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2025-2026学年天津市宝坻区第四中学高二（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共9小题，共45分。
1.已知全集U={1，2，3，4，5}，集合A={1，3}，B={2，3，5}，则 U（A∪B）=（　　）
A. {1，2，3，4} B. {2，3，4} C. {2，4} D. {4}
2.“x2+x-2＜0”是“|x|＜2”的（　　）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.已知a,b,c∈R，且a＞b,c＞1，ab≠0，则（　　）
A. a-c＞b-1 B. ac＞b C. D.
4.已知函数y=f（x）的图象在点M（1，f（1））处的切线方程是x-2y+2=0，则f（1）+f′（1）的值等于（　　）
A. 2 B. 1 C. D. 0
5.若，则a1+a2+a3+a4+a5=（　　）
A. 32 B. 33 C. 1 D. -31
6.在最近南京市举行的半程马拉松比赛中，某路段设三个服务站，某高校5名同学到甲、乙、丙三个服务点做志愿者，每名同学只去1个服务点，每个服务点至少1人，则不同的安排方法共有（　　）
A. 25种 B. 150种 C. 300种 D. 50种
7.已知函数在（0，2）上单调递增，则实数k的取值范围是（　　）
A. B. C. D.
8.下列说法正确的有（　　）
A. 成对样本数据的线性相关程度越强，则样本相关系数r的值越接近于1
B. 随机变量X服从正态分布N（1，σ2），P（X＞1.5）=0.34，若P（X＜a）=0.34，则a=-0.5
C. 由两个分类变量X，Y的成对样本数据计算得到χ2=8.612，依据α=0.005的独立性检验（x0.005=7.879），可判断X，Y独立
D. 已知y关于x的经验回归方程为，则样本点（3，-4）的残差为-2.2
9.已知定义在（0，+∞）上的函数f（x），f′（x）是f（x）的导函数，满足xf′（x）-f（x）＜0，且f（2）=2，则不等式f（2x）-2x＞0的解集是（　　）
A. （-∞，3） B. （-∞，2） C. （-∞，1） D. （-∞，0）
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
10.的展开式中x3的系数是 .（用数字作答）
11.已知关于x的一元二次方程x2-x+a=0有两个不相等的正根m、n,则的最小值为 .
12.已知x、y取值如表所示，从散点图分析，y与x线性相关，且y=0.83x+，则= .
x 0 1 3 4
y 0.9 1.9 3.2 4.4
13.一个盒子装有8个除颜色及等级外完全相同的乒乓球，其中白球有4个一星“☆”，2个二星“☆☆”；黄球有1个一星“☆”，1个二星“☆☆”.每次从盒子中随机摸出1个球，摸出的球不再放回.若摸出白球即停止，则摸出的球中没有二星球的概率为 ；若连续摸两次，在第1次摸出白球的条件下，第2次摸出二星球的概率为 .
14.若直线既是曲线y=e2x在x=0处的切线，也是曲线y=ln（2x+b）的切线，则实数b= .
15.设f（x）与g（x）是定义在同一区间[a，b]上的两个函数，若函数h（x）=f（x）-g（x）在[a，b]上有两个不同的零点，则称f（x）与g（x）在[a，b]上是“关联函数”．若与在[0，3]上是“关联函数”，则实数m的取值范围是______．
三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题15分)
在二项式的展开式中，所有项的二项式系数和等于512.
（1）求展开式中二项式系数最大的项；
（2）求展开式中的常数项.
17.(本小题15分)
科技进步催生了大批智慧养老科技产品.在某养老服务中心，室内AI、5G、物联网等智能设备，精准对接老年人多样化健康养老需求.该中心配备有多台AI摄像机，通过智能分析，辅助发现老人异常行为状态，产生预警信息并实时推送至护理站，及时对老人进行救助.为防止老人摔倒，在房间内还铺设有智能地板，一旦出现特殊情况，地板就会立即报警.在该中心所在地区随机抽取200名70岁以上的老人进行问卷调查，得到如下列联表：
智能设备 摔倒 合计
发生 未发生
使用 8 m 100
未使用 n 68
合计 200
（1）求m,n的值，并依据小概率值α=0.001的独立性检验，分析使用智能设备是否能有效预防摔倒的发生？
（2）在参与问卷调查发生摔倒的老人中，按是否使用智能设备进行分层，采用样本量比例分配的分层随机抽样方法，从样本中抽取5人作进一步调查，再从这5人中随机抽取2人进行面谈，记这2人中未使用智能设备的人数为X，求X的数学期望及方差.
附：，其中n=a+b+c+d.
α 0.1 0.01 0.001
xα 2.706 6.635 10.828
18.(本小题15分)
已知：函数f（x）=ax2lnx+bx2-c（x＞0）在x=1处取得极值-3-c,其中a,b,c为常数.
（1）试确定a,b的值；
（2）讨论函数f（x）的单调区间；
（3）若对任意x＞0，不等式f（x）≥-2c2恒成立，求c的取值范围.
19.(本小题15分)
某公司对其开发的AI软件进行测试，拟定让AI软件随机从指定题库中回答几道语文和数学问题，题库中语文与数学问题题数比例为，现经过测试得到测试数据，AI软件答对语文问题的概率为，AI软件答对数学问题的概率为.
（1）若从该指定题库中随机选取1道题让AI软件回答，求AI软件回答正确的概率；
（2）若从该指定题库中随机选取4道题让AI软件回答，且4道问题是否答对相互独立，设X表示AI软件回答正确的题数，求X的分布列与期望.
20.(本小题15分)
用f′（x）表示函数f（x）的导函数，若对f（x）定义域内任意不相等的两个数x1，x2，都有成立，则称函数f（x）为A函数；若对f（x）定义域内任意不相等的两个数x1，x2，都有不等式（或都有不等式）成立，则称函数f（x）为B函数.
（1）证明：若f（x）=x2，则f（x）为A函数；
（2）若f（x）=ex（e为自然对数的底数），问f（x）是A函数还是B函数？证明你的结论.
（3）若有两个不同的零点x1，x2.
（i）求实数a的取值范围；
（ii）证明x1x2＜1.
1.【答案】D
2.【答案】A
3.【答案】D
4.【答案】A
5.【答案】B
6.【答案】B
7.【答案】A
8.【答案】D
9.【答案】C
10.【答案】15
11.【答案】16
12.【答案】0.94
13.【答案】

14.【答案】2．
15.【答案】[，）
16.【答案】
17.【答案】m=92，n=32，认为使用智能设备能有效预防摔倒的发生 X的期望；X的方差0.24
18.【答案】a=6，b=-3 f（x）的单调递减区间为（0，1），而f（x）的单调递增区间为（1，+∞）
19.【答案】
X 0 1 2 3 4
P

20.【答案】由f（x）=x2，得f′（x）=2x，
因为，
又，
所以成立，
所以f（x）=x2为A函数 是B函数，因为f′（x）=f（x）=ex.要证明，即证．
不妨设x1＞x2，只需证，
令，则需证ex-e-x＞2x．
考虑函数g（x）=（ex-e-x）-2x（x＞0），
，
则函数g（x）为（0，+∞）上的增函数，
当x＞0时，g（x）＞g（0）=0，即ex-e-x＞2x
所以函数f（x）=ex是B函数 （i）（e+1，+∞）（ii）不妨设0＜x1＜1＜x2，要证x1x2＜1，即证，
因为g（x）在（0，1）上单调递减，所以只需证，
又因为g（x1）=g（x2）=0，所以只需证，
即证，令，
对G（x）求导，得，
令，x＞1，
对h（x）求导得，
所以h（x）在（1，+∞）上单调递增，
h（x）＞h（1）=2e-2＞0，故G′（x）＞0．
故G（x）在（1，+∞）上单调递增，G（x）＞G（1）=0，
即，所以，所以，
即x1x2＜1
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