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5.1　平面向量的概念及线性运算
一、单项选择题(每小题5分，共30分)
1.化简+--等于(　　)
A. B.0 C. D.
2.(2025·南通模拟)在梯形ABCD中，AB∥CD，且AB=2CD，点M是BC的中点，则等于(　　)
A.- B.+
C.+ D.+
3.(2026·沈阳模拟)已知a，b为两个不共线的向量，=a+b，=2a-b，=λa+μb(λ，μ∈R)，若A，B，C三点共线，则2λ+μ等于(　　)
A.0 B.1 C.2 D.3
4.已知点P为△OAB所在平面内一点，且=+，则(　　)
A.点P在线段AB上
B.点P在线段AB的延长线上
C.点P在线段AB的反向延长线上
D.点P在射线AB上
5.(2025·焦作模拟)已知△ABC所在平面内一点D满足++=0，则△ABC的面积是△ABD面积的(　　)
A.5倍 B.4倍 C.3倍 D.2倍
6.已知a是单位向量，向量b满足|a-b|=3，则|b|的最大值为(　　)
A.2 B.4 C.3 D.1
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
7.下列说法正确的是(　　)
A.若a与b是非零向量，则“a与b同向”是“a=b”的必要不充分条件
B.若与共线，则A，B，C三点在同一条直线上
C.a与b是非零向量，若a与b同向，则a与-b反向
D.设λ，μ为实数，若λa=μb，则a与b共线
8.(2025·沈阳模拟)△ABC的重心为点G，点O，P是△ABC所在平面内两个不同的点，满足=++，则(　　)
A.O，P，G三点共线
B.=2
C.2=++
D.点P在△ABC的内部
三、填空题(每小题5分，共10分)
9.向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示.若向量λa+b与c共线，则实数λ=　　　　.
10.(2025·北京模拟)已知平面上不共线的四点O，A，B，C，若-3+2=0，则=　　　.
四、解答题(共27分)
11.(13分)已知a，b不共线，=a，=b，=c，=d，=e，设t∈R，如果3a=c，2b=d，e=t(a+b)，是否存在实数t，使得C，D，E三点在同一条直线上？若存在，求出实数t的值，若不存在，请说明理由.
12.(14分)如图所示，在 ABCD中，=，=，=a，=b.
(1)试用向量a，b来表示，；(6分)
(2)AM交DN于点O，若=λ，求实数λ的值.(8分)
[13题6分，14题5分，共11分]
13.(多选)已知P是边长为1的正六边形ABCDEF内一点(含边界)，且=+λ，λ∈R，则下列说法正确的是(　　)
A.△PCD的面积为定值
B. λ∈R，使得||>||
C.∠CPD的取值范围是
D.||的取值范围是[1，]
14.已知△ABC为边长为2的等边三角形，动点P在以BC为直径的半圆上，半圆与△ABC在BC的异侧.若=λ+μ(λ，μ∈R)，则2λ+μ的取值范围是　　　　　　　.
5.1　平面向量的概念及线性运算
一、单项选择题(每小题5分，共30分)
1.化简+--等于(　　)
A. B.0 C. D.
答案　B
解析　+--=-(+)=-=0.
2.(2025·南通模拟)在梯形ABCD中，AB∥CD，且AB=2CD，点M是BC的中点，则等于(　　)
A.- B.+
C.+ D.+
答案　D
解析　依题意可得=+=++)
=++=+.
3.(2026·沈阳模拟)已知a，b为两个不共线的向量，=a+b，=2a-b，=λa+μb(λ，μ∈R)，若A，B，C三点共线，则2λ+μ等于(　　)
A.0 B.1 C.2 D.3
答案　D
解析　由=a+b，=2a-b，=λa+μb，则=-=a-2b，
=-=(λ-1)a+(μ-1)b，
因为A，B，C三点共线，
设=t(t∈R)，
则(λ-1)a+(μ-1)b=ta-2tb，
所以即
则2λ+μ=3.
4.已知点P为△OAB所在平面内一点，且=+，则(　　)
A.点P在线段AB上
B.点P在线段AB的延长线上
C.点P在线段AB的反向延长线上
D.点P在射线AB上
答案　D
解析　由=+，得-=，所以=·，所以点P在射线AB上.
5.(2025·焦作模拟)已知△ABC所在平面内一点D满足++=0，则△ABC的面积是△ABD面积的(　　)
A.5倍 B.4倍 C.3倍 D.2倍
答案　A
解析　设AB的中点为M，
因为++=0，
所以=2(+)，
所以=4，
所以点D是线段CM上靠近点M的五等分点，
所以==5，
所以△ABC的面积是△ABD面积的5倍.
6.已知a是单位向量，向量b满足|a-b|=3，则|b|的最大值为(　　)
A.2 B.4 C.3 D.1
答案　B
解析　方法一　设=a，=b，因为|a-b|=3，
即|-|=||=3，
即||=3，所以点B在以A为圆心，3为半径的圆上，
又a是单位向量，则||=1，
故||的最大值为||+||=1+3=4，即|b|的最大值为4.
方法二　因为b=a-(a-b)，
所以|b|≤|a|+|a-b|=1+3=4，
所以|b|的最大值为4.
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
7.下列说法正确的是(　　)
A.若a与b是非零向量，则“a与b同向”是“a=b”的必要不充分条件
B.若与共线，则A，B，C三点在同一条直线上
C.a与b是非零向量，若a与b同向，则a与-b反向
D.设λ，μ为实数，若λa=μb，则a与b共线
答案　ABC
解析　根据向量的有关概念可知A，B，C正确，对于D，当λ=μ=0时，a与b不一定共线，故D错误.
8.(2025·沈阳模拟)△ABC的重心为点G，点O，P是△ABC所在平面内两个不同的点，满足=++，则(　　)
A.O，P，G三点共线
B.=2
C.2=++
D.点P在△ABC的内部
答案　AC
解析　=++=+++++
=3+++，
因为点G为△ABC的重心，
所以++=0，所以=3，
所以O，P，G三点共线，故A正确，B错误；
++=+++++=(++)+3，
因为=++，
所以(++)+3=-+3=2，即2=++，故C正确；
因为=3，
所以点P的位置随着点O位置的变化而变化，故点P不一定在△ABC的内部，故D错误.
三、填空题(每小题5分，共10分)
9.向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示.若向量λa+b与c共线，则实数λ=　　　　.
答案　2
解析　由图可知，2a+b=c，
因为向量λa+b与c共线，所以根据共线向量基本定理可设c=μ(λa+b)(μ∈R)，
即c=λμa+μb，则2a+b=λμa+μb，
所以解得
10.(2025·北京模拟)已知平面上不共线的四点O，A，B，C，若-3+2=0，则=　　　.
答案　
解析　由-3+2=0，得-=2(-)，即=2，
所以=+=，
所以||=||，即=.
四、解答题(共27分)
11.(13分)已知a，b不共线，=a，=b，=c，=d，=e，设t∈R，如果3a=c，2b=d，e=t(a+b)，是否存在实数t，使得C，D，E三点在同一条直线上？若存在，求出实数t的值，若不存在，请说明理由.
解　存在.由题设知，=d-c=2b-3a，
=e-c=(t-3)a+tb，
又a，b不共线，则≠0，
C，D，E三点在同一条直线上的充要条件是存在实数k，使得=k，
即(t-3)a+tb=-3ka+2kb，
整理得(t-3+3k)a=(2k-t)b.
因为a，b不共线，
所以解得t=.
故存在实数t=，使得C，D，E三点在同一条直线上.
12.(14分)如图所示，在 ABCD中，=，=，=a，=b.
(1)试用向量a，b来表示，；(6分)
(2)AM交DN于点O，若=λ，求实数λ的值.(8分)
解　(1)因为=-，=，
所以=-=a-b.
因为=+，=，
所以=+=a+b.
(2)因为D，O，N三点共线，
所以存在实数k，使得=k=ka-kb，
所以=+
=b+ka-kb=ka+(1-k)b， ①
因为A，O，M三点共线，所以存在实数m，
使得=m=ma+mb， ②
由①②得解得m=，
所以=，=，即λ=.
[13题6分，14题5分，共11分]
13.(多选)已知P是边长为1的正六边形ABCDEF内一点(含边界)，且=+λ，λ∈R，则下列说法正确的是(　　)
A.△PCD的面积为定值
B. λ∈R，使得||>||
C.∠CPD的取值范围是
D.||的取值范围是[1，]
答案　AC
解析　对于A，由=+λ，λ∈R可得-=λ，即=λ，可得∥，因此，点P在正六边形ABCDEF的对角线BE上，
所以点P到CD的距离为定值，所以△PCD的面积为定值，故A正确；
对于B，因为正六边形ABCDEF关于对角线BE对称，故||=||，故B错误；
对于C，根据图形的对称性，当点P为BE的中点时，∠CPD取得最大值；当点P与B或E重合时，∠CPD取得最小值，即∠CPD的取值范围是，故C正确；
对于D，因为正六边形边长为1，所以平行线BE，CD的距离d=，又当PC⊥BE时，||有最小值，故D错误.
14.已知△ABC为边长为2的等边三角形，动点P在以BC为直径的半圆上，半圆与△ABC在BC的异侧.若=λ+μ(λ，μ∈R)，则2λ+μ的取值范围是　　　　　　　.
答案　
解析　如图，取AB的中点D，连接CD，则=λ+μ=2λ+μ，
显然，当P与C重合时，2λ+μ取得最小值1.
将CD平行移动至与半圆相切处，
当P为切点时，2λ+μ取得最大值，
设半圆的圆心为O，连接PO并延长交CD于点G，易知OG=BD=.
易知=2，AE=EF，则=，
所以由等和线定理知2λ+μ的最大值为.
故2λ+μ的取值范围是.

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