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人教版2025—2026学年八年级下册期末真题模拟通关卷
数 学
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．数学老师计算同学们的一学期的平均成绩时，将平时、期中和期末的成绩按3：3：4计算，若小红平时、期中和期末的成绩分别是90分、80分、100分，则小红一学期的数学平均成绩是（　　）
A．90分 B．91分 C．92分 D．93分
2．如图圆柱的底面周长是，圆柱的高为，为圆柱上底面的直径，一只蚂蚁如果沿着圆柱的侧面从下底面点处爬到上底面点处，那么它爬行的最短路程为( )
A． B． C． D．
3．点和都在直线上，则与的关系是(　　)
A． B． C． D．
4．沐沐用七巧板拼了一个对角线长为2的正方形，再用这副七巧板拼成一个长方形(如图所示)，则长方形的对角线长为(　　)
A． B． C．3 D．5
5．如图，函数的图象交x轴于点A，交y轴于点B，若点P为线段上一动点，过P分别作轴于点E，轴于点F，则线段的最小值为(　　)
A．2 B． C．1 D．
6．某商场在促销活动中，计划销售型和型两种饮水机共20台．若每台型饮水机可盈利150元，每台型饮水机可盈利200元，型饮水机的销售量不小于型饮水机的3倍．则该商场在本次促销活动中销售这两种饮水机能获得的最大利润是（　　）
A．3400元 B．3250元 C．4600元 D．4750元
7．如图，四边形中，，将沿着折叠，使点恰好落在上的点处，若，则（　　）
A． B． C． D．
8．如图是由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，其中阴影部分的面积是（　　）
A． B． C． D．
9．动点H以每秒x厘米的速度沿图1的边框（边框拐角处都互相垂直）按从的路径匀速运动，相应的的面积与时间的关系图象如图2，已知，则说法正确的有几个（　　）
①动点H的速度是；
②的长度为；
③当点H到达D点时的面积是；
④b的值为14；
⑤在运动过程中，当的面积是时，点H的运动时间是和．

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
10．如图，已知正方形ABCD边长是6，点P是线段BC上一动点，过点D作DE⊥AP于点E．连接EC，若，则△CDE的面积是（ ）
A．18 B． C． D．14.4
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11． 某高美术自主招生考试的综合成绩由专业成绩和面试成绩两部分组成，所占比例分别为和.小王的专业成绩是90分，面试成绩是80分，则小王的综合成绩是　 　分.
12．已知 ，则 的平方根是　 　．
13．甲、乙两名运动员在笔直的公路上进行骑自行车训练.如图所示，反映了甲、乙两名运动员在公路上进行训练时的行驶路程 （千米）与行驶时间 （小时）之间的关系，在两人行驶过程中，当 　 　小时时，甲、乙两名运动员相距 千米.
14．在平面直角坐标系中，将一副三角板按如图所示的方式摆放，、分别与，重合，．动点在边上运动，动点在边上运动，的中点的坐标为，则的最小值是　 　．
15． 若函数的图象上存在点，函数的图象上存在点，且、关于轴对称，则称点（或点）的纵坐标为函数与的“对偶值”。那么函数与的“对偶值”为 　 　。
16．如图，正方形的边长为4，对角线相交于点O，点E，F分别在的延长线上，且，G为的中点，连接，交于点H，连接，则的长为　 　．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．计算
（1）；
（2）．
18．双流区某校八年级学生开展踢毽子比赛活动，甲、乙两班分别派5名学生参加，下表是甲班和乙班各5名学生的比赛得分：
1号 2号 3号 4号 5号
甲班 87 93 88 88 94
乙班 90 96 87 91 86
根据上表，回答下列问题：
（1）填空：甲班5名学生的比赛得分的众数是　 　分，乙班5名学生的比赛得分的中位数是　 　分；
（2）分别计算甲班、乙班参赛学生比赛得分的方差，并判断哪一个班选手的比赛得分较为整齐．
19．在一条笔直的公路上有A，B，C三地，C地位于A，B两地之间，甲、乙两人分别从A，C两地同时出发前往B地，甲匀速步行至B地，乙前15分钟匀速步行，中途休息了一段时间后，再匀速骑共享单车至B地．已知，乙骑行的速度是自己步行速度的3倍，甲、乙两人同时到终点．甲、乙两人各自到A地的距离(米)与所用时间(分 )的关系如图所示，请结合图象解答下列问题∶
（1）A，C两地之间的距离是____米；
（2）求乙中途休息了多少分钟；
（3）乙骑行前，甲步行多少分钟，甲、乙两人之间的距离为400米．
20．如图，直角三角形中，为上一点，作，垂足为，同时恰好垂直平分．
（1）求证：平分；
（2）如果是中点，，求长度．
21．2025年春节联欢晚会中人工智能机器人跳舞，无疑成了全球科技界的焦点．甲、乙两科技店借此批发了某种AI智能产品进行销售，此种AI智能产品的标价为元／件，为了吸引更多顾客购买，甲、乙两店分别推出了自己的优惠方案：
甲店：若购买超过15件，发现超过的部分按标价打折后应付总价（元）是数量（件）的一次函数，部分数据如下表：
数量（件） 16 17 18
总价（元） 1890 1980 2070
乙店：若购买超过13件，超过部分按每件标价的八五折再优惠6元出售．
设购买AI智能产品的数量为件，在甲店购买应付总价元，在乙店购买应付总价元．
（1）当时，根据表格信息，求与的一次函数解析式，并求出的值；
（2）当时，求与的函数解析式；
（3）当时，选择哪家科技店购买AI智能产品更合算？
22．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝15，BC＝20．点D从点A出发，沿边AB以每秒2个单位长度的速度向终点B运动，连结CD．设点D运动的时间为t秒（t＞0）．
（1）求边AB的长．
（2）当线段CD的长取最小值时，求t的值．
（3）当△ACD是轴对称图形时，求所有满足条件的t的值．
23．如图，正方形中，，点，是对角线上的两点，且．
（1）求证：；
（2）试判断四边形的形状，并加以证明；
（3）设的延长线交边于点，若点恰为边的中点，求四边形的周长与面积．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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人教版2025—2026学年八年级下册期末真题模拟通关卷
数 学
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．数学老师计算同学们的一学期的平均成绩时，将平时、期中和期末的成绩按3：3：4计算，若小红平时、期中和期末的成绩分别是90分、80分、100分，则小红一学期的数学平均成绩是（　　）
A．90分 B．91分 C．92分 D．93分
【答案】B
【解析】【解答】解：小红一学期的数学平均成绩是 =91（分），
故答案为：B．
【分析】根据加权平均数的运算规则：将平时成绩乘以3，期中考试成绩乘以3，期末成绩乘以4，然后再将平时的总成绩加上期中考试的总成绩加上期末考试的总成绩，最后再除以（3+3+4），即可求解
2．如图圆柱的底面周长是，圆柱的高为，为圆柱上底面的直径，一只蚂蚁如果沿着圆柱的侧面从下底面点处爬到上底面点处，那么它爬行的最短路程为( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：把圆柱沿母线AC剪开后展开，点B展开后的对应点为B'，则蚂蚁爬行的最短路径为AB'，如图，
AC=12，CB'=5，
在Rt△ACB'，
所以它爬行的最短路程为13cm．
故答案为：C．
【分析】先将立体几何转换为平面几何，再利用勾股定理求出最小值即可.
3．点和都在直线上，则与的关系是(　　)
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：∵，
∴随的增大而增大，
∵，
∴；
故答案为：D．
【分析】根据一次函数的增减性判断即可．
4．沐沐用七巧板拼了一个对角线长为2的正方形，再用这副七巧板拼成一个长方形(如图所示)，则长方形的对角线长为(　　)
A． B． C．3 D．5
【答案】B
【解析】【解答】解：由图可知，①和②为等腰直角三角形，可知直角边为1，
∴ 长方形的长为2，宽为1，
由勾股定理可得对角线长为.
故答案为：B.
【分析】根据正方形的性质可得①和②为等腰直角三角形，进而得到长方形的长和宽，再根据勾股定理即可求得对角线的长.
5．如图，函数的图象交x轴于点A，交y轴于点B，若点P为线段上一动点，过P分别作轴于点E，轴于点F，则线段的最小值为(　　)
A．2 B． C．1 D．
【答案】B
【解析】【解答】连接OP，由PF⊥y轴，PE⊥x轴，得PEOF为矩形，
由矩形的性质知OP=EF，当OP⊥AB于OP取最小值，
对函数y=x+2，令x=0得y=2，得B(0，2)，令y=0，得x=-2，得A(-2，0)，AB=
由等面积法知，AB边上的高h=，OP的最小值为，即EF的最小值为
答案：B.
【分析】由矩形的性质知OP=EF，当OP⊥AB时取最小值，由等面积法即可知AB边上的高.
6．某商场在促销活动中，计划销售型和型两种饮水机共20台．若每台型饮水机可盈利150元，每台型饮水机可盈利200元，型饮水机的销售量不小于型饮水机的3倍．则该商场在本次促销活动中销售这两种饮水机能获得的最大利润是（　　）
A．3400元 B．3250元 C．4600元 D．4750元
【答案】B
【解析】【解答】解：设该商场在这一时期内销售获得的利润是元，销售型饮水机台，则销售型饮水机台，
根据题意得：．
解得：，
，
∴随的增大而减小，
∴当时，取最大值，最大值为(元)，
答：该商场在这一时期内销售这两种饮水机能获得的最大利润是元．
故答案为：B．
【分析】设该商场在这一时期内销售获得的利润是元，销售型饮水机台，则销售型饮水机台，根据在同一时期内，型饮水机的销售量不小于型饮水机销售量的3倍可得：，而，由一次函数性质可得答案．
7．如图，四边形中，，将沿着折叠，使点恰好落在上的点处，若，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：如图，连接，过作于，
点关于的对称点恰好落在上，
垂直平分，
，
，
，
，
又，
，
，
又，
，
故答案为：D．
【分析】连接，过作于，先利用垂直平分线的性质可得，可得，再结合，求出，最后结合，求出即可.
8．如图是由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，其中阴影部分的面积是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：如图所示：
根据勾股定理得出：AB===5，
∴EF=AB=5，
∴阴影部分面积是25，
故答案为：B．
【分析】先利用勾股定理求出AB的长，再利用正方形的性质可得EF=AB=5，最后利用勾股定理求出阴影部分面积是25即可.
9．动点H以每秒x厘米的速度沿图1的边框（边框拐角处都互相垂直）按从的路径匀速运动，相应的的面积与时间的关系图象如图2，已知，则说法正确的有几个（　　）
①动点H的速度是；
②的长度为；
③当点H到达D点时的面积是；
④b的值为14；
⑤在运动过程中，当的面积是时，点H的运动时间是和．

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】A
【解析】【解答】当点H在AB上时，AH=xt cm，S△HAF=×AF×AH=4xt cm2，此时三角形的面积随着时间增大而逐渐增大；
当点H在BC上时，HP是△HAF的高，HP=AB，S△HAF=×AF×AB，此时三角形的面积不变；
当点H在CD上时，HP是△HAF的高，C，D，P三点共线，S△HAF=×AF×HP，点H从点C向点D运动，HP逐渐减小，此时三角形的面积不断减小；
当点H在DE上时，HP是△HAF的高，HP=EF，S△HAF=×AF×EF，此时三角形的面积不变；
当点H在EF上时，S△HAF=×AF×HF，点H从点E向点F运动，HF逐渐减小，此时三角形的面积不断减小直至变为0；
①当0≤t≤5时，点H在AB上，S△HAF=4xt=4×5x=40，解得x=2，∴AB=2×5=10，∴动点H的速度是2cm/s，故①正确；
②当5≤t≤8时，点H在BC上，此时三角形的面积不变，∴动点H由点B运动到点C时共用时8-5=3 s，∴BC=2×3=6 cm，故②错误；
③当8≤t≤12时，点H在CD上，三角形的面积逐渐减小，∴动点H由点C运动到点D共用时12-8=4 s，∴CD=2×4=8 cm，∴EF=AB-CD=10-8=2 cm，在D点时，△HAF的高与EF相等，即HP=EF，∴S△HAF=×AF×EF=×8×2=8cm2，故③正确；
④当12≤t≤b时，点H在DE上，DE=AF-BC=8-6=2 cm，∴动点H由点D运动到点E共用时2÷2=1 s，∴b=12+1=13，故④错误；
⑤当△HAF的面积是时，点H在AB上或CD上，第一种情况：当点H在AB上时，S△HAF=4xt=8t=30，解得t=3.75 s；第二种情况：当点H在CD上时，S△HAF=×AF×HP=×8×HP=30，解得：HP=7.5 cm，∴CH=AB-HP=10-7.5=2.5 cm，∴从点C运动到点H共用时2.5÷2=1.25 s，由点A到点C共用时8 s，∴此时共用时8+1.25=9.25 s，故⑤错误；
故答案为：A.
【分析】根据函数图形中的数据及信息，结合速度、时间和路程的关系逐项判断即可。
10．如图，已知正方形ABCD边长是6，点P是线段BC上一动点，过点D作DE⊥AP于点E．连接EC，若，则△CDE的面积是（ ）
A．18 B． C． D．14.4
【答案】D
【解析】【解答】解：作CF⊥ED于点F，如图所示，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝DC，∠CDA＝90°，
∴∠ADE+∠FDC＝90°，
∵CF⊥DE，CD＝CE，
∴EF＝DF＝DE，∠CFD＝90°，
∴∠FDC+∠DCF＝90°，
∴∠ADE＝∠DCF，
在△ADE和△DCF中，
，
∴△ADE≌△DCF（AAS），
∴DE＝CF，
∴DF＝CF，
∵∠CFD＝90°，CD＝6，
∴DF2+CF2＝CD2，
即DF2+（2DF）2＝62，
解得DF2＝7.2，
∴S△CDE＝ ＝2DF2＝2×7.2＝14.4，
故答案为：D．
【分析】 作CF⊥ED于点F ，由正方形性质得AD＝DC，∠CDA＝90°，由等腰三角形三线合一得EF＝DF＝DE，∠CFD＝90°， 由直角三角形两锐角互余、角的构成及同角的余角相等推出 ∠ADE＝∠DCF， 从而利用“AAS”判断出△ADE≌△DCF，由全等三角形的对应边相等得DE＝CF， 则DF＝CF，在Rt△CDF中，利用勾股定理表示出DF2的值，最后根据三角形面积公式可求出△CDE的面积.
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11． 某高美术自主招生考试的综合成绩由专业成绩和面试成绩两部分组成，所占比例分别为和.小王的专业成绩是90分，面试成绩是80分，则小王的综合成绩是　 　分.
【答案】86
【解析】【解答】解：90×60%+80×40%=86(分)，
故答案为：86.
【分析】根据加权平均数的计算方法列式计算即可求解.
12．已知 ，则 的平方根是　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：由得x=3，
∴y=1，
∴x+y=4，
∴x+y的平方根是±2.
故答案为：±2.
【分析】先根据二次根式有意义的条件得出x=3，从而得出y的值，求出x+y的值，再根据平方根的定义，即可得出答案.
13．甲、乙两名运动员在笔直的公路上进行骑自行车训练.如图所示，反映了甲、乙两名运动员在公路上进行训练时的行驶路程 （千米）与行驶时间 （小时）之间的关系，在两人行驶过程中，当 　 　小时时，甲、乙两名运动员相距 千米.
【答案】
【解析】【解答】解：根据函数图象，设甲的解析式为 ，乙的解析式为 ，
用待定系数法求解析式，将 代入 ，解得 ，则 ，
将 和 代入 ，解得 ，则 ，
当 时， ，
∴甲和乙在相遇之前不可能相距12千米，
当 时， ，解得 .
故答案是：5.4.
【分析】由题意可得甲的速度为km/h，当0＜t≤1时，乙的速度为50km/h，当t＞1时，乙的速度为km/h，设x小时后甲、乙两名运动员相距 千米，即可得①当0＜x≤1时，50x-40x=12，②40x-35x=12，即可得结果.
14．在平面直角坐标系中，将一副三角板按如图所示的方式摆放，、分别与，重合，．动点在边上运动，动点在边上运动，的中点的坐标为，则的最小值是　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：如图所示，过点作于点，
∵的中点的坐标为，
∴
∵
∴当与重合时，且在上，取得最小值，最小值为的长，
∵
∴
∴，则
∴，
∴的最小值是，
故答案为：．
【分析】本题考查垂线段最短，勾股定理，含度角的直角三角形的性质.过点作于点，当与重合时，且在上，取得最小值，最小值为的长，利用角的运算可得，利用含度角的直角三角形的性质可得，利用勾股定理可求出PE，进而可求出答案.
15． 若函数的图象上存在点，函数的图象上存在点，且、关于轴对称，则称点（或点）的纵坐标为函数与的“对偶值”。那么函数与的“对偶值”为 　 　。
【答案】-2
【解析】【解答】解：设点P的坐标为(x，2x+4)，则点Q的坐标为(-x，2x+4)，
又∵点Q在y2上，
∴x+1=2x+4，
解得x=-3，
∴“对偶值”为2×(-3)+4=-2，
故答案为：-2.
【分析】设点P的坐标为(x，2x+4)，根据对称性得到点Q的坐标为(-x，2x+4)，然后代入 求出x的值，即可求出“对偶值”解答即可.
16．如图，正方形的边长为4，对角线相交于点O，点E，F分别在的延长线上，且，G为的中点，连接，交于点H，连接，则的长为　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：如图，作OK⊥BC，垂足为点K，
∵正方形边长为4，
∴OK=2，KC=2，
∴KC=CE，
∴CH是△OKE的中位线
∴，
作GM⊥CD，垂足为点M，
∵G点为EF中点，
∴GM是△FCE的中位线，
∴，，
∴，
在Rt△MHG中，，
故答案为：．
【分析】作OK⊥BC，垂足为点K，根据正方形性质可得OK=2，KC=2，则KC=CE，再根据三角形中位线定理可得，作GM⊥CD，垂足为点M，再根据三角形中位线定理可得，，再根据边之间的关系可得MH，再根据勾股定理即可求出答案.
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．计算
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：
＝（9＋-）÷4
＝9÷4
＝；
（2）解：
＝（＋）×（2-2）（3＋6＋18）
＝2×（-）（＋）（21＋6）
＝2×（7-5）-（21＋6）
＝2×2-21-6
＝4-21-6
＝-17-6．
【解析】【分析】利用二次根式的混合运算的计算方法求解即可。
18．双流区某校八年级学生开展踢毽子比赛活动，甲、乙两班分别派5名学生参加，下表是甲班和乙班各5名学生的比赛得分：
1号 2号 3号 4号 5号
甲班 87 93 88 88 94
乙班 90 96 87 91 86
根据上表，回答下列问题：
（1）填空：甲班5名学生的比赛得分的众数是　 　分，乙班5名学生的比赛得分的中位数是　 　分；
（2）分别计算甲班、乙班参赛学生比赛得分的方差，并判断哪一个班选手的比赛得分较为整齐．
【答案】（1）88；90
（2）解：甲班5名学生比赛得分的平均数为：
乙班5名学生比赛得分的平均数为：
∴
∴
∴甲班选手的比赛得分较为整齐．
【解析】【解答】（1）∵甲班5名学生的成绩88出现的次数最多，
∴甲班5名学生的比赛得分的众数是 88；
∵乙班5名学生的成绩从小到大依次为：86，87，90，91，96，
∴乙班5名学生的比赛得分的中位数是 90；
故第1空答案为：88；第2空答案为：90；
【分析】（1）根据众数，中位数的定义，即可得出答案；
（2）根据方差的计算公式，分别计算两班的方差，在通过比较它们的大小 ，进而可得出结论甲班选手的比赛得分较为整齐．
19．在一条笔直的公路上有A，B，C三地，C地位于A，B两地之间，甲、乙两人分别从A，C两地同时出发前往B地，甲匀速步行至B地，乙前15分钟匀速步行，中途休息了一段时间后，再匀速骑共享单车至B地．已知，乙骑行的速度是自己步行速度的3倍，甲、乙两人同时到终点．甲、乙两人各自到A地的距离(米)与所用时间(分 )的关系如图所示，请结合图象解答下列问题∶
（1）A，C两地之间的距离是____米；
（2）求乙中途休息了多少分钟；
（3）乙骑行前，甲步行多少分钟，甲、乙两人之间的距离为400米．
【答案】（1）
（2）解：乙步行速度为（米/分钟），
∴骑车速度为（米/分钟），
∴骑行时间为（分钟），
∴乙中途休息时间为（分钟）；
（3）解：甲速度为（米/分钟），
设乙休息前，甲步行分钟，甲、乙两人之间的距离为400米，
由题意可得，
解得，符合题意，
当乙休息后，骑行前，若甲、乙两人之间的距离为400米，则甲步行驶路程为米，用时分钟
∴乙骑行前，甲步行或分钟，甲、乙两人之间的距离为400米．
【解析】【解答】解：（1）由图象可得，当时，甲乙的距离即为A，C两地之间的距离为米，
故答案为：；
【分析】（1）由于图象反应的是甲、乙两人各自到A地的距离(米)与所用时间(分 )的关系，且C地位于A，B两地之间，甲、乙两人分别从A，C两地同时出发前往B地， 故乙图象的起点纵坐标值就是A、C两地之间的距离；
（2）由图象可得乙15分钟走了（1800-600）米，根据速度=路程除以时间可求出乙步行速度，进而根据“ 乙骑行的速度是自己步行速度的3倍 ”求出乙骑车的速度，再计算出乙骑行时间，最后根据乙休息的时间=总时间-步行时间-骑行时间，即可求解；
（3）由图象得甲30分钟步行了3000米，根据速度=路程除以时间可求出甲步行速度，再按乙休息前后分类讨论计算即可．
20．如图，直角三角形中，为上一点，作，垂足为，同时恰好垂直平分．
（1）求证：平分；
（2）如果是中点，，求长度．
【答案】（1）证明：∵，
∴
∵恰好垂直平分．
∴，
∵，
∴，
∴，
∴平分.
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵F是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得：，
∴
设，则，
∵，
∴，
∴，
解得：
∴长度为1．
【解析】【分析】（1）先利用“HL”证出，再利用全等三角形的性质可得，从而可得平分；
（2）先利用勾股定理及等量代换可得，求出AC的长，再设，则，利用勾股定理可得，最后求出x的值即可.
（1）证明：∵，
∴
∵恰好垂直平分．
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴平分；
（2）∵
∴，
∵，
∴，
∵F是的中点，
∴，
又，
∴，
∴，
解得，
∴
设，
则，
∵，
∴，
∴，
解得
即长度为1．
21．2025年春节联欢晚会中人工智能机器人跳舞，无疑成了全球科技界的焦点．甲、乙两科技店借此批发了某种AI智能产品进行销售，此种AI智能产品的标价为元／件，为了吸引更多顾客购买，甲、乙两店分别推出了自己的优惠方案：
甲店：若购买超过15件，发现超过的部分按标价打折后应付总价（元）是数量（件）的一次函数，部分数据如下表：
数量（件） 16 17 18
总价（元） 1890 1980 2070
乙店：若购买超过13件，超过部分按每件标价的八五折再优惠6元出售．
设购买AI智能产品的数量为件，在甲店购买应付总价元，在乙店购买应付总价元．
（1）当时，根据表格信息，求与的一次函数解析式，并求出的值；
（2）当时，求与的函数解析式；
（3）当时，选择哪家科技店购买AI智能产品更合算？
【答案】（1）解：设与的一次函数解析式为．
将分别代入，得
解得．
．
甲店购买AI智能产品应付总价与的函数关系式为．
设若购买超过15件，超过的部分打折．
由题意，得
解得．
当时，与的函数关系式为．
（2）当时，.
（3）解：当，时，得，解得．
当时，，选择乙店更合算．
当时，，选择甲店更合算．
综上，当时，选择乙店购买更合算；
当时，任选一店购买即可；
当时，选择甲店购买更合算．
【解析】【分析】(1)设一次函数解析式为，从表格中选取2组数值代入解析式，利用待定系数法求得k、b的值，再通过函数解析式求得a的值.
(2)由(1)可得每件标价120元，故超过13件部分的单价为元，进而求得与的函数解析式为.
(3)由甲、乙函数解析式可得当时，，再利用一次函数的性质可得当时，，选择乙店更合算；当时，，选择甲店更合算．
22．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝15，BC＝20．点D从点A出发，沿边AB以每秒2个单位长度的速度向终点B运动，连结CD．设点D运动的时间为t秒（t＞0）．
（1）求边AB的长．
（2）当线段CD的长取最小值时，求t的值．
（3）当△ACD是轴对称图形时，求所有满足条件的t的值．
【答案】（1）解：∵在中，，
∴.
（2）解：由垂线段最短可知，当时，最短，
∴，
∴，
∴，
∴.
（3）解：当是轴对称图形时，则是等腰三角形．
①当时，则；
②当时，
过点C作于点E，
由（2）可知，
∴，
∴；
③当，
过点D作于M，则，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴
综上所述，当是轴对称图形时t的值为或9或．
【解析】【分析】（1）利用勾股定理求解即可；
（2）根据垂线段最短可得，当时，最短，利用面积法求出，进而利用勾股定理求出即可得到答案；
（3）当是轴对称图形时，则是等腰三角形．再分①当时，②当时，③当时，三种情况讨论求解即可．
23．如图，正方形中，，点，是对角线上的两点，且．
（1）求证：；
（2）试判断四边形的形状，并加以证明；
（3）设的延长线交边于点，若点恰为边的中点，求四边形的周长与面积．
【答案】（1）解：证明：∵四边形是正方形，
∴，，
又∵，
∴
（2）解：四边形是菱形，
证明：如图，连接交于点O，
∵四边形是正方形，
∴，，，
∵，
∴，即，
∴、互相垂直平分，
∴四边形是菱形；
（3）解：过点E作于M，于N，则，
∴四边形是矩形，
∵，
∴矩形是正方形，
∴，
∵正方形中，，点恰为边的中点，
∴，
∴，
又∵
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∵四边形是菱形，
∴四边形的周长为，面积为．
【解析】【分析】（1）利用“SAS”证出即可；
（2）连接交于点O，先证出、互相垂直平分，可得四边形AECF是平行四边形，再结合AC⊥EF，即可得到四边形是菱形；
（3）过点E作于M，于N，则，先求出，再利用菱形的周长公式及面积公式求解即可.
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