资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
【决战期末·50道解答题专练】北师大版数学七年级下册期末总复习
1． 2024年4月23日是世界读书日，为贯彻落实好《全国青少年学生读书行动1实施方案》，打造“人人爱读书，人人好读书”的书香校园，实验学校开展以“书香校园—我最喜欢的书籍”为主题的调查活动，学生根据自己的爱好选择一类书籍（A：政史类，B：文学类，C：科技类，D：艺术类，E：其他类）．学校数学兴趣小组对部分学生进行了问卷调查，根据收集到的数据，数学兴趣小组绘制了两幅不完整的统计图（如图所示）．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）学校此次被调查的学生总人数为_▲_名，并根据题意补全条形统计图；
（2）在扇形统计图中，C“科技类”所对应的圆心角度数是　 　度；
（3）学校数学兴趣小组中，甲同学从A，B，C三类书籍中随机选择一种，乙同学从B，C，D三类书籍中随机选择一种，请用画树状图或者列表法求甲乙两位同学选择相同类别书籍的概率．
2．一个蓄水池有水，打开放水闸门放水，水池里的水和放水时间的关系如表，回答下面问题：
放水时间（分钟） 1 2 3 4 5 …
水池中水量 48 46 42 40 …
（1）如图所示，将表格补充完整；　 　.
（2）根据表格中的数据，说明在放完水前，水池中水量是随放水时间的增长而怎样变化的？
（3）当放水时间为7分钟时，水池中水量是多少立方米？
3．如图，一个长为，宽为的长方形，分成四块完全相同的小长方形，再拼成如图的正方形．
（1）根据图和图，写出，，之间的一个等量关系 ．
（2）利用（）中的结论解决下列问题，，求
（3）如图，点是线段上的一点，以、为边向两边作正方形和，延长和交于点，那么四边形为长方形，设，图中阴影部分面积为，求的值．（）．
4．已知将直角三角板放在直线上，且直角的顶点在点O处．
（1）若按如图①所示的方式放置，已知，求的度数；
（2）若按如图②所示的方式放置，使得平分，且，求的度数．
5．如图，AD⊥BC于D，EG⊥BC于G，∠E=∠1，试说明AD平分∠BAC的理由．
6．一只不透明的布袋中，装有质地、大小均相同的四个小球，小球上分别标有数字1，2，3，4.甲、乙两人玩摸球游戏，规则如下：两人同时从布袋中随机各摸出1个小球，若两个小球上的数字之和为奇数，则甲胜；若两个小球上的数字之和为偶数，则乙胜.
（1）请用画树状图或列表的方法，求甲获胜的概率.
（2）这个游戏规则对甲、乙双方公平吗 请说明理由.
7．卫星绕地球表面做圆周运动的速度约为8×103米/秒，则卫星运行8×103秒所走的路程约是多少？
8．如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，∠AOC=72°，OF⊥CD，垂足为O，求∠EOF的度数。
9．甲、乙两同学用一副扑克牌中牌面数字分别是：3，4，5，6的4张牌做抽数学游戏．游戏规则是：将这4张牌的正面全部朝下，洗匀，从中随机抽取一张，抽得的数作为十位上的数字，然后，将所抽的牌放回，正面全部朝下、洗匀，再从中随机抽取一张，抽得的数作为个位上的数字，这样就得到一个两位数．若这个两位数小于45，则甲获胜，否则乙获胜．你认为这个游戏公平吗？请运用概率知识说明理由．
10．某电动车厂2014年各月份生产电动车的数量情况如下表：
时间x/月 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
月产量y/万辆 8 8.5 9 10 11 12 10 9.5 9 10 10 10.5
（1）为什么称电动车的月产量y为因变量？它是谁的因变量？
（2）哪个月份电动车的产量最高？哪个月份电动车的产量最低？
（3）哪两个月份之间产量相差最大？根据这两个月的产量，电动车厂的厂长应该怎么做？
11．如图，在△ABC中，AD，AE，AF分别是△ABC的高、角平分线、中线。
（1）若△ABC的面积为6，则△ABF的面积为　 　.
（2）当∠B=30°，∠C=45°时，求∠DAE的度数。
12．如图，AB∥CD，点E在CD上，点G在DB的延长线上，连结EG，交AB于点F，连结AE.已知EA平分∠CEF，∠A=55°.
（1）求∠BFG的度数.
（2）若∠A=∠D，试说明：∠AEF=∠G.
13．如图， ．填空并填写理由：
∵ （已知）
∴ （ ）（ ）
∴ （ ）
又∵ （已知）
∴（ ） （等量代换）
∴ （ ）（ ）
14．一个袋中装有2个红球，3个白球，和5个黄球，每个球除了颜色外都相同，从中任意摸出一个球，分别求出摸到红球，白球，黄球的概率．
15．如图所示，两根旗杆间相距12m，某人从B点沿BA走向A，一定时间后他到达点M，此时他仰望旗杆的顶点C和D，两次视线的夹角为90°，且CM=DM，已知旗杆AC的高为3m，该人的运动速度为1m/s，求这个人运动了多长时间？
16．如图，已知AB⊥CD，EF⊥AB，∠DGC=105°，∠BCA=75°，请说明∠CEF+∠CDG=180°的理由．
17．甲口袋中装有红色、绿色两把扇子，这两把扇子除颜色外无其他差别；乙口袋中装有红色、绿色两条手绢，这两条手绢除颜色外无其他差别．从甲口袋中随机取出一把扇子，从乙口袋中随机取出一条手绢，用画树状图或列表的方法，求取出的扇子和手绢都是红色的概率．
18．某商店举行“砸金蛋赢优惠”活动，该店提供四个外观一样的“金蛋"，每个“金蛋”内装一张优惠券，分别是10，20，50，100（单位：元）的优惠券．四个“金蛋”内的优惠券不重复．砸到哪个“金蛋”就会获得“金蛋”内相应的优惠券．陈阿姨参加了此活动．
（1）如果随机砸1个“金蛋"，求陈阿姨得到100元优惠券的概率．
（2）如果随机砸2个“金蛋”，且第一次砸过的“金蛋”不能再砸第二次，请用列表或画树状图的方法求出陈阿姨所获优惠券总值不低于70元的概率为多少．
19．试解答下列问题：
（1）在图1我们称之为“8字形”，请直接写出、、、之间的数量关系：　 　；
（2）仔细观察，在图2中“8字形”的个数是　 　个；
（3）在图2中，若，，和的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N.求的度数.
20．小莉的爸爸买了一张唐梓山门票，她和哥哥两人都很想去观看，可门票只有一张，读九年级的哥哥想了一个办法，拿了八张扑克牌，将数字为1，2，3，4的四张牌给小莉，将数字为5，6，7，8的四张牌留给自己，并按如下游戏规则进行：小莉和哥哥从各自的四张牌中随机抽出一张，然后将抽出的两张扑克牌数字相加，如果和为偶数，则小莉去；如果和为奇数，则哥哥去.哥哥设计的游戏规则公平吗？若公平，请说明理由；若不公平，请你设计一种公平的游戏规则.
21．如图，已知D为△ABC边BC延长线上一点，DF⊥AB于F交AC于E，∠A=35°，∠D=42°，求∠ACD的度数．
22．九年级某班联欢会上，节目组设计了一个即兴表演节目游戏，在一个不透明的盒子里，放有四个完全相同的乒乓球，乒乓球上分别标有数字1，2，3，4，游戏规则是：参加联欢会的48名同学，每人同时从盒子里一次摸出两个乒乓球，若两球上数字之和大于5就给大家即兴表演一个节目；否则，下一个同学依次进行，直至48名同学都摸完，
（1）若小朱是该班同学，用列表法或画树状图法求小朱同学表演节目的概率；
（2）若参加联欢会的同学每人都有一次摸球的机会，请估计本次联欢会上大概有多少个同学表演节目？
23．如图：已知 ，猜想 与 的位置关系，并写出合适的理由.
24．如图所示，已知AB∥CD，∠1=∠2，试判断∠E与∠F的大小关系，并说明理由.
25．如图，在△ABC中，BE、CF分别是AC、AB两边上的高，在BE上截取BD=AC，在CF的延长线上截取CG=AB，连接AD、AG．试猜想线段AD与AG的数量及位置关系，并证明你的猜想．
26．如图，点C，F，E，B在一条直线上，∠CFD=∠BEA，CE=BF，DF=AE，写出CD与AB之间的关系，并证明你的结论．
27．如图，已知 ， ， ， ，求 的度数.
28．一个不透明的袋子中共装有五个小球，其中3个红球，1个白球，1个黄球，这些小球除颜色外都相同，将袋中小球摇匀，从中随机摸出一个小球记下颜色后放回，记作随机摸球一次，
（1）随机摸球10次，其中摸出黄球3次，则这10次摸球中，摸出黄球的频率是　 　．
（2）随机摸球2次，用画树状图或列表的方法，求这两次摸出的小球都是红球的概率．
29．A、B、C三人玩篮球传球游戏，游戏规则是：第一次传球由A将球随机地传给B、C两人中的某一人，以后的每一次传球都是由上次的传球者随机地传给其他两人中的某一人．求两次传球后，球恰在B手中的概率．
30．如图，已知点D，F，E，G都在三角形ABC的边上，EF∥AD，∠1=∠2，∠BAC=70°，求∠AGD的度数．
解：∵EF∥AD，
∴∠2=∠3（　　）．
∵∠1=∠2，
∴∠1=∠3（　　），
∴ ▲ ∥ ▲ （　　），
∴∠AGD+∠BAC=180°（两直线平行，同旁内角互补）．
∵∠BAC=70°，
∴∠AGD=▲ ．
31．已知xm=5，xn=7，求x2m+n的值．
32．如图，已知，.
（1）求证：.
（2）若，求的度数.
33． 如图1，中，，、、的对边分别记为a、b、C.
实验一：
小聪和小明用八张这样的三角形纸片拼出了如图2所示的正方形.
（1）在图2中，正方形的面积可表示为 ，正方形的面积可表示为 (用含a，b的式子表示)
（2）请结合图2，用面积法说明，，三者之间的等量关系.
实验二：
小聪和小明分别用四个这样三角形纸片拼成了如图3所示的图形.他们根据面积法得到了一个关于边a、b、c的等式，整理后发现，．
（3）请你用面积法证明：．
34．如图所示，已知AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于E、F两点，FG平分∠EFD，交AB于点G.若∠1＝52°，求∠BGF的度数.
35．已知：如图，分别交、于点、，平分，平分．试说明：．
36．如图所示，把三角板的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1=30°，求∠2的度数．
37．已知：如图，在，中，，，，点，，三点在同一直线上，连结.
求证：
（1）；
（2）试猜想，有何特殊位置关系，并证明.
38．如图，△ABC中，CB=AC=BD，CD=AD， 求△ABC中各角的度数？
39．如图，已知AB=CD，AC=BD，说明AD∥BC。
40．如图，直线、，相交于点O，，，求的度数以及的度数．
41．如图，已知∠BAC=60° ，∠B=80° ，DE垂直平分AC交BC于点D，交AC于点E.
（1）求∠BAD的度数；
（2）若AB=10，BC=12，求△ABD的周长.
42．某校开展科技节展览活动，设置了编号为1至6号的六个展区，小佳计划随机参观两个展区，且每个展区被选中的机会均等，列表或画树状图求4号展区被选中的概率.
43．先化简，再计算：（2a+b）（b﹣2a）﹣（a﹣3b）2，其中a=﹣2，b= ．
44．下面是小华设计的“作三角形一边上的高”的尺规作图过程．
已知：△ABC，求作：△ABC的边BC上的高AD．
作法：
①以点A为圆心，适当长为半径画弧，交直线BC于点M，N；
②分别以点M，N为圆心，以大于MN的长为半径画弧，两弧相交于点P；
③作直线AP交BC于点D，则线段AD即为所求△ABC的边BC上的高．
根据小华设计的尺规作图过程：
（1）AP是线段MN的　 　；
（2）证明AD是△ABC的高
45．已知直线，点在、之间，点、分别在直线、上，连接、．
（1）如图1，直接写出之间的数量关系；
（2）如图2，平分，平分，当时，求出的度数；
（3）如图3，若点在的下方，平分，平分，的反向延长线交于点，当时，直接写出的度数．
46．如图，在 中， 和 的平分线交于点 ，过点 作 ，交 于 ，交 于 ，若 ， ，试求 的值．
47．△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线BD，CE相交于点O，记∠BAC＝x，∠BOC＝y．
（1）如图1．
①若x＝50°，则y＝ ▲ ；
②请你根据①中计算的心得猜想写出y与x的关系式，并证明你猜想的正确性；
（2）如图2，启智学校内有一个三角形的小花园，花园中有两条小路BD和CE为△ABC的角平分线，交点为点O，在O处建有一个自动浇水器，需要在BC边上取一处接水口F，经过测量得知∠BAC＝120°，OD OE＝12000m2，BC﹣BE﹣CD＝160m，请你求出水管OF至少要多长？
48．已知，，，试解答下列问题：
（1）如图①，则　 　，则OB与AC的位置关系为　 　；
（2）如图②，若点E、F在线段上，且满足，并且平分.则的度数等于　 　；
（3）在第（2）题的条件下，若平行移动到如图③所示位置.
①在AC移动的过程中，与的比值是否发生改变，若不改变求出其比值，若要改变说明理由；
②当时，求.
49．已知
（1）求 ab+ bc+ ca 的值.
（2）求 的值.
50．已知：在中，平分，、相交于点，
（1）如图①，若，，，求的大小.
（2）如图②，若平分，且，求的大小.
（3）如图③，若在的外角内，且，，试探究：与的数量关系.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
【决战期末·50道解答题专练】北师大版数学七年级下册期末总复习
1． 2024年4月23日是世界读书日，为贯彻落实好《全国青少年学生读书行动1实施方案》，打造“人人爱读书，人人好读书”的书香校园，实验学校开展以“书香校园—我最喜欢的书籍”为主题的调查活动，学生根据自己的爱好选择一类书籍（A：政史类，B：文学类，C：科技类，D：艺术类，E：其他类）．学校数学兴趣小组对部分学生进行了问卷调查，根据收集到的数据，数学兴趣小组绘制了两幅不完整的统计图（如图所示）．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）学校此次被调查的学生总人数为_▲_名，并根据题意补全条形统计图；
（2）在扇形统计图中，C“科技类”所对应的圆心角度数是　 　度；
（3）学校数学兴趣小组中，甲同学从A，B，C三类书籍中随机选择一种，乙同学从B，C，D三类书籍中随机选择一种，请用画树状图或者列表法求甲乙两位同学选择相同类别书籍的概率．
【答案】（1）解：100；
补全条形统计图如下：
（2）144
（3）解：画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中甲乙两位同学选择相同类别书籍的结果有2种，
∴甲乙两位同学选择相同类别书籍的概率为．
【解析】【解答】解：（1）解：被调查学生总人数：（名），
的人数（名），
故答案为：100；
（2）解：C“科技类”所对应的圆心角度数是，
故答案为：144；
【分析】本题以读书日调查活动为背景，考查了条形统计图与扇形统计图的综合应用、圆心角度数的计算，以及列表法或树状图法求概率。掌握图表信息提取和概率计算方法是解题关键。
（1）由A类人数10人及占比10%可得总人数100人，再计算出D类人数为25人，并补全条形图；
（2）C类占比=40%，对应圆心角为；
（3）甲从A、B、C中选，乙从B、C、D中选，共有9种等可能结果，两人选择相同类别（B、C）的结果有2种，概率为。
2．一个蓄水池有水，打开放水闸门放水，水池里的水和放水时间的关系如表，回答下面问题：
放水时间（分钟） 1 2 3 4 5 …
水池中水量 48 46 42 40 …
（1）如图所示，将表格补充完整；　 　.
（2）根据表格中的数据，说明在放完水前，水池中水量是随放水时间的增长而怎样变化的？
（3）当放水时间为7分钟时，水池中水量是多少立方米？
【答案】（1）44
（2）解：水池中水量随放水时间的增长而减少.
（3）解：，
答：当放水时间为7分镫时，水池中水量是.
【解析】【解答】解：（1）由表可知，随着放水时间的增加，水池中的水量逐渐递减，且每次递减2m3，
∴放水时间3分钟的时候，水池中的水量为：48-2-2=44m3.
故填：44.
【分析】（1）观察表中数据即可求出答案.
（2）观察表中数据发现水池中水量减少即可知道变化情况.
（3）用第5分钟的水池中水池量分别减两个每分钟下降的水池量即可求出答案.
3．如图，一个长为，宽为的长方形，分成四块完全相同的小长方形，再拼成如图的正方形．
（1）根据图和图，写出，，之间的一个等量关系 ．
（2）利用（）中的结论解决下列问题，，求
（3）如图，点是线段上的一点，以、为边向两边作正方形和，延长和交于点，那么四边形为长方形，设，图中阴影部分面积为，求的值．（）．
【答案】（1）
（2）解：由（）可得，，
∵，，
∴；
（3）解：设，，则，
∵，图中阴影部分面积为，
∴， ，
由（）可得， ；
∴，
∵，
∴，即，
∴的值为．

【解析】【解答】（1）解：图整体上是边长为的正方形，面积为，中间小正方形的边长为，面积为，个长方形的面积为，
∴；
故答案为：.
【分析】
（1）根据图形中面积的构成列出等式即可；
（2）由（1）的结论计算即可求解；
（3）设，，则，由（1）的结论计算即可求解
（1）解：图整体上是边长为的正方形，面积为，中间小正方形的边长为，面积为，个长方形的面积为，
∴；
（2）解：由（）可得，，
∵，，
∴；
（3）解：设，，则，
∵，图中阴影部分面积为，
∴， ，
由（）可得， ；
∴，
∵，
∴，即，
∴的值为．
4．已知将直角三角板放在直线上，且直角的顶点在点O处．
（1）若按如图①所示的方式放置，已知，求的度数；
（2）若按如图②所示的方式放置，使得平分，且，求的度数．
【答案】（1）解：，；
；
（2）解：，平分
，
又 ，
．
【解析】【分析】（1） 根据题意，结合，进行计算，即可得到答案；
（2）由平分，得到，根据，列出算式，即可得到答案.
（1）解：，；
；
（2）解：，平分
，
又 ，
．
5．如图，AD⊥BC于D，EG⊥BC于G，∠E=∠1，试说明AD平分∠BAC的理由．
【答案】解：∵AD⊥BC于D，EG⊥BC于G （已知）
∴∠ADC=∠EGC=90° （垂直定义）
∴AD∥EG （同位角相等，两直线平行）
∴∠1=∠2 （两直线平行，内错角相等）
∠3=∠E （两直线平行，同位角相等）
又∵∠E=∠1 （已知）
∴∠2=∠3 （等量代换）
∴AD平分∠BAC （角平分线定义）
【解析】【分析】先利用平面内垂直于同一条直线的两条直线互相平行，得到AD∥EG，再利用平行线的性质和已知条件求出∠2=∠3即可．
6．一只不透明的布袋中，装有质地、大小均相同的四个小球，小球上分别标有数字1，2，3，4.甲、乙两人玩摸球游戏，规则如下：两人同时从布袋中随机各摸出1个小球，若两个小球上的数字之和为奇数，则甲胜；若两个小球上的数字之和为偶数，则乙胜.
（1）请用画树状图或列表的方法，求甲获胜的概率.
（2）这个游戏规则对甲、乙双方公平吗 请说明理由.
【答案】（1）解：根据题意，画树状图如图所示.由图，可知共有12种等可能的结果，其中甲获胜的结果有8种，
∴ 甲获胜的概率为
（2）解：不公平.
理由：由图，
可知乙获胜的结果有4种，
∴ 乙获胜的概率为
∴ 这个游戏规则对甲、乙双方不公平
【解析】【分析】(1)先画出树状图得到所有等可能性的结果数，再找到两球上的数字之和为奇数的结果数，最后利用概率计算公式求解即可；
(2)同(1)求出乙获胜的概率即可得到结论.
7．卫星绕地球表面做圆周运动的速度约为8×103米/秒，则卫星运行8×103秒所走的路程约是多少？
【答案】解：由题意可得：8×103×8×103=6.4×107（m），
答：卫星所走的路程约是6.4×107m．
【解析】【分析】直接利用单项式乘以单项式运算法则求出即可．
8．如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，∠AOC=72°，OF⊥CD，垂足为O，求∠EOF的度数。
【答案】解：∵直线AB和CD相交于点O，∴∠BOD=∠AOC=72°，∵OF⊥CD，∴∠BOF=90°-72°=18°，∵OE平分∠BOD，∴∠BOE= ∠BOD=36°，∴∠EOF=36°+18°=54°
【解析】【分析】根据对顶角相等得出∠BOD=∠AOC=72°，根据垂直的定义得出∠BOF=90°-72°=18°，根据角平分线的定义得出∠BOE= ∠BOD=36°，从而根据角的和差得出∠EOF的度数。
9．甲、乙两同学用一副扑克牌中牌面数字分别是：3，4，5，6的4张牌做抽数学游戏．游戏规则是：将这4张牌的正面全部朝下，洗匀，从中随机抽取一张，抽得的数作为十位上的数字，然后，将所抽的牌放回，正面全部朝下、洗匀，再从中随机抽取一张，抽得的数作为个位上的数字，这样就得到一个两位数．若这个两位数小于45，则甲获胜，否则乙获胜．你认为这个游戏公平吗？请运用概率知识说明理由．
【答案】解：这个游戏不公平，游戏所有可能出现的结果如下表：
第二次第一次 3 4 5 6
3 33 34 35 36
4 43 44 45 46
5 53 54 55 56
6 63 64 65 66
表中共有16种等可能结果，小于45的两位数共有6种．∴P（甲获胜）= ，P（乙获胜）= ．∵ ，∴这个游戏不公平．
【解析】【分析】抓住关键的已知条件：将所抽的牌放回，正面全部朝下、洗匀，再从中随机抽取一张。先列表或画树状图，再求出所有等可能的结果数及小于45的两位数的可能数，利用概率公式，求出概率，再根据游戏规则作出判断即可
10．某电动车厂2014年各月份生产电动车的数量情况如下表：
时间x/月 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
月产量y/万辆 8 8.5 9 10 11 12 10 9.5 9 10 10 10.5
（1）为什么称电动车的月产量y为因变量？它是谁的因变量？
（2）哪个月份电动车的产量最高？哪个月份电动车的产量最低？
（3）哪两个月份之间产量相差最大？根据这两个月的产量，电动车厂的厂长应该怎么做？
【答案】解：（1）电动车的月产量y为随着时间的变化而变化，有一个时间就有唯一一个y，
月产量是时间的因变量；
（2）六月份产量最高，一月份常量最低；
（3）六月份和一月份相差最大，在一月份加紧生产，实现产量的增值．
【解析】【分析】（1）根据因变量的定义，可得答案；
（2）有理数的大小比较，可得答案；
（3）根据有理数的减法，可得答案．
11．如图，在△ABC中，AD，AE，AF分别是△ABC的高、角平分线、中线。
（1）若△ABC的面积为6，则△ABF的面积为　 　.
（2）当∠B=30°，∠C=45°时，求∠DAE的度数。
【答案】（1）3
（2）解：∵，，
∴．
∵平分，
∴．
∵，，
∴，
∴
【解析】【解答】解：（1）解：∵是的中线，且的面积为6，
∴的面积为，
故答案为：3.
【分析】⑴根据三角形中线平分三角形面积作答.
⑵根据三角形内角和定理知∠BAC的度数，再根据角平分线定义知∠CAE的度数，最后根据直角三角形两锐角互余求 ∠DAE的度数 .
12．如图，AB∥CD，点E在CD上，点G在DB的延长线上，连结EG，交AB于点F，连结AE.已知EA平分∠CEF，∠A=55°.
（1）求∠BFG的度数.
（2）若∠A=∠D，试说明：∠AEF=∠G.
【答案】（1）解：∵AB∥CD，∠A=55°，
∴∠AEC=∠A=55°（两直线平行，内错角相等），
∵EA平分∠CEF，
∴∠CEF=2∠AEC=110°，
∴∠GED=180°-∠CEF=70°，
∵AB∥CD，
∴∠GFB=∠GED=70°（两直线平行，同位角相等）；
（2）证明：∵AB∥CD，
∴∠AEC=∠A（两直线平行，内错角相等），
∵ ∠A=∠D，
∴∠D=∠AEC，
∴AE∥GD（同位角相等，两直线平行），
∴ ∠AEF=∠G （两直线平行，内错角相等）.
【解析】【分析】（1）由二直线平行，内错角相等，得∠AEC=∠A=55°，由角平分线的定义可得∠CEF=2∠AEC=110°，再根据邻补角定义可求出∠GED=70°，最后根据二直线平行，同位角相等可求出∠GFB=∠GED=70°；
（2）首先由两直线平行，内错角相等得∠AEC=∠A，结合∠A=∠D可推出∠D=∠AEC，进而格努同位角相等，两直线平行推出AE∥GD，最后根据两直线平行，内错角相等可得出 ∠AEF=∠G.
13．如图， ．填空并填写理由：
∵ （已知）
∴ （ ）（ ）
∴ （ ）
又∵ （已知）
∴（ ） （等量代换）
∴ （ ）（ ）
【答案】解：如图， .填空并填写理由：
∵
∴ (内错角相等，两直线平行)
∴ (两直线平行，同位角相等)
又∵
∴ (等量代换)
∴ (同旁内角互补，两直线平行)
【解析】【分析】根据内错角相等得出两直线平行，然后由两直线平行得到同位角相等，再根据题目所给条件进行等量代换，最后根据同旁内角互补，得出两直线平行.
14．一个袋中装有2个红球，3个白球，和5个黄球，每个球除了颜色外都相同，从中任意摸出一个球，分别求出摸到红球，白球，黄球的概率．
【答案】解：∵袋中装有2个红球，3个白球，和5个黄球共10个球，
∴摸到红球的概率为，即；
摸到白球的概率为，
摸到白球的概率为，即
【解析】【分析】先求出球的总个数，根据概率公式解答即可．
15．如图所示，两根旗杆间相距12m，某人从B点沿BA走向A，一定时间后他到达点M，此时他仰望旗杆的顶点C和D，两次视线的夹角为90°，且CM=DM，已知旗杆AC的高为3m，该人的运动速度为1m/s，求这个人运动了多长时间？
【答案】解：∵∠CMD=90°，
∴∠CMA+∠DMB=90度，
又∵∠CAM=90°
∴∠CMA+∠ACM=90°，
∴∠ACM=∠DMB，
又∵CM=MD，
∴Rt△ACM≌Rt△BMD，
∴AC=BM=3，
∴他到达点M时，运动时间为3÷1=3（s）．
答：这人运动了3s
【解析】【分析】本题的基础仍然是证明两个三角形全等，根据∠CMD=90°，利用互余关系可以得出：∠AMC=∠DMB，证明三角形全等的另外两个条件容易看出．利用全等的性质可求得AC=BM=3，从而求得运动时间．
16．如图，已知AB⊥CD，EF⊥AB，∠DGC=105°，∠BCA=75°，请说明∠CEF+∠CDG=180°的理由．
【答案】解：∵∠DGC=105°，∠BCA=75°，
∴∠DGC+∠BCA=180°，
∴GD∥BC，
∴∠CDG=∠ECD．
∵AB⊥CD，EF⊥AB，
∴CD∥EF，
∴∠CEF+∠ECD=180°，
∴∠CEF+∠CDG=180°
【解析】【分析】先根据题意得出GD∥BC，再由AB⊥CD，EF⊥AB得出CD∥EF，再由平行线的性质即可得出结论．
17．甲口袋中装有红色、绿色两把扇子，这两把扇子除颜色外无其他差别；乙口袋中装有红色、绿色两条手绢，这两条手绢除颜色外无其他差别．从甲口袋中随机取出一把扇子，从乙口袋中随机取出一条手绢，用画树状图或列表的方法，求取出的扇子和手绢都是红色的概率．
【答案】解：画树状图如下：
共有4种可能结果，其中取出的扇子和手绢都是红色的有1种可能，
所以，所求的概率为：
【解析】【分析】根据题意，将扇子和手绢颜色的分布情况的概率用树状图表示，根据概率公式进行计算即可。
18．某商店举行“砸金蛋赢优惠”活动，该店提供四个外观一样的“金蛋"，每个“金蛋”内装一张优惠券，分别是10，20，50，100（单位：元）的优惠券．四个“金蛋”内的优惠券不重复．砸到哪个“金蛋”就会获得“金蛋”内相应的优惠券．陈阿姨参加了此活动．
（1）如果随机砸1个“金蛋"，求陈阿姨得到100元优惠券的概率．
（2）如果随机砸2个“金蛋”，且第一次砸过的“金蛋”不能再砸第二次，请用列表或画树状图的方法求出陈阿姨所获优惠券总值不低于70元的概率为多少．
【答案】（1）解：如果随机砸1个“金蛋”，陈阿姨得到100元优惠券的概率为；
（2）解：画树状图如下：
由树状图知共有12种等可能结果，其中陈阿姨所获优惠券总值不低于70元的有8种结果，
所以陈阿姨所获优惠券总值不低于70元的概率为.
【解析】【分析】（1）随机砸1个“金蛋"，共有4种结果： 10元，20元，50元，100元 ，每种结果出现的可能性相等，陈阿姨得到100元优惠券的只有1种结果，根据概率公式：代入即可
（2）先根据题意画出树状图，观察树状图，知道共有12种等可能结果，其中陈阿姨所获优惠券总值不低于70元的有8种结果，根据概率公式：代入即可.

19．试解答下列问题：
（1）在图1我们称之为“8字形”，请直接写出、、、之间的数量关系：　 　；
（2）仔细观察，在图2中“8字形”的个数是　 　个；
（3）在图2中，若，，和的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N.求的度数.
【答案】（1）
（2）6
（3）解：38°
【解析】【解答】解：（1）∵，，
∴；
（2）：如图：
①线段、相交于点O，形成“8字形”；
②线段、相交于点O，形成“8字形”；
③线段、相交于点N，形成“8字形”；
④线段、相交于点O，形成“8字形”；
⑤线段、相交于点M，形成“8字形”；
⑥线段、相交于点O，形成“8字形”；
故“8字形”共有6个；
（3）因为，
所以，①
同理得，②
∵和的平分线和相交于点P，
∴，，
得：，
即，
又∵，，
∴，
∴；
【分析】
（1）根据对顶角相等以及三角形内角和定理即可得出，这就是“8字形”中的角的规律；
（2）根据“8字形”的定义，仔细观察图形即可得出“8字形”共有6个，关键是找对顶角；
（3）先根据“8字形”中的角的规律，可得①，②，再根据角平分线的定义，得出，，将，可得，进而求出的度数；
20．小莉的爸爸买了一张唐梓山门票，她和哥哥两人都很想去观看，可门票只有一张，读九年级的哥哥想了一个办法，拿了八张扑克牌，将数字为1，2，3，4的四张牌给小莉，将数字为5，6，7，8的四张牌留给自己，并按如下游戏规则进行：小莉和哥哥从各自的四张牌中随机抽出一张，然后将抽出的两张扑克牌数字相加，如果和为偶数，则小莉去；如果和为奇数，则哥哥去.哥哥设计的游戏规则公平吗？若公平，请说明理由；若不公平，请你设计一种公平的游戏规则.
【答案】解：哥哥设计的游戏规则公平.理由如下：
根据题意画树状图得：
由树状图知，共有16种等可能结果，其中和为奇数的有8种结果，和为偶数的有8种结果，
所以小莉去的概率为 ，哥哥去的概率为 ，
∵ ，
∴哥哥设计的游戏规则公平.
【解析】【分析】根据题意画出正确的树状图，然后得出相应的概率，从而加以判断即可.
21．如图，已知D为△ABC边BC延长线上一点，DF⊥AB于F交AC于E，∠A=35°，∠D=42°，求∠ACD的度数．
【答案】解：∵DF⊥AB，
∴∠AFE＝90°，
∴∠AEF＝90°-∠A＝90°-35°＝55°，
∴∠CED＝∠AEF＝55°，
∴∠ACD＝180°-∠CED-∠D＝180°-55°-42°＝83°．
答：∠ACD的度数为83°．
【解析】【分析】根据直角三角形中两锐角互余、三角形的一个外角等于不相邻的两个内角和定理或者三角形内角和定理可以推导出∠ACD的度数。
22．九年级某班联欢会上，节目组设计了一个即兴表演节目游戏，在一个不透明的盒子里，放有四个完全相同的乒乓球，乒乓球上分别标有数字1，2，3，4，游戏规则是：参加联欢会的48名同学，每人同时从盒子里一次摸出两个乒乓球，若两球上数字之和大于5就给大家即兴表演一个节目；否则，下一个同学依次进行，直至48名同学都摸完，
（1）若小朱是该班同学，用列表法或画树状图法求小朱同学表演节目的概率；
（2）若参加联欢会的同学每人都有一次摸球的机会，请估计本次联欢会上大概有多少个同学表演节目？
【答案】（1）解：树状图如下：
共有12种等可能结果，其中两个数字之和大于5的有（2，4）、（3，4）、（4，2）、（4，3）共4种，
所以小朱同学表演节目的概率.
（2）解： 本次联欢会上表演节目的同学的人数为 （名），
答：估计本次联欢会上大概有16个同学表演节目．
【解析】【分析】（1）先画出的树状图，再根据概率公式即可得出答案；
（2）根据“表演即兴节目的同学数=学生总数×概率”，即可得出答案．
（1）解：根据题意画图如下：
由表可知，共有12种等可能结果，其中两个数字之和大于5的有4种，
小朱同学表演节目的概率
（2）解：根据题意得：
（名）
答：估计本次联欢会上大概有16个同学表演节目．
23．如图：已知 ，猜想 与 的位置关系，并写出合适的理由.
【答案】解：
∵ .
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
，
即 .
【解析】【分析】已知∠3=∠B，根据同位角相等，两直线平行，则DE∥BC，通过平行线的性质和等量代换可得∠2=∠DCB，从而证得CD∥GF，又因为FG⊥AB，所以CD与AB的位置关系是垂直.
24．如图所示，已知AB∥CD，∠1=∠2，试判断∠E与∠F的大小关系，并说明理由.
【答案】解：∠E=∠F.理由如下：
因为AB∥CD，所以∠ABC=∠DCB.
又因为∠1=∠2，
所以∠ABC-∠1=∠DCB-∠2，即∠EBC=∠FCB.
所以BE∥CF.所以∠E=∠F.
【解析】【分析】先利用平行线的性质可得∠ABC=∠DCB，再利用角的运算和等量代换可得∠EBC=∠FCB，证出BE∥CF，即可得到∠E=∠F.
25．如图，在△ABC中，BE、CF分别是AC、AB两边上的高，在BE上截取BD=AC，在CF的延长线上截取CG=AB，连接AD、AG．试猜想线段AD与AG的数量及位置关系，并证明你的猜想．
【答案】解：结论： = ， ⊥ ．
证明：∵在△ABC中，BE，CF分别是边AC，AB上的高，
∴∠BFP=∠CEP=∠AFO=90°，
∴∠ABD+∠FPB=90°，∠ACG+∠EPC=90°，
∵∠FPB=∠EPC，
∴∠ACG=∠ABD，
在△ABD和△GCA中，
，
∴△ABD≌△GCA(SAS)，
∴AG=AD，∠AGC=∠BAD，
∵∠AFO=90°，
∴∠BAD+∠AOF=90°，
∴∠AGC+∠AOF=90°，
∴∠GAD=180° 90°=90°，
∴AG⊥AD
【解析】【分析】结论：AG=AD，AG⊥AD，只要证明△ABD≌△GCA（SAS）即可解决问题．
26．如图，点C，F，E，B在一条直线上，∠CFD=∠BEA，CE=BF，DF=AE，写出CD与AB之间的关系，并证明你的结论．
【答案】解：CD∥AB，CD=AB，理由是：∵CE=BF，∴CE﹣EF=BF﹣EF，∴CF=BE，在△AEB和△CFD中， ，∴△AEB≌△CFD（SAS），∴CD=AB，∠C=∠B，∴CD∥AB．
【解析】【分析】两线段的关系包括位置关系和数量关系，要证平行，可证内错角相等，进而须证△AEB和△CFD全等，可由CE=BF转化为CF=BE，为全等准备条件.
27．如图，已知 ， ， ， ，求 的度数.
【答案】解：∵AD⊥BC，EF⊥BC，
∴AD∥EF，
∴∠1=∠BAD，
又∵∠1=∠2，
∴∠2=∠BAD，
∴AB∥DM，
∴∠AMD+∠BAC =180°，
∵ ，
∴∠AMD=180°-∠BAC=180°-70°=110°.
【解析】【分析】 由已知条件可推出AD∥EF，得到∠1=∠BAD，结合∠1=∠2，可得∠2=∠BAD，证明AB∥DM，然后结合平行线的性质解答.
28．一个不透明的袋子中共装有五个小球，其中3个红球，1个白球，1个黄球，这些小球除颜色外都相同，将袋中小球摇匀，从中随机摸出一个小球记下颜色后放回，记作随机摸球一次，
（1）随机摸球10次，其中摸出黄球3次，则这10次摸球中，摸出黄球的频率是　 　．
（2）随机摸球2次，用画树状图或列表的方法，求这两次摸出的小球都是红球的概率．
【答案】（1）0.3
（2）解：画树状图得，
共有25种等可能的结果，其中两次摸出的小球都是红球有9种结果，
∴两次摸出的小球都是红球的概率为．
【解析】【解答】（1）解：3÷10=0.3， 故摸出黄球的频率是 0.3，
故答案为：0.3.
【分析】⑴根据频率的定义计算即可.
⑵利用树状图求事件发生的概率.
29．A、B、C三人玩篮球传球游戏，游戏规则是：第一次传球由A将球随机地传给B、C两人中的某一人，以后的每一次传球都是由上次的传球者随机地传给其他两人中的某一人．求两次传球后，球恰在B手中的概率．
【答案】解：画树状图得：
∵共有4种等可能的结果，两次传球后，球恰在B手中的只有1种情况，
∴两次传球后，球恰在B手中的概率为．
【解析】【分析】先画树状图，再求出共有4种等可能的结果，两次传球后，球恰在B手中的只有1种情况，最后求概率即可。
30．如图，已知点D，F，E，G都在三角形ABC的边上，EF∥AD，∠1=∠2，∠BAC=70°，求∠AGD的度数．
解：∵EF∥AD，
∴∠2=∠3（　　）．
∵∠1=∠2，
∴∠1=∠3（　　），
∴ ▲ ∥ ▲ （　　），
∴∠AGD+∠BAC=180°（两直线平行，同旁内角互补）．
∵∠BAC=70°，
∴∠AGD=▲ ．
【答案】解：∵EF∥AD，
∴∠2=∠3（ 两直线平行，同位角相等 ）．
∵∠1=∠2，
∴∠1=∠3（ 等量代换 ），
∴ DG∥AB （内错角相等，两直线平行 ），
∴∠AGD+∠BAC=180°（两直线平行，同旁内角互补）．
∵∠BAC=70°，
∴∠AGD= 110° ．
【解析】【分析】利用两直线平行，同位角相等，可得到∠2=∠3，由此可推出∠1=∠3，再利用内错角相等，两直线平行，可证得DG∥AB，利用两直线平行，同旁内角互补，可知∠AGD+∠BAC=180°，代入计算取出∠AGD的度数.
31．已知xm=5，xn=7，求x2m+n的值．
【答案】解：∵xm=5，xn=7，
∴x2m+n=xm xm xn=5×5×7=175．
【解析】【分析】根据同底数幂的乘法，即可解答．
32．如图，已知，.
（1）求证：.
（2）若，求的度数.
【答案】（1）因为，所以，
即，
又因为，且，
得，
所以.
（2）因为，所以
因为，所以
所以
因为，所以
所以.
【解析】【分析】(1)由垂直定义及角的和差关系易得∠3+∠4= 90°，再结合已知条件，根据等角的余角相等可得∠1=∠4，最后根据同位角相等，两直线平行即可证得结论；
(2)由三角形的内角和为180°可求得∠C=90°，则∠ABC+∠C=180°，根据同旁内角互补，两直线平行可证得AB//CD，根据两直线平行，同旁内角互补可得∠A+∠ADC =180°，进而可得出结论.
33． 如图1，中，，、、的对边分别记为a、b、C.
实验一：
小聪和小明用八张这样的三角形纸片拼出了如图2所示的正方形.
（1）在图2中，正方形的面积可表示为 ，正方形的面积可表示为 (用含a，b的式子表示)
（2）请结合图2，用面积法说明，，三者之间的等量关系.
实验二：
小聪和小明分别用四个这样三角形纸片拼成了如图3所示的图形.他们根据面积法得到了一个关于边a、b、c的等式，整理后发现，．
（3）请你用面积法证明：．
【答案】（1），；
（2）由图可知：，即；
（3）选择是图，正方形的面积为
即，
∴．
【解析】【解答】解：（1）在图2中，正方形的面积可表示为，正方形的面积可表示为．
故答案为：，；
【分析】本题考查完全平方公式和勾股定理的几何证明，核心是利用面积法，通过不同方式表示同一图形的面积建立等式。
(1)解题关键是根据正方形的边长确定面积表达式；正方形的边长为，根据正方形面积公式表示其面积，正方形的边长为，同理表示其面积。
(2)解题关键是用两种方式表示正方形的面积，一种是直接用边长平方，一种是拆分为八个直角三角形和一个小正方形的面积和，进而建立等式；先写出，再表示出，联立等式化简即可得到三者关系。
(3)解题关键是用两种方式表示图3中大正方形的面积，一种是直接用边长表示，一种是拆分为四个直角三角形和一个小正方形的面积和，化简后得到勾股定理；设大正方形边长为，先表示其面积为，再将其拆分为四个直角边为、的直角三角形和一个边长为的小正方形，分别计算面积后求和，联立等式化简即可证明。
34．如图所示，已知AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于E、F两点，FG平分∠EFD，交AB于点G.若∠1＝52°，求∠BGF的度数.
【答案】解：∵AB CD，
∴∠1＝∠CFE＝52°，
∴∠EFD＝180°﹣52°＝128°，
∵FG平分∠EFD，
∴∠GFD＝ ∠EFD＝64°，
∵AB CD，
∴∠BGF+∠GFD＝180°，
∴∠BGF＝180°﹣64°＝116°.
【解析】【分析】由平行线的性质和邻补角的定义可求得∠EFD的度数，由角平分线定义可得∠GFD=∠EFD，由两直线平行同旁内角互补可得∠BGF+∠GFD＝180°，于是∠BGF的度数可求解.
35．已知：如图，分别交、于点、，平分，平分．试说明：．
【答案】解：，
，
平分，平分，
，，
，
．
【解析】【分析】由，得到，然后根据角平分线的定义推出，最后推出结论.
36．如图所示，把三角板的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1=30°，求∠2的度数．
【答案】解：∵∠1=30°，∠BAC=90°，
∴∠BAD=180°﹣90°﹣∠1
=180°﹣90°﹣30°
=60°，
∵EF∥AD，
∴∠2=∠BAD=60°．
【解析】【分析】先根据补角的定义求出∠BAD的度数，再由平行线的性质即可得出结论．
37．已知：如图，在，中，，，，点，，三点在同一直线上，连结.
求证：
（1）；
（2）试猜想，有何特殊位置关系，并证明.
【答案】（1）证明∵
∴
即
在和中
∵
∴
（2）解：和的特殊位置关系为⊥
理由如下：由（1）可知
∴
∵
∴
∵
∴，
∴
即⊥。
【解析】【分析】（1）根据等式性质可得∠BAD=∠CAE；根据三角形全等的判定SAS，可得△BAD≌△CAE；
（2）根据三角形全等的性质，可得∠ABD=∠ACE，然后根据三角形的内角和及等量代换可推出∠ODC=90°，根据两直线垂直的判定定理，即可求出BD⊥CE.
38．如图，△ABC中，CB=AC=BD，CD=AD， 求△ABC中各角的度数？
【答案】解：
设
【解析】【分析】根据CA=CB，即可得到∠B=∠A，继而根据三角形的内角和定理求出∠B，求出∠ACB即可。
39．如图，已知AB=CD，AC=BD，说明AD∥BC。
【答案】解：在△ABC和△DCB中， ，∴△ABC≌△DCB（SSS），∴∠ACB=∠DBC，同理：∠ADB=∠DAC，∵∠ACB+∠DBC=∠ADB+∠DAC，∴∠DAC=∠ACB，∴AD∥BC
【解析】【分析】由已知条件和全等三角形的判定方法SSS，得到△ABC≌△DCB，根据全等三角形的对应角相等得到∠ACB=∠DBC，∠ADB=∠DAC，求出∠DAC=∠ACB，再由内错角相等，两直线平行，得到AD∥BC.
40．如图，直线、，相交于点O，，，求的度数以及的度数．
【答案】解：∵，（已知），
∴
∵（对顶角相等），
∴；
∵，
∴
故，．
【解析】【分析】利用角的运算求出，利用对顶角的性质可得，再利用邻补角求出即可。
41．如图，已知∠BAC=60° ，∠B=80° ，DE垂直平分AC交BC于点D，交AC于点E.
（1）求∠BAD的度数；
（2）若AB=10，BC=12，求△ABD的周长.
【答案】解：（1）∵∠BAC=60°，∠B=80°，
∴∠C=180°-∠BAC-∠B=180°-60°-80°=40°，
∵DE垂直平分AC，
∴DA=DC.
∴∠DAC=∠C=40°，
∴∠BAD=60°-40°=20°；
（2）∵DE垂直平分AC，
∴AD=CD，
∴AB+AD+BD=AB+CD+BD=AB+BC=10+12=22，
∴△ABD的周长为22．
【解析】【分析】（1）根据三角形内角和定理可得∠C，再根据垂直平分线性质可得DA=DC，根据等边对等角可得∠DAC=∠C=40°，再根据角之间的关系即可求出答案.
（2）根据垂直平分线性质可得AD=CD，再根据角之间的关系即可求出答案.
42．某校开展科技节展览活动，设置了编号为1至6号的六个展区，小佳计划随机参观两个展区，且每个展区被选中的机会均等，列表或画树状图求4号展区被选中的概率.
【答案】解：根据题意列表如下：
　 1 2 3 4 5 6
1 　 1，2 1，3 1，4 1，5 1，6
2 2，1 　 2，3 2，4 2，5 2，6
3 3，1 3，2 　 3，4 3，5 3，6
4 4，1 4，2 4，3 　 4，5 4，6
5 5，1 5，2 5，3 5，4 　 5，6
6 6，1 6，2 6，3 6，4 6，5 　
由表格可知，总共有30种可能的结果，每种结果出现的可能性相同，其中4号展厅被选中的结果有10种，
所以4号展区被选中的概率为
【解析】【分析】 利用列表法列举出共有30种等可能的结果，其中4号展厅被选中的结果有10种，然后利用概率公式计算即可.
43．先化简，再计算：（2a+b）（b﹣2a）﹣（a﹣3b）2，其中a=﹣2，b= ．
【答案】解：（2a+b）（b﹣2a）﹣（a﹣3b）2
=b2﹣4a2﹣a2+6ab﹣9b2
=﹣5a2+6ab﹣8b2，
当a=﹣2，b= 时，原式= =﹣56
【解析】【分析】根据平方差公式和完全平方公式可以化简题目中的式子，再将a、b的值代入化简后的式子即可解答本题．
44．下面是小华设计的“作三角形一边上的高”的尺规作图过程．
已知：△ABC，求作：△ABC的边BC上的高AD．
作法：
①以点A为圆心，适当长为半径画弧，交直线BC于点M，N；
②分别以点M，N为圆心，以大于MN的长为半径画弧，两弧相交于点P；
③作直线AP交BC于点D，则线段AD即为所求△ABC的边BC上的高．
根据小华设计的尺规作图过程：
（1）AP是线段MN的　 　；
（2）证明AD是△ABC的高
【答案】（1）垂直平分线
（2）证明：∵AM＝AN，PM＝PN，
∴A点和P点在MN的垂直平分线上，
∴即AP垂直平分MN，
∴AD⊥BC，
即AD是△ABC的高．
【解析】【解答】解：（1）由作法得AP为线段MN的垂直平分线；
故答案为：垂直平分线；
【分析】根据垂直平分线定义即可求出答案.
45．已知直线，点在、之间，点、分别在直线、上，连接、．
（1）如图1，直接写出之间的数量关系；
（2）如图2，平分，平分，当时，求出的度数；
（3）如图3，若点在的下方，平分，平分，的反向延长线交于点，当时，直接写出的度数．
【答案】（1）
（2）解：如图，过点作，
同理可得，，
，，
，
平分，平分，
，，
，
作，同理可得，；
（3）
【解析】【解答】（1）解：，理由如下：
如图，过点作，
，
，，
，
，
，
；
（3）解：如图，过点作，
设，
，
平分，
，
，
，，
，
，
平分，
，
作，同理可得，．
【分析】(1) 本题考察平行线的性质，通过作辅助线将角转化。过点E作，因为，所以；根据平行线内错角相等的性质，，；又因为，所以。
(2) 本题考察平行线的性质、角平分线的定义，先利用(1)的结论推导相关角的和。由(1)知，因为，，所以；因为PF平分，QF平分，所以，，则；过点F作，同理可得。
(3) 本题考察平行线的性质、角平分线的定义，通过作辅助线和角的转化推导。过点E作，设，则；因为QH平分，所以，则；因为且，所以，，则；因为PF平分，所以；过点F作，同理可得。
（1）解：，理由如下：
如图，过点作，
，
，，
，
，
，
；
（2）解：如图，过点作，
同理可得，，
，，
，
平分，平分，
，，
，
作，同理可得，；
（3）解：如图，过点作，
设，
，
平分，
，
，
，，
，
，
平分，
，
作，同理可得，．
46．如图，在 中， 和 的平分线交于点 ，过点 作 ，交 于 ，交 于 ，若 ， ，试求 的值．
【答案】解：∵ 平分 ，∴
平分 ，∴
又 ，∴
，∴
，∴
∵ ，∴ ，∴
【解析】【分析】根据角平分线的性质以及平行线的性质，即可得到∠OBE=∠EOB，∠OCF=∠COF，根据等角对等边即可得到线段的相等，利用等量代换求出EF=BE+CF即可。
47．△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线BD，CE相交于点O，记∠BAC＝x，∠BOC＝y．
（1）如图1．
①若x＝50°，则y＝ ▲ ；
②请你根据①中计算的心得猜想写出y与x的关系式，并证明你猜想的正确性；
（2）如图2，启智学校内有一个三角形的小花园，花园中有两条小路BD和CE为△ABC的角平分线，交点为点O，在O处建有一个自动浇水器，需要在BC边上取一处接水口F，经过测量得知∠BAC＝120°，OD OE＝12000m2，BC﹣BE﹣CD＝160m，请你求出水管OF至少要多长？
【答案】（1）解：①115°；
②，
理由如下：∵∠BAC=x，
∴∠ABC+∠ACB=180°-x，
∵BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，
∴，，
∴，
∴.
（2）解：如图2，在BC上分别取点G和H，使BG=BE，CH=CD，连接OG、OH，
∵BD和CE为△ABC的角平分线，
∴∠EBO=∠GBO，∠DCO=∠HCO，
在△EBO和△GBO中，
，
∴△EBO≌△GBO（SAS），
∴OE=OG，∠EOB=∠GOB，
同理可证：△DCO≌△HCO（SAS），
∴OD=OH，∠DOC=∠HOC，
∵∠BAC=120°，
∴，
则∠BOE=180°-∠BOC=180°-150°=30°，
∴∠DOC=∠BOE=30°，
∴∠BOE=∠BOG=∠DOC=∠HOC=30°，
∴∠GOH=∠BOC-∠BOG-∠HOC=150°-30°-30°=90°，
∵OD·OE=12000m2，
∴，
∵BC-BE-CD=160m，
即GH=BC-BG-CH=160m，
即GH=160m；
当OF⊥BC时，OF最小，
则，
∴OF=75，
故出水管OF至少要75m.
【解析】【解答】解：（1）①∵∠BAC=50°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-50°=180°-50°=130°，
∵BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，
∴，，
∴，
∴∠BOC=180°-（∠DBC+∠ECB）=180°-65°=115°，
∴y=115°，
故答案为：115°.
【分析】 （1）①根据三角形的内角和是180°可得∠ABC+∠ACB=130°，根据从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个完全相同的角，这条射线叫做这个角的角平分线可得∠DBC+∠ECB=65°，结合三角形的内角和是180°，即可得到答案；
②根据三角形的内角和是180°可得∠ABC+∠ACB=180°-x，根据从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个完全相同的角，这条射线叫做这个角的角平分线可得，结合三角形的内角和是180°，即可得到答案；
（2）在BC上分别取点G和H，使BG=BE，CH=CD，连接OG、OH，根据从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个完全相同的角，这条射线叫做这个角的角平分线可得∠EBO=∠GBO，∠DCO=∠HCO，根据两边及其夹角对应相等的三角形是全等三角形、全等三角形的对应边相等、对应角相等可得OE=OG，∠EOB=∠GOB，OD=OH，∠DOC=∠HOC，结合（1）中结论可得∠BOC=150°，推得∠BOE=∠BOG=∠DOC=∠HOC=30°，即可求得∠GOH=90°，结合题意和三角形的面积公式即可求解.
48．已知，，，试解答下列问题：
（1）如图①，则　 　，则OB与AC的位置关系为　 　；
（2）如图②，若点E、F在线段上，且满足，并且平分.则的度数等于　 　；
（3）在第（2）题的条件下，若平行移动到如图③所示位置.
①在AC移动的过程中，与的比值是否发生改变，若不改变求出其比值，若要改变说明理由；
②当时，求.
【答案】（1）72°；平行
（2）36°
（3）解：①不变，
，
又，
又，
，
，
即.
与的比值为，
②由（1）知：，
，
由（2）可以设：，，
，
由（1）知：，
，
，
，
，
，
，
.
【解析】【解答】（1）∵BC//OA，
∴∠B+∠O=180°，
∵∠B=108°，
∴∠O=72°，
∵∠A=108°，
∴∠O+∠A=180°，
∴OB//AC，
故答案为：72°，平行；
（2）∵∠FOC=∠AOC，OE平分∠BOF，∠BOA=72°，
∴∠EOC=∠EOF+∠FOC=∠BOF+∠FOA=∠BOA=36°，
故答案为：36°.
【分析】（1）利用平行的性质求出∠O=72°，再利用平行的判定方法证出OB//AC即可；
（2）利用角平分线的定义及角的运算和等量代换求出∠EOC=36°即可；
（3）①利用平行线的性质及等量代换可得，再求出可得，再求出与的比值为即可；
② 设，，利用角的运算求出，再结合，可得，证出，最后求出即可.
49．已知
（1）求 ab+ bc+ ca 的值.
（2）求 的值.
【答案】（1）解：
得
（2）解：由 得
即
得 又
平方得
故
【解析】【分析】(1)根据完全平方和公式展开( 然后将 整体代入来求 的值；
(2)根据完全平方和公式展开 然后将 整体代入来求 的值.
50．已知：在中，平分，、相交于点，
（1）如图①，若，，，求的大小.
（2）如图②，若平分，且，求的大小.
（3）如图③，若在的外角内，且，，试探究：与的数量关系.
【答案】（1）解：
（2）解：
（3）解：
【解析】【解答】解：（1）∵CO⊥ BC，
∴∠ BCO=90° ，
∵∠ BOC=50° ，
∴∠ OBC=180° -∠ BCO-∠ BOC=180° -90° -50° =40° ，
又∵BO平分∠ ABC，
∴，
∴∠ A=180° -∠ ABC-∠ ACB=180° -80° -42° =58° ；
（2）在△ ABC中，∠ ABC+∠ ACB=180° -∠ A，
∵BO平分∠ ABC，CO平分∠ ACB，
∴，，
∴，
∴，
又∵∠BOC=3∠A，
∴，
解得：∠A=36° ；
（3）∵∠ACM是△ ABC的外角，
∴∠ACM=∠A+∠ABC，
又∵∠ACO：∠OCM=1：3，
∴，
∵BO平分∠ ABC，
∴，
又∵∠ACB=180° -∠A-∠ABC，，
∴∠ACB+∠ACO+∠BOC+∠OBC=180° ，
即180° -∠A-∠ABC+( ∠A+∠ABC)+∠A+∠ABC=180° ，
解得：∠A=5∠ABC．
【分析】1）根据直角三角形的两锐角互余求出∠OBC的度数，然后根据角平分线的定义得到∠ABC的度数，然后利用三角形的内角和定理解题即可；
（2）先利用角平分线的定义得到，，然后利用三角形的内角和定理得求解；
（3）利用三角形的外角和角平分线的定义求解，关键是用∠A表示其它的角。
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑