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浙教版2025—2026学年七年级下册期末押题学霸提优金考卷
数 学
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．某校七年级(2)班40名同学为“希望工程”捐款，共捐款100元.捐款情况如下表：
捐款(元) 1 2 3 4
人数 6 7
表格中捐款2元和3元的人数不小心被墨水污染已看不清楚.若设捐款2元的有x名同学，捐款3元的有y名同学，根据题意，可得方程组(　　)
A． B．
C． D．
2．计算等于（　　）
A． B．4 C．1 D．
3． 某小区车库门口的曲臂道闸升降杜如图所示， 垂直地面 于 A 点， 平行于地面 ， 若 ，则 的大小是（　　）
A． B． C． D．
4． 某数学兴趣小组开展动手操作活动，设计了如图所示的三种图形，现计划用铁丝按照图形制作相应的造型，则所用铁丝的长度关系是（　　）
A．甲种方案所用铁丝最长 B．乙种方案所用铁丝最长
C．丙种方案所用铁丝最长 D．三种方案所用铁丝一样长
5．下列各式中，不含因式的是(　　)
A． B． C． D．
6．图1是某品牌手机2025年9到12月四个月的总销量统计图，图2是该品牌的A型号手机销量的分析统计图，下列对该品牌手机2025年9到12月销售情况分析错误的是(　　)
A．该品牌手机9到12月共销售手机500万台
B．10月A型号手机销售了20万台
C．四个月 A型号手机的销量逐月增高
D．四个月中12月份A型号手机的销量最高
7．下列命题中，是真命题的是（　　）
A．如果|a|=|b|，那么a=b
B．两条直线被第三条直线所截，内错角相等
C．相等的角是对顶角
D．在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行
8．若a，b是正整数，且满足，则a与b的关系正确的是（　　）
A． B． C． D．
9．已知关于x、y的二元一次方程组的解满足x≥y，则a的取值范围是（　　）
A．a≥- B．a≥- C．a≤- D．a≤-3
10．如图，AB∥CD∥EF，则下列各式中正确的是（　　）
A．∠1=180°﹣∠3 B．∠1=∠3﹣∠2
C．∠2+∠3=180°﹣∠1 D．∠2+∠3=180°+∠1
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．某校为鼓励学生课外阅读，制定了“阅读奖励方案”．方案公布后，随机征求了100名学生的意见，并对持“赞成”、“反对”、“弃权”三种意见的人数进行统计，绘制成如图所示的扇形统计图．若该校有1000名学生，则赞成该方案的学生约有　 　人．
12．已知：，则　 　．
13．分解因式：　 　．
14．已知、、满足，则：：　 　 ．
15．《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间，设规定时间为x天，则可列出正确的方程为　 　．
16．如图，已知直线被直线所截，，点是平面内位于直线右侧的一动点（点不在直线上），设，在点运动过程中，的度数可能是　 　．（结果用含的式子表示）
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．
（1）计算：；
（2）解方程组：
18．某商店4月份购进一批T恤衫，进价合计3200元．由于该T恤衫十分畅销，商店又于5月份购进一批同品牌T恤衫，进价合计6800元，数量是4月份的2倍，但每件进价涨了2.5元．
（1）求商店4月份购进T恤衫多少件？
（2）这两批T恤衫开始都以每件60元出售，到6月初，商店把剩下的40件打九折出售，很快售完，求商店共获毛利润（销售收入减去进价总计）多少元？
19．如图，．
（1）若是的平分线，，求的大小
（2）若，那么平分吗？请说明理由．
20．已知多项式①x2－2xy；②x2－4y2；③x2－4xy＋4y2．
（1）把这三个多项式因式分解．
（2）老师问：“三个等式①＋②＝③；①＋③＝②；②＋③＝①；能否同时成立 ”圆圆同学说：“只有当x＝y＝0时，三个等式能同时成立，其他x，y的值都不能使之成立．”你认为圆圆同学的说法正确吗 为什么
21．下面是小张同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并回答相应的问题．
解方程组：解：①×3，得…第一步②﹣③，得…第二步…第三步代入①，得…第四步所以，原方程组的解为第五步
（1）小彬同学的解题过程从第 　 　步开始出现错误；
（2）请写出正确的解题过程；
（3）解二元一次方程组的基本思想是“消元”，即把“二元”变为“一元”，在此过程中体现的数学思想是 　 　（填序号）．
.数形结合．类比思想．转化思想．分类讨论
22． 已知，关于的分式方程．
（1）当，时，求分式方程的解；
（2）当时，求为何值时分式方程无解；
（3）若，且、为正整数，当分式方程的解为整数时，求的值．
23．已知直线，垂足为点，点A，B分别在直线OA，OB上.点是平面上任一点，连接PA，PB
（1）当点P在如图1所示位置时，，则　 　°；
（2）当点移动到如图2所示位置时，求之间的数量关系，并说明理由：
（3）如图3，在(2)的条件下分别作的角平分线交于点，
①若，求的度数；
②请直接写出和的数量关系.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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浙教版2025—2026学年七年级下册期末押题学霸提优金考卷
数 学
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．某校七年级(2)班40名同学为“希望工程”捐款，共捐款100元.捐款情况如下表：
捐款(元) 1 2 3 4
人数 6 7
表格中捐款2元和3元的人数不小心被墨水污染已看不清楚.若设捐款2元的有x名同学，捐款3元的有y名同学，根据题意，可得方程组(　　)
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】【解答】由表格知捐款2元和3元的人数之和为40-6-7=27人，即有x+y=27，捐款之和为100-6-7×4=66元，即有2x+3y=66，故可列方程组
答案：A.
【分析】分别求出2元和3元的人数与捐款总数，即可列出方程组.
2．计算等于（　　）
A． B．4 C．1 D．
【答案】B
【解析】【解答】解：.
故答案为：B.
【分析】解题关键是将写成，这样可以利用同指数幂的相乘法则简便运算.
3． 某小区车库门口的曲臂道闸升降杜如图所示， 垂直地面 于 A 点， 平行于地面 ， 若 ，则 的大小是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：过点B作，如图所示：
则，
，；
∵，
，
，
，
；
故答案为：D
【分析】过点B作，根据平行公理及其推论得到则，进而根据平行线的性质得到，，从而结合垂直等量代换求出∠FBC的度数，从而即可得到∠BCD的度数.
4． 某数学兴趣小组开展动手操作活动，设计了如图所示的三种图形，现计划用铁丝按照图形制作相应的造型，则所用铁丝的长度关系是（　　）
A．甲种方案所用铁丝最长 B．乙种方案所用铁丝最长
C．丙种方案所用铁丝最长 D．三种方案所用铁丝一样长
【答案】D
【解析】【解答】
解：由图形可得出：
甲所用铁丝的长度为：2a+2b，
乙所用铁丝的长度为：2a+2b，
丙所用铁丝的长度为：2a+2b，
故三种方案所用铁丝一样长．
故答案为：D．
【分析】
根据图形的平移：分别表示出甲，乙，丙图形的周长都为2a+2b，即可得到答案.
5．下列各式中，不含因式的是(　　)
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：A、∵2a2+2a=2a（a+1），A正确；
B、a2+2a+1=（a+1）2，B正确；
C、a2-1=（a+1）（a-1），C正确；
D、a2+a+=（a+）2，D错误．
故答案为：D．
【分析】本题需先对每个式子进行因式分解，即可得出不含因式a+1的式子。
6．图1是某品牌手机2025年9到12月四个月的总销量统计图，图2是该品牌的A型号手机销量的分析统计图，下列对该品牌手机2025年9到12月销售情况分析错误的是(　　)
A．该品牌手机9到12月共销售手机500万台
B．10月A型号手机销售了20万台
C．四个月 A型号手机的销量逐月增高
D．四个月中12月份A型号手机的销量最高
【答案】C
【解析】【解答】解：对于选项A：9到12月共销售手机：（万台），故A正确，不符合题意；
对于选项B：10月A型号手机销售：（万台），故B正确，不符合题意；
对于选项C：9月A型号手机销量：（万台），11月A型号手机销量：（万台），12月A型号手机销量：（万台），
∵，
∴A型号手机11月份的销量低于10月份，故C错误，符合题意；
对于选项D：∵，
∴四个月中，12月份A型号手机的销量最高，故D正确，不符合题意．
故答案为：C.
【分析】结合两个统计图得到相关信息计算，逐项判断解答即可．
7．下列命题中，是真命题的是（　　）
A．如果|a|=|b|，那么a=b
B．两条直线被第三条直线所截，内错角相等
C．相等的角是对顶角
D．在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行
【答案】D
【解析】【解答】解： A、如果|a|=|b|，那么a=，此命题是假命题；
B、两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等 ，此命题是假命题；
C、对顶角相等，但相等的角不一定是对顶角，此命题是假命题；
D、在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行，此命题是真命题；
故答案为：D.
【分析】根据绝对值的意义、平行线的性质、对顶角的性质、平行线的判定分别判断即可.
8．若a，b是正整数，且满足，则a与b的关系正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：B．
【分析】根据已知等式可得，即可得到，利用底数相同，指数相等解答即可．
9．已知关于x、y的二元一次方程组的解满足x≥y，则a的取值范围是（　　）
A．a≥- B．a≥- C．a≤- D．a≤-3
【答案】A
【解析】【解答】A、方程组② 式的各项都乘3，得3x-2y=3a+5 ③ ， ①-③得4y=-4a-6，解得y=-a-32；①+③得6x=2a+4 ，解得x=a3+23；x≥y 代入含a的表达式，解得a≥-138 ，A符合题意；
B、与A同理，B不符合题意；
C、与A同理，C不符合题意；
D、与A同理，D不符合题意.
故答案为：A
【分析】解二元一次方程组，消元思想贯穿解题整个过程。用含有a的式子分别表达出x和y，然后解含有a的不等式即可。
10．如图，AB∥CD∥EF，则下列各式中正确的是（　　）
A．∠1=180°﹣∠3 B．∠1=∠3﹣∠2
C．∠2+∠3=180°﹣∠1 D．∠2+∠3=180°+∠1
【答案】D
【解析】【解答】如图，
∵AB∥CD，
∴∠2+∠BDC=180°，即∠BDC=180°﹣∠2，
∵EF∥CD，
∴∠BDC+∠1=∠3，即∠BDC=∠3﹣∠1，
∴180°﹣∠2=∠3﹣∠1，即∠2+∠3=180°+∠1，
故答案为：D．
【分析】A.由EF∥CD可知∠3+∠EDG=180°，即∠EDG=180°-∠3，而∠1与∠EDG不等，故A不符合题意；B.∵EF∥CD，∴∠BDC+∠1=∠3，即∠BDC=∠3﹣∠1，而∠BDC与∠2不等，故B不符合题意；C.∠2+∠3=∠2+∠BDC+∠1=180°+∠1，故C不符合题意；
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．某校为鼓励学生课外阅读，制定了“阅读奖励方案”．方案公布后，随机征求了100名学生的意见，并对持“赞成”、“反对”、“弃权”三种意见的人数进行统计，绘制成如图所示的扇形统计图．若该校有1000名学生，则赞成该方案的学生约有　 　人．
【答案】700
【解析】【解答】解：由扇形统计图可知赞成的百分比为：1﹣20%﹣10%=70%
∴1000名学生中赞成该方案的学生约有1000×70%=700人．
故答案为：700．
【分析】首先求得赞成方案的所占百分比，然后用总人数乘以这个百分比即可．
12．已知：，则　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：将方程两边同时除以字母x得：，
故答案为：．
【分析】将已知的方程两边同时除以x可得，将方程两边平方并整理即可求解.
13．分解因式：　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：由题意得，
故答案为：
【分析】根据题意运用提公因式法、公式法进行因式分解即可求解。
14．已知、、满足，则：：　 　 ．
【答案】1：3：2
【解析】【解答】解：，
①+②得14x-7z=0，即14x=7z，
∴x：z=1：2，
①×3-②×4得-21x+7y=0，即21x=7y，
∴x：y=1：3，
∴：： 1：3：2 .
故答案为： 1：3：2 .
【分析】把两方程相加可得x：z，再利用①×3-②×4可求出x：y的值，继而得解.
15．《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间，设规定时间为x天，则可列出正确的方程为　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：由题意得，
故答案为：
【分析】设规定时间为x天，根据“若用慢马送到里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍”即可列出分式方程，进而即可求解。
16．如图，已知直线被直线所截，，点是平面内位于直线右侧的一动点（点不在直线上），设，在点运动过程中，的度数可能是　 　．（结果用含的式子表示）
【答案】或或
【解析】【解答】解：第一种情况：
当点P在AB，CD之间时，过点P作PM//AB，
∵AB//PM，
∴∠BGP=∠GPM=，
∵AB//CD，AB//PM，
∴PM//CD，
∴∠DHP=∠MPH=，
∵∠GPH=∠GPM+∠MPH，
∴∠GPH=；
第二种情况：
当点P在AB上方时，过点P作PM//AB，
∵PM//AB，
∴∠BGP=∠MPG，
∵∠BGP=，
∴∠MPG=，
∵AB//CD，
∴CD//PM，
∴∠DHP=∠MPH，
∵∠DHP=，
∴∠MPH=，
∵∠MPH=∠MPG+∠GPH，
∴=+∠GPH，
∴∠GPH=；
第三种情况：
当点P在CD下方时，过点P作PM//AB，
∵PM//AB，
∴∠BGP=∠MPG，
∵∠BGP=，
∴∠MPG=，
∵AB//CD，
∴CD//PM，
∴∠DHP=∠MPH，
∵∠DHP=，
∴∠MPH=，
∵∠MPG=∠MPH+∠GPH，
∴=+∠GPH，
∴∠GPH=；
综上，∠GPH的值为 或或 ，
故答案为： 或或 .
【分析】分类讨论：①当点P在AB，CD之间时，过点P作PM//AB，②当点P在AB上方时，过点P作PM//AB，③当点P在CD下方时，过点P作PM//AB，再分别利用平行线的性质及角的运算求解即可.
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．
（1）计算：；
（2）解方程组：
【答案】（1）解：原式=-2+3+-1
=；
（2）解：将①代入②得3x+4(x-3)=9，
解得x=3，
将x=3代入①得y=0，
∴该方程组的解为.
【解析】【分析】（1）先根据立方根、算术平方根及绝对值的性质分别化简，再计算有理数的加减法运算即可；
（2）利用代入消元法解方程组，首先将①代入②消去y求出x的值，再将x的值代入①求出y的值，从而即可得出方程组的解.
18．某商店4月份购进一批T恤衫，进价合计3200元．由于该T恤衫十分畅销，商店又于5月份购进一批同品牌T恤衫，进价合计6800元，数量是4月份的2倍，但每件进价涨了2.5元．
（1）求商店4月份购进T恤衫多少件？
（2）这两批T恤衫开始都以每件60元出售，到6月初，商店把剩下的40件打九折出售，很快售完，求商店共获毛利润（销售收入减去进价总计）多少元？
【答案】（1）解：设商店4月份购进T恤衫的进价为x元/件，则5月份的进价为（x+2.5）元，
由题意得：
解得：
经检验，x=40是原方程的根且符合题意．
∴3200÷40=80（件）
答：商店4月份购进T恤衫80件．
（2）解：依题意：5月份的购进T恤衫：（件）
（元）
答：商店共获毛利润4160元．
【解析】【分析】（1）设商店4月份购进T恤衫的进价为x元/件，则5月份的进价为（x+2.5）元，根据题意得等量关系“四月份的购买数量×2=五月份的购买数量”，即可列出方程，求解并检验后，再用3200÷x，即可解答；
（2）根据利润等于销售收入减去进价总计即可列式求解．
（1）解：设商店4月份购进T恤衫x件，则5月份购进了件．
由题意得：
解得：
经检验，是原方程的根且符合题意．
答：商店4月份购进T恤衫80件．
（2）解：依题意：5月份的购进T恤衫：（件）
（元）
答：商店共获毛利润4160元．
19．如图，．
（1）若是的平分线，，求的大小
（2）若，那么平分吗？请说明理由．
【答案】（1）解：∵是的平分线
∴
又∵
∴
∴
而
∴
（2）解：平分，理由：
∵
∴
又∵
∴
∴平分
【解析】【分析】（1）根据角平分线的定义得∠EAD=∠CAD，再根据平行线的性质得∠B=∠EAD，∠C=∠CAD，最后等量代换得出答案.
（2）根据平行线的性质得∠B=∠EAD，∠C=∠CAD，接着结合已知∠B=∠C根据等量代换得出∠EAD=∠CAD，最后答案根据角平分线的定义得证.
20．已知多项式①x2－2xy；②x2－4y2；③x2－4xy＋4y2．
（1）把这三个多项式因式分解．
（2）老师问：“三个等式①＋②＝③；①＋③＝②；②＋③＝①；能否同时成立 ”圆圆同学说：“只有当x＝y＝0时，三个等式能同时成立，其他x，y的值都不能使之成立．”你认为圆圆同学的说法正确吗 为什么
【答案】（1）解：①x2-2xy=x(x-2y)；
②x2-4y2=(x+2y)(x-2y)；
③x2-4xy+4y2=(x-2y)2.
（2）圆圆同学的说法不正确，理由如下：
∵①＋②=③，=x2-4xy+4y2，
∴x2-2xy+x2-4y2=x(x-2y)+(x+2y)(x-2y)=2(x-2y)（x+y）=(x-2y)2，
即(x-2y)（x+4y）=0；
∵①＋③＝②，
∴x(x-2y)+(x-2y)2=(x+2y)(x-2y)，
整理得：(x-2y)（x-4y）=0；
∵②＋③＝①，
∴(x+2y)(x-2y)+(x-2y)2=x(x-2y)，
整理得：x(x-2y)=0；
∵上述3个等式同时成立，
∴x-2y=0，或x+4y=x-4y=x，
∴x=2y，或x=y=0.
故圆圆同学的说法不正确.
【解析】【分析】（1）由题意，根据提公因式法、平方差公式、完全平方公式分解因式即可；
（2）根据题意列出对应的等式并结合（1）的结论整理分解因式，然后由三个等式同时成立分情况讨论即可判断求解.
21．下面是小张同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并回答相应的问题．
解方程组：解：①×3，得…第一步②﹣③，得…第二步…第三步代入①，得…第四步所以，原方程组的解为第五步
（1）小彬同学的解题过程从第 　 　步开始出现错误；
（2）请写出正确的解题过程；
（3）解二元一次方程组的基本思想是“消元”，即把“二元”变为“一元”，在此过程中体现的数学思想是 　 　（填序号）．
.数形结合．类比思想．转化思想．分类讨论
【答案】（1）二
（2）解：由题意，，得．，得．
∴．
把代入，
∴．
∴原方程组的解为．
（3）
【解析】【解答】解：（1）由题意，根据二元一次方程组的解法，得，．
∴第二步开始出现错误．
故答案为：二．
解：（3）第二步的基本思想是“消元”，即把“二元”变为“一元”，在此过程中体现的数学思想是转化思想，
故选：．
【分析】（1）依据题意，利用二元一次方程组的解法，结合加减消元法，观察可判断，即可求解；
（2）依据题意，根据二元一次方程组的解法，结合加减消元法，先求得，再将，代入，进而得到方程组的解；
（3）依据题意，将“二元”转化为“一元”，体现了转化的思想，即可得到答案．
（1）解：由题意，根据二元一次方程组的解法，得，．
∴第二步开始出现错误．
故答案为：二．
（2）解：由题意，，得．
，得．
∴．
把代入，
∴．
∴原方程组的解为．
（3）解：第二步的基本思想是“消元”，即把“二元”变为“一元”，在此过程中体现的数学思想是转化思想，
故选：．
22． 已知，关于的分式方程．
（1）当，时，求分式方程的解；
（2）当时，求为何值时分式方程无解；
（3）若，且、为正整数，当分式方程的解为整数时，求的值．
【答案】（1）解：把，代入分式方程 中，
得，
方程两边同时乘，
，
，
，
，
检验：把 代入，
所以原分式方程的解是．
（2）解：把代入分式方程 得，
方程两边同时乘，
，
，
，
当时，即，方程无解；
当时，，
时，分式方程无解，即，不存在；
时，分式方程无解，即，．
综上所述，或时，分式方程 无解．
（3）解：把代入分式方程 中，得：，
方程两边同时乘，
，
整理得：，
，
，且为正整数，为整数，
必为的因数，，
，
的因数有、、、、、、、，
但、、小于，不合题意，故可以取、、、、这五个数．
对应地，方程的解为、、、、，
由于为分式方程的增根，故应舍去．
对应地，只可以取、、、，
所以满足条件的可取、、、这四个数．
【解析】【分析】（1）把a、b的值代入方程中，再解分式方程并检验即可；
（2）把a的值代入方程中，再解关于x的方程。无解有两种情况：一是整式方程无解，二是解为增根；
（3）把a=3b代入方程中，解关于x的方程，利用整除性、结合增根求解。
23．已知直线，垂足为点，点A，B分别在直线OA，OB上.点是平面上任一点，连接PA，PB
（1）当点P在如图1所示位置时，，则　 　°；
（2）当点移动到如图2所示位置时，求之间的数量关系，并说明理由：
（3）如图3，在(2)的条件下分别作的角平分线交于点，
①若，求的度数；
②请直接写出和的数量关系.
【答案】（1）140
（2）结论：∠APB=90°-∠OAP-∠OBP
证明：过点P作PF∥OB，
同理可证AC∥PF∥OB，PF⊥AO，
∴∠OBP=∠BPF，∠ADP=90°，
∴∠OAP+∠APD=90°即∠OAP+∠APB-∠BPF=90°，
∴∠OAP+∠APB-∠OBP=90°，
∴∠APB=90°-∠OAP-∠OBP.
（3）解：①过点Q作QM∥OB，交AO于点G，
由（2）的规律可知∠AQB=90°-∠OAQ-∠OBQ，∠APB=90°-∠OAP-∠OBP，
∴∠OAP+∠OBP=90°-∠APB=90°-60°=30°，
∵AQ，BQ分别平分∠OAP，∠OBP，
∴∠OAP=2∠OAQ，∠OBP=2∠OBQ，
∴2∠OAQ+2∠OBQ=30°，
∴∠OAQ+∠OBQ=15°，
∴∠AQB=90°-15°=75°.
②∠APB和∠AQB的数量关系为∠AQB=45°-∠APB.
理由：由（2）的规律可知∠AQB=90°-∠OAQ-∠OBQ，∠APB=90°-∠OAP-∠OBP，
∠OAP=2∠OAQ，∠OBP=2∠OBQ，
∴∠OAP+∠OBP=2∠OAQ+2∠OBQ=2（∠OAQ+∠OBQ），∠OAP+∠OBP=90°-∠APB，
∴∠OAQ+∠OBQ=（∠OAP+∠OBP）=（90°-∠APB），
∴∠AQB=90°-（90°-∠APB）=45°-∠APB.
【解析】【解答】解：（1）过点P作PE∥OB，
∵AC∥OB，OA⊥OB，
∴AC∥OB∥PE，OA⊥AC
∴∠CAP+∠APE=180°，∠BPE=∠OBP=30°，
∴∠OAP+∠CAP=90°，
∴∠CAP=90°-20°=70°，
∴∠APE=180°-70°=110°，
∴∠APB=∠APE+∠BPE=110°+30°=140°.
故答案为：140
【分析】（1）过点P作PE∥OB，结合已知条件可证得AC∥OB∥PE，OA⊥AC，理由平行线的性质可推出∠CAP+∠APE=180°，∠BPE=∠OBP=30°，可求出∠CAP，∠APE的度数，然后根据∠APB=∠APE+∠BPE，代入计算求出∠APB的度数.
（2）过点P作PF∥OB，同理可证AC∥PF∥OB，PF⊥AO，利用平行线的性质可证得∠OAP+∠APB-∠OBP=90°，即可求解.
（3）①过点Q作QM∥OB，交AO于点G，由（2）的规律可知∠AQB=90°-∠OAQ-∠OBQ，∠APB=90°-∠OAP-∠OBP，可求出∠OAP+∠OBP的度数，理由角平分线的定义可证得∠OAP=2∠OAQ，∠OBP=2∠OBQ，据此可推出∠OAQ+∠OBQ的度数，即可求出∠AQB的度数；②由（2）的规律可知∠AQB=90°-∠OAQ-∠OBQ，∠APB=90°-∠OAP-∠OBP，∠OAP=2∠OAQ，∠OBP=2∠OBQ，可表示出∠OAQ+∠OBQ，然后代入可得∠APB和∠AQB的数量关系.
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