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【决战期末·50道解答题专练】人教版数学八年级下册期末总复习
1．如图，6x6网格中每个小正方形的边长都为1，△ABC的顶点均在网格的格点上．
（1）填空：AB＝　　，BC＝　　，AC＝　　；
（2）判断△ABC的形状，并说明理由；
（3）求△ABC的面积．
2．如图，∠AOB＝90°，OA＝8m，OB＝3m，一机器人在点B处看见一个小球从点A出发沿着AO方向匀速滚向点O，机器人立即从点B出发，沿直线匀速前进拦截小球，恰好在点C处截住了小球.如果小球滚动的路程与机器人行走的路程相等，那么机器人行走的路程BC是多少？
3．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=1，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，垂足为E.求BE的长.
4．如图1，在 中， ，平分，试判断和、之间的数量关系．数学研究小组发现，利用轴对称做一个变化，在上截取，得到一个全等的三角形，从而将问题解决（如图2）．
（1）在图2中哪两个三角形是全等三角形，请说明理由；
（2）和、之间的数量关系是： ． 说明理由；
参考数学研究小组发现思考问题的方法，解决问题：
（3）如图3， 在四边形中， 平分，求的长．
5．如图，在线段AB的同侧作△PAB和△QAB，PB和QA相交于点O，M、N分别是边AQ、BP的中点，连结PQ，PM，MN，∠APQ=∠ABQ=90°．
（1）判断△PMN的形状，并说明理由；
（2）当AQ=26，BP=24时，求MN的长．
6．某公司招聘职员，对甲、乙两位候选人进行了面试和笔试，面试中包括形体和口才，笔试中包括专业水平和创新能力考察，他们的成绩（百分制）如下表：
候选人 面试 笔试
形体 口才 专业水平 创新能力
甲 86 90 96 92
乙 92 88 95 93
若公司根据经营性质和岗位要求认为：形体、口才、专业水平、创新能力按照5：5：4：6的比确定，请计算甲、乙两人各自的平均成绩，看看谁将被录取？
7．如图，在平行四边形ABCD中，BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD，E在AD上，BE=12cm，CE=5cm，求平行四边形ABCD的周长．
8．（1）
（2）
9．在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如，，这样的式子，我们还可以将其进一步化简：，，
以上这种化简的步骤，将分母乘某个因式，使得积不含有根式，叫做分母有理化．其中还可以用以下方法化简：
（1）请用不同的方法化简
（2）化简：
10．如图，在中，，点是的中点，的平分线交于点，作，连接并延长交于点，连接．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）当时，请判断四边形的形状，并说明理由．
11．如图①所示，平行四边形是某公园的平面示意图．、、、分别是该公园的四个入口，两条主干道、交于点，请你帮助公园的管理人员解决以下问题：
（1）若，，，公园的面积为　 　；
（2）在（1）的条件下，如图②，公园管理人员在参观了南湖绿道后，为提升游客游览的体验感，准备修建三条绿道、、，其中点在上，点在上，且（点与点、不重合），并计划在与两块绿地所在区域种植郁金香，求种郁金香区域的面积；
（3）若将公园扩大，此时，，，修建（2）中的绿道每千米费用为万元，请你计算该公园修建这三条绿道投入资金的是小值．
12．某校八年级（1）班学生以跨学科主题学习为载体，综合运用体育、数学、生物学等知识，研究体育课的运动负荷．在体育课基本部分运动后，测量统计了部分学生的心率情况，按心率次数（次／分钟），分为如下五组：组：，组：，组：，组：，组：．
根据统计数据绘制了不完整的统计图（如图所示），请结合统计图解答下列问题：
（1）其中组数据为：70，65，65，50，50，60，60，60．组数据的中位数是________次，众数是________次，平均数是________次．
（2）这部分学生共有________人，组频数是________人．
（3）一般运动的适宜心率为（次／分钟），即、组都是适宜的心率．该校共有2000名学生，依据此次跨学科研究结果，估计该校大约有多少名学生达到适宜心率．
13．计算：（+）2﹣（﹣）2．
14．如图，点在的边AD上，，请从以下三个选项中：①；②；③，选择一个合适的选项作为已知条件，使为矩形.
（1）你添加的条件是　 　(填序号)；
（2）添加条件后，请证明为矩形.
15．某校八年级数学兴趣小组开展了测量学校旗杆高度的实践活动．他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量．测量结果如下表．
项目背景 测量实物图： 如图1，某校八年级数学兴趣小组自主开展测量学校旗杆高度的项目研究．他们制订了测量方案，并进行实地测量．
项目方案 测量示意图： 测量过程：步骤一：如图2，线段表示旗杆高度，垂直地面于点．将系在旗杆顶端的绳子垂直到地面，并多出了一段，用皮尺测出的长度．步骤二：如图3，小丽同学将绳子末端放置子头顶，向正东方向水平移动，直到绳子拉直为止，此时小丽同学直立于地面点处．用皮尺测出点与点之间的距离．
各项数据 测量项目 数据
绳子垂到地面多出的部分
小丽直立位置距旗杆底端的水平距离
小丽身高
请根据表格所给信息，完成下列问题．
（1）直接写出线段与之间的数量关系：_____________________________．
（2）根据该数学兴趣小组的测量方案和数据，求出学校旗杆的高．
16．如图，在中，连结对角线BD，点和点是外两点，且在直线BD上，．
（1）求证：四边形AECF是平行四边形．
（2）若，求AF的长．
17．为了响应国家提倡的“节能环保”号召，某共享电动车公司准备投入资金购买、两种电动车．若购买种电动车辆、种电动车辆，需投入资金万元；若购买种电动车辆、种电动车辆，需投入资金万元．已知这两种电动车的单价不变．
（1）求、两种电动车的单价分别是多少元？
（2）为适应共享电动车出行市场需求，该公司计划购买、两种电动车辆，其中种电动车的数量不多于种电动车数量的一半．当购买种电动车多少辆时，所需的总费用最少，最少费用是多少元？
（3）该公司将购买的、两种电动车投放到出行市场后，发现消费者支付费用元与骑行时间之间的对应关系如图．其中种电动车支付费用对应的函数为；种电动车支付费用是之内，起步价元，对应的函数为．请根据函数图象信息解决下列问题．
①小刘每天早上需要骑行种电动车或种电动车去公司上班．已知两种电动车的平均行驶速度均为3（每次骑行均按平均速度行驶，其它因素忽略不计），小刘家到公司的距离为，那么小刘选择______种电动车更省钱（填写或）．
②直接写出两种电动车支付费用相差元时，的值______．
18．如图，已知在六边形 中， ， ， ， ， ，求 的度数.（提示：延长 交 的延长线于点 ）
19．如图，CD∥AF，∠D=∠A，AB⊥BC，∠C=120°，∠E=80°.求∠F的度数.
20．在某次大型活动中，张老师用无人机进行航拍，在操控无人机时需根据现场状况调节高度．已知无人机在上升和下降过程中速度相同，设无人机的飞行高度h（米）与操控无人机的时间t（分钟）之间的关系如图中的实线所示，根据图象回答下列问题：
（1）无人机在50米高的上空停留的时间是多少分钟？
（2）在上升或下降过程中，无人机的速度为多少米/分钟？
（3）图中a，b表示的数分别是多少？
（4）求第14分钟时无人机的飞行高度是多少米？
21．为扎实推进“百县千镇万村高质量发展工程”，某镇已将区域内特色农产品：水晶梨和鹰嘴桃发展成品牌农业，形成“专业合作基地农户”产销一条龙服务的产业经营模式，促进农民增收．甲商场从该镇购买500斤水晶梨和300斤鹰嘴桃共用了4300元，已知水晶梨的单价比鹰嘴桃的单价少1元．
（1）水晶梨和鹰嘴桃的单价分别是多少元？
（2）因为市场销量非常好，该商场决定再次购买这两种水果1000斤，总共用了5400元，那么再次购买了这两种水果各多少斤？
（3）若该商场一次性购买这两种水果1200斤，并且在一天内分别以水晶梨每斤8元，鹰嘴桃每斤10元的价格全部售出，经市场调查发现商场每天最多能售出鹰嘴桃600斤，若商场购买鹰嘴桃的数量为n斤，总利润为w元，求w关于n的函数关系式，并求出购买的鹰嘴桃为多少斤时，商场的利润最大，最大利润为多少元．
22．已知：中，，，BC边上的高，求BC．
23．某中学体育器材室需采购一批跳绳，经过询价，超市里每条经典款跳绳（无电子计数器）的价格是体育商店的1.25倍，用100元在体育商店购买的经典款跳绳比在超市购买的多1条．
（1）求体育商店里每条经典款跳绳的价格．
（2）体育商店里每条智能款跳绳（有电子计数器）的价格是30元．学校决定在体育商店购买经典款、智能款两种跳绳共100条，且经典款跳绳的数量不超过智能款跳绳的数量．因购买数量较多，体育商店提供九折优惠，求本次采购的最少花费为多少元．
24．某超市计划招聘一名收银员，对三名应聘者进行了三项素质测试，右表是三名应聘者的素质测试成绩．超市根据实际需要，对计算机、商品知识、语言三项测试成绩分别赋予权重5∶3∶2，得到每一个人的综合成绩．问：
素质测试 测试成绩（分）
小王 小孙 小李
计算机 70 90 65
商品知识 50 75 55
语言 80 35 80
这三人中谁的综合成绩最好
25．如图，在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，已知直线l经过点A（-6，0），它与y轴交于点B，点B在y轴正半轴上，且OA=2OB，求直线l的函数解析式．
26．如图，在五边形中，平分，且，交于点．
（1）五边形的内角和为______度；
（2）若，求的度数．
27．如图，在四边形ABCD中，，，，，BC⊥DC于点C．求四边形ABCD的面积．
28．已知函数y＝kx＋b中，自变量x的取值范围是 ，相应函数值的取值范围是 ，求该函数的表达式．
29．如图，四边形中，，将对角线向两端分别延长至点，，使．连接，，若．证明：四边形是平行四边形．
30．国庆节期间，某水果公司组织20辆汽车装运A、B、C三种水果共120吨去外地销售，要求20辆汽车全部装满，每辆汽车只能装运同一种水果，且装运每种水果的车辆都不少于3辆，根据下表提供的信息，解答以下问题：
A B C
每辆汽车载货量（吨） 7 6 5
每吨水果获利（元） 1200 1800 1500
（1）设装运A水果的车辆为x辆，装B水果的车辆为y辆，求y与x之间的函数关系式，并求出车辆安排共有几种方案.
（2）用w来表示销售获得的利润，那么怎样安排车辆能使此次销售获利最大？并求出w的最大值．
31．草莓是一种极具营养价值的水果，当下正是草莓的销售旺季．某水果店以2850元购进两种不同品种的盒装草莓，若按标价出售可获毛利润1500元（毛利润=售价-进价），这两种盒装草莓的进价、标价如下表所示：
价格/品种 A品种 B品种
进价（元/盒） 45 60
标价（元/盒） 70 90
（1）求这两个品种的草莓各购进多少盒；
（2）该店计划下周购进这两种品种的草莓共100盒（每种品种至少进1盒），并在两天内将所进草莓全部销售完毕（损耗忽略不计）．因B品种草莓的销售情况较好，水果店计划购进B品种的盒数不低于A品种盒数的2倍，且A品种不少于20盒．如何安排进货，才能使毛利润最大，最大毛利润是多少？
32．某校学生会决定从两名学生会干事中选拔一名干部，现对甲、乙两名候选人进行了笔试、面试和民主测评，甲笔试成绩为95分，面试成绩为75分，民主测评分为90分；乙笔试成绩为85分，面试成绩为80分，民主测评分为110分。根据实际需要，学校将笔试、面试、民主测评三项得分依次按4∶4∶2 的比例确定最终成绩，从他们的最终成绩看，应选拔谁？
33．小芳家进行装修，她在材料市场选中了一种漂亮的正八边形的地砖，可建材行的服务员告诉她，仅一种正八边形的地砖是不能密铺地面的，随又向她推荐各种尺寸、形状、花色的其他地砖，供小芳搭配选用的有：菱形的、正方形的、矩形的、正三角形的、平行四边形的、各种三角形的、等腰直角三角形的、正六边形的、正五边形的、五角星形状的等等，小芳顿时选花了眼，你能帮忙筛选一下吗？如果小芳不选正八边形的地砖，她还可以有哪些选择？（列举2种即可）．
34．如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线AE交BC于点E，∠ABC的平分线BF交AD于点F，AE与BF相交于点O，连接EF.
（1）求证：四边形ABEF是菱形；
（2）若AE＝6，BF＝8，CE＝2，求平行四边形ABCD的面积.
35．如图，在 中，对角线、交于点，分别延长、至点、点，且，连接，，，．
（1）求证：；
（2）若，判断四边形的形状，并说出理由．
36．如图，在中，，高、交于点O，求的度数．
37．如图，在 ABCD 中，AB=5，BC=3，AC=
（1）求 ABCD的面积.
（2）求证：BD⊥BC.
38．在平面直角坐标系中，点A(2， m)在直线y=x+1上，过点A的直线交x轴于点B(1， 0)。
（1）求m的值和直线AB的函数表达式；
（2）若点C(x1， y1)在直线AB上，点D(x1+1， y2)在直线y=x+1上，判断3y2-y1的值是否随x1的变化而变化，若不变，求出这个值；若变化，请说明理由。
39．茶文化是中华文化的重要组成部分，历史悠久，内涵丰富．都匀毛尖茶是中国十大名茶之一：春茶鲜嫩，口感清爽；秋茶深沉，口感浓郁．某经销商欲购进春茶和秋茶共200盒进行销售，其中秋茶的盒数不得高于春茶盒数的2倍，已知春茶和秋茶的进价和售价如下表所示．设该经销商购进春茶的盒数为盒，且所购进的两种茶叶能全部卖出，获得的总利润为元．
种类价格 春茶 秋茶
进价/（元/盒） 580 280
售价/（元/盒） 620 325
（1）求与之间的函数解析式．
（2）若该经销商打算用不超过76900 元购进春茶和秋茶，共有几种进货方案？哪种进货方案才能使该经销商获利最大？并求出最大利润．
40．已知y=（m+1）x2﹣|m|+n+4
（1）当m、n取何值时，y是x的一次函数？
（2）当m、n取何值时，y是x的正比例函数？
41．如图，在平行四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，△AOB的周长为15，AB＝6，那么对角线AC与BD的和是多少
42．某银行为了提高服务水平，随机调查了40名顾客的等待时间（单位：min)，结果如下表：
2 5 10 3 8 20 25 30 10 15
35 21 7 5 4 18 11 13 20 16
6 12 8 14 15 10 5 21 23 10
3 33 24 15 17 20 27 8 6 16
（1）计算这组数据的四分位数并填写下表。
四分位数
最小值 m25 m50 m75 最大值
　 　 　 　 　
（2）这40名顾客的平均等待时间是多少 你对该银行改进服务质量有什么好的建议
43． 每年6月，正是广西芒果飘香的季节，某果商计划租用若干辆货车装运桂七和台农两种芒果共60吨去外地销售，要求每辆货车只能装一种芒果，且必须装满．已知每辆货车可装桂七4吨或台农6吨，桂七每吨获利1200元，台农每吨获利1500元，请解决下列问题．
（1）设装运桂七的货车有辆，装运台农的货车有辆，请用含的代数式来表示；
（2）写出总利润（元）与（辆）之间的函数关系式；
（3）若装运桂七的货车的辆数不得少于装运台农的货车的辆数，应怎样安排才能获得最大利润，并求出最大利润．
44．
（1）设实数x，y 满足 求x+y的值.
（2）已知实数x，y 满足 求 的值.
45．在平面直角坐标系中，O为原点，点A（6，0），点B在y轴的正半轴上，∠ABO＝30°．矩形CODE的顶点D，E，C分别在OA，AB，OB上，OD＝2．
（Ⅰ）如图①，求点E的坐标；
（Ⅱ）将矩形CODE沿x轴向右平移，得到矩形C'O'D'E'，点C，O，D，E的对应点分别为C'，O'，D'，E'．设OO'＝t，矩形C'O'D'E'与△ABO重叠部分的面积为S．
①如图②，当矩形C'O'D'E'与△ABO重叠部分为五边形时，C'E'，E'D'分别与AB相交于点M，F，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围；
②当 ≤S≤5 时，求t的取值范围（直接写出结果即可）．
46．如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，点P是线段AB的中点．
（1）在平面内是否存在点，使得的值最小？　 　（请填写“是”或“否”）；
（2）如果存在满足（1）中条件的点Q，请直接写出m的值和的最小值；如果不存在，请说明理由．
47．在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，D、E是直线AB上两点．∠DCE＝45°
（1）当CE⊥AB时，点D与点A重合，显然DE2＝AD2+BE2（不必证明）；
（2）如图，当点D不与点A重合时，求证：DE2＝AD2+BE2；
（3）当点D在BA的延长线上时，（2）中的结论是否成立？画出图形，说明理由．
48．如图，是正方形对角线上一点，，垂足分别是点、
（1）求证：；
（2）若，，求正方形的边长．
49．台州市某体育用品商店一次性购进排球、足球两种商品共100个，排球每个进价40元，售价50元，足球每个进价90元，售价105元.
（1）设购进排球x个，销售完此两种商品的总利润为y元，求出y与x的函数关系式；
（2）该商家计划最多投入8000元用于购进此两种商品共100件，至少要购进多少个排球？
（3）在（2）的条件下，若售完这些商品，商家可获得最大利润是多少元？
50． 摩天轮是一种常见的游乐设施，在综合实践活动中，数学小组的同学们借助仪器准确测量并记录了某个摩天轮的旋转时间t（单位：）和一个座舱A距离地面的高度h（单位：），部分数据如下：
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
30.00 15.36 10.00 15.36 30.00 50.00 70.00 84.64 90.00 84.64 70.00
请解决以下问题：
（1）通过分析数据，发现可以用函数刻画h与t之间的关系，在给出的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象；
（2）根据以上数据与函数图象，解决下列问题：
①此摩天轮座舱距离地面的高度最高为　 　，转盘的半径约为　 　；
②此摩天轮转一圈所用时间为　 　；
③若当座舱A距离地面的高度为时，座舱B距离地面的高度是，则至少经过　 　（精确到0.1），这两个座舱的高度相同．
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【决战期末·50道解答题专练】人教版数学八年级下册期末总复习
1．如图，6x6网格中每个小正方形的边长都为1，△ABC的顶点均在网格的格点上．
（1）填空：AB＝　　，BC＝　　，AC＝　　；
（2）判断△ABC的形状，并说明理由；
（3）求△ABC的面积．
【答案】（1），，5
（2）解：△ABC是直角三角形，理由如下：
∵（）2+（）2=52，
∴∠ABC=90°，
∴△ABC是直角三角形；
（3）解：=×AB×BC=×× = 5；
【解析】【解答】（1）解：根据题意，
，，；
故答案为：，，5；
【分析】（1）根据勾股定理即可求出答案.
（2）根据勾股定理的逆定理即可求出答案.
（3）根据三角形的面积即可求出答案.
（1）解：根据题意，
，，；
故答案为：，，5；
（2）解：△ABC是直角三角形，理由如下：
∵（）2+（）2=52，
∴∠ABC=90°，
∴△ABC是直角三角形；
（3）解：=×AB×BC=×× = 5；
2．如图，∠AOB＝90°，OA＝8m，OB＝3m，一机器人在点B处看见一个小球从点A出发沿着AO方向匀速滚向点O，机器人立即从点B出发，沿直线匀速前进拦截小球，恰好在点C处截住了小球.如果小球滚动的路程与机器人行走的路程相等，那么机器人行走的路程BC是多少？
【答案】解：∵小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，
∴BC=AC， 设BC=AC=x m， 则OC=（8-x）m，
在Rt△BOC中， ∵OB2+OC2=BC2，
∴32+（8-x）2=x2， 解得.
∴机器人行走的路程BC为m.
【解析】【分析】由题意得BC=AC，设BC=AC=x m， 则OC=（8-x）m， 在Rt△BOC中 ，利用勾股定理建立方程，求解即可得出答案.
3．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=1，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，垂足为E.求BE的长.
【答案】解：∵∠C=90°，DE⊥AB
∴
∵ AD平分∠ CAB，
∴
又∵AD=AD
∴ △CAD≌△EAD（AAS）
∴ AE=AC=1
在Rt△ACB中，由勾股定理得
∴
【解析】【分析】首先利用AAS判断出△CAD≌△EAD，根据全等三角形对应边相等得AE=AC=1，再利用勾股定理算出AB，最后根据BE=AB-AE算出答案.
4．如图1，在 中， ，平分，试判断和、之间的数量关系．数学研究小组发现，利用轴对称做一个变化，在上截取，得到一个全等的三角形，从而将问题解决（如图2）．
（1）在图2中哪两个三角形是全等三角形，请说明理由；
（2）和、之间的数量关系是： ． 说明理由；
参考数学研究小组发现思考问题的方法，解决问题：
（3）如图3， 在四边形中， 平分，求的长．
【答案】解∶（1），
理由如下：
∵平分，
∴，
又∵，，
∴；
（2），理由如下：
由（1）可得，，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
故答案为：；
（3）如图，在上截取，连接，
∵平分，
∴，
又∵，，
∴，
，，
过点C作于点F，
∴，
设，
在中，，
在中，，
∴，
解得，
∴．
【解析】【分析】（1）利用角平分线的定义可得，再利用“SAS”证出即可；
（2）先利用全等三角形的性质可得，， 再求出，结合，最后利用线段的和差及等量代换可得；
（3）在上截取，连接，过点C作于点F，设，利用勾股定理可得， 求出x的值，最后求出即可.
5．如图，在线段AB的同侧作△PAB和△QAB，PB和QA相交于点O，M、N分别是边AQ、BP的中点，连结PQ，PM，MN，∠APQ=∠ABQ=90°．
（1）判断△PMN的形状，并说明理由；
（2）当AQ=26，BP=24时，求MN的长．
【答案】（1）解：△PMN为直角三角形，理由如下：
如图，连结BM，
∵∠APQ=∠ABQ=90°，点M是AQ的中点
∴PM=AQ，BM=AQ，
∴PM=BM
又∵N为PB的中点
∴MN⊥PB
∴△PMN为直角三角形
（2）解：由(1)知PM=AQ，
∵AQ=26
∴PM=13
又∵N为BP的中点，且BP=24
∴PN=BP=12
∵MN⊥PB
∴MN2=PM2-PN2=25
∴MN=±5
又∵MN>0
∴MN=5
【解析】【分析】(1)连结BM，由直角三角形斜边中线的性质可证 PM＝BM，再由等腰三角形三线合一的性质证明 即可；
(2)先求出PM和PN的长，再利用勾股定理求解即可.
6．某公司招聘职员，对甲、乙两位候选人进行了面试和笔试，面试中包括形体和口才，笔试中包括专业水平和创新能力考察，他们的成绩（百分制）如下表：
候选人 面试 笔试
形体 口才 专业水平 创新能力
甲 86 90 96 92
乙 92 88 95 93
若公司根据经营性质和岗位要求认为：形体、口才、专业水平、创新能力按照5：5：4：6的比确定，请计算甲、乙两人各自的平均成绩，看看谁将被录取？
【答案】解：形体、口才、专业水平创新能力按照5：5：4：6的比确定，
则甲的平均成绩为=90.8，
乙的平均成绩为=91.9，
显然乙的成绩比甲的高，从平均成绩看，应该录取乙．
【解析】【分析】按照权重分别为5：5：4：6计算两人的平均成绩，平均成绩高将被录取．
7．如图，在平行四边形ABCD中，BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD，E在AD上，BE=12cm，CE=5cm，求平行四边形ABCD的周长．
【答案】解：在平行四边形ABCD中，
∵AB∥CD，
∴∠ABC+∠BCD=180°，
∵∠ABE=∠EBC，∠BCE=∠ECD．，
∴∠EBC+∠BCE=90°，
∴∠BEC=90°，
∴BC2=BE2+CE2=122+52=132
∴BC=13cm，
∵AD∥BC，
∴∠AEB=∠EBC，
∴∠AEB=∠ABE，
∴AB=AE，
同理CD=ED，
∵AB=CD，
∴AB=AE=CD=ED= BC=6.5cm，
∴平行四边形ABCD的周长=2（AB+BC）=2（6.5+13）=39cm
【解析】【分析】根据角平分线的定义和平行线的性质得到等腰三角形ABE和等腰三角形CDE和直角三角形BCE．根据直角三角形的勾股定理得到BC=13．根据等腰三角形的性质得到AB．CD，从而求得该平行四边形的周长．
8．（1）
（2）
【答案】解：（1）原式
；
（2）原式
．
【解析】【分析】（1）可以先去括号，再根据二次根式的加减混合运算法则进行计算；
（2）先计算完全平方公式与平方差公式，再合并同类二次根式即可．
9．在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如，，这样的式子，我们还可以将其进一步化简：，，
以上这种化简的步骤，将分母乘某个因式，使得积不含有根式，叫做分母有理化．其中还可以用以下方法化简：
（1）请用不同的方法化简
（2）化简：
【答案】（1）解：方法一
方法二
（2）解：原式=
=
【解析】【分析】(1)根据题义能把分母化为有理数即可；
(2)分母有理化后，合并同类二次根式即可；
10．如图，在中，，点是的中点，的平分线交于点，作，连接并延长交于点，连接．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）当时，请判断四边形的形状，并说明理由．
【答案】（1）证明：，
，，
，
≌，
，
四边形是平行四边形；
（2）解：四边形是菱形，理由如下：
，，
，
平分，
，
，
，
四边形是平行四边形，
四边形是菱形．
【解析】【分析】（1）利用AAS证出△AEF≌△CED，得出AF=CD，再根据平行四边形的判定定理即可得出 四边形是平行四边形；
（2）先证出AD=CD，再根据菱形的判定定理即可得出四边形是菱形.
11．如图①所示，平行四边形是某公园的平面示意图．、、、分别是该公园的四个入口，两条主干道、交于点，请你帮助公园的管理人员解决以下问题：
（1）若，，，公园的面积为　 　；
（2）在（1）的条件下，如图②，公园管理人员在参观了南湖绿道后，为提升游客游览的体验感，准备修建三条绿道、、，其中点在上，点在上，且（点与点、不重合），并计划在与两块绿地所在区域种植郁金香，求种郁金香区域的面积；
（3）若将公园扩大，此时，，，修建（2）中的绿道每千米费用为万元，请你计算该公园修建这三条绿道投入资金的是小值．
【答案】（1）
（2）解：连接、，如图：
在中，，
，
，
，，，
，
，
．
种植郁金香区域的面积为．
（3）解：将沿向下平移至，
连接交于点，此时即为取最小值，此时点位于处，过作于点，如图：
，，
为的中位线，
，
四边形和四边形均为平行四边形，
，
，，，
，
是等边三角形，
，
，
在中，由勾股定理得：，
在中，
由勾股定理得：，
，
、、和的最小值为：，
投入资金的最小值为：（万元）．
【解析】【解答】解：（1）作BE⊥OA，如下图：
∵四边形ABCD为平行四边形，AC=2.6km，BD=2km，
∴
∵AB=OB，BE⊥OA，
∴
∴
∴
∴
故答案为：.
【分析】（1）作BE⊥OA，根据平行四边形的性质求OA、OB，从而求得，即可得出答案；
（2）根据已知条件得：，从而，再根据：，证明：，即可求解；
（3）由题意可知MN为定值，从而将AN沿NM向下平移2km至PM，连接PC交BD于点M'，此时即为 AN+CM=PC取最小值，此时点N位于N'处，过M'作M'G⊥AC于点G，先判定四边形APM'N'和四边形AM'CN'均为平行四边形，再用三角函数求得：的长，然后利用·勾股定理求得PC的长，可得最短的绿道长度，从而求得费用的最小值.
12．某校八年级（1）班学生以跨学科主题学习为载体，综合运用体育、数学、生物学等知识，研究体育课的运动负荷．在体育课基本部分运动后，测量统计了部分学生的心率情况，按心率次数（次／分钟），分为如下五组：组：，组：，组：，组：，组：．
根据统计数据绘制了不完整的统计图（如图所示），请结合统计图解答下列问题：
（1）其中组数据为：70，65，65，50，50，60，60，60．组数据的中位数是________次，众数是________次，平均数是________次．
（2）这部分学生共有________人，组频数是________人．
（3）一般运动的适宜心率为（次／分钟），即、组都是适宜的心率．该校共有2000名学生，依据此次跨学科研究结果，估计该校大约有多少名学生达到适宜心率．
【答案】（1）60；60；60
（2）100；30
（3）解：（名，
大约有1500名学生达到适宜心率．
【解析】【解答】（1）解：将组数据从小到大排列为：50，50，60，60，60，65，65，70，
中位数为(次)；
出现的次数最多，
众数是60(次)；
(次)
故答案为：60；60；60；
（2）解：这部分学生共有：（人）
组频数为(人)，
故答案为：100；30．
【分析】（1）利用中位数和众数的定义及计算方法分析求解即可；
（2）利用“A”的人数除以对应的百分比可得总人数，再求出“C”的频数即可；
（3）先求出“C、D”的百分比，再乘以2000可得答案.
（1）解：将组数据从小到大排列为：50，50，60，60，60，65，65，70，
中位数为(次)；
出现的次数最多，
众数是60(次)；
(次)
故答案为：60；60；60．
（2）解：这部分学生共有：（人）
组频数为(人)，
故答案为：100；30．
（3）解：（名，
大约有1500名学生达到适宜心率．
13．计算：（+）2﹣（﹣）2．
【答案】解：（+）2﹣（﹣）2
=[（+）+﹣][（+）﹣（﹣）]
=2×2
=4．
【解析】【分析】直接利用平方差公式分解因式求出即可．
14．如图，点在的边AD上，，请从以下三个选项中：①；②；③，选择一个合适的选项作为已知条件，使为矩形.
（1）你添加的条件是　 　(填序号)；
（2）添加条件后，请证明为矩形.
【答案】（1）①或②
（2）解：选择①∠1=∠2，
证明：∵BM=CM，
∴∠3=∠4，
∵∠1=∠2，
∴∠ABC=∠BCD，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠ABC+∠BCD=180°，
∴∠ABC=∠BCD=90°，
∴为矩形；
选择②AM=DM，
证明：四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD，
∴∠A+∠D=180°，
在和中，
，
∴，
∴∠A=∠D，
∴∠A=∠D=90°，
为矩形.
【解析】【解答】解：（1） ①当∠1=∠2时，可证∠ABC=∠BCD=90°，则为矩形，
②当AM=DM时，可证，得∠A=∠D=90°，则为矩形，
故答案为：①或②.
【分析】（1）根据矩形的判定定理添加条件即可；
（2）选择①，根据等腰三角形“等边对等角”得∠3=∠4，从而有∠ABC=∠BCD，根据平行四边形、平行线的性质得∠ABC+∠BCD=180°，从而有∠ABC=∠BCD=90°，接下来根据矩形的判定定理得证；
选择②，根据平行四边形的性质得AB∥CD，AB=CD，从而有∠A+∠D=180°，接下来利用全等三角形的判定定理“SSS”证，根据全等三角形的性质得∠A=∠D=90°，最后根据矩形的判定定理得证.
15．某校八年级数学兴趣小组开展了测量学校旗杆高度的实践活动．他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量．测量结果如下表．
项目背景 测量实物图： 如图1，某校八年级数学兴趣小组自主开展测量学校旗杆高度的项目研究．他们制订了测量方案，并进行实地测量．
项目方案 测量示意图： 测量过程：步骤一：如图2，线段表示旗杆高度，垂直地面于点．将系在旗杆顶端的绳子垂直到地面，并多出了一段，用皮尺测出的长度．步骤二：如图3，小丽同学将绳子末端放置子头顶，向正东方向水平移动，直到绳子拉直为止，此时小丽同学直立于地面点处．用皮尺测出点与点之间的距离．
各项数据 测量项目 数据
绳子垂到地面多出的部分
小丽直立位置距旗杆底端的水平距离
小丽身高
请根据表格所给信息，完成下列问题．
（1）直接写出线段与之间的数量关系：_____________________________．
（2）根据该数学兴趣小组的测量方案和数据，求出学校旗杆的高．
【答案】（1）
（2）解：如下图，
根据题意，可知，，，
设，则，
在中，可有，
即，
解得：，
所以，
所以，
答：学校旗杆的高为．
【解析】【解答】（1）解：根据题意，可知，，，
则．
故答案为：.
【分析】（1）先结合图形可得，，，再利用线段的和差求出即可；
（2）设，则，利用勾股定理可得，即，求出x的值，可得AM的长，最后利用线段的和差求出MN的长即可.
（1）解：根据题意，可知，，，
则．
故答案为：；
（2）如下图，
根据题意，可知，，，
设，则，
在中，可有，
即，解得，
所以，
所以，
答：学校旗杆的高为．
16．如图，在中，连结对角线BD，点和点是外两点，且在直线BD上，．
（1）求证：四边形AECF是平行四边形．
（2）若，求AF的长．
【答案】（1）证明：∵点E和点F是直线BD上的两点且DE=BF，
∴DE+DB=BF+BD，
∴BE = DE，
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB//CD，AB=CD，
∴∠ABE=∠CDF，
在△ABE和△CDF中，
∴△ABE≌△CDF(SAS)，
∴AE=CF，∠AEB=∠CFD
∴AE//CF，
∴四边形AECF是平行四边形
（2）解：设点D到AF的距离为h，
∵AD⊥BD，AB=5，AD=BC=3，
∴∠ADB=90°，
∴，
∵DE+BF+BD=2BF+4=FE=8，
∴BE=2，
∴DF=BD+BF=4+2=6，
∴
【解析】【分析】(1)由DE=BF，推导出BE=DF，由平行四边形的性质得AB//CD，AB=CD，则∠ABE=∠CDF，即可根据“SAS”证明△ABE≌△CDF，得AE=CF，∠AEB=∠CFD，进而即可得出结论；
(2)设点D到AF的距离为h，由∠ADB=90°，AB=5，AD=BC=3，求得BD=4，则2BF+4=FE=8，所以BF=2，则DF=6，进而即可求解.
17．为了响应国家提倡的“节能环保”号召，某共享电动车公司准备投入资金购买、两种电动车．若购买种电动车辆、种电动车辆，需投入资金万元；若购买种电动车辆、种电动车辆，需投入资金万元．已知这两种电动车的单价不变．
（1）求、两种电动车的单价分别是多少元？
（2）为适应共享电动车出行市场需求，该公司计划购买、两种电动车辆，其中种电动车的数量不多于种电动车数量的一半．当购买种电动车多少辆时，所需的总费用最少，最少费用是多少元？
（3）该公司将购买的、两种电动车投放到出行市场后，发现消费者支付费用元与骑行时间之间的对应关系如图．其中种电动车支付费用对应的函数为；种电动车支付费用是之内，起步价元，对应的函数为．请根据函数图象信息解决下列问题．
①小刘每天早上需要骑行种电动车或种电动车去公司上班．已知两种电动车的平均行驶速度均为3（每次骑行均按平均速度行驶，其它因素忽略不计），小刘家到公司的距离为，那么小刘选择______种电动车更省钱（填写或）．
②直接写出两种电动车支付费用相差元时，的值______．
【答案】（1）解：设A、B两种电动车的单价分别是x元、y元，
根据题意可列方程组得：，
解这个方程组得：，
答：A、B两种电动车的单价分别为元、元.
（2）解：设购买A种电动车m辆时，所需费用最少，则B种电动车为（200-m）辆，
根据题意可得m≤（200-m），
解这个不等式得：，
解得：，
设所需的总费用为w元，
根据题意可得：w=1000m+3500（200-m）=-2500m+700000，
∵k=-2500＜0，
∴w随着x的增大而减小，
∴m取得最大值时，w取得最小值，
根据题意可知m的值为正整数，
∴m=66，则w=-2500m+700000=-2500×66+700000=535000，
答：当购买种电动车辆时所需的总费用最少，最少费用为元
（3）①②或
【解析】【解答】解：（3）①根据函数图象可知当x＜20时，y1＜y2，当x＞20时，y1＞y2，
根据题意可知，两种电动车所用时间x相同，x=8000÷300=min＞20，
∴ 小刘选择B种电动车更省钱；
②根据函数图象可知y1与y2相交于（20，8），
设y1=k1x，将（20，8）代入得：8=20k，解得：k1=，
∴y1=x，
当0＜x＜10时，y2=6，则有y2-y1=4，
即6-x=4，
解得：x=5，；
当x≥10时，根据函数图象可知点（10，6）在函数y2上，
设y2=k2x+b，
∴将（10，6）、（20，8）代入y2=k2x+b得：，
解得：，
∴y2=，
则有=4，
即=4，
解得：x=40或x=0（不符合题意舍去）
综上所述， 两种电动车支付费用相差元时，的值为5或者40，
故答案为：或.
【分析】（1）根据题意设、两种电动车的单价分别为元、元，列出二元一次方程组求解即可得出答案；
（2）设购买A种电动车m辆时，所需费用最少，则B种电动车为（200-m）辆，根据题意列出不等式，求得出的取值范围，设所需的总费用为w元，再根据题意得出用x表示w的函数关系式，根据一次函数的性质即可得出结论；
（3）①直接根据函数图象求解即可；
②根据函数图象，分别求得的函数解析式，分0＜x＜10，x≥10两段进行讨论即可.
（1）解：设、两种电动车的单价分别为元、元
由题意得，
解得
答：、两种电动车的单价分别为元、元
（2）设购买种电动车辆，则购买种电动车辆，
由题意得
解得：
设所需购买总费用为元，则
，随着的增大而减小，
取正整数
时，最少
元
答：当购买种电动车辆时所需的总费用最少，最少费用为元
（3）解：①∵两种电动车的平均行驶速度均为3，小刘家到公司的距离为，
∴所用时间为分钟，
根据函数图象可得当时，更省钱，
∴小刘选择种电动车更省钱，
故答案为：．
②设，将代入得，
解得：
∴；
当时，，
当时，设，将，代入得，
解得：
∴
依题意，当时，
即
解得：
当时，
即
解得：（舍去）或
故答案为：或．
18．如图，已知在六边形 中， ， ， ， ， ，求 的度数.（提示：延长 交 的延长线于点 ）
【答案】解：如解图，延长 交 的延长线于点 ，
，
，
，
根据多边形内角和可知 ，
，
.
【解析】【分析】延长CB与FA的延长线交于点G，根据两直线平行，同旁内角互补求出∠G，根据垂直的定义可得∠ABG＝90°，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠BAF，即∠D的度数，再根据五边形的内角和公式列方程求解即可.
19．如图，CD∥AF，∠D=∠A，AB⊥BC，∠C=120°，∠E=80°.求∠F的度数.
【答案】解：连接AD，
∵ AB⊥BC ，
∴∠B=90°，
∵ ∠C=120°，
∴∠BAD+∠ADC=360°-∠B-∠C=150°，
∵ CD∥AF ，
∴∠DAF=∠ADC，
∵ ∠CDE=∠BAF ，
∴∠ADE=∠BAD，
∴∠DAF+∠EDA=∠BAD+∠ADC=150°，
∵∠DAF+∠F+∠E+∠EDA=360°，
∴∠F+∠E=210°，
∵ ∠E=80°，
∴ ∠F=130°.
【解析】【分析】连接AD，由四边形内角和可求∠BAD+∠ADC=360°-∠B-∠C=150°，根据平行线的性质可得∠DAF=∠ADC，再利用四边形内角和及∠CDE=∠BAF即可求解.
20．在某次大型活动中，张老师用无人机进行航拍，在操控无人机时需根据现场状况调节高度．已知无人机在上升和下降过程中速度相同，设无人机的飞行高度h（米）与操控无人机的时间t（分钟）之间的关系如图中的实线所示，根据图象回答下列问题：
（1）无人机在50米高的上空停留的时间是多少分钟？
（2）在上升或下降过程中，无人机的速度为多少米/分钟？
（3）图中a，b表示的数分别是多少？
（4）求第14分钟时无人机的飞行高度是多少米？
【答案】（1）解：根据图象，无人机在50米高的上空停留的时间是6-2=4（分钟）.
（2）解：在上升或下降过程中，无人机的速度=25（米/分）.
（3）解：图中a表示的数是6+=7（分钟）；
b表示的数是12+=15（分钟）.
（4）解：在第14分钟时无人机的飞行高度为75-（14-12）×25=25（米）．
【解析】【分析】（1）根据函数图象中的数据分析求解即可；
（2）根据函数图象中的数据及“速度、路程和时间”的关系分析求解即可；
（3）根据函数图象中的数据及“速度、路程和时间”的关系分析求解即可；
（4）根据函数图象中的数据及“速度、路程和时间”的关系分析求解即可.
（1）解：根据图象，无人机在50米高的上空停留的时间是6-2=4（分钟）；
（2）解：在上升或下降过程中，无人机的速度=25（米/分）；
（3）解：图中a表示的数是6+=7（分钟）；
b表示的数是12+=15（分钟）；
（4）解：在第14分钟时无人机的飞行高度为75-（14-12）×25=25（米）．
21．为扎实推进“百县千镇万村高质量发展工程”，某镇已将区域内特色农产品：水晶梨和鹰嘴桃发展成品牌农业，形成“专业合作基地农户”产销一条龙服务的产业经营模式，促进农民增收．甲商场从该镇购买500斤水晶梨和300斤鹰嘴桃共用了4300元，已知水晶梨的单价比鹰嘴桃的单价少1元．
（1）水晶梨和鹰嘴桃的单价分别是多少元？
（2）因为市场销量非常好，该商场决定再次购买这两种水果1000斤，总共用了5400元，那么再次购买了这两种水果各多少斤？
（3）若该商场一次性购买这两种水果1200斤，并且在一天内分别以水晶梨每斤8元，鹰嘴桃每斤10元的价格全部售出，经市场调查发现商场每天最多能售出鹰嘴桃600斤，若商场购买鹰嘴桃的数量为n斤，总利润为w元，求w关于n的函数关系式，并求出购买的鹰嘴桃为多少斤时，商场的利润最大，最大利润为多少元．
【答案】（1）解：设鹰嘴桃的单价为元，则水晶梨的单价为元，
根据题意，得
解得：
则（元）
水晶梨和鹰嘴桃的单价分别是元；
（2）解：设再次购买了鹰嘴桃斤，则水晶梨为斤
根据题意，得
解得：
则（千克）
∴那么再次购买了鹰嘴桃斤，水晶梨为斤；
（3）解：∵若商场购买鹰嘴桃的数量为n斤，总利润为w元，
∴购买水晶梨的数量为斤
根据题意，得
则随着的增大而增大
∵经市场调查发现商场每天最多能售出鹰嘴桃600斤
∴
∴w关于n的函数关系式
则当时，由最大值，且为
∴购买的鹰嘴桃为斤时，商场的利润最大，最大利润为元
【解析】【分析】（1）设鹰嘴桃的单价为元，则水晶梨的单价为元，根据“甲商场从该镇购买500斤水晶梨和300斤鹰嘴桃共用了4300元”列出方程，再求解即可；
（2）设再次购买了鹰嘴桃斤，则水晶梨为斤，根据“该商场决定再次购买这两种水果1000斤，总共用了5400元”列出方程，再求解即可；
（3）设商场购买鹰嘴桃的数量为n斤，总利润为w元，利用“总利润=单价利润×数量”列出函数解析式，再利用一次函数的性质分析求解即可.
22．已知：中，，，BC边上的高，求BC．
【答案】解：①∵在Rt△ABD中，
∴BD＝，
在Rt△ADC中，CD＝，
故BC＝BD＋CD＝14；
②在Rt△ABD中，
BD＝，
在Rt△ADC中，CD＝，
故BC＝BD CD＝4，
∴BC的长为或4或14．
【解析】【分析】分两种情况，分别画出图象，再利用勾股定理求解即可。
23．某中学体育器材室需采购一批跳绳，经过询价，超市里每条经典款跳绳（无电子计数器）的价格是体育商店的1.25倍，用100元在体育商店购买的经典款跳绳比在超市购买的多1条．
（1）求体育商店里每条经典款跳绳的价格．
（2）体育商店里每条智能款跳绳（有电子计数器）的价格是30元．学校决定在体育商店购买经典款、智能款两种跳绳共100条，且经典款跳绳的数量不超过智能款跳绳的数量．因购买数量较多，体育商店提供九折优惠，求本次采购的最少花费为多少元．
【答案】（1）解：设体育商店里每条经典款跳绳的价格为x元，则超市里每条经典款跳绳的价格为1.25x元．
由题意，可得，
解得．
经检验，为原分式方程的解，且符合题意．
答：体育商店里每条经典款跳绳的价格为20元．
（2）设在体育商店购买经典款跳绳m条，则购买智能款跳绳条．
由题意，可知，解得．
设本次采购的花费为y元．
则．
∵，
∴y随m的增大而减小．
∴当时，花费最少，此时．
答：本次采购的最少花费为2250元．
【解析】【分析】
（1）首先设体育商店中每条经典款跳绳的价格为x元，结合题目给出的数量关系列出分式方程，求解后即可得到经典款跳绳的单价；
（2）设在本次采购中，在体育商店购买经典款跳绳m条，先结合“经典款跳绳的数量不超过智能款跳绳的数量”这一条件，得到的取值范围；再设本次采购的总花费为y元，列出总花费关于m的一次函数解析式，最后利用一次函数的增减性，即可得到花费最少的采购方案.
（1）解：设体育商店里每条经典款跳绳的价格为x元，则超市里每条经典款跳绳的价格为1.25x元．
由题意，可得，
解得．
经检验，为原分式方程的解，且符合题意．
答：体育商店里每条经典款跳绳的价格为20元．
（2）设在体育商店购买经典款跳绳m条，则购买智能款跳绳条．
由题意，可知，解得．
设本次采购的花费为y元．
则．
∵，
∴y随m的增大而减小．
∴当时，花费最少，此时．
答：本次采购的最少花费为2250元．
24．某超市计划招聘一名收银员，对三名应聘者进行了三项素质测试，右表是三名应聘者的素质测试成绩．超市根据实际需要，对计算机、商品知识、语言三项测试成绩分别赋予权重5∶3∶2，得到每一个人的综合成绩．问：
素质测试 测试成绩（分）
小王 小孙 小李
计算机 70 90 65
商品知识 50 75 55
语言 80 35 80
这三人中谁的综合成绩最好
【答案】解：小王得分：(分).
同理可得，小孙得74.5分，
小李得65分.
所以小孙成绩最好
【解析】【分析】根据加权平均数的定义计算小王、小李、小孙的平均数，再比较即可.
25．如图，在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，已知直线l经过点A（-6，0），它与y轴交于点B，点B在y轴正半轴上，且OA=2OB，求直线l的函数解析式．
【答案】解：∵点A坐标为（-6，0）∴OA=6，又∵OA=2OB
∴OB=3 即点B坐标为（0，3）
设直线l的函数解析式为y=kx+b，把点A、B代入解析式得
解得：
∴直线l的函数解析式为
【解析】【分析】先求出点B坐标为（0，3），再利用待定系数法求函数解析式即可。
26．如图，在五边形中，平分，且，交于点．
（1）五边形的内角和为______度；
（2）若，求的度数．
【答案】（1）540
（2）解：，，
，
平分，
，
，
．
【解析】【解答】（1）解：五边形的内角和为
故答案为：540
【分析】（1）利用多边形内角和公式（为边数 ），代入计算.
（2）先由和的度数，利用平行线同旁内角互补求；再由角平分线得；最后根据五边形内角和，结合已知、度数，求出 .
（1）解：五边形的内角和为；
故答案为：540；
（2）解：，，
，
平分，
，
，
．
27．如图，在四边形ABCD中，，，，，BC⊥DC于点C．求四边形ABCD的面积．
【答案】解：连接BD，如图所示：
∵BC⊥DC，，，
∴，
在△ABD中，，，
∴，
∴△ABD是直角三角形，
∴．
【解析】【分析】连接BD，用勾股定理可求得BD的值，根据勾股定理的逆定理可得△ABD是直角三角形，然后根据四边形ABCD的构成可求解．
28．已知函数y＝kx＋b中，自变量x的取值范围是 ，相应函数值的取值范围是 ，求该函数的表达式．
【答案】解：分两种情况：
①若y随着x的增大而减小，则当x＝ 1时，y＝8、x＝7时，y＝ 12，
将其分别代入表达式，得： ，
解得： ，
则函数表达式为 ；
②若y随着x的增大而增大，则x＝ 1时，y＝ 12、x＝7时，y＝8，
将其分别代入表达式，得 ，
解得： ，
则函数表达式为 ，
综上所述，该函数的表达式为： 或 ．
【解析】【分析】根据一次函数的增减性，分两种情况讨论：①当k＞0时，y随x的增大而增大，把x＝ 1，y＝ 12；x＝7，y＝8代入一次函数的解析式y＝kx＋b，运用待定系数法即可求出函数的解析式；②当k＜0时，y随x的增大而减小，把x＝ 1时，y＝8，x＝7时，y＝ 12，代入一次函数的解析式y＝kx＋b，运用待定系数法即可求出函数的解析式．
29．如图，四边形中，，将对角线向两端分别延长至点，，使．连接，，若．证明：四边形是平行四边形．
【答案】证明：在和中，
∵，
∴，
∴∠BAE=∠DCF，
∴∠BAC=180°-∠BAE=180°-∠DCF=∠DCA，
∴AB∥CD，
又∵，
∴四边形是平行四边形．
【解析】【分析】先证出AB//CD，再结合AB=DC，即可证出四边形ABCD是平行四边形。
30．国庆节期间，某水果公司组织20辆汽车装运A、B、C三种水果共120吨去外地销售，要求20辆汽车全部装满，每辆汽车只能装运同一种水果，且装运每种水果的车辆都不少于3辆，根据下表提供的信息，解答以下问题：
A B C
每辆汽车载货量（吨） 7 6 5
每吨水果获利（元） 1200 1800 1500
（1）设装运A水果的车辆为x辆，装B水果的车辆为y辆，求y与x之间的函数关系式，并求出车辆安排共有几种方案.
（2）用w来表示销售获得的利润，那么怎样安排车辆能使此次销售获利最大？并求出w的最大值．
【答案】（1）解：设装运A水果的车辆为x辆，装运B水果的车辆为y辆，则运C水果的车辆为（20﹣x﹣y）辆．
7x+6y+5（20﹣x﹣y）＝120，
∴y＝﹣2x+20；
由题意得：
解得：
∵x为正整数
∴x=3，4，5，6，7，8 故共有6种方案
（2）解：w＝7×1200x+6×1800（﹣2x+20）+5×1500×[20﹣x﹣（﹣2x+20）]，
即w＝﹣5700x+216000，
∵﹣5700＜0，
∴w随x的增大而减小，
∴当x＝3时，w有最大值198900元，
∴装运A水果的车辆为3辆，装运B水果的车辆为14辆，装运C水果的车辆为3辆时，此次销售获利最大，最大利润为198900元．
【解析】【分析】(1)设装运A水果的车辆为x辆，装运B水果的车辆为y辆，则运C水果的车辆(20-x-y)辆，利用表格中数据可列出关系式7x+6y+5(20-x-y)=120，化简得y＝-2x+20， 由装运每种水果的车辆都不少于3辆得-3≤x≤，根据x为正整数，可得共有6种方案；
(2)利用利润=车辆数×每车水果获利，可得w与x的函数关系式w＝-5700x+216000，根据一次函数的性质得 w随x的增大而减小， 从而当x＝3时，w有最大值.
31．草莓是一种极具营养价值的水果，当下正是草莓的销售旺季．某水果店以2850元购进两种不同品种的盒装草莓，若按标价出售可获毛利润1500元（毛利润=售价-进价），这两种盒装草莓的进价、标价如下表所示：
价格/品种 A品种 B品种
进价（元/盒） 45 60
标价（元/盒） 70 90
（1）求这两个品种的草莓各购进多少盒；
（2）该店计划下周购进这两种品种的草莓共100盒（每种品种至少进1盒），并在两天内将所进草莓全部销售完毕（损耗忽略不计）．因B品种草莓的销售情况较好，水果店计划购进B品种的盒数不低于A品种盒数的2倍，且A品种不少于20盒．如何安排进货，才能使毛利润最大，最大毛利润是多少？
【答案】解：（1）设品种草莓购进盒，品种草莓购进盒，则
解得：
即品种草莓购进盒，品种草莓购进盒．
（2）设品种草莓购进盒，则品种草莓购进盒，总利润为元，则
又由题意得：
解得：
为正整数，的最大整数为 最小整数为
＜
随的增大而减少，
当时，取最大值，最大值为：
所以安排品种草莓购进盒，则品种草莓购进盒，可以获得最大利润元．
【解析】【分析】（1）设品种草莓购进盒，品种草莓购进盒，根据题意列二元一次方程组解题即可；
（2）设品种草莓购进盒，总利润为元，得到关于的函数解析式式，求出解的范围，再根据一次函数的增减性解题即可．
32．某校学生会决定从两名学生会干事中选拔一名干部，现对甲、乙两名候选人进行了笔试、面试和民主测评，甲笔试成绩为95分，面试成绩为75分，民主测评分为90分；乙笔试成绩为85分，面试成绩为80分，民主测评分为110分。根据实际需要，学校将笔试、面试、民主测评三项得分依次按4∶4∶2 的比例确定最终成绩，从他们的最终成绩看，应选拔谁？
【答案】解：甲的最终成绩：
(95×4＋75×4＋90×2)÷(4＋4＋2)＝860÷10＝86(分)，
乙的最终成绩：
(85×4＋80×4＋110×2)÷(4＋4＋2)＝880÷10＝88(分)，
因为88＞86，所以乙最终得分高。
答：从他们的最终成绩看，应选拔乙。
【解析】【分析】根据加权平均数的定义列式计算即可.
33．小芳家进行装修，她在材料市场选中了一种漂亮的正八边形的地砖，可建材行的服务员告诉她，仅一种正八边形的地砖是不能密铺地面的，随又向她推荐各种尺寸、形状、花色的其他地砖，供小芳搭配选用的有：菱形的、正方形的、矩形的、正三角形的、平行四边形的、各种三角形的、等腰直角三角形的、正六边形的、正五边形的、五角星形状的等等，小芳顿时选花了眼，你能帮忙筛选一下吗？如果小芳不选正八边形的地砖，她还可以有哪些选择？（列举2种即可）．
【答案】解：根据密铺的条件可知：从正方形和等腰直角三角形的地砖中选择；
①正方形、八边形内角分别为90°、135°，由于135°×2+90°=360°，故能密铺；
②等腰直角三角形、八边形内角分别为45°、135°，由于135°×2+45°×2=360°，故能密铺．
故可以选择正方形和等腰直角三角形的地砖．
【解析】【分析】正八边形的一个内角为135°，从所给的地砖中选取出一些进行判断，看其所有内角和是否为360°，并以此为依据进行求解．
34．如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线AE交BC于点E，∠ABC的平分线BF交AD于点F，AE与BF相交于点O，连接EF.
（1）求证：四边形ABEF是菱形；
（2）若AE＝6，BF＝8，CE＝2，求平行四边形ABCD的面积.
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形
∴AD∥BC
∴∠DAE=∠BEA
∵∠BAD的平分线AE交BC于点E
∴∠DAE=∠BAE
∴∠BAE=∠BEA
∴AB=BE
同理可得：AB=AF
∴AF=BE
∴四边形ABEF是平行四边形
∵AB=AF
∴四边形ABEF为菱形
（2）解：作FG⊥BC于点G
∵四边形ABEF是菱形，AE=6，BF=8
∴AE⊥BF，
∴
∵
即，解得：
∴
【解析】【分析】（1）根据平行四边形性质可得∠DAE=∠BEA，再根据角平分线定义可得∠DAE=∠BAE，则∠BAE=∠BEA，根据等角对等边可得AB=BE，同理可得：AB=AF，再根据菱形判定定理即可求出答案.
（2）作FG⊥BC于点G，根据菱形性质可得AE⊥BF，，再根据勾股定理可得BE，再根据菱形面积建立方程，解方程可得FG，再根据平行四边形面积即可求出答案.
35．如图，在 中，对角线、交于点，分别延长、至点、点，且，连接，，，．
（1）求证：；
（2）若，判断四边形的形状，并说出理由．
【答案】（1）证明：四边形是平行四边形，对角线、交于点，
，
，
，
．
（2）解：四边形是菱形，
理由：，，
四边形是平行四边形，
，点、点在直线上，
，
四边形是菱形．
【解析】【分析】
（1）由平行四边形的性质得OE=OF，根据BE=DF，即可得出OB=OD；
（2）先由OA=OC，OB=OD，证明四边形ABCD是平行四边形，根据AC⊥BD，即可证明四边形ABCD是菱形．
36．如图，在中，，高、交于点O，求的度数．
【答案】解：∵、是的高，
∴，
∵
∴．
【解析】【分析】首先根据高的定义得出∠AFO=∠AEO=90°，再根据四边形的内角和定理可求得∠EOF，然后根据对顶角相等，求得∠BOC的度数。
37．如图，在 ABCD 中，AB=5，BC=3，AC=
（1）求 ABCD的面积.
（2）求证：BD⊥BC.
【答案】（1）解：作交的延长线于点，如图：
设
在中：①
在中：②
联立①②解得：
平行四边形的面积；
（2）证明：作，垂足为
∵平行四边形
又
在中：
．
【解析】【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、勾股定理及其逆定理以及全等三角形的判定与性质．
（1）作交的延长线于点，设，由勾股定理可列出关于的两个方程：和，解方程组求出平行四边形的高，代入平行四边形的面积公式；平行四边形的面积可求出面积.
（2）已知四边形为平行四边形，可推出：，结合，利用全等三角形的判定可推出：， 由全等的性质得出，从而求出的长，在中利用勾股定理的逆定理即可证明两直线垂直.
38．在平面直角坐标系中，点A(2， m)在直线y=x+1上，过点A的直线交x轴于点B(1， 0)。
（1）求m的值和直线AB的函数表达式；
（2）若点C(x1， y1)在直线AB上，点D(x1+1， y2)在直线y=x+1上，判断3y2-y1的值是否随x1的变化而变化，若不变，求出这个值；若变化，请说明理由。
【答案】（1）解：将点代入得，
，
∴；
设直线的函数表达式为，
将和代入表达式得，
解得，
∴直线的函数表达式为；
（2）解：的值不随的变化而变化，理由如下：
将点代入得，；
将点代入得，；
∴，
所以，的值不随的变化而变化，其值为9．
【解析】【分析】（1）根据函数解析式求出点A的坐标，利用待定系数法求直线AB的函数解析式即可；
（2）将点C和D的坐标分别代入直线和，然后代入3y2-y1整理解答即可．
39．茶文化是中华文化的重要组成部分，历史悠久，内涵丰富．都匀毛尖茶是中国十大名茶之一：春茶鲜嫩，口感清爽；秋茶深沉，口感浓郁．某经销商欲购进春茶和秋茶共200盒进行销售，其中秋茶的盒数不得高于春茶盒数的2倍，已知春茶和秋茶的进价和售价如下表所示．设该经销商购进春茶的盒数为盒，且所购进的两种茶叶能全部卖出，获得的总利润为元．
种类价格 春茶 秋茶
进价/（元/盒） 580 280
售价/（元/盒） 620 325
（1）求与之间的函数解析式．
（2）若该经销商打算用不超过76900 元购进春茶和秋茶，共有几种进货方案？哪种进货方案才能使该经销商获利最大？并求出最大利润．
【答案】（1）解：由题意得，
；
（2）解：由题意，得解得．
∵为正整数，
∴可取67，68，69，
∴共有3种进货方案．
由（1）知，随的增大而减小，
∴当时，有最大值．
此时（盒），（元）．
答：共有3种进货方案；当购进春茶67盒，秋茶133盒时，才能使该经销商获利最大，最大利润为8665元．
【解析】【分析】（1）根据总利润=单件利润×总销售量，建立函数关系式即可求出答案.
（2）根据题意建立方程组，解方程组可得x的取值范围，求出整数解，结合一次函数的性质即可求出答案.
（1）解：由题意得，
；
（2）解：由题意，得解得．
∵为正整数，
∴可取67，68，69，
∴共有3种进货方案．
由（1）知，随的增大而减小，
∴当时，有最大值．
此时（盒），（元）．
答：共有3种进货方案；当购进春茶67盒，秋茶133盒时，才能使该经销商获利最大，最大利润为8665元．
40．已知y=（m+1）x2﹣|m|+n+4
（1）当m、n取何值时，y是x的一次函数？
（2）当m、n取何值时，y是x的正比例函数？
【答案】解：（1）根据一次函数的定义，得：2﹣|m|=1，
解得m=±1．
又∵m+1≠0即m≠﹣1，
∴当m=1，n为任意实数时，这个函数是一次函数；
（2）根据正比例函数的定义，得：2﹣|m|=1，n+4=0，
解得m=±1，n=﹣4，
又∵m+1≠0即m≠﹣1，
∴当m=1，n=﹣4时，这个函数是正比例函数．
【解析】【分析】（1）根据一次函数的定义：一般地，形如y=kx+b（k≠0，k、b是常数）的函数，叫做一次函数，据此求解即可；
（2）根据正比例函数的定义：一般地，形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数，据此求解即可．
41．如图，在平行四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，△AOB的周长为15，AB＝6，那么对角线AC与BD的和是多少
【答案】解：在平行四边形中，AC=2AO，BD=2BO∵△AOB的周长为15，且AB＝6，∴AO+BO=15-AB=15-6=9∴AC+BD=2AO+2BO=18.∴对角线AC与BD的和是18.
【解析】【分析】根据平行四边形的性质，得到对角线互相平分，由△AOB的周长为15，AB＝6，得到对角线的一半是AO+BO，求出对角线AC与BD的和.
42．某银行为了提高服务水平，随机调查了40名顾客的等待时间（单位：min)，结果如下表：
2 5 10 3 8 20 25 30 10 15
35 21 7 5 4 18 11 13 20 16
6 12 8 14 15 10 5 21 23 10
3 33 24 15 17 20 27 8 6 16
（1）计算这组数据的四分位数并填写下表。
四分位数
最小值 m25 m50 m75 最大值
　 　 　 　 　
（2）这40名顾客的平均等待时间是多少 你对该银行改进服务质量有什么好的建议
【答案】（1）解：四分位数如下表。
四分位数
最小值 m2s m50 m75 最大值
2 7.5 13.5 20 35
（2）解：这40名顾客的平均等待时间是 10+3+8+20+25+30+10+15+35+21+7+5+4+18+11+13+20+16+6+12+8+14+15+10+5+21+23+10+3+33+24+15+17+20+27+8+6+16)≈14.3(min)，应该增加窗口，减少顾客的等待时间。
【解析】【解答】解：(1)将数据从小到大排列为2，3，3，4，5，5，5，6，6，7，8，8，8，10，10，10，10，11，12，13，14，15，15，15，16，16，17，18，20，20，20，21，21，23，24，25，27，30，33，35，
则下四分位数为
中位数为
上四分位数为 20，数据的最小值为2，最大值为35，
故答案为：2；7.5；13.5；20；35.
【分析】（1）根据数据的大小得到最小值和最大值，然后根据四分位数的定义解答即可；
（2）根据平均数的计算方法解答，然后提出合理建议即可.
43． 每年6月，正是广西芒果飘香的季节，某果商计划租用若干辆货车装运桂七和台农两种芒果共60吨去外地销售，要求每辆货车只能装一种芒果，且必须装满．已知每辆货车可装桂七4吨或台农6吨，桂七每吨获利1200元，台农每吨获利1500元，请解决下列问题．
（1）设装运桂七的货车有辆，装运台农的货车有辆，请用含的代数式来表示；
（2）写出总利润（元）与（辆）之间的函数关系式；
（3）若装运桂七的货车的辆数不得少于装运台农的货车的辆数，应怎样安排才能获得最大利润，并求出最大利润．
【答案】（1）解：由题意可得，
，
则；
（2）解：由题意可得，
，
答：总利润（元）与（辆）之间的函数关系式是；
（3）解：装运桂七的货车的辆数不得少于装运台农的货车的辆数，
，
，
解得，
由（2）知：，
随的增大而减小，
当时，取得最大值，此时，
答：安排6辆车拉桂七，6辆车拉台农才能获得最大利润，最大利润是82800元．
【解析】【分析】（1）根据“用若干辆货车装运桂七和台农两种芒果共60吨去外地销售，每辆货车可装桂七4吨或台农6吨”即可列出二元一次方程，从而变换即可求解；
（2）根据（1）中y与x的关系式，结合题意即可得到W与x的一次函数关系式；
（3）先根据题意求出x的取值范围，进而根据（2）中的关系式结合一次函数的性质即可求出最值.
44．
（1）设实数x，y 满足 求x+y的值.
（2）已知实数x，y 满足 求 的值.
【答案】（1）解：∵，，
∴①，
∵，，
∴②，
∴①+②得：，
整理得：，
∴
（2）解：∵，，
∴①，
∵，，
∴②，
①＋②得：，
整理得：，
∴，
∴原式
【解析】【分析】（1）利用平方差公式，结合题目条件可得①，②，然后求出①＋②的值，进行整理即可求解；
（2）（2）是(1)的一种变形，由（1）同理可得，然后代入原式进行计算求解即可.
45．在平面直角坐标系中，O为原点，点A（6，0），点B在y轴的正半轴上，∠ABO＝30°．矩形CODE的顶点D，E，C分别在OA，AB，OB上，OD＝2．
（Ⅰ）如图①，求点E的坐标；
（Ⅱ）将矩形CODE沿x轴向右平移，得到矩形C'O'D'E'，点C，O，D，E的对应点分别为C'，O'，D'，E'．设OO'＝t，矩形C'O'D'E'与△ABO重叠部分的面积为S．
①如图②，当矩形C'O'D'E'与△ABO重叠部分为五边形时，C'E'，E'D'分别与AB相交于点M，F，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围；
②当 ≤S≤5 时，求t的取值范围（直接写出结果即可）．
【答案】解：解：（Ⅰ）∵点A（6，0），
∴OA＝6，
∵OD＝2，
∴AD＝OA﹣OD＝6﹣2＝4，
∵四边形CODE是矩形，
∴DE∥OC，
∴∠AED＝∠ABO＝30°，
在Rt△AED中，AE＝2AD＝8，ED＝ ＝ ＝4 ，
∵OD＝2，
∴点E的坐标为（2，4 ）；
（Ⅱ）①由平移的性质得：O'D'＝2，E'D'＝4 ，ME'＝OO'＝t，D'E'∥O'C'∥OB，
∴∠E'FM＝∠ABO＝30°，
∴在Rt△MFE'中，MF＝2ME'＝2t，FE'＝ ＝ ＝ t，
∴S△MFE'＝ ME' FE'＝ ×t× t＝ ，
∵S矩形C'O'D'E'＝O'D' E'D'＝2×4 ＝8 ，
∴S＝S矩形C'O'D'E'﹣S△MFE'＝8 ﹣ ，
∴S＝﹣ t2+8 ，其中t的取值范围是：0＜t＜2；
②当S＝ 时，如图③所示：
O'A＝OA﹣OO'＝6﹣t，
∵∠AO'F＝90°，∠AFO'＝∠ABO＝30°，
∴O'F＝ O'A＝ （6﹣t）
∴S＝ （6﹣t）× （6﹣t）＝ ，
解得：t＝6﹣ ，或t＝6+ （舍去），
∴t＝6﹣ ；当S＝5 时，如图④所示：
O'A＝6﹣t，D'A＝6﹣t﹣2＝4﹣t，
∴O'G＝ （6﹣t），D'F＝ （4﹣t），
∴S＝ [ （6﹣t）+ （4﹣t）]×2＝5 ，
解得：t＝ ，
∴当 ≤S≤5 时，t的取值范围为 ≤t≤6﹣ ．
【解析】【分析】 （Ⅰ） 根据题意求出AD的长，由矩形的性质得DE∥OC， 求出∠AED的度数，根据勾股定理求出ED的长度，即可求出点E的坐标 ；
（Ⅱ） ①由平移的性质及勾股定理，求出FE'= t，从而求出△MFE'的面积，再求出矩形C'O'D'E'的面积， 利用 S＝S矩形C'O'D'E'﹣S△MFE'，即可求解； ②当S＝ 时， 根据题意列出方程 （6﹣t）× （6﹣t）＝ ， 求出方程的解并进行检验； 当S＝5 时，根据题意列出方程 [ （6﹣t）+ （4﹣t）]×2＝5 ， 求出方程的解，再由 ≤S≤5，即可求出t的取值范围.
46．如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，点P是线段AB的中点．
（1）在平面内是否存在点，使得的值最小？　 　（请填写“是”或“否”）；
（2）如果存在满足（1）中条件的点Q，请直接写出m的值和的最小值；如果不存在，请说明理由．
【答案】（1）是
（2）解：由（1）知，存在．
对于直线，令，则，
∴，
∵点A关于的对称点D，
∴，
∵，，点P是线段AB的中点，
∴，
∴
∴最小值为，
设直线解析式为，把，代入得：
，解得：，
∴
把代入，得
∴．
【解析】【解答】解：（1）令x=0，代入直线y=-x+2，则y=2，∴B（0，2），
令y=0，代入直线y=-x+2，则-x+2=0，x=2，∴A（2，0），
∵点P是线段AB的中点 ，
∴P（1，1）
∵Q（m，2），
∴点Q在直线y=2上运动，
如图，过点B作直线BC∥x轴，则BC：直线y=2，
作点P关于BC（直线y=2）的对称点D，连接AD，交BC于点Q．
∴D（1，3），PQ=DQ，
根据两点之间线段最短，
∴AQ+PQ=AQ+DQ=AD最小，
设AD为：y=kx+b，
把A（2，0），D（1，3）代入得：
解得：，
∴AD为：y=-3x+6，
把Q（m，2）代入AD得：
-3m+6=2，
解得：m=，
∴Q（，2），
∴在平面内存在点Q（，2），使得AQ+PQ的值最小.
故答案为：是.
【分析】（1）根据题意得点Q在直线BC：y=2上运动，由“将军饮马”模型把点P沿直线BC对称到点D，根据两点之间线段最短得连接AD与BC之间的交点即为满足条件的点Q.
（2）作点Q所在直线BC：y=2，由一次函数的性质得A（2，0），由点A与点D关于直线y=2对称得D（2，4），再由中点坐标得P（1，1），根据两点间坐标公式求出AQ+PQ的最小值PD；由待定系数法求出PD的解式，把Q（m，2）代入即可求出Q的坐标.
47．在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，D、E是直线AB上两点．∠DCE＝45°
（1）当CE⊥AB时，点D与点A重合，显然DE2＝AD2+BE2（不必证明）；
（2）如图，当点D不与点A重合时，求证：DE2＝AD2+BE2；
（3）当点D在BA的延长线上时，（2）中的结论是否成立？画出图形，说明理由．
【答案】（1）解：∵CE⊥AB， AC＝BC，∠ACB＝90°，
∴AE＝BE，
∵点D与点A重合，
∴AD＝0，
∴DE2＝AD2+BE2；
（2）解：过点A作AF⊥AB，使AF＝BE，连接DF，CF，如图：
∵在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，
∴∠CAB＝∠B＝45°，
∴∠FAC＝45°，
∴△CAF≌△CBE（SAS），
∴CF＝CE，∠ACF＝∠BCE，
∵∠ACB＝90°，∠DCE＝45°，
∴∠ACD+∠BCE＝∠ACB﹣∠DCE＝90°﹣45°＝45°，
∵∠ACF＝∠BCE，
∴∠ACD+∠ACF＝45°，
即∠DCF＝45°，
∴∠DCF＝∠DCE，
又∵CD＝CD，
∴△CDF≌△CDE（SAS），
∴DF＝DE，
∵在Rt△ADF中，AD2+AF2＝DF2，
∴AD2+BE2＝DE2；
（3）解：结论仍然成立；如图，
证明：过点A作AF⊥AB，使AF＝BE，连接DF，CF，
∵在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，
∴∠CAB＝∠B＝45°，
∴∠FAC＝45°，
∴△CAF≌△CBE（SAS），
∴CF＝CE，∠ACF＝∠BCE，
∵∠BCE+∠ACE＝90°，
∴∠ACF+∠ACE＝90°，即∠FCE＝90°，
∵∠DCE＝45°，
∴∠DCF＝45°，
∴∠DCF＝∠DCE，
又∵CD＝CD，
∴△CDF≌△CDE（SAS），
∴DF＝DE，
∵在Rt△ADF中，AD2+AF2＝DF2，
∴AD2+BE2＝DE2．

【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的性质可得AE=BE，由点D与点A重合可知AD=0，结论即可得证；
（2）过点A作AF⊥AB，使AF＝BE，连接DF，CF，利用SAS证明△CAF≌△CBE，可得CF=CE，∠ACF＝∠BCE，再利用 ∠DCE＝45° 可证得∠DCF＝∠DCE，于是有△CDF≌△CDE，由全等三角形的性质得DF=DE.在Rt△ADF中利用勾股定理，即可得到结论；
（3）过点A作AF⊥AB，使AF＝BE，连接DF，CF，利用SAS证明△CAF≌△CBE，可得CF=CE，∠ACF＝∠BCE.由∠ACF＝∠BCE可证得∠FCE＝90°，由∠DCE＝45°可得∠DCF＝∠DCE，于是有△CDF≌△CDE.由全等三角形的性质得DF=DE.在Rt△ADF中利用勾股定理，即可得到结论.
48．如图，是正方形对角线上一点，，垂足分别是点、
（1）求证：；
（2）若，，求正方形的边长．
【答案】（1）证明：连接．
四边形是正方形，，，
，
四边形为矩形．
．
又为正方形的对角线，
．
在和中
，
≌．
．
．
（2）解：过点作于点，
，，
，．
是正方形的对角线，
，
，
，即正方形的边长为．
【解析】【分析】（1）先利用矩形的判断与性质说明MN=CE，再利用SAS来证明≌，可得AE=EC，从而有AE=MN．
（2）先利用勾股定理求得AF，再说明DF=EF，然后利用AD=AF+DF求得正方形的边长.
49．台州市某体育用品商店一次性购进排球、足球两种商品共100个，排球每个进价40元，售价50元，足球每个进价90元，售价105元.
（1）设购进排球x个，销售完此两种商品的总利润为y元，求出y与x的函数关系式；
（2）该商家计划最多投入8000元用于购进此两种商品共100件，至少要购进多少个排球？
（3）在（2）的条件下，若售完这些商品，商家可获得最大利润是多少元？
【答案】（1）解：由题意得y=(50-40)x+(105-90)(100-x)=10x+1500-15x=-5x+1500(0≤x≤100).
（2）解：由题意得40x+90(100-x)≤8000，
解得20≤x.
答：至少要购进20个排球.
（3）解：由（1）和（2）可得总利润y=-5x+1500(20≤x≤100).
∵k=-5<0，∴y随x的增大而减小，
当x=20时，y有最大值，最大值为1400元.
答：商家可获得最大利润是1400元.
【解析】【分析】(1)总利润=每个排球的利润×排球的个数+每个足球的利润×足球的个数，其中排球的个数为x个，足球的个数为（100-x）个，不难得出每个排球、足球的利润；（2）需要列不等式计算，总成本不能超过8000元；（3）由（1）可得总利润y=-5x+1500(0≤x≤100)，在（2）的条件下，20≤x≤100，而y随x的增大而减小的，当x=20时，y有最大值.
50． 摩天轮是一种常见的游乐设施，在综合实践活动中，数学小组的同学们借助仪器准确测量并记录了某个摩天轮的旋转时间t（单位：）和一个座舱A距离地面的高度h（单位：），部分数据如下：
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
30.00 15.36 10.00 15.36 30.00 50.00 70.00 84.64 90.00 84.64 70.00
请解决以下问题：
（1）通过分析数据，发现可以用函数刻画h与t之间的关系，在给出的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象；
（2）根据以上数据与函数图象，解决下列问题：
①此摩天轮座舱距离地面的高度最高为　 　，转盘的半径约为　 　；
②此摩天轮转一圈所用时间为　 　；
③若当座舱A距离地面的高度为时，座舱B距离地面的高度是，则至少经过　 　（精确到0.1），这两个座舱的高度相同．
【答案】（1）答：描点，连线，得函数图象如下：
（2）90；40；12；1.5或4.5
【解析】【解答】
（1）描点、连线，得函数图象为连续的两个抛物线；
（2） ① 观察图象知，函数的最大值为90，即摩天轮的最大高度为90米；由于最小高度为10米，则摩天轮的直径为80米，即半径为40米；
②从最底点到最高点共用时8-2＝6分钟，则转一圈用时12分钟；
③当座舱B在A的前面时，如图所示：设x分钟后A、B距离地面MN的高度相同.
分别连接OA、OB、OA1、OB2，再延长AO交A1B1于点C.
四边形OMNB是平行四边形
是矩形
点A旋转一周用时12分钟
点A每分钟旋转
解得：
当座舱B在A后面时，如图所示，
同理，可得：
解得：
答： 则至少经过1.5或4.5分钟，A、B两座舱的高度相同.
【分析】
（1）分别描点、连线可得函数图象；
（2） ① 观察抛物线可知摩天轮最低点距离地面10米，摩天轮最高点距离地面90米，则摩天的直径为80米，即半径为40米；
② 由于摩天轮的座舱A从最低点运行到最高点用时6分钟，即其运行半个圆周用6分钟，则运行一周需要12分钟；
③ 由于摩天轮运行一周用时12分钟，则每个座舱每分钟的旋转角度都是30度，则当座舱A位于最低点且座舱B距离地面50米时，则当A、B离地面高度相同时AB平行地面，由平行公理知过最低点的直径必然垂直AB，再由等腰三角形三线合一知该直径必然平分，此时再分类讨论，即当点B在A前面时或点B在A后面时，分别列方程并求解即可.
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