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2025-2026学年云南省红河州中央民族大学附中红河实验学校高二（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.已知全集U={1，2，3，4，5}，集合A={1，2，3}，集合B={2，4}，则（ UA）∩B=（　　）
A. B. {2} C. {4} D. {2，4}
2.已知复数z满足（1+i）z=3-i,则z的虚部为（　　）
A. 2 B. -2 C. 2i D. -2i
3.已知向量和向量的夹角为60°，且，则的值为（　　）
A. 1 B. C. 2 D.
4.已知函数f（x）=sinx+ex-e-x+1，则f（1）+f（-1）=（　　）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 4
5.某学校组织研学活动，现有自然生态与地质科考、红色爱国主义教育、历史文化与文物考古、民族文化与非遗传承这4个研学方向.学校安排5名教师负责这4个方向的研学活动，若每个研学方向的研学活动都至少有1名教师负责，每名教师均需要负责且只负责其中1个研学方向的研学活动，则不同的分配方法种数为（　　）
A. 240 B. 360 C. 600 D. 320
6.四面体ABCD满足AB⊥BC，BC⊥CD，CD⊥AB，AB=BC=CD=1.设AB，BC，CD的中点分别为L，M，N，则点M到直线LN的距离为（　　）
A. B. C. D.
7.已知函数f′（x）是函数f（x）的导函数，f（1）=，对任意实数都有f（x）-f′（x）＞0，则不等式f（x）＜ex-2的解集为（　　）
A. （1，+∞） B. （-∞，e） C. （1，e） D. （e,+∞）
8.已知椭圆C，的左、右焦点分别为F1，F2，P为第一象限内一点且在椭圆C上，PF1交y轴于点M，若M，则C的离心率为（　　）
A. B. 或
C. D. 或
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S10＜S12＜S11，则（　　）
A. 数列{an}的公差小于0 B. 数列的公差与数列{an}的公差相等
C. Sn中S11最大 D. 使得Sn＜0的正整数n的最小值为22
10.下列结论正确的是（　　）
A. 样本数据12，13，15，18，19，21，23，24，26，27的第70百分位数为23
B. 若一组样本数据x1，x2， ，x10的方差，则这组样本数据的总和为60
C. 若随机变量X服从二项分布，则E（Y）=9
D. 若随机变量X服从正态分布N（6，σ2），且P（3＜X＜6）=0.35，则P（X＞9）=0.15
11.已知点M，N在圆C：（x-1）2+y2=1上运动，点P（2，1），且|PM|2+|PN|2=8，Q为线段MN的中点，则（　　）
A. 过点P与圆C相切的直线有两条 B. 点Q在直线x+y-2=0上运动
C. |QM|2+|CQ|2=1 D. |MN|的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，则= ．
13.若的二项展开式中，第5项为常数项，则n= .
14.已知欧拉函数φ（n）（n∈N*）的函数值等于所有不超过正整数n,且与n互质的正整数的个数，例如：φ（1）=1，φ（3）=2；记集合中元素个数为cn，则数列{cn}前n项和为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题15分)
已知函数.
（1）求f（x）的最小正周期及最大值；
（2）记△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a,b,c,已知，求角B，C及边长c.
16.(本小题15分)
已知椭圆C：的一个焦点与抛物线的焦点重合，且椭圆C的离心率为.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过椭圆C的左顶点A且倾斜角为30°的直线交椭圆C于另一点B，O为坐标原点，求△OAB的面积.
17.(本小题15分)
如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=2，，∠ABC=45°，BC1⊥AC.
（1）证明：AC⊥平面ABC1；
（2）若，二面角C1-AC-B的大小为60°，求直线BC1与平面AA1B1B所成角的正弦值.
18.(本小题15分)
某企业生产的智能机器人需要用到一种高精度零件，现收到一批零件共有10个，其中不合格的零件占总数的，从中随机抽取3个零件，设抽到的不合格的零件数为X.
（1）求P（X=1）的值.小明的求解过程如下：因为不合格的零件占总数的，所以，故.请问以上解答过程是否正确？如果正确，请说明解题依据；如果不正确，请写出正确的解答过程：
（2）若抽到的3个零件中至少有1个为不合格零件，求恰好有2个为不合格零件的概率；
（3）对抽取的3个零件进行检测，每个零件的检测费用为10元，每发现1个不合格品，需额外支出25元的处理费用.设本次检测的总费用为Y元，求随机变量Y的分布列与数学期望.
19.(本小题17分)
已知函数f（x）=x-1-alnx（其中a为参数）．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若对任意x∈（0，+∞），都有f（x）≥0成立，求实数a的取值集合；
（3）证明：（1+）n＜e＜（1+）n+1（其中n∈N*，e为自然对数的底数）．
1.【答案】C
2.【答案】B
3.【答案】A
4.【答案】C
5.【答案】A
6.【答案】D
7.【答案】A
8.【答案】C
9.【答案】AC
10.【答案】BCD
11.【答案】ACD
12.【答案】
13.【答案】8
14.【答案】
15.【答案】2π，1；
，，．
16.【答案】
17.【答案】证明见解析； ．
18.【答案】 随机变量Y的分布列为：
Y 30 55 80
P
数学期望为45
19.【答案】解：（1）f′（x）=，x∈（0，+∞），
当a≤0时，f′（x）＞0，∴f（x）在（0，+∞），
当a＞0时，令f′（x）=0，得x=a，
x∈（0，a）时，f（x）单调递减，
x∈（a，+∞）时，f（x）单调递增；
综上：a≤0时，f（x）在（0，+∞）上递增，无减区间，
当a＞0时，f（x）的单调递减区间为（0，a），单调递增区间为（a，+∞）；
（2）由（1）得：f（x）极小值=f（a）=a-1-alna．
∵对任意x∈（0，+∞），都有f（x）≥0恒成立，
∴f（x）极小值=f（a）=a-1-alna≥0．
∴a≥≥，解得a=1，
∴实数a的取值集合为{1}．
（Ⅱ）证明：设数列an=（1+）n，数列bn=（1+）n+1，
由（1+）x=e，得：an=e，bn=e，
因此只需证数列{an}单调递增且数列{bn}单调递减，
①证明数列{an}单调递增：
an=（1+）n＜（）n+1=an+1，
∴数列{an}单调递增．
②证明数列{bn}单调递减：
bn=（1+）n+1==（令 t=-（n+1），换元）
=（1+）t=at，
由①得at关于t单调递增，而t=-（n+1）关于n单调递减，
由复合函数的单调性知，{bn}单调递减，
∴（1+）n＜e＜（1+）n+1．
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