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2025-2026学年陕西省榆林市靖边县第一中学高一（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.已知i为虚数单位，若，则（　　）
A. -2 B. 2 C. -2i D. 2i
2.如图所示的几何体是由哪个平面图形旋转得到的（　　）
A. B. C. D.
3.已知A（1，1），B（-2，2），O是坐标原点，则+=（　　）
A. （-1，3） B. （3，-1） C. （1，1） D. （-2，2）
4.已知平面α，直线m，n满足m α，n α，则“m∥n”是“m∥α”的（　　）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
5.如图，正棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1=2AB，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为（　　）
A. B. C. D.
6.已知△ABC是面积为的等边三角形，且其顶点都在球O的球面上．若球O的表面积为16π，则O到平面ABC的距离为（　　）
A. B. C. 1 D.
7.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a,b,c,若ccosB+bcosC=asinA，△ABC的面积S=（b2+a2-c2），则B=（　　）
A. 90° B. 60° C. 45° D. 30°
8.设z∈C，且|z+1|-|z-i|=0，则|z+i|的最小值为（　　）
A. 0 B. 1 C. D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.已知向量，，，则下列说法正确的有（　　）
A. 若，则t=8 B. 若，则t=2
C. 若与的夹角为钝角，则t＜2 D. 在上的投影向量为
10.如图，在透明塑料制成的长方体容器ABCD-A1B1C1D1内灌进一些水，将容器底面一边BC固定于地面上，再将容器倾斜（不考虑水流出）.随着倾斜度的不同，下列说法正确的是（　　）
A. 水的部分始终呈棱柱形
B. 水面EFGH的面积不改变
C. 棱A1D1始终与水面EFGH平行
D. 当E∈AA1时，AE+BF是定值
11.如图，在三棱锥P-ABC中，AB=BC=，BA⊥BC，PA=PB=PC=2，O为AC的中点，点M是棱BC上的中点，则（　　）
A. PC与平面ABC所成的角为
B. 异面直线AB与PM所成角的正弦值为
C. 二面角P-AB-C的余弦值为
D. 点C到平面PAB的距离为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知△ABC利用斜二测画法画出的直观图为直角边长为2的等腰直角三角形，则△ABC的面积是______．
13.已知圆锥的顶点为S，母线SA、SB所成角的余弦值为，SA与圆锥底面所成角为45°，若△SAB的面积为，则该圆锥的侧面积为 ．
14.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c,若a=8，b=6，c=4，则中线AD的长为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
设复数z1=1-ai（a∈R），z2=3-4i.
（1）若z1+z2是实数，求z1 z2；
（2）若是纯虚数，求z1.
16.(本小题15分)
在锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c,且.
（1）求角A的大小；
（2）若b+c=13，a=7，求△ABC的面积.
17.(本小题15分)
如图，在菱形ABCD中，.

（1）若，求3x+2y的值；
（2）若||=6，∠BAD=60°，求.
18.(本小题17分)
在锐角△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，=（cosA，sinA），=（cosA，-sinA），向量，的夹角为．
（1）求角A；
（2）若a=，求△ABC周长的取值范围．
19.(本小题17分)
如图，直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，且.现以AD为一边向梯形外作正方形ADEF，然后沿边AD将正方形ADEF折叠，使ED⊥DC，M为ED的中点，如图2.
（1）求证：AM∥平面BEC；
（2）求证：平面BCD⊥平面BDE；
（3）求点D到平面BCE的距离.
1.【答案】B
2.【答案】A
3.【答案】D
4.【答案】A
5.【答案】D
6.【答案】C
7.【答案】D
8.【答案】C
9.【答案】BD
10.【答案】ACD
11.【答案】ACD
12.【答案】4
13.【答案】40π
14.【答案】
15.【答案】解：（1）由z1=1-ai,z2=3-4i,得z1+z2=4-（4+a）i,而z1+z2是实数，
于是4+a=0，解得a=-4，
所以z1 z2=（1+4i）（3-4i）=19+8i；
（2）依题意，是纯虚数，
因此，解得，
所以．
16.【答案】（1） （2）
17.【答案】解：（1）因为在菱形ABCD中，．
故=，
故，所以3x+2y=-1．
（2）显然，
所以=
=……①，
因为菱形ABCD，且||=6，∠BAD=60°，故，．
所以．
故①式==-9．
故=-9．
18.【答案】解：（1）∵=（cosA，sinA），=（cosA，-sinA），
∴由题知：||=||=1，
∵与的夹角为，
∴cos==cos2A-sin2A，即cos2A=-，
又∵0＜A＜，0＜2A＜π，
∴2A=，故A=．
（2）由正弦定理，得=1，
可得b=sinB，c=sinC，
又因为△ABC为锐角三角形，可得B∈（，），
可得b+c=sinB+sinC=sinB+sin（-B）=sinB+（cosB+sinB）=sinB+cosB=sin（B+），
由于B∈（，），可得B+∈（，），可得sin（B+）∈（，1]，
可得b+c=sin（B+）∈（，]，
可得△ABC周长a+b+c的取值范围为（，]．
19.【答案】取EC中点N，连接MN，BN，
在△EDC中，M，N分别为ED，EC的中点，
所以MN∥CD，且，
由已知AB∥CD，，
所以MN∥AB，且MN=AB，
所以四边形ABNM为平行四边形，
所以BN∥AM，
又因为BN 平面BEC，且AM 平面BEC，
所以AM∥平面BEC 在正方形ADEF中，ED⊥AD，
因为ED⊥DC，AD∩DC=D，AD，DC 平面ABCD，
所以ED⊥平面ABCD，
因为BC 平面ABCD，所以ED⊥BC，
又在直角梯形ABCD中，AB=AD=1，CD=2，故，∠BDC=45°，
由余弦定理BC2=BD2+DC2-2BD DCcos45°=2，所以，
在△BCD中，，CD=2，
所以BD2+BC2=CD2，故BC⊥BD，
因为ED∩BD=D，ED，BD 平面BDE，
所以BC⊥平面BDE，
又BC 平面BCD，
所以平面BCD⊥平面BDE
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