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【决战期末·50道解答题专练】北师大版数学八年级下册期末总复习
1．如图所示，AE是的内角平分线，AF是的高，，，求.
2．如图，在中，点，在边上，点在边上，，点在边上，且．
（1）求证：；
（2）若平分，，求的度数．
3．如图，将两张对边平行的纸条交叉叠放在一起，重合的部分构成了一个四边形.转动其中一张纸条，线段AD和BC的长度有什么关系 为什么
4．解不等式 ，并把它的解集在数轴上表示出来.
5．为丰富学生的校园生活，某校计划购买一批跳绳和毽子供学生体育运动使用，已知购买1根跳绳和2个毽子共需35元，购买2根跳绳和3个毽子共需65元．
（1）跳绳和键子的单价分别是多少元？
（2）若学校购买跳绳和毽子共100件，且购买这批体育用品的总费用不超过2100元，则最多能购买多少根跳绳？
6．在中，，平分．
（1）如图（1），于D，若，求；
（2）如图（1），于D，猜想与有什么数量关系？请说明你的理由；
（3）如图（2），F为上一点，于D，这时与又有什么数量关系？________；（不用证明）
（4）如图（3），F为的延长线上的一点，于D，这时与又有什么数量关系？________．（不用证明）
7．关于的分式方程的解是负数，求的取值范围．
8．解不等式组：
9．如图，已知的周长为，为钝角，由点D向分别引垂线，垂足分别为点E，F，且，，求的面积．
10．如图，在△ABC中，AB=AC，BD⊥AC，AE，BE分别平分∠BAD和∠ABD．
（1）求∠AEB的度数；
（2）试判断△BCE的形状．
11．如图所示，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，BD=13，BE=12，BC=14，求△BCD的面积.
12．如图所示，在中：
（1）下列操作中，作的平分线的正确顺序是 （将序号按正确的顺序写在横线上）．
①分别以点M、N为圆心，大于的长为半径作圆弧，在内，两弧交于点P；
②以点B为圆心，适当长为半径作圆弧，交于点M，交于点N；
③画射线，交于点D．
（2）能说明的依据是 （填序号）．
①，②，③，④角平分线上的点到角两边的距离相等
（3）如图，过点D作于点E，若，的面积是24，的周长为12，求的长．
13．某酒店计划购买两款智能送物机器人，已知购买台款和台款智能送物机器人共需要万元，购买台款和台款智能送物机器人共需要万元．
（1）该酒店购买台款和台款智能送物机器人分别需要多少万元？
（2）若该酒店计划购买，两款智能送物机器人共台，且总费用不超过万元，则该酒店最多可购买款智能送物机器人多少台？
14．如图，在中，，，平分，为射线上一点，连接，求的度数．
15．我们知道，假分数可以化为整数与真分数的和的形式.例如：.在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”例如，是假分式.当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例如：，是真分式.一个假分式可以化为一个整式与一个真分式的和例如：.
（1）分式是　 　（填“真”或“假”）分式.
（2）将假分式化为整式与真分式的和的形式.
（3）若分式的值为整数，求x的整数值.
16．如图，在中，，分别是边和上的点，连接，，且．求证：
（1）；
（2）．
17．在平面直角坐标系中，一次函数的图象是由函数的图象平移得到，且经过点．
（1）求k，b的值；
（2）当时，对于x的每一个值，函数的值小于一次函数的值，请结合函数图象，直接写出m的取值范围．
18． 关于的两个不等式：①与②．
（1）若两个不等式的解集相同，求的值．
（2）若不等式①的解都是②的解，求的取值范围．
19． 定义： 如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差， 那么我们称这个正整数为 “和谐数”． 如 ， 因此， 这三个数都是 “和谐数”．
（1） 28 是 “和谐数”， 且 为连续偶数 ( ． 当 时， 　 　
（2） 设两个连续偶数为 和 (其中 取非负整数)， 由这两个连续偶数构成的 “和谐数”是 4 的倍数吗？ 为什么？
20．已知方程组的解满足，求的取值范围.
21．七年级举办古诗词知识竞赛，共有20道题，每一题答对得10分，答错或不答都扣5分. 如果规定初赛成绩超过90分晋级决赛，那么至少要答对多少道题才能成功晋级
22．小丁和小迪分别解方程的过程如下：
小丁：
解：去分母，得
去括号，得
合并同类项，得
解得，
∴原方程的解是x=5. 小迪：
解：去分母，得
去括号，得
合并同类项，得
解得，
∴经检验x=2是方程的增根，原方程无解.
你认为小丁和小迪的解法是否正确？若正确，请在框内打“√”；若错误，请在框内打“×”，并写出你的解答过程.
23．某学校为打造书香校园，计划购进甲、乙两种课外书．购买2本甲种书和1本乙种书共需100元；购买3本甲种书和2本乙种书共需175元．
（1）求甲、乙两种书的单价；
（2）学校决定购买甲、乙两种书共60本，且两种书的总费用不超过2500元，那么该校最多可以购买多少本乙种书
24．君辉中学计划为书法小组购买某种品牌的、两种型号的毛笔．若购买支种型号的毛笔和支种型号的毛笔需用元；若购买支种型号的毛笔和支种型号的毛笔需用元．
（1）求每支种型号的毛笔和每支种型号的毛笔各多少元；
（2）君辉中学决定购买以上两种型号的毛笔共支，总费用不超过元，那么该中学最多可以购买多少支种型号的毛笔？
25．先化简，再求值：
（1）其中
（2）其中
26．小欣一家乘出租车去机场乘机旅游， 有两条路线可供选择： 路线一的全程是 ， 但交通比较拥堵； 路线二的全程是 ， 平均车速比走路线一时的平均车速能提高 ， 因此能比走路线一少用 到达机场． 走路线一时的平均车速是每小时多少千米？
27．如图，中，，是的高，，，求的长．
28．如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D是边AB上的动点，连接CD，点B关于直线CD的对称点为点E，射线AE与射线CD交于点F．
（1）在图中，依题意补全图形；
（2）记∠DCB=α（α＜45°），求∠BAF的大小；（用含α的式子表示）
（3）若△BCE是等边三角形，猜想EF和AB的数量关系，并证明你的结论．
29．（1） 在公式 中， 已知 ，求 ．
（2） 在公式 中， 所有字母都大于 0 ， 求 ．
30．下面是甲同学对多项式进行因式分解的过程．
解：设，
原式（第一步）
（第二步）
（第三步）
．（第四步）
回答下列问题：
（1）甲同学第二步到第三步运用了因式分解的　 　．（填写序号）
①提公因式法 ②平方差公式法 ③两数和的完全平方公式法
（2）通过观察，我们知道甲同学因式分解的结果不彻底，请直接写出因式分解的结果：　 　．
（3）请尝试对多项式进行因式分解．
31．随着新能源汽车市场的迅速发展，市场对电池的需求也逐渐增大，某电池生产企业承接了生产58000组汽车电池的任务让甲、乙两个车间的工人来完成.若甲车间工人每人每天平均生产15组电池，乙车间工人每人每天平均生产20组电池，则需40天时间完成；若甲、乙车间工人每人每天平均都生产25组电池，则只需29天时间完成.
（1）求甲、乙两个车间参与生产的工人数.
（2）根据实际生产需要，该企业设计了如下两种具体生产方案：
　 甲车间 乙车间 新增费用
方案一 每人每天平均生产15组电池 租用先进设备，工作效率在每人每天平均生产20组电池的基础上提高了55% 租用设备费用为每天1200元，租用期间的来回运输费共1400元
方案二 从其他部门调配若干名工人到甲车间后，每人每天平均生产28组电池 每人每天平均生产24组电池 调配过来的工人每人每月需要支付费用150元
若方案一比方案二多用了4天时间完成，请问：从新增费用的角度考虑，选择哪种方案更节省开支？请说明理由.
32．如图，已知在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线MN交AC于点D，连接BD．
（1）若∠A=40°，求∠DBC的度数；
（2）若AB=10，DC=3，求线段BD的长度．
33．某社区积极响应正在开展的“创文活动”，安排甲、乙两个工程队对社区进行绿化改造．已知甲工程队每天能完成的绿化改造面积是乙工程队每天能完成的绿化改造面积的2倍，并且甲工程队完成400平方米的绿化改造比乙工程队完成400平方米的绿化改造少用4天．分别求甲、乙两工程队每天能完成绿化改造的面积．
34．如图，在中，的垂直平分线分别交于点D、E， 的垂直平分线分别交于点F、G．
（1）若，求的周长．
（2）若，求的度数．
35．下面是某同学解一元一次不等式组 的过程，请认真阅读并完成相应的任务.
解：由①去分母，得 1-2 (2x-2) ≥5 (3-x) …第一步
去括号，得 1-4x+4≥15-5x…第二步
移项，得-4x+5x≥15-1-4…第三步
合并同类项，得 x≥10…第四步
（1）任务一：以上解题过程从第　 　步开始出现错误，这一步的正确写法应为　 　；
（2）任务二：请写出正确的解题过程，并把它的解集表示在数轴上.
36．马小虎的家距离学校1800米，一天马小虎从家去上学，出发10分钟后，爸爸发现他的数学课本忘记拿了，立即带上课本去追他，在距离学校200米的地方追上了他，已知爸爸的速度是马小虎速度的2倍，求马小虎的速度．设马小虎的速度为x米/分．
（1）依题意，填写下表：
路程 速度 时间
小虎 　 　 x 　 　
爸爸 1600 2x
（2）根据上表，列方程解决问题．
37．如图，在中，AB边上的垂直平分线DE与AB、AC分别交于点D、E，且
（1）求证：；
（2）若，，求CE的长．
38．如图，在△ABC中，AE平分∠BAC，AD是△ABC的高，AE=BE.
（1）若∠B=40°，求∠EAD的度数；
（2）若∠B为∠EAD的4倍，求∠C的度数.
39．跳绳是人们喜爱的一种运动项目，对青少年来说，经常跳绳有助于身体长高．
（1）一副跳绳由两个手柄和一根绳子组成，某工厂生产某种型号的跳绳，一名工人每天可生产400个手柄或1000根绳子，现打算安排18名工人来生产，如何安排工人使得每天生产的手柄和绳子恰好配套？
（2）甲、乙两位同学进行跳绳训练，甲计划跳120个，乙计划跳100个，若甲平均每秒跳绳的个数是乙平均每秒跳绳个数的倍，甲、乙同时开始跳，但乙在跳的过程中因死绳耽搁了5秒钟，最后甲比乙提前15秒完成跳绳训练，求甲平均每秒跳绳多少个？
40．麦收时节，为确保小麦颗粒归仓，某农场安排A，B两种型号的收割机进行小麦收制作业．已知一台A型收割机比一台B型收割机平均每天多收割2公顷小麦，一台A型收割机收割15公顷小麦所用时间与一台B型收割机收割9公顷小麦所用时间相同．
（1）一台A型收割机和一台B型收割机平均每天各收割小麦多少公顷？
（2）该农场安排两种型号的收割机共12台同时进行小麦收割作业，为确保每天完成不少于50公顷的小麦收割任务，至少要安排多少台A型收割机？
41．如图，已知，相交于点O，延长到点E，使，连接．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）连接，交于点F，连接，判断与的数量关系，并说明理由．
42．如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线DE分别交AC、AB于点 D、E．
（1）若∠A＝50°，求∠CBD的度数；
（2）若AE＝4.5，△CBD的周长为16，求BC的长．
43．生物实验课上要求：制作并观察洋葱鳞片叶肉内表皮细胞临时装片，上周生物老师用20元购买了一部分洋葱，本周实验时发现洋葱不够用，由于天气原因，本周洋葱单价上涨了20%，生物老师花了30元，但只比上周多买了10斤洋葱．
（1）求上周生物老师买的洋葱单价为每斤多少元？
（2）经调查发现，一个洋葱可供12名同学使用，两个洋葱正好1斤，本校参加生物实验的同学共2784人，如果本周洋葱价格不变，那么生物老师至少应再买多少斤洋葱才能供给本校参加生物实验的同学所用？
44．“云健身”火了，也带动了小型居家健身器材的热销，某网店A，B两种健身器材的销量最高．已知售出2件A种健身器材和3件B种健身器材所得利润为700元，售出每件A种健身器材的利润是每件B种健身器材利润的2倍．
（1）求每件A种健身器材的利润？
（2）由于需求量大，A，B两种健身器材很快售完，该店决定再一次购进A，B两种健身器材共80件．如果将这80件健身器材全部售完后所得利润不低于10000元，那么该店至少需购进多少件A种健身器材？
45．如图，平行四边形的面积为12，．点在边上（点与点不重合），连接，作点关于直线的对称点，连接．
（1）的长度　 　．
（2）点到直线的距离是　 　．
（3）设点到直线的距离为，求的最小值．
（4）当点落在平行四边形的边上时，直接写出的长度．
46．如图，，一点E、F分别在直线、上，点O在直线、之间，．
（1）求的值；
（2）如图2，直线交、的角平分线分别于点M、N，求的值；
（3）如图3，在内，，在内，．直线交、分别于点、．若，求n的值．
47．问题背景
如图1，在正方形ABCD的内部，作∠DAE=∠ABF=∠BCG=∠CDH，根据三角形全等的条件，易得△DAE≌△ABF≌△BCG≌△CDH，从而得到四边形EFGH是正方形。
类比研究
如图2，在正△ABC的内部，作∠BAD=∠CBE=∠ACF，AD，BE，CF两两相交于D，E，F三点（D，E，F三点不重合）。
（1）△ABD，△BCE，△CAF是否全等？如果是，请选择其中一对进行证明；
（2）△DEF是否为正三角形？请说明理由；
（3）进一步探究发现，△ABD的三边存在一定的等量关系，设 ， ， ，请探索 ， ， 满足的等量关系。
48．如图，，平分，点，，分别是射线，，上的点都不与点重合，交于点设．
（1）如图，当时，
求的度数；
若，求的值．
（2）如图，若，是否存在的值，使得中有两个角相等若存在，直接写出的值；若不存在，说明理由．
49．已知直线，点E和点F分别在直线和上．
（1）如图1，射线平分交于点G，若，求的度数；
（2）如图2，射线平分，点M是射线上一点（不包括端点F），点N为的平分线上一点（不包括端点E），连结，，延长交射线于点H，猜想与的关系，并说明理由；
（3）在（1）的条件下，若绕点G以每秒转动的速度逆时针旋转一周，同时绕点F以每秒转动的速度逆时针旋转，设转动时间为t秒，当转动结束时也随即停止转动，在整个转动过程中，当和互相平行时，请直接写出此时t的值．
50．设一次函数y=kx+b-3（k，b是常数，且k≠0）。
（1）若该函数的图象过点（（-1，2），试判断点P（4，5k+2）是否也在此函数的图象上，并说明理由。
（2）已知点A（a，y1）和点都在该一次函数的图象上，求k的值。
（3）若k+b<0，点Q（5，m）（m>0）在该一次函数图象上，求证：
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【决战期末·50道解答题专练】北师大版数学八年级下册期末总复习
1．如图所示，AE是的内角平分线，AF是的高，，，求.
【答案】解：∵，
∴，
∵AE是的内角平分线
∴
∵AF是高，所以
∴
∴
【解析】【分析】利用三角形的内角和为180°，得到，根据角平分线的性质得到，利用高线得， 由，计算求解即可．
2．如图，在中，点，在边上，点在边上，，点在边上，且．
（1）求证：；
（2）若平分，，求的度数．
【答案】（1）证明：，
，
，
，
，
（2）解：，，
，
平分，
，
由（1）知，
．
【解析】【分析】 （1）根据平行线的性质得出∠2+∠FCD=180°，求出∠1=∠FCD，根据平行线的判定得出DH∥AC，根据平行线的性质得出即可；
（2）根据角平分线的定义以及平行线的性质解答即可．
3．如图，将两张对边平行的纸条交叉叠放在一起，重合的部分构成了一个四边形.转动其中一张纸条，线段AD和BC的长度有什么关系 为什么
【答案】解：AD=BC，理由如下：
∵AB∥DC，AD∥BC
∴四边形ABCD为平行四边形
∴AD=BC
【解析】【分析】根据平行四边形判定定理及性质即可求出答案.
4．解不等式 ，并把它的解集在数轴上表示出来.
【答案】解：去分母，得：2（2x-1）＞3x-1，
去括号，得：4x-2＞3x-1，
移项，合并得：4x-3x＞-1+2，
合并同类项，解得：x＞1，
∴不等式的解集在数轴上表示如下，
.
【解析】【分析】根据解一元一次不等式的步骤，即去分母、去括号、移项及合并同类项，即可解得不等式的解集，再根据“大于朝右拐，无等号空心点”，讲解集表示在数轴上即可.
5．为丰富学生的校园生活，某校计划购买一批跳绳和毽子供学生体育运动使用，已知购买1根跳绳和2个毽子共需35元，购买2根跳绳和3个毽子共需65元．
（1）跳绳和键子的单价分别是多少元？
（2）若学校购买跳绳和毽子共100件，且购买这批体育用品的总费用不超过2100元，则最多能购买多少根跳绳？
【答案】（1）解：设跳绳的单价是元，毽子的单价是元．
依题意，得解得
答：跳绳的单价是25元，毽子的单价是5元．
（2）解：设学校购买根跳绳，则购买个毽子．
依题意，得，解得，
的最大值为80．
答：最多购买80根跳绳．
【解析】【分析】（1）设跳绳的单价是元，毽子的单价是元，根据购买1根跳绳和2个毽子共需35元，购买2根跳绳和3个毽子共需65元，列出方程组，求得方程组的解，即可得到答案；
（2）设学校购买根跳绳，根据学校购买跳绳和毽子共100件，且购买这批体育用品的总费用不超过2100元，列出不等式，求得不等式的解集，即可得到答案．
6．在中，，平分．
（1）如图（1），于D，若，求；
（2）如图（1），于D，猜想与有什么数量关系？请说明你的理由；
（3）如图（2），F为上一点，于D，这时与又有什么数量关系？________；（不用证明）
（4）如图（3），F为的延长线上的一点，于D，这时与又有什么数量关系？________．（不用证明）
【答案】（1）解：在中，，∴，
∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴；
（2），
理由如下：
在中，，∴，
∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴；
（3）
（4）
【解析】【解答】（3）解：过点作，
∵，
∴，
∴，
由（2）可知：，
∴；
故答案为：；
（4）解：过点作，
∵，
∴，
∴，
由（2）可知：，
∴；
故答案为：．
【分析】
（1）先由三角形的内角和定理，求出，的度数，再根据角平分线的定义求出的度数，最后由角的和差关系即可求出的度数；
（2）同法（1）即可得出结论；
（3）过点作，根据平行线的性质得，再结合（2）中的结论，即可得出结果；
（4）过点作，根据平行线的性质得，再结合（2）中的结论，即可得出结果．
（1）解：在中，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴；
（2）解：在中，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴；
（3）解：过点作，
∵，
∴，
∴，
由（2）可知：，
∴；
故答案为：；
（4）解：过点作，
∵，
∴，
∴，
由（2）可知：，
∴；
故答案为：．
7．关于的分式方程的解是负数，求的取值范围．
【答案】解：解得．
∵分式方程的解是负数，
∴，解得：，
∵，
∴，
∴
∴的取值范围且．
【解析】【分析】先解得，再根据分式方程的解是负数，即可得
，解得且．
8．解不等式组：
【答案】解：由不等式解得
由不等式解得
所以不等式组的解集是：．
【解析】【分析】首先根据解不等式的步骤分别求出两个不等式的解集，然后根据口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了，取其公共部分即为不等式组的解集.
9．如图，已知的周长为，为钝角，由点D向分别引垂线，垂足分别为点E，F，且，，求的面积．
【答案】解：连接，
∵四边形是平行四边形，周长为，
∴，，
∴，
设，，
∴，
∴，
∴，
∴的面积．
【解析】【分析】本题考查平行四边形的性质及面积计算。解题核心在于利用“平行四边形面积等于底乘以高”这一性质，通过连接对角线DB，将平行四边形面积转化为两个三角形面积之和，进而推导出AB DE = BCDF。结合周长条件AB + BC = 18cm，设未知数建立方程求解AB，最终计算平行四边形的面积。
10．如图，在△ABC中，AB=AC，BD⊥AC，AE，BE分别平分∠BAD和∠ABD．
（1）求∠AEB的度数；
（2）试判断△BCE的形状．
【答案】（1）解：∵BD⊥AC，
∴∠ABD+∠BAD=90°，
∵AE，BE分别平分∠BAD，∠ABD．
∴∠ABE+∠BAE=(∠ABD+∠BAD)=45°，
∴∠AEB=180°-∠ABE-∠BAE=180°-(∠ABE+∠BAE)=135°；
（2）解：△BEC是等腰直角三角形，理由如下：
延长AE交BC于F，
∵AB=AC，AE平分∠BAD，
∴AF⊥BC，BF=CF，
∴BE=CE，
∴∠EBC=∠ECB，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵∠ABE=∠ACE，
∴∠ACE+∠CAE=∠ABE+∠BAE=45°，
∴∠AEC=180°-∠ACE-∠CAE=180°-(∠ACE+∠CAE)=135°，
∴∠BEC= 360°-∠AEB-∠AEC=90°，
∴△BEC是等腰直角三角形．
【解析】【分析】（1）根据三角形内角和定理以及角平分线得性质可求解；
（2）根据等腰三角形的三线合一得AF⊥BC，BF=CF，由线段垂直平分线的性质得BE=CE，结合三角形内角和定理，及周角为360度可求证.
11．如图所示，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，BD=13，BE=12，BC=14，求△BCD的面积.
【答案】解：∵DE⊥AB于点E，
∴∠BED=90°.
∵ BD=13，BE=12，
∴DE2=BD2-BE2=132-122=25，
∴ DE=5.
∵ BD是△ABC的角平分线，
∴ 点D到AB与BC的距离相等，
∴ 点D到BC的距离为5，
∴ △BCD的面积是×5×14=35
【解析】【分析】根据 勾股定理 求出DE的长，再根据角平分线性质（ 角平分线上的点到两边距离相等 ）， 得D到BC的距离为DE，从而计算△BCD的面积 .
12．如图所示，在中：
（1）下列操作中，作的平分线的正确顺序是 （将序号按正确的顺序写在横线上）．
①分别以点M、N为圆心，大于的长为半径作圆弧，在内，两弧交于点P；
②以点B为圆心，适当长为半径作圆弧，交于点M，交于点N；
③画射线，交于点D．
（2）能说明的依据是 （填序号）．
①，②，③，④角平分线上的点到角两边的距离相等
（3）如图，过点D作于点E，若，的面积是24，的周长为12，求的长．
【答案】（1）②①③
（2）①
（3）解：过D作，垂足为F，
∵，，
∴，
解得：，
∵平分，，，
∴，
∵，
∴，
设，则，
在中，，
∴，
解得：，即．
【解析】【解答】（1）解：作 的平分线的正确顺序是②①③，
故答案为：②①③；
（2）解：如图：连接 ，
在 和 中，，
∴ ，
∴，
故答案为：①.
【分析】（1）利用角平分线的作图方法和步骤分析求解即可；（2）利用“SSS”证出 ，再利用全等三角形的性质可得；
（3）过D作，垂足为F，利用角平分线的性质可得，设，则，利用勾股定理可得，最后求出x的值即可.
（1）解：作 的平分线的正确顺序是②①③，
故答案为：②①③；
（2）解：如图：连接 ，
在 和 中，，
∴ ，
∴，
故答案为：①；
（3）解：过D作，垂足为F，
∵，，
∴，
解得：，
∵平分，，，
∴，
∵，
∴，
设，则，
在中，，
∴，
解得：，即．
13．某酒店计划购买两款智能送物机器人，已知购买台款和台款智能送物机器人共需要万元，购买台款和台款智能送物机器人共需要万元．
（1）该酒店购买台款和台款智能送物机器人分别需要多少万元？
（2）若该酒店计划购买，两款智能送物机器人共台，且总费用不超过万元，则该酒店最多可购买款智能送物机器人多少台？
【答案】（1）解：设该酒店购买台款智能送物机器人需要万元，台款智能送物机器人需要万元，
根据题意得：，
解得：，
答：该酒店购买台款智能送物机器人需要万元，台款智能送物机器人需要万元；
（2）解：设该酒店可购买款智能送物机器人台，则可购买款智能送物机器人台，根据题意得：，
解得：，
∴的最大值为，
答：该酒店最多可购买B款智能送物机器人台．
【解析】【分析】（1）本题考查二元一次方程组在实际问题中的应用。设购买1台A款智能送物机器人需要万元，1台B款需要万元，根据“购买2台A款和3台B款共需要11.5万元”以及“购买3台A款和2台B款共需要11万元”这两个等量关系，列出二元一次方程组并求解。
（2）本题考查一元一次不等式在实际问题中的应用。设购买B款智能送物机器人台，则购买A款台，根据总费用不超过22万元这一不等关系，列出一元一次不等式，解不等式并取最大整数解即可。
（1）解：设该酒店购买台款智能送物机器人需要万元，台款智能送物机器人需要万元，
根据题意得：，
解得：，
答：该酒店购买台款智能送物机器人需要万元，台款智能送物机器人需要万元；
（2）解：设该酒店可购买款智能送物机器人台，则可购买款智能送物机器人台，
根据题意得：，
解得：，
∴的最大值为，
答：该酒店最多可购买B款智能送物机器人台．
14．如图，在中，，，平分，为射线上一点，连接，求的度数．
【答案】解：∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴．
【解析】【分析】先由三角形的内角和定理求出=80°，再由角平分线求出=40°，最后根据平行线得内错角相等即可解答．
15．我们知道，假分数可以化为整数与真分数的和的形式.例如：.在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”例如，是假分式.当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例如：，是真分式.一个假分式可以化为一个整式与一个真分式的和例如：.
（1）分式是　 　（填“真”或“假”）分式.
（2）将假分式化为整式与真分式的和的形式.
（3）若分式的值为整数，求x的整数值.
【答案】（1）假
（2）
（3）由（2）知.
分式的值为整数，且为整数，
，
或.
【解析】【解答】解：
（1）因为分式中，分子和分母的次数相等，由假分式的定义可知：是假分式
古答案是：假.
【分析】（1）根据假分式的定义即可判段
（2）先将化为，再把原分式拆开，约分，化成 整式与真分式的和的形式
（3）先将化成整式与真分式的和的形式，再保证是整数即可.
16．如图，在中，，分别是边和上的点，连接，，且．求证：
（1）；
（2）．
【答案】（1）证明：四边形是平行四边形，
，
又．
四边形是平行四边形．
平行四边形对角相等
（2）四边形是平行四边形，
，，
四边形是平行四边形，
，，
，
在和中，
，
．
【解析】【分析】（1）首先证明四边形AECF是平行四边形，再根据平行四边形的性质，得到对角∠1=∠2；
（2）根据平行四边形的性质，可以证明△ABE和△CDF的三边对应相等，从而得出两三角形全等。
17．在平面直角坐标系中，一次函数的图象是由函数的图象平移得到，且经过点．
（1）求k，b的值；
（2）当时，对于x的每一个值，函数的值小于一次函数的值，请结合函数图象，直接写出m的取值范围．
【答案】（1）解：函数的图象是由函数的图象平移得到，
．
函数的图象经过点，
．
解得．
，．
（2）
【解析】【解答】解：（2）结合函数图象，当时，对于x的每一个值，函数的值小于一次函数的值，此时．
【分析】（1）本题考查一次函数图象的平移规律和待定系数法求函数解析式。一次函数图象进行平移变换时，斜率的值保持不变，因此由平移得到的函数；再将点代入解析式中，解方程求出的值即可。
（2）本题考查一次函数的图象与性质，通过数形结合分析函数值的大小关系。当时，函数的值小于一次函数的值，说明在的范围内，直线始终在直线的下方。结合函数图象，考虑直线过定点，分析不同斜率下直线的位置，从而确定的取值范围。
（1）解：函数的图象是由函数的图象平移得到，
．
函数的图象经过点，
．
解得．
，．
（2）解：结合函数图象，当时，对于x的每一个值，函数的值小于一次函数的值，此时．
18． 关于的两个不等式：①与②．
（1）若两个不等式的解集相同，求的值．
（2）若不等式①的解都是②的解，求的取值范围．
【答案】（1）解：∵，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴．
∵两个不等式的解集相同，
∴，
解得．
（2）解：∵不等式①的解都是②的解，
∴，
∴，
∴，
解得．
【解析】【分析】（1）先分别解两个不等式，再根据两个不等式的解集相同，建立关于a的方程并解方程即可；
（2）由不等式①的解都是②的解，可得不等式①的解集在不等式②的解集的范围内，建立关于a的不等式并解不等式即可．
19． 定义： 如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差， 那么我们称这个正整数为 “和谐数”． 如 ， 因此， 这三个数都是 “和谐数”．
（1） 28 是 “和谐数”， 且 为连续偶数 ( ． 当 时， 　 　
（2） 设两个连续偶数为 和 (其中 取非负整数)， 由这两个连续偶数构成的 “和谐数”是 4 的倍数吗？ 为什么？
【答案】（1）14
（2）解：
为非负整数， 一定为正整数，
一定能被 4 整除，则由这两个连续偶数构成的 “和谐数”是 4 的倍数．
【解析】【解答】解：(1) ， 且 ，
故答案为 14 ．
【分析】（1） 可通过平方差公式展开，结合“和谐数”的构成条件m-n=2，即可求出m+n的值；
（2）先计算出由 和 构成的“和谐数”表达式，发现可以提取公因式4，即说明是4的倍数.
20．已知方程组的解满足，求的取值范围.
【答案】解：，
解得，
∵2kx-3y＜5，
∴4k-3＜5，
∴k＜2.
【解析】【分析】解方程组求出x，y的值，再代入不等式，得出4k-3＜5，求出k的取值范围，即可得出答案.
21．七年级举办古诗词知识竞赛，共有20道题，每一题答对得10分，答错或不答都扣5分. 如果规定初赛成绩超过90分晋级决赛，那么至少要答对多少道题才能成功晋级
【答案】解：设初赛答对了x 道题.
根据“初赛成绩超过90分”晋级决赛，列得不等式
10x-5（20-x）>90.
去括号，得
10x-100+5x>90.
移项，合并同类项，得
15x>190.
系数化为1，得
由x应为正整数，可得x至少为13.
答：初赛至少要答对13道题才能成功晋级.
【解析】【分析】“初赛成绩超过90分”是问题中蕴含的不等关系，可以根据这个不等关系列出不等式，求出不等式的解集即可，注意答对题目的题数为整数.
22．小丁和小迪分别解方程的过程如下：
小丁：
解：去分母，得
去括号，得
合并同类项，得
解得，
∴原方程的解是x=5. 小迪：
解：去分母，得
去括号，得
合并同类项，得
解得，
∴经检验x=2是方程的增根，原方程无解.
你认为小丁和小迪的解法是否正确？若正确，请在框内打“√”；若错误，请在框内打“×”，并写出你的解答过程.
【答案】解：小丁和小迪的解法都不正确，正确步骤如下：
两边同乘 ， 去分母，得
移项，合并同类项，得x= 1，
检验：将x= 1 代入(x- 2)中，可得 1 -2=-1≠0，
则x=1是分式方程的解，
∴原分式方程的解是x=1.
【解析】【分析】最简公分母为（x-2），分式方程两边同乘（x-2），可将分式方程转化为整式方程 再解方程得x=1，再验根x-2≠0，即可求得分式方程的解为x=1.
23．某学校为打造书香校园，计划购进甲、乙两种课外书．购买2本甲种书和1本乙种书共需100元；购买3本甲种书和2本乙种书共需175元．
（1）求甲、乙两种书的单价；
（2）学校决定购买甲、乙两种书共60本，且两种书的总费用不超过2500元，那么该校最多可以购买多少本乙种书
【答案】（1）解：设甲种书为每本元，乙种书为每本元，由题意得
，
解得：，
答：甲种书为每本元，乙种书为每本元．
（2）解：设购买乙种书每本，购买甲种书（）本，由题意得
，
解得：，
为整数，
取，
答：该校最多可以购买本乙种书．
【解析】【分析】本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式的应用；
（1）考查的是建立并求解二元一次方程组的能力。关键是根据“两种购买组合的总价”提取两个等量关系，转化为标准方程组。解题时可灵活使用代入法或加减消元法，计算要准确，避免符号或系数错误。
（2）考查的是利用不等式解决实际限制条件下的最值问题。在已知单价和总本数的前提下，设未知数（一般设“求最大值”的量为变量），列费用不等式，解出范围后结合“整数”“实际意义”取最大值。特别注意：题干中“不超过2500元”是“≤”，不可误写为“<”；“最多”意味着取满足条件的最大整数。
24．君辉中学计划为书法小组购买某种品牌的、两种型号的毛笔．若购买支种型号的毛笔和支种型号的毛笔需用元；若购买支种型号的毛笔和支种型号的毛笔需用元．
（1）求每支种型号的毛笔和每支种型号的毛笔各多少元；
（2）君辉中学决定购买以上两种型号的毛笔共支，总费用不超过元，那么该中学最多可以购买多少支种型号的毛笔？
【答案】解：（1）设每支种型号的毛笔x元，每支种型号的毛笔y元，由题意得：
，
解得：，
答：每支种型号的毛笔6元，每支种型号的毛笔4元．
（2）设该中学可以购买m支型号的毛笔，则种型号的毛笔为（80-m）支，根据题意可得：
，
解得：，
答：该中学最多可以购买50支型号的毛笔．
【解析】【分析】本题考查二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用.（1）设每支种型号的毛笔x元，每支种型号的毛笔y元，根据题意可列出方程组，解方程组可求出x和y的值，据此可求出答案；
（2）设该中学可以购买m支型号的毛笔，则种型号的毛笔为（80-m）支，根据两种型号的毛笔共支，总费用不超过元可列出不等式组，解不等式组可求出该中学最多可以购买种型号的毛笔的支数.
25．先化简，再求值：
（1）其中
（2）其中
【答案】（1）解：原式
当
原式
（2）解：原式
当
原式

【解析】【分析】（1）根据同分母分式加减，然后约分化简，再代入x的值解答即可；
（2）根据同分母分式加减，然后约分化简，再代入a，b的值解答即可.
26．小欣一家乘出租车去机场乘机旅游， 有两条路线可供选择： 路线一的全程是 ， 但交通比较拥堵； 路线二的全程是 ， 平均车速比走路线一时的平均车速能提高 ， 因此能比走路线一少用 到达机场． 走路线一时的平均车速是每小时多少千米？
【答案】解：设走路线一的平均车速是xkm/h，则走路线二的平均车速是1.8xkm/h
∴
方程两边同乘
∴
∴x=50
经检验 x=50是原方程的解
故 走路线一时的平均车速是每小时 50 千米
【解析】【分析】根据题意设车速的未知数，再根据以及时间差可列方程，求解即可得结果.
27．如图，中，，是的高，，，求的长．
【答案】解：中，，，，
，
是的高，
，
，
在中，，
【解析】【分析】根据直角三角形的性质可知，因为是的高，所以，，故，即可求解．
28．如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D是边AB上的动点，连接CD，点B关于直线CD的对称点为点E，射线AE与射线CD交于点F．
（1）在图中，依题意补全图形；
（2）记∠DCB=α（α＜45°），求∠BAF的大小；（用含α的式子表示）
（3）若△BCE是等边三角形，猜想EF和AB的数量关系，并证明你的结论．
【答案】（1）解：如图所示：
（2）解：如图，连接CE
由题意可得：∠DCB=∠DCE=α
∴∠ACE=90°- 2α
∵AC=BC，BC=CE
∴AC=CE
∴∠CAF=∠AEC
∴，即
（3），理由如下：
如图：
∵△ACE是等边三角形
∴α=30°
由（2）可得∠BAF=α
∴∠BAF=30°
∵点B关于直线CD的对称点为点E
∴∠CBF=∠CEF=180°-(45°+α)=135°-α
∴∠ABF=135°- α -45°=90°- α
∵∠ABF+∠BAF=90°- α + α =90°
∴△BAF是直角三角形，且∠AFB=90°
∴
【解析】 【分析】（1）根据题意补全图形即可.
（2）连接CE，根据对称性质可得∠DCB=∠DCE=α，根据角之间的关系可得∠ACE=90°- 2α，再根据边之间的关系可得AC=CE，再根据等边对等角可得∠CAF=∠AEC，再根据三角形内角和定理即可求出答案.
（3）根据等边三角形性质可得∠BAF=30°，再根据对称性质可得∠CBF=∠CEF=135°-α，根据角之间的关系可得∠ABF=90°- α，根据直角三角形判定定理可得△BAF是直角三角形，且∠AFB=90°，再根据含30°角的直角三角形性质即可求出答案.
29．（1） 在公式 中， 已知 ，求 ．
（2） 在公式 中， 所有字母都大于 0 ， 求 ．
【答案】（1）解： ∵，
∴.
∴.
∴.
解得 ．
（2）解：∵，
∴.
∴.
解得 ．
【解析】【分析】先计算乘积，然后将含有未知量的项移到等号左边，其余部分移到等号右边，最后将未知量的系数化为1即可.
30．下面是甲同学对多项式进行因式分解的过程．
解：设，
原式（第一步）
（第二步）
（第三步）
．（第四步）
回答下列问题：
（1）甲同学第二步到第三步运用了因式分解的　 　．（填写序号）
①提公因式法 ②平方差公式法 ③两数和的完全平方公式法
（2）通过观察，我们知道甲同学因式分解的结果不彻底，请直接写出因式分解的结果：　 　．
（3）请尝试对多项式进行因式分解．
【答案】（1）③
（2）
（3）设：，
原式
．
【解析】【解答】解：（1） 甲同学第二步到第三步运用了因式分解的两数和的完全平方公式法.
故答案为：③.
（2）设，原式，故答案为：．
【分析】（1）直接根据因式分解的方程进行求解即可；
（2）最后一步再进行完全平方公式进行分解即可；
（3）仿照题目中的解题过程， 设：， 使 原式 ，再进行分解即可.
31．随着新能源汽车市场的迅速发展，市场对电池的需求也逐渐增大，某电池生产企业承接了生产58000组汽车电池的任务让甲、乙两个车间的工人来完成.若甲车间工人每人每天平均生产15组电池，乙车间工人每人每天平均生产20组电池，则需40天时间完成；若甲、乙车间工人每人每天平均都生产25组电池，则只需29天时间完成.
（1）求甲、乙两个车间参与生产的工人数.
（2）根据实际生产需要，该企业设计了如下两种具体生产方案：
　 甲车间 乙车间 新增费用
方案一 每人每天平均生产15组电池 租用先进设备，工作效率在每人每天平均生产20组电池的基础上提高了55% 租用设备费用为每天1200元，租用期间的来回运输费共1400元
方案二 从其他部门调配若干名工人到甲车间后，每人每天平均生产28组电池 每人每天平均生产24组电池 调配过来的工人每人每月需要支付费用150元
若方案一比方案二多用了4天时间完成，请问：从新增费用的角度考虑，选择哪种方案更节省开支？请说明理由.
【答案】（1）解：设甲车间m人，乙车间n人，根据题意得
解得
答：甲车间参与生产的有30人，乙车间参与生产的50人
（2）解：设方案二调配到甲车间x 人，根据题意得
解得x=10，
经检验，x=10是原方程的解，且符合题意
方案一费用：29×1200+1400=36200(元)
方案二费用：25×150×10=37500（元）
∵36200<37500
∴选方案一更节省
【解析】【分析】（1） 根据“工作总量=工作效率×工作时间”这一关系，利用两种不同的生产情境列出二元一次方程组，求出甲、乙两个车间的工人数。
（2）根据方案一和方案二的时间差(4天)建立方程，求出方案二的具体天数，进而计算两种方案的新增费用并进行比较解答即可.
32．如图，已知在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线MN交AC于点D，连接BD．
（1）若∠A=40°，求∠DBC的度数；
（2）若AB=10，DC=3，求线段BD的长度．
【答案】（1）因为AB=AC，∠A=40°，所以∠ABC=∠C=（180°－∠A）=70°.
因为DM是AB的垂直平分线，所以AD=BD，所以∠ABD=∠A=40°.
所以∠DBC=∠ABC－∠ABD=70°－40°=30°.
（2）因为AB=AC，AB=10，DC=3，所以BD=AD=10－3=7．
【解析】【分析】(1)根据等腰和三角形内角和定理求出 根据线段垂直平分线的性质得出AD=BD，求出 ，即可求出答案；
(2)根据BD=AD求得AD的长即可求得BD的长.
33．某社区积极响应正在开展的“创文活动”，安排甲、乙两个工程队对社区进行绿化改造．已知甲工程队每天能完成的绿化改造面积是乙工程队每天能完成的绿化改造面积的2倍，并且甲工程队完成400平方米的绿化改造比乙工程队完成400平方米的绿化改造少用4天．分别求甲、乙两工程队每天能完成绿化改造的面积．
【答案】解：设乙工程队每天能完成的绿化改造面积是x平方米，则甲工程队每天能完成的绿化改造面积是2x平方米，
根据题意得：，
解得：x＝50．
经检验x＝50是所列方程的解，且符合题目要求，
此时2x＝100，
答：甲、乙两工程队每天能完成的绿化改造面积分别是100平方米和50平方米．
【解析】【分析】设乙工程队每天能完成的绿化改造面积是x平方米，则甲工程队每天能完成的绿化改造面积是2x平方米，根据“ 甲工程队完成400平方米的绿化改造比乙工程队完成400平方米的绿化改造少用4天 ”列出方程并解之即可.
34．如图，在中，的垂直平分线分别交于点D、E， 的垂直平分线分别交于点F、G．
（1）若，求的周长．
（2）若，求的度数．
【答案】（1）解：∵是的垂直平分线，是的垂直平分线，
∴，
∴的周长
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
【解析】【分析】（1）根据垂直平分线的性质得到，然后利用三角形的周长公式解答即可；
（2）根据三角形内角和定理得到，然后根据等边对等角得到，再利用角的和差解题即可．
（1）解：∵是的垂直平分线，是的垂直平分线，
∴，
∴的周长；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
35．下面是某同学解一元一次不等式组 的过程，请认真阅读并完成相应的任务.
解：由①去分母，得 1-2 (2x-2) ≥5 (3-x) …第一步
去括号，得 1-4x+4≥15-5x…第二步
移项，得-4x+5x≥15-1-4…第三步
合并同类项，得 x≥10…第四步
（1）任务一：以上解题过程从第　 　步开始出现错误，这一步的正确写法应为　 　；
（2）任务二：请写出正确的解题过程，并把它的解集表示在数轴上.
【答案】（1）一；10-2(2x-2)≥5(3-x)
（2）解：正确的解题过程如下：
解不等式①得： 10-2 (2x-2) ≥5 (3-x) ，
10-4x+4≥15-5x，
-4x+5x≥15-10-4，
x≥1，
解不等式②得： 3x<9，
x<3，
∴原不等式组的解集为：1≤x<3，
∴该不等式组的解集在数轴上表示如图所示：
【解析】【解答】（1）解：以上解题过程从第一步开始出现错误，常数项1没有乘以10，正确写法应该是；
【分析】（1）本题考查一元一次不等式去分母的易错点，去分母时需给不等式两边每一项都乘最简公分母，观察第一步常数项未乘，由此定位错误步骤并修正；
（2）本题考查一元一次不等式组的完整解法，先按正确步骤解第一个不等式，再解第二个不等式，取两个解集的公共部分，最后规范在数轴上表示解集。
36．马小虎的家距离学校1800米，一天马小虎从家去上学，出发10分钟后，爸爸发现他的数学课本忘记拿了，立即带上课本去追他，在距离学校200米的地方追上了他，已知爸爸的速度是马小虎速度的2倍，求马小虎的速度．设马小虎的速度为x米/分．
（1）依题意，填写下表：
路程 速度 时间
小虎 　 　 x 　 　
爸爸 1600 2x
（2）根据上表，列方程解决问题．
【答案】（1）1600；
（2）；x=80
【解析】【解答】解：（1）∵爸爸追上马小虎时，爸爸走过的路程为1600米，
∴马小虎走过的路程为1600米，
∵马小虎的速度为x米/分钟，
∴马小虎所用的时间为：分钟，
故答案为：1600；；
（2）根据题意可得：，
解得：x=80，
经检验，x=80是分式方程的解，且符合题意，
答：马小虎的速度为80米/分.
故答案为：80.
【分析】（1）根据“爸爸和马小虎的路程相同”求出马小虎的路程，再利用“时间=路程÷速度”求解即可；
（2）根据“爸爸比马小虎少用10分钟”列出方程，再求解即可.
37．如图，在中，AB边上的垂直平分线DE与AB、AC分别交于点D、E，且
（1）求证：；
（2）若，，求CE的长．
【答案】（1）证明：连接BE，
∵DE是AB的垂直平分线，
∴
∵，
∴，即
∴是直角三角形，
∴
（2）解：∵，，∴
设，则，∵，，∴
解得，∴
【解析】【分析】（1）连接，根据线段垂直平分线的性质可得，然后结合已知利用勾股定理的逆定理进行证明即可；
（2）设，则，然后利用勾股定理列方程求解即可．
38．如图，在△ABC中，AE平分∠BAC，AD是△ABC的高，AE=BE.
（1）若∠B=40°，求∠EAD的度数；
（2）若∠B为∠EAD的4倍，求∠C的度数.
【答案】（1）解：∵AE=BE，∠B=40°，
∴∠BAE=∠B=40°，
∵AD是△ABC的高，
∴∠ADB=90°，
∴∠BAD=90°-∠B=50°，
∴∠EAD=∠BAD-∠BAE=10°
（2）解：∵AE=BE，
∴∠BAE=∠B，
∵AD是△ABC的高，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
∴∠B+∠BAD=90°，
∴∠B+∠BAE+∠EAD=90°，
∵∠B=4∠EAD，
∴4∠EAD+4∠EAD+∠EAD=90°，
∴∠EAD=10°，则∠B=∠BAE=40°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠CAE=∠BAE=40°，
∴∠CAD=∠CAE-∠EAD=30°，
∵∠CAD+∠C=90°，
∴∠C=90°-∠CAD=60°
【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的性质可得∠BAE=40°，由AD是高得直角三角形，根据直角三角形两锐角互余即可得出答案；
（2）根据等腰三角形的性质可得∠BAE=∠B，由AD是高得直角三角形，根据直角三角形两锐角互余可得∠B+∠BAD=90°，进而得出∠B+∠BAE+∠EAD=90°，结合 ∠B为∠EAD的4倍可求得∠EAD=10°，则∠B=∠BAE=40°，再由角平分线可得∠CAE=∠BAE=40°，进而得出∠CAD=30°，最后利用直角三角形两锐角互余即可得出答案.
39．跳绳是人们喜爱的一种运动项目，对青少年来说，经常跳绳有助于身体长高．
（1）一副跳绳由两个手柄和一根绳子组成，某工厂生产某种型号的跳绳，一名工人每天可生产400个手柄或1000根绳子，现打算安排18名工人来生产，如何安排工人使得每天生产的手柄和绳子恰好配套？
（2）甲、乙两位同学进行跳绳训练，甲计划跳120个，乙计划跳100个，若甲平均每秒跳绳的个数是乙平均每秒跳绳个数的倍，甲、乙同时开始跳，但乙在跳的过程中因死绳耽搁了5秒钟，最后甲比乙提前15秒完成跳绳训练，求甲平均每秒跳绳多少个？
【答案】（1）解：设安排生产手柄有名工人，则绳子的工人有名，
由题可知：，
解得：，
∴（名），
答：安排生产手柄有名工人，生产绳子工人有名；
（2）解：设乙平均每秒跳绳个，则甲平均每秒跳绳的个数是个，则
，
解得：，
经检验：是原方程的根，且符合题意；
∴，
答：甲平均每秒跳绳个.
【解析】【分析】（1）设安排生产手柄有名工人，则绳子的工人有名，再分别表示手柄，绳子的生产数量，结合一副跳绳由两个手柄和一根绳子组成，建立方程，解方程即可求出答案.
（2）设乙平均每秒跳绳个，则甲平均每秒跳绳的个数是个，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
（1）解：设安排生产手柄有名工人，则绳子的工人有名，
由题可知：，
解得：，
∴（名），
答：安排生产手柄有名工人，生产绳子工人有名；
（2）解：设乙平均每秒跳绳个，则甲平均每秒跳绳的个数是个，则
，
解得：，
经检验：是原方程的根，且符合题意；
∴，
答：甲平均每秒跳绳个.
40．麦收时节，为确保小麦颗粒归仓，某农场安排A，B两种型号的收割机进行小麦收制作业．已知一台A型收割机比一台B型收割机平均每天多收割2公顷小麦，一台A型收割机收割15公顷小麦所用时间与一台B型收割机收割9公顷小麦所用时间相同．
（1）一台A型收割机和一台B型收割机平均每天各收割小麦多少公顷？
（2）该农场安排两种型号的收割机共12台同时进行小麦收割作业，为确保每天完成不少于50公顷的小麦收割任务，至少要安排多少台A型收割机？
【答案】（1）解：设一台A型收割机平均每天收割小麦x公顷，则一台B型收割机平均每天收割小麦公顷．
根据题意，得，
解得
经检验：是所列分式方程的根
∴（公顷）．
答：一台A型收割机平均每天收割小麦5公顷，一台B型收割机平均每天收割小麦3公顷．
（2）解：设每天要安排y台A型收割机，
根据题意，得，
解得，
答：至少要安排7台A型收割机．
【解析】【分析】（1）设一台A型收割机平均每天收割小麦x公顷，则一台B型收割机平均每天收割小麦(x-2)公顷，然后根据工作总量除以工作效率等于工作时间及一台A型收割机收割15公顷小麦所用时间与一台B型收割机收割9公顷小麦所用时间相同列出方程求解即可；
（2）设每天要安排y台A型收割机进行小麦收割作业 ，则安排(12-y)台B型收割机进行小麦收割作业，然后根据y台A型收割机每天收割小麦的公顷数+(12-y)台B型收割机每天收割小麦的公顷数不少于50公顷的小麦收割任务，列出不等式，求出最小整数解即可.
41．如图，已知，相交于点O，延长到点E，使，连接．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）连接，交于点F，连接，判断与的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形.
（2）解：与的数量关系为：，
理由如下：由（1）得：四边形是平行四边形，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴是的中位线，
∴，
∵，
∴，
∴．
【解析】【分析】（1）利用平行四边形的性质可得，再利用等量代换可得，从而证出四边形是平行四边形；
（2）先证出是的中位线，利用中位线的性质可得，再利用等量代换可得．
42．如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线DE分别交AC、AB于点 D、E．
（1）若∠A＝50°，求∠CBD的度数；
（2）若AE＝4.5，△CBD的周长为16，求BC的长．
【答案】（1）解：∵AB＝AC，∠A＝50°，
∴∠ABC＝∠C＝65°，
又∵DE垂直平分AB，
∴DA＝DB，
∴∠ABD＝∠A＝50°，
∴∠CBD＝15°；
（2）解：∵DE垂直平分AB，
∴DA＝DB，AE＝BE＝4.5，
∴DB+DC＝DA+DC＝AC，
又∵AB＝AC＝5，△CBD周长为16，
∴BC＝16-9＝7．
【解析】【分析】（1）根据三角形内角和定理求出∠ABC＝∠C＝65°，根据线段垂直平分线的性质得到DA=DB，求出∠ABD的度数，计算即可；
（2）根据线段垂直平分线的性质和三角形的周长公式计算．
43．生物实验课上要求：制作并观察洋葱鳞片叶肉内表皮细胞临时装片，上周生物老师用20元购买了一部分洋葱，本周实验时发现洋葱不够用，由于天气原因，本周洋葱单价上涨了20%，生物老师花了30元，但只比上周多买了10斤洋葱．
（1）求上周生物老师买的洋葱单价为每斤多少元？
（2）经调查发现，一个洋葱可供12名同学使用，两个洋葱正好1斤，本校参加生物实验的同学共2784人，如果本周洋葱价格不变，那么生物老师至少应再买多少斤洋葱才能供给本校参加生物实验的同学所用？
【答案】（1）解：设上周生物老师购买洋葱的单价为元斤，则本周所买洋葱的单价为元斤，
根据题意可列方程：，
解得，
经检验：是原方程的根且符合题意．
∴上周生物老师购买洋葱的单价为0.5元斤。
（2）解：设生物老师还需再购买洋葱斤，
则有，
解得，
∴生物老师至少要再购买26斤洋葱．
【解析】【分析】（1）首先假设上周生物老师购买洋葱的单价为x元/斤，则本周所买洋葱的单价即可表示出来，这样，上周购买了斤，本周购买了斤，而“生物老师花了30元，但只比上周多买了10斤洋葱葱”，此时列出分式方程，求解即可得出答案；
（2）设生物老师还需再购买洋葱m斤，这样根据题意列出一元一次不等式，解不等式即可得出答案．
（1）解：设上周生物老师购买洋葱的单价为元斤，则本周所买洋葱的单价为元斤，
根据题意可列方程：，
解得，
经检验：是原方程的根且符合题意．
答：上周生物老师购买洋葱的单价为0.5元斤；
（2）解：设生物老师还需再购买洋葱斤，
则有，
解得，
答：生物老师至少要再购买26斤洋葱．
44．“云健身”火了，也带动了小型居家健身器材的热销，某网店A，B两种健身器材的销量最高．已知售出2件A种健身器材和3件B种健身器材所得利润为700元，售出每件A种健身器材的利润是每件B种健身器材利润的2倍．
（1）求每件A种健身器材的利润？
（2）由于需求量大，A，B两种健身器材很快售完，该店决定再一次购进A，B两种健身器材共80件．如果将这80件健身器材全部售完后所得利润不低于10000元，那么该店至少需购进多少件A种健身器材？
【答案】（1）解：设每件B种健身器材的利润为x元，则每件A种健身器材的利润为2x元，由题意得，
解得，
∴，
答：每件A种健身器材的利润为200元；
（2）解：设购进m件A种健身器材，则购进件B种健身器材，由题意得，
解得，
∵m为整数，
∴m的最小值为20.
答：该店至少需购进20件A种健身器材．
【解析】【分析】（1）设售出每件A种健身器材所得利润为x元，得出关于x的一元一次方程，求得方程的解，即可得到答案；
（2）设购进m件A种健身器材，则购进件B种健身器材，根据总利润售出每件商品的利润销售数量结合总利润不低于元，得出关于m的一元一次不等式，取其中的最小整数值，即可得出结论．
45．如图，平行四边形的面积为12，．点在边上（点与点不重合），连接，作点关于直线的对称点，连接．
（1）的长度　 　．
（2）点到直线的距离是　 　．
（3）设点到直线的距离为，求的最小值．
（4）当点落在平行四边形的边上时，直接写出的长度．
【答案】（1）3
（2）2
（3）点关于直线的对称点，
，即点在以为圆心，为半径的，
过点作于点交于点，
此时，为点到直线的距离的最小值，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
的最小值为1
（4）由（3）知，
，
点不可能落在边上，
由于点与点不重合，点也不可能落在边上，
当点落在边上时，如图3，
点关于直线的对称点，
，
由（1）得：，
；
当点落在边上时，
如图4，设交于点，
点关于直线的对称点，
，
四边形是平行四边形，
，
，
在和中，
，
，
综上所述，的长为或3
【解析】【解答】解：（1）根据折叠性质可得：，
故答案为：3；
（2）如图1，过点作于点，
，
故答案为：2；
【分析】（1）由折叠的性质直接得出结果；
（2）过点作于点，利用平行四边形面积公式求AB边上的高，根据点到直线的距离的定义即可得出结果；
（3）由点关于直线的对称点，可得，过点作于点，交于点，此时，为点到直线的距离的最小值，利用平行四边形面积求得，即可求得答案；
（4）分两种情况：点落在边上时，或点落在边上，分别利用轴对称的性质、平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质求解即可；
46．如图，，一点E、F分别在直线、上，点O在直线、之间，．
（1）求的值；
（2）如图2，直线交、的角平分线分别于点M、N，求的值；
（3）如图3，在内，，在内，．直线交、分别于点、．若，求n的值．
【答案】（1）解：过点O作，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
（2）解：过点M作，过点N作，
∵平分，平分，
设，，
∵，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，，，
∴；
（3）解：如图，设直线与交于点H，与交于点K，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，即，
∵，在内，，
∴，，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
解得，．
【解析】【分析】本题考查平行线的性质、角平分线的定义和性质、三角形外角的性质．
（1）过点O作，根据平行线的性质可推出，，利用角的运算可得，再根据两直线平行同旁内角互补，可推出，利用角的运算可求出答案；
（2）过点M作，过点N作，由角平分线的定义可设，，根据，可求出，利用角的运算可得，代入数据可求出答案；
（3）设直线与交于点H，与交于点K，根据平行线的性质和三角形外角的性质可得，利用等量代换可得：，再利用角的运算可得，据此可列出关于n的方程，解方程可求出n的值．
47．问题背景
如图1，在正方形ABCD的内部，作∠DAE=∠ABF=∠BCG=∠CDH，根据三角形全等的条件，易得△DAE≌△ABF≌△BCG≌△CDH，从而得到四边形EFGH是正方形。
类比研究
如图2，在正△ABC的内部，作∠BAD=∠CBE=∠ACF，AD，BE，CF两两相交于D，E，F三点（D，E，F三点不重合）。
（1）△ABD，△BCE，△CAF是否全等？如果是，请选择其中一对进行证明；
（2）△DEF是否为正三角形？请说明理由；
（3）进一步探究发现，△ABD的三边存在一定的等量关系，设 ， ， ，请探索 ， ， 满足的等量关系。
【答案】（1）△ABD≌△BCE≌△CAF.
证明： ∵正△ABC中，
∴∠CAB=∠ABC=∠BCA=60°，AB=BC，
∵∠ABD=∠ABC-∠2，∠BCE=∠ACB-∠3，又∠2=∠3
∴∠ABD=∠BCE，
又∵∠1=∠2，
∴△ABD≌△BCE（ASA）.
（2）△DEF是正三角形.
证明：∵△ABD≌△BCE≌△CAF，
∴∠ADB=∠BEC=∠CFA，
∴∠FDE=∠DEF=∠EFD，
∴△DEF是正三角形.
（3）解：作AG⊥BD，交BD延长线于点G.
由△DEF是正三角形得到∠ADG=60°（或者∠ADG=∠1+∠ABD=∠2+∠ABD=60°.）
∴在Rt△ADG中，DG=b，AG=b.
∴在Rt△ABG中，c2=+，
∴c2=a2+ab+b2
【解析】【分析】（1）由正△AB得出∠CAB=∠ABC=∠BCA=60°，AB=BC，再通过等量代换得出∠1=∠2，从而得出△ABD≌△BCE（ASA）.
（2）由（1）中△ABD≌△BCE≌△CAF，得出∠ADB=∠BEC=∠CFA，∠FDE=∠DEF=∠EFD，从而得出△DEF是正三角形.
（3）作AG⊥BD，交BD延长线于点G.由△DEF是正三角形得到∠ADG=60°（或者∠ADG=∠1+∠ABD=∠2+∠ABD=60°.）从而在Rt△ADG中，
DG=b，AG=b；在Rt△ABG中，c2=+，最后得出c2=a2+ab+b2
48．如图，，平分，点，，分别是射线，，上的点都不与点重合，交于点设．
（1）如图，当时，
求的度数；
若，求的值．
（2）如图，若，是否存在的值，使得中有两个角相等若存在，直接写出的值；若不存在，说明理由．
【答案】（1）解：平分，，
，
，
；
，
，
，
，
，即；
（2）平分，，
，
，
，
，
当时，如图，
则，
，
，即；
当时，如图，
则，
，即；
当，且点在线段上，如图，
，
，；
当，且点在射线上，如图，
，即，
，
，即．
综上，的值为或或或．
【解析】【分析】（1）①利用角平分线的定义可得，再利用平行线的性质可得；
②利用平行线的性质可得，再利用三角形的内角和求出，即可得到的值；
（2）分类讨论：①当时，②当时，③当且点在射线上，④当，且点在射线上，再分别画出图形并利用角的运算求解即可.
49．已知直线，点E和点F分别在直线和上．
（1）如图1，射线平分交于点G，若，求的度数；
（2）如图2，射线平分，点M是射线上一点（不包括端点F），点N为的平分线上一点（不包括端点E），连结，，延长交射线于点H，猜想与的关系，并说明理由；
（3）在（1）的条件下，若绕点G以每秒转动的速度逆时针旋转一周，同时绕点F以每秒转动的速度逆时针旋转，设转动时间为t秒，当转动结束时也随即停止转动，在整个转动过程中，当和互相平行时，请直接写出此时t的值．
【答案】（1）解：，，
．
平分，
．
，
．
（2）解：，理由如下：
过点H作，
，
，
．
，
．
，
．
平分，平分，
，；
，
，
．
．
（3）解：由（1）知，，
．
如备用图1，当与共线前，
，
，
，
解得；
如备用图2，当与共线后，
，
，
，
解得；
综上可知，t的值为13或58．
【解析】【分析】（1）先根据平行线的性质求得，再根据角平分线的性质求得，最后再利用平行线的性质即可求解；
（2），过点H作， 可得，根据平行线的传递性可得，利用平行线的性质结合在已知条件可得，再利用角平分线的性质得到，，最后利用平行线的性质以及等量代换即可求解；
（3）根据（1）知，， 可求得，分两种情况进行讨论：当与共线前， 利用平行线的性质得到，进而得到关于t的一元一次方程，解方程即可求解；当与共线后， 利用平行线的性质得到，进而得到关于t的一元一次方程，解方程即可求解；综合从而求解.
50．设一次函数y=kx+b-3（k，b是常数，且k≠0）。
（1）若该函数的图象过点（（-1，2），试判断点P（4，5k+2）是否也在此函数的图象上，并说明理由。
（2）已知点A（a，y1）和点都在该一次函数的图象上，求k的值。
（3）若k+b<0，点Q（5，m）（m>0）在该一次函数图象上，求证：
【答案】（1）解：∵函数图象过点(-1，2)，
把点( 1，2)代入y=kx+b-3可得：
2=-k+b-3，
解得b=k+5。
当x=4时，
y=4k+b-3=4k+(k+5)-3=5k+2，
与点P的纵坐标一致，所以点P在函数图象上。
（2）解：∵点A(a，y1)、B(a-2，y1+2)在函数图象上，
∴y1=ak+b-3①，y1+2=(a-2)k+b-3②。
用②式减去①式可得：2=-2k，
解得k=-1。
（3）解：∵k+b<0，
∴b<-k；
又∵点Q(5，m)在函数上且m>0，
∴m=5k+b-3>0，
即b>3-5k。
∴3-5k即3-5k<-k，
3<4k，
解得k>。
【解析】【分析】（1）先将已知点( 1，2)代入函数y=kx+b 3，求出b关于k的表达式，进而得到完整的函数表达式，再将点P的横坐标代入函数表达式，看得到的纵坐标是否与点P的纵坐标相等；
（2）因为点A(a，y1)和点B(a 2，y1+2)都在函数图象上，将这两点分别代入函数表达式，得到两个关于a、y1、k、b的等式，然后通过两式相减消去a、y1、b，从而求出k的值；
（3）先根据点Q(5，m)在函数图象上得到m关于k、b的表达式，再结合0m>0得到b关于k的一个不等式；然后由k+b<0得到b关于k的另一个不等式；最后通过这两个不等式得到关于k的不等式，进而求出k的取值范围。
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