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2025-2026学年上海市宝山区罗店中学高一（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共4小题，共12分。
1.若复数（a2-3a+2）+（a-1）i是纯虚数，则实数a的值为（　　）
A. 1 B. 2 C. 1或2 D. -1
2.已知向量，则下列能使成立的一组向量是（　　）
A. B.
C. D.
3.我国扇文化历史悠久，其中折扇扇面是由两个半径不同的同心圆，按照一定的圆心角被剪而成，如图所示，该扇面的圆心角为，长为，长为10π，则扇面ABCD的面积为（　　）
A. B. C. D.
4.在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，若S△ABC=（其中S△ABC表示△ABC的面积），且（+） =0，则△ABC的形状是（　　）
A. 有一个角是30°的等腰三角形 B. 等边三角形
C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形
二、填空题：本题共12小题，每小题3分，共36分。
5.函数y=sin（x+φ），φ∈[0，π]是偶函数，则实数φ= .
6.在复数范围内分解因式：x2-6x+10= .
7.已知α为第三象限角，sinα=-，则tan（π-α）= ______.
8.若，则在上的数量投影为 ．
9.若α，β为锐角，且，则cos（α+β）=______．
10.设向量、满足，则= ．
11.已知A、B、C三点共线（该直线不过原点O），且，则的最小值为 .
12.已知m是实数，i是虚数单位，若复数z=的实部和虚部互为相反数，则|z|=______．
13.已知关于x的实系数一元二次方程x2+（1-k）x+k2-1=0有两个虚根x1，x2，且|x1|+|x2|=2，则满足条件的实数k的值为______.
14.若 i是虚数单位，复数z满足|z|=2，则|z+4-3 i|的取值范围是 ．
15.定义在区间[-2π，2π]上的函数y=sin|x|与y=cos2x的图象的交点个数为 .
16.“燕山雪花大如席”，北京冬奥会开幕式将传统诗歌文化和现代奥林匹克运动联系在一起，天衣无缝，让人们再次领略了中国悠久的历史积淀和优秀传统文化恒久不息的魅力．顺次连接图中各顶点可近似得到正六边ABCDEF．若正六边形的边长为1，点P是其内部一点（包含边界），则的取值范围为 ．
三、解答题：本题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题12分)
已知O为坐标原点，．
（1）若A、B、C三点共线，求x的值；
（2）若与夹角为钝角，求x的取值范围．
18.(本小题14分)
关于x的方程x2+mx+13=0（m∈R）的两个根为x1，x2．
（1）若x1=-3+2i,求实数m的值；
（3）若|x1-x2|=3，求实数m的值．
19.(本小题15分)
已知a，b∈R，i是虚数单位，z1=a-i，z2=2+bi在复平面上对应的点分别为A，B.
（1）若z12+z22是实数，求||的最小值；
（2）设O为坐标原点，记，若，且点C在y轴上，求与的夹角.
20.(本小题17分)
已知函数.
（1）求函数f（x）的振幅、频率、初始相位，以及在x∈[0，2π]上的增区间；
（2）将函数f（x）的图象向左平移个单位，得到函数g（x）的图象，函数h（x）=f（x）+g（x），当，且x1≠x2时，有h（x1）=h（x2），求h（x1+x2）的值.
21.(本小题14分)
设复平面中向量对应的复数为zP，给定某个非零实数z,称向量为的z-向量.
（1）已知，求；
（2）设的z-向量分别为，已知S△OV′E=1，S△OV′F=2，求的坐标（结果用z表示）；
（3）若对于满足S△OAB=1的所有能取到的最小值为8，求实数z的值.
1.【答案】B
2.【答案】C
3.【答案】A
4.【答案】D
5.【答案】
6.【答案】（x-3+i）（x-3-i）
7.【答案】-
8.【答案】6
9.【答案】
10.【答案】2
11.【答案】8
12.【答案】2
13.【答案】
14.【答案】[3，7]
15.【答案】6
16.【答案】[0，3]
17.【答案】解：（1），
∵A、B、C三点共线，
∴与共线，
则2×1+（x-4）=0，解得x=2．
（2）由（1）知，
∵与夹角为钝角，可得，解得，
若与平行，则2×3-（-1）x=0，解得x=-6，
若与不平行，则x≠-6，
∴x的取值范围是．
18.【答案】解：因为关于x的方程x2+mx+13=0（m∈R）的两个根为x1，x2．
所以由韦达定理可得x1+x2=-m,x1x2=13，
（1）由x1=-3+2i得方程有一对共轭复数根，所以x2=-3-2i,
所以x1+x2=-3+2i+（-3-2i）=-6=-m,所以m=6；
（2）1°方程有两实数根，则，解得；
2°方程有两虚根，则，解得，
所以实数m的值为或．
19.【答案】解：（1）因为z1=a-i，z2=2+bi在复平面上对应的点分别为A，B，
所以A（a，-1），B（2，b），
因为z12+z22=a2-b2+3+（4b-2a）i是实数，
则a=2b，
所以=，
故||的最小值为；
（2）设C（0，y），
因为，则（0，y）=（a，-1）+（2，b）=（a+2，b-1），
所以a+2=0，y=b-1，
则a=-2，
又，
所以，可得b=2a=-4，则y=-5，
所以，，
故=，
所以与的夹角为arccos．
20.【答案】解：（1）对于函数，它的振幅为A=1，频率为，初始相位，
令，解得，
令,得，令,得，
所以，在x∈[0，2π]上的增区间为和．
（2）将函数f（x）的图象向左平移个单位，得到函数g（x）=sin（x+）=cosx的图象，
函数h（x）=f（x）+g（x）=sin（x+）+cosx=sinx+cosx=sin（x+），
当，且x1≠x2时，有h（x1）=h（x2），
即 sin（x1+）=sin（x2+），即sin（x1+）=sin（x2+）．
，，
∴（x1+）+（x2+）=2×，∴x1+x2=，
故h（x1+x2）=sin（x1+x2+）=sin=sin=．
21.【答案】解：（1）∵，则zA=x0+y0i,
∴z zA=z（x0+y0i）=zx0+zy0i,
向量为的z-向量．
故．
（2）由（1）可得：，即，
故，
∵x＞0，y＞0，z≠0，则，
∴．
（3）设，
由（1）可得：，同理可得：，
则，
设与的夹角为θ∈（0，π），则sinθ∈（0，1]，
，则，
故，
当z＜0时，则，不符合题意，
当z＞0时，则，
当且仅当，即时等号成立，
即，
又∵sinθ∈（0，1]，则，当且仅当sinθ=1时等号成立，
即，当且仅当，且时等号成立，
对于满足S△OAB=1的所有能取到的最小值为8，
则4z=8，即z=2．
综上所述：实数z的值为2．
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