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2025-2026学年四川省遂宁市大英中学高一（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.设复数z满足：（1+i）z=2-i，则z的虚部为（　　）
A. i B. C. -i D. -
2.在平行四边形ABCD中，点E满足，则=（　　）
A. B. C. D.
3.已知某社区共有居民480人，其中老年人200人，中年人200人，青少年80人，若按年龄进行分层随机抽样，共抽取36人作为代表，则中年人比青少年多（　　）
A. 6人 B. 9人 C. 12人 D. 18人
4.已知向量，，在方向上的投影向量为，则m=（　　）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
5.已知向量，满足||=2，||=3， （-）=-1，则|2-|=（　　）
A. 5 B. C. 6 D. 8
6.已知平面向量，，若，则=（　　）
A. B. C. D.
7.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a,b,c,若，则△ABC的形状为（　　）
A. 等腰三角形 B. 锐角三角形 C. 直角三角形 D. 钝角三角形
8.在锐角△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a,b,c,且a=3，，则b的取值范围是（　　）
A. （0，6） B. C. D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.已知向量=（1，-3），=（2，-1），=（m+1，m-2）．若点A，B，C能构成三角形，则实数m可以是（　　）
A. -2 B. C. 1 D. -1
10.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c,则下列结论错误的是（　　）
A. 若a2+c2-b2＞0，则△ABC为锐角三角形
B. 若A＞B，则sinA＞sinB
C. 若sin2A=sin2B，则△ABC为等腰三角形
D. 若，则此三角形有2解
11.在△ABC中，角A，B，C所对的边依次为a,b,c,已知sinA：sinB：sinC=2：3：4，则下列结论中正确的是（　　）
A. （a+b）：（b+c）：（c+a）=5：6：7
B. △ABC为钝角三角形
C. 若△ABC的外接圆半径是R，内切圆半径为r,则5R=16r
D. 若a+b+c=18，则△ABC的面积是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知复数z满足，则复数在复平面对应的点在第 象限.
13.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a,b,c,已知a=3，b=1，，则边AB上的高为 .
14.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a,b,c,已知3sinA=2sinBcosC，则角A的最大值是 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知平面向量，.
（1）求的值；
（2）求与夹角的余弦值.
16.(本小题15分)
如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，，BC=2AB=2AD=2．
（1）若，求λ的值；
（2）若λ=，求与的夹角θ的余弦值．
17.(本小题15分)
在△ABC中，acosC+ccosA=bcosB.
（Ⅰ）求∠B；
（Ⅱ）若a=12，D为BC边的中点，且AD=3，求b的值.
18.(本小题17分)
如图所示，A，B是海面上位于东西方向的两个观测点，AB=5（3+）海里，D点位于A观测点北偏东45°，且B观测点北偏西60°的位置，C点位于B观测点南偏西60°，且BC=20海里.现D点有一艘轮船发出求救信号，C点处的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/时.求；
（1）DB的距离；
（2）该救援船到达D点所需要的时间.
19.(本小题17分)
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c,D为AB的中点，且a（sinA-sinB）=（c-b）（sinB+sinC），c=，求：
（1）角C和△ABC周长的最大值；
（2）△ABC面积的取值范围和cosA+cosB的取值范围
1.【答案】D
2.【答案】B
3.【答案】B
4.【答案】B
5.【答案】B
6.【答案】C
7.【答案】A
8.【答案】D
9.【答案】ABD
10.【答案】AC
11.【答案】BC
12.【答案】四
13.【答案】1
14.【答案】
15.【答案】解：（1），
故；
（2）设与夹角为θ，
，
故与夹角的余弦值为．
16.【答案】解：（1）分别以的方向为x轴，y轴的正方向，
点B为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，
∴A（0，1），C（2，0），D（1，1），E（λ，1），
∴，，
∵，
∴，
∴．
（2）当λ=时，，，
∵，
∴．

17.【答案】解：（Ⅰ）在△ABC中由正弦定理，
∴，
又∵sin（A+C）=sinB，
∴，
∵sinB≠0，
∴，
∵B∈（0，π），
∴；
（Ⅱ）在△ABD中由余弦定理得，
，
解得，
在△ABC中余弦定理得b2=a2+c2-2accosB，
解得b=．
18.【答案】海里；
1小时．
19.【答案】，△ABC周长的最大值为 △ABC面积的取值范围为，cosA+cosB的取值范围是
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