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2025-2026学年黑龙江省大庆市让胡路区铁人中学高二（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.在下列各图中，两个变量具有相关关系的是（　　）
A. ①② B. ①③ C. ②④ D. ②③
2.已知，则=（　　）
A. 28 B. 30 C. 56 D. 72
3.已知函数f（x）=x2+ex，则=（　　）
A. 2e B. 3e C. -2-e D. 2+e
4.现有4名同学，需要把他们全部安排到甲、乙两个场馆参加志愿服务，每人只能去1个场馆，且每个场馆至少安排1人，则不同的安排方法共有（　　）
A. 10种 B. 12种 C. 14种 D. 20种
5.甲袋中有3个白球和2个红球，乙袋中有2个白球和3个红球，丙袋中有5个白球和4个红球.先随机取一只袋，再从该袋中随机取一个球，该球为红球的概率是（　　）
A. B. C. D.
6.根据生物实验中的一组数据作出如图所示的散点图，并对这组数据进行回归分析后发现遗漏了点（7，18），增加点（7，18）后再次进行回归分析，得到的结果和原来相比（　　）
A. 决定系数R2变小 B. 残差平方和变小 C. 相关系数r变大 D. 不变
7.为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周，则下列选项中不正确的是（　　）
A. 课程“礼”“乐”“射”排在相邻的三周，共有144种排法
B. 课程“礼”排在“乐”的后面（可以不相邻），共有360种排法
C. 课程“射”“御”排在不相邻两周，共有240种排法
D. 课程“乐”不排在第一周，课程“御”不排在最后一周，共有504种排法
8.不等式ex-ln（x+1）+x-lna≥a（x+1）恒成立，则a的取值范围为（　　）
A. （0，1] B. （0，1） C. （0，e-1] D. （0，e-1）
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.抛掷一枚均匀的骰子两次，将两次朝上的点数分别记为随机变量X和Y，则下列说法正确的是（　　）
A. B.
C. D. E（X）=3
10.已知随机变量X N（μ，σ2），随机变量Y B（3，p），若P（X≤1）=0.5，E（X）=E（Y），D（X）=D（Y），则下列说法正确的是（　　）
A. μ=1 B. C. D. D（3Y）=6
11.某计算机程序每运行一次都随机出现一个四位二进制数A=a1a2a3a4（每一位上数字只能是0或1，例如出现“1010”），其中A的各位数字中ai（i=1，2，3，4）出现0的概率为，出现1的概率为，各个位数之间互相独立.记随机变量X=a1+a2+a3+a4，则当程序运行一次时，下列说法正确的有（　　）
A. B.
C. X的数学期望 D. 随机变量3X+1的方差D（3X+1）=8
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.的展开式中，常数项为 .（用数字作答）
13.已知函数，则“f（x）在（3，+∞）上单调递减”的充要条件是a∈ .（用区间作答）
14.红铃虫（Pectinophoragossypiella）是棉花的主要害虫之一，其产卵数与温度有关.现收集到一只红铃虫的产卵数y（个）和温度x（℃）的8组观测数据，制成图1所示的散点图.现用两种模型①y=ebx+a，②y=cx2+d分别进行拟合，由此得到相应的回归方程并进行残差分析，进一步得到图2所示的残差图.
根据收集到的数据，计算得到如下值：
25 2.9 646 168 422688 50.4 70308
表中zi=lnyi；；；；
（1）根据残差图，比较模型①、②的拟合效果，模型 比较合适？
（2）根据（1）中所选择的模型，求出y关于x的回归方程 .
附：对于一组数据（ω1，v1），（ω2，v2），…，（ωn，vn），其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
设函数f（x）=2x3+3ax2+3bx+8c在x=1及x=2时取得极值.
（1）求出a,b的值；
（2）若对于任意的x∈[0，3]，都有f（x）＞c2成立，求c的取值范围.
16.(本小题15分)
袋中有8个大小相同的球，其中有3个黄球、5个白球，从中随机地连续抽取2次，每次取1个球.
（1）若每次抽取后都放回，设取到黄球的个数为X，求P（X≥1）；
（2）若每次抽取后都不放回，设取到黄球的个数为Y，求Y的分布列和数学期望.
17.(本小题15分)
为了解某地区电动车的销售情况，该地区经济委员会对全区电动车销量展开调查.委员会调查了该区100位私家车主性别与购车种类的有关数据（每位车主仅购买一辆私家车），得到下表：
非电动车 电动车 总计
男性
女性
总计 100
已知调查对象中男性与女性人数相同；在男性中，购买非电动车的人数是购买电动车人数的1.5倍；在购买非电动车的车主中，仅有三分之一是女性.
（1）试补全表格，并判断在犯错误的概率不超过0.5%的情况下，能否认为购买电动车与性别有关？
（2）从该地区私家车主中随机选择一人，A表示事件“选到的车主是男性”，B表示事件“选到的车主购买了非电动车”，查阅资料可知，与的比值可以在一定程度上作为性别对购买私家车倾向的一种度量，将上述比值记作R
（i）证明：
（ii）将调查数据中的各项频率视作概率，写出P（A|B）和的估计值，并给出R的估计值.
参考公式与数据：
P（K2≥k0） 0.10 0.05 0.025 0.01 0.005 0.001
k0 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
，其中n=a+b+c+d
18.(本小题17分)
已知函，a∈R.
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）当a=-2时，证明：xf′（x）＞f（x）恒成立；
（3）当a＞0时，恒成立，求实数a的取值范围.
19.(本小题17分)
设n为正整数，C1，C2，…Cn为n枚质地不均匀的硬币.投掷硬币Ck（k=1，2，…，n），设正面朝上的概率为pk，反面朝上的概率为1-pk.同时投出n枚硬币，当正面朝上的硬币数为奇数时，即为游戏成功.
（1）当n=3，时，求游戏成功的概率；
（2）当时，设游戏成功的概率为，求当n≥2时，Qn-1与Qn的递推关系，并证明是等比数列；
（3）设n=3m（m∈N*），对于k=1，2，…，3m,pk的取值如下：
设此时游戏成功的概率为Q3m，求证：.
1.【答案】D
2.【答案】C
3.【答案】C
4.【答案】C
5.【答案】C
6.【答案】A
7.【答案】C
8.【答案】A
9.【答案】AC
10.【答案】ACD
11.【答案】BCD
12.【答案】84
13.【答案】（-∞，5]
14.【答案】①

15.【答案】a=-3，b=4 （0，8）
16.【答案】；

17.【答案】
非电动车 电动车 总计
男性 30 20 50
女性 15 35 50
总计 45 55 100
购买电动车与性别有关 （i）因为，
又因为，
所以，证毕；（ii），，3.5
18.【答案】当a≤0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增；当a＞0时，f（x）在（0，a）上单调递减，在（a，+∞）上单调递增 当a=-2时，，，
，
令（x＞0），则，
当x＞2时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，
当0＜x＜2时，g′（x）＜0，g（x）单调递减；故g（x）在x=2处取得最小值，，
因此，即xf′（x）-f（x）＞0，
所以xf′（x）＞f（x） （0，1]
19.【答案】；
（n≥2且n∈N*），证明见解析；
证明见解析．
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