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浙教版（2024）八年级下册暑假专题训练：平行四边形的判定定理
一、选择题
1.如图，由六个全等的正三角形拼成的图，图中平行四边形的个数是（　　）
A.4个 B.6个 C.8个 D.10个
2.在四边形ABCD中，AB＝CD，BC＝AD，若∠D＝120°，则∠A的度数为（　　）
A.60° B.70° C.80° D.90°
3.如图是嘉淇不完整的推理过程，为了使嘉淇的推理成立，需在四边形ABCD中添加条件，下列添加的条件正确的是（　　）
∵∠A+∠D＝180°， ∴AB∥CD， 又∵_____， ∴四边形ABCD是平行四边形．
A.∠B+∠C＝180° B.AB＝CD C.∠A＝∠B D.AD＝BC
4.在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，∠ADB＝∠CBD，添加下列一个条件后，仍不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（　　）
A.∠ABD＝∠CDB
B.∠DAB＝∠BCD
C.∠ABC＝∠CDA
D.∠DAC＝∠BCA
5.如图，某广场上有一个形状是平行四边形的花坛，分别种有红、黄、蓝、绿、橙、紫6种颜色的花．如果有AB∥EF∥DC，BC∥GH∥AD，那么下列说法中错误的是（　　）
A.红花、绿花种植面积一定相等
B.紫花、橙花种植面积一定相等
C.绿花、蓝花种植面积一定相等
D.蓝花、黄花种植面积一定相等
6.在四边形ABCD中，两组对边分别相等．若∠B＝70°，则∠C的度数为（　　）
A.100° B.110° C.120° D.130°
7.如图，点D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，连接DE，EF，FD，则图中平行四边形的个数为( )

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
8.如图，在四边形ABCD中，AD BC，若添加一个条件，使四边形ABCD为平行四边形，则下列正确的是（　　）
A.AB＝CD B.∠ADB＝∠CBD C.AB＝AD D.∠A＝∠C
9.如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，已知AO＝CO，添加一个条件，能判定四边形ABCD是平行四边形的是（　　）
A.BO＝DO B.∠ABD＝∠ADB C.AC⊥BD D.AB＝CD
10.在四边形ABCD中，AD∥BC，分别添加下列条件：①AB∥CD；②AB＝CD；③AD＝BC；④∠B＝∠D；⑤∠A＝∠C，其中能使四边形ABCD成为平行四边形的条件有（　　）
A.5个 B.4个 C.3个 D.9个
11.如图，点A是直线l外一点，在l上取两点B，C，分别以A，C为圆心，BC，AB的长为半径作弧，两弧交于点D，分别连接AB，AD，CD，若∠ABC+∠ADC＝120°，则∠A的度数是（　　）
A.100° B.110° C.120° D.125°
12.如图,在 ABCD中,E,F是对角线AC上的两点,且AE＝CF,给出下列结论:①BE＝DF;②四边形EBFD是平行四边形;③AB＝DE;④AF＝CE;⑤S△ADE＝S△ABE.其中正确的个数是(　　)
A.2 B.3 C.4 D.5
二、填空题
13.如图，在 ABCD中，点E、F分别在边AD、BC上，且BE∥DF，若∠EBF＝45°，则∠EDF的度数是　 　度．
14.如图，两张长相等，宽分别是1和3的矩形纸片部分重叠在一起，重叠部分为四边形ABCD.若AB＋BC＝6，则四边形ABCD的面积为____.
15.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，BC＞AD，将AB、CD分别平移到EF和EG的位置，若AD＝4，BC＝7，则FG的长为 　 　．
16.为了保证铁路的两条直铺的铁轨互相平行，只要使互相平行的加在铁轨之间的枕木长相等就可以了，请你说出这样判断的依据是 ．
17.如图，在 ABCD中，AC，BD相交于点O，点E，F在对角线BD上，有下列条件：①BF＝DE；②AE＝CF；③∠EAB＝∠FCD；④AF∥CE.其中一定能判定四边形AECF是平行四边形的有　　(填序号).
三、解答题
18.如图1，在 ABCD中，∠BAD的角平分线恰好经过边CD的中点F，且与边BC的延长线交于点E．
（1）若AB＝6，求BE的长；
（2）如图2，连接BF，过点D作DG⊥AE于点H，交AB于点G．求证：四边形BFDG是平行四边形．
19.如图，在 ABCD中，E，F分别是边AB，CD上的点，且AE＝CF，DE，BF分别交AC于点G，H.求证：
(1)DE∥BF.
(2)AG＝CH.
20.如图，在矩形中，点在的延长线上，，求证：四边形是平行四边形．
21.如图,E,F是四边形ABCD的对角线AC上两点,AF=CE,DF=BE,DF∥BE。求证:
(1)△AFD≌△CEB。
(2)四边形ABCD是平行四边形。
22.如图，在 ABCD中，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，连结AF，CE．
（1）求证：四边形AECF是平行四边形；
（2）若AF＝DF，，AD＝，求BD的长．
浙教版（2024）八年级下册暑假专题训练：平行四边形的判定定理（参考答案）
一、选择题
1.如图，由六个全等的正三角形拼成的图，图中平行四边形的个数是（　　）
A.4个 B.6个 C.8个 D.10个
【答案】B
【解析】
根据等边三角形的性质，易判定EF∥AD∥BC，ED∥FC∥AB，CD∥BE∥AF，然后根据平行四边形的判定求解即可．
如图，可知，EF∥AD∥BC，ED∥FC∥AB，CD∥BE∥AF，有ED＝EF＝AF＝AB＝BC＝CD＝GE＝GF＝GA＝GB＝GC＝GD，
∴四边形EDGF，EDCG，FGBA，GCBA，EGAF，CDGB是平行四边形，共6个．
故选：B．
2.在四边形ABCD中，AB＝CD，BC＝AD，若∠D＝120°，则∠A的度数为（　　）
A.60° B.70° C.80° D.90°
【答案】A
【解析】
由AB＝CD，BC＝AD，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，证得四边形ABCD是平行四边形；根据平行四边形的对边平行，易得∠A+∠D＝180°，由∠D＝120°，即可求得∠A的度数为60°．
∵AB＝CD，BC＝AD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠A+∠D＝180°，
∵∠D＝120°，
∴∠A＝60°．
故选：A．
3.如图是嘉淇不完整的推理过程，为了使嘉淇的推理成立，需在四边形ABCD中添加条件，下列添加的条件正确的是（　　）
∵∠A+∠D＝180°， ∴AB∥CD， 又∵_____， ∴四边形ABCD是平行四边形．
A.∠B+∠C＝180° B.AB＝CD C.∠A＝∠B D.AD＝BC
【答案】B
【解析】
根据平行四边形的判定定理即可得到结论．
∵∠A+∠D＝180°，
∴AB∥CD，
∵AB＝CD，
∴四边形ABCD是平行四边形．
故选：B．
4.在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，∠ADB＝∠CBD，添加下列一个条件后，仍不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（　　）
A.∠ABD＝∠CDB
B.∠DAB＝∠BCD
C.∠ABC＝∠CDA
D.∠DAC＝∠BCA
【答案】D
【解析】
利用平行四边形的判定定理逐步判定后即可确定答案．
由∠ADB＝∠CBD可以得到AD∥BC，
∴A、∠ABD＝∠CDB能得到AB∥CD，所以能判定四边形ABCD是平行四边形；
B、利用三角形的内角和定理能进一步得到∠ABD＝∠CDB，从而能得到AB∥CD，所以能判定四边形ABCD是平行四边形；
C、能进一步得到∠CDB＝∠ABD，从而能得到AB∥CD，所以能判定四边形ABCD是平行四边形；
D、不能进一步得到AB∥CD，所以不能判定四边形ABCD是平行四边形，
故选：D．
5.如图，某广场上有一个形状是平行四边形的花坛，分别种有红、黄、蓝、绿、橙、紫6种颜色的花．如果有AB∥EF∥DC，BC∥GH∥AD，那么下列说法中错误的是（　　）
A.红花、绿花种植面积一定相等
B.紫花、橙花种植面积一定相等
C.绿花、蓝花种植面积一定相等
D.蓝花、黄花种植面积一定相等
【答案】C
【解析】
根据平行四边形的性质可知GH、BD、EF把一个平行四边形分割成四个小平行四边形，我们知道，一条对角线可以把一个平行四边形的面积一分为二，据此可从图中获得S黄＝S蓝，S绿＝S红，S（紫+黄+绿）＝S（橙+红+蓝），根据等量相减原理知S紫＝S橙，依此就可找出题中说法错误的．
∵AB∥EF∥DC，BC∥GH∥AD
∴GH、BD、EF把一个平行四边形分割成四个小平行四边形，
∴一条对角线可以把一个平行四边形的面积一分为二，
得S黄＝S蓝，（故D正确）
S绿＝S红，（故A正确）
S（紫+黄+绿）＝S（橙+红+蓝），
根据等量相减原理知S紫＝S橙，（故B正确）
S绿与S蓝显然不相等．（故C错误）
故选：C．
6.在四边形ABCD中，两组对边分别相等．若∠B＝70°，则∠C的度数为（　　）
A.100° B.110° C.120° D.130°
【答案】B
【解析】
由题意可得四边形ABCD是平行四边形，再根据平行四边形邻角互补即可求得答案．
∵四边形ABCD中，两组对边分别相等，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B+∠C＝180°，
∵∠B＝70°，
∴∠C＝110°，
故选：B．
7.如图，点D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，连接DE，EF，FD，则图中平行四边形的个数为( )

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【答案】C
【解析】
由已知点D、E、F分别是△ABC的边AB、BC、CA的中点，根据三角形中位线定理，可以推出EF∥AB且EF＝AD，EF＝DB，DF∥BC且DF＝CE，所以得到3个平行四边形．
已知点D、E、F分别是△ABC的边AB、BC、CA的中点，
∴EF∥AB且EF＝AB＝AD，EF＝AB＝DB，
DF∥BC且DF＝CE，
∴四边形ADEF、四边形BDFE和四边形CEDF为平行四边形，
故选C．
8.如图，在四边形ABCD中，AD BC，若添加一个条件，使四边形ABCD为平行四边形，则下列正确的是（　　）
A.AB＝CD B.∠ADB＝∠CBD C.AB＝AD D.∠A＝∠C
【答案】D
【解析】
由平行四边形的判定方法分别对各个选项进行判断即可．
A、由AD∥BC，AB＝CD，不能判定四边形ABCD为平行四边形，故选项A不符合题意；
B、∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠CBD，
∴不能判定四边形ABCD为平行四边形，故选项B不符合题意；
C、由AD∥BC，AB＝AD，不能判定四边形ABCD为平行四边形，故选项C不符合题意；
D、∵AD∥BC，
∴∠ADC+∠C＝180°，
∵∠A＝∠C，
∴∠ADC+∠A＝180°，
∴AB∥CD，
又∵AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项D符合题意；
故选：D．
9.如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，已知AO＝CO，添加一个条件，能判定四边形ABCD是平行四边形的是（　　）
A.BO＝DO B.∠ABD＝∠ADB C.AC⊥BD D.AB＝CD
【答案】A
【解析】
由平行四边形的判定定理即可得出结论．
添加一个条件，能判定四边形ABCD是平行四边形的是BO＝DO，理由如下：
∵AO＝CO，BO＝DO，
∴四边形ABCD是平行四边形，
故选：A．
10.在四边形ABCD中，AD∥BC，分别添加下列条件：①AB∥CD；②AB＝CD；③AD＝BC；④∠B＝∠D；⑤∠A＝∠C，其中能使四边形ABCD成为平行四边形的条件有（　　）
A.5个 B.4个 C.3个 D.9个
【答案】B
【解析】
由平行四边形的判定、平行线的判定与性质分别对各个条件进行判断即可．
①∵AD∥BC，AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形；
②由AD∥BC，AD＝BC，不能判定四边形ABCD是平行四边形；
③∵AD∥BC，AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形；
④∵AD∥BC，
∴∠A+∠B＝180°，
∵∠B＝∠D，
∴∠A+∠D＝180°，
∴AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形；
⑤∵AD∥BC，
∴∠A+∠B＝180°，
∵∠A＝∠C，
∴∠C+∠B＝180°，
∴AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形；
其中能使四边形ABCD成为平行四边形的条件有①③④⑤，共4个，
故选：B．
11.如图，点A是直线l外一点，在l上取两点B，C，分别以A，C为圆心，BC，AB的长为半径作弧，两弧交于点D，分别连接AB，AD，CD，若∠ABC+∠ADC＝120°，则∠A的度数是（　　）
A.100° B.110° C.120° D.125°
【答案】C
【解析】
根据平行四边形对角相等，邻角互补即可解决问题．
∵AD＝CB，AB＝CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC＝∠ADC，AD∥BC，
∴∠A+∠ABC＝180°，
∵∠ABC+∠ADC＝120°，
∴∠ABC＝60°，
∴∠A＝120°，
故选：C．
12.如图,在 ABCD中,E,F是对角线AC上的两点,且AE＝CF,给出下列结论:①BE＝DF;②四边形EBFD是平行四边形;③AB＝DE;④AF＝CE;⑤S△ADE＝S△ABE.其中正确的个数是(　　)
A.2 B.3 C.4 D.5
【答案】C
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥DC,AB＝CD,
∴∠BAE＝∠DCF.
∵AE＝CF,
∴△ABE≌△CDF(SAS),
∴BE＝DF,①正确.
同理,DE＝BF,
∴四边形EBFD是平行四边形,②正确.
∵AE＝CF,∴AF＝CE,④正确.
∵AB＝CD,AD＝BC,AC＝CA,
∴△ABC≌△CDA(SSS),
∴两三角形AC边上的高线长相等,
∴△ABE与△ADE同底等高,
∴S△ADE＝S△ABE,⑤正确.
已知条件无法证明AB＝DE,③错误.
综上所述,正确的是①②④⑤,共4个.
二、填空题
13.如图，在 ABCD中，点E、F分别在边AD、BC上，且BE∥DF，若∠EBF＝45°，则∠EDF的度数是　 　度．
【答案】
见试题解答内容
【解析】
由四边形ABCD是平行四边形，可得AD∥BC，又由BE∥DF，即可证得四边形BFDE是平行四边形，根据平行四边形的对角相等，即可求得∠EDF的度数．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∵BE∥DF，
∴四边形BFDE是平行四边形，
∴∠EDF＝∠EBF＝45°．
故答案为：45．
14.如图，两张长相等，宽分别是1和3的矩形纸片部分重叠在一起，重叠部分为四边形ABCD.若AB＋BC＝6，则四边形ABCD的面积为____.
【答案】4.5
【解析】由题意，得AB∥CD，AD∥BC，则四边形ABCD是平行四边形．
如答图，过点A作AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，
　答图
∴AE＝1，AF＝3，∴BC·AE＝AB·AF，
∴BC＝3AB.
又∵AB＋BC＝6，
∴AB＝1.5，BC＝4.5，
∴四边形ABCD的面积＝4.5×1＝4.5.
15.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，BC＞AD，将AB、CD分别平移到EF和EG的位置，若AD＝4，BC＝7，则FG的长为 　 　．
【答案】
3．
【解析】
首先证明四边形ABFE，四边形DCGE均为平行四边形，从而得AE＝BF，DE＝CG，进而得BF+CG＝AD＝4，据此可得出FG的长．
根据平移的性质得：AB∥EF，CD∥EG，
又∵AD∥BC，
∴四边形ABFE，四边形DCGE均为平行四边形，
∴AE＝BF，DE＝CG，
∴BF+CG＝AE+DE＝AD＝4，
∴FC＝BC﹣（BF+CG）＝7﹣4＝3．
故答案为：3．
16.为了保证铁路的两条直铺的铁轨互相平行，只要使互相平行的加在铁轨之间的枕木长相等就可以了，请你说出这样判断的依据是 ．
【答案】
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
【解析】
根据一组对边平行且相等的四边形为平行四边形进行判定，然后结合平行四边形的性质证明即可．
如图所示，设与为两条铁轨，，，等均为枕木，
由题意，，，
∴四边形为平行四边形，
∴，
同理可证，四边形等均为平行四边形，
∴
∴保证铁路的两条直铺的铁轨互相平行，只要使互相平行的放在铁轨之间的枕木长相等就可以了，
∴这样判断的依据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
故答案为：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
17.如图，在 ABCD中，AC，BD相交于点O，点E，F在对角线BD上，有下列条件：①BF＝DE；②AE＝CF；③∠EAB＝∠FCD；④AF∥CE.其中一定能判定四边形AECF是平行四边形的有　　(填序号).
【答案】①③④
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，OB＝OD，OA＝OC.
若BF＝DE，则BF－OB＝DE－OD，
即OF＝OE，
∴四边形AECF是平行四边形，①符合题意.
∵AB∥CD，∴∠ABE＝∠CDF.
若∠EAB＝∠FCD，
则在△ABE和△CDF中，
∵
∴△ABE≌△CDF(ASA)，
∴BE＝DF.
又∵BO＝DO，∴OE＝OF.
又∵AO＝CO，
∴四边形AECF是平行四边形，③符合题意.
若AF∥CE，则∠AFB＝∠CED，
在△ABF和△CDE中，
∵
∴△ABF≌△CDE(AAS)，
∴BF＝DE，
同上易证四边形AECF是平行四边形，④符合题意.
∵通过AE＝CF不能判定△ABE≌△CDF，
∴不能判定四边形AECF是平行四边形，②不合题意.
综上所述，一定能判定四边形AECF是平行四边形的有①③④.
三、解答题
18.如图1，在 ABCD中，∠BAD的角平分线恰好经过边CD的中点F，且与边BC的延长线交于点E．
（1）若AB＝6，求BE的长；
（2）如图2，连接BF，过点D作DG⊥AE于点H，交AB于点G．求证：四边形BFDG是平行四边形．
【答案】
解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAF＝∠E，
∵AE是∠BAD的平分线，
∴∠DAF＝∠BAE，
∴∠BAE＝∠E，
∴BE＝AB＝6，即BE的长为6；
（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∴∠DAF＝∠E，
∵F是CD的中点，
∴DF＝CF，
在△ADF和△ECF中，
，
∴△ADF≌△ECF（AAS），
∴AF＝EF，
由（1）可知，BE＝AB，
∴BF⊥AE，
∵DG⊥AE，
∴DG∥BF，
又∵DF∥BG，
∴四边形BFDG是平行四边形．
19.如图，在 ABCD中，E，F分别是边AB，CD上的点，且AE＝CF，DE，BF分别交AC于点G，H.求证：
(1)DE∥BF.
(2)AG＝CH.
【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD.
又∵AE＝CF，∴BE＝DF，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∴DE∥BF.
(2)∵DE∥BF，
∴∠AEG＝∠ABF.
∵AB∥CD，
∴∠ABF＝∠CFH，∠EAG＝∠FCH，
∴∠AEG＝∠CFH.
在△AEG和△CFH中，
∵
∴△AEG≌△CFH(ASA)，
∴AG＝CH.
20.如图，在矩形中，点在的延长线上，，求证：四边形是平行四边形．
【答案】
证明：四边形矩形，
，，，
，
，
，
四边形是平行四边形．
21.如图,E,F是四边形ABCD的对角线AC上两点,AF=CE,DF=BE,DF∥BE。求证:
(1)△AFD≌△CEB。
(2)四边形ABCD是平行四边形。
【答案】
证明:(1)∵DF∥BE,
∴∠DFE=∠BEF。
在△ADF和△CBE中,
∵
∴△AFD≌△CEB(SAS)。
(2)由(1)知△AFD≌△CEB,
∴∠DAC=∠BCA,AD=BC,
∴AD∥BC,
∴四边形ABCD是平行四边形。
22.如图，在 ABCD中，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，连结AF，CE．
（1）求证：四边形AECF是平行四边形；
（2）若AF＝DF，，AD＝，求BD的长．
【答案】
解：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥CB，AD＝CB，
∴∠ADE＝∠CBF，
∵AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，
∴AE∥CF，∠AED＝∠CFB＝90°，
在△ADE和△CBF中，
，
∴△ADE≌△CBF（AAS），
∴AE＝CF，
∴四边形AECF是平行四边形．
（2）∵AF＝DF，＝，AD＝4，
∴EF＝AF＝DF，
∴AE＝＝＝DF，DE＝EF+DF＝DF+DF＝DF，
∵AD＝＝＝DF＝4，
∴DF＝5，
∴EF＝×5＝3，
∴BF＝DE＝DF+EF＝5+3＝8，
∴BD＝BF+DF＝8+5＝13，
∴BD的长为13．

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