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5.2　平面向量基本定理及坐标表示
一、单项选择题(每小题5分，共30分)
1.已知a=(5，-2)，b=(-4，-3)，若a-2b+3c=0，则c等于(　　)
A. B.
C. D.
2.(2026·重庆模拟)已知平面向量a=(1，k+1)，b=(2k-1，2k2)，若a∥b，则k等于(　　)
A.-1 B.1 C.2 D.3
3.已知向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，以a，b为基底，则c可表示为(　　).
A.c=-2a+3b
B.c=-3a+2b
C.c=3a-2b
D.c=2a+3b
4.(2025·齐鲁名校联考)在△ABC中，AB=2，AC=3，=，=2.若+=λ+μ(λ，μ∈R)，则λ+μ的值为(　　)
A. B. C. D.
5.在△ABC中，点M是BC的中点，点N在边AC上，且AN=2NC，AM与BN交于点P，若AM=5.5，则AP的长是(　　)
A.3.8 B.4 C.4.2 D.4.4
6.如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=1，以AC为直径的半圆上有一点M，=λ+λ，则实数λ等于(　　)
A. B.
C. D.
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
7.下列说法正确的是(　　)
A.向量a=(-1，3)，b=(2，4)可以作为平面向量的一个基底
B.已知点A(1，5)，B(4，-7)，点P是线段AB的三等分点，则点P的坐标可以为
C.若D为△ABC的边AB的中点，则=2-
D.若向量=(1，6)，=(1，-1)，=(m，m+1)，且A，C，D三点共线，则m=
8.(2025·娄底模拟)在平面直角坐标系中，O为坐标原点，=(5，-3)，=(2，3)，点P在直线AB上，且||=||，则点P的坐标可能为(　　)
A.(8，-9) B.(4，-1)
C. D.(5，-6)
三、填空题(每小题5分，共10分)
9.已知向量=(3，4)，=(6，-3)，=(5-m，-3-m)，若点A，B，C能构成三角形，则实数m应满足的条件是　　　　　　　　　　.
10.(2025·新余模拟)已知平面直角坐标系Oxy中，A(-2，-2)，B(1，2)，=λ+(3-λ)，若∥，则点P的坐标为　　　　　　　.
四、解答题(共28分)
11.(13分)平面内给定三个向量a=(3，2)，b=(-1，2)，c=(4，1).
(1)若(a+kc)∥(2b-a)，求实数k；(6分)
(2)若d满足(d-c)∥(a+b)，且|d-c|=，求d的坐标.(7分)
12.(15分)如图所示，已知矩形ABCD中，AB=2，AD=1，=，=，AC与MN相交于点E.
(1)若=λ+μ，求实数λ和μ的值；(7分)
(2)用向量，表示.(8分)
[每小题5分，共10分]
13.我国数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”.它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示.在“赵爽弦图”中，若=λ，=+，则实数λ等于(　　)
A.2 B.3 C.4 D.5
14.(2025·昆明模拟)已知{e1，e2}是平面α内的一个基底，O为α内的定点.对于α内任意一点P，若=xe1+ye2(x，y∈R)，则称有序实数对(x，y)为点P的广义坐标.若点A，B的广义坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则下列命题正确的是(　　)
A.点M(1，2)关于点O的对称点不一定为M'(-1，-2)
B.A，B两点间的距离为
C.若向量平行于向量，则x1y2-x2y1的值不一定为0
D.若线段AB的中点为C，则点C的广义坐标为
5.2　平面向量基本定理及坐标表示
一、单项选择题(每小题5分，共30分)
1.已知a=(5，-2)，b=(-4，-3)，若a-2b+3c=0，则c等于(　　)
A. B.
C. D.
答案　D
解析　∵a-2b+3c=0，
∴c=-(a-2b).
∵a-2b=(5，-2)-(-8，-6)=(13，4)，
∴c=-(a-2b)=.
2.(2026·重庆模拟)已知平面向量a=(1，k+1)，b=(2k-1，2k2)，若a∥b，则k等于(　　)
A.-1 B.1 C.2 D.3
答案　B
解析　根据题意，平面向量a=(1，k+1)，b=(2k-1，2k2)，且a∥b，
所以1×2k2=(k+1)(2k-1)，解得k=1.
3.已知向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，以a，b为基底，则c可表示为(　　).
A.c=-2a+3b
B.c=-3a+2b
C.c=3a-2b
D.c=2a+3b
答案　C
解析　建立如图所示的平面直角坐标系，O(0，0)，A(1，0)，B(2，1)，C(0，4)，D(7，1)，则a==(1，1)，b==(-2，3)，c==(7，-3)，
设c=xa+yb，则解得故c=3a-2b.
4.(2025·齐鲁名校联考)在△ABC中，AB=2，AC=3，=，=2.若+=λ+μ(λ，μ∈R)，则λ+μ的值为(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　因为=，所以D为BC的中点，所以=+).
又=2，所以=，所以=+=-，
所以+=+)+-=-，
所以λ=，μ=-，所以λ+μ=.
5.在△ABC中，点M是BC的中点，点N在边AC上，且AN=2NC，AM与BN交于点P，若AM=5.5，则AP的长是(　　)
A.3.8 B.4 C.4.2 D.4.4
答案　D
解析　方法一　设=e1，=e2，
则=+=-3e2-e1，
=+=2e1+e2，
因为点A，P，M和点B，P，N分别共线，
所以存在实数λ，μ，使=λ=-λe1-3λe2，=μ=2μe1+μe2，
所以=-=(λ+2μ)e1+(3λ+μ)e2，
又=+=2e1+3e2，
所以解得
所以=，
所以AP=AM=4.4.
方法二　设=λ，λ∈R，
因为M是BC的中点，AN=2NC，
则=+)=+，
=λ=λ+λ，
又B，P，N三点共线，所以λ+λ=1，
解得λ=，所以AP=AM=4.4.
6.如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=1，以AC为直径的半圆上有一点M，=λ+λ，则实数λ等于(　　)
A. B.
C. D.
答案　A
解析　以B为原点，BC，BA所在直线分别为x轴、y轴建立如图所示的平面直角坐标系.
则A(0，1)，C(1，0)，||=，
则以AC为直径的圆的圆心为AC的中点D.
则以AC为直径的圆的方程为
+=，
设M(x，y)，
则=(x，y)，=(1，0)，=(0，1)，
=λ+λ=(λ，λ)，
所以
由点M在圆+=上，
可得+=，
即4λ2-(1+)λ=0，
解得λ=或λ=0(舍去).
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
7.下列说法正确的是(　　)
A.向量a=(-1，3)，b=(2，4)可以作为平面向量的一个基底
B.已知点A(1，5)，B(4，-7)，点P是线段AB的三等分点，则点P的坐标可以为
C.若D为△ABC的边AB的中点，则=2-
D.若向量=(1，6)，=(1，-1)，=(m，m+1)，且A，C，D三点共线，则m=
答案　AC
解析　对于A，∵-1×4-3×2=-10≠0，∴a，b不共线，
即向量a=(-1，3)，b=(2，4)可以作为平面向量的一个基底，故A正确；
对于B，点P是线段AB的三等分点，设P(x，y)，
若=，即(x-1，y-5)=(3，-12)，解得x=2，y=1，∴P(2，1)；
若=，即(x-1，y-5)=(3，-12)，解得x=3，y=-3，∴P(3，-3)，
则点P的坐标不可能为，故B错误；
对于C，如图所示，
∵D为△ABC的边AB的中点，
∴+=2，
∴=2-，故C正确；
对于D，由A，C，D三点共线，得∥，
又=(2，5)，=(m，m+1)，得2(m+1)-5m=0，解得m=，故D错误.
8.(2025·娄底模拟)在平面直角坐标系中，O为坐标原点，=(5，-3)，=(2，3)，点P在直线AB上，且||=||，则点P的坐标可能为(　　)
A.(8，-9) B.(4，-1)
C. D.(5，-6)
答案　AB
解析　设P(x，y)，由题意得A(5，-3)，B(2，3)，且点P在直线AB上，故||=||可得以下两种情况：
①=2，
此时有(x-2，y-3)=2(5-x，-3-y)，
可得解得
②=-2，
此时有(x-2，y-3)=-2(5-x，-3-y)，
可得解得
综上所述，点P的坐标为(4，-1)或(8，-9).
三、填空题(每小题5分，共10分)
9.已知向量=(3，4)，=(6，-3)，=(5-m，-3-m)，若点A，B，C能构成三角形，则实数m应满足的条件是　　　　　　　　　　.
答案　m≠-
解析　因为=-=(3，-7)，
=-=(2-m，-7-m)，
又点A，B，C能构成三角形，
所以点A，B，C不共线，即与不共线，
所以3(-7-m)-(-7)(2-m)≠0，
解得m≠-.
10.(2025·新余模拟)已知平面直角坐标系Oxy中，A(-2，-2)，B(1，2)，=λ+(3-λ)，若∥，则点P的坐标为　　　　　　　.
答案　(0，2)
解析　=(-2λ，-2λ)+(3-λ，6-2λ)=(3-3λ，6-4λ)，
=-=(5-3λ，8-4λ)，
因为∥，所以2(5-3λ)=8-4λ λ=1，
故=(0，2)，所以点P的坐标为(0，2).
四、解答题(共28分)
11.(13分)平面内给定三个向量a=(3，2)，b=(-1，2)，c=(4，1).
(1)若(a+kc)∥(2b-a)，求实数k；(6分)
(2)若d满足(d-c)∥(a+b)，且|d-c|=，求d的坐标.(7分)
解　(1)a+kc=(3+4k，2+k)，2b-a=(-5，2)，
由题意得2×(3+4k)-(-5)×(2+k)=0，
解得k=-.
(2)设d=(x，y)，则d-c=(x-4，y-1)，
又a+b=(2，4)，(d-c)∥(a+b)，
|d-c|=，
∴
解得或
∴d的坐标为(3，-1)或(5，3).
12.(15分)如图所示，已知矩形ABCD中，AB=2，AD=1，=，=，AC与MN相交于点E.
(1)若=λ+μ，求实数λ和μ的值；(7分)
(2)用向量，表示.(8分)
解　(1)如图，以A点为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，则A(0，0)，D(0，1)，B(2，0)，M，N，
所以=，=(2，0)，=(0，1)，
所以==λ+μ=(2λ，μ)，
所以解得
(2)设=t，=m+n，t，m，n∈R，
因为=，=，
又C(2，1)，则=(2，1)，
所以=(2，1)=.
即解得
即=+，
所以=t=t+t，
又因为M，E，N三点共线，
所以t+t=1，则t=，
所以=+.
[每小题5分，共10分]
13.我国数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”.它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示.在“赵爽弦图”中，若=λ，=+，则实数λ等于(　　)
A.2 B.3 C.4 D.5
答案　B
解析　以点F为原点，BF，CF所在直线分别为x，y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，
设BF=m，EF=n，
则F(0，0)，A(-n，m)，B(-m，0)，C(0，n-m)，
=(m，0)，=(m，n-m)，=(m-n，m)，
所以=+
=，
所以解得m=4n，
又=λ，与同向，则λ>0，
所以λ====3.
14.(2025·昆明模拟)已知{e1，e2}是平面α内的一个基底，O为α内的定点.对于α内任意一点P，若=xe1+ye2(x，y∈R)，则称有序实数对(x，y)为点P的广义坐标.若点A，B的广义坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则下列命题正确的是(　　)
A.点M(1，2)关于点O的对称点不一定为M'(-1，-2)
B.A，B两点间的距离为
C.若向量平行于向量，则x1y2-x2y1的值不一定为0
D.若线段AB的中点为C，则点C的广义坐标为
答案　D
解析　对于A，=e1+2e2，设M(1，2)关于点O的对称点为M'(x，y)，则=-=-e1-2e2=xe1+ye2，因为e1，e2不共线，所以A错误；
对于B，因为=-=x2e1+y2e2-x1e1-y1e2=(x2-x1)e1+(y2-y1)e2，所以||==，
当向量e1，e2是相互垂直的单位向量时，A，B两点间的距离为，否则距离不为，B错误；
对于C，当与中至少一个是0时，x1y2-x2y1=0；当与都不为0时，设=λ(λ≠0)，有x1e1+y1e2=λx2e1+λy2e2，
即所以x1y2=x2y1，C错误；
对于D，=+)=(x1e1+y1e2+x2e1+y2e2)=e1+e2，所以线段AB中点C的广义坐标为，D正确.

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