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【决战期末·50道解答题专练】人教版数学七年级下册期末总复习
1．如图，线段的两个端点坐标分别为，．线段向下平移3个单位，它的像是线段．
（1）试写出点，的坐标；
（2）若点是平面内的任一点，在上述平移下，像点与点的坐标之间有什么关系？
2．为了抓住2017年六一儿童节的商机，某商场决定购进甲、乙两种玩具进行销售，若购进甲种玩具1件，乙种玩具2件，需要160元，购进甲种玩具2件，乙种玩具3件，需要280元，购进甲、乙两种玩具每件各需要多少元？
3．如图，填空并填写理由：
因为∠1=∠2，所以AD∥BC（　　）．
因为∠A+∠ABC=180°，所以AD∥BC（　　）．
因为（　　）∥（　　），所以∠C+∠ABC=180°(两直线平行，同旁内角互补)
因为（　　）∥（　　），所以∠3=∠C(两直线平行，同位角相等)．
4． 王老师在上课时遇到下面问题：
已知，满足方程组，求的值？
小明说：把方程组解出来，再求的值．
小刚说：把两个方程直接相加得，方程两边同时除以，解得．
请你参考小明或小刚同学的做法，解决下面的问题：
（1）已知关于，的方程组的解满足，求的值；
（2）已知关于，的方程组的解满足，求的取值范围．
5．今年春季我县大旱，导致大量农作物减产，下图是一对农民父子的对话内容，请根据对话内容分别求出该农户今年两块农田的产量分别是多少千克？
6．某班为了丰富学生的课外活动和体育健身，计划购买10个足球和20根跳绳，共花费980元，其中足球的价格是跳绳价格的3倍多8元．
（1）求跳绳和足球的单价；
（2）在实际课外活动中，发现如果全班同学根据自身的爱好总有部分学生无法玩足球或跳绳，若使用剩余班费233元，并要求至少购买一个足球，那么最多可购买多少根跳绳？
7．学校在“我和我的祖国”快闪拍摄活动中，为学生租用服装，其中5名男生和3名女生共需服装费190元；3名男生的租服装的费用与2名女生的租服装的费用相同，求每位男生和女生的租服装费用分别为多少元？
8．如图，AB∥CD，∠B=70°，∠BCE=20°，∠CEF=130°，请判断AB与EF的位置关系，并说明理由.
9．如图，∠1+∠2=180°，∠B=∠3，∠C=65°，求∠DEC的度数．（请填空完成下面的解答，其中括号内填说理的依据）
解：因为∠1+∠2=180°
所以　 　（同旁内角互补，两直线平行）
所以∠ADE=∠3，（　 　）
又因为∠B=∠3
所以　 　（等量代换）
所以DE∥BC（　 　）
所以∠C+∠DEC=180°（　 　）
又因为∠C=65°
所以∠DEC=180°-∠C=180°-65°=115°
10． 如图，∠1=∠2=∠3。填空：
（1） 已知∠1=∠2，根据 ，可得 // ；
（2） 已知∠2=∠3，根据 ，可得 ∥ 。
11．填写下表，并回答问题：
a .. 0.0001 0.01 1 100 10000 …
… 0.01 x 1 y 100 …
（1）表格中x=　 　，y=　 　。
（2）从表格中观察与 的数位，你发现了什么
（3）与之间有类似的结论吗 请写出你发现的结论。
12．昆明的蓝花楹在4月中下旬陆续绽放，引来众多游客踏青观赏，拍照留念：小渡计划购进A、B两种型号的手机自拍杆进行销售，已知购进1个A型号和2个B型号的自拍杆共需75元，购进2个A型号和3个B型号的自拍杆共需120元．
（1）求购进A型号自拍杆和B型号自拍杆的单价分别是多少元？
（2）若小渡计划购进A，B两种型号的自拍杆共100个，并将A，B两种型号的自拍杆分别以20元/个，50元/个售出，为了保证全部售完后的总利润不低于1100元，最多购进A型号的自拍杆多少个？
13．某机械加工厂准备安排第一车间的14名工人制作若干个螺钉和螺母，每名工人每天可以制作80个螺钉或制作120个螺母，怎样安排工人，才能每天制作的螺母个数是螺钉个数的两倍？
14．对于一个任意的四位数，若的千位数字与个位数字之和等于百位数字与十位数字之和，我们称这样的四位数为“稳定数”．例如：四位数3197，因为，所以四位数3197是稳定数．
（1）填空：2025　 　稳定数（填“是”或“不是”）；
（2）已知一个稳定数的千位数字为1，百位数字为9，求这个稳定数；
（3）命题“两个稳定数的和仍是稳定数”是真命题还是假命题？请说明理由．
15．如图，已知AD⊥BC，EF⊥BC，垂足分别为D、F，∠2+∠3＝180°，试说明：∠GDC＝∠B.
16．如图，将 沿 所在直线的方向平移至 的位置，若 ， ，求 平移的距离.
17．若关于x、y的二元一次方程组 和 有相同的解，求 的值.
18．将方程 改写为用含 表示 的式子．
19．某生产教具的厂家准备生产正方体教具，教具由塑料棒与金属球组成(一条棱用一根塑料棒，一个顶点由一个金属球镶嵌)，并且根据材质优劣分为高档、中档和低档三种档次进行包装.
品种 高档 中档 低档
价格/元 20 15 10
（1）生产前，要画直观图.现在设计人员仅画出如图所示的设计图，请你补全正方体模型的直观图.
（2）该厂家的一个车间负责生产正方体教具，该车间共有22名工人，每个工人每天可生产塑料棒100根或者金属球80个，如果你是车间主任，你会如何分配工人成套生产正方体教具
（3）现某中学购买两种档次的正方体教具共200套(价格如表所示)，若恰好用了2800元，请问该学校应该如何购买教具
20．若关于，的方程组的解满足，求的平方根．
21．如图，直线AB与直线MN相交，交点为O，OC⊥AB，OA平分∠MOD，若∠BON＝20°，求∠COD的度数.
22．如图，直线y＝kx+b（k＞0）与x轴、y轴分别交于点A，B，且OA＝3，OB＝4．
（1）求直线AB的函数表达式；
（2）若C是第一象限内的直线AB上一点，当△AOC的面积为6时，求点C的坐标．
23．已知的立方根是3，的算术平方根是4，c是的整数部分．求的平方根．
24．随着新能源汽车的普及，为节省运输成本，某汽车运营公司计划购进型与型两种品牌的新能源汽车，据了解，2辆型汽车和3辆型汽车的进价共计万元；4辆型汽车和2辆型汽车的进价共计万元．
（1）型与型汽车每辆的进价分别是多少万元？
（2）该公司计划购进型与型两种汽车共辆，总购进费用不超过万元，那么该公司最多可购进型汽车多少辆？
25．已知，关于，的二元一次方程组与方程组有相同的解．
（1）求这两个方程组的相同解：
（2）求的值．
26．如图 1 ， 已知长方形纸带 ， ， 将纸带沿 折叠后， 点 分别落在 的位置， 再沿 折叠， 如图 2．
（1）在图 1 中， 　 　度．
（2） 在图 2 中， 小明用量角器量得 ， 试求 的度数．
27．将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图1方式叠放在一起，其中．
（1）填空：与的数量关系_______；理由是_______；
（2）直接写出与的数量关系_______；
（3）如图2，当点E在直线的上方时，将三角尺固定不动，改变三角尺的位置，但始终保持两个三角尺的顶点C重合；探究一下问题：
①当时，画出图形，并求出的度数；
②这两块三角尺是否仍存在一组边互相平行？请直接写出此时角度所有可能的值并画出对应的图形．
28．声波测距
在一条直道上同向行驶着两辆车，甲车在后，速度为90km/h，乙车在前，速度为72km/h，两车上都有声音的发播和接收装置，声音在空气中的传播速度为 340m/s.乙车在接收到甲车的鸣笛时会立即回鸣，甲车从发播到接收，经历的时间为7.2s.求甲车收到乙车的笛声时两车的距离(精确到0.01km).
29．按照计划某校八年级360名师生要参加一天的研学活动，客车公司有三种车型可以供选择：
车 型 座位数 (个) 租金(元)
甲 种 30 360
乙 种 40 400
丙 种 50 480
请帮老师解决下列问题：
（1）由于单独一种车型不能一次运载全体师生，学校需要租用两种车型，那么从人均成本最低的角度考虑，你认为学校应该选择哪两种车型，请说明理由.
（2）现租用(1)中选择的两种车型，且每辆车的位置要求坐满，问是否存在这样的租车方案？若存在，则写出符合条件的租车方案，若不存在，请说明理由.
（3）计算研学活动租车的最低费用.
30．已知是方程组的解，求a，b的值．
31．求适合不等式>-2x的最小整数解．
32．商场准备购进甲、乙两种商品，若购进甲商品80个，乙商品40个，需要800元；若购进甲商品50个，乙商品30个，需要550元.
（1）求商场购进甲、乙两种商品每个需要多少元
（2）商场准备1000元全部用来购进甲、乙两种商品，设购进乙种商品a个，则购进甲种商品 个(用含a的代数式表示)计划销售每个甲种商品可获利润4元，销售每个乙种商品可获利润5元，销售这两种商品的总利润不低于590元，那么商场最多购进乙种商品多少个
33．解不等式 ，并把它的解集在数轴上表示出来．
34．某市准备面向全市中学生举办“建设绿色生态家园”主题知识竞赛，某校为筛选参赛选手，举办了“建设绿色生态家园”主题知识答题活动，随机抽取了部分学生的成绩进行统计，并将成绩分为A，B，C，D四个等级，制作了下列两个不完整的统计图．
根据以上信息，完成下列问题：
（1）这次调查一共抽取了多少名学生？
（2）计算成绩为B等级的学生数，并把条形统计图补充完整；
（3）求扇形统计图中m的值．
（4）扇形统计图中，C对应的圆心角度数是多少？
35．关于x、y的两个方程组 和 具有相同的解，则a、b的值是多少？
36． 如图，已知：在四边形ABCD中，点E为线段BC延长线上一点，连接AE交CD于F，，，
（1）求证：；
（2）若，求证：；
（3）在（2）的条件下，若，，，求的度数．
37．取哪些整数时，不等式与≤都成立？
38．已知某正数的两个平方根分别是 和 ，b的算术平方根是2，求 的平方根．
39．解下列方程组：
（1）；
（2）．
40．如图，和的度数满足方程组，且，．
（1）求和的度数（要求写解方程组的过程）；
（2）求的度数．
41．已知3b＋3的平方根为±3，3a＋b的算术平方根为5
（1）求a，b的值；
（2）求4a﹣6b的平方根．
42．解不等式 ，并写出它的负整数解．
43．如图，直线AB、CD相交于点O，OE把∠BOD分成两部分，若∠AOC=70°，且∠BOE：∠EOD=2：3，求∠AOE的度数。
44．已知点P（x，y）的坐标满足方程组，点P在第三象限．
（1）请用含a的代表式表示x；
（2）请求出a的取值范围．
45．已知：直线AB与直线CD内部有一个点P，连接BP．
（1）如图1，当点E在直线CD上，连接PE，若∠B+∠PEC＝∠P，求证：AB∥CD；
（2）如图2，当点E在直线AB与直线CD的内部，点H在直线CD上，连接EH，若∠ABP+∠PEH＝∠P+∠EHD，求证：AB∥CD；
（3）如图3，在（2）的条件下，BG、EF分别是∠ABP、∠PEH的角平分线，BG和EF相交于点G，EF和直线AB相交于点F，当BP⊥PE时，若∠BFG＝∠EHD+10°，∠BGE＝36°，求∠EHD的度数．
46．已知，点为平面内一点，于．
（1）如图，直接写出和之间的数量关系　 　；
（2）如图，过点作于点，求证：；
（3）如图，在问的条件下，点、在上，连接、、，平分，平分，若，，求的度数．
47．对给定的，考虑如下5个数：，，0，n，m，如果这5个数中有k个数是某不等式（组）的解，则称此不等式（组）为关于的“k阶不等式（组）”．
例如，给定，，考虑不等式，解得：，因为，，0，2，3这五个数中有，0，2，3是该不等式的解，所以为关于的“4阶不等式”．
（1）对，，在下列不等式（组）中，关于的“3阶不等式（组）”有_______（填写所有正确结论的序号）；
①，②，③
（2）已知m，n满足方程组，则有_____，_____（结果用含t的式子表示）；
（3）在（2）的条件下，若关于x的不等式是关于的“4阶不等式”，求t的取值范围．
48．已知不等式组
（1）当时，它的解集是：　 　；
（2）当时，它的解集是：　 　；
（3）当时，它的解集是：　 　．
（4）由（1）（2）（3）当k的值发生变化时，原不等式组的解集也发生变化，试根据k值的变化情况，写出原不等式组的解集．
49．如图，已知∠EFC+∠BDC=180°，∠DEF=∠B.
（1）试判断DE与BC的位置关系，并说明理由.
（2）若DE平分∠ADC，∠BDC=3∠B，求∠EFC的度数.
50．已知关于，的方程组
（1）若方程组的解满足，求的值；
（2）无论实数取何值，方程总有一个固定的解，请求出这个解？
（3）若方程组的解中为整数，且是自然数，求的值．
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【决战期末·50道解答题专练】人教版数学七年级下册期末总复习
1．如图，线段的两个端点坐标分别为，．线段向下平移3个单位，它的像是线段．
（1）试写出点，的坐标；
（2）若点是平面内的任一点，在上述平移下，像点与点的坐标之间有什么关系？
【答案】（1）解：∵，，线段向下平移3个单位，
∴，.
（2）解：∵点是平面内的任一点，在上述平移得到，
∴，．
【解析】【分析】（1）利用点坐标平移的特征（上加下减、左减右加）分析求解即可.
（2）先利用点坐标平移的特征（上加下减、左减右加）求出C'的坐标，再求出，即可．
（1）解：∵，，线段向下平移3个单位，
∴，；
（2）解：∵点是平面内的任一点，在上述平移得到，
∴，．
2．为了抓住2017年六一儿童节的商机，某商场决定购进甲、乙两种玩具进行销售，若购进甲种玩具1件，乙种玩具2件，需要160元，购进甲种玩具2件，乙种玩具3件，需要280元，购进甲、乙两种玩具每件各需要多少元？
【答案】解：设购进甲种玩具每件需要x元，购进乙种玩具每件需要y元，
根据题意得： ，
解得：
【解析】【分析】设购进甲种玩具每件需要x元，购进乙种玩具每件需要y元，根据“购进甲种玩具1件，乙种玩具2件，需要160元，购进甲种玩具2件，乙种玩具3件，需要280元”，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
3．如图，填空并填写理由：
因为∠1=∠2，所以AD∥BC（　　）．
因为∠A+∠ABC=180°，所以AD∥BC（　　）．
因为（　　）∥（　　），所以∠C+∠ABC=180°(两直线平行，同旁内角互补)
因为（　　）∥（　　），所以∠3=∠C(两直线平行，同位角相等)．
【答案】解：因为∠1=∠2，所以AD∥BC（内错角相等，两直线平行）.
因为∠A+∠ABC=180°，所以AD∥BC（同旁内角互补，两直线平行）.
因为DC∥AB，所以∠C+∠ABC=180°（两直线平行，同旁内角互补）.
因为AD∥BC，所以∠3=∠C（两直线平行，同位角相等）.
故答案为：内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；DC，AB；AD，BC.
【解析】【分析】根据两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行；根据两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行；根据两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补；同位角相等；据此进行分析即可得到答案.
4． 王老师在上课时遇到下面问题：
已知，满足方程组，求的值？
小明说：把方程组解出来，再求的值．
小刚说：把两个方程直接相加得，方程两边同时除以，解得．
请你参考小明或小刚同学的做法，解决下面的问题：
（1）已知关于，的方程组的解满足，求的值；
（2）已知关于，的方程组的解满足，求的取值范围．
【答案】（1）解：，
得：，
，
又，
，
；
（2）解：，
得，
，
又，
，
．
【解析】【分析】（1）利用加减消元法求出，再结合，可得，再求出a的值即可；
（2）利用加减消元法求出，再结合，可得，再求出m的取值范围即可.
5．今年春季我县大旱，导致大量农作物减产，下图是一对农民父子的对话内容，请根据对话内容分别求出该农户今年两块农田的产量分别是多少千克？
【答案】解：设去年第一块田的花生产量为 千克，第二块田的花生产量为 千克，根据题意，得
解得
，
答：该农户今年第一块田的花生产量是20千克，第二块田的花生产量是37千克．
【解析】【分析】设去年第一块田的花生产量为 千克，第二块田的花生产量为 千克，分别根据去年、今年两块农田的总产量，列出方程组并解出方程组即可.
6．某班为了丰富学生的课外活动和体育健身，计划购买10个足球和20根跳绳，共花费980元，其中足球的价格是跳绳价格的3倍多8元．
（1）求跳绳和足球的单价；
（2）在实际课外活动中，发现如果全班同学根据自身的爱好总有部分学生无法玩足球或跳绳，若使用剩余班费233元，并要求至少购买一个足球，那么最多可购买多少根跳绳？
【答案】（1）解：设跳绳的价格为元，则足球的价格为元，
由题意得：，
解得：，
（元），
跳绳的价格为元，则足球的价格为元；
（2）解：设最多可购买根跳绳，
由题意得：，
解得：，
为正整数，
最大为，
最多可购买根跳绳．
【解析】【分析】(1)设跳绳的价格为元，则足球的价格为元，根据题意列出一元一次方程，解方程即可得出答案；
(2)设最多可购买根跳绳，根据题意列出一元一次不等式，解不等式即可得出答案．
（1）解：设跳绳的价格为元，则足球的价格为元，
由题意得：，
解得：，
（元），
跳绳的价格为元，则足球的价格为元；
（2）解：设最多可购买根跳绳，
由题意得：，
解得：，
为正整数，
最大为，
最多可购买根跳绳．
7．学校在“我和我的祖国”快闪拍摄活动中，为学生租用服装，其中5名男生和3名女生共需服装费190元；3名男生的租服装的费用与2名女生的租服装的费用相同，求每位男生和女生的租服装费用分别为多少元？
【答案】解：设每位男生和女生的租服装费用分别为x、y元，
由题意得： ，
解得： ，
答：每位男生和女生的租服装费用分别为20元，30元.
【解析】【分析】设每位男生和女生的租服装费用分别为x、y元，根据“ 5名男生和3名女生共需服装费190元；3名男生的租服装的费用与2名女生的租服装的费用相同 ”列出方程组求解即可.
8．如图，AB∥CD，∠B=70°，∠BCE=20°，∠CEF=130°，请判断AB与EF的位置关系，并说明理由.
【答案】解：AB∥EF，理由如下：
∵AB∥CD，
∴∠B=∠BCD，∵∠B=70°，
∴∠BCD=70°，∵∠BCE=20°，
∴∠ECD=50°，
∵CEF=130°，
∴∠E+∠DCE=180°，
∴EF∥CD，
∴AB∥EF
【解析】【分析】由两直线平行内错角相等可得
∠B=∠BCD，由角的构成可得∠ECD=∠BCD-∠BCE，结合已知条件计算可得∠ECD+∠CEF=180°， 根据同旁内角互补，两直线平行可得
EF∥CD， 于是根据平行线的传递性可得
EF∥AB。
9．如图，∠1+∠2=180°，∠B=∠3，∠C=65°，求∠DEC的度数．（请填空完成下面的解答，其中括号内填说理的依据）
解：因为∠1+∠2=180°
所以　 　（同旁内角互补，两直线平行）
所以∠ADE=∠3，（　 　）
又因为∠B=∠3
所以　 　（等量代换）
所以DE∥BC（　 　）
所以∠C+∠DEC=180°（　 　）
又因为∠C=65°
所以∠DEC=180°-∠C=180°-65°=115°
【答案】AB∥EF；两直线平行，内错角相等；∠ADE=∠B；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：因为∠1+∠2=180°
所以AB∥EF（同旁内角互补，两直线平行）
所以∠ADE=∠3（两直线平行，内错角相等）
又因为∠B=∠3
所以∠ADE=∠B（等量代换）
所以DE∥BC（同位角相等，两直线平行）
所以∠C+∠DEC=180°（两直线平行，同旁内角互补）
又因为∠C=65°
所以∠DEC=180°-∠C=180°-65°=115°
故答案为：AB∥EF；两直线平行，内错角相等；∠ADE=∠B；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补．
【分析】根据平行线的判定得出AB∥EF，根据平行线的性质得出∠ADE=∠3，求出∠ADE=∠B，根据平行线的判定得出DE∥BC；根据平行线的性质得出∠C+∠DEC=180°，即可求出答案．
10． 如图，∠1=∠2=∠3。填空：
（1） 已知∠1=∠2，根据 ，可得 // ；
（2） 已知∠2=∠3，根据 ，可得 ∥ 。
【答案】（1）同位角相等，两直线平行 ；
（2）内错角相等，两直线平行；AB；CD
【解析】【解答】解：（1） 已知∠1=∠2，根据同位角相等，两直线平行，可得AD//BC；
故答案为：同位角相等，两直线平行；AD；BC．
（2） 已知∠2=∠3，根据内错角相等，两直线平行，可得AB//CD．
故答案为：内错角相等，两直线平行；AB；CD．
【分析】（1）根据同位角相等，两直线平行即可求解；
（2）内错角相等，两直线平行即可求解．
11．填写下表，并回答问题：
a .. 0.0001 0.01 1 100 10000 …
… 0.01 x 1 y 100 …
（1）表格中x=　 　，y=　 　。
（2）从表格中观察与 的数位，你发现了什么
（3）与之间有类似的结论吗 请写出你发现的结论。
【答案】（1）0.1；10
（2）解：把数a的小数点每向右平移2个单位， 的小数点向右平移1个单位
（3）解：有，把数a的小数点每向右平移3个单位， 的小数点向右平移1个单位
【解析】【解答】解：
故答案为0.1， 10；
【分析】(1)利用算术平方根的定义求解；
(2)通过观察小数点变化规律，把数a的小数点每向右平移2个单位得到 的小数点变化情况；
(3)利用立方根的定义，把数a的小数点每向右平移3个单位得到 的小数点变化情况.
12．昆明的蓝花楹在4月中下旬陆续绽放，引来众多游客踏青观赏，拍照留念：小渡计划购进A、B两种型号的手机自拍杆进行销售，已知购进1个A型号和2个B型号的自拍杆共需75元，购进2个A型号和3个B型号的自拍杆共需120元．
（1）求购进A型号自拍杆和B型号自拍杆的单价分别是多少元？
（2）若小渡计划购进A，B两种型号的自拍杆共100个，并将A，B两种型号的自拍杆分别以20元/个，50元/个售出，为了保证全部售完后的总利润不低于1100元，最多购进A型号的自拍杆多少个？
【答案】（1）解：设购进A型号自拍杆的单价是x元，购进B型号自拍杆的单价是y元，
根据题意得： ，
解得： ．
答：购进A型号自拍杆的单价是15元，购进B型号自拍杆的单价是30元；
（2）解：设购进m个A型号的自拍杆，则购进（100-m）个B型号的自拍杆，
根据题意得：（20-15）m+（50-30）（100-m）≥1100，
解得：m≤60，
∴m的最大值为60．
答：最多购进A型号的自拍杆60个．
【解析】【分析】（1）根据题意找出等量关系求出 ， 再解方程组即可；
（2）根据为了保证全部售完后的总利润不低于1100元，列不等式求解即可。
13．某机械加工厂准备安排第一车间的14名工人制作若干个螺钉和螺母，每名工人每天可以制作80个螺钉或制作120个螺母，怎样安排工人，才能每天制作的螺母个数是螺钉个数的两倍？
【答案】解：设安排x人制作螺钉，y人制作螺母，
则有
解得：
答：安排6人制作螺钉，8人制作螺母．
【解析】【分析】设安排x人制作螺钉，y人制作螺母，根据题意列出方程组，再求解即可。
14．对于一个任意的四位数，若的千位数字与个位数字之和等于百位数字与十位数字之和，我们称这样的四位数为“稳定数”．例如：四位数3197，因为，所以四位数3197是稳定数．
（1）填空：2025　 　稳定数（填“是”或“不是”）；
（2）已知一个稳定数的千位数字为1，百位数字为9，求这个稳定数；
（3）命题“两个稳定数的和仍是稳定数”是真命题还是假命题？请说明理由．
【答案】（1）不是
（2）解：设十位数字为，个位数字为，根据题意，得
∴或
所求的稳定数为1908或1919．
答：这个稳定数为1908或1919
（3）解：是假命题，反例如下：四位数2817与2222都是稳定数，它们的和等于5039
然而四位数5039不是稳定数
“两个稳定数的和仍是稳定数”是假命题
【解析】【解答】解：（1）∵，∴2025不是稳定数；
所以应填“不是”；
【分析】（1）由稳定数的定义知，千位数字+个位数字＝百位数字+十位数字，2025显然不符合；（2）分别设十位数字和个位数字为a和b，则可得到关于a、b的二元一次方程，由于a、b都是小于10的自然数，写出满足条件的自然数解即可；（3）由于不好直接证明该结论，可利用反证法来印证．
（1）解：∵，
∴2025不是稳定数；
（2）解：设十位数字为，个位数字为，根据题意，得
∴或
所求的稳定数为1908或1919．
（3）解：是假命题，反例如下：
四位数2817与2222都是稳定数，它们的和等于5039
然而四位数5039不是稳定数
“两个稳定数的和仍是稳定数”是假命题
15．如图，已知AD⊥BC，EF⊥BC，垂足分别为D、F，∠2+∠3＝180°，试说明：∠GDC＝∠B.
【答案】解：∵AD⊥BC，EF⊥BC，
∴AD∥EF，
∴∠1+∠2=180°，
∵∠2+∠3＝180°，
∴∠1=∠3
∴AB∥DG，
∴∠GDC＝∠B.
【解析】【分析】由同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行，得AD∥EF，由二直线平行，同旁内角互补得 ∠1+∠2=180°， 结合 ∠2+∠3＝180°， 由同角的补角相等得 ∠1=∠3 ，由内错角相等，两直线平行，得AB∥DG，最后根据二直线平行，同位角相等得∠GDC＝∠B .
16．如图，将 沿 所在直线的方向平移至 的位置，若 ， ，求 平移的距离.
【答案】解：由平移的性质可知，，
，，，
，
平移的距离为
【解析】【分析】根据平移的性质，平移前后对应线段长度不变，即AB = DE，且平移距离为对应点移动的距离（如 AD 或 BE）。结合线段和差关系，先求出 AB 的长度，再计算平移距离 AD。
17．若关于x、y的二元一次方程组 和 有相同的解，求 的值.
【答案】解：由题意可知 和
将 ，得
解得
将 ，代入①，得
∴
将 分别代入 得
将 ，得 ⑤
将 ，得
将 代入③，得
∴
∴ .
故答案为：1.
【解析】【分析】联立不含a与b的方程求出x与y的值，代入求出a与b的值，即可求出所求式子的值．
18．将方程 改写为用含 表示 的式子．
【答案】解：∵方程为，
∴3y=-2x+6，
∴.
【解析】【分析】将x当作常数，再利用解一元一次方程的计算方法及步骤（先移项，再合并同类项，最后系数化为“1”即可）分析求解即可.
19．某生产教具的厂家准备生产正方体教具，教具由塑料棒与金属球组成(一条棱用一根塑料棒，一个顶点由一个金属球镶嵌)，并且根据材质优劣分为高档、中档和低档三种档次进行包装.
品种 高档 中档 低档
价格/元 20 15 10
（1）生产前，要画直观图.现在设计人员仅画出如图所示的设计图，请你补全正方体模型的直观图.
（2）该厂家的一个车间负责生产正方体教具，该车间共有22名工人，每个工人每天可生产塑料棒100根或者金属球80个，如果你是车间主任，你会如何分配工人成套生产正方体教具
（3）现某中学购买两种档次的正方体教具共200套(价格如表所示)，若恰好用了2800元，请问该学校应该如何购买教具
【答案】（1）如图即为所求.
（2）设安排x人生产塑料棒，(22-x)人生产金属球，由题意可得解得x=12.
∴22-x=22-12=10(人)，
∴安排12人生产塑料棒，10人生产金属球.
（3）设购买高档教具a套，中档教具b套，低档教具c套，
①若购买高档和中档教具，由题意可得
解得(不合题意，舍去)；
②若购买高档和低档教具，由题意可得
解得
③若购买中档和低档教具，由题意可知
解得
综上，学校可以购买高档教具80套，低档教具120套或中档教具160套，低档教具40套.
【解析】【分析】(1) 补全正方体即可；
(2) 设成套生产正方体教具时安排x名工人生产塑料棒， y名工人生产金属球，等量关系为生产塑料棒的工人人数+生产金属球的工人人数=22，塑料棒的根数：金属球的个数=12：8，据此可列出方程组，解之即可；
(3) 分三种情况讨论， ①设该学校购买高档教具x套，中档教具y套； ②设该学校购买高档教具x套，低档教具y套； ③设该学校购买中档教具x套，低档教具y套，根据教具的套数为200，总费用为2800元即可列出方程组，解之即可.
20．若关于，的方程组的解满足，求的平方根．
【答案】解：方程组中两式相加可得，
∵，
∴，
∴，
∴的平方根是．
【解析】【分析】方程组中两式相加可得，再根据，即可得出进而得出答案.
21．如图，直线AB与直线MN相交，交点为O，OC⊥AB，OA平分∠MOD，若∠BON＝20°，求∠COD的度数.
【答案】解：∵∠BON＝20°，
∴∠AOM＝20°，
∵OA平分∠MOD，
∴∠AOD＝∠MOA＝20°，
∵OC⊥AB，
∴∠AOC＝90°，
∴∠COD＝90°﹣20°＝70°.
【解析】【分析】首先由对顶角的性质可得∠AOM的度数，然后由角平分线的概念可得∠AOD的度数，最后根据垂直的概念求解即可.
22．如图，直线y＝kx+b（k＞0）与x轴、y轴分别交于点A，B，且OA＝3，OB＝4．
（1）求直线AB的函数表达式；
（2）若C是第一象限内的直线AB上一点，当△AOC的面积为6时，求点C的坐标．
【答案】（1）解：∵OA＝3，OB＝4，
∴A（3，0），B（0，-4），
把A（3，0），B（0，-4）分别代入y＝kx+b得，
解得，
∴直线AB的解析式为y＝x-4
（2）解：设C，
∵△AOC的面积为6，
∴×3×＝6，
解得t＝6，
∴点C的坐标为（6，4）．
【解析】【分析】（1）待定系数法求解析式，即可求解；
（2）设C，根据三角形的面积列出方程，解方程，即可求解．
23．已知的立方根是3，的算术平方根是4，c是的整数部分．求的平方根．
【答案】解：∵27的立方根是3，
∴，
∴；
∵16的算术平方根是4，
∴，
∴；
∵，
∴，
∵c是的整数部分，
∴；
∴，
∴的平方根为
【解析】【分析】先利用立方根和算术平方根的计算方法求出a、b的值，再利用估算无理数大小的方法求出c的值，最后将a、b、c的值代入计算即可.
24．随着新能源汽车的普及，为节省运输成本，某汽车运营公司计划购进型与型两种品牌的新能源汽车，据了解，2辆型汽车和3辆型汽车的进价共计万元；4辆型汽车和2辆型汽车的进价共计万元．
（1）型与型汽车每辆的进价分别是多少万元？
（2）该公司计划购进型与型两种汽车共辆，总购进费用不超过万元，那么该公司最多可购进型汽车多少辆？
【答案】（1）解：设型每辆的进价是万元，型汽车每辆的进价是万元，
依题意得，，
解得，，
∴型每辆的进价是万元，型汽车每辆的进价是万元；
（2）解：设购进型汽车辆，则型两种汽车辆，
依题意得，，
解得，，
∴最多可购进型汽车7辆．
【解析】【分析】（1） 设型每辆的进价是万元，型汽车每辆的进价是万元， 根据 2辆型汽车和3辆型汽车的进价共计万元；4辆型汽车和2辆型汽车的进价共计万元，即可列出关于x，y的二元一次方程组，解方程组即可求解；
（2）设购进型汽车辆，则型两种汽车辆， 根据 购进型与型两种汽车共辆，总购进费用不超过万元， 得到关于a的不等式，解不等式即可求解.
25．已知，关于，的二元一次方程组与方程组有相同的解．
（1）求这两个方程组的相同解：
（2）求的值．
【答案】（1）解：由题意得：，
得：，
解得：，
把代入得：，
解得：，
原方程组的解为：，
这两个方程组的解为：；
（2）把代入中可得：，
化简得：，
得：，
得：，
解得：，
把代入得：，
解得：，
，
的值为．
【解析】【分析】本题考查解二元一次方程组和方程组的解。
（1）根据题意，可列出新的方程组，结合其特点，用加减消元法更简便求解；
（2）把方程组的解代入原方程组，列出关于a，b的新的方程组， 得出b值，再代入求出a值，把a，b的值代入所求代数式即可。
26．如图 1 ， 已知长方形纸带 ， ， 将纸带沿 折叠后， 点 分别落在 的位置， 再沿 折叠， 如图 2．
（1）在图 1 中， 　 　度．
（2） 在图 2 中， 小明用量角器量得 ， 试求 的度数．
【答案】（1）40
（2）解： 沿 折叠得到 ，
【解析】【解答】解： (1) 四边形 为长方形，
长方形 沿 折叠后， 点 分别落在 的位置，
故填：40．
【分析】（1）结合平行线及折叠性质逐一推导求角往目标角靠拢即可得出结果；
（2）在（1）的基础上继续结合折叠的性质进一步推导角度关系往目标角靠拢分析得出结果.
27．将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图1方式叠放在一起，其中．
（1）填空：与的数量关系_______；理由是_______；
（2）直接写出与的数量关系_______；
（3）如图2，当点E在直线的上方时，将三角尺固定不动，改变三角尺的位置，但始终保持两个三角尺的顶点C重合；探究一下问题：
①当时，画出图形，并求出的度数；
②这两块三角尺是否仍存在一组边互相平行？请直接写出此时角度所有可能的值并画出对应的图形．
【答案】（1），同角的余角相等
（2）
（3）①解：当时，如图1，作，
∴，
∴，，
∴，
∴的度数为；
②解：由题意知，分，，，四种情况求解；
当时，如图2，
∴，
∴，
∴；
当时，如图3，
∴；
当时，如图4，
∴，
∴；
当时，如图5，
∴，
∴；
综上所述，存在，的度数为或或或．
【解析】【解答】（1）解：由题意知，，
∴，
故答案为：，同角的余角相等；
（2）解：由题意知，，，
∴，
故答案为：；
【分析】本题考查平行线的判定与性质，几何图形中的角度计算，余角的性质．
（1）由题意知，，通过计算可得：，进而可得出同角的余角相等；
（2）由题意知，，，通过计算可得：，进而可求出答案；
（3）①当时，如图1，作，则，，，根据，代入数据可求出的度数 ；
②由题意知，分四种情况：，，，，利用平行线的性质，再利用角的运算可求出的度数，进而可求出答案.
（1）解：由题意知，，
∴，
故答案为：，同角的余角相等；
（2）解：由题意知，，，
∴，
故答案为：；
（3）①解：当时，如图1，作，
∴，
∴，，
∴，
∴的度数为；
②解：由题意知，分，，，四种情况求解；
当时，如图2，
∴，
∴，
∴；
当时，如图3，
∴；
当时，如图4，
∴，
∴；
当时，如图5，
∴，
∴；
综上所述，存在，的度数为或或或．
28．声波测距
在一条直道上同向行驶着两辆车，甲车在后，速度为90km/h，乙车在前，速度为72km/h，两车上都有声音的发播和接收装置，声音在空气中的传播速度为 340m/s.乙车在接收到甲车的鸣笛时会立即回鸣，甲车从发播到接收，经历的时间为7.2s.求甲车收到乙车的笛声时两车的距离(精确到0.01km).
【答案】如图所示，设甲车鸣笛时两车分别位于点A、B处.
(1)乙车收到甲车笛声时位于点C，这时甲车位于点 D.
(2)甲车收到乙车笛声时位于点 E，这时乙车位于点 F.
两车速度分别为25m/s和20m/s.
设AB=xm，从甲车鸣笛到乙车接收，用时为
从乙车鸣笛到甲车接收，用时为 即EF 约为1.20km.
【解析】【分析】根据已知条件，设AB的长度为xm， 从甲车鸣笛到乙车接收，用时用t1表示，这样可以求出DC的值，从乙车鸣笛到甲车接收，用时为t2表示，根据等量关系 甲车从发播到接收，经历的时间为7.2s，求出t2的值，这样可以求出EF的值.
29．按照计划某校八年级360名师生要参加一天的研学活动，客车公司有三种车型可以供选择：
车 型 座位数 (个) 租金(元)
甲 种 30 360
乙 种 40 400
丙 种 50 480
请帮老师解决下列问题：
（1）由于单独一种车型不能一次运载全体师生，学校需要租用两种车型，那么从人均成本最低的角度考虑，你认为学校应该选择哪两种车型，请说明理由.
（2）现租用(1)中选择的两种车型，且每辆车的位置要求坐满，问是否存在这样的租车方案？若存在，则写出符合条件的租车方案，若不存在，请说明理由.
（3）计算研学活动租车的最低费用.
【答案】（1）解：学校应该选择乙，丙两种车型，理由为：
甲种车型的人均成本为360÷30=12元；
乙种车型的人均成本为400÷40=10元；
丙种车型的人均成本为480÷50=9.6元；
∵9.6元<10元<12元，
∴ 学校应该选择乙，丙两种车型.
（2）设乙种车型可以租用x辆，丙种车型租用y辆，
则40x+50y=360，即，
∴y是4的倍数，即可取4，
这时x=4，
∴租车方案为乙种车型4辆，丙种车型4辆.
（3）解：由于丙种车型的人均成本低，故应多租丙种车型，其次是乙种车型，并且考虑全部坐满省钱，
当丙种车型租7辆时，还剩10人，甲种车型租1辆即可，则费用为480×7+360=3720元；
当丙种车型租6辆时，还剩60人，甲种车型租2辆正好坐满，则费用为480×6+360×2=3600元；
当丙种车型租5辆时，还剩110人，乙种车型租2辆，甲种车型租1辆正好坐满，则费用为480×5+400×2+360=3560元；
当丙种车型租4辆时，还剩160人，乙种车型租4辆正好坐满，则费用为480×4+400×4=3520元；
当丙种车型租3辆时，还剩210人，需租乙种车型3辆，丙种车型3辆，租车数量增加，费用为480×3+400×3+360×3=3720元；
当丙种车型租2辆时，租车的数量增加，费用增加；
综上，丙种车型租4辆时，乙种车型租4辆正好坐满，则费用为480×4+400×4=3520元.
【解析】【分析】（1）根据租车费用÷人数求出人均成本，比较解答即可；
（2）设乙种车型可以租用x辆，丙种车型租用y辆，根据题意列方程求正整数解即可；
（3）根据人均成本可得丙种车型的人均成本低，故应多租丙种车型，其次是乙种车型，并且考虑全部坐满省钱，据此列举解答即可.
30．已知是方程组的解，求a，b的值．
【答案】解：将代入方程组得：
解得：
【解析】【分析】将代入方程组即可求出a和b的值.
31．求适合不等式>-2x的最小整数解．
【答案】解： >-2x ，
1-x＞-8x，
7x＞-1，
解得 x>- ，
∴ 最小整数解为0 .
【解析】【分析】先求出不等式的解集，再求其最小整数解即可.
32．商场准备购进甲、乙两种商品，若购进甲商品80个，乙商品40个，需要800元；若购进甲商品50个，乙商品30个，需要550元.
（1）求商场购进甲、乙两种商品每个需要多少元
（2）商场准备1000元全部用来购进甲、乙两种商品，设购进乙种商品a个，则购进甲种商品 个(用含a的代数式表示)计划销售每个甲种商品可获利润4元，销售每个乙种商品可获利润5元，销售这两种商品的总利润不低于590元，那么商场最多购进乙种商品多少个
【答案】（1）解：设购进甲种商品每个需要元，乙种商品每个需要元，
根据题意，得，
解得，
答：商场购进甲种商品每个需要5元，乙种商品每个需要10元．
（2）解：(200-a)
∴，∴，根据题意，得，解得，是整数，的最大值为70，答：商场最多购进乙种商品70个．
【解析】【解答】解：（1）设购进乙种商品个，则购进甲种商品（个）；
故答案为：(200-a)；
【分析】（1）设购进甲种商品每个需要元，乙种商品每个需要元，根据题意列出方程组，求出的值即可解答；
（2）设购进乙种商品个，则购进甲种商品个，根据题意列出不等式，求出的范围，得出的最大值，即可解答．
33．解不等式 ，并把它的解集在数轴上表示出来．
【答案】解：对不等式两边同时乘3得 ，即 ，解得 ，
则原不等式得解集为 ，
在数轴上表示如下图所示：
【解析】【分析】根据题意，先对不等式进行去分母，然后通过移项，合并同类项进行计算即可得解.
34．某市准备面向全市中学生举办“建设绿色生态家园”主题知识竞赛，某校为筛选参赛选手，举办了“建设绿色生态家园”主题知识答题活动，随机抽取了部分学生的成绩进行统计，并将成绩分为A，B，C，D四个等级，制作了下列两个不完整的统计图．
根据以上信息，完成下列问题：
（1）这次调查一共抽取了多少名学生？
（2）计算成绩为B等级的学生数，并把条形统计图补充完整；
（3）求扇形统计图中m的值．
（4）扇形统计图中，C对应的圆心角度数是多少？
【答案】（1）解：∵成绩为D等级的人数为12，所占百分比为，∴ 抽取的学生总数为：（名），
即这次调查一共抽取了40名学生；
（2）解：∵抽取的学生总数为40人，∴成绩为B等级的学生数为：（人），
补全后的条形图如下所示：
（3）解：由题意知，成绩为A等级的人数为4，抽取的学生总数为40，∴．
（4）解：由题意知，成绩为C等级的人数为16，抽取的学生总数为40，∴ C部分的圆心角的度数．
【解析】【分析】（1）根据统计图表，得到成绩为D等级的人数为12，所占百分比为，结合成绩为D等级人数除以所占百分数求出抽取的学生总数，得到答案；
（2）根据抽取的学生总数乘以成绩为B等级人数所占的百分数，求出成绩为B等级的学生数，从而补全条形统计图；
（3）利用成绩为A等级的人数除以抽取的学生总数，再乘以100，即可求出m的值，得到答案；
（4）用成绩为C等级的人数除以抽取的学生总数，再乘以360°，即为C部分的圆心角的度数，的对答案．
35．关于x、y的两个方程组 和 具有相同的解，则a、b的值是多少？
【答案】解：
得
把 代入 ，得
解得
【解析】【分析】先求出 的解，再代入方程组 ，即可求出a、b的值.
36． 如图，已知：在四边形ABCD中，点E为线段BC延长线上一点，连接AE交CD于F，，，
（1）求证：；
（2）若，求证：；
（3）在（2）的条件下，若，，，求的度数．
【答案】（1）证明：，，而
，
（2）解：，而
，
（3）解：，，
而，
又，
，，
，
【解析】【分析】（1）利用等量代换转换成内错角相等进而得出平行；
（2）同理利用等量代换转换成同旁内角相等进而得出平行；
（3）通过平行性质等到等量关系，进行逐步消元求出所有角度信息，为便于直观理解，不熟练的情况下可通过设元逐步推导等量关系更加直观.
37．取哪些整数时，不等式与≤都成立？
【答案】解：解不等式7x+2＞5（x-1），得：x＞-3.5，
解不等式x-1≤7-x，得：x≤2，
则不等式组的解集为-3.5＜x≤2，
∴整数x的值为-3、-2、-1、0、1、2．
【解析】【分析】利用不等式的性质及不等式组的解法求出解集，再结合数轴求出整数解即可。
38．已知某正数的两个平方根分别是 和 ，b的算术平方根是2，求 的平方根．
【答案】解：∵某正数的两个平方根分别是 和 ，
∴ ，
整理，可得 ，解得 ．
∵b的算术平方根是2，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 的平方根是
【解析】【分析】先求出 ， 再求出a=4，b=4，最后计算求解即可。
39．解下列方程组：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：，
把代入得：，
合并同类项得：，
解得：，
把代入得：，
则方程组的解为；
（2）解：，
得：，
解得：，
把代入得：，
解得：，
则方程组的解为．
【解析】【分析】（1）利用代入消元法把②代入①先求出x的解，再求出y的解即可解题；
（2）利用加减消元法先求出x的解，再求出y的解即可解题.
40．如图，和的度数满足方程组，且，．
（1）求和的度数（要求写解方程组的过程）；
（2）求的度数．
【答案】（1）解：，
用②①得：，
解得：，
把代入①，
解得：，
∴.
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
【解析】【分析】（1）利用加减消元法的计算方法及步骤分析求解即可；
（2）利用平行线的性质可得，再结合，，最后利用角的运算求出即可．
（1）解：，
用②①得：，解得，
把代入①解得，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
41．已知3b＋3的平方根为±3，3a＋b的算术平方根为5
（1）求a，b的值；
（2）求4a﹣6b的平方根．
【答案】（1）解：∵3b+3的平方根为±3，
∴3b+3＝9，
解得：b＝2，
∵3a+b的算术平方根为5，
∴3a+b＝25，
∵b＝2，
∴a＝．
（2）解：∵a＝，b＝2，
∴4a﹣6b＝，
∴4a﹣6b的平方根为．
【解析】【分析】（1）利用平方根和算术平方根的定义及计算方法分析求解即可；
（2）将a、b的值代入4a﹣6b，再利用平方根的定义及计算方法分析求解即可.
（1）解：∵3b+3的平方根为±3，
∴3b+3＝9，解得b＝2，
∵3a+b的算术平方根为5，
∴3a+b＝25，
∵b＝2，
∴a＝．
（2）解：∵a＝，b＝2，
∴4a﹣6b＝，
∴4a﹣6b的平方根为．
42．解不等式 ，并写出它的负整数解．
【答案】解：去分母得： ，
去括号得： ，
移项得： ，
合并同类项得： ，
系数化为1得： ．
负整数解有： 1
【解析】【分析】本题先根据解一元一次不等式的步骤，并根据不等式的解集求不等式的特殊解
43．如图，直线AB、CD相交于点O，OE把∠BOD分成两部分，若∠AOC=70°，且∠BOE：∠EOD=2：3，求∠AOE的度数。
【答案】解：∵ ∠BOE：∠EOD=2：3，
∴设∠BOE=2x，∠EOD=3x，
∵∠BOE+∠EOD=∠BOD=∠AOC，
∴2x+3x=70，
∴x=14°，
∴∠BOE=2x=28°，
∴∠AOE=180°-∠BOE=152° .
【解析】【分析】根据题意设∠BOE=2x，∠EOD=3x，利用∠BOE+∠EOD=∠AOC，列出方程，解方程求出x的值，从而求出∠BOE的度数，再利用∠AOE+∠BOE=180°，即可得出答案.
44．已知点P（x，y）的坐标满足方程组，点P在第三象限．
（1）请用含a的代表式表示x；
（2）请求出a的取值范围．
【答案】（1）解：，
①+②得：2x＝4a+2，
求出x＝2a+1；
（2）解：，
利用加减消元法，①-②得：2y＝-2a-2，y＝-a-1
∴P (2a+1，-a-1)
∵ 点P 在第三象限
∴2a+1<0且-a-1<0
∴ -1< a < -
【解析】【分析】(1)用加减消元法求二元一次方程组，求出 2x＝4a+2 ，即 x＝2a+1 ；
(2)用加减消元法求二元一次方程组，求出 y＝-a-1 ，再根据 P （2a+1，-a-1）在第三象限得一元一次不等式组，最终得出-1< a <-。
45．已知：直线AB与直线CD内部有一个点P，连接BP．
（1）如图1，当点E在直线CD上，连接PE，若∠B+∠PEC＝∠P，求证：AB∥CD；
（2）如图2，当点E在直线AB与直线CD的内部，点H在直线CD上，连接EH，若∠ABP+∠PEH＝∠P+∠EHD，求证：AB∥CD；
（3）如图3，在（2）的条件下，BG、EF分别是∠ABP、∠PEH的角平分线，BG和EF相交于点G，EF和直线AB相交于点F，当BP⊥PE时，若∠BFG＝∠EHD+10°，∠BGE＝36°，求∠EHD的度数．
【答案】（1）证明：过点P作PF∥AB，
∴∠B＝∠BPF，
∵∠B+∠PEC＝∠BPE＝∠BPF+∠EPF，
∴∠PEC＝∠EPF，
∴PF∥CD，
∴AB∥CD；
（2）证明：如图2，分别过点P和点E作PF∥AB，EM∥CD，
∴∠ABP＝∠BPF，∠MEH＝∠EHD，
∵∠ABP+∠PEH＝∠P+∠EHD，即∠ABP+∠PEM+∠MEH＝∠BPF+∠FPE+∠EHD，
∴∠PEM＝∠FPE，
∴PF∥EM，
∴EM∥AB，
∴AB∥CD；
（3）解：如图3，过点E作EN∥AB，
由（2）得AB∥CD，
∴EN∥CD，
∠BFE＝∠FEN，∠NEH＝∠EHD，
∴∠FEH＝∠FEN+∠NEH＝∠BFE+∠EHD，
设∠EHD＝α，∠PBG＝β，PEG＝γ，则∠BFG＝α+10°，
∵BG、EF分别是∠ABP、∠PEH的角平分线，
∴∠ABP＝2β，∠PEH＝2γ，
∵BP⊥PE，
∴∠P＝90°，
由（2）得∠ABP+∠PEH＝∠P+∠EHD，
∴2β+2γ＝90°+α，
∵∠FEH＝∠FEN+∠NEH＝∠BFE+∠EHD，
∴γ＝α+10°+α＝2α+10°，
∵∠BGE＝36°，∠FGB＝180°-（∠BFG+∠FBG），∠FGB＝180°-∠BGE，
∴∠BFG+∠FBG＝∠BGE＝36°，
∴α+10°+β＝36°，
∴β＝26°-α，
∴2（26°-α）+2（2α+10°）＝90°+α，
∴α＝18°．
【解析】【分析】（1）遇拐点做平行线，过点P作PF∥AB，根据平行线的性质可得∠B＝∠BPF，而∠BPE=∠BPF+∠EPF=∠B+∠PEC，从而推出∠PEC=∠EPF，进而可得PF∥CD，根据平行公理的推论求证；
（2）遇拐点做平行线，有两个拐点，则分别过点P和点E作PF∥AB，EM∥CD，同理也可以推出∠PEM=∠FPE，进而可得PF∥EM，再根据平行公理的推论求证；
（3）过点E作EN∥AB，根据平行线的性质∠FEN+∠NEH=∠BFE+∠EHD，设∠EHD=α，∠PBG=β，∠PEG=γ，则∠BFG=α+10°，根据角平分线的性质及（2）的条件得2β+2γ=90°+α，接着分别用含α的式子代替β和γ，代入2β+2γ=90°+α，可求出α的值．
46．已知，点为平面内一点，于．
（1）如图，直接写出和之间的数量关系　 　；
（2）如图，过点作于点，求证：；
（3）如图，在问的条件下，点、在上，连接、、，平分，平分，若，，求的度数．
【答案】（1）
（2）证明：如图，过点作，
，
，即，
又，
，
，
，，
，
，
；
（3）解：如图，过点作，
平分，平分，
，，
由（2）可得，
，
设，，
则，，，，
，
，，
，
由，
可得，
，
由，可得，
，
解得，
，
．
【解析】【解答】解：（1）∵，
∴∠C与BC和AM所夹的锐角相等，
∵，
∴与BC和AM所夹的锐角的和为90°，
∴；
故答案为：∠A+∠C=90°；
【分析】（1）根据平行线的性质和直角三角形的两锐角互余即可求出和的数量关系；
（2）用平行线的性质和 求出，结合，通过同角的余角相等得，根据平行线的性质推出，最后通过等量代换即可证明；
（3）利用角平分线的定义求出，，结合证明，设参数，，结合已知条件列关于和的方程和，从而求出和的值，继而求出的度数.
47．对给定的，考虑如下5个数：，，0，n，m，如果这5个数中有k个数是某不等式（组）的解，则称此不等式（组）为关于的“k阶不等式（组）”．
例如，给定，，考虑不等式，解得：，因为，，0，2，3这五个数中有，0，2，3是该不等式的解，所以为关于的“4阶不等式”．
（1）对，，在下列不等式（组）中，关于的“3阶不等式（组）”有_______（填写所有正确结论的序号）；
①，②，③
（2）已知m，n满足方程组，则有_____，_____（结果用含t的式子表示）；
（3）在（2）的条件下，若关于x的不等式是关于的“4阶不等式”，求t的取值范围．
【答案】（1）①③
（2）；
（3）解：由②知，，
∵，
∴，，
故，，，
∵关于x的不等式是关于的“4阶不等式”，
∴，
即，
解得：，
综上所述，t的取值范围是．
【解析】【解答】解：（1）∵，，
∴，，
①，解不等式得，
∵，，0，3，，这五个数中有，，0是该不等式的解，
∴为关于的“3阶不等式”，符合题意；
②，解不等式得，
∵，，0，3，，这五个数中有，0，3，是该不等式的解，
∴为关于的“4阶不等式”，不符合题意；
③，解不等式组得，
∵，，0，3，，这五个数中有0，3，是该不等式的解，
∴为关于的“3阶不等式”，符合题意；
故答案为：①③；
（2），
得：，
将代入②得：，
故答案为：，．
【分析】（1）根据“3阶不等式（组）”的定义结合题意求解即可；
（2）利用加减消元法解方程求解即可；
（3）根据题意先求出，，再求出，最后求解即可.
（1）解：∵，，
∴，，
①，解不等式得，
∵因为，，0，3，，这五个数中有，，0是该不等式的解，
所以为关于的“3阶不等式”，符合题意；
②，解不等式得，
∵因为，，0，3，，这五个数中有，0，3，是该不等式的解，
所以为关于的“4阶不等式”，不符合题意；
③，解不等式组得，
∵因为，，0，3，，这五个数中有0，3，是该不等式的解，
所以为关于的“3阶不等式”，符合题意；
故答案为：①③；
（2）解：，
得：，
将代入②得：，
故答案为：，．
（3）解：由②知，，
∵，
∴，，
故，，，
∵关于x的不等式是关于的“4阶不等式”，
∴，
即，
解得：，
综上，．
48．已知不等式组
（1）当时，它的解集是：　 　；
（2）当时，它的解集是：　 　；
（3）当时，它的解集是：　 　．
（4）由（1）（2）（3）当k的值发生变化时，原不等式组的解集也发生变化，试根据k值的变化情况，写出原不等式组的解集．
【答案】（1）
（2）不等式组无解
（3）不等式组无解
（4）解：当，即时，不等式组的解集为；
当，即时，不等式组的解集为
当，即时，不等式组无解．
【解析】【解答】(1) 把k =-代入不等式组中，得出不等式组的解集为-1(2)把k=代入不等式组中，得出不等式组的解集为-1(3))把k=代入不等式组中，得出不等式组无解；
【分析】(1)当k=-时，根据同小取小易得其解集为-1(2)当k=时，根据同小取小易得其解集为-1(3)当k=3时，x>-1且x<-2，根据大于大的小于小的无解即可得到无解；
(4)比较1-k与-1和1的大小关系，讨论k的取值范围，可得到①当k≤0时，不等式组的解集为-1②当049．如图，已知∠EFC+∠BDC=180°，∠DEF=∠B.
（1）试判断DE与BC的位置关系，并说明理由.
（2）若DE平分∠ADC，∠BDC=3∠B，求∠EFC的度数.
【答案】（1）解：DE∥BC，理由如下：
∵∠EFC+∠DFE=180°，∠EFC+∠BDC=180°，
∴∠BDC=∠DFE，
∴AB∥EF，
∴∠DEF=∠ADE，
∵∠DEF=∠B，
∴∠B=∠ADE，
∴DE∥BC；
（2）解：∵DE∥BC，
∴∠ADE=∠B，
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADC=2∠ADE=2∠B，
∵∠BDC=3∠B，∠BDC+∠ADC=180°，
∴5∠B=180°，
∴∠B=36°，
∴∠BDC=3∠B=108°，
∵ ∠EFC+∠BDC=180° ，
∴∠EFC=180°-∠BDC=72°.
【解析】【分析】（1）DE∥BC，理由如下：由邻补角和已知，根据同角的补角相等得∠BDC=∠DFE，由内错角相等，两直线平行，可得AB∥EF，再由二直线平行，内错角相等，得∠DEF=∠ADE，结合∠DEF=∠B，推出∠B=∠ADE，进而根据同位角相等，两直线平行可得DE∥BC；
（2）由二直线平行，同位角相等得∠ADE=∠B，由角平分线的定义得∠ADC=2∠ADE=2∠B，进而根据已知及平角定义可求出∠B=36°，∠BDC=3∠B=108°，∠EFC=180°-∠BDC=72°.
50．已知关于，的方程组
（1）若方程组的解满足，求的值；
（2）无论实数取何值，方程总有一个固定的解，请求出这个解？
（3）若方程组的解中为整数，且是自然数，求的值．
【答案】（1）解：由题意得：，解得，
把代入，解得
（2）解：，
∴当，时，，
即固定的解为：
（3）解：，
得：，
，
，
为整数，
∴，，，
且为自然数，
∴或或，
或或
【解析】【分析】（1）将与原方程组中的第一个方程联立方程组并求解可得、的值，再代入第二个方程中可得关于的方程并求解即可；
（2）由题意知当时原方程有固定的解，则，进而可得y的值；
（3）把m当作常数解方程组可得x是含m的代数式，再由题意可得满足条件的m的自然数解.
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