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人教版2025—2026学年八年级下册期末复习全能练考卷
数 学
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列表示与关系的图象中，不是的函数的是（　　）
A． B．
C． D．
2．若三角形的三边长分别为a，b，c，且满足，则这个三角形的形状为（　　）
A．钝角三角形 B．直角三角形
C．锐角三角形 D．等腰直角三角形
3．一个多边形的内角和是1260°，这个多边形的边数是（　　）
A．7 B．8 C．9 D．10
4．平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质是（　　）
A．对角线互相平分 B．对角线互相垂直
C．对角线相等 D．对角线互相垂直平分且相等
5．如图，在正方形中，为中点，连接，过点作交的延长线于点，连接，若，则正方形的边长为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．如图所示，一次函数（k，b是常数，）与正比例函数（m是常数，）的图象相交于点，下列判断错误的是（　　）
A．关于x的方程的解是
B．关于x的不等式的解集是
C．当时，函数的值比函数的值大
D．关于x，y的方程组的解是
7．已知，则化简的结果是(　　)
A． B． C． D．
8．如图，矩形的对角线，相交于点，于点，，则的度数为(　　)
A． B． C． D．
9．如图，桌上有一个圆柱形盒子（盒子厚度忽略不计），高为，底面周长为，在盒子外壁离上沿的点处有一只蚂蚁，此时，盒子内壁离底部的点处有一滴蜂蜜，蚂蚁沿盒子表面爬到点处吃蜂蜜，求蚂蚁爬行的最短距离（　　）
A． B． C． D．
10．甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城．在整个行驶过程中，甲、乙两车离开A城的距离y（千米）与甲车行驶的时间t（小时）之间的函数关系如图所示．则下列结论：
①A，B两城相距300千米；
②乙车比甲车晚出发1小时，却早到1小时；
③乙车出发后1.5小时追上甲车；
④当甲、乙两车相距50千米时，t＝或．
其中正确的结论有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．有两名学员小林和小明练习飞镖，第一轮枚飞镖掷完后两人命中的环数如图所示，已知新手的成绩不太稳定，那么根据图中的信息，估计小林和小明两人中新手是　 　．
12．如图，是边长为6的等边三角形，E，F分别是边，上的动点，若，则周长的最小值为　 　．
13．大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，但是由于，所以的整数部分为1．将减去其整数部分1，所得的差就是其小数部分．根据以上的信息，已知，的整数部分为a，小数部分为b，则　 　．
14．如图，是菱形ABCD的对角线，，．若点P，点Q分别是上的动点，连接，则的最小值是　 　．
15．如图，在矩形ABCD中无重叠放入面积分别为acm2和bcm2（a＞b）的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为　 　cm2．
16．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为，点B的坐标为，点P是直线上的一个动点，若，则点P的坐标是　 　．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．计算：
（1）；
（2）．
18．如表是小航同学的错题，请你帮助她完成错题整理：
错题：如图，在中，已知，，，求的面积．分析：作辅助线，构造直角三角形，设未知数并列方程，求解，最后求出面积．正解：解：过点作交的延长线于点，则，设，则，……
（1）根据勾股定理可得， 或 ．(用含的代数式表示)
（2）请你补全上面的过程，并求出的面积．
19．杭州宇树科技公司生产的人形机器人亮相央视2025春晚，让我们看到了一个技术深度嵌入日常生活，人机协作成为常态的未来已来.某人形机器人公司为参加人形机器人半程马拉松比赛，研发团队对H1、G1两款人形机器人的性能进行6次综合测评，测评结果绘制成如下统计图表：
型号 平均数 (分) 中位数(分) 众数(分) 方差 (分2)
H1 96 95.5 a
G1 b 96 96 5
（1） 填空：=　 　，=　 　；
（2） 根据测评结果，公司决定选H1机器人参加半程马拉松比赛，请你根据相关统计量说明公司选择的理由.
20．在国家的“惠农政策”支持下，越来越多的农户将自己的农副产品销往全国各地．河源市农户张先生将种植的百香果和金桔以箱为单位售卖．已知2箱百香果和3箱金桔的价格为245元，1箱百香果和4箱金桔的价格为260元，百香果和金桔的成本价如下表所示：
品名 百香果 金桔
成本/箱 30元 40元
（1）求每箱百香果和每箱金桔的售价分别是多少元？
（2）深圳某公司决定向农户张先生采购400箱水果（对水果种类没有特别要求）．张先生目前仅有金桔和百香果各库存300箱，在只能整箱销售的情况下，张先生该如何搭配销售，在满足公司要求的情况下，获利最大．
21．如图1，在长方形中，动点从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿匀速运动，至点处停止，点运动的时间为，点运动的路程为，的面积为，且与之间的图象关系如图2所示．
（1）图2图象表示的是哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？
（2）表格中的常数______，常数的取值范围为______；
面积 3 6 …
路程 1 2 3 8 …
（3）当点分别运动到线段上时，分别直接写出与之间的关系式．
22．在中，、分别是、的中点，连接、．
（1）求证：；
（2）如图，当满足什么条件时，四边形是菱形，并说明理由；
（3）如图，为的中点，是线段上一动点，在（2）的条件下，若，，求的最小值．
23．如图1：直线与轴、轴分别交于、两点，，点是直线上与、不重合的动点．
（1）求点的坐标和直线的解析式；
（2）如图2，当点运动到某一位置时，，求此时点的坐标；
（3）如图3，当于点，点为直线上不与点、重合的一个动点．在轴上是否存在点，使得以、、为顶点的三角形与全等，若存在请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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人教版2025—2026学年八年级下册期末复习全能练考卷
数 学
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列表示与关系的图象中，不是的函数的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：根据函数的定义可得选项C中y不是x的函数.
故答案为：C.
【分析】在某个变化过程中，设有两个变量x，y，如果对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值，那么就说y是x的函数.其中x是自变量，y是因变量.
2．若三角形的三边长分别为a，b，c，且满足，则这个三角形的形状为（　　）
A．钝角三角形 B．直角三角形
C．锐角三角形 D．等腰直角三角形
【答案】B
【解析】【解答】解：∵，
∴，，，
∴，，，
∴，，
∴，
∴这个三角形是直角三角形，
故答案为：B．
【分析】先利用非负数和为0的性质求出a、b、c的值，再利用勾股定理的逆定理证出这个三角形是直角三角形即可.
3．一个多边形的内角和是1260°，这个多边形的边数是（　　）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】C
【解析】【解答】解：设这个多边形的边数是n，则
（n﹣2） 180°=1260°，
解得n=9．
故选C．
【分析】根据多边形的内角和公式列式求解即可．
4．平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质是（　　）
A．对角线互相平分 B．对角线互相垂直
C．对角线相等 D．对角线互相垂直平分且相等
【答案】A
【解析】【解答】解：平行四边形的对角线互相平分，而对角线相等、平分一组对角、互相垂直不一定成立．
故平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质是：对角线互相平分．
故选A．
【分析】平行四边形、矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形，因而平行四边形的性质就是四个图形都具有的性质．
5．如图，在正方形中，为中点，连接，过点作交的延长线于点，连接，若，则正方形的边长为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB=CD，∠A=∠ADC=∠BCD=90°，
∵DE⊥DF，
∴∠EDF=90°，
∴∠ADC=90°-∠CDE=∠CDF，
在△ADE与△CDF中，∵∠A=∠DCF=90°，AD=CD，∠ADE=∠CDF，
∴△ADE≌△DCF(ASA)，
∴DE=DF，∴DE=DF=
∵点E为AB的中点，
∴设AE=x，则AD=2x，
∵AE2+AD2=DE2，
∴，
得，
得AD=2．
故答案为：B．
【分析】由正方形的性质得AD=AB=CD，∠A=∠ADC=∠BCD=90°，由同角的余角相等得∠ADC=∠CDF，从而由ASA判断出△ADE≌△DCF，由全等三角形的对应边相等得DE=DF，然后在Rt△DEF中，利用勾股定理算出DE，最后在Rt△AED中，利用勾股定理算出AD即可.
6．如图所示，一次函数（k，b是常数，）与正比例函数（m是常数，）的图象相交于点，下列判断错误的是（　　）
A．关于x的方程的解是
B．关于x的不等式的解集是
C．当时，函数的值比函数的值大
D．关于x，y的方程组的解是
【答案】B
【解析】【解答】解：∵一次函数是常数与正比例函数是常数，的图象相交于点，
A．关于的方程，的解是，故A不符合题意；
B．关于的不等式的解集是，故B符合题意；
C．当时，函数的值比函数的值大，故C不符合题意；
D．关于的方程组的解是，故D不符合题意．
故答案为：B．
【分析】根据两个一次函数图象的交点的坐标即为一元一次方程的解，二元一次方程的解，即可判断A和D；根据图象可得，当x＞1时，y=mx在y=kx+b图象的上方，即为mx＞kx+b，当x＜1时，y=mx在y=kx+b图象的下方，即为mx＜kx+b，即可判断B和C.
7．已知，则化简的结果是(　　)
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解： ∵，
∴a-1＞0，a-3＜0，
∴
=
=a-1+a-4
=2a-5.
故答案为：A.
【分析】首先根据，得出a-1＞0，a-3＜0，然后化简去根号，即可得出答案.
8．如图，矩形的对角线，相交于点，于点，，则的度数为(　　)
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解： 四边形是矩形，
，
，
，
，
，
．
故答案为：A．
【分析】根据矩形的性质可得，利用三角形外角性质可得，结合，即可求出.
9．如图，桌上有一个圆柱形盒子（盒子厚度忽略不计），高为，底面周长为，在盒子外壁离上沿的点处有一只蚂蚁，此时，盒子内壁离底部的点处有一滴蜂蜜，蚂蚁沿盒子表面爬到点处吃蜂蜜，求蚂蚁爬行的最短距离（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：如图是侧面展开图的一半，作点关于的对称点，连接，作交的延长线于点，由题意可知，为所求
高为，底面周长为，在盒子外壁离上沿的点处有一只蚂蚁，此时，盒子内壁离底部的点处有一滴蜂蜜
，，，
故选：D．
【分析】
本题考查立体图形的平面展开与最短路径问题，将圆柱侧面展开为矩形，结合“两点之间线段最短”确定路径，结合勾股定理求解，注意圆柱底面周长的一半为展开图的水平边长.
10．甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城．在整个行驶过程中，甲、乙两车离开A城的距离y（千米）与甲车行驶的时间t（小时）之间的函数关系如图所示．则下列结论：
①A，B两城相距300千米；
②乙车比甲车晚出发1小时，却早到1小时；
③乙车出发后1.5小时追上甲车；
④当甲、乙两车相距50千米时，t＝或．
其中正确的结论有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】【解答】解：由图象可知A，B两城相距300千米，而乙是在甲出发1小时后出发的，且用时3小时，即比甲早到1小时，
∴①②都正确；
设甲车离开A城的距离y与t的关系式为y甲=kt，
把(5，300)代入得，5k=300，
解得k=60，
∴y甲=60t，
设乙车离开A城的距离y与t的关系式为y乙=mt +n，
把(1，0)，(4，300)代入得，
，
解得
∴y乙=100t-100，
令y甲=y乙，得60t=100t-100，
解得t=2.5，
即甲、乙两直线的交点横坐标为t=2.5，此时乙出发时间为1.5小时，
即乙车出发1.5小时后追上甲车，
∴③正确；
令|y甲-y乙|=50，
得60t-100t+100=50，即|100-40t|=50，
∴100-40t=50或100-40t=-50，
解得或
当60t=50时，，
此时y甲=50，乙还没有出发，
当60t=250时，，
此时y甲=250，乙已到达B城，
即当或或或两车相距50千米，
∴④错误，
综上，①②③正确，共三个.
故答案为：C.
【分析】 由图象可知A，B两城相距300千米，而乙是在甲出发1小时后出发的，且用时3小时，即比甲早到1小时，故①②都正确；设甲车离开A城的距离y与t的关系式为y甲=kt，把(5，300)代入可求出t的值，从而得到y甲=60t，设乙车离开A城的距离y与t的关系式为y乙=mt +n，把(1， 0)，(4，300)代入，可得关于字母m、n的方程组，求解可得m、n的值，从而得到y乙=100t-100，联立所求的两函数解析式求解可得交点坐标，即可判断③；分乙车出发前两车相距50千米，两车行驶中两车相距50千米及乙车到达B城后两车相距50千米，三种情况考虑可判断④，综上即可得出答案.
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．有两名学员小林和小明练习飞镖，第一轮枚飞镖掷完后两人命中的环数如图所示，已知新手的成绩不太稳定，那么根据图中的信息，估计小林和小明两人中新手是　 　．
【答案】小林
【解析】【解答】解：解：由于小林的成绩波动较大，根据方差的意义知，波动越大，成绩越不稳定，故新手是小林．
故答案为：小林．
【分析】根据题图观察可知：小明成绩波动小稳定，小林成绩波动大不稳定，再结合题意解答即可.
12．如图，是边长为6的等边三角形，E，F分别是边，上的动点，若，则周长的最小值为　 　．
【答案】12
【解析】【解答】解：作点C关于AD的对称点G，作点C关于AB的对称点H，连接GE，AC，HF，DG，BH，如图，
∵
∴AD为CG的垂直平分线，AB为HC的垂直平分线，
∴
∵
∴
在和中
∴
∴
∴
∴
∴
∴
∴为等边三角形，
∴
∴周长为
故答案为：12.
【分析】作点C关于AD的对称点G，作点C关于AB的对称点H，连接GE，AC，HF，DG，BH，根据题意得到：AD为CG的垂直平分线，AB为HC的垂直平分线，进而求出∠BCD的度数，进而利用"HL"证明得到：即可得到：即可证明为等边三角形，得到进而即可求解.
13．大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，但是由于，所以的整数部分为1．将减去其整数部分1，所得的差就是其小数部分．根据以上的信息，已知，的整数部分为a，小数部分为b，则　 　．
【答案】9
【解析】【解答】解：∵，
∴，则，
∴，，
∴
．
故答案为：9．
【分析】先参照题干中的定义及计算方法求出，，再将其代入计算即可.
14．如图，是菱形ABCD的对角线，，．若点P，点Q分别是上的动点，连接，则的最小值是　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：如图，∵四边形是菱形，
∴点关于直线对称，，
过作于，交于，
此时，的值最小，的最小值，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的最小值是，
故答案为：．
【分析】根据菱形性质可得点关于直线对称，，过作于，交于，此时，的值最小，的最小值，根据勾股定理可得AB，再根据菱形面积可得DQ，即可求出答案.
15．如图，在矩形ABCD中无重叠放入面积分别为acm2和bcm2（a＞b）的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为　 　cm2．
【答案】
【解析】【解答】解：∵两张正方形纸片的面积分别为acm2与bcm2，
∴两个正方形的边长分别为cm与cm，
∴AB=cm，AD=（+）cm，
∴空白部分的面积为：（+）-a-b=a+-a-b=-b(cm2)
故答案为：.
【分析】根据正方形的面积表示出两个正方形的边长，从而可求出矩形的长与宽AD、AB的长，再根据空白部分的面积等于长方形的面积减去两个正方形的面积列式计算即可.
16．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为，点B的坐标为，点P是直线上的一个动点，若，则点P的坐标是　 　．
【答案】或
【解析】【解答】解：当点P在y轴左侧时，如图1，连接，
∵，
∴，
∵，
∴P点纵坐标为4，
又P点在直线上，把代入可求得，
∴P点坐标为；
当点P在y轴右侧时，过A、P作直线交x轴于点C，如图2，
设P点坐标为，设直线的解析式为，
把A、P坐标代入可得，
解得：，
∴直线的解析式为，
令可得，
解得：，
∴C点坐标为，
∴，即，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
解得：，
则，
∴P点坐标为，
综上可知，P点坐标为或．
故答案为：或．
【分析】分两种情况：当点P在y轴左侧时，即可得到，即可求得P点坐标；当点P在y轴右侧时，可设P，过作直线交x轴于点C，求出直线的解析式，即可得到点C的坐标，然后利用勾股定理求出的长，根据，得到关于a的方程解题即可．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
【解析】【分析】（1）先计算二次根式的乘除，再计算二次根式的加减即可；
（2）利用完全平方公式、平方差公式先计算，再合并即可.
18．如表是小航同学的错题，请你帮助她完成错题整理：
错题：如图，在中，已知，，，求的面积．分析：作辅助线，构造直角三角形，设未知数并列方程，求解，最后求出面积．正解：解：过点作交的延长线于点，则，设，则，……
（1）根据勾股定理可得， 或 ．(用含的代数式表示)
（2）请你补全上面的过程，并求出的面积．
【答案】（1）；
（2）解：在中，，，
∴；
在中，，，
∴
∴，
解得：，
∴，
∴.
【解析】【解答】
（1）在中，，，
∴；
在中，，，
∴
∴或；
故答案为：；；
【分析】
（1）分别在和中应用勾股定理即可；
（2）利用（1）的结论解关于x的方程先求出BD，再在中应用勾股定理求出高BC上的高AD即可．
（1）在中，，，
∴；
在中，，，
∴
∴或；
故答案为：；；
（2）在中，，，
∴；
在中，，，
∴
∴，
解得：，
∴，
∴
19．杭州宇树科技公司生产的人形机器人亮相央视2025春晚，让我们看到了一个技术深度嵌入日常生活，人机协作成为常态的未来已来.某人形机器人公司为参加人形机器人半程马拉松比赛，研发团队对H1、G1两款人形机器人的性能进行6次综合测评，测评结果绘制成如下统计图表：
型号 平均数 (分) 中位数(分) 众数(分) 方差 (分2)
H1 96 95.5 a
G1 b 96 96 5
（1） 填空：=　 　，=　 　；
（2） 根据测评结果，公司决定选H1机器人参加半程马拉松比赛，请你根据相关统计量说明公司选择的理由.
【答案】（1）95；96
（2）解：选H1器人参加半程马拉松比赛，是因为两款机器人测评成绩的平均数相同，但H1的方差比G1小，成绩更稳定.
【解析】【解答】(1)由题意可知，H1款人形机器人的6次测评成绩中，95分出现的次数最多，故众数
故答案为： 95， 96；
【分析】(1)分别根据众数和平均数的定义解答即可；
(2)根据平均数和方差的意义解答即可.
20．在国家的“惠农政策”支持下，越来越多的农户将自己的农副产品销往全国各地．河源市农户张先生将种植的百香果和金桔以箱为单位售卖．已知2箱百香果和3箱金桔的价格为245元，1箱百香果和4箱金桔的价格为260元，百香果和金桔的成本价如下表所示：
品名 百香果 金桔
成本/箱 30元 40元
（1）求每箱百香果和每箱金桔的售价分别是多少元？
（2）深圳某公司决定向农户张先生采购400箱水果（对水果种类没有特别要求）．张先生目前仅有金桔和百香果各库存300箱，在只能整箱销售的情况下，张先生该如何搭配销售，在满足公司要求的情况下，获利最大．
【答案】（1）解：设每箱百香果的售价为元，每箱金桔的售价为元，
根据题意，得
解这个方程组，得，
答：每箱百香果和每箱金桔的售价分别为40元，55元．
（2）解：每箱百香果的利润为：（元），
每箱金桔的利润为：（元），
设张先生将箱金桔和（400－m）箱百香果进行搭配销售，获利为元，
则，
，
随的增大而增大．
又，当时，最大，
此时百香果的箱数为：（箱）．
答：张先生将100箱百香果和300箱金桔进行搭配销售时，获利最大．
【解析】【分析】（1）设每箱百香果的售价为元，每箱金桔的售价为元，根据题意建立方程组，解方程即可求出答案.
（2）求出每箱百香果，金桔的利润，设张先生将箱金桔和（400－m）箱百香果进行搭配销售，获利为元，根据题意建立函数关系式，结合一次函数的性质即可求出答案.
（1）解：设每箱百香果的售价为元，每箱金桔的售价为元，
根据题意，得
解这个方程组，得，
答：每箱百香果和每箱金桔的售价分别为40元，55元．
（2）解：每箱百香果的利润为：（元），
每箱金桔的利润为：（元），
设张先生将箱金桔和（400－m）箱百香果进行搭配销售，获利为元，
则，
，
随的增大而增大．
又，当时，最大，
此时百香果的箱数为：（箱）．
答：张先生将100箱百香果和300箱金桔进行搭配销售时，获利最大．
21．如图1，在长方形中，动点从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿匀速运动，至点处停止，点运动的时间为，点运动的路程为，的面积为，且与之间的图象关系如图2所示．
（1）图2图象表示的是哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？
（2）表格中的常数______，常数的取值范围为______；
面积 3 6 …
路程 1 2 3 8 …
（3）当点分别运动到线段上时，分别直接写出与之间的关系式．
【答案】（1）解：图象表示的是变量点运动的路程与△ADP的面积之间关系；
点运动的路程为自变量，的面积是因变量
（2）；
（3）解：由（2）得，.
由（1）当点P在AB边上运动时，即0≤x＜4时，
，
，
当点在上运动时，即7≤x＜11时，
，
，
．
【解析】【解答】解：（2）当点运动到点处时，，，即，
，
.
，.
∵AB+BC=4+3=7，
∴当时，点P在CD上运动，且，
.
当时，即，
解得：h=4，
此时点P在上运动，
；
故答案为：；；
【分析】（1）根据题意即可得出结论；
（2）根据图象求出AB和AD的长，再分析当时的值，以及当时的路程的值即可；
（3）由（2）得，.再根据点P位置以及三角形的面积公式求出相应的函数关系式即可．
22．在中，、分别是、的中点，连接、．
（1）求证：；
（2）如图，当满足什么条件时，四边形是菱形，并说明理由；
（3）如图，为的中点，是线段上一动点，在（2）的条件下，若，，求的最小值．
【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵、分别为、的中点，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴；
（2）解：当时，四边形是菱形．
理由：∵，为的中点，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴四边形是菱形
（3）解：如图，连接，连接交于，
∵四边形是菱形，
∴点和点关于对称，
∴，
∴，
∴当、、三点共线时，的值最小，即为的长，
∵四边形是菱形，，
∴，
∴是等边三角形，
∵，
∴，
∴，
即的最小值为．
【解析】【分析】本题考查平行四边形的性质与判定，菱形的判定，等边三角形判定和线段和的最小值问题。（1）根据四边形ABCD是平行四边形，可得 ， ，根据” 、分别是、的中点“ ，可得 ，则四边形DEBF为平行四边形，可知 ；（2）要使四边形是菱形，则可知DE=EB=AE，则∠ADB=90°，即 当时，四边形是菱形． （3）由“ 四边形是菱形， ”可知点和点关于对称， 即 ，
则，当、、三点共线时，的值最小，即为的长。根据菱形和角度，可知 ， 则 的最小值为 。巧妙利用菱形顶点关于对角线对称的知识，把所求线段和转化成固定点段，求值即可。求线段和的最小值，找对称，化曲为直是核心。
23．如图1：直线与轴、轴分别交于、两点，，点是直线上与、不重合的动点．
（1）求点的坐标和直线的解析式；
（2）如图2，当点运动到某一位置时，，求此时点的坐标；
（3）如图3，当于点，点为直线上不与点、重合的一个动点．在轴上是否存在点，使得以、、为顶点的三角形与全等，若存在请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：∵直线与轴、轴分别交于、两点，
∴，即，
∴，即，
将点A坐标代入得：，解得，
∴直线的解析式为．
（2）解：由（1）可知：，
∴，
∵，
∴，
设点C的横坐标为m，则上边上的高为，
∴，解得：，
∵点C在直线上，
∴当时，，即；
当时，，即．
∴点C的坐标为或．
（3）或或或
【解析】【解答】解：（3）存在满足条件的点Q，
∵，
∴，
∴以O、P、Q为顶点的三角形与全等时，斜边为对应边，.
①当时，
∴，即点P的横坐标为或，
如图：
∴点P的纵坐标为或，
∴点Q的坐标为或；
②当时，，即点P、Q的纵坐标为或，
如图所示：
∴点Q的坐标为或．
综上，点Q的坐标为或或或．
【分析】
（1）根据直线与轴、轴分别交于、两点得点B坐标，再根据已知条件得点A坐标，然后用待定系数法求出直线解析式，解答即可；
（2）根据得，再计算得，设点C的横坐标为m，利用三角形面积建立方程求出m值，可得点C的坐标，解答即可；
（3）根据勾股定理得到AB，再利用等面积法求得，分和两种情况分别画出图形，在根据全等三角形的性质确定点Q坐标即可解答．
（1）解：∵直线与轴、轴分别交于、两点，
∴，即，
∴，即，
将点A坐标代入得：，解得，
∴直线的解析式为．
（2）解：由（1）可知：，
∴，
∵，
∴，
设点C的横坐标为m，则上边上的高为，
∴，解得：，
∵点C在直线上，
∴当时，，即；
当时，，即．
∴点C的坐标为或．
（3）解：存在满足条件的点Q，
∵，
∴，
∴以O、P、Q为顶点的三角形与全等时，斜边为对应边，.
①当时，
∴，即点P的横坐标为或，
如图：
∴点P的纵坐标为或，
∴点Q的坐标为或；
②当时，，即点P、Q的纵坐标为或，
如图所示：
∴点Q的坐标为或．
综上，点Q的坐标为或或或．
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