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浙教版（2024）八年级下册暑假专题训练：三角形的中位线
一、选择题
1.如图所示，在四边形ABCD中，AC＝DB，且AC⊥BD，点E、F分别为边AD、BC中点，连接EF．若EF＝4，则四边形ABCD的面积为（　　）
A. B.16 C.32 D.
2.如图，为测量池塘两端的距离，可先在平地上取一个点，从点不经过池塘可以直接到达点和，连接，，分别取、的中点，，连接后，量出的长为12米，那么就可以算出，的距离是（ ）
A.36米 B.24米 C.12米 D.6米
3.如图，在Rt△ABC中，BC的中垂线与BC交于点D，与AC交于点E，连结BE，F为BE的中点，若DF＝2，则AE的长为（　　）
A.5 B. C.4 D.3
4.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D是AB边的中点，E是BC边的中点，若AD＝5，DE＝3，则BC的长为（　　）
A.4 B.6 C.8 D.10
5.如图，EF是△ABC的中位线，BD平分∠ABC交EF于点D，若AE＝3，DF＝1，则边BC的长为（　　）
A.7 B.8 C.9 D.10
6.如图，M，N分别是△ABC的边AB，AC的中点．若∠A＝65°，∠ANM＝45°，则∠B的度数为　(　　)
A.20° B.45° C.65° D.70°
7.如图，在一次数学实践活动中，为了测量校园内被花坛隔开的，两点的距离，同学们在外选择一点，测得，两边中点的距离为，则，两 点 的 距 离 是（ ）m
A.12 B.14 C.16 D.24
8.如图，点A，B为定点，定直线l∥AB，P是l上一动点，点M，N分别为PA，PB的中点，对于下列各值：①线段MN的长；②△PAB的周长；③∠APB的大小；④直线MN，AB之间的距离．其中会随点P的移动而不改变的是（　　）
A.①② B.①④ C.②③ D.③④
9.如图，△ABC中，∠BAD＝∠CAD，BE＝CE，AD⊥BD，DE＝，AB＝4，则AC的值为（　　）
A.6 B. C.7 D.8
10.如图，△ABC中，D是BC边的中点，AE平分∠BAC，BE⊥AE于E，已知AB＝10，AC＝18，则DE的长为（　　）
A.4 B.5 C.6 D.7
11.如图，若AB＝6，，M是BC的中点，AM＝4，则CM的值为（　　）
A. B. C. D.3
12.如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC＝4，点E为BC的中点，连结AE．以BC为边向左作△BCD，且∠BCD＝90°，BD∥AC．连结DE，记△CDE和△ABE的面积分别为S1和S2，则的最大值是（　　）
A.4 B.6 C.4 D.8
二、填空题
13.已知：如图，AD、BE分别是△ABC的中线和角平分线，AD⊥BE，AD＝BE＝6，则AC的长等于 ．
14.如图,四边形ABCD的对角线AC与BD互相垂直,E,F分别是AD,BC的中点,连结EF,已知BD=8,AC=10。
(1)四边形ABCD的面积为　　　　。
(2)EF的长为　　　　。
15.如图，在四边形ABCD中，点E、F分别是AB、AD边的中点，∠BCD＝90°，BC＝6，EF＝5，则CD的长为 　 　．
16.如图，E，F，G为△ABC三边的中点．
（1）若BC＝6，则EF＝　 　；
（2）若△ABC的周长为18，则△EFG的周长为 　 　；
（3）若△EFG的面积为4，则△ABC的面积为 　 　．
17.如图，在 ABCD中，AC是对角线，∠ACD＝90°，E是BC的中点，AF平分∠BAC，连结CF，EF.若CF⊥AF，AB＝5，BC＝13，则EF的长为 　.
三、解答题
18.如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，E、F分别是边DC、AB的中点，FE的延长线分别AD、BC的延长线交于点H、G，求证：∠AHF＝∠BGF．
19.如图，在△ABC中，点D、E分别为AB、BC的中点，点F在AC的延长线上，DE＝CF．求证：DC∥EF．
20.如图，在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，E，F分别是AB，CD的中点.若AC＝4 cm，BD＝6 cm，求EF的长.
21.如图，在△ABC中，∠BAC＝70°，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点D，E，F，G，H分别是线段AB，AC，BD，CD的中点．
(1)求∠BDC的度数．
(2)连结EG，EF，HG，HF，求证：四边形EGHF是平行四边形．
22.如图，在四边形ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点.
(1)若AB＝10，CD＝24，∠ABD＝30°，∠BDC＝120°，求EF的长.
(2)若∠BDC－∠ABD＝90°，求证：AB2＋CD2＝4EF2.
浙教版（2024）八年级下册暑假专题训练：三角形的中位线（参考答案）
一、选择题
1.如图所示，在四边形ABCD中，AC＝DB，且AC⊥BD，点E、F分别为边AD、BC中点，连接EF．若EF＝4，则四边形ABCD的面积为（　　）
A. B.16 C.32 D.
【答案】B
【解析】
作AB的中心于点G，连接EG，FG；根据中位线的性质，得，；根据AC＝DB，且AC⊥BD，得EG＝FG，∠EGF＝90°，根据四边形的面积，即可．
作AB的中点G，连接EG，FG，
∵点E、F分别为边AD、BC中点，
∴，，
∵AC＝DB，且AC⊥BD，
∴EG＝FG，∠EGF＝90°，
∴△EGF是等腰直角三角形，
∵EF＝4，
∴EG2+FG2＝EF2，
解得：，
∴，
∵四边形ABCD的面积．
故选：B．
2.如图，为测量池塘两端的距离，可先在平地上取一个点，从点不经过池塘可以直接到达点和，连接，，分别取、的中点，，连接后，量出的长为12米，那么就可以算出，的距离是（ ）
A.36米 B.24米 C.12米 D.6米
【答案】B
【解析】
根据题意可知为三角形的中位线，结合三角形中位线的性质即可获得答案．
如下图，连接，
∵、分别为、的中点，
∴为的中位线，
又∵米，
∴米．
故选：B．
3.如图，在Rt△ABC中，BC的中垂线与BC交于点D，与AC交于点E，连结BE，F为BE的中点，若DF＝2，则AE的长为（　　）
A.5 B. C.4 D.3
【答案】C
【解析】
根据线段中垂线的性质求出BD＝CD，BE＝CE，进而求出DF是△BCE的中位线，根据三角形中位线的性质求出CE＝2DF＝4＝BE，根据直角三角形的性质及角的和差求出∠A＝∠ABE，根据等腰三角形的判定求解即可．
∵BC的中垂线与BC交于点D，与AC交于点E，
∴BD＝CD，BE＝CE，
∵F为BE的中点，
∴DF是△BCE的中位线，
∴CE＝2DF＝4＝BE，
∵∠ABC＝90°，
∴∠A+∠C＝90°，∠ABE+∠CBE＝90°，
∵BE＝CE，
∴∠C＝∠CBE，
∴∠A＝∠ABE，
∴AE＝BE＝4，
故选：C．
4.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D是AB边的中点，E是BC边的中点，若AD＝5，DE＝3，则BC的长为（　　）
A.4 B.6 C.8 D.10
【答案】C
【解析】
根据三角形中位线定理和勾股定理即可得到结论．
∵D是AB边的中点，AD＝5，
∴AB＝2AD＝10，
∵E是BC边的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴AC＝2DE＝6，
∵∠C＝90°，
∴BC＝＝＝8，
故选：C．
5.如图，EF是△ABC的中位线，BD平分∠ABC交EF于点D，若AE＝3，DF＝1，则边BC的长为（　　）
A.7 B.8 C.9 D.10
【答案】B
【解析】
由三角形的中位线定理得到EF∥BC，BC＝2EF，BE＝AE＝3，利用等腰三角形的判定结合平行线的性质和角平分线的定义求出DE＝3，可得EF＝4，即可求出BC的长．
∵EF是△ABC的中位线，AE＝3，
∴EF∥BC，BC＝2EF，BE＝AE＝3，
∴∠EDB＝∠DBC，
∵BD平分∠EBC，
∴∠EBD＝∠DBC，
∴∠EDB＝∠EBD，
∴ED＝BE＝3，
∵DF＝1，
∴EF＝ED+DF＝3+1＝4，
∴BC＝8，
故选：B．
6.如图，M，N分别是△ABC的边AB，AC的中点．若∠A＝65°，∠ANM＝45°，则∠B的度数为　(　　)
A.20° B.45° C.65° D.70°
【答案】D
【解析】∵M，N分别是△ABC的边AB，AC的中点，
∴MN∥BC，∴∠C＝∠ANM＝45°，
∴∠B＝180°－∠A－∠C＝180°－65°－45°＝70°.
7.如图，在一次数学实践活动中，为了测量校园内被花坛隔开的，两点的距离，同学们在外选择一点，测得，两边中点的距离为，则，两 点 的 距 离 是（ ）m
A.12 B.14 C.16 D.24
【答案】C
【解析】
本题考查三角形中位线定理，利用三角形中位线定理解决问题即可．
，，
是的中位线，
，
．
．
故选：C．
8.如图，点A，B为定点，定直线l∥AB，P是l上一动点，点M，N分别为PA，PB的中点，对于下列各值：①线段MN的长；②△PAB的周长；③∠APB的大小；④直线MN，AB之间的距离．其中会随点P的移动而不改变的是（　　）
A.①② B.①④ C.②③ D.③④
【答案】B
【解析】
根据三角形中位线定理判断即可．
∵点M，N分别为PA，PB的中点，
∴MN＝AB，MN∥AB，
∴线段MN的长不变，直线MN，AB之间的距离，故①④符合题意，
PA、PB的长随点P的运动而改变，∠APB的大小随点P的运动而改变，故②③不符合题意；
故选：B．
9.如图，△ABC中，∠BAD＝∠CAD，BE＝CE，AD⊥BD，DE＝，AB＝4，则AC的值为（　　）
A.6 B. C.7 D.8
【答案】C
【解析】
延长BD交AC于F，可证得△ABD≌△AFD，从而AF＝AB＝4，可证得DE是△BCF的中位线，从而得出CF的值，进一步可得出结果．
如图，
延长BD，交AC于F，
∵AD⊥BD，
∴∠ADB＝∠ADF＝90°，
在△ABD和△AFD中，
，
∴△ABD≌△AFD（ASA），
∴BD＝DF，AF＝AB＝4，
∵BE＝CE，
∴CF＝2DE＝3，
∴AC＝AF+CF＝4+3＝7，
故答案为：C．
10.如图，△ABC中，D是BC边的中点，AE平分∠BAC，BE⊥AE于E，已知AB＝10，AC＝18，则DE的长为（　　）
A.4 B.5 C.6 D.7
【答案】A
【解析】
延长BE交AC于F，证明△AEF≌△AEB，根据全等三角形的性质得到AF＝AB＝10，BE＝EF，根据三角形中位线定理计算即可．
延长BE交AC于F，
∵BE⊥AE，
∴∠AEB＝∠AEF＝90°，
在△AEF和△AEB中，
，
∴△AEF≌△AEB（ASA）
∴AF＝AB＝10，BE＝EF，
∴CF＝AC﹣AF＝8，
∵BE＝EF，BD＝DC，
∴DE＝CF＝4，
故选：A．
11.如图，若AB＝6，，M是BC的中点，AM＝4，则CM的值为（　　）
A. B. C. D.3
【答案】A
【解析】
取AB的中点D，连接DM，过点E作EM⊥AB交AB于点E，首先根据三角形中位线的性质得到，，设DE＝x，则AE＝AD+ED＝x+3，然后根据勾股定理求解即可．
如图所示，取AB的中点D，连接DM，过点E作EM⊥AB交AB于点E，
∵M是BC的中点，D是AB的中点，，AB＝6，
∴，，
∴设DE＝x，则AE＝AD+ED＝x+3，
∵EM⊥AB，
∴DM2﹣DE2＝AM2﹣AE2＝EM2，
∴，
解得，
∴，则，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：A．
12.如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC＝4，点E为BC的中点，连结AE．以BC为边向左作△BCD，且∠BCD＝90°，BD∥AC．连结DE，记△CDE和△ABE的面积分别为S1和S2，则的最大值是（　　）
A.4 B.6 C.4 D.8
【答案】D
【解析】
延长CA到点F，使AF＝AC，连接BF，可以得出AE为△BCF的中位线，于是有AE∥BF，AE＝，由等腰三角形三线合一得出AE⊥BC，即可证得AE∥CD，于是推出BF∥CD，结合BD∥AC可得到四边形BDCF是平行四边形，从而得出CD与AE的数量关系，再根据三角形面积公式分别计算△CDE和△ABE的面积，结合完全平方公式及勾股定理即可得出结果．
延长CA到点F，使AF＝AC，连接BF，
∵点E为BC的中点，
∴AE为△BCF的中位线，
∴AE∥BF，AE＝，
∵AB＝AC＝4，点E为BC的中点，
∴AE⊥BC，BE＝CE，
∵∠BCD＝90°，
∴AE∥CD，
∴BF∥CD，
∵BD∥AC，
∴四边形BDCF是平行四边形，
∴CD＝BF，
即CD＝2AE，
∴，，
∴＝＝AE CE，
∵AE⊥BC，AB＝AC＝4，
∴AE2+BE2＝AB2＝16，
∵（AE﹣BE）2≥0，
∴AE2﹣2AE BE+BE2≥0，
即AE2+BE2≥2AE BE，
∴16≥2AE BE，
∴AE BE≤8，
即的最大值是8，
故选：D．
二、填空题
13.已知：如图，AD、BE分别是△ABC的中线和角平分线，AD⊥BE，AD＝BE＝6，则AC的长等于 ．
【答案】
．
【解析】
过D点作DF∥BE，则DF＝BE，F为EC中点，在Rt△ADF中求出AF的长度，根据已知条件易知G为AD中点，因此E为AF中点，则AC＝AF．
过D点作DF∥BE，
∵AD是△ABC的中线，AD⊥BE，
∴F为EC中点，AD⊥DF，
∵AD＝BE＝6，则DF＝3，AF＝＝3，
∵BE是△ABC的角平分线，AD⊥BE，
∴△ABG≌△DBG，
∴AG=DG，
∴G为AD中点，
∴E为AF中点，
∴AC＝AF＝×3＝．
故答案为：．
14.如图,四边形ABCD的对角线AC与BD互相垂直,E,F分别是AD,BC的中点,连结EF,已知BD=8,AC=10。
(1)四边形ABCD的面积为　　　　。
(2)EF的长为　　　　。
【答案】
(1)40　(2)
【解析】
(1)∵AC⊥BD,BD=8,AC=10,
∴S四边形ABCD=AC·BD=×10×8=40。
(2)如答图,取CD的中点H,连结EH,FH。
∵E,H分别是AD,DC的中点,
∴EH是△ADC的中位线,
∴EH=AC=5,EH∥AC。
同理可得:FH=BD=4,FH∥BD。
∵AC⊥BD,∴EH⊥FH,
∴EF===。
15.如图，在四边形ABCD中，点E、F分别是AB、AD边的中点，∠BCD＝90°，BC＝6，EF＝5，则CD的长为 　 　．
【答案】
8．
【解析】
连接BD，根据三角形中位线定理求出BD，再根据勾股定理计算，得到答案．
连接BD，
∵点E、F分别是AB、AD边的中点，
∴EF是△ABD的中位线，
∴BD＝2EF，
∵EF＝5，
∴BD＝10，
由勾股定理得：CD＝＝＝8，
故答案为：8．
16.如图，E，F，G为△ABC三边的中点．
（1）若BC＝6，则EF＝　 　；
（2）若△ABC的周长为18，则△EFG的周长为 　 　；
（3）若△EFG的面积为4，则△ABC的面积为 　 　．
【答案】
（1）3；
（2）9；
（3）16．
【解析】
（1）根据三角形中位线定理解答；
（2）根据三角形中位线定理得到EF＝BC，GE＝AC，GF＝AB，计算即可；
（3）根据三角形中位线定理得到EF＝BC，EF∥BC，再根据三角形的面积公式计算，得到答案．
（1）∵E，F分别为AB、AC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF＝BC，
∵BC＝6，
∴EF＝3，
故答案为：3；
（2）∵△ABC的周长为18，
∴AB+AC+BC＝18，
∵E，F，G为△ABC三边的中点，
∴EF、GE、GF是△ABC的中位线，
∴EF＝BC，GE＝AC，GF＝AB，
∴△EFG的周长＝EF+GE+GF＝（AB+AC+BC）＝9，
故答案为：9；
（3）∵E，F，G为△ABC三边的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF＝BC，EF∥BC，
∴S△EBG＝S△FCG＝S△EFG＝4，
同理可得：S△AEF＝S△EFG＝4，
∴S△ABC＝16，
故答案为：16．
17.如图，在 ABCD中，AC是对角线，∠ACD＝90°，E是BC的中点，AF平分∠BAC，连结CF，EF.若CF⊥AF，AB＝5，BC＝13，则EF的长为 　.
【答案】
【解析】如答图，延长AB，CF相交于点H.
答图
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠BAC＝∠ACD＝90°，
∴AC＝＝12.
∵AF平分∠BAC，
∴∠BAF＝∠CAF＝45°.
在△AFH和△AFC中，
∵
∴△AFH≌△AFC(ASA)，
∴AH＝AC＝12，HF＝CF，
∴BH＝AH－AB＝7.
∵E是BC的中点，HF＝CF，
∴EF＝BH＝.
三、解答题
18.如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，E、F分别是边DC、AB的中点，FE的延长线分别AD、BC的延长线交于点H、G，求证：∠AHF＝∠BGF．
【答案】
证明：连接BD，取BD的中点P，连接EP，FP，
∵E、F、P分别是DC、AB、BD边的中点，
∴EP是△BCD的中位线，PF是△ABD的中位线，
∴PF＝AD，PF∥AD，EP＝BC，EP∥BC，
∴∠H＝∠PFE，∠BGF＝∠FEP，
∵AD＝BC，
∴PE＝PF，
∴∠PEF＝∠PFE，
∴∠AHF＝∠BGF．
19.如图，在△ABC中，点D、E分别为AB、BC的中点，点F在AC的延长线上，DE＝CF．求证：DC∥EF．
【答案】
证明：∵点D、E分别为AB、BC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥AC，
∵DE＝CF，
∴四边形CDEF为平行四边形，
∴DC∥EF．
【【解析】
20.如图，在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，E，F分别是AB，CD的中点.若AC＝4 cm，BD＝6 cm，求EF的长.
【答案】解：如答图，取BC的中点H，连结EH，FH.
答图
∵E，F分别是AB，CD的中点，
∴EH是△ABC的中位线，FH是△BCD的中位线，
∴EH＝AC＝2cm，FH＝BD＝3cm，EH∥AC，FH∥BD，
∴∠EHF＝90°，
∴EF＝cm.
21.如图，在△ABC中，∠BAC＝70°，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点D，E，F，G，H分别是线段AB，AC，BD，CD的中点．
(1)求∠BDC的度数．
(2)连结EG，EF，HG，HF，求证：四边形EGHF是平行四边形．
【答案】解：(1)∵∠BAC＝70°，
∴∠ABC＋∠ACB＝110°.
∵BD，CD分别平分∠ABC和∠ACB，
∴∠DBC＝∠ABC，∠DCB＝∠ACB，
∴∠DBC＋∠DCB＝(∠ABC＋∠ACB)＝55°，
∴∠BDC＝180°－(∠DBC＋∠DCB)＝125°.
(2)∵E，F，G，H分别是AB，AC，BD，CD的中点，
∴EF，GH分别为△ABC和△DBC的中位线，
∴EF∥BC，GH∥BC，且EF＝BC，GH＝BC，
∴EF∥GH，EF＝GH，
∴四边形EGHF是平行四边形．
22.如图，在四边形ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点.
(1)若AB＝10，CD＝24，∠ABD＝30°，∠BDC＝120°，求EF的长.
(2)若∠BDC－∠ABD＝90°，求证：AB2＋CD2＝4EF2.
【答案】解：(1)如答图，取BD的中点P，连结EP，FP.
答图
∵E，F分别是AD，BC的中点，AB＝10，CD＝24，
∴PE是△ABD的中位线，PF是△BCD的中位线，
∴PE∥AB，且PE＝AB＝5，PF∥CD，且PF＝CD＝12，
∴∠EPD＝∠ABD＝30°，∠DPF＝180°－∠BDC＝180°－120°＝60°，
∴∠EPF＝∠EPD＋∠DPF＝90°.
在Rt△EPF中，由勾股定理，得EF＝＝13，
即EF的长为13.
(2)由(1)可知，PE是△ABD的中位线，PF是△BCD的中位线，
∴PE∥AB，且PE＝AB，PF∥CD，且PF＝CD，
∴∠EPD＝∠ABD，∠DPF＝180°－∠BDC.
∵∠BDC－∠ABD＝90°，
∴∠BDC＝90°＋∠ABD，
∴∠EPF＝∠EPD＋∠DPF＝∠ABD＋180°－∠BDC＝∠ABD＋180°－(90°＋∠ABD)＝90°，
∴PE2＋PF2＝2＋2＝EF2，
∴AB2＋CD2＝4EF2.

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