
故选：A．
4.如图，中，，下列等式成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】∵中，，
∴，
故选A．
5.若直角三角形的三边长分别为2，4，x，则x的可能值有（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【答案】B
【解析】解：当x为斜边时，x2=22+42=20，所以x=2；
当4为斜边时，x2=16-4=12，x=2．
故选B．
6.如图，一艘船由A港沿北偏东方向航行至B港，然后再沿北偏西30°方向航行至C港，则A，C两港之间的距离是（　　）

A. B.30 C.40 D.50
【答案】D
【解析】如图，

由题意得：，，
∴，
∴，
在中，，
，
∴A，C两港之间的距离为，
故选：D．
7.对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，点E为对角线BD上任意一点，连接AE、CE． 若AB=5，BC=3，则AE2-CE2等于( )
A.7 B.9 C.16 D.25
【答案】C
【解析】如图所示：连接AC，与BD交于点O，
∵对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，
∴，
在中，，
在中，，
∴，
在中，，
在中，，
∴，
∴，
故选：C．
8.如图，一架梯子若靠墙直立时比窗户的下沿高．若斜靠在墙上，当梯子的下端离墙时，梯子的上端恰好与窗户的下沿对齐，则梯子的长度为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】设梯子的长度为，则墙高为，
由勾股定理可得：，
解得：，
梯子的长度为，
故选：A．
9.如图，两个全等的直角三角形和一个等腰直角三角形恰好构成一个梯形．甲说：梯形的面积可以表示为，乙说：梯形的面积可以表示为，则有(　　)
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】解：根据题意得，，
∴a2+b2=c2，
故选：B．
10.如图是楼梯的一部分，若，，，一只蚂蚁在A处发现C处有一块糖，则这只蚂蚁吃到糖所走的最短路程为（ ）
A. B.3 C. D.
【答案】D
【解析】解：将台阶展开，如图，
因为DC=AE+BE=3+1=4，AD=2，
所以AC2=DC2+AD2=20，
所以AC=，
故选：D．
11.已知直角三角形两边的长为3和4，则此三角形的周长为（　　）
A.12 B.7+ C.12或7+ D.以上都不对
【答案】C
【解析】解：设Rt△ABC的第三边长为x，
①当4为直角三角形的直角边时，x为斜边，由勾股定理得，x==5，
此时这个三角形的周长=3+4+5=12；
②当4为直角三角形的斜边时，x为直角边，由勾股定理得，x=，
此时这个三角形的周长=3+4+=7+．
故选C
12.在△ABC中，∠C=90°，若AB=5，则AB2+AC2+BC2=( )
A.10 B.15 C.30 D.50
【答案】D
【解析】根据题意可知AB为斜边，因此可根据勾股定理可知=25，因此可知=25×2=50.
故选D.
二、填空题
13.已知直角三角形的三内角、、所对的边分别是、、，是直角，则、、三者之间的关系是 ．
【答案】
【解析】在直角三角形中，是直角，
∴；
故答案为.
14.在中，斜边，则的值为 ．
【答案】72
15.如图，以的三边分别向外作正方形，其面积分别用，， 表示，若，则的形状是 ．
【答案】直角三角形
【解析】，
，
，
是直角三角形．
故答案为：直角三角形．
16.甲、乙两艘客轮同时离开港口，航行的速度都是．甲客轮用到达点，乙客轮用到达点．若两点的直线距离为，甲客轮沿着北偏东的方向航行，则乙客轮的航行方向为 ．
【答案】南偏东
【解析】解：依照题意画出图形，如图所示．
，，，
，
，
为直角三角形，且，
，
乙客轮的航行方向为南偏东；
故答案为：南偏东．
17.如图，在△中，，分别是，上的点，⊥，⊥，垂足分别是，，若，，那么下面四个结论：①；②//；③△≌△；④，其中一定正确的是（填写编号） .
【答案】①，②
【解析】解：连接AP
①∵PR⊥AB，PS⊥AC，PR=PS，
∴点P在∠BAC的平分线上，∠ARP=∠ASP=90°，
∴∠SAP=∠RAP，
在Rt△ARP和Rt△ASP中，由勾股定理得：AR2=AP2-PR2，AS2=AP2-PS2，
∵AP=AP，PR=PS，
∴AR=AS，
∴①正确；
②∵AQ=QP，
∴∠QAP=∠QPA，
∵∠QAP=∠BAP，
∴∠QPA=∠BAP，
∴QP∥AR，
∴②正确；
③在Rt△BRP和Rt△QSP中，只有PR=PS，
不满足三角形全等的条件，故③④错误；
故答案为：①②.
三、解答题
18.如图，台风过后，某希望小学的旗杆在离地面某处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部处，已知旗杆原长，你能求出旗杆在离底部什么位置折断吗？请说明理由
【答案】解：设旗杆在离底部米处的位置折断，
由图可知：，
解得：
即：旗杆在离底部米处的位置折断．
19.如图在中，，点E，F分别在上，求证：．
【答案】
，均为直角三角形
在中，
在中，
在中，
在中，
20.已知一架5m长的梯子斜靠在一竖直的墙上，这时梯足距墙脚3m，若梯子的顶端下滑1m，则梯足将滑动多远？
【答案】解：在直角三角形中，根据勾股定理可得，，
如果梯子的顶度端下滑1米，
则．
在直角三角形中，根据勾股定理得到：，
则梯子滑动的距离就是．
21.如图，一架梯子AB的长为2.5m， 斜靠在竖直的墙上， 这时梯子的底端A到墙的距离AO=0.7m，如果梯子顶端B沿墙下滑0.4m到达D，梯子底端A将向左滑动到C，求AC的距离．
【答案】解：在Rt△AOB中，由勾股定理可得：
DO=BO-BD=2.4-0.4=2m
根据Rt△COD的勾股定理可得：
CA=CO-AO=1.5-0.7=0.8m
故AC 的距离是0.8m．
22.定义：如点M、N把线段AB分割成AM、MN、BN，若以AM、MN、BN，为边的三角形是一个直角三角形，则称点M、N是线段AB的勾股分割点．
（1）如图2，已知点C、D是线段AB的勾股分割点，若AC=3，DB=4，求CD的长；
（2）如图3，在正方形ABCD中，∠MAM=45°，角的两边AM、AN分别交BD于E、F（不与端点重合），求证：E、F是BD的勾股分割点．
【答案】（1）解：①当CD为最大线段时，
∵点C、D是线段AB的勾股分割点
∴CD===5
②当BD为最大线段时，
∵点C、D是线段AB的勾股分割点
∴CD===
综上，CD的长为5或．
（2）证明：如图，将△ABF绕点A顺时针旋转90°得到△ADH，连接HE
∵∠BAF+∠DAE=90°-∠MAN=90°-45°=45°，∠BAF=∠DAH
∴∠DAH+∠DAE=45°
即∠EAH=45°
在△EAH和△EAF中
∴△EAH≌△EAF（SAS）
∴EH=EF
∵四边形ABCD为正方形，BD为对角线
∴∠ABF=∠ADB=45°
∴∠ADH=∠ABF=∠ADB =45°
∴∠HDE=90°
在Rt△DHE中，HE2=DH2+DE2
∵DH=BF，EF=HE
∴EF2=BF2+DE2
∴E、F是BD的勾股分割点．

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