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人教版2025—2026学年七年级下册期末模拟直击考点卷
数 学
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知不等式组的解集是，则=（　　）
A．2025 B．1 C．0 D．-1
2．为了了解我市八年级学生每天用于学习的时间，对其中500名学生进行了随机调查，则下列说法错误的是（　　）
A．总体是我市八年级学生每天用于学习的时间的全体
B．其中500名学生是总体的一个样本
C．样本容量是500
D．个体是我市八年级学生中每名学生每天用于学习的时间
3．五子棋，亦称“连珠”，是棋类竞技项目之一．某对弈情况如图所示，若在棋盘上建立了平面直角坐标系，黑子M的位置是（1，-2），白子①的位置是（-1，-4），则白子②的坐标是（　　）
A．（-1，1） B．（1，1） C．（1，2） D．（-2，1）
4．估计 1界于哪两个相邻的整数之间（　　）
A．3和4 B．4和5 C．5和6 D．6和7
5．如图，直线，的顶点B在直线上，若，则的度数为（　　）
A．100° B．120° C．140° D．160°
6．已知关于的不等式组有只有3个正整数解，则的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
7．已知点 位于第二象限，并且 ，a，b均为整数，则满足条件的点A个数有（　　）
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
8．如图是某射箭运动员瞬间的示意图，已知，，，，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
9．已知 ， ， 表示取三个数中最小的那个数﹒例如：当 ， ， ， = ， ， =3﹒当 ， ， = 时，则 的值为（　　）
A． B． C． D．
10．自行车的轮胎安装在前轮上行驶3000千米后报废，安装在后轮上，只能行驶2000千米，为了行驶尽可能多的路程，采取在自行车行驶一定路程后，用前后轮调换使用的方法，那么安装在自行车上的这对轮胎最多可行驶多少千米？（　　）
A．2300千米 B．2400千米 C．2500千米 D．2600千米
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图是七年级（1）班学生参加课外兴趣小组人数的扇形统计图．如果参加外语兴趣小组的人数是12人，那么参加绘画兴趣小组的人数是　 　人．
12．若，且，是两个连续的整数，则的值为　 　．
13．如图是一片枫叶标本，其形状呈“掌状五裂型”，裂片具有少数突出的齿．将其放在平面直角坐标系中，表示叶片“顶部”A，B两点的坐标分别为，，则叶杆“底部”点C的坐标为　 　 ．
14．某业主贷款22000元购进一台机器，生产某种产品.已知产品的成本每个5元，售价是每个8元.若每月能生产、销售2000个产品，问至少　 　个月后能赚回这台机器的贷款.
15．甲、乙两人练习跑步，如果乙先跑10米，则甲跑5秒就可追上乙；如果乙先跑2秒，则甲跑4秒就可追上乙，若设甲的速度为x米/秒，乙的速度为y米/秒，可列方程组　 　.
16．如图，是一块从一个边长为20cm的正方形BCDM材料中剪出的垫片，经测得FG＝9cm，则这个剪出的图形的周长是　 　cm．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．解方程组：
（1）
（2）
18．
（1）
（2）
19．如图，在平面直角坐标系中，，点在x轴的负半轴上，点C在第二象限，轴，且，点在第一象限.
（1）求B，C两点的坐标；
（2）是否存在m，使以A，B，O，P为顶点的四边形的面积等于？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由.
20．某地新建的一个企业，每月将产生2020吨污水，为保护环境，该企业计划购置污水处理器，并在如下两个型号中选择：
污水处理器型号 A型 B型
处理污水能力（吨/月） 240 180
价格（万元/台） 10 8
为确保将每月产生的污水全部处理完，该企业决定购买上述两种型号污水处理器共9台，则
（1）该企业有哪几种购买方案？
（2）哪种方案费用最低？最低费用是多少？
21．我市某中学开展“厉行勤俭节约，反对铺张浪费”主题活动，为了解学生的参与情况，小明在全校范围内随机抽取了若干名学生就某日午饭浪费饭菜情况进行了调查将调查内容分为四组：饭和菜全部吃完；有剩饭但菜吃完；饭吃完但菜有剩；饭和菜都有剩根据调查结果，绘制了如图所示两幅尚不完整的统计图，回答下列问题：
（1）这次被抽查的学生共有 　 　 人，扇形统计图中，“组”所对圆心角的度数为 　 　 ；
（2）直接补全条形统计图；
（3）已知该中学共有学生人，请估计这日午饭有剩饭的学生人数；若有剩饭的学生按平均每人剩克米饭计算，这日午饭将浪费多少千克米饭？
22．某班元旦迎新年活动，购买活动奖品，计划购买笔记本20本，盲盒30个，共需1380元，其中盲盒比笔记本贵6元．
（1）求盲盒和笔记本的单价各为多少？
（2）后来调整方案，需要购买上面的两种奖品共70件（奖品单价不变）．班长做完预算后，对家委主任说：“我这次买这两种奖品需要费用1922元．”家委主任算了一下，说：“如果你用这些钱买这两种奖品，那么费用肯定算错了．”请你用学过的方程知识解释家委主任为什么说班长算错了．
（3）班长突然想起，所做的预算中还包括班主任老师让他买的一支记号笔．如果记号笔的单价不超过10元，且金额数为整数，请通过计算，直接写出记号笔的单价可能为　　　元．
23．已知：直线，点A和点B是直线a上的点，点C和点D是直线b上的点，连接，，设直线和交于点E．
（1）在如图1所示的情形下，若，求的度数；
（2）在如图2所示的情形下，若平分，平分，且与交于点F，当，时，求的度数；
（3）如图3，当点B在点A的右侧时，若平分，平分，且，交于点F，设，，用含有α，β的代数式表示的补角．
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人教版2025—2026学年七年级下册期末模拟直击考点卷
数 学
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知不等式组的解集是，则=（　　）
A．2025 B．1 C．0 D．-1
【答案】D
【解析】【解答】解：
解①得：，
解②得：，
∴不等式组的解集为：，
∵不等式组的解集为，
，，
，，
．
故答案为：D．
【分析】解①得：，解②得：，即可得不等式组的解集为：，再根据已知得，，解出即可得a、b的值，代入计算即可得答案.
2．为了了解我市八年级学生每天用于学习的时间，对其中500名学生进行了随机调查，则下列说法错误的是（　　）
A．总体是我市八年级学生每天用于学习的时间的全体
B．其中500名学生是总体的一个样本
C．样本容量是500
D．个体是我市八年级学生中每名学生每天用于学习的时间
【答案】B
【解析】【解答】解：A、总体是我市八年级学生每天用于学习的时间的全体，A不符合题意；
B、其中500名学生每天用于学习的时间的集体是总体的一个样本，B符合题意；
C、样本容量是500，C不符合题意；
D、个体是我市八年级学生中每名学生每天用于学习的时间，D不符合题意.
故答案为：B.
【分析】所要考察的对象的全体叫做总体.
从总体中取出的一部分个体的数据集体叫做样本.
样本中个体的数目叫做样本容量.
组成总体的每一个考察对象叫做个体.
3．五子棋，亦称“连珠”，是棋类竞技项目之一．某对弈情况如图所示，若在棋盘上建立了平面直角坐标系，黑子M的位置是（1，-2），白子①的位置是（-1，-4），则白子②的坐标是（　　）
A．（-1，1） B．（1，1） C．（1，2） D．（-2，1）
【答案】B
【解析】【解答】解：∵ 黑子 的坐标为 ，白子①的坐标为 ，
∴ 以棋盘上某点为原点，水平向右为x轴正方向，竖直向上为y轴正方向建立坐标系：根据两点的横坐标差值（1 - (-1) = 2）和纵坐标差值（-2 - (-4) = 2），可确定坐标系中每个单位长度对应棋盘上的一格；
观察白子②在坐标系中的位置，其水平方向对应x轴上的1，竖直方向对应y轴上的1，
∴ 白子②的坐标是 。
故答案为：B
【分析】本题考查平面直角坐标系中点坐标的确定，关键是根据已知点的坐标反推坐标系的原点和单位长度。首先利用黑子 和白子①的坐标，分析两点在水平和竖直方向的距离，从而明确坐标系的建立规则；再依据该规则，观察白子②在棋盘上相对于原点的水平和竖直位置，进而读出其对应的横纵坐标，得到白子②的坐标。
4．估计 1界于哪两个相邻的整数之间（　　）
A．3和4 B．4和5 C．5和6 D．6和7
【答案】B
【解析】【解答】∵3＜ ＜4
∴4＜ +1＜5
故答案为：B．
【分析】由3＜ ＜4，可得到4＜ +1＜5，即可以选出答案。
5．如图，直线，的顶点B在直线上，若，则的度数为（　　）
A．100° B．120° C．140° D．160°
【答案】D
【解析】【解答】解：， ，
，
，
，
.
故答案为：D.
【分析】先利用平行线的性质得到的度数，进而得到的度数，再通过领补角的性质求得的度数.
6．已知关于的不等式组有只有3个正整数解，则的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：解不等式5-2x≤-3，得x≥4；
解不等式x-m<0，得x∴不等式组的解集为4≤x∵不等式组只有3个正整数解，
∴6故答案为：C.
【分析】首先分别求出两个不等式的解集，然后取其公共部分即为不等式组的解集，结合不等式组只有3个正整数解就可得到m的范围.
7．已知点 位于第二象限，并且 ，a，b均为整数，则满足条件的点A个数有（　　）
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
【答案】B
【解析】【解答】解：∵点 位于第二象限，
∴ ，
∴ ， ，
∴
∴ ，
∵a，b均为整数，
∴ 或 ，
当 时， ， ；
当 时， ， 或 或 或 ；
综上所述，满足条件的点A个数有5个．
故答案为：B．
【分析】根据第二象限的带你的特点可知 ，即可得出 ， ，计算可得 ，因为a，b均为整数，所以 或 ，据此分别求出A带你的坐标，即可得出答案。
8．如图是某射箭运动员瞬间的示意图，已知，，，，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】延长交于点，
，，
，
，
，
，
，，
，
，
故选：C．
【分析】本题主要考查平行线性质的应用和角度计算能力，解题关键在于正确运用平行线的性质定理
9．已知 ， ， 表示取三个数中最小的那个数﹒例如：当 ， ， ， = ， ， =3﹒当 ， ， = 时，则 的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：
当01时， ，
∴ ， ， ，则x=.
故答案为：C
【分析】当底数大于零而小于1时，指数越大值反而越小，当底数大于1时，指数越大，值越大。据此原理，先找出最小值是x2， 再列方程解出x即可。
10．自行车的轮胎安装在前轮上行驶3000千米后报废，安装在后轮上，只能行驶2000千米，为了行驶尽可能多的路程，采取在自行车行驶一定路程后，用前后轮调换使用的方法，那么安装在自行车上的这对轮胎最多可行驶多少千米？（　　）
A．2300千米 B．2400千米 C．2500千米 D．2600千米
【答案】B
【解析】【解答】解：设每个轮胎报废时的总磨损量为k，
则安装在前轮每行驶1km的磨损量为， 则安装在前轮每行驶1km的磨损量为，
设一对新轮胎交换位置前走了x千米，交换位置后走了y千米，
，
则 ，
∴x+y=2400，
故答案为：B.
【分析】设每个轮胎报废时的总磨损量为k，则安装在前轮每行驶1km的磨损量为， 则安装在前轮每行驶1km的磨损量为， 设一对新轮胎交换位置前走了x千米，交换位置后走了y千米，根据总磨损量分别列方程，联立求解即可.
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图是七年级（1）班学生参加课外兴趣小组人数的扇形统计图．如果参加外语兴趣小组的人数是12人，那么参加绘画兴趣小组的人数是　 　人．
【答案】5
【解析】【解答】解：∵参加外语小组的人数是12人，占参加课外兴趣小组人数的24%，
∴参加课外兴趣小组人数的人数共有：12÷24%=50（人），
∴绘画兴趣小组的人数是50×（1﹣14%﹣36%﹣16%﹣24%）=5（人）．
故答案为：5．
【分析】根据参加外语兴趣小组的人数是12人，所占百分比为24%，计算出总人数，再用1减去所有已知百分比，求出绘画的百分比，再乘以总人数即可解答．
12．若，且，是两个连续的整数，则的值为　 　．
【答案】11
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，且，是两个连续的整数，
∴a=5，b=6，
∴a+b=5+6=11，
故答案为：11.
【分析】根据题意先求出，再求出a=5，b=6，最后代入计算求解即可。
13．如图是一片枫叶标本，其形状呈“掌状五裂型”，裂片具有少数突出的齿．将其放在平面直角坐标系中，表示叶片“顶部”A，B两点的坐标分别为，，则叶杆“底部”点C的坐标为　 　 ．
【答案】(3，-3)
【解析】【解答】解：如图所示，
∴，
故答案为：．
【分析】将点B向右平移2个单位长度所得的点为原点，建立直角坐标系，结合点C的位置可得相应的坐标.
14．某业主贷款22000元购进一台机器，生产某种产品.已知产品的成本每个5元，售价是每个8元.若每月能生产、销售2000个产品，问至少　 　个月后能赚回这台机器的贷款.
【答案】4
【解析】【解答】解：设至少x个月后能赚回这台机器的贷款，
由题意得：（8-5）×2000x≥22000，
解得：，
∴至少4个月后能赚回这台机器的贷款.
故答案为：4.
【分析】设至少x个月后能赚回这台机器的贷款，根据题中的不等关系“单个的利润×月销售量×销售月数≥业主贷款22000”可列关于x的不等式，解不等式求出该不等式的最小正整数可求解.
15．甲、乙两人练习跑步，如果乙先跑10米，则甲跑5秒就可追上乙；如果乙先跑2秒，则甲跑4秒就可追上乙，若设甲的速度为x米/秒，乙的速度为y米/秒，可列方程组　 　.
【答案】
【解析】【解答】解：根据乙先跑10米，则甲跑5秒就可以追上乙，得方程5x＝5y+10；
根据乙先跑2秒，则甲跑4秒就可追上乙，得方程4x＝4y+2y.
可得方程组 .
故答案为： .
【分析】根据题意，得出等量关系：①乙先跑10米，则甲跑5秒就可以追上乙；②乙先跑2秒，则甲跑4秒就可追上乙，得出方程组即可.
16．如图，是一块从一个边长为20cm的正方形BCDM材料中剪出的垫片，经测得FG＝9cm，则这个剪出的图形的周长是　 　cm．
【答案】98
【解析】【解答】把EF平移到MN的位置，把AH平移到MK的位置，把GH平移到AN的位置，
这个垫片的周长：20×4＋9×2＝98（cm）．
答：这个垫片的周长为98cm．
故答案为：98．
【分析】首先把EF平移到MN的位置，把AH平移到MK的位置，把GH平移到AN的位置，根据平移的性质可得这个垫片的周长等于正方形的周长加FG．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．解方程组：
（1）
（2）
【答案】（1）解：，
②×3，得③，
①+③，得，
解得，
将代入②，得，
解得，
∴原方程组的解为．
（2）解：方程组整理得
①×2，得③，
②+③，得，
解得，
将代入②，得，
解得
∴原方程组的解为．
【解析】【分析】（1）因为①与②里y的系数相反，将②乘以3，然后利用加法消元法即可求解；
（2）首先将②乘以4然后化简去括号得③，然后将①乘以2，利用相加消元法即可求解.
18．
（1）
（2）
【答案】（1）解：原式= =
（2）解：原式= = = =
【解析】【分析】（1）根据有理数的混合运算求出答案即可；
（2）根据绝对值、有理数乘方的性质，结合混合运算法则计算答案即可。
19．如图，在平面直角坐标系中，，点在x轴的负半轴上，点C在第二象限，轴，且，点在第一象限.
（1）求B，C两点的坐标；
（2）是否存在m，使以A，B，O，P为顶点的四边形的面积等于？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：点在x轴的负半轴上，
，
解得或（不符合题意，舍去），
，
又点C在第二象限，轴，且，
.
（2）解：存在，当点时，
即，
，
，
，
.
【解析】【分析】（1）根据x轴上的点的纵坐标为0，得出a2-9=0，求解得到a的值；再根据点B在x轴的负半轴上确定a的值，从而写出点B、C的坐标；
（2）分别求出△ABO、△AOP的面积，根据题意即可求得m的值，即可得到点P的坐标.
20．某地新建的一个企业，每月将产生2020吨污水，为保护环境，该企业计划购置污水处理器，并在如下两个型号中选择：
污水处理器型号 A型 B型
处理污水能力（吨/月） 240 180
价格（万元/台） 10 8
为确保将每月产生的污水全部处理完，该企业决定购买上述两种型号污水处理器共9台，则
（1）该企业有哪几种购买方案？
（2）哪种方案费用最低？最低费用是多少？
【答案】（1）解：设该企业决定购买A型污水处理器a台，则购买B型污水处理器台．
依题意得．
解得，
∴整数或8或9．
故该企业有三种购买方案：
方案1：购买A型号污水处理器7台、B型号污水处理器2台；
方案2：购买A型号污水处理器8台、B型号污水处理器1台；
方案3：全部购买A型号污水处理器9台．
（2）解：方案1费用为：（万元）；
方案2费用为：（万元）；
方案3费用为：（万元）．
∵，
答：方案1费用最低，最低费用为86万元．
【解析】【分析】（1）设该企业决定购买A型污水处理器a台，则购买B型污水处理器台，根据题意建立不等式，解不等式，求出整数解即可求出答案.
（2）分别求出三种方案所需费用，再比较大小即可求出答案.
21．我市某中学开展“厉行勤俭节约，反对铺张浪费”主题活动，为了解学生的参与情况，小明在全校范围内随机抽取了若干名学生就某日午饭浪费饭菜情况进行了调查将调查内容分为四组：饭和菜全部吃完；有剩饭但菜吃完；饭吃完但菜有剩；饭和菜都有剩根据调查结果，绘制了如图所示两幅尚不完整的统计图，回答下列问题：
（1）这次被抽查的学生共有 　 　 人，扇形统计图中，“组”所对圆心角的度数为 　 　 ；
（2）直接补全条形统计图；
（3）已知该中学共有学生人，请估计这日午饭有剩饭的学生人数；若有剩饭的学生按平均每人剩克米饭计算，这日午饭将浪费多少千克米饭？
【答案】（1）120；72°
（2）解：组的人数为：人，
补全条形统计图如下：
（3）解：这日午饭有剩饭的学生人数为：人，
克千克，
答：这日午饭将浪费了千克米饭．
【解析】【解答】解：（1）这次被抽查的学生人数为72÷60％=120人；
“B组”所对圆心角的度数为360°××100％=72°.
故答案为：120，72°.
【分析】（1）利用两统计图可知这次被抽查的学生人数=A组的人数÷A组的人数所占的百分比，列式计算即可；“B组”所对圆心角的度数为360°×B组的人数所占的百分比，列式计算即可.
（2）先求出C组的人数，再补全条形统计图.
（3）这日午饭有剩饭的学生人数为该中学的学生人数×B、C的人数所占的百分比之和，列式计算.
22．某班元旦迎新年活动，购买活动奖品，计划购买笔记本20本，盲盒30个，共需1380元，其中盲盒比笔记本贵6元．
（1）求盲盒和笔记本的单价各为多少？
（2）后来调整方案，需要购买上面的两种奖品共70件（奖品单价不变）．班长做完预算后，对家委主任说：“我这次买这两种奖品需要费用1922元．”家委主任算了一下，说：“如果你用这些钱买这两种奖品，那么费用肯定算错了．”请你用学过的方程知识解释家委主任为什么说班长算错了．
（3）班长突然想起，所做的预算中还包括班主任老师让他买的一支记号笔．如果记号笔的单价不超过10元，且金额数为整数，请通过计算，直接写出记号笔的单价可能为　　　元．
【答案】（1）解：设盲盒的单价为x元，则笔记本的单价为元，由题意得：，
解得：，
∴，
答：盲盒的单价为30元，笔记本的单价为24元
（2）解：班长算错了，理由如下：设购买y个盲盒，则购买本笔记本，
由题意得：，
解方程得：，
又∵y需为正整数，
∴不符合题意，舍去，
∴班长算错了
（3）2或8
【解析】【解答】（3）解：设记号笔的单价为m元，
由题意得：，
解方程得：，
又∵y为正整数，m为不大于10元的整数，
∴或8，
故答案为：2或8．
【分析】（1）设盲盒的单价为x元，可表示出笔记本的单价，再根据购买笔记本20本，盲盒30个，共需1380元，列出一元一次方程，解方程即可.
（2）设购买y个盲盒，则购买本笔记本，根据这次买这两种奖品需要费用1922元，结合（1）的结论，列出一元一次方程，解方程，根据方程的解可作出判断.
（3）设记号笔的单价为m元，根据这次买这两种奖品需要费用1922元，结合（1）的结论，列出二元一次方程，然后求出其方程的整数解即可.
（1）解：设盲盒的单价为x元，则笔记本的单价为元，
由题意得：，
解得：，
∴，
答：盲盒的单价为30元，笔记本的单价为24元；
（2）解：班长算错了，理由如下：
设购买y个盲盒，则购买本笔记本，
由题意得：，
解方程得：，
又∵y需为正整数，
∴不符合题意，舍去，
∴班长算错了；
（3）解：设记号笔的单价为m元，
由题意得：，
解方程得：，
又∵y为正整数，m为不大于10元的整数，
∴或8，
故答案为：2或8．
23．已知：直线，点A和点B是直线a上的点，点C和点D是直线b上的点，连接，，设直线和交于点E．
（1）在如图1所示的情形下，若，求的度数；
（2）在如图2所示的情形下，若平分，平分，且与交于点F，当，时，求的度数；
（3）如图3，当点B在点A的右侧时，若平分，平分，且，交于点F，设，，用含有α，β的代数式表示的补角．
【答案】（1）解：过点E作，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴；
（2）如图，过点F作，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵平分，平分，，，
∴，，
∴；
（3）如图，过点F作，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵平分，平分，，，
∴，，
∴，
∴的补角．
【解析】【分析】本题主要考查平行线的性质、内错角性质、补角的定义、角平分线定义等，
（1）作直线EG∥CD，根据内错角相等，得出，，再根据 即可算出 的 度数；
（2）作直线HF∥DC，由角平分线的定义可知∠ABF=32°，∠CDF=36°，再根据内错角相等即可求解；
（3）作直线FQ∥CD，结合（1）、（2）的方法即可求解.
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