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2025-2026学年天津市北京师大天津生态城附属学校高一（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共12小题，共60分。
1.化简：=（　　）
A. B. C. D.
2.在复平面内，O为原点，向量对应的复数为-1+2i,若点A关于y轴的对称点为B，则向量对应的复数为（　　）
A. -2-i B. -2+i C. 1+2i D. -1-2i
3.已知△ABC是等边三角形，边长为4，则=（　　）
A. -8 B. 8 C. D.
4.已知圆锥的底面半径为3，其侧面展开图是一个圆心角为120°的扇形，则圆锥表面积为（　　）
A. 35π B. 36π C. 39π D. 43π
5.设是表示平面内所有向量的一个基底，则下列四组向量中，不能作为基底的是（　　）
A. B.
C. D.
6.如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别是线段CD，BE的中点，则=（　　）
A.
B.
C.
D.
7.设x，y∈R，向量=（x，1），=（1，y），=（2，-4），且⊥，，则x+y=（　　）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
8.已知m,n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列结论正确的是（　　）
A. 若m⊥α，m⊥n,则n∥α B. 若α∥β，m α，n β，则m∥n
C. 若m∥α，m∥β，α∩β=n,则m∥n D. 若α⊥β，β⊥γ，则α∥γ
9.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c,若ccosC-acosA=sin（A+B+C），则△ABC的形状一定是（　　）
A. 等腰直角三角形 B. 等腰或直角三角形 C. 直角三角形 D. 等腰三角形
10.过△ABC所在平面α外一点P，作PO⊥α，垂足为O，连接PA，PB，PC．若PA=PB=PC，则点O是△ABC的（　　）
A. 垂心 B. 外心 C. 内心 D. 重心
11.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c,面积为S.若a=1，且4S=cosB+bcosA，则B=（　　）
A. B. C. D.
12.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P在线段B1C上运动，则以下命题错误的个数为（　　）
①直线BD1⊥平面A1C1D；
②平面B1CD与平面BCD的夹角大小为；
③三棱锥P-A1C1D的体积为定值；
④异面直线AP与A1D所成角的取值范围是；
⑤三棱锥A1-BDC1外接球表面积是3π.
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
二、填空题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
13.已知复数z（3+i）=2-i,则= .
14.一个梯形的直观图是一个如图所示的等腰梯形，且A′B′=1，O′C′=3，O′A′=2，则原梯形的面积为 .
15.若复数z=（m2-m）+（m2-3m+2）i是纯虚数，则实数m= .
16.某组合体如图所示，上半部分是正四棱锥P-EFGH，下半部分是长方体ABCD-EFGH，，EF=2，AE=1，则该组合体的体积为 .
17.已知向量，，若在上的投影向量为，则x= .
18.已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱AA1=4，AB=5，BC=3，AC=4，则三棱柱ABC-A1B1C1的外接球表面积为 .
19.如图，长方体ABCD-A1B1C1D1中，ABCD是边长为1的正方形，D1B与平面ABCD所成的角为45°，则直线CD与直线D1B的夹角余弦值为 ；二面角C1-BD-C的平面角的正切值为 .
20.《哪吒2》的玉崖宫，形态由九宫八卦阵演变而来，设计灵感束源于汉代.内饰充满了中国文化符号、某中学数学实践小组将玉虚宫轮廓抽象为正八边形，结合向量知识进行主题探究活动.如图，正八边形ABCDEFGH，边长为2，点P在线段CH上，且，则的值为 ；若点Q为线段CD上的动点，则的最小值为 .
三、解答题：本题共4小题，共50分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
21.(本小题12分)
已知，与的夹角为.
（1）求；
（2）求；
（3）当k为何值时，？
22.(本小题12分)
如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=3，BC=4，AB=5，AA1=4，点D是AB的中点．
（1）求证：AC1∥平面CDB1；
（2）求证：AC⊥BC1．
23.(本小题12分)
在ΔABC中，内角A，B，C的对边分别为a,b,c,已知2acosB-b=2c.
（1）求角A；
（2）若△ABC的面积为，且sinB=2sinC.
①求△ABC的周长；
②求sin（2B+A）.
24.(本小题14分)
如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，PA=AB=2，E为线段PB的中点.
（1）若F为线段BC上的动点，证明：AE⊥平面PBC；
（2）若E为PB的中点，F是BC上靠近B的四等分点，
（i）求EF和平面ABCD夹角的正弦值；
（ii）求点P到平面AEF的距离.
1.【答案】B
2.【答案】C
3.【答案】A
4.【答案】B
5.【答案】C
6.【答案】A
7.【答案】A
8.【答案】C
9.【答案】B
10.【答案】B
11.【答案】A
12.【答案】A
13.【答案】
14.【答案】8
15.【答案】0
16.【答案】
17.【答案】-1
18.【答案】41π
19.【答案】
2

20.【答案】
0

21.【答案】
22.【答案】证明：（1）设CB1与C1B的交点为E，连结DE，
因为E为正方形CBB1C1对角线的交点，
所以E为C1B的中点．
又D是AB的中点，
所以DE为△ABC1的中位线，
故DE∥AC1．
因为AC1 平面CDB1，DE 平面CDB1，所以AC1∥平面CDB1．
（2）在△ABC中，AC=3，BC=4，AB=5，
所以AB2=AC2+BC2，故AC⊥BC．
因为C1C⊥平面ABC，AC 平面ABC，所以AC⊥C1C．
又C1C 平面BB1C1C，BC 平面BB1C1C，且C1C∩BC=C，
所以AC⊥平面BB1C1C．
又BC1 平面BB1C1C，所以AC⊥BC1．
23.【答案】 ①；②
24.【答案】证明：因为PA⊥底面ABCD，且BC 底面ABCD，所以PA⊥BC，
因为ABCD为正方形，所以AB⊥BC，
因为PA∩AB=A，又PA，AB 平面PAB，所以BC⊥平面PAB，
因为AE 平面PAB，所以BC⊥AE．
由PA=AB，E为线段PB的中点，可知AE⊥PB，
因为PB∩BC=B，且PB，BC 平面PBC，
所以AE⊥平面PBC （i）；（ii）
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