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2025-2026学年上海市徐汇区高二（下）期末数学试卷
一、单项选择题：本大题共4小题，共16分。
1.下列抽样方法中，属于简单随机抽样的是（　　）
A. 某社团为调查本校学生的环保知识水平，向在图书馆某楼层自习的所有学生发放问卷，隔5分钟后回收
B. 某次科普讲座之前，主持人抽取座位尾号为1的听众进行提问
C. 一车间主任从堆放的100件产品中抽取了摆放在最上面的10件产品进行检查
D. 销售部经理将一个放有部门所有员工工号牌的箱子均匀摇晃后，从中抽取5个工号牌
2.过点P（2，4）且与抛物线y2=8x有且只有一个公共点的直线有（　　）
A. 0条 B. 1条 C. 2条 D. .3条
3.已知{an}是各项均为正数的等差数列，且公差d＞0，{bn}是各项均为正数的等比数列，且公比q＞1.若{an}与{bn}项数均为m（m≥3），且满足a1=b1，am=bm，现有下述两个结论：
①m（m≥3）为奇数时，数据a1，a2，a3，…，am的中位数一定不大于数据b1，b2，b3，…，bm的中位数；
②对任意的正整数m（m≥3），数据a1，a2，a3，…，am的方差一定不大于数据b1，b2，b3，…，bm的方差.
则说法正确的选项是（　　）
A. ①②都错误 B. ①②都正确 C. ①正确，②错误 D. ①错误，②正确
4.已知三棱柱ABC-A'B'C'，AA'⊥平面ABC，P是△A'B'C'内一点，点E，F在直线BC上运动，若直线PA和AE所成角的最小值与直线PF和平面ABC所成角的最大值相等，则满足条件的点P的轨迹是（　　）
A. 圆的一部分 B. 椭圆的一部分 C. 抛物线的一部分 D. 双曲线的一部分
二、填空题：本题共12小题，每小题4分，共48分。
5.“直线b在平面α上”用集合语言描述为 .
6.直线x-ln2=0的倾斜角的大小为 .
7.已知n为正整数且n≥5，则满足方程的解n= .
8.已知事件A与事件B为互斥事件，且P（A）=0.5，P（A∪B）=0.8，则P（B）= .
9.若一个圆柱的侧面积是4π，高为1，则这个圆柱的体积是 .
10.在（1+x）15的二项展开式中，含x2项的系数为 （结果用数值表示）.
11.已知，则函数y=f（x）在x=1处的瞬时变化率为 .
12.已知方程a2x2+（a+2）y2+2ax+a=0表示的曲线是圆，则实数a的值是______．
13.已知点（n,an）在直线3x-y-8=0上，Sn是数列{an}的前n项和，则使Sn＞0成立的最小正整数n= .
14.给定点A（1，0，0）、B（3，1，1）、C（2，0，1）、D（5，-4，3），则在方向上的投影向量的坐标为 .
15.平面上到两个不同的定点F1，F2的距离之积为非零常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线.如图所示，曲线C是一条过坐标原点O的卡西尼卵形线，其中两定点F1（-2，0），F2（2，0）.若点P为曲线C上的任意一点，则|PF1|+2|PF2|的最小值为 .
16.已知函数y=f（x）的定义域为R，且y=f（x）的导函数y=f′（x）是R上的严格减函数.若曲线y=f（x）在点P（t,f（t））（t为常数）处的切线方程为y=kx+m（k,m∈R），记集合A={x|f（x）≥kx+m}，则集合A= .
三、解答题：本题共5小题，共56分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
某场校内篮球比赛中，甲、乙两队各5名队员进行比赛，他们得分的茎叶图如下，其中x,y∈N，4≤x≤9，6≤y≤9，且十位数作为“茎”、个位数作为“叶”.
（1）若甲队队员得分的极差为32，乙队队员得分的平均值为24，求x和y的值；
（2）分别求甲队队员得分的第60百分位数和乙队队员得分的第25百分位数.
18.(本小题10分)
如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，且CB⊥BP，CD⊥DP，PA=2，点E，F分别为PB，PD的中点.
（1）求证：PA⊥平面ABCD；
（2）求点P到平面AEF的距离.
19.(本小题12分)
A，B两人下棋，每局均无和棋且每局A获胜的概率为，每局比赛相互独立.某一天这两个人要进行一场五局三胜的比赛，胜者赢得2700元奖金.
（1）求A以3：0获胜的概率；
（2）若第一局比赛A已获胜，后两人因为其他要事而终止比赛，他们都认为依据（在现有的状态下）两人最终胜的可能性大小按比例分配奖金最公平，问两人应如何分配奖金？
20.(本小题12分)
已知椭圆的离心率为，点（2，3）在椭圆C上，过点P（8，0）的直线l交椭圆C于A，B两点.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）求△OAB面积的最大值（O为坐标原点）.
21.(本小题12分)
已知定义域为R的函数y=f（x），其导函数为y=f′（x）.设D R，若对任意的x∈D，都有|f′（x）|＜1成立，则称函数y=f（x）具有“性质M”
（1）已知f（x）=ax+ex，D=[0，1].若函数y=f（x）具有“性质M”，求实数a的取值范围；
（2）若D=R的函数y=f（x）具有“性质M”，求证：对任意两个不相等的实数x1、x2，都有|f（x1）-f（x2）|＜|x1-x2|成立.
1.【答案】D
2.【答案】C
3.【答案】A
4.【答案】C
5.【答案】b α
6.【答案】90°
7.【答案】8
8.【答案】0.3
9.【答案】4π
10.【答案】105
11.【答案】
12.【答案】-1
13.【答案】5．
14.【答案】（0，0，0）
15.【答案】
16.【答案】{t}
17.【答案】x=8，y=6 甲队队员得分的第60百分位数为31，乙队队员得分的第25百分位数为25
18.【答案】解：（1）证明：在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，且CB⊥BP，CD⊥DP，
∴AB⊥BC，CD⊥AD，
∵AB∩PB=B，AD∩PD=D，
∴BC⊥平面PAB，CD⊥平面PAD，
∴PA⊥BC，PA⊥CD，
∵BC∩CD=C，∴PA⊥平面ABCD．
（2）以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AP所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，
∵PA=2，点E，F分别为PB，PD的中点，
∴P（0，0，2），A（0，0，0），E（1，0，1），F（0，1，1），
=（1，0，1），=（0，1，1），=（0，0，2），
设平面AEF的法向量为=（x,y,z），
则，取x=1，得=（1，1，-1），
∴点P到平面AEF的距离为：
d===．
19.【答案】 A获得2400元，B获得300元
20.【答案】
21.【答案】（-2，1-e） 证明：已知函数y=f（x）的定义域为R，且在R上具有“性质M”，
所以对任意的x∈R，都有|f′（x）|＜1成立，
要证明对任意两个不相等的实数x1、x2，都有|f（x1）-f（x2）|＜|x1-x2|成立，
不妨设x1＜x2（若x1＞x2，同理可证），
则需要证明的不等式等价于-（x2-x1）＜f（x2）-f（x1）＜x2-x1，
即证明f（x2）-f（x1）＜x2-x1且f（x2）-f（x1）＞-（x2-x1），
①先证明不等式f（x2）-f（x1）＜x2-x1：
构造函数g（x）=f（x）-x，则g′（x）=f′（x）-1，
由于|f′（x）|＜1，可知f′（x）＜1，
所以g′（x）=f′（x）-1＜0对任意的x∈R恒成立，
即g（x）在R上单调递减，
由于x1＜x2，所以g（x1）＞g（x2），
即f（x1）-x1＞f（x2）-x2，整理可得f（x2）-f（x1）＜x2-x1，
所以不等式f（x2）-f（x1）＜x2-x1成立；②再证明不等式f（x2）-f（x1）＞-（x2-x1）：
构造函数h（x）=f（x）+x，则h′（x）=f′（x）+1，
由于|f′（x）|＜1，可知f′（x）＞-1，
所以h′（x）=f′（x）+1＞0对任意的x∈R恒成立，
即h（x）在R上单调递增，
由于x1＜x2，所以h（x1）＜h（x2），
即f（x1）+x1＜f（x2）+x2，整理可得f（x2）-f（x1）＞x1-x2，
即f（x2）-f（x1）＞-（x2-x1），所以不等式f（x2）-f（x1）＞-（x2-x1）成立；综上所述，对任意两个不相等的实数x1、x2，都有|f（x1）-f（x2）|＜|x1-x2|成立
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