资源简介

5.3　平面向量的数量积
一、单项选择题(每小题5分，共30分)
1.(2025·山西联考)已知向量a，b满足a=(1，-1)，|b|=2，且a与b的夹角为，则a·(a-b)等于(　　)
A.-1 B.0 C.1 D.
2.(2024·全国甲卷)设向量a=(x+1，x)，b=(x，2)，则(　　)
A.“x=-3”是“a⊥b”的必要条件
B.“x=-3”是“a∥b”的必要条件
C.“x=0”是“a⊥b”的充分条件
D.“x=-1+”是“a∥b”的充分条件
3.(2024·新课标全国Ⅱ)已知向量a，b满足|a|=1，|a+2b|=2，且(b-2a)⊥b，则|b|等于(　　)
A. B. C. D.1
4.长江流域内某地南北两岸平行，已知游船在静水中的航行速度v1的大小|v1|=10 km/h，水流的速度v2的大小|v2|=6 km/h，如图，设v1和v2所成的角为θ(0<θ<π)，若游船从A航行到正北方向上位于北岸的码头B处，则cos θ等于(　　)
A.- B.- C.- D.
5.(2025·武汉模拟)已知向量a=(1，0)，b=(0，1)，a·c=b·c=1，则向量a在向量c上的投影向量为(　　)
A. B.
C. D.
6.(2025·呼伦贝尔模拟)在△ABC中，AB⊥AC，=(-1)，·=6，则AC等于(　　)
A. B.6 C.2 D.3
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
7.已知向量a=(1，-2)，b=(1，3)，则下列结论正确的是(　　)
A.b在a上的投影向量是(1，-2)
B.|2a+b|=|b|
C.a与b的夹角为
D.(a+b)⊥a
8.(2025·泉州期末)已知向量a=(，1)，b=(cos θ，sin θ)，则下列命题正确的是(　　)
A.若a⊥b，则tan θ=
B.若b在a上的投影向量为-a，则向量a与b的夹角为
C.存在θ，使得|a+b|=|a|+|b|
D.a·b的最大值为
三、填空题(每小题5分，共10分)
9.(2025·天津检测)已知点A(-1，1)，B(1，2)，C(-2，-1)，D(3，4)，与方向相同的单位向量为e，若向量在方向上的投影向量为λe(λ∈R)，则实数λ=　　　　.
10.(2026·徐州模拟)已知AB是圆O的一条直径，且|AB|=4.C，D是圆O上的任意两点，|CD|=2，点P在线段CD上，则·的取值范围是　　　　　　.
四、解答题(共27分)
11.(13分)(2025·南京模拟)已知|a|=4，|b|=2，且a与b的夹角为.
(1)求|a+2b|；(6分)
(2)若向量(2a-λb)⊥(λa+3b)，求实数λ的值.(7分)
12.(14分)如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，=λ，BC=2AB=2AD=2.
(1)若⊥，求实数λ的值；(7分)
(2)若λ=，求与的夹角θ的余弦值.(7分)
[13题6分，14题5分，共11分]
13.(多选)如图，设Ox，Oy是平面内相交成60°角的两条数轴，e1，e2分别是与x轴，y轴正方向同向的单位向量，若向量=a=xe1+ye2，则把有序数对(x，y)叫做向量在坐标系xOy中的坐标.若在坐标系xOy中，a=(2，1)，b=(λ，5)，则下列结论正确的是(　　)
A.|a|=
B.当λ=-时，a⊥b
C.|a+b|min=3
D.当λ=-4时，a+b与a的夹角为
14.已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则·(+)的最小值是(　　)
A.-2 B.- C.- D.-1
5.3　平面向量的数量积
一、单项选择题(每小题5分，共30分)
1.(2025·山西联考)已知向量a，b满足a=(1，-1)，|b|=2，且a与b的夹角为，则a·(a-b)等于(　　)
A.-1 B.0 C.1 D.
答案　B
解析　因为|a|==，|b|=2，且a与b的夹角为，
故a·(a-b)=|a|2-|a||b|cos=()2-×2×=0.
2.(2024·全国甲卷)设向量a=(x+1，x)，b=(x，2)，则(　　)
A.“x=-3”是“a⊥b”的必要条件
B.“x=-3”是“a∥b”的必要条件
C.“x=0”是“a⊥b”的充分条件
D.“x=-1+”是“a∥b”的充分条件
答案　C
解析　对A，当a⊥b时，则a·b=0，
所以x(x+1)+2x=0，解得x=0或x=-3，
即必要性不成立，故A错误；
对C，当x=0时，a=(1，0)，b=(0，2)，
故a·b=0，所以a⊥b，
即充分性成立，故C正确；
对B，当a∥b时，2(x+1)=x2，解得x=1±，
即必要性不成立，故B错误；
对D，当x=-1+时，不满足2(x+1)=x2，
所以a∥b不成立，即充分性不成立，故D错误.
3.(2024·新课标全国Ⅱ)已知向量a，b满足|a|=1，|a+2b|=2，且(b-2a)⊥b，则|b|等于(　　)
A. B. C. D.1
答案　B
解析　因为(b-2a)⊥b，所以(b-2a)·b=0，
即b2=2a·b，
又因为|a|=1，|a+2b|=2，
所以1+4a·b+4b2=1+6b2=4，从而|b|=.
4.长江流域内某地南北两岸平行，已知游船在静水中的航行速度v1的大小|v1|=10 km/h，水流的速度v2的大小|v2|=6 km/h，如图，设v1和v2所成的角为θ(0<θ<π)，若游船从A航行到正北方向上位于北岸的码头B处，则cos θ等于(　　)
A.- B.- C.- D.
答案　B
解析　由题意知(v1+v2)·v2=0，
则v1·v2+=|v1||v2|·cos θ+
=60cos θ+36=0，
所以cos θ=-.
5.(2025·武汉模拟)已知向量a=(1，0)，b=(0，1)，a·c=b·c=1，则向量a在向量c上的投影向量为(　　)
A. B.
C. D.
答案　A
解析　设c=(x，y)，因为a=(1，0)，b=(0，1)，a·c=b·c=1，
所以解得
所以c=(1，1)，则向量a在向量c上的投影向量为·=·=.
6.(2025·呼伦贝尔模拟)在△ABC中，AB⊥AC，=(-1)，·=6，则AC等于(　　)
A. B.6 C.2 D.3
答案　A
解析　由AB⊥AC，得·=0，
由=-=(-1)，
得=.
由·=·(+)=·
=·=·(-)
==6，
所以||=，即AC=.
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
7.已知向量a=(1，-2)，b=(1，3)，则下列结论正确的是(　　)
A.b在a上的投影向量是(1，-2)
B.|2a+b|=|b|
C.a与b的夹角为
D.(a+b)⊥a
答案　BD
解析　因为|a|=，|b|=，a·b=1-6=-5，所以cos〈a，b〉==-，所以〈a，b〉=，故C错误；
所以b在a上的投影向量是|b|·cos〈a，b〉·=××=-a=(-1，2)，故A错误；
因为a=(1，-2)，b=(1，3)，所以2a+b=(3，-1)，所以|2a+b|===|b|，故B正确；
a+b=(2，1)，所以(a+b)·a=2-2=0，故D正确.
8.(2025·泉州期末)已知向量a=(，1)，b=(cos θ，sin θ)，则下列命题正确的是(　　)
A.若a⊥b，则tan θ=
B.若b在a上的投影向量为-a，则向量a与b的夹角为
C.存在θ，使得|a+b|=|a|+|b|
D.a·b的最大值为
答案　BCD
解析　因为向量a=(，1)，b=(cos θ，sin θ)，
对于A选项，若a⊥b，则a·b=cos θ+sin θ=0，可得sin θ=-cos θ，
故tan θ=-，A错误；
对于B选项，因为|a|=，|b|==1，b在a上的投影向量为|b|cos〈a，b〉=a=-a，所以cos〈a，b〉=-，
因为0≤〈a，b〉≤π，则〈a，b〉=，即向量a与b的夹角为，B正确；
对于C选项，若|a+b|=|a|+|b|，则a，b方向相同，所以解得
故当b=时，|a+b|=|a|+|b|，C正确；
对于D选项，a·b=sin θ+cos θ=sin(θ+φ)≤，
其中φ为锐角，且tan φ=，故a·b的最大值为，D正确.
三、填空题(每小题5分，共10分)
9.(2025·天津检测)已知点A(-1，1)，B(1，2)，C(-2，-1)，D(3，4)，与方向相同的单位向量为e，若向量在方向上的投影向量为λe(λ∈R)，则实数λ=　　　　.
答案　3
解析　由题意知=(2，1)，=(5，5)，
则·=15，||=，
向量在方向上的投影向量为·e，
所以λ===3.
10.(2026·徐州模拟)已知AB是圆O的一条直径，且|AB|=4.C，D是圆O上的任意两点，|CD|=2，点P在线段CD上，则·的取值范围是　　　　　　.
答案　[-1，0]
解析　如图，O为圆心，连接OP，则·=(+)·(+)=(+)·(-)=-=-4，
因为点P在线段CD上且|CD|=2，则圆心O到弦CD的中点的距离d==，这也是OP的最小值.
所以≤||≤2，所以3≤≤4，
则-1≤-4≤0，即·的取值范围是[-1，0].
四、解答题(共27分)
11.(13分)(2025·南京模拟)已知|a|=4，|b|=2，且a与b的夹角为.
(1)求|a+2b|；(6分)
(2)若向量(2a-λb)⊥(λa+3b)，求实数λ的值.(7分)
解　(1)a·b=|a||b|cos=4×2×=4，
∴(a+2b)2=a2+2a·2b+4b2
=16+4×4+16=48，
∴|a+2b|==4.
(2)∵(2a-λb)⊥(λa+3b)，
则(2a-λb)·(λa+3b)=0，
即2λa2+(6-λ2)a·b-3λb2=0，
∴32λ+4×(6-λ2)-12λ=0，即λ2-5λ-6=0，
∴λ=-1或λ=6.
12.(14分)如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，=λ，BC=2AB=2AD=2.
(1)若⊥，求实数λ的值；(7分)
(2)若λ=，求与的夹角θ的余弦值.(7分)
解　(1)分别以，的方向为x轴、y轴的正方向，点B为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，
所以B(0，0)，A(0，1)，C(2，0)，D(1，1)，E(λ，1)，
所以=(2，-1)，=(λ，1)，
因为⊥，
所以·=2λ-1=0，
所以λ=.
(2)当λ=时，||==，
||==，
因为·=2λ-1=，
所以cos θ===.
[13题6分，14题5分，共11分]
13.(多选)如图，设Ox，Oy是平面内相交成60°角的两条数轴，e1，e2分别是与x轴，y轴正方向同向的单位向量，若向量=a=xe1+ye2，则把有序数对(x，y)叫做向量在坐标系xOy中的坐标.若在坐标系xOy中，a=(2，1)，b=(λ，5)，则下列结论正确的是(　　)
A.|a|=
B.当λ=-时，a⊥b
C.|a+b|min=3
D.当λ=-4时，a+b与a的夹角为
答案　ACD
解析　依题意e1·e2=|e1||e2|cos 60°=1×1×=，
对于A，因为a=(2，1)，所以a=2e1+e2，
所以|a|==
==，故A正确；
对于B，当λ=-时，b=，
则b=-e1+5e2，
所以a·b=(2e1+e2)·
=-5+e1·e2+5
=-5×12+×+5×12=，
所以a与b不垂直，故B错误；
对于C，a+b=2e1+e2+λe1+5e2=(2+λ)e1+6e2，
所以|a+b|=
=
=，
所以当λ=-5时，|a+b|取得最小值，且|a+b|min=3，故C正确；
对于D，由C可知|a+b|=，
当λ=-4时，|a+b|=2，a+b=-2e1+6e2，
所以(a+b)·a=(-2e1+6e2)·(2e1+e2)=-4+10e1·e2+6=7，
设a+b与a的夹角为θ，
则cos θ===，
又θ∈[0，π]，所以θ=，即a+b与a的夹角为，故D正确.
14.已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则·(+)的最小值是(　　)
A.-2 B.- C.- D.-1
答案　B
解析　方法一　(极化恒等式)
取BC的中点D，连接AD，PD，取AD的中点E，连接PE，
由△ABC是边长为2的等边三角形，E为中线AD的中点，
得AE=AD=，
则·(+)=·2=2·=2(||2-||2)=2
≥2×=-，
当且仅当点P与点E重合时，等号成立，
所以=-.
方法二　建立如图所示的坐标系，以BC的中点D为坐标原点，
则A(0，)，B(-1，0)，C(1，0)，
设P(x，y)，则=(-x，-y)，
=(-1-x，-y)，=(1-x，-y)，
则·(+)=2x2-2y+2y2
=2，
所以当x=0，y=时，·(+)取得最小值2×=-.

展开更多......

收起↑