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【决战期末·50道解答题专练】浙教版数学七年级下册期末总复习
1．如图为一座房屋屋顶梁架结构剖面示意图，∠ABC=34° 要使横梁DE与BC平行，则∠ADE应为多少度
2．已知：如图，直线AB，CD与直线BF分别相交于点M和N，MP平分 ，NQ平分 ，若 ，请对 说明理由.
3．如图，已知AM∥BN，∠A＝64°．点P是射线AM上一动点（与点A不重合），BC、BD分别平分∠ABP和∠PBN，分别交射线AM于点C，D．
（1）∠ABN的度数是_____，∠CBD的度数是_______；
（2）当点P运动时，∠APB与∠ADB之间的数量关系是否随之发生变化？若不变化，请写出它们之间的关系，并说明理由：若变化，请写出变化规律；
（3）当点P运动到使∠ACB＝∠ABD时，∠ABC的度数是多少？
4．潜望镜是指从海面下伸出海面或从低洼坑道伸出地面，用以窥探海面或地面上活动的装置．其构造与普通地上望远镜相同，另加两个反射镜使从摄入潜望镜的光线经两次反射而折向眼中．潜望镜常用于潜水艇、坑道和坦克内用以观察敌情．如图，进入潜望镜的光线和离开潜望镜的光线是平行的，光线经过镜子反射时，∠1＝∠2，∠3＝∠4，请猜想潜望镜中两面镜子的位置关系，并说明理由．
5．乘法公式的探究及应用：数学活动课上，老师准备了若干个如图的三种纸片：种纸片是边长为的正方形，种纸片是边长为的正方形，种纸片是长为、宽为的长方形并用种纸片一张，种纸片一张，种纸片两张拼成如图的大正方形．
（1）观察图，请你写出三个代数式，，之间的数量关系：　 　；
（2）根据题中的等量关系，解决如下问题：
已知，，求的值；
已知，求的值．
6．如图，已知AB∥CD，∠1=50°，∠2=110°，求∠3的度数.
7．如图，某校的饮水机有温水、开水两个按钮，温水和开水共用一个出水口．利用图中信息解决下列问题：
物理常识开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于温水吸收的热量，可以转化为“开水的体积×开水降低的温度=温水的体积×温水升高的温度”．
（1）王老师拿空水杯先接了的温水，又接了的开水，刚好接满，且水杯中的水温为．①王老师的水杯容量为________；
②若不计热损失，请求此时的值；
（2）嘉琪同学拿空水杯先接了一会儿温水，又接了一会儿开水，得到一杯体积为，温度为的水（不计热损失），求嘉琪同学接温水和开水的时间分别为多少？
8．已知实数a的算术平方根是，1的立方根是b，解关于x的方程．
9．如图，长为，宽为的大长方形被分割成小块，除阴影，外，其余块是形状、大小完全相同的小长方形其较短一边长为．
（1）从图中可知，这块完全相同的小长方形中，每块小长方形较长边的长是　 　用含的代数式表示．
（2）分别计算阴影，的周长用含，的代数式表示．
（3）阴影与阴影的周长差会不会随着的变化而变化？请说明理由．
10．如图，已知，试探究AB与EF的位置关系，并说明理由.
11．如图， ，BC 平分 ，求 的度数。
12．若分式方程有增根，且方程无解．
（1）方程的增根是　　　　；
（2）求出分式方程中“？”所代表的数．
13． 某校七年级共有150名男生，从中随机抽取30名男生进行“引体向上”测试，下表是测试成绩记录(单位：个)：
3 2 1 2 3 3 5 2 2 4
2 4 2 5 2 3 4 4 1 3
3 2 5 1 4 2 3 1 2 4
（1） 从1个至5个，按不同个数分组，制作频数表.
（2） 观察分析(1)中的频数表，写出两条信息：
①　 　；
②　 　.
（3） 规定七年级男生“引体向上”4个及以上为合格，则该校七年级男生“引体向上”的合格率约为多少
14．已知 ，求 的值.
15．某班级购买小奖品，买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元，则买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需多少元
16．如图，，，，将求的过程填写完整．
解：（______）
______（______）
又，（______）
（______）
______（______）
______（______）
又（______）
______（______）
17．为进一步加快脱贫攻坚步伐，确保到2020年实现国家标准摘帽目标，旺田村准备用120平方公顷的河滩地发展大棚蔬菜，负责承建大棚的工程队为了不耽误农时，工作效率比原计划提高了1.5倍，结果提前20天完工．求工程队原计划每天建多少公顷大棚？
18．已知单项式 与 是同类项，求 的值.
19．A、B两种型号的机器加工同一种零件，已知A型机器比B型机器每小时多加工20个零件，A型机器加工400个零件所用时间与B型机器加工300个零件所用时间相同，求A型机器每小时加工零件的个数．
20．已知为有理数，分别表示的整数部分和小数部分， 且，求2a+b的值．
21．已知：如图， GD∥AC， ∠1+∠2=180°.
（1）判断CD与EF的位置关系，并说明理由；
（2）若DG平分∠CDB， ∠1=140°，求∠EFB的度数.
22．有一批机器零件共400个，若甲先单独做1天，然后甲、乙两人再合做2天，则还有60个未完成；若甲、乙两人合做3天，则可超产20个. 问甲、乙两人每天各做多少个零件？
23．若关于 的分式方程 有正整数解，求整数 的值。
24．已知 ，求 的值．
25．2022年12月26日常益长高铁全线开通，高铁的开通为张家界市民的出行带来了方便．从张家界到长沙，路程约为，某趟动车的平均速度比普通列车快，所需时间比普通列车少1小时，求该趟动车的平均速度．
26．已知： 用 2 辆 型车和 1 辆 型车载满货物一次可运货 13 吨； 用 1 辆 型车和 2 辆 型车载满货物一次可运货 14 吨． 某物流公司现有 45 吨货物， 计划租用 型车 辆， 型车 辆，一次运完 (一种或两种车型都可)， 且恰好每辆车都载满货物． 根据以上信息，解答下列问题：
（1） 1 辆 型车和 1 辆 型车都载满货物，一次可分别运货多少吨？
（2）若 型车每辆需租金 110 元/次， 型车每辆需租金 150 元/次，请选出最省钱的租车方案， 并求出最少租车费．
27．甲、乙两人共同计算一道整式乘法题：（2x＋a）（3x＋b）．甲由于把第一个多项式中的“＋a”看成了“－a”，得到的结果为6x2－5x－6；乙由于漏抄了第二个多项式中x的系数，得到的结果为2x2＋7x＋6．求正确的a，b的值．
28．“绿水青山就是金山银山”，为了创造良好的生态环境，某村承接了60万平方米的荒山绿化任务，由于志愿者的加入，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了20%，结果提前10天完成了这一任务．求原计划每天绿化的面积．
29．在等式中，当x=-1时，y=.4；当x=2时，y=4；当x=1时，y=2.
（1）求a，b，c的值.
（2）当x=-2时，求y的值
30．填空完成下列推理过程
已知：如图，BD⊥AC，EF⊥AC，点D、F分别是垂足，∠1=∠4．
试说明：∠ADG=∠C
解：∵BD⊥AC，EF⊥AC（已知）
∴∠2=90°∠3=90°（垂直的定义）
∴∠2=∠3（等量代换）
∴BD∥EF　 　
∴∠4=∠5（两直线平行同位角相等）
∵∠1=∠4（已知）
∠1=∠5　 　
∴DG∥CB（内错角相等两直线平行）
∴∠ADG=∠C　 　
31．以下是圆圆解分式方程 的解答过程：
解：方程两边都乘 ，得 .
移项，合并同类项，得 .
经检验， 是原方程的解.
圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，写出正确的解答过程.
32．如图，，为上一点，平分，，，求的度数．
33．为了改善生态环境，防止水土流失，某村计划在荒坡上种树480棵，由于青年志愿者支援，实际每天种树的棵数是原计划的1.5倍，结果提前4天完成任务，原计划每天种树多少棵？
34．若 与 的值互为相反数，试求x与y的值．
35．年佛山公里徒步活动，约万市民迎着春光奔跑，用脚步丈量绿美佛山环城线中途设置了个签到点，签到点与起点的距离如下表：
起点 第签 第签 第签 第签 第签 第签 终点
电视塔 升平里 欧C工业园 悦城峯境 绿岛湖 智慧公园 青年公园 世纪莲
求：小明从第签到第签的平均速度是起点到第签的平均速度的倍，且他从第签到第签比起点到第签少用，求的值．
36．如图所示，AB∥CD，OE平分∠AOD，OF⊥OE，∠D＝50°，求∠BOF的度数.
37．两个小组同时开始攀登一座高的山，第二组的攀登速度是第一组的1.5倍，他们比第一组早到达顶峰，设第一组的攀登速度为．
（1）请根据信息填表（用含有x的式子表示）；
山高（m） 攀登速度（） 攀登时间（）
第一组 480 x
第一组 480
（2）根据题意列出关于x的分式方程，并求出两个小组的攀登速度．
38．如图，AB∥CD，试探究∠APC，∠A 与∠C之间的数量关系，并说明理由。
39．如图，已知在三角形ABC中，AD平分∠BAC，∠1=∠2.试说明：
（1）AD∥GE.
（2）∠3=∠G.
40．有三个多项式A、B、C分别为：A= x2+x-1，B= x2+3x+1，C= x2-x，请你对A-2B-C进行化简，并计算当x=-2时代数式A-2B-C的值．
41．如图，三个一样大小的小长方形沿“横-竖-横”排列在一个长为 ，宽为 的大长方形中，求图中一个小长方形的面积.
42． 是三个连续的正偶数， 以 为边长作正方形， 分别以 为长和宽作长方形．
（1）正方形和长方形的周长是否相等？ 请说明理由；
（2）哪个图形的面积大？ 大多少？
43．现有甲、乙两个空调安装队分别为A、B两个公司安装空调，甲安装队为A公司安装66台空调，乙安装队为B公司安装60台空调，甲、乙两队安装空调所用的总时间相同．已知甲队比乙队平均每天多安装2台空调，求甲、乙两个安装队平均每天各安装空调的台数．
44．在某数学课上，小云和小辉在讨论李老师出示的一道利用方程组的解求字母取值范围的问题：已知关于x，y的二元一次方程组，若，求m的取值范围．
小云认为：“可以先解方程组，用含m的式子分别表示x和y，再代入不等式求m的取值范围．”
小辉认为：“直接，可以更简便地求出m的取值范围．”
（1）请同学们按照小云的方法求，　 　，　 　（含m的式子表示）；
（2）李老师说小辉的方法体现了我们数学思想中的“整体代入”思想，值得同学们学习，请同学们根据小辉的思路求出m的取值范围．
45． 小明家承包了一个果园，去年果园收支相抵后，结余12000元.今年水果丰收，估计收入可比去年增加20%，并且今年因为改进了种植技术，支出比去年减少10%，这样今年结余预计比去年多11400元.计算小明家今年种植水果的收入和支出情况.
46． 如图1，已知直线与直线交于点E，与直线交于点F，平分交直线于点M，且．
（1）试判断直线与的位置关系，并说明理由；
（2）点G是射线上的一个动点（不与点M，F重合），平分交直线于点H，过点H作交直线于点N．设．
①如图2，当点G在点F的右侧，且时，求β的值；
②当点G在运动过程中，α和β之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明．
47．若一次整式A，B满足（k，t是常数，），我们称整式A与B“按序关联”，关联系数为k，关联结果为t．
如：对于一次整式，，因为，所以整式与“按序关联”，关联系数为，关联结果为11．
（1）为了进一步探究一次整式A，B“按序关联”的性质，小星制作了以下表格，请你把它补充完整：
整式A 整式B A与B关联系数 关联结果
　
　 　
　 16
（2）请你从小星制作的表格中发现规律，回答下列问题：
已知一次整式A与B“按序关联”，关联系数为k，关联结果为t．
①猜想一次整式B与A“按序关联”的系数及结果，并说明理由；
②猜想一次整式A与nB（常数）“按序关联”的系数及结果；
（3）已知一次整式与关联系数为，关联结果为，A与2B关联系数为，关联结果为．若，，且总存在x的值，使整式A与的值相等，求a，b的取值范围．
48．若关于x，y的二元一次方程组的解满足，则称此方程组为“等解”方程组。
（1）关于x，y的方程组为“等解”方程组，求m的值。
（2）判断关于x，y的二元一次方程组（a，b，c为常数，且）是“等解”方程组吗？并说明理由.
49．已知，直线，点为平面上一点，连接与．
（1）如图，点在直线、之间，当，时，求．
（2）如图，点在直线、之间，与的角平分线相交于点，写出与之间的数量关系，并说明理由．
（3）如图，点落在外，与的角平分线相交于点，与有何数量关系？并说明理由．
50．阅读探索
（1）知识累计
解方程组
解：设a﹣1=x，b+2=y，原方程组可变为
解方程组得： 即
所以
此种解方程组的方法叫换元法．
（2）拓展提高
运用上述方法解下列方程组：
（3）能力运用
已知关于x，y的方程组的解为，直接写出关于m、n的方程组的解为 ．
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【决战期末·50道解答题专练】浙教版数学七年级下册期末总复习
1．如图为一座房屋屋顶梁架结构剖面示意图，∠ABC=34° 要使横梁DE与BC平行，则∠ADE应为多少度
【答案】解：。
理由：若
则．
【解析】【分析】根据两直线平行同位角相等即可求解．
2．已知：如图，直线AB，CD与直线BF分别相交于点M和N，MP平分 ，NQ平分 ，若 ，请对 说明理由.
【答案】解：∵ ，
∴
∴
∴
∵MP平分 ，NQ平分
∴
∴
∴
【解析】【分析】易证AB∥CD，则有∠AMN=∠DNM，进而由角平分线得出∠PMN=∠QNM，由内错角相等两直线平行即可得出结论．
3．如图，已知AM∥BN，∠A＝64°．点P是射线AM上一动点（与点A不重合），BC、BD分别平分∠ABP和∠PBN，分别交射线AM于点C，D．
（1）∠ABN的度数是_____，∠CBD的度数是_______；
（2）当点P运动时，∠APB与∠ADB之间的数量关系是否随之发生变化？若不变化，请写出它们之间的关系，并说明理由：若变化，请写出变化规律；
（3）当点P运动到使∠ACB＝∠ABD时，∠ABC的度数是多少？
【答案】解：（1）116°；58°；
（2）不变，∠APB=2∠ADB，
∵AM//BN，
∴∠APB＝∠PBN，∠ADB＝∠DBN，
∵BD平分∠PBN，
∴∠PBN＝2∠DBN，
∴∠APB=2∠ADB；
（3）∵AM//BN，
∴∠ACB＝∠CBN，
当∠ACB＝∠ABD时，
则有∠CBN＝∠ABD，
∴∠ABC+∠CBD＝∠CBD+∠DBN
∴∠ABC＝∠DBN，
由（1）∠ABN＝116°，
∴∠CBD＝58°，
∴∠ABC+∠DBN＝58°，
∴∠ABC＝29°．
【解析】【解答】解：（1）∵AM//BN，∠A＝64°，
∴∠ABN＝180°﹣∠A＝116°，
∵BC平分∠ABP，BD平分∠PBN，
∴∠ABP＝2∠CBP，∠PBN＝2∠DBP，
∴2∠CBP+2∠DBP＝116°，
∴∠CBD＝∠CBP+∠DBP＝58°；
故答案为：116°；58°.
【分析】（1）利用平行线的性质求出∠ABN＝180°﹣∠A＝116°；再利用角平分线定义及角的运算求出∠CBD＝∠CBP+∠DBP＝58°即可；
（2）先利用平行线的性质可得∠APB＝∠PBN，∠ADB＝∠DBN，再利用角平分线的定义可得∠PBN＝2∠DBN，最后利用等量代换可得∠APB=2∠ADB；
（3）先利用平行线的性质，角的运算和等量代换可得∠ABC＝∠DBN，再结合∠ABN＝116°，求出∠ABC+∠DBN＝58°，最后求出∠ABC＝29°即可．
4．潜望镜是指从海面下伸出海面或从低洼坑道伸出地面，用以窥探海面或地面上活动的装置．其构造与普通地上望远镜相同，另加两个反射镜使从摄入潜望镜的光线经两次反射而折向眼中．潜望镜常用于潜水艇、坑道和坦克内用以观察敌情．如图，进入潜望镜的光线和离开潜望镜的光线是平行的，光线经过镜子反射时，∠1＝∠2，∠3＝∠4，请猜想潜望镜中两面镜子的位置关系，并说明理由．
【答案】解：潜望镜中两面镜子平行．
理由：∵潜进入潜望镜的光线和离开潜望镜的光线是平行的，
∴∠5＝∠6．
∴180°－∠5＝180°－∠6．
即∠1+∠2＝∠3+∠4．
∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∴2∠2＝2∠3．
∴∠2＝∠3．
∴潜望镜中两面镜子平行．
【解析】【分析】利用平行线的判定方法求解即可。
5．乘法公式的探究及应用：数学活动课上，老师准备了若干个如图的三种纸片：种纸片是边长为的正方形，种纸片是边长为的正方形，种纸片是长为、宽为的长方形并用种纸片一张，种纸片一张，种纸片两张拼成如图的大正方形．
（1）观察图，请你写出三个代数式，，之间的数量关系：　 　；
（2）根据题中的等量关系，解决如下问题：
已知，，求的值；
已知，求的值．
【答案】（1）
（2）解：，，，
，
则；
令，，
则，，
，
，
则，
即．
【解析】【解答】解：(1)由图2可知：S大正方形=SA+SB+2SC，
∴(a+b)2=a2+2ab+b2
故答案为：(a+b)2=a2+2ab+b2.
【分析】(1)根据S大正方形=SA+SB+2SC，表示出各正方形和长方形的面积，即可得答案；
(2)①根据(a+b)2=a2+2ab+b2，代入a+b=7，a2+b2=33，求出ab的值即可；
②令2023-a=m，a-2021=n，得出m2+n2=8，m+n=2，根据(m+n)2=m2+2mn+n2，求出mn的值即可.
6．如图，已知AB∥CD，∠1=50°，∠2=110°，求∠3的度数.
【答案】解：如图，过点E向左作EF∥AB，则∠BEF=∠1=50°.∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠FED+∠2=180°.∵∠2=110°，∴∠FED=180°-∠2=70°.∴∠BED=∠BEF+∠FED=50°+70°=120°.∴∠3=180°-∠BED=180°-120°=60°.
【解析】【分析】过点E向左作EF∥AB，结合已知可得出EF∥CD，根据平行线的性质可证得∠BEF=∠1=50°，∠FED+∠2=180°，可求出∠FED、∠BED的度数，然后利用平角的定义可求解。
7．如图，某校的饮水机有温水、开水两个按钮，温水和开水共用一个出水口．利用图中信息解决下列问题：
物理常识开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于温水吸收的热量，可以转化为“开水的体积×开水降低的温度=温水的体积×温水升高的温度”．
（1）王老师拿空水杯先接了的温水，又接了的开水，刚好接满，且水杯中的水温为．①王老师的水杯容量为________；
②若不计热损失，请求此时的值；
（2）嘉琪同学拿空水杯先接了一会儿温水，又接了一会儿开水，得到一杯体积为，温度为的水（不计热损失），求嘉琪同学接温水和开水的时间分别为多少？
【答案】（1）解①400；
②接入水杯的温水吸收的热量为：
，
热水放出的热量为：，
由题意： ，
解得：，
答：王老师的水杯容量为，水温约；
（2）解：设嘉琪接温水的时间为，接开水的时间为，
根据题意得：，
解得：，
∴嘉琪接温水的时间为，接开水的时间为．
【解析】【解答】（1）解：①依题意：
，
∴王老师的水杯容量为．
故答案为：400；
【分析】（1）①根据水量等于水速乘时间及水杯容量等于用时14s接的温水的体积+用时8s接的开水的体积，列式计算即可；
②根据“开水的体积开水降低的温度=温水的体积温水升高的温度” 列出方程，解方程即可；
（2）设嘉琪接温水的时间为xs，接开水的时间为ys，由“水杯容量等于用时xs接的温水得体积+用时ys接的开水得体积”及“开水的体积×开水降低的温度=温水的体积×温水升高的温度”列出二元一次方程组，再解方程即可.
（1）解：①依题意：
，
∴王老师的水杯容量为．
故答案为：
②接入水杯的温水吸收的热量为：
，
热水放出的热量为：，
由题意： ，
解得：，
答：王老师的水杯容量为，水温约；
（2）解：设嘉琪接温水的时间为，接开水的时间为，根据题意得：
，
解得：，
∴嘉琪接温水的时间为，接开水的时间为．
8．已知实数a的算术平方根是，1的立方根是b，解关于x的方程．
【答案】解：∵实数的算术平方根是，
，
1的立方根是b，
，
解关于的方程为，
解得：或．
【解析】【分析】先根据算术平方根和立方根的定义求出a、b的值，再代入方程 求解即可.
9．如图，长为，宽为的大长方形被分割成小块，除阴影，外，其余块是形状、大小完全相同的小长方形其较短一边长为．
（1）从图中可知，这块完全相同的小长方形中，每块小长方形较长边的长是　 　用含的代数式表示．
（2）分别计算阴影，的周长用含，的代数式表示．
（3）阴影与阴影的周长差会不会随着的变化而变化？请说明理由．
【答案】（1）
（2）由图可知，阴影的长为，宽为，
阴影的长为，宽为，
则阴影的周长为，
阴影的周长为；
（3）阴影与阴影的周长差为
，
所以阴影与阴影的周长差不会随着的变化而变化．
【解析】【分析】（1）用大长方形的长减去小长方形的宽的3倍即可得出答案；
（2）先分别求出阴影A，B的长与宽，再根据长方形的周长公式计算即可得A，B的周长；
（3）根据整式的加减法法则计算即可.
10．如图，已知，试探究AB与EF的位置关系，并说明理由.
【答案】解：AB∥EF
理由：∵∠1=∠2，
∴AB∥CD，
∵∠3+∠4=180°，
∴CD∥EF，
∴AB∥EF.
【解析】【分析】根据同位角相等，两直线平行可得AB∥CD，根据同旁内角互补，两直线平行可得CD∥EF，根据平行于同一直线的两直线平行即可得出AB∥EF.
11．如图， ，BC 平分 ，求 的度数。
【答案】解：∵∠CBD=70°，BC平分∠ABD，
∴∠ABC=70°，∠DBE=180°-70°×2=40°，
又∵∠1=70°，
∴∠1=∠ABC，
∴AB∥CD，
∴∠2=∠DBE=40°.
【解析】【分析】依据角平分线的定义，即可得到∠ABC=70°，进而得出∠1=∠ABC，判定AB∥CD，即可得到∠2=∠DBE=40°.
12．若分式方程有增根，且方程无解．
（1）方程的增根是　　　　；
（2）求出分式方程中“？”所代表的数．
【答案】（1）
（2）解：将关于的分式方程的两边都乘以
得：
把代入得，
【解析】解：（1）由分式方程增根的定义可知，这个分式方程的增根即x-2=0，，
故答案为：；
【分析】（）根据分式方程增根的定义即可得出答案；
（）将分式方程去分母得到整式方程，再把代入计算即可；
本题考查了分式方程的增根，理解分式方程增根的定义，掌握分式方程的解法是正确解题的关键．
（1）由分式方程增根的定义可知，这个分式方程的增根是，
故答案为：；
（2）将关于的分式方程的两边都乘以，
得：，
把代入得，．
13． 某校七年级共有150名男生，从中随机抽取30名男生进行“引体向上”测试，下表是测试成绩记录(单位：个)：
3 2 1 2 3 3 5 2 2 4
2 4 2 5 2 3 4 4 1 3
3 2 5 1 4 2 3 1 2 4
（1） 从1个至5个，按不同个数分组，制作频数表.
（2） 观察分析(1)中的频数表，写出两条信息：
①　 　；
②　 　.
（3） 规定七年级男生“引体向上”4个及以上为合格，则该校七年级男生“引体向上”的合格率约为多少
【答案】（1）解：频数表如下：
测试成绩（个） 测试成绩人数
1 4
2 10
3 7
4 6
5 3
（2）成绩为5个的有3人，占10%（答案不唯一）；成绩为2个的人数最多，有10个（答案不唯一）
（3）解：由题意得：
.
答：该校七年级男生“引体向上”的合格率约为30%.
【解析】【解答】解：（2）开放性命题，答案不唯一，
如：①成绩为5个的有3人，占10%；
②成绩为2个的人数最多，有10个.
故答案为：成绩为5个的有3人，占10%；成绩为2个的人数最多，有10个.
【分析】（1）按照制作频数分布表的方法制作一个频数表即可；
（2）根据表格中的信息可求解（答案不唯一）；
（3）根据规定七年级男生“引体向上”4个及以上为合格可知，合格的频数为6+3，然后根据合格率=频数÷样本容量×100%可求解.
14．已知 ，求 的值.
【答案】解：∵ ，
∴
【解析】【分析】把原式根据提公因式法和完全平方公式进行因式分解，再代入进行计算，即可得出答案.
15．某班级购买小奖品，买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元，则买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需多少元
【答案】解：设每只铅笔的价格是x元，每块橡皮的价格是y元，每本日记本的价格是z元，依题意得：
∴
∴x+y+z=6，
∴5x+5y+5z=30.
答： 买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需30元.
【解析】【分析】先用不同的字母表示铅笔、橡皮、日记本的单价，再根据题中的数量关系列出相应的方程，最后把其中某一个字母看作是已知数求出用这个字母表示其他两个不同的字母，把它们再代入代数式求出答案.
16．如图，，，，将求的过程填写完整．
解：（______）
______（______）
又，（______）
（______）
______（______）
______（______）
又（______）
______（______）
【答案】已知；，两直线平行，同位角相等；已知，等量代换，，内错角相等，两直线平行；，两直线平行，同旁内角互补；已知，，等式性质
【解析】【解答】解：（已知）
（两直线平行，同位角相等）
又，（已知）
（等量代换）
（内错角相等，两直线平行）
（两直线平行，同旁内角互补）
又（已知）
（等式性质）
故答案为：已知；，两直线平行，同位角相等；已知，等量代换，，内错角相等，两直线平行；，两直线平行，同旁内角互补；已知，，等式性质．
【分析】根据两直线平行，同位角相等可得∠2=∠3，根据等量代换可得∠1=∠3，根据内错角相等，两直线平行可得AB∥DG，根据两直线平行，同旁内角互补可推出∠BAC+∠DGA=180°，再根据等式的性质即可求得∠AGD.
17．为进一步加快脱贫攻坚步伐，确保到2020年实现国家标准摘帽目标，旺田村准备用120平方公顷的河滩地发展大棚蔬菜，负责承建大棚的工程队为了不耽误农时，工作效率比原计划提高了1.5倍，结果提前20天完工．求工程队原计划每天建多少公顷大棚？
【答案】解：设原计划每天建x公顷，则现在每天建2.5x公顷，
由题意，得
＝ +20
解得x＝3.6．
检验：x＝3.6是原方程的根．
答：原计划每天建3.6公顷．
【解析】【分析】 设原计划每天建x公顷，则现在每天建2.5x公顷，时间=工作量÷工作效率，根据时间的关系列方程，求解方程，最后验根即可。
18．已知单项式 与 是同类项，求 的值.
【答案】解：由题意得 ，解得： ，
∴ .
【解析】【分析】根据同类项的定义可得关于a、b的方程组，解方程组即可求出a、b的值，然后把a、b的值代入所求式子计算即可.
19．A、B两种型号的机器加工同一种零件，已知A型机器比B型机器每小时多加工20个零件，A型机器加工400个零件所用时间与B型机器加工300个零件所用时间相同，求A型机器每小时加工零件的个数．
【答案】解：设A型机器每小时加工零件x个，则B型机器每小时加工零件（x﹣20）个．
根据题意列方程得：，解得：x=80．
经检验，x=80是原方程的解．
答：A型机器每小时加工零件80个．
【解析】【分析】设A型机器每小时加工零件x个，则B型机器每小时加工零件（x﹣20）个，根据题意列出方程求解即可。
20．已知为有理数，分别表示的整数部分和小数部分， 且，求2a+b的值．
【答案】解：因为
所以的整数部分是2，小数部分是，
所以．
所以，
即．
整理，得．
因为，为有理数，所以，，
所以，，所以
【解析】【分析】利用估算无理数的大小，可得到m，n的值，代入方程可得到 ，再根据a，b为有理数，可知6a+16b=1，a+3b=0，然后求方程组的解，可得到a、b的值，代入计算求出2a+b的值.
21．已知：如图， GD∥AC， ∠1+∠2=180°.
（1）判断CD与EF的位置关系，并说明理由；
（2）若DG平分∠CDB， ∠1=140°，求∠EFB的度数.
【答案】（1）解：与平行，理由如下：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∵平分，
∴，
由（1）可知，，
∴．
【解析】【分析】（1）根据两直线平行，内错角相等可得，然后根据等量代换可得，再根据同旁内角互补，两直线平行得到结论即可；
（2）先求出的度数，再根据角平分线的定义求出的度数，然后根据两直线平行，同位角相等解答即可．
22．有一批机器零件共400个，若甲先单独做1天，然后甲、乙两人再合做2天，则还有60个未完成；若甲、乙两人合做3天，则可超产20个. 问甲、乙两人每天各做多少个零件？
【答案】解：设甲每天做x个零件，乙每天做y个零件.
根据题意，得
解这个方程组，得
答：甲每天做60个零件，乙每天做80个零件
【解析】【分析】设甲每天做x个零件，乙每天做y个零件.根据甲做3天的+乙做2天的=400-60，甲做3天的+乙做3天的=400+20，列方程组求解.
23．若关于 的分式方程 有正整数解，求整数 的值。
【答案】解：分式方程去分母得：1 ax＋3（x 2）＝ 1，
整理得：（3 a）x＝4，
解得：x＝，
∵分式方程有正整数解，且x 2≠0，
∴整数a＝ 1或2．
【解析】【分析】解分式方程，可得出x＝，再结合分式方程有正整数解，且x 2≠0，可得出整数a＝ 1或2．
24．已知 ，求 的值．
【答案】解：将 两边同时乘以x，得x2+1=3x，
= = =
【解析】【分析】我们可将前面式子变式为x2+1=3x，再将后面式子的分母变式为 的形式从而求出值．
25．2022年12月26日常益长高铁全线开通，高铁的开通为张家界市民的出行带来了方便．从张家界到长沙，路程约为，某趟动车的平均速度比普通列车快，所需时间比普通列车少1小时，求该趟动车的平均速度．
【答案】解：设普通列车的平均速度为，
由题意得：，
解得，，
经检验，是所列分式方程的根，
故动车的平均速度为（），
答：该趟动车的平均速度为．
【解析】【分析】基本关系式：路程=速度×时间，利用动车所需时间比普通列车少1小时建立分式方程，解方程即可。注意：一定要验根。
26．已知： 用 2 辆 型车和 1 辆 型车载满货物一次可运货 13 吨； 用 1 辆 型车和 2 辆 型车载满货物一次可运货 14 吨． 某物流公司现有 45 吨货物， 计划租用 型车 辆， 型车 辆，一次运完 (一种或两种车型都可)， 且恰好每辆车都载满货物． 根据以上信息，解答下列问题：
（1） 1 辆 型车和 1 辆 型车都载满货物，一次可分别运货多少吨？
（2）若 型车每辆需租金 110 元/次， 型车每辆需租金 150 元/次，请选出最省钱的租车方案， 并求出最少租车费．
【答案】（1）解：设1辆A型车载满货物一次可运货x吨， 1辆B型车载满货物一次可运货y吨，依题意， 得
解得
答： 1辆A型车载满货物一次可运货4吨， 1辆B型车载满货物一次可运货5吨；
（2）解：设租用A型车a辆，B型车B辆，
依题意， 得 ．
又 均为自然数，
或 或
∴ 共有3种租车方案，
方案 1 ： 租用9辆B型车，所需总租金为 (元)
方案 2 ： 租用5辆A型车， 5辆B型车， 所需总租金为 (元)；
方案 3 ： 柤用10辆A型车， 1辆B型车， 所需总租全为 (元)．
最省钱的租车方案为： 租用10辆A型车， 1辆B型车，最少租车费为1250元．
【解析】【分析】（1）根据等量关系“A车数量xA车单车运量+B车数量xB车单车运量=总运货吨数”，结合条件列出二元一次方程组并解方程组即可；
（2）同样根据（1）的等量关系列出关于a、b的二元一次方程，并用b表示出a； 然后因为a、b表示的是车辆数，故a、b必为非负整数，在此限制条件下列出所有可能的a、b取值，根据不同的取值组合计算出对应方案的总租金，最后比较租金得出最省钱的方案.
27．甲、乙两人共同计算一道整式乘法题：（2x＋a）（3x＋b）．甲由于把第一个多项式中的“＋a”看成了“－a”，得到的结果为6x2－5x－6；乙由于漏抄了第二个多项式中x的系数，得到的结果为2x2＋7x＋6．求正确的a，b的值．
【答案】解：因为（2x－a）（3x＋b），
＝6x2＋2bx－3ax－ab，
＝6x2＋（2b－3a）x－ab，
所以2b－3a＝－5，①
因为（2x＋a）（x＋b）＝2x2＋2bx＋ax＋ab＝2x2＋（2b＋a）x＋ab，
所以2b＋a＝7，②
由①和②组成方程组：
，
解得.
故答案为：，.
【解析】【分析】利用多项式乘多项式的计算方法展开可得
，再求出a、b的值即可。
28．“绿水青山就是金山银山”，为了创造良好的生态环境，某村承接了60万平方米的荒山绿化任务，由于志愿者的加入，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了20%，结果提前10天完成了这一任务．求原计划每天绿化的面积．
【答案】解：设原计划工作效率为 ，则实际工作效率为
由题意可得：
解得：
检验：当 时，
∴ 是原方程的解
答：原计划每天绿化1万平方米．
【解析】【分析】根据 实际工作时每天的工作效率比原计划提高了20%，结果提前10天完成了这一任务 ，列方程计算求解即可。
29．在等式中，当x=-1时，y=.4；当x=2时，y=4；当x=1时，y=2.
（1）求a，b，c的值.
（2）当x=-2时，求y的值
【答案】（1）解：∵ 在等式中，当x=-1时，y=.4；当x=2时，y=4；当x=1时，y=2.
∴
解得：
（2）解：由（1）可知，等式y=ax2+bx+c可以转化为：y=x2-x+2，
∴当x=-2时y=8.
【解析】【分析】由题意可知：把x=-1，y=4代入y=ax2+bx+c中，可得：a-b+c=4，①；把x=2，y=4代入y=ax2+bx+c中，可得4a+2b+c=4，②；把x=1，y=2代入y=ax2+bx+c中，可得a+b+c=2，③；然后把①、②、③这三个方程组成方程组，解方程组，求出a、b、c的值即可.
（2）由（1）可知：a=-1，b=-1，c=2.把a=-1，b=-1，c=2代入y=ax2+bx+c，可以得到：y=x2-x+2。再把x=-2代入这个等式，即可求出x=-2时，y的值.
30．填空完成下列推理过程
已知：如图，BD⊥AC，EF⊥AC，点D、F分别是垂足，∠1=∠4．
试说明：∠ADG=∠C
解：∵BD⊥AC，EF⊥AC（已知）
∴∠2=90°∠3=90°（垂直的定义）
∴∠2=∠3（等量代换）
∴BD∥EF　 　
∴∠4=∠5（两直线平行同位角相等）
∵∠1=∠4（已知）
∠1=∠5　 　
∴DG∥CB（内错角相等两直线平行）
∴∠ADG=∠C　 　
【答案】同位角相等，两直线平行；等量代换；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：∵BD⊥AC，EF⊥AC（已知）
∴∠2=90°∠3=90°（垂直的定义）
∴∠2=∠3（等量代换）
∴BD∥EF（同位角相等，两直线平行）
∴∠4=∠5（两直线平行同位角相等）
∵∠1=∠4（已知）
∴∠1=∠5 （等量代换）
∴DG∥CB（内错角相等两直线平行）
∴∠ADG=∠C（两直线平行，同位角相等）
故答案为：（同位角相等，两直线平行），（等量代换），（两直线平行，同位角相等）．
【分析】先由垂直的定义得到：∠2=∠3，然后由同位角相等，两直线平行得到：EF∥BD，再由两直线平行，同位角相等得到：∠4=∠5，然后根据等量代换得到：∠1=∠5，再根据内错角相等，两直线平行得到：DG∥BC，最后由两直线平行，同位角相等即可证∠ADG=∠C．
31．以下是圆圆解分式方程 的解答过程：
解：方程两边都乘 ，得 .
移项，合并同类项，得 .
经检验， 是原方程的解.
圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，写出正确的解答过程.
【答案】解：圆圆的解答过程有错误，
正确解法为：方程两边都乘x，得x-1+2=3x，
移项，合并同类项得：-2x=-l，
解得 ，
经检验， 是原方程的解.
【解析】【分析】根据解分式方程的步骤：去分母化为整式方程，解整式方程求出x的值，再进行检验，即可得出答案.
32．如图，，为上一点，平分，，，求的度数．
【答案】解：∵，
∴，
又∵，
∴，
又∵平分，
∴，
又∵，
∴．
【解析】【分析】先利用角的运算求出，再利用角平分线的定义可得，最后利用平行线的性质可得．
33．为了改善生态环境，防止水土流失，某村计划在荒坡上种树480棵，由于青年志愿者支援，实际每天种树的棵数是原计划的1.5倍，结果提前4天完成任务，原计划每天种树多少棵？
【答案】解：设原计划每天种树x棵.
由题意，得 4，
解得：x=40，
经检验，x=40是原方程的解.
答：原计划每天种树40棵.
【解析】【分析】根据题意，找到等量关系“原计划所用时间=实际所用时间+4天”，列出方程解答即可.
34．若 与 的值互为相反数，试求x与y的值．
【答案】解：
而根据已知，它们互为相反数，所以一定都是0，即
解得x=-1，y=5
【解析】【分析】根据绝对值和平方的非负性以及相反数的和为0可得关于x、y的方程组：x+y-4=0，2x-y+7=0；解方程组即可求解。
35．年佛山公里徒步活动，约万市民迎着春光奔跑，用脚步丈量绿美佛山环城线中途设置了个签到点，签到点与起点的距离如下表：
起点 第签 第签 第签 第签 第签 第签 终点
电视塔 升平里 欧C工业园 悦城峯境 绿岛湖 智慧公园 青年公园 世纪莲
求：小明从第签到第签的平均速度是起点到第签的平均速度的倍，且他从第签到第签比起点到第签少用，求的值．
【答案】解：根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
答：的值为．
【解析】【分析】从表中可知，第签到第签的路程为（35.5-23.5）km，对应的平均速度为km/h；起点到第签的路程为17km，对应的平均速度为km/h，而条件“他从第签到第签比起点到第签少用”，因此列式，然后解方程后并检验即可。
36．如图所示，AB∥CD，OE平分∠AOD，OF⊥OE，∠D＝50°，求∠BOF的度数.
【答案】解：如图， ∵CD∥AB， ∴∠AOD=180°-∠D=180°-50°=130°， ∵OE平分∠AOD， ∴∠1= ∠AOD= ×130°=65°， ∵OF⊥OE， ∴∠2=90°-∠1=90°-65°=25°， ∴∠BOF=180°-∠AOD-∠2=180°-130°-25°=25°.
【解析】【分析】根据两直线平行，同旁内角互补求出∠AOD，再根据角平分线的定义求出∠1，然后根据垂直的定义求出∠2，再根据平角的定义列式计算即可得解.
37．两个小组同时开始攀登一座高的山，第二组的攀登速度是第一组的1.5倍，他们比第一组早到达顶峰，设第一组的攀登速度为．
（1）请根据信息填表（用含有x的式子表示）；
山高（m） 攀登速度（） 攀登时间（）
第一组 480 x
第一组 480
（2）根据题意列出关于x的分式方程，并求出两个小组的攀登速度．
【答案】（1），，
（2）解：根据题意得：，
解得：，经检验，是所列方程的解，且符合题意，
．
答：第一组的攀登速度为，第二组的攀登速度为．

【解析】【解答】（1）解：两个小组同时开始攀登一座高的山，第二组的攀登速度是第一组的1.5倍，第一组的攀登速度为，
第二组的攀登速度为，
第一组的攀登时间为，
第二组的攀登时间为min．
故答案为：，，；
【分析】(1)根据第二组速度是第一组的1.5倍，可得出第二组的攀登速度为，可用含的代数式表示出一、二组的攀登时间；
(2)根据时间可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出的值(即第一组的攀登速度)，再将其代入中，即可求出第二组的攀登速度．
（1）解：两个小组同时开始攀登一座高的山，第二组的攀登速度是第一组的1.5倍，第一组的攀登速度为，
第二组的攀登速度为，
第一组的攀登时间为，
第二组的攀登时间为min．
故答案为：，，；
（2）解：根据题意得：，
解得：，经检验，是所列方程的解，且符合题意，
．
答：第一组的攀登速度为，第二组的攀登速度为．
38．如图，AB∥CD，试探究∠APC，∠A 与∠C之间的数量关系，并说明理由。
【答案】解：∠APC=∠A+∠C，理由如下：
过点p作EP//AB，
∴∠A=∠APE.
∵AB//CD，
∴EP//CD.
∵∠C=∠CPE.
∴∠APC=∠APE+∠CPE=∠A+∠C，
即∠APC=∠A+∠C.
【解析】【分析】过点E作EP//AB，根据平行公理的推论和平行线的性质可得∠A=∠APE，∠C=∠CPE，两式相加即可得到结论.
39．如图，已知在三角形ABC中，AD平分∠BAC，∠1=∠2.试说明：
（1）AD∥GE.
（2）∠3=∠G.
【答案】（1）证明：∵ AD平分∠BAC，
∴∠2=∠BAD，
∵∠1=∠2 ，
∴∠1=∠BAD，
∴AD∥EG（同位角相等，两直线平行）；
（2）证明：∵AD∥EG，
∴∠3=∠BAD（两直线平行，内错角相等），∠2=∠G（两直线平行，同位角相等）
又∠2=∠BAD，
∴ ∠3=∠G.
【解析】【分析】（1）由角平分线的定义得∠2=∠BAD，结合∠1=∠2可得∠1=∠BAD，进而根据同位角相等，两直线平行可推出AD∥EG；
（2）由两直线平行，内错角相等、同位角相等，得∠3=∠BAD，∠2=∠G，结合∠2=∠BAD，由等量代换可得∠3=∠G.
40．有三个多项式A、B、C分别为：A= x2+x-1，B= x2+3x+1，C= x2-x，请你对A-2B-C进行化简，并计算当x=-2时代数式A-2B-C的值．
【答案】解：∵A= x2+x-1，B= x2+3x+1，C= x2-x，
∴A-2B-C= x2+x-1-x2-6x-2- x2+x=-x2-4x-3，
当x=-2时，原式=-4+8-3=1．
【解析】【分析】把A，B，C代入A-2B-C中，去括号合并得到最简结果，把x=-2代入计算即可求出值．
41．如图，三个一样大小的小长方形沿“横-竖-横”排列在一个长为 ，宽为 的大长方形中，求图中一个小长方形的面积.
【答案】解：设小长方形的长为x，宽为y，
依题意得： ，
解得： ，
∴xy=4×2=8.
答：图中一个小长方形的面积为8.
【解析】【分析】 设小长方形的长为x，宽为y， 根据大长方形的长为10，宽为8，分别列出方程，组成方程组求解，最后根据长方形面积公式计算即可.
42． 是三个连续的正偶数， 以 为边长作正方形， 分别以 为长和宽作长方形．
（1）正方形和长方形的周长是否相等？ 请说明理由；
（2）哪个图形的面积大？ 大多少？
【答案】（1）解：设 ，
正方形和长方形的周长相等，
正方形的周长为 ，
长方形的周长为 ，
正方形和长方形的周长相等；
（2）解：正方形比长方形的面积大， 大 4，
面积正方形的面积为，
长方形的面积为，
，且，
正方形比长方形的面积大，大 4 .
【解析】【分析】（1）设，根据周长公式列出代数式，计算即可得到结果；
（2）根据面积公式列出代数式，计算即可得到结果.
43．现有甲、乙两个空调安装队分别为A、B两个公司安装空调，甲安装队为A公司安装66台空调，乙安装队为B公司安装60台空调，甲、乙两队安装空调所用的总时间相同．已知甲队比乙队平均每天多安装2台空调，求甲、乙两个安装队平均每天各安装空调的台数．
【答案】解：设甲安装队平均每天安装空调x台，由题意得：
= ，
解得：x=22，
经检验：x=22是原分式方程的解，
则x﹣2=22﹣2=20，
答：甲安装队平均每天安装空调22台，乙安装队平均每天安装空调20台
【解析】【分析】题中的等量关系是：甲安装队为A公司安装66台空调的时间=乙安装队为B公司安装60台空调的时间；甲队平均每天安装的台数=乙队平均每天安装的台数+2。设未知数建立方程，求解即可。
44．在某数学课上，小云和小辉在讨论李老师出示的一道利用方程组的解求字母取值范围的问题：已知关于x，y的二元一次方程组，若，求m的取值范围．
小云认为：“可以先解方程组，用含m的式子分别表示x和y，再代入不等式求m的取值范围．”
小辉认为：“直接，可以更简便地求出m的取值范围．”
（1）请同学们按照小云的方法求，　 　，　 　（含m的式子表示）；
（2）李老师说小辉的方法体现了我们数学思想中的“整体代入”思想，值得同学们学习，请同学们根据小辉的思路求出m的取值范围．
【答案】（1）；
（2）解：将②-①可得：x-y=4m-3，
∵x≥2y，
∴x-2y≥0，
∴4m-3≥0，
解得：，
故答案为：.
【解析】【解答】解：（1），
由①+②可得：3x=6m+3，
解得：x=2m+1，
将x=2m+1代入①可得：2m+1+y=3+m，
解得：y=2-m，
∴原方程组的解为，
故答案为：2m+1；2-m.
【分析】（1）利用加减消元法求解二元一次方程组的计算方法分析求解即可；
（2）先利用加减消元法求出x-y=4m-3，再结合x≥2y，可得4m-3≥0，最后求出m的取值范围即可.
45． 小明家承包了一个果园，去年果园收支相抵后，结余12000元.今年水果丰收，估计收入可比去年增加20%，并且今年因为改进了种植技术，支出比去年减少10%，这样今年结余预计比去年多11400元.计算小明家今年种植水果的收入和支出情况.
【答案】解：设去年小明家种植水果的收入为x元，支出y元，
由题意得：
解得：，
∴ 小明家今年种植水果的收入为：1.2×42000=50400（元）
支出为：0.9×30000=27000（元）
答： 小明家今年种植水果的收入为50400元，支出为27000元.
【解析】【分析】设去年小明家种植水果的收入为x元，支出y元，根据题中的两个相等关系“ 去年果园收支相抵后，结余12000元，今年结余预计比去年多11400元”可列关于x、y的方程组，解方程组求出x、y的值，然后再根据题意“收入可比去年增加20%，今年支出比去年减少10%”计算即可求解.
46． 如图1，已知直线与直线交于点E，与直线交于点F，平分交直线于点M，且．
（1）试判断直线与的位置关系，并说明理由；
（2）点G是射线上的一个动点（不与点M，F重合），平分交直线于点H，过点H作交直线于点N．设．
①如图2，当点G在点F的右侧，且时，求β的值；
②当点G在运动过程中，α和β之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明．
【答案】（1）解：如图1，，
理由如下：
平分，
，
，
，
．
（2）解：①如图2，平分，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
；
②和之间的数量关系为或．
理由如下：
当点G在点F的右侧时，由①得，
当点G在点F的左侧时，如图，
平分，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
综上得，和之间的数量关系为或．
【解析】【分析】（1）AB∥CD，理由如下：由角平分线的定义及已知可得∠AEM=∠FME，然后根据平行线的判定即可求解；
（2）①由角平分线定义和角的构成可得∠HEM=∠AEG，由平行线的性质可得∠HEM=∠EHN=α，∠GEB=∠EGF=β，代入∠HEM=∠AEG计算即可求解；②和之间的数量关系为或．理由如下：当点G在点F的右侧时，由①可求解；当点G在点F的左侧时，由①可求解.
47．若一次整式A，B满足（k，t是常数，），我们称整式A与B“按序关联”，关联系数为k，关联结果为t．
如：对于一次整式，，因为，所以整式与“按序关联”，关联系数为，关联结果为11．
（1）为了进一步探究一次整式A，B“按序关联”的性质，小星制作了以下表格，请你把它补充完整：
整式A 整式B A与B关联系数 关联结果
　
　 　
　 16
（2）请你从小星制作的表格中发现规律，回答下列问题：
已知一次整式A与B“按序关联”，关联系数为k，关联结果为t．
①猜想一次整式B与A“按序关联”的系数及结果，并说明理由；
②猜想一次整式A与nB（常数）“按序关联”的系数及结果；
（3）已知一次整式与关联系数为，关联结果为，A与2B关联系数为，关联结果为．若，，且总存在x的值，使整式A与的值相等，求a，b的取值范围．
【答案】（1）8，，，
（2）解：①猜想：B与A“按序关联”的系数为，结果为．理由如下：
，
方程两边同除以k，得
与A“按序关联”的系数为，结果为．
②猜想：A与nB“按序关联”的系数为nk，结果为nt．理由如下：
，
∴，
∴A与nB“按序关联”的系数为nk，结果为nt．
（3）解：由（2）可知：，．
，，
，，
，
即，
整理，得
，
，，
，．
整式A与的值相等，
整理，得，
将，代入，得
总存在x的值，使整式A与的值相等，
关于x的方程总有解．
分两种情况讨论：
①当时，无论b为何值，方程总有唯一的解；
②当时，方程变为，要使方程有解，需，这样，方程变为，方程有无数多个解．此时且．
综上所述，a，b的取值范围是，b为任意实数或且．
【解析】【解答】（1）解： 当时，；
当时，
，
∴，
解得，
∴；
当时，
，
．
故答案为：8，，，．
【分析】（1）先理解“按序关联”的定义，再根据定义，逐个求解计算即可；
（2）①根据“按序关联”的定义，可得，分析然后求解即可；②根据“按序关联”的定义，可得，再根据定义对式子进行变形，求解即可；
（3）根据“按序关联”的定义，由（2）可得，，，结合， 求得，，从而得到，再根据题意，求解即可．
（1）解： 当时，；
当时，
，
∴，
解得，
∴；
当时，
，
．
故答案为：8，，，．
（2）解：①猜想：B与A“按序关联”的系数为，结果为．理由如下：
，
方程两边同除以k，得
与A“按序关联”的系数为，结果为．
②猜想：A与nB“按序关联”的系数为nk，结果为nt．理由如下：
，
∴，
∴A与nB“按序关联”的系数为nk，结果为nt．
（3）解：由（2）可知：，．
，，
，，
，
即，
整理，得
，
，，
，．
整式A与的值相等，
整理，得，
将，代入，得
总存在x的值，使整式A与的值相等，
关于x的方程总有解．
分两种情况讨论：
①当时，无论b为何值，方程总有唯一的解；
②当时，方程变为，要使方程有解，需，这样，方程变为，方程有无数多个解．此时且．
综上所述，a，b的取值范围是，b为任意实数或且．
48．若关于x，y的二元一次方程组的解满足，则称此方程组为“等解”方程组。
（1）关于x，y的方程组为“等解”方程组，求m的值。
（2）判断关于x，y的二元一次方程组（a，b，c为常数，且）是“等解”方程组吗？并说明理由.
【答案】（1）解： ∵ 关于x，y的方程组为“等解”方程组，
∴，解得：，
∴，
∴，解得：m=1.5；
（2）解： 方程组 ( a，b，c为常数，且)，解得：，，
所以x=y，所以关于x，y的二元一次方程组（a，b，c为常数，且）是“等解”方程组.
【解析】【分析】（1）先根据等解方程的意义求出x，从而可得y的值，代入方程组中第二个方程，求得m；
（2）解出方程组中的x与y，比较后得出结论.
49．已知，直线，点为平面上一点，连接与．
（1）如图，点在直线、之间，当，时，求．
（2）如图，点在直线、之间，与的角平分线相交于点，写出与之间的数量关系，并说明理由．
（3）如图，点落在外，与的角平分线相交于点，与有何数量关系？并说明理由．
【答案】（1）解：如图1，过P作，
∵，
∴，
∴，，
∴；
（2）解：．理由如下：
如图2，过K作，
∵，
∴，
∴，，
∴，
过P作，
同理可得，，
∵与的角平分线相交于点K，
∴，，
∴，
∴；
（3）解：．理由如下：
如图3，过K作，
∵，
∴，
∴，，
∴，
过P作，
同理可得，，
∵与的角平分线相交于点K，
∴，，
∴，
∴．
【解析】【分析】（1）过P作，根据平行线的定义得出，两直线平行，内错角相等，即可得到；
（2）过K作，过P作，根据平行线的定义，两直线平行，内错角相等以及角平分线的定义，可以求出，，根据等量关系即可判定两角的数量关系；
（3）过K作，过P作，根据平行线的定义，两直线平行，内错角相等，得到，，再根据角平分线的定义即可得到与 的数量关系。
50．阅读探索
（1）知识累计
解方程组
解：设a﹣1=x，b+2=y，原方程组可变为
解方程组得： 即
所以
此种解方程组的方法叫换元法．
（2）拓展提高
运用上述方法解下列方程组：
（3）能力运用
已知关于x，y的方程组的解为，直接写出关于m、n的方程组的解为 ．
【答案】解：（1）知识累计
解方程组
解：设a﹣1=x，b+2=y，原方程组可变为关于x，y的二元一次方程组求得x，y，再还原到关于a，b的二元一次方程组求得a，b的值即可.
此种解方程组的方法叫换元法；
（2）拓展提高
设﹣1=x，+2=y，
方程组变形得：，
解得：，即，
解得：；
（3）能力运用
设，
可得，
解得：，
故答案为：
【解析】【分析】（1）知识累计
观察阅读材料的解题方法，理解换元法；
（2）拓展提高
设﹣1=x，+2=y，根据（1）中的结论确定出关于x与y方程组，求出解得到x与y的值，即可求出a与b的值；
（3）能力运用
设 ，根据已知方程组的解确定出m与n的值即可．
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