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福建厦门外国语学校2025-2026学年高一第二学期期中考试
数学试题
一、单选题
1．已知，，是三个不同的平面，m，n，l是三条不同的直线，下列命题中正确的是（ ）
A．若，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，，则
2．如图，在长方体中，，点分别为的中点，则异面直线和所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
3．已知复数，则（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在长方体中，，点E，F分别为BC，的中点，点P在矩形内运动（包括边界），若平面AEF，则动点P的轨迹长度为（ ）

A． B． C． D．
5．在中，已知，则一定是（ ）
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等腰直角三角形 D．锐角三角形
6．在三棱锥中，平面平面，平面平面，，，则下列错误的是（ ）
A． B．点到平面的距离为
C．平面 D．平面平面
7．在三棱柱中，点M，E分别是棱的中点，点满足，点为棱上的动点，若平面CDE，则（ ）
A． B． C． D．
8．如图，已知正方体中，，点P为线段上的动点，Q为平面内的动点，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知向量在平面直角坐标系中的位置如图所示.若网格中每个小正方形的边长均为1，则下列选项中正确的是（ ）
A．
B．向量在向量方向上的投影向量为
C．
D．若，则
10．某货轮在处时，灯塔位于货轮的北偏东，距离为海里，灯塔位于货轮的北偏西，距离为海里.该货轮自处向正北方向航行到处时，灯塔位于货轮的南偏东，则下列说法正确的是（ ）
A．处在灯塔的西偏北 B．处与处之间的距离是海里
C．灯塔与处之间的距离是海里 D．灯塔在处的西偏南
11．如图，在棱长为1的正方体中，点满足，其中，则（ ）

A．当时，点的轨迹长为
B．当时，有且仅有一个点，使得平面
C．当时，不存在点，使得
D．当时，三棱锥的体积为定值
三、填空题
12．若复数在复平面对应的点为，的共轭复数为，则_____.
13．如图，正四棱锥底面边长和高均为，分别是其所在棱的中点，则几何体的体积为______.

14．在矩形中，点是平面内的动点，且，则=_____；若，则的最小值为_____.

四、解答题
15．如图，在中，点，满足，，AC边上的中线与交于点.设，.
(1)用向量，表示，；
(2)设，求的值.
16．在中，角所对的边分别是，且，
(1)求；
(2)若的外接圆半径为，求的周长.
17．（本题不可用建系方法做，否则不得分）如图，多面体是由直三棱柱截去一部分后而成，是的中点，且，.
(1)若为的中点，在上，且，证明：直线平面；
(2)若，求直线与平面所成角的正弦值.
18．在平面四边形中，.
(1)如图1，若，，且，求；
(2)如图2，若△为正三角形，求四边形面积S的最大值；
(3)如图3，若，与相交于点.当四边形面积S取得最大值时，求的值.
19．如图，在三棱锥中，，，.

(1)证明：平面平面；
(2)在线段上是否存在一点E，使得二面角的正切值为 若存在，求出的值，若不存在，请说明理由；
(3)已知点为线段上另一动点，过点且与垂直的平面将三棱锥分成左右两部分，设，当为何值时，右侧部分的几何体的体积为？
参考答案
1．C
2．B
3．A
4．C
5．B
6．D
7．A
8．B
9．ABD
10．BCD
11．ACD
12．
13．
14． 0 2
15．（1）因为为边上的中线，
，
因为，，所以，，
所以.
（2）解法一：因为三点共线，
所以存在实数，使得，
因为三点共线，
所以存在实数，使得，
所以，
根据平面向量基本定理可得：，解得：
所以，
因为，所以，，即.
解法二：过作的平行线，交于点，
在中，因为，所以∽，
因为，所以，
因为为中点，所以，即，
因为，所以，
因为三点共线，所以，
因为，所以
16．（1）解：，
∴ 根据正弦定理得到，
，，
，，即，
又，，，
（2），.
又∵三角形的外接圆半径为，
∴由正弦定理可知，即，
再由余弦定理得：，
的周长为.
17．（1）在直三棱柱中，取的中点，连接，
因为为的中点，所以是梯形的中位线，所以且，
因为是的中点，所以，则，
因为且，，所以且，
所以且，所以四边形为平行四边形，所以，
因为平面，平面，故直线平面.
（2）方法一（等体积法）连接，
因为平面，平面，所以，
因为为的中点，所以，
因为，所以，且为等腰直角三角形，
所以，易知，所以，且，
由余弦定理可得，
所以，即，则，
因为平面，平面，所以，
又因为，，、平面，所以平面.
因为且，所以四边形为平行四边形，则，
所以平面，则，
因为平面，所以，
故，
设点到面的距离为，则，
即，解得，
设直线与平面所成角为，
因为平面，平面，所以，
因为，故，
所以，故直线与平面所成角的正弦值为.
方法二（垂线法）
因为平面，平面，所以，
又因为，，、平面，所以平面.
因为且，所以四边形为平行四边形，则，
所以平面，
因为平面，所以，
因为平面，平面，所以，
因为为的中点，所以，
因为，所以，且为等腰直角三角形，
所以，易知，所以，且，
由余弦定理可得，
所以，即，
因为，、平面，所以平面，
所以为直线与平面所成角，
因为平面，平面，所以，
因为，故，
所以，故直线与平面所成角的正弦值为.
18．（1）设，在中由正弦定理得：，则
在等腰中，，则
因此，解得
（2）设正的边长为，则等腰的高为.
则
令，则，
，
当且仅当时取得最大值.
（3）
在，中分别由余弦定理得，
整理得，
即有
代入(*)式得，
当且仅当时，取到最大值，即此时四点共圆.
∵在圆中(同弧所对的圆周角相等)，∴
∴
19．（1）

（2）解法一：取中点，由（1）知，，∴.
过作交于，过作交于，则，所以，
所以，为二面角的平面角，
设，由，得，
同理；，
由，得，
在中，，解得，
所以线段上存在一点E，使得二面角的正切值为.，
解法二：设存在满足题意的点，由（1）可知两两垂直，以点为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，则，，则，，，，
，，，
设，，则，
显然平面的法向量.
设平面的法向量，则，
取，则，，所以，
若二面角的正切值为，则其余弦值为，
则，
整理得，所以，又因为，所以，
所以，即当时，二面角的正切值为.
（3）当时，平面截三棱锥所得截面为三角形，右部分的体积最大值为，
当时，平面截三棱锥所得截面为四边形，
设截面与棱的交点分别为，求得
，
右侧部分的体积，
化简得，
当时，检验符合上方程，

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