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北师大版2025—2026学年七年级下册期末模拟练透考点卷
数 学
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列各式不能用平方差公式计算的是（　　）
A． B．
C． D．
2．已知三角形两边的长分别是2和5，则此三角形第三边的长可能是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．已知现有的10瓶饮料中有2瓶已过了保质期，从这10瓶饮料中任取1瓶，恰好取到已过了保质期的饮料的概率是（　　）
A． B． C． D．
4．如图，牧童在A处牧马，牧童的家在B处，A，B处到河岸的距离分别是AC=300m，BD=500m，且C，D两地之间的距离为600m.牧童从A处将马牵到河边去饮水，再牵回家，他至少要走的路程是（　　）
A．1400m B．m
C．1000m D．m
5．一辆汽车从A地启动，加速一段时间后保持匀速行驶，接近B地时开始减速，到达B地时恰好停止，如所示的哪一幅图可以近似地刻画出汽车在这段时间内的速度变化情况（　　）
A． B．
C． D．
6．小明的作业本上有以下四题：① ；② ；③ ；④ ．做错的题是（　　）
A．① B．② C．③ D．④
7．如图，在中，，，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
8．小华同学的作文通过了《我的中国梦》征文选拔，需尽快上交该作文的电子文稿．接到通知后，小华立即在电脑上打字录入这篇文稿，录入一段时间后因事暂停，过了一小会，小华继续录入并加快了录入速度，直至录入完成．设从录入文稿开始所经过的时间为x，录入字数为y，下面能反映y与x的函数关系的大致图象是（　　）
A． B．
C． D．
9．如图，点P是∠AOB内任意一点，且∠AOB＝40°，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，当△PMN周长取最小值时，则∠MPN的度数为（　　）
A．140° B．100° C．50° D．40°
10．如图，C，D在线段上，下列四个说法：
①直线上以B，C，D，E为端点的线段共有6条；
②图中有3对互为补角的角；
③若，，则以A为顶点的所有小于平角的角的度数和为370°；
④若，，，点F是线段上任意一点（包含端点），则点F到点B，C，D，E的距离之和的最小值为15，最大值为25
其中正确说法的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．某地高山上温度从山脚起每升高100米降低，已知山脚下温度是，则温度与上升高度x（米）之间关系式为　 　．
12．一个不透明的盒子里放置三张完全相同的卡片，分别标有数字1，2，3．随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第二张卡片上的数字大于第一张卡片上的数字的概率为　 　．
13．如图，在△ABC中，∠A＝50°，∠C＝72°，BD是△ABC的一条角平分线，则∠ABD的度数为 　 　．
14．如图，中，是的垂直平分线，，的周长为，则的周长　 　．
15． 　 　．
16．如图，，E为上一点，且垂足为F，，平分，且，则下列结论：①；②平分；③；④；其中正确的有　 　．（请填写序号）
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．请根据下面小智同学整式的化简求值过程，完成下面各项任务：
先化简，再求值：，其中．解：原式 步骤1 步骤2 步骤3当时，原式 步骤4
任务一（填空）：以上解题过程中，从步骤______开始出现错误，错误的原因是______；
任务二：请把正确的解答过程完整地写出来．
18．小雅家客厅里装有一种三位单极开关，分别控制着A（楼梯）、B（客厅）、C（走廊）三盏电灯，在正常情况下，小雅按下任意一个开关均可打开对应的一盏电灯，既可三盏、两盏齐开，也可分别单盏开．因刚搬进新房不久，不熟悉情况．
（1）若小雅任意按下一个开关，正好楼梯灯亮的概率是多少？
（2）若任意按下其中的两个开关，则正好客厅灯和走廊灯同时亮的概率是多少？请用树状图或列表加以说明．
19．如图①，油纸伞是中国传统工艺品之一，起源于中国的一种纸制或布制伞．油纸伞的制作工艺十分巧妙，如图②，伞圈D沿着伞柄滑动时，伞柄始终平分同一平面内两条伞骨所成的，伞骨，的B，C点固定不动，且到点A的距离．
（1）当D点在伞柄上滑动时，处于同一平面的两条伞骨和相等吗？请说明理由．
（2）如图③，当油纸伞撑开时，伞的边缘M，N与点D在同一直线上，若，，求的度数．
20．如图，已知 ， F， E分别为AB， CD上的点， 的角平分线交AB于点G， ，垂足为H， |的角平分线交CD于点P.
D
（1）求证：
（2）设 求 的度数.
21．如图1，用四个相同的面积均为3的长方形①②③④和一个小正方形⑤拼成一个大正方形，其中长方形的长为，宽为．
（1）如图1，用含，的代数式表示小正方形⑤的面积．
（2）借助图1，请直接写出代数式，，之间的数量关系．
（3）现将图1中①号和②号小长方形纸片同时向下平移个长度，得到一个新的图形如图2所示，若阴影部分图形，，Ⅲ的面积和为12，求代数式的值．
22．如图：已知，射线绕点从射线位置开始按顺时针方向以每秒的速度旋转，同时射线绕点从射线位置开始按逆时针方向以每秒的速度旋转，设旋转时间为秒（）．
（1）用含的代数式表示的度数；
（2）在运动过程中，当第二次达到时，求的值；
（3）射线，在旋转过程中是否存在这样的，使得射线是由射线，射线，射线中的其中两条组成的角（指大于而不超过的角)的平分线？如果存在，请直接写出的值；如果不存在．请说明理由．
23．如图，，直线交于点，交于点，点是线段上一点，分别在射线上，连结的平分线与的平分线交于点．
（1）当时，求的度数；
（2）试猜想与的数量关系，并说明理由；
（3）过点作，交的延长线于，将直线绕点逆时针旋转，速度为每秒，旋转后的对应直线为，同时，将绕点顺时针旋转，速度为每秒，旋转后的对应三角形为，当直线首次与直线重合时，整个运动停止．在（1）的条件下，若，经过秒后，直线恰好与的一条边平行，请直接写出所有满足条件的的值．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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北师大版2025—2026学年七年级下册期末模拟练透考点卷
数 学
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列各式不能用平方差公式计算的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：A、原式=[（a+c）+2b][（a+c)-2b]=（a+c)2-4b2，故不符合题意；
B、原式=（a-b-c）[-（a-b-c）]=-（a-b-c）2，故符合题意；
C、原式=（-b+a）（-b-a）=b2-a2，故不符合题意；
D、原式=（b+2a）（b-2a）=b2-4a2，故不符合题意；
故答案为：B.
【分析】平方差公式（a+b）（a-b）=a2-b2，据此逐项判断即可.
2．已知三角形两边的长分别是2和5，则此三角形第三边的长可能是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【解析】【解答】设三角形的第三边为m．
由题意：5-2＜m＜5+2，
即3＜m＜7，
故答案为：D．
【分析】根据三角形的第三边大于两边之差小于两边之和即可判断．
3．已知现有的10瓶饮料中有2瓶已过了保质期，从这10瓶饮料中任取1瓶，恰好取到已过了保质期的饮料的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：依题可得：
从这10瓶饮料中任取1瓶，恰好取到已过了保质期的饮料的概率P= = .
故答案为：C.
【分析】结合题意根据概率公式即可求得答案.
4．如图，牧童在A处牧马，牧童的家在B处，A，B处到河岸的距离分别是AC=300m，BD=500m，且C，D两地之间的距离为600m.牧童从A处将马牵到河边去饮水，再牵回家，他至少要走的路程是（　　）
A．1400m B．m
C．1000m D．m
【答案】C
【解析】【解答】解：如图，作点A关于CD的对称点E，过点E作BD的垂线，交BD延长线于点F，连接BE交 CD于点O，连接OA ，
则 ，四边形CDEF是矩形，
，
，
，
，
由两点之间线段最短知，牧童要走的路程OA+OB=OE+OB，它的最小值为BE的长，即为1000m ，
故答案为：C.
【分析】作点A关于CD的对称点E，过点E作BD的垂线，交BD延长线于点F，连接BE交CD于点O，连接OA ，由轴对称得OA=OE，由两点之间线段最短知，牧童要走的路程OA+OB=OE+OB，它的最小值为BE的长，易得四边形CDEF是矩形，根据矩形的性质得EF=DC，DF=CE，在Rt△BEF中，利用勾股定理算出BE，据此即可解决问题.
5．一辆汽车从A地启动，加速一段时间后保持匀速行驶，接近B地时开始减速，到达B地时恰好停止，如所示的哪一幅图可以近似地刻画出汽车在这段时间内的速度变化情况（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：由题意可得：速度随时间的增加先增加，然后不变，最后减小直至为0.
故答案为：A.
【分析】由题意可得：速度先增加，然后不变，最后减小直至为0，据此判断.
6．小明的作业本上有以下四题：① ；② ；③ ；④ ．做错的题是（　　）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】D
【解析】【解答】解：① ，符合题意；
② ，符合题意；
③ ，符合题意；
④ ，不符合题意．
故答案为：D．
【分析】利用去括号法则及应用，合并同类项法则，积的乘方，幂的乘方进行计算求解即可。
7．如图，在中，，，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，
又BE＝CD，BD＝CF，
∴△BDE≌△CFD
∴∠BDE＝∠CFD，
∴∠EDF＝180°-∠BDE-∠CDF＝180°-∠CFD-∠CDF＝∠C
∵∠C＝（180°-∠A）＝90°-∠A
∴∠EDF＝90°-∠A。
故答案为：B.
【分析】证明△BDE≌△CFD得∠BDE＝∠CFD，从而可推导出∠EDF。
8．小华同学的作文通过了《我的中国梦》征文选拔，需尽快上交该作文的电子文稿．接到通知后，小华立即在电脑上打字录入这篇文稿，录入一段时间后因事暂停，过了一小会，小华继续录入并加快了录入速度，直至录入完成．设从录入文稿开始所经过的时间为x，录入字数为y，下面能反映y与x的函数关系的大致图象是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：由题意可知，第一段函数图象从原点开始，逐步上升；第二段的值保持不变，函数图象是平行于轴的一条线段；第三段函数图象上升，且上升幅度比第一段更大，即图象更陡，
观察四个选项可知，只有选项D符合，
故答案为：D．
【分析】根据在电脑上打字录入这篇文稿，录入字数增加，因事暂停，字数不变，继续录入并加快了录入速度，字数增加，变化快，即可得出答案。
9．如图，点P是∠AOB内任意一点，且∠AOB＝40°，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，当△PMN周长取最小值时，则∠MPN的度数为（　　）
A．140° B．100° C．50° D．40°
【答案】B
【解析】【解答】如图，
分别作点P关于OB、OA的对称点C、D，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，连接OC、OD、PM、PN、MN，此时△PMN周长取最小值.根据轴对称的性质可得OC=OP=OD，∠CON=∠PON，∠POM=∠DOM；因∠AOB=∠MOP+∠PON＝40°，即可得∠COD=2∠AOB=80°，在△COD中，OC=OD，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可得∠OCD=∠ODC=50°；在△CON和△PON中，OC=OP，∠CON=∠PON，ON=ON，利用SAS判定△CON≌△PON，根据全等三角形的性质可得∠OCN=∠NPO=50°，同理可得∠OPM=∠ODM=50°，所以∠MPN=∠NPO+∠OPM=50°+50°=100°.
故答案为：B.
【分析】分别作点P关于OB、OA的对称点C、D，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，连接OC、OD、PM、PN、MN，此时△PMN周长取最小值.
10．如图，C，D在线段上，下列四个说法：
①直线上以B，C，D，E为端点的线段共有6条；
②图中有3对互为补角的角；
③若，，则以A为顶点的所有小于平角的角的度数和为370°；
④若，，，点F是线段上任意一点（包含端点），则点F到点B，C，D，E的距离之和的最小值为15，最大值为25
其中正确说法的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】【解答】解：①以B、C、D、E为端点的线段共6条，故①正确；
②图中互补的角就是分别以C、D为顶点的两对邻补角，即和互补，和互补，故②错误；
③由，根据图形可以求出
，故③正确；
④当F在线段上，则点F到点B，C，D，E的距离之和最小为，当F和E重合，则点F到点B、C、D、E的距离之和最大为，④正确.
故答案为：C.
【分析】①按照一定的顺序数出线段的条数即可；②图中互补的角就是分别以C、D为顶点的两对邻补角，由此即可确定选择项；③根据角的和与差计算即可；④当F在线段CD上最小，当F和E重合时最大，计算得出答案即可．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．某地高山上温度从山脚起每升高100米降低，已知山脚下温度是，则温度与上升高度x（米）之间关系式为　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：上升高度x米，则温度降低，
故函数关系式为.
故答案为：.
【分析】根据从山脚起每升高100米降低可知上升高度x米，则温度降低，而山脚下温度是，故温度与上升高度x（米）之间关系式为.
12．一个不透明的盒子里放置三张完全相同的卡片，分别标有数字1，2，3．随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第二张卡片上的数字大于第一张卡片上的数字的概率为　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：分别从标有数字1、2、3的3张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，基本事件总数3×3=9，抽得的第二张卡片上的数字大于第一张卡片上的数字的情况有（1，2）、（1，3）和（2，3）3种情况
则抽得的第二张卡片上的数字大于第一张卡片上的数字的概率为： ．
故答案为 ．
【分析】根据题意可得基本事件总3×3=9，然后再确定抽得的第二张卡片上的数字大于第一张卡片上的数字的事件数，最后由概率公式计算即可．
13．如图，在△ABC中，∠A＝50°，∠C＝72°，BD是△ABC的一条角平分线，则∠ABD的度数为 　 　．
【答案】29°
【解析】【解答】解：∵∠A＝50°，∠C＝72°，
∴∠ABC=180°-∠A-∠C=58°，
∵BD是△ABC的一条角平分线，
∴∠ABD=∠ABC=29°，
故答案为：29°.
【分析】先利用三角形的内角和求出∠ABC的度数，再利用角平分线的定义求出∠ABD=∠ABC=29°即可.
14．如图，中，是的垂直平分线，，的周长为，则的周长　 　．
【答案】19
【解析】【解答】解：∵是的垂直平分线，，
∴
∵的周长为，
∴
的周长为：
故答案为：19.
【分析】根据线段垂直平分线的性质得到：然后根据题意得到：进而根据线段间的等量代换即可求解.
15． 　 　．
【答案】-8
【解析】【解答】解：原式=（-8）·（-8）2022·（）2022=（-8）·[-8×()]2022=-8；
故答案为：-8.
【分析】将原式化为（-8）·[-8×()]2022再计算即可.
16．如图，，E为上一点，且垂足为F，，平分，且，则下列结论：①；②平分；③；④；其中正确的有　 　．（请填写序号）
【答案】①②③④
【解析】【解答】
解：
∵AB∥CD，∴∠BEG＝∠CGE=，
∴∠AEG＝180°-∠BEG＝180°-，
∵CE平分∠AEG，∴∠CEG＝∠AEC＝（180°-）＝90°- ，　①正确；
∵∠CED＝90°，
∴∠GED＝∠CED-∠CEG＝90°-（90°-）=
∴DE平分∠GEB。②正确；
∵∠CEF＝∠AEF-∠AEC＝90°-（90°-）＝
∴∠CEF＝∠GED，　③正确；
∵∠FED+∠CEF＝∠CED＝90°，　∠AEC+∠CEF＝∠AEF＝90°
∴∠FED＝∠AEC，
∴∠FED+∠BEC＝∠AEC+∠BEC＝180°，∴④正确。
故答案为：①②③④
【分析】根据平行线的性质推导出∠BEG＝∠CGE，再结合角间关系验证各结论。
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．请根据下面小智同学整式的化简求值过程，完成下面各项任务：
先化简，再求值：，其中．解：原式 步骤1 步骤2 步骤3当时，原式 步骤4
任务一（填空）：以上解题过程中，从步骤______开始出现错误，错误的原因是______；
任务二：请把正确的解答过程完整地写出来．
【答案】解：任务一：一；括号前是负号，去括号时，括号里的各项都要改变符号；
任务二：解：原式
，
当时，
原式．
【解析】【解答】解：任务一：小智的解题过程中，从第一步开始出现错误，错误的原因是：括号前是负号，去括号时，括号里的各项都要改变符号，
故答案为：一；括号前是负号，去括号时，括号里的各项都要改变符号.
【分析】任务一：利用去括号和添括号的计算方法及步骤（①如果括号前面是加号或乘号，加上括号后，括号里面的符号不变；②如果括号前面是减号或除号，加上括号后，括号里面的符号全部改为与其相反的符号）分析求解即可；任务二：利用合并同类项的计算方法及步骤（①有括号先去括号，②再找出所有同类项，③最后将同类项的系数相加减）分析求解即可.
18．小雅家客厅里装有一种三位单极开关，分别控制着A（楼梯）、B（客厅）、C（走廊）三盏电灯，在正常情况下，小雅按下任意一个开关均可打开对应的一盏电灯，既可三盏、两盏齐开，也可分别单盏开．因刚搬进新房不久，不熟悉情况．
（1）若小雅任意按下一个开关，正好楼梯灯亮的概率是多少？
（2）若任意按下其中的两个开关，则正好客厅灯和走廊灯同时亮的概率是多少？请用树状图或列表加以说明．
【答案】（1）解：小明任意按下一个开关，正好楼梯灯亮的概率是：；
（2）解：画树状图得：
共有6种等可能的结果，正好客厅灯和走廊灯同时亮的有2种情况，
正好客厅灯和走廊灯同时亮的概率是：．
【解析】【分析】（1）直接利用概率公式求解，即可求出答案.
（2）画出树状图，求出所有等可能的结果，再求出正好客厅灯和走廊灯同时亮的结果，再根据概率公式即可求出答案.
（1）解：小明任意按下一个开关，正好楼梯灯亮的概率是：；
（2）解：画树状图得：
共有6种等可能的结果，正好客厅灯和走廊灯同时亮的有2种情况，
正好客厅灯和走廊灯同时亮的概率是：．
19．如图①，油纸伞是中国传统工艺品之一，起源于中国的一种纸制或布制伞．油纸伞的制作工艺十分巧妙，如图②，伞圈D沿着伞柄滑动时，伞柄始终平分同一平面内两条伞骨所成的，伞骨，的B，C点固定不动，且到点A的距离．
（1）当D点在伞柄上滑动时，处于同一平面的两条伞骨和相等吗？请说明理由．
（2）如图③，当油纸伞撑开时，伞的边缘M，N与点D在同一直线上，若，，求的度数．
【答案】（1）解：相等．理由如下：
∵伞柄始终平分同一平面内两条伞骨所成的，
∴．
在和中，
∵，
∴．
∴．
（2）解：∵，
∴．
又∵，
∴．
∵，
∴．
【解析】【分析】（1）根据全等三角形判定定理可得，则即可求出答案.
（2）根据角平分线性质可得，则，再根据全等三角形性质即可求出答案.
20．如图，已知 ， F， E分别为AB， CD上的点， 的角平分线交AB于点G， ，垂足为H， |的角平分线交CD于点P.
D
（1）求证：
（2）设 求 的度数.
【答案】（1）证明： ∵AB∥CD，
∴∠FGE=∠CEG，
∵∠CEF的角平分线交AB于点G，
∴∠FEG =∠CEG，
∴∠FGE=∠FEG；
（2）解：∵∠CEF的角平分线交AB于点G， ∠CEG=α，
∴∠FEG=∠CEG=α，
由（1）得∠FGE=∠FEG=α，
∵GH⊥EF，
∵GP平分∠AGH，
【解析】【分析】（1）根据直线平行性质可得∠FGE=∠CEG，根据角平分线定义可得∠FEG =∠CEG，再根据角之间的关系即可求出答案.
（2）根据角平分线定义可得∠FEG=∠CEG=α，根据补角可得，再根据角之间的关系，结合角平分线定义即可求出答案.
21．如图1，用四个相同的面积均为3的长方形①②③④和一个小正方形⑤拼成一个大正方形，其中长方形的长为，宽为．
（1）如图1，用含，的代数式表示小正方形⑤的面积．
（2）借助图1，请直接写出代数式，，之间的数量关系．
（3）现将图1中①号和②号小长方形纸片同时向下平移个长度，得到一个新的图形如图2所示，若阴影部分图形，，Ⅲ的面积和为12，求代数式的值．
【答案】（1）解：由题意可知：正方形的边长为；小正方形的边长为，小正方形的面积为：，
即，
大正方形的面积为： ，
即，
长方形的面积为：，
则小正方形的面积为：，
∴
（2）解：由题意可知：正方形的边长为；小正方形的边长为大正方形的面积为：
即
长方形的面积为：
小正方形的面积为：
即
则大正方形的面积为：
∴
（3）解：由题意可知，，∵，
∴.
∴，
∴，
∴

【解析】【分析】（1）根据小正方形面积等于大正方形减去内部四个长方形的面积求解即可；
（2）根据大正方形面积等于小正方形面积和四个长方形面积和求解即可；
（3）先写出图形，，Ⅲ的面积，进而展开多项式，合并同类项，再根据完全平方公式变形求解即可.
（1）由题意可知：正方形的边长为；小正方形的边长为，
小正方形的面积为：，
即，
大正方形的面积为： ，
即，
长方形的面积为：，
则小正方形的面积为：，
∴
（2）由题意可知：正方形的边长为；小正方形的边长为
大正方形的面积为：
即
长方形的面积为：
小正方形的面积为：
即
则大正方形的面积为：
∴
（3）由题意可知，，
∵，
∴.
∴，
∴，
∴
22．如图：已知，射线绕点从射线位置开始按顺时针方向以每秒的速度旋转，同时射线绕点从射线位置开始按逆时针方向以每秒的速度旋转，设旋转时间为秒（）．
（1）用含的代数式表示的度数；
（2）在运动过程中，当第二次达到时，求的值；
（3）射线，在旋转过程中是否存在这样的，使得射线是由射线，射线，射线中的其中两条组成的角（指大于而不超过的角)的平分线？如果存在，请直接写出的值；如果不存在．请说明理由．
【答案】（1）解：秒，
①当时，
；
②当时，
．
综上可知，的度数为或；
（2）解：根据题意知：，
当第二次达到时，，
即，
解得：，
故秒时，第二次达到；
（3）解：射线是由射线，射线，射线中的其中两条组成的角的平分线有以下三种情况：
①平分时，
∵，
∴，
解得：；
②平分时，
∵，即，
∴，
解得：；
③平分时，
∵，
∴，
解得：；
综上，当t的值分别为、9、秒时，射线是由射线，射线，射线中的其中两条组成的角的平分线．
【解析】【分析】
（1）分两种情况求解：①当时，②当时；
（2）当第二次达到时，射线在的左侧，根据列方程求解可得；
（3）射线是由射线是由射线，射线，射线中的其中两条组成的角的平分线有三种情况：
①两次平分时，根据，列方程求解，
②两次平分时，根据，列方程求解，
③平分时，根据，列方程求解
（1）秒，
①当时，
；
②当时，
．
综上可知，的度数为或；
（2）根据题意知：，
当第二次达到时，，
即，
解得：，
故秒时，第二次达到；
（3）射线是由射线，射线，射线中的其中两条组成的角的平分线有以下三种情况：
①平分时，
∵，
∴，
解得：；
②平分时，
∵，即，
∴，
解得：；
③平分时，
∵，
∴，
解得：；
综上，当t的值分别为、9、秒时，射线是由射线，射线，射线中的其中两条组成的角的平分线．
23．如图，，直线交于点，交于点，点是线段上一点，分别在射线上，连结的平分线与的平分线交于点．
（1）当时，求的度数；
（2）试猜想与的数量关系，并说明理由；
（3）过点作，交的延长线于，将直线绕点逆时针旋转，速度为每秒，旋转后的对应直线为，同时，将绕点顺时针旋转，速度为每秒，旋转后的对应三角形为，当直线首次与直线重合时，整个运动停止．在（1）的条件下，若，经过秒后，直线恰好与的一条边平行，请直接写出所有满足条件的的值．
【答案】（1）解：过点E作，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：过点F作交于点K，
∵，，，
∴，
∵平分，
∴，
设，，
∵，
∴
则，
∵，
∴
则，
∵，
∴，
∵，
∴
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：由（1）得，，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∵平分，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵直线绕点逆时针旋转，速度为每秒，
∴，
∵绕点顺时针旋转，速度为每秒，
∴，
①当时，如图所示：
，
∴，
解得：；
当旋转到如图所示位置时，
，，
同理得：，
解得：；
②当时，如图所示：
，
∴，
∴，
解得：；
当旋转到如图所示位置：
同理得：，
解得：；
③当时，如图所示：
同理得：，
解得：；
当旋转到如图所示位置：
同理得：，
解得：（不符合题意，舍去）；
综上所述，t的值为，10，，，40．
【解析】【分析】（1）过点E作，根据平行线的判定和性质即可得出结果；
（2）过点F作交于点K，根据平行线的判定和性质得出，设，，根据平行线的性质结合角之间的数量关系计算即可；
（3）由（1）得，，确定，再由角平分线得出，确定，分三种情况分析①当时；②当时；③当时，分别列出方程计算即可.
（1）解：过点E作，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）过点F作交于点K，
∵，，，
∴，
∵平分，
∴，
设，，
∵，
∴
则，
∵，
∴
则，
∵，
∴，
∵，
∴
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）由（1）得，，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∵平分，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵直线绕点逆时针旋转，速度为每秒，
∴，
∵绕点顺时针旋转，速度为每秒，
∴，
当时，如图所示：
，
∴，
解得：；
当旋转到如图所示位置时，
，，
同理得：，
解得：；
当时，如图所示：
，
∴，
∴，
解得：；
当旋转到如图所示位置：
同理得：，
解得：；
当时，如图所示：
同理得：，
解得：；
当旋转到如图所示位置：
同理得：，
解得：（不符合题意，舍去）；
综上所述，t的值为，10，，，40．
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