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北师大版2025—2026学年八年级下册期末模拟名师优题卷
数 学
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．今有绫、罗共三丈，各值钱八百九十六文。只云绫、罗各一尺共值钱一百二十文，问绫、罗尺价各几何？（选自《四元玉鉴》）题目大意：现在有绫和罗一共3丈（1丈=10尺），它们各自的价值都是896文钱。已知绫和罗各1尺总共值120文钱，问绫和罗每尺的价值各多少钱？设绫布有x尺，根据题意可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
2． 若分式的值等于0，则x的值为（　　）
A．﹣1 B．0 C．1 D．±1
3．关于x的不等式（a-3）x＞a-3的解集是x＞1，则a的取值范围是（　　）
A．a＞3 B．a＜3 C．a＞1 D．a＜1
4．已知一个等腰三角形两内角的度数之比为：，则这个等腰三角形的底角的度数为（　　）
A． B．或 C． D．或
5．如图，平分平分，则的度数用含的式子表示为（　　）
A． B． C． D．
6．下列命题中，是真命题的是（　　）
A．对应角相等的两个三角形是全等三角形．
B．三个内角之比为3：4：5的三角形是直角三角形．
C．平面直角坐标系中，点的横坐标是点到x轴的距离．
D．角平分线上的点到角两边的距离相等．
7．如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形与正方形．连接，相交于点O、与相交于点P．若，则的值是（　　）
A． B． C． D．
8．如图，锐角中，D、E分别是、边上的点，，，且，、交于点F．若，则的大小是（　　）
A． B． C． D．
9．如图，在正方形方格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，点，，，，均在小正方形方格的顶点上，线段，交于点，若，则等于（　　）
A． B． C． D．
10．对于二次三项式（为常数），以下结论：
①当，且，则；
②当时，则；
③当的值恒为正数时，则；
④当，且，其中p、q为整数，则a的值有6种可能．
其中正确的是（　　）
A．①②③④ B．①③④ C．①②④ D．②③④
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图，将含有30°的直角三角板ABC绕点B按顺时针转动一个角度到A1BC1的位置，使得点A、B、C1在同一条直线上，那么转动的这个角度等于　 　

12．若实数a使关于x的不等式组，有且仅有三个整数解，且使关于y的分式方程的解为正数，则所有满足条件的整数a的值之和为　 　．
13．人类使用密码的历史悠久，利用因式分解可以生成密码：先将确定的多项式分解因式，再对因式赋值生成正整数或0的因式码，将因式码按从小到大的顺序排列就可以形成密码．例如：多项式，将其分解因式为．若取， ，则有， ，，其中12，17，13分别为因式码，将这三个因式码按从小到大的顺序排列就形成密码：．已知多项式，若生成的六位数密码中含有最小的两位数，写出一组符合条件的、的值　 　．
14．如图，在中，按以下步骤作图：①分别以点B和C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点E和F；②作直线交于点P．若，，．则的长为 　 　．
15．如图，在△ABC中，以点A为圆心，AC的长为半径作弧交BC于点D，再分别以点B和点D为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧分别交于点M和点N，连结MN交AB于点E，若AB=18， AC=10， 则△ADE的周长为　 　.
16．如图，矩形两边与坐标轴正半轴重合，是边上的一个动点，是经过，两点的直线上的一个动点，则的最小值是　 　．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．已知方程组的解x为非正数，y为负数.
（1）求a的取值范围；
（2）在a的取值范围中，求当a为何整数时，不等式的解为？
18．如图，在四边形ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点。
（1）若AB=6，CD=8，∠ABD=30°，∠BDC=120°，求EF的长。
（2）若∠BDC-∠ABD=90°，求证：
19．已知关于x的分式方程
（1）已知m=4，求方程的解；
（2）若该分式方程无解，试求m的值．
20．观察下列各式：；；，不难发现规律：比任意一个偶数大3的数与此偶数的平方差能被3整除．
（1）的结果是3的　 　倍；
（2）设偶数为，请证明：比大5的数与的平方差能被5整除．
21．如图，在中，，平分，交于点F．
（1）若，，求的度数；
（2）在（1）的条件下，判断与是否垂直，并说明理由；
（3）直接写出当与满足怎样的数量关系时，．
22．国家发改委、工业和信息化部、财政部公布了“节能产品惠民工程”，某公交公司积极响应将旧车换成节能环保公交车，已知购买A型和B型两种环保型公交车每辆的价格及每辆预计在某线路的年载客量如表：
A型 B型
价格（万元/台） x y
年载客量/万人次 60 100
若购买A型环保公交车2辆，B型环保公交车3辆，共需650万元；若购买A型环保公交车3辆，B型环保公交车2辆，共需600万元．
（1）求x、y的值；
（2）如果该公司计划购买A型和B型环保公交车共10辆，且总费用不超过1250万元，且确保这10辆公交车在该线路的年载客量总和不少于680万人次，问有哪几种购买方案？
（3）在（2）的条件下，哪种方案使得购车总费用最少？最少费用是多少万元？
23．如图1，点为直线上一点，过点作射线，使．将一直角三角板的直角顶点放在点处，一边在射线上，另一边在直线的下方．
（1）将图1中的三角板绕点处逆时针旋转至图2，使一边在的内部．且恰好平分，求的度数；
（2）对于图2，延长线段得到射线，如图3，判断是否平分，请说明理由．
（3）将图1中的三角板绕点按每秒的速度沿顺时针方向旋转一周，如图4，在旋转的过程中，第秒时，直线恰好平分锐角，则的值为______．（直接写出答案）
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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北师大版2025—2026学年八年级下册期末模拟名师优题卷
数 学
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．今有绫、罗共三丈，各值钱八百九十六文。只云绫、罗各一尺共值钱一百二十文，问绫、罗尺价各几何？（选自《四元玉鉴》）题目大意：现在有绫和罗一共3丈（1丈=10尺），它们各自的价值都是896文钱。已知绫和罗各1尺总共值120文钱，问绫和罗每尺的价值各多少钱？设绫布有x尺，根据题意可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解： 设绫布有x尺，则罗（30-x）尺，
根据题意，得：.
故答案为：C.
【分析】 设绫布有x尺，则罗（30-x）尺，根据绫和罗各1尺总共值120文钱，即可得出方程。
2． 若分式的值等于0，则x的值为（　　）
A．﹣1 B．0 C．1 D．±1
【答案】A
【解析】【解答】解：若，则有，解得x=-1.
故答案为：A.
【分析】分式的值为0，要求分子为0的同时分母不为0.
3．关于x的不等式（a-3）x＞a-3的解集是x＞1，则a的取值范围是（　　）
A．a＞3 B．a＜3 C．a＞1 D．a＜1
【答案】A
【解析】【解答】解：根据不等式的性质2：不等式两边同时乘或除同一个正数，不等号方向不变，故结合题意，系数化为1后，不等号方向不变，所以：a-3>0，解得a>3，
故答案为：A.
【分析】本题考查了不等式的性质2，不等式两边同时乘或除同一个正数，不等方向不变，结合题意，不等向方向没有发生变化，故知a-3>0，解之即可.
4．已知一个等腰三角形两内角的度数之比为：，则这个等腰三角形的底角的度数为（　　）
A． B．或 C． D．或
【答案】D
【解析】【解答】解：①当底角与顶角的比为：时
设底角为x，顶角为4x
∴x+x+4x=180°，解得：x=30°
则底角为30°
②当顶角与底角的比为：时
设顶角为x，底角为4x
∴x+4x+4x=180°，解得：x=20°
则底角为：4x=80°
故答案为：D
【分析】根据等腰三角形的性质分情况讨论，结合三角形内角和定理即可秋促答案.
5．如图，平分平分，则的度数用含的式子表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：过H作过E作如图所示：
平分平分
故答案为：B
【分析】如图，过H作过E作根据“平分平分”可得，再根据平行线的性质及三角形外角和公式可得，进而求得即可求解。
6．下列命题中，是真命题的是（　　）
A．对应角相等的两个三角形是全等三角形．
B．三个内角之比为3：4：5的三角形是直角三角形．
C．平面直角坐标系中，点的横坐标是点到x轴的距离．
D．角平分线上的点到角两边的距离相等．
【答案】D
【解析】【解答】解：A、能完全重合的两个三角形是全等三角形，故对应角相等的两个三角形不一定是全等三角形，本选项错误，是假命题，不符合题意；
B、设三个内角分别为3x、4x、5x，则3x+4x+5x=180°，解得x=15°，
则三个内角分别为：45°、60°、75°，
∴三个内角之比为3：4：5的三角形不是直角三角形，本选项错误，是假命题，不符合题意；
C、平面直角坐标系中，点的横坐标的绝对值是点到y轴的距离，本选项错误，是假命题，不符合题意；
D、角平分线上的点到角两边的距离相等，本选项正确，是真命题，符合题意.
故答案为：D．
【分析】根据“能完全重合的两个三角形是全等三角形”可判断A选项；根据三角形的内角和定理算出三角形三个内角得度数，进而根据直角三角形的定义可判断B选项；平面直角坐标系中，点的横坐标的绝对值是点到y轴的距离，点的纵坐标的绝对值是点到x轴的距离，据此可判断C选项；根据角平分线的性质定理“角平分线上的点到角两边的距离相等”可判断D选项.
7．如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形与正方形．连接，相交于点O、与相交于点P．若，则的值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：四边形、为正方形，
，，，，
，，
，
，
，
又，
，
，
，，
，
，
，，
，
，
故答案为：C．
【分析】根据等腰直角三角形可得出，，，，，即可得到，利用得到，即可得到，再根据勾股定理得到解题即可．
8．如图，锐角中，D、E分别是、边上的点，，，且，、交于点F．若，则的大小是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：设，，
∵，，
∴，，，，
∵是的一个外角，是的一个外角，
∴，，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：C．
【分析】设，，利用全等三角形的性质可表示出∠ACD、∠ABE的度数，利用三角形外角的定义及性质结合平行线的性质可得，，从而可求出∠ABE+∠ACD的度数，再利用三角形内角和定理可求出∠BFC的度数.
9．如图，在正方形方格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，点，，，，均在小正方形方格的顶点上，线段，交于点，若，则等于（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：如图，
由图可知：，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：B．
【分析】本题结合图形，利用SAS证明，然后利用全等三角形性质得到，接着利用“两直线平行、内错角相等”得出，然后根据三角形外角的性质列式计算即可逐步推出答案。
10．对于二次三项式（为常数），以下结论：
①当，且，则；
②当时，则；
③当的值恒为正数时，则；
④当，且，其中p、q为整数，则a的值有6种可能．
其中正确的是（　　）
A．①②③④ B．①③④ C．①②④ D．②③④
【答案】A
【解析】【解答】解：①当，，
则，
则，
故①正确，符合题意；
②当，
则，
∴，
∴，
故②正确，符合题意；
③，
∵
则当的值恒为正数时，即可，
∴，
故③正确，符合题意；
④当，且，
则，
∴，，
∵p、q为整数，
∴p、q的值可为或或或或或
∴或或8或或7或，
故④正确，
∴正确的有①②③④，
故选：A．
【分析】根据完全平方公式把代入计算求出m的值即可判断①；根据题意得到关于n和b的方程组， 则，即可判断②；利用完全平方公式计算得到原式为，则当的值恒为正数时，即可，即可判断③；根据题意计算并结合p、q为整数，得到p和q的取值情况，进而即可判断④.
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图，将含有30°的直角三角板ABC绕点B按顺时针转动一个角度到A1BC1的位置，使得点A、B、C1在同一条直线上，那么转动的这个角度等于　 　

【答案】120°
【解析】【解答】解：根据题意可得：∠ABC=∠A1BC1=60°，
∴∠A1BA=180°-∠A1BC1=180°-60°=120°，
故答案为：120°.
【分析】利用旋转的性质可得∠ABC=∠A1BC1=60°，再利用平角的定义列出算式求出∠A1BA的度数即可.
12．若实数a使关于x的不等式组，有且仅有三个整数解，且使关于y的分式方程的解为正数，则所有满足条件的整数a的值之和为　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：解不等式组，
得，
∵该方程组有且仅有三个整数解，
∴，解得；
解分式方程得，
∵该分式方程的解为正数，且，
∴，且，解得且
∴且，
∵a为整数，
∴a的值为，，，，
∴所有满足条件的整数a的值之和为，
故答案为：．
【分析】先解不等式组的解集，再根据已知不等式组的解有且仅有三个整数解可得关于a的不等式组，解之可得a的取值范围；解分式方程并结合分式方程的解为正数且分式有意义的条件“分母≠0”可得关于a的不等式，解之求出a的范围，结合a的范围可求解.
13．人类使用密码的历史悠久，利用因式分解可以生成密码：先将确定的多项式分解因式，再对因式赋值生成正整数或0的因式码，将因式码按从小到大的顺序排列就可以形成密码．例如：多项式，将其分解因式为．若取， ，则有， ，，其中12，17，13分别为因式码，将这三个因式码按从小到大的顺序排列就形成密码：．已知多项式，若生成的六位数密码中含有最小的两位数，写出一组符合条件的、的值　 　．
【答案】x=12，y=10（答案不唯一）
【解析】【解答】
解：=y(x2+x-6)=y(x+3)(x-2)
∴因式码为y，x+3，x-2
取x=12，y=10，则因式码为10，10，15 按从小到大的顺序排列就形成密码 为101015
生成的六位数密码中含有最小的两位数为10，
因而x=12，y=10，符合条件
故答案为：x=12，y=10，答案不唯一
【分析】先提公因式将多项式因式分解，然后再十字相乘法分解，最后得到因式码y，x+3，x-2再取符合条件的值，解答即可.
14．如图，在中，按以下步骤作图：①分别以点B和C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点E和F；②作直线交于点P．若，，．则的长为 　 　．
【答案】7
【解析】【解答】解：根据题意作出图象，如图所示：
根据题意可得：EF是线段BC的垂直平分线，
∴PC=PB，
∴∠B=∠PCB=45°，
∴∠APC=∠B+∠PCB=45°+45°=90°，
∴，
∴PB=PC=4，
∴AB=AP+PB=3+4=7，
故答案为：7.
【分析】先利用勾股定理求出PC的长，再利用垂直平分线的性质可得PB=PC=4，再利用线段的和差求出AB的长即可.
15．如图，在△ABC中，以点A为圆心，AC的长为半径作弧交BC于点D，再分别以点B和点D为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧分别交于点M和点N，连结MN交AB于点E，若AB=18， AC=10， 则△ADE的周长为　 　.
【答案】28
【解析】【解答】解：∵以点A为圆心，的长为半径作弧交于点D，
∴，
∵以点B和点D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别交于点M和点N，
∴为的垂直平分线，
∴，
∵，
∴，
∴的周长为．
故答案为：28 ．
【分析】根据作法可得，为的垂直平分线，即可得到，再根据三角形的周长求解即可．
16．如图，矩形两边与坐标轴正半轴重合，是边上的一个动点，是经过，两点的直线上的一个动点，则的最小值是　 　．
【答案】8
【解析】【解答】解：∵ 直线经过A、C两点
∴ A（2，0）C（）
∴ OA=2，OC=
∴ AC=
∴ ∠OAC=60°， ∠OCA=30°
如图所示，过点P作PK⊥OC于K
∴ PK=
∴
∵ PQ+PK最小值为点P、Q、K三点共线时平行线AB与OC之间的距离OA长
∴
即的最小值是8
【分析】本题考查线段和的最小值、矩形的性质，函数与坐标轴的交点坐标问题。求出函数与坐标轴的交点坐标，可得到特殊角度，线段的倍数关系，通过提取系数，可找到角度与线段的关系，转化成三点共线，化曲为直，再转化成平行线间的距离，即可求出线段和的最小值。遇到求和线段的最小值，如果线段前系数为1，则考虑对称，化曲为直，如果线段前系数不是1，则考虑含有有特殊角度的直角三角形，线段替换，化曲为直，求最小值。
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．已知方程组的解x为非正数，y为负数.
（1）求a的取值范围；
（2）在a的取值范围中，求当a为何整数时，不等式的解为？
【答案】（1）解：解方程组得，
由于x为非正数，y为负数，
可列不等式组，
解得-2（2）解：将不等式合并同类项得(2a+1)x>2a+1，
∵不等式的解为，
∴2a+1<0，
∴a<.
又∵-2∴-2∴整数a的值为-1，
故当a为-1时，不等式的解为.
【解析】【分析】（1）先解方程组求出x，y，再根据x为非正数，y为负数列出关于a的不等式组，再解该不等式组 求a的取值范围 .
（2）先求解不等式，再结合不等式的解集建立关于a的不等式，解此不等式可得a的取值范围，再结合（1）中a的取值范围确定a的最终取值范围，再根据a为整数求出a值.
18．如图，在四边形ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点。
（1）若AB=6，CD=8，∠ABD=30°，∠BDC=120°，求EF的长。
（2）若∠BDC-∠ABD=90°，求证：
【答案】（1）解：如图，取BD的中点P，连结EP，FP。
∵E，F分别是AD，BC的中点，AB=6，CD=8，
∴PE∥AB，且
PF∥CD且
又∵∠ABD=30°，∠BDC=120°，
∴∠EPD=∠ABD=30°，∠DPF=180°-∠BDC=60°。
∴∠EPF=∠EPD+∠DPF=90°。
在Rt△EPF中，由勾股定理得 即EF=5。
（2）证明：如图，取BD的中点P，连结EP，FP。
∵E，F分别是AD，BC的中点，
∴PE∥AB，且PE= AB，PF∥CD且
∴∠EPD=∠ABD，∠BPF=∠BDC。
∴∠DPF=180°-∠BPF=180°-∠BDC。
∵∠BDC-∠ABD=90°，
∴∠EPF=∠EPD+∠DPF=∠ABD+180°-
【解析】【分析】（1）取BD的中点P，连接EP、PF，根据三角形中位线定理得出 再结合 以及三角形外角的性质推出 是直角三角形，再根据勾股定理即可求解；
（2）取BD的中点P，连结EP，FP，根据三角形的中位线定理得到PE∥AB，且PE= AB，PF∥CD且 ，即可得到∠EPD=∠ABD，∠BPF=∠BDC，然后求出∠EPF=90°，再根据勾股定理解答即可.
19．已知关于x的分式方程
（1）已知m=4，求方程的解；
（2）若该分式方程无解，试求m的值．
【答案】（1）解：分式方程去分母得：2（x＋2）＋mx＝x 1，
整理得：（m＋1）x＝ 5．
当m＝4时，（4＋1）x＝ 5，
解得：x＝ 1
经检验：x＝ 1是原方程的解．
（2）解：分式方程去分母得：2（x＋2）＋mx＝x 1，整理得：（m＋1）x＝ 5．
∴
∵分式方程无解，
∴m＋1＝0或（x＋2）（x 1）＝0，
当m＋1＝0时，m＝ 1；
当（x＋2）（x 1）＝0时，x＝ 2或x＝1．
当x＝ 2时m＝；
当x＝1时m＝ 6，
∴m＝ 1或 6或时该分式方程无解．
【解析】【分析】（1）分式方程去分母转化为整式方程，将m＝2代入计算即可求出x的值；
（2）分式方程去分母转化为整式方程解得，根据分式方程无解，得到据此求出m的值即可.
（1）解：分式方程去分母得：2（x＋2）＋mx＝x 1，
整理得：（m＋1）x＝ 5．
当m＝4时，（4＋1）x＝ 5，
解得：x＝ 1
经检验：x＝ 1是原方程的解．
（2）解：分式方程去分母得：2（x＋2）＋mx＝x 1，
整理得：（m＋1）x＝ 5．
∴
∵分式方程无解，
∴m＋1＝0或（x＋2）（x 1）＝0，
当m＋1＝0时，m＝ 1；
当（x＋2）（x 1）＝0时，x＝ 2或x＝1．
当x＝ 2时m＝；
当x＝1时m＝ 6，
∴m＝ 1或 6或时该分式方程无解．
20．观察下列各式：；；，不难发现规律：比任意一个偶数大3的数与此偶数的平方差能被3整除．
（1）的结果是3的　 　倍；
（2）设偶数为，请证明：比大5的数与的平方差能被5整除．
【答案】（1）19
（2）证明：
，
能被5整除，
能被5整除，
故：比大5的数与的平方差能被5整除．
【解析】【解答】（1）解：由题意得，故答案为：；
【分析】
（1）展开得 57 是 3 的19倍，利用平方差公式a2 b2=(a+b)(a b)，这里a=8+3，b=8，代入直接可以看出，结果是 3 的 19 倍。
（2）偶数为2n，比它大 5 的数就是2n+5；题目要我们证明的，就是(2n+5)2 (2n)2能被 5 整除。对式子应用平方差公式这里a=2n+5，b=2n，所以原式可以化简为：（4n+5)×5=5(4n+5)我们得到的结果是5(4n+5)，这个式子是 5 和(4n+5)的乘积。因为n是整数，所以4n+5也是整数，因此5(4n+5)一定是 5 的倍数，能被 5 整除。由此证明：比2n大 5 的数与2n的平方差能被 5 整除。
（1）解：由题意得
，
故答案为：；
（2）证明：
，
能被5整除，
能被5整除，
故：比大5的数与的平方差能被5整除．
21．如图，在中，，平分，交于点F．
（1）若，，求的度数；
（2）在（1）的条件下，判断与是否垂直，并说明理由；
（3）直接写出当与满足怎样的数量关系时，．
【答案】（1）解：（1）∵，，
∴，
∵，∴.
（2）解：（2）与不垂直，理由如下：∵，∴，
∵平分，∴，
∴，
∴与不垂直.
（3）解：（3），理由如下：
∵，∴，，
∵平分，∴，
要使，即使，
∴，
∵，
∴，
化简得：．
【解析】【分析】（1）求出，再利用平行线性质即可求解；
（2）利用平行求出，利用角平分线求出，利用内角和求出，判断即可；
（3）利用平行求出，，利用角平分线求出，利用及，列式即可，其中熟练掌握这些定义和性质是解题的关键．
（1）解：∵，，
∴，
∵，
∴；
（2）解：与不垂直，理由如下：
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴与不垂直；
（3）解：，理由如下：
∵，
∴，，
∵平分，
∴，
要使，
即使，
∴，
∵，
∴，
化简得：．
22．国家发改委、工业和信息化部、财政部公布了“节能产品惠民工程”，某公交公司积极响应将旧车换成节能环保公交车，已知购买A型和B型两种环保型公交车每辆的价格及每辆预计在某线路的年载客量如表：
A型 B型
价格（万元/台） x y
年载客量/万人次 60 100
若购买A型环保公交车2辆，B型环保公交车3辆，共需650万元；若购买A型环保公交车3辆，B型环保公交车2辆，共需600万元．
（1）求x、y的值；
（2）如果该公司计划购买A型和B型环保公交车共10辆，且总费用不超过1250万元，且确保这10辆公交车在该线路的年载客量总和不少于680万人次，问有哪几种购买方案？
（3）在（2）的条件下，哪种方案使得购车总费用最少？最少费用是多少万元？
【答案】（1）解：由题意，得，
解得；
（2）解：设购买A型环保公交车m辆，则购买B型环保公交车（10﹣m）辆，
由题意，得，
解得5≤m≤8，
∵m为整数，
∴有四种购车方案
方案一：购买A型公交车5辆，购买B型公交车5辆；
方案二：购买A型公交车6辆，购买B型公交车4辆；
方案三：购买A型公交车7辆，购买B型公交车3辆；
方案四：购买A型公交车8辆，购买B型公交车2辆．
（3）解：设购车总费用为w万元
则w＝100m+150（10﹣m）＝﹣50m+1500，
∵5≤m≤8且m为整数，
∴当m＝5，6，7，8时，w分别1250，1200，1150，1100
∴m＝8时，w最小＝1100，
∴购车总费用最少的方案是购买A型公交车8辆，购买B型公交车2辆，购车总费用为1100万元．
【解析】【分析】（1）基本关系：金额=价格×数量，根据题意列二元一次方程组求解即可；
（2）设购买A型环保公交车m辆，则购买B型环保公交车（10-m)辆，根据题意列一元一次不等式组，即可求解；
（3）设购车总费用为w万元，根据总费用的数量关系建立w关于m的函数，再根据一次函数的性质求解即可．
23．如图1，点为直线上一点，过点作射线，使．将一直角三角板的直角顶点放在点处，一边在射线上，另一边在直线的下方．
（1）将图1中的三角板绕点处逆时针旋转至图2，使一边在的内部．且恰好平分，求的度数；
（2）对于图2，延长线段得到射线，如图3，判断是否平分，请说明理由．
（3）将图1中的三角板绕点按每秒的速度沿顺时针方向旋转一周，如图4，在旋转的过程中，第秒时，直线恰好平分锐角，则的值为______．（直接写出答案）
【答案】（1）解：，
，
平分，
，
，
，
的度数为．
（2）解：平分，理由如下：
延长线段得到射线，，
，
由（1）中的结论得，，
，
又，
，
，
平分．
（3）12或30
【解析】【解答】（3）解：①当射线平分锐角时，此时，
则三角板从图1中的位置旋转至此时的角度为，
速度为每秒，
；
②当射线的反向延长线平分锐角时，
则三角板从图1中的位置旋转至此时的角度为，
速度为每秒，
；
综上所述，的值为12或30．
故答案为：12或30．
【分析】（1）先求出∠BOC的度数，再利用角平分线的定义求出∠COM的度数，再结合∠MON的度数，最后求出∠CON的度数即可；
（2）利用角的运算方法直接求出和的度数，再判断即可；
（3）分类讨论：①当射线平分锐角时，②当射线的反向延长线平分锐角时，先分别画出图形，再利用角的运算求解即可.
（1）解：，
，
平分，
，
，
，
的度数为．
（2）解：平分，理由如下：
延长线段得到射线，，
，
由（1）中的结论得，，
，
又，
，
，
平分．
（3）解：①当射线平分锐角时，此时，
则三角板从图1中的位置旋转至此时的角度为，
速度为每秒，
；
②当射线的反向延长线平分锐角时，
则三角板从图1中的位置旋转至此时的角度为，
速度为每秒，
；
综上所述，的值为12或30．
故答案为：12或30．
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