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【决战期末·50道解答题专练】浙教版数学八年级下册期末总复习
1．某校为加强劳动教育，需招聘一位劳动教师．经过对甲、乙两名候选人进行测试，他们的各项测试成绩如下表所示．根据实际需要，学校将笔试、上课、答辩三项测试得分按的比例来确定个人的综合测试成绩，请判断谁会被录取，并说明理由．
候选人 笔试 上课 答辩
甲
乙
2．如果一个多边形的每一个外角都等于与它相邻的内角，那么这个多边形是几边形？求这个多边形的每一个内角是多少度.
3．已知点和点，试根据下列条件求出a，b的值.
（1）A，B两点关于轴对称.
（2）A，B两点关于原点对称.
（3）AB//x轴.
4．某超市打算购进一批苹果．现从甲、乙两个供应商供应的苹果中各随机抽取10个，测得它们的直径（单位：mm）如下：
苹果编号供应商 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
甲 76 83 80 77 80 79 81 78 83 83
乙 81 79 83 76 80 75 86 76 88 76
任务：为更好地包装出售，超市要从甲、乙两个供应商中挑选一个合作商，根据所学统计知识作出更加合理的选择，说明理由．
5．如图，一次函数与反比例函数的图象相交于，两点，，的坐标分别为，．
（1）分别求出一次函数和反比例函数的解析式；
（2）已知点，，分别在一次函数和反比例函数上，当时，直接写出的取值范围．
6．今年以来，长沙文旅各项数据增长强劲，长沙也是国内热门旅游目的地之一，4月29日，五一商圈累计客流量将近120万人次，其中外地游客占比65%左右，长沙新消费品牌因人流量大也业绩喜人，文和友5天接待客人约30万人次．
（1）请你根据以上信息，判断以下三种说法是否正确．（对的打“√”，错的打“×”）
①4月29日当天，长沙五一商圈本地游客占比45%左右．（　　）
②今年长沙文和友五一期间平均每天接待客人约6万人次．（　　）
（2）另据一报道：长沙2021年五一假期，共接待游客约200万人次，在2023年五一假期，共接待游客约288万人次，若2021年至2023年的年平均增长率保持相同，求出长沙2021年至2023年五一假期接待游客人次的年平均增长率．
7．图中的面积为，线段的长度为的3倍，求梯形的面积．
8．如图所示，某办公大楼正前方有一根高度是15米的旗杆ED，从办公楼顶端A测得旗杆顶端E的俯角α是45°，旗杆底端D到大楼前梯坎底边的距离DC是20米，梯坎坡长BC是12米，梯坎坡比为1 ：，求大楼AB的高度.
9．如图，点A 在第一象限内，AB⊥x轴于点 B，反比例函数 的图象分别交 AO，AB 于点C，D.已知点 C的坐标为(2，2)，BD=1.
（1）求 k 的值及点 D 的坐标.
（2）已知点 P 在该反比例函数的图象上，且在△ABO的内部(包括边界)，直接写出点 P 的横坐标x的取值范围.
10．某电商店铺销售一种儿童服装，其进价为每件50元，现在的销售单价为每件80元，每周可卖出200件，双十二期间，商家决定降价让利促销，经过市场调查发现，单价每件降低1元，每周可多卖出20件.
（1）若想满足每周销售利润为7500元，同时尽可能让利于顾客，则每件儿童服装应降价多少元
（2）该店铺每周可能盈利10000元吗？请说明理由。
11．某商店代销一种商品，当每件商品的售价为200元时，月销售量为20件，该商店为提高经营利润，准备采取降价的方式进行促销，经市场调查发现：当每件商品每降价10元时，月销售量就会增加5件.综合考虑各种因素，每售出一件商品共需支付厂家及其他费用80元，为了尽快减少库存，月销售量应不低于40件，求每件商品的售价定为多少元时，该商店每月可获得3000元的利润.
12． 一个长方形牧场的面积为8100平方米，长比宽多19米.这个牧场的周长是多少米
13．某著名旅游景区在2023年国庆长假期间，共接待游客达20万人次，在2025年国庆长假期间，共接待游客达万人次．
（1）求该景区2023至2025年国庆长假期间接待游客人次的年平均增长率．
（2）该景区某商店销售一款旅游纪念品，每件纪念品成本价为10元，根据销售经验，在旅游旺季，若每件纪念品定价25元，则平均每天可销售300件；若每件纪念品的价格每降低1元，则平均每天可多销售30件.2025年国庆期间，店家决定进行降价促销活动，则当每件纪念品售价定为多少元时，既能让顾客获得最大优惠，又能让店家销售此款纪念品平均每天获利4680元
14．为了解某品牌A、B两种型号扫地机器人的销售情况，商场对这两种型号的扫地机器人1～8月份的销售情况进行了调查统计，并对统计数据进行了整理分析．
数据整理：1～8月份A、B型号扫地机器人销售情况条形统计图
数据分析：
平均数 中位数 众数
A型号 a 14 12
B型号 12 b c
请认真阅读上述信息，回答下列问题：
（1）填空：　 　，　 　，　 　；
（2）请对商场八月份以后这两种型号扫地机器人的进货意向提出合理的建议，并说明理由．
15．对于解方程，小刚的做法如下：
解：等号右边提取公因式，得，步骤等号两边同时除以，得，步骤移项，得，步骤合并同类项，得．步骤
已知小刚在解方程的过程中出现了错误，请指出他开始出错的步骤，并给出正确且完整的解答过程．
16．如图所示，有一个面积为的长方形鸡场，鸡场一边靠墙（墙长），另三边用竹篱笆围成，若所围篱笆的总长为，求鸡场的长和宽各为多少米．
17．一辆汽车匀速通过某段公路，所需时间与行驶速度满足函数关系：，其图象为如图所示的一段曲线且端点为和．
求k和m的值；
若行驶速度不得超过，则汽车通过该路段最少需要多少时间？
18． 已知关于的一元二次方程．
（1）若方程的一个根为2，求的值；
（2）若方程有实数根，求的取值范围．
19．广西水果全国产量第一，而蓬勃发展的快递业，为广西的新鲜水果及时走进千家万户提供了极大便利．不同的快递公司在配送、服务、收费和投递范围等方面各具优势．火龙果种植户小丽经过初步了解，打算从甲、乙两家快递公司中选择一家合作，为此，小丽收集了10家火龙果种植户对两家公司的相关评价，并整理、描述、分析如下：
a．配送速度得分：
甲：6、6、7、7、7、8、9、9、9、10
乙：6、7、7、8、8、8、8、9、9、10
c．配送速度和服务质量得分统计表：
统计量快递公司 配送速度得分 服务质量得分
平均数 中位数 平均数 方差
甲 m 7
乙 8 8 7
b．服务质量得分统计图：
根据以上信息，回答下列问题：
（1）表格中的 ； （填“”“=”或“”)．
（2）综合上表中的统计量，你认为小丽应选择哪家公司？请说明理由．
20．如图，直线y=x+b与反比例函数y=的图象相交于A，B两点，已知点A的纵坐标为6．
（1）求b的值；
（2）若点C是x轴上一点，且△ABC的面积为3，求点C的坐标．
21．杠杆原理在生活中应用广泛，我国早在春秋时期就有使用，相传商人范蠡观农夫从井中取水受到启发，发明了称，其中就利用了杠杆原理．（杠杆原理为：阻力×阻力臂＝动力×动力臂．）现某数学兴趣小组利用所学的函数知识对以上原理进行探究：如图1，利用秤杆研究杠杆原理．用细绳绑在秤杆上的点O处并将其吊起来，在点O右侧的秤钩上挂一个物体，在点O左侧的秤杆上有一个动点A（最大距离为80cm），在点A处用一个弹簧秤向下拉．当秤杆处于水平状态时，分别测得弹簧秤的示数y（单位：N）与的长度x（单位：cm）的五组对应值，已在平面直角坐标系中描点如图2．
（1）在图2中画出y与x的函数图象，并直接写出y关于x的函数表达式为 ，自变量x的取值范围是 ．
（2）若点O的位置不变，在不改变点O与物体的距离及物体的质量的前提下，移动弹簧秤的位置，若秤杆仍处于水平状态，求弹簧秤的示数y的最小值．
22．深圳地铁线路延长段工程正在紧锣密鼓施工，原计划40天完成一段轨道铺设任务．由于采用了新的施工技术，实际只用了25天就全部完工，并且实际每天铺设的轨道长度比原计划多150米．
（1）求原计划每天铺设轨道多少米．
（2）该地铁线路某站点的装修设计图中，要在一块矩形的墙面区域内，嵌入两个相同的正方形装饰图案．已知矩形墙面的长为8米，宽为6米，嵌入装饰图案后剩余可利用的墙面面积是原来矩形墙面面积的．求正方形装饰图案的边长为多少米．
23．如图所示，已知四边形ABCD是平行四边形，AD＝3，CD＝5，若AF，BE分别是∠DAB，∠CBA的平分线．求EF的长.
24．已知反比例函数y＝ （k≠0）的图象经过点（﹣2，8）.求这个反比例函数的解析式.
25．已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为，.
（1）求的取值范围；
（2）若，满足，求实数的值.
26．已知a＋b＝－6，ab＝5，求b ＋a 的值.
27．如图，四边形中，、相交于点，是的中点，，，．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，则的面积是　 　．
28．网络购物已经被越来越多的人接受，快递行业也进入了高速发展期，某快递公司今年10月份投递快递的数量为10万件，12月份投递快递的数量为12.1万件，设每月投递快递数量的增长率相同．求该快递公司投递快递数量的月平均增长率．
29． 如图， 的对角线相交于点 ， 点 在边 的延长线上， 且 ， 连结 ．
（1）求证： ．
（2） 设 与 相交于点 ， 若 ， 求线段 的长．
30．如图，分别以a，b，m，n为边长作正方形 ．
（1）若，，求图1中两个正方形的面积之和；
（2）若，，求图2中的长；
（3）已知且满足，．若图1中两个正方形的面积和为2，图2中四边形的面积为3，求的面积．
31．某学校举办的“青春之歌”主题歌手大赛分为初赛和决赛两个阶段．初赛由10名教师评委和45名学生评委给每位选手打分（百分制）．对评委给某位选手的打分进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．
a．教师评委打分：84 90 90 91 91 91 91 92 94 96；
b．学生评委打分的频数分布直方图如下（数据分6组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，第6组）；
c．评委打分的平均数、中位数、众数如下：
平均数 中位数 众数
教师评委 91 91 m
学生评委 90.8 n 93
根据以上信息，回答下列问题：
（1）m的值为______，n的值位于学生评委打分数据分组的第______组；
（2）若去掉教师评委打分中的最高分和最低分，求其余8名教师评委打分的平均数，并比较与原平均数的大小；
（3）决赛由5名专业评委给每位选手打分（百分制）．对每位选手，计算5名专业评委给其打分的平均数，平均数较大的选手排序靠前，5名专业评委给进入决赛的甲、乙、丙三位选手的打分如下：
评委1 评委2 评委3 评委4 评委5
甲 91 92 92 92 92
乙 90 90 92 93 92
丙 90 94 90 94 k
若丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，则这三位选手中排序最靠前的是_____，表中k（k为整数）的值为 ．
32．在学校组织的跳绳达人比赛中，七、八两个年级参赛人数相同，成绩分为五个等级，依次为100分，90分，80分，70分和60分，王老师选取了七、八两个年级的成绩整理并绘制了统计图：（单位：分)
中位数 众数 平均数 方差
七年级 a 70 80.8 199.36
八年级 80 b c 120
（1）根据以上信息，求出表中a，b，c的值：a=　 　，b=　 　，c=　 　；
（2）根据表格中的统计量，你认为在此次跳绳比赛中，哪个年级的成绩更好？请说明理由.
33．已知某平台在售的故宫文创产品书灯有A，B两个系列，A系列产品比B系列产品的售价低50元，1000元购买A系列产品的数量与1500元购买B系列产品的数量相等．按定价销售一段时间后发现：B系列产品按定价销售，每天可以卖500件，若B系列产品每降1元，则每天可以多卖10件．
（1）A系列产品和B系列产品的售价各是多少？
（2）为了使B系列产品每天的销售额为96000元，而且尽可能让顾客得到实惠，求B系列产品的实际售价应定为多少元/件？
34．杠杆原理在生活中被广泛应用（杠杆原理：阻力阻力臂动力动力臂），小明利用这一原理制作了一个称量物体质量的简易“秤”（如图．制作方法如下：
第一步：在一根匀质细木杆上标上均匀的刻度（单位长度，确定支点，并用细麻绳固定，在支点左侧的处固定一个金属吊钩，作为秤钩；
第二步：取一个质量为的金属物体作为秤砣．
（1）图1中，把重物挂在秤钩上，秤砣挂在支点右侧的处，秤杆平衡，就能称得重物的质量．当重物的质量变化时，的长度随之变化．设重物的质量为，的长为．写出关于的函数解析式；若，求的取值范围．
（2）调换秤砣与重物的位置，把秤砣挂在秤钩上，重物挂在支点右侧的处，使秤杆平衡，如图2．设重物的质量为，的长为，写出关于的函数解析式，完成下表，画出该函数的图象．
0.25 0.5 1 2 4
▲ ▲ ▲ ▲ ▲
35．在 中， 相交于点 ，分别过点 作 于点 ， 于点 ，且 ．
（1）求证：四边形 是平行四边形；
（2）若 ，求 的长．
36．如图，D是△ABC边BC上的点，连接AD，∠BAD＝∠CAD，BD＝CD.
用两种不同方法证明AB＝AC.
37．如图，在四边形 ABCD中，AB∥CD，点E在边AB 上， ▲ .请从“①∠B=∠AED；②BE=CD”这两组条件中任选一组作为已知条件，填在横线上（填序号)，再解决下列问题：
（1）求证：四边形 BCDE为平行四边形.
（2）若AD⊥CD，AD=8，BC=10，AE=CD，求平行四边形 BCDE 的面积.
38．如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB=AD.
（1）求证：AC⊥BD.
（2）若点E，F分别为AD，AO的中点，连结EF，且求BD的长及四边形ABCD的周长.
39．小明同学从一张面积为5的正方形Ⅰ中剪出一个面积为2的小正方形Ⅱ，并按如图所示摆放，其中A，B，C三点共线，求线段AD的长．
40．如图，，是正方形的对角线上的两点，且．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若正方形边长为，，求菱形的面积．
41．已知：直角，．
求作：矩形，使为矩形的一个内角，矩形的其余各顶点都在的各边上，且点到两点的距离相等．
42．已知某可变电阻两端的电压为定值，使用该可变电阻时，电流与电阻是反比例函数关系，函数图象如图所示．
（1）求关于的函数表达式．
（2）若要求电流不超过，则该可变电阻应控制在什么范围？
43．如图，△PAB的直角顶点P在第四象限，顶点A、B分别落在反比例函数 图象的两个分支上，且PB⊥x轴于点C，PA⊥y轴于点D，AB分别与x轴，y轴相交于点E、F已知B（1，3）
（1）k=　 　；
（2）试说明AE=BF；
（3）当四边形ABCD的面积为 时，求点P的坐标。
44．已知一次函数的图象与反比例函数 图象相交于，两点， 其中点的横坐标与点的纵坐标都是，如图：
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）在轴是否存在一点使为等腰三角形？若存在，请求出符合条件的点坐标；若不存在，请说明理由．
45．若x，y为实数，且 ，化简： .
46．设a>b>c>0，已知关于a的方程x2-（a+b+c）x+ab+bc+ca=0.
（1）若方程有实根，求证：a，b，c不能成为一个三角形的三条边长；
（2）若方程有实根x0，求证：b+c（3）当方程的两个实根分别为6，9时，求正整数a，b，c的值.
47．如图1，图2，图3，将一块含角的直角三角尺放置在锐角三角形上，使得该三角板的两条直角边，恰好分别经过点D，E．
（1）如图1，若，，，求的度数；
（2）如图2，改变的位置，使点C在外，且在边的左侧，边与边交于点P，求与之间的数量关系；
（3）如图3，若，，且边与边在同一条直线上，固定三角尺，将绕点D按顺时针方向以每秒的速度进行旋转．
①在绕点D旋转一周的过程中，当边恰好与边平行时，求旋转时间；
②若绕点D不停旋转，在旋转过程中，若边和的一条边平行（不包括共线的情况），则称之为一次“边平行”，直接写出第15次边平行时旋转的时间．
48．如图1，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，，现同时将点A，B分别向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到A，B的对应点C，D，连接，，．
（1）写出点C，D的坐标并求出四边形的面积．
（2）在x轴上是否存在一点F，使得三角形的面积是三角形面积的2倍，若存在，请求出F的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）如图2，点P是直线上一个动点，连接，，当点P在直线上运动时，请直接写出与，的数量关系．
49．下面是证明三角形中位线定理的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明．
三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
已知：如图，在中，点D，E分别是，边的中点．求证：，且．
（1）方法一：证明：如图，延长到点，使，连接，，．
（2）方法二：证明：如图，取中点，连接并延长到点，使，连接．
50．如图，在四边形中，，，对角线，交于点，平分，过点作交的延长线于点，连接．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，求的长；
（3）在（2）的条件下，已知点是线段上一点，且，求的长．
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【决战期末·50道解答题专练】浙教版数学八年级下册期末总复习
1．某校为加强劳动教育，需招聘一位劳动教师．经过对甲、乙两名候选人进行测试，他们的各项测试成绩如下表所示．根据实际需要，学校将笔试、上课、答辩三项测试得分按的比例来确定个人的综合测试成绩，请判断谁会被录取，并说明理由．
候选人 笔试 上课 答辩
甲
乙
【答案】解：甲会被录取，理由如下：
甲的成绩为：
乙的成绩为：
∵
∴甲会被录取
【解析】【分析】根据加权平均数的计算法则，计算出甲和乙的平均分数，最后比较两个人的结果即可.
2．如果一个多边形的每一个外角都等于与它相邻的内角，那么这个多边形是几边形？求这个多边形的每一个内角是多少度.
【答案】解：∵一个多边形的每一个外角都等于与它相邻的内角，
∴每个外角的度数是180°÷2=90°，
则边数是360°÷90°=4.
故这个多边形的每一个内角是90°，它是四边形.
【解析】【分析】 根据多边形的每一个外角都等于与它相邻的内角的和等于180°，结合题意即可解答.
3．已知点和点，试根据下列条件求出a，b的值.
（1）A，B两点关于轴对称.
（2）A，B两点关于原点对称.
（3）AB//x轴.
【答案】（1）解：∵关于x轴对称的两点横坐标不变，纵坐标互为相反数.
∴解得、
（2）解：∵关于原点对称的两点横纵坐标都互为相反数.
∴解得
（3）解：∵平行于x轴的两点组成的线段，这条线段上所有点的纵坐标相等，且A，B两点不能重合.
∴解得
【解析】【分析】(1)因为A、B两点关于x轴对称，根据某点关于x轴对称点的规律即可得出：a-1=2，b-1=-5由此即可求出a、b的值.
(2)因为A、B两点关于原点对称，根据某点关于原点对称的规律即可得出：a-1=-2，b-1=-5，由此即可求出a、b的值.
(3)因为AB//x轴，①AB两点的纵坐标相等，即b-1=5，解得b=6，②AB两点不能重合，因此a-1≠2，解得a≠3.
4．某超市打算购进一批苹果．现从甲、乙两个供应商供应的苹果中各随机抽取10个，测得它们的直径（单位：mm）如下：
苹果编号供应商 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
甲 76 83 80 77 80 79 81 78 83 83
乙 81 79 83 76 80 75 86 76 88 76
任务：为更好地包装出售，超市要从甲、乙两个供应商中挑选一个合作商，根据所学统计知识作出更加合理的选择，说明理由．
【答案】解：甲供应商的苹果直径平均数为：
，
乙供应商的苹果直径平均数为：
，
甲供应商的苹果直径方差为：
，
乙供应商的苹果直径方差为：
，
选择甲供应商作为合作商，理由如下：
甲和乙的平均数相同，从方差角度上看，甲供应商的方差为5.8，小于乙供应商的方差18.4，所以甲供应商的苹果大小更整齐，更易于包装出售，因此选取甲供应商作为合作商．
【解析】【分析】平均数是指一组数据之和，除以这组数的个数；方差就是一组数据的各个数据与其平均数差的平方和的算术平均数，然后比较平均数的大小及结合“方差是反映一组数据的波动大小的一个量，方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好”进行说明即可.
5．如图，一次函数与反比例函数的图象相交于，两点，，的坐标分别为，．
（1）分别求出一次函数和反比例函数的解析式；
（2）已知点，，分别在一次函数和反比例函数上，当时，直接写出的取值范围．
【答案】（1）解：∵在反比例函数上，
∴把，代入得：，
解得：，
∴反比例函数解析式为：，
∵在反比例函数上，
∴把，代入得：，
∴，
设直线的函数解析式为：，分别代入和点得：
，
解得：，
∴一次函数解析式为：，
（2）解：把代入可得：，
把代入可得：，
∵，
∴，
又∵点的横坐标为，点的横坐标为
∴当时，结合图象可得：或．
【解析】【分析】（1）把代入即可得到反比例函数解析式，进而求出点A的坐标为，然后把代入一次函数解析式即可；
（2）把代入可得：，把代入可得：，根据题意即可知：当时，即为，进而结合函数图象即可求解．
6．今年以来，长沙文旅各项数据增长强劲，长沙也是国内热门旅游目的地之一，4月29日，五一商圈累计客流量将近120万人次，其中外地游客占比65%左右，长沙新消费品牌因人流量大也业绩喜人，文和友5天接待客人约30万人次．
（1）请你根据以上信息，判断以下三种说法是否正确．（对的打“√”，错的打“×”）
①4月29日当天，长沙五一商圈本地游客占比45%左右．（　　）
②今年长沙文和友五一期间平均每天接待客人约6万人次．（　　）
（2）另据一报道：长沙2021年五一假期，共接待游客约200万人次，在2023年五一假期，共接待游客约288万人次，若2021年至2023年的年平均增长率保持相同，求出长沙2021年至2023年五一假期接待游客人次的年平均增长率．
【答案】（1）×，√
（2）解：设长沙2021年至2023年五一假期接待游客人次的年平均增长率为x．根据题意，得
解得：，（不合题意，舍去）
答：长沙2021年至2023年五一假期接待游客人次的年平均增长率为20%
【解析】【解答】（1）解：①∵外地游客占比65%左右，
∴本地游客占比为，
故4月29日当天，长沙五一商圈本地游客占比45%左右是错误的．
②文和友5天接待客人约30万人次，
∴平均每天接待客人约为（万人次），
故今年长沙文和友五一期间平均每天接待客人约6万人次是正确的．
故答案为：①×；②√．
【分析】（1）利用整体1减去外地游客的占比求出本地游客的占比，利用“文和友5天接待客人约30万人次”四算平均每天接待客人的数量判断解题；
（2）设年平均增长率为x，根据题意列一元二次方程解答即可．
（1）解：①∵外地游客占比65%左右，
∴本地游客占比为，
故4月29日当天，长沙五一商圈本地游客占比45%左右是错误的．
②文和友5天接待客人约30万人次，
∴平均每天接待客人约为（万人次），
故今年长沙文和友五一期间平均每天接待客人约6万人次是正确的．
故答案为：①×；②√．
（2）设长沙2021年至2023年五一假期接待游客人次的年平均增长率为x．根据题意，得
解得：，（不合题意，舍去）
答：长沙2021年至2023年五一假期接待游客人次的年平均增长率为20%．
7．图中的面积为，线段的长度为的3倍，求梯形的面积．
【答案】解：∵的面积为，线段的长度为的3倍，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【解析】【分析】先利用三角形的面积计算公式可求出，再根据平行线间的距离相等及同底等高三角形面积相等求出，根据，可求出，再根据等高的三角形的面积之比等于对应底底之比可求求出，再将三角形的面积相加可求出梯形的面积．
8．如图所示，某办公大楼正前方有一根高度是15米的旗杆ED，从办公楼顶端A测得旗杆顶端E的俯角α是45°，旗杆底端D到大楼前梯坎底边的距离DC是20米，梯坎坡长BC是12米，梯坎坡比为1 ：，求大楼AB的高度.
【答案】解：延长AB交DC于点H，作EG⊥AB于点C，则CH=ED=15米。EC=DM．
∵梯坎坡比为1：，
∴BH：CH=1：.
设BH=x米，则米，
在Rt△BCH中，
，
∴x2+(x)2=122 ，解得x=±6(负值舍去) .
∴BH=6米，CH=6米． ．
∴BG=GH-BH=15-6=9(米) ，
EG= DH=CH+CD=(6 +20)米，
∵∠α=45°，
∴∠EMG=90°-45°=45°．
∴△AEG是等腰直角三角形，
∴AG=EG=(6+20)米，
∴AB=AG+BG=6+20+9= (6+29)米.
【解析】【分析】根据设BH=x米，用x表示出CH，利用勾股定理得出关于x的方程求解，再说明 △AEG是等腰直角三角形， 就可求得AG，再用线段之和求得AB.
9．如图，点A 在第一象限内，AB⊥x轴于点 B，反比例函数 的图象分别交 AO，AB 于点C，D.已知点 C的坐标为(2，2)，BD=1.
（1）求 k 的值及点 D 的坐标.
（2）已知点 P 在该反比例函数的图象上，且在△ABO的内部(包括边界)，直接写出点 P 的横坐标x的取值范围.
【答案】（1）解：∵反比例函数图象经过点C（2，2），
∴，解得k=4.
∴ 反比例函数解析式为.
又∵BD=1，∴点D 的纵坐标为1，
将y=1代入中，则x=4.
∴点D的坐标为(4，1).
∴k的值为4，点 D的坐标为(4，1).
（2）2≤x≤4.
【解析】【解答】解：（2）∵点C（2，2），点D(4，1），点 P 在该反比例函数的图象上，且在△ABO的内部(包括边界)，
∴点 P 的横坐标x的取值范围2≤x≤4.
【分析】 (1)、 根据反比例的函数图象经过点C，将C代入反比例的解析式中可求出k，得到反比例函数表达式，再把y=1代入到表达式中即可求出点D坐标.
(2)、根据点C、点D的横坐标，直接得到P 的横坐标x的取值范围即可.
10．某电商店铺销售一种儿童服装，其进价为每件50元，现在的销售单价为每件80元，每周可卖出200件，双十二期间，商家决定降价让利促销，经过市场调查发现，单价每件降低1元，每周可多卖出20件.
（1）若想满足每周销售利润为7500元，同时尽可能让利于顾客，则每件儿童服装应降价多少元
（2）该店铺每周可能盈利10000元吗？请说明理由。
【答案】（1）解：设每件降价元，则新售价为元，进价仍为50元，单件利润为元。降价后每周销量为件，
∴ ，
解得：
∵要尽可能让利于顾客，
∴需选择降价更多的解，即元
（2）解：设每周利润为10000元，则：，
整理得： ，
∴∴无法通过降价使每周利润达到10000元
【解析】【分析】（1）设每件降价元，则新售价为元，进价仍为50元，单件利润为元。降价后每周销量为件，得到方程 ，解此方程即可求解；
（2）设每周利润为10000元，则：，根据一元二次方程根的判别式计算即可.
11．某商店代销一种商品，当每件商品的售价为200元时，月销售量为20件，该商店为提高经营利润，准备采取降价的方式进行促销，经市场调查发现：当每件商品每降价10元时，月销售量就会增加5件.综合考虑各种因素，每售出一件商品共需支付厂家及其他费用80元，为了尽快减少库存，月销售量应不低于40件，求每件商品的售价定为多少元时，该商店每月可获得3000元的利润.
【答案】解：设售价定为x元时，该商店可获得月利润3000元，由题意得
，
解得 ，
当x=180时，销售量为 件，
∵每天的销售量应不低于40件，
∴x=180不合题意，舍去，
∴x=140，
答：售价定140元时，该商店可获得月利润3000元．
【解析】【分析】设售价定为x元时，利用总利润3000=每一件的利润×销售量，可得到关于x的方程，解方程求出x的值，再根据为了尽快减少库存，月销售量应不低于40件，可得到符合题意的x的值，即可求解.
12． 一个长方形牧场的面积为8100平方米，长比宽多19米.这个牧场的周长是多少米
【答案】解：设长方形牧场的宽为x米，则长为(x+19)米.
由题意，得(x+19)x=8100，
解得 x1=81， x2=-100(舍去).
所以宽为 81米，长为 100米.
故这个牧场的周长为(100+81)×2=362(米).
答：这个牧场的周长是 362米.
【解析】【分析】设长方形牧场的宽为x米，则长为(x+19)米，根据矩形的面积公式列方程求出x的值解答即可.
13．某著名旅游景区在2023年国庆长假期间，共接待游客达20万人次，在2025年国庆长假期间，共接待游客达万人次．
（1）求该景区2023至2025年国庆长假期间接待游客人次的年平均增长率．
（2）该景区某商店销售一款旅游纪念品，每件纪念品成本价为10元，根据销售经验，在旅游旺季，若每件纪念品定价25元，则平均每天可销售300件；若每件纪念品的价格每降低1元，则平均每天可多销售30件.2025年国庆期间，店家决定进行降价促销活动，则当每件纪念品售价定为多少元时，既能让顾客获得最大优惠，又能让店家销售此款纪念品平均每天获利4680元
【答案】（1）解：设该景区2023至2025年国庆长假期间接待游客人次的年平均增长率为．
根据题意，得，
解得（舍去）．
答：该景区2023至2025年国庆长假期间接待游客人次的年平均增长率为．
（2）解：设当每件纪念品售价定为元时，店家销售此款纪念品平均每天可获利4680元．
根据题意，得，
整理，得，解得．
要让顾客获得最大优惠，
．
答：当每件纪念品售价定为22元时，既能让顾客获得最大优惠，又能让店家销售此款纪念品平均每天获利4680元．
【解析】【分析】（1）设该景区2023至2025年国庆长假期间接待游客人次的年平均增长率为，根据共接待游客达万人次建立方程，解方程即可求出答案.
（2）设当每件纪念品售价定为元时，店家销售此款纪念品平均每天可获利4680元，根据总利润=单件利润×总销售量建立方程，解方程即可求出答案.
（1）解：设该景区2023至2025年国庆长假期间接待游客人次的年平均增长率为．
根据题意，得，
解得（舍去）．
答：该景区2023至2025年国庆长假期间接待游客人次的年平均增长率为．
（2）设当每件纪念品售价定为元时，店家销售此款纪念品平均每天可获利4680元．
根据题意，得，
整理，得，解得．
要让顾客获得最大优惠，
．
答：当每件纪念品售价定为22元时，既能让顾客获得最大优惠，又能让店家销售此款纪念品平均每天获利4680元．
14．为了解某品牌A、B两种型号扫地机器人的销售情况，商场对这两种型号的扫地机器人1～8月份的销售情况进行了调查统计，并对统计数据进行了整理分析．
数据整理：1～8月份A、B型号扫地机器人销售情况条形统计图
数据分析：
平均数 中位数 众数
A型号 a 14 12
B型号 12 b c
请认真阅读上述信息，回答下列问题：
（1）填空：　 　，　 　，　 　；
（2）请对商场八月份以后这两种型号扫地机器人的进货意向提出合理的建议，并说明理由．
【答案】（1）14；13；14
（2）解：建议多进A型号扫地机器人.
理由：A型号扫地机器人销量的平均数、中位数均比B型号大.
【解析】【解答】(1)解：A型号平均数： (7+17+12+16+19+18+12+11)=14；
将B型销量按从小到大顺序排列为：5，8，11，12， 14， 14， 15， 17，
∵第4位和第5位的平均数为：
∴B型号中位数b=13；
∵B型销量中14出现了2次，出现的次数最多，
∴B型号众数c=14；
故答案为： 14， 13， 14；
【分析】(1)根据平均数、中位数、众数的定义，结合条形统计图，即可求解；
(2)比较平均数、中位数，进而做出决策.
15．对于解方程，小刚的做法如下：
解：等号右边提取公因式，得，步骤等号两边同时除以，得，步骤移项，得，步骤合并同类项，得．步骤
已知小刚在解方程的过程中出现了错误，请指出他开始出错的步骤，并给出正确且完整的解答过程．
【答案】解：小刚开始出错的步骤是步骤．
正确且完整的解答过程如下：
移项，得，
因式分解，得，
即，
或，
，．
【解析】【分析】
因式分解法解一元二次方程，若方程两边都能分解因式，且分解因式后有公因式，先移项，再提公因式从而化一元二次方程为两个一元一次方程并求解即可．
16．如图所示，有一个面积为的长方形鸡场，鸡场一边靠墙（墙长），另三边用竹篱笆围成，若所围篱笆的总长为，求鸡场的长和宽各为多少米．
【答案】解：设鸡场平行于墙的一边长为米，则垂直于墙的一边长为米，
根据题意，得，
化简得：，
解得：，，
∵墙长，即，
∴不合题意，舍去，
∴（米），（米），
答：鸡场的长为米，宽为米．
【解析】【分析】设鸡场平行于墙的一边长为米，则垂直于墙的一边长为米，根据“ 一个面积为的长方形鸡场 ”列出方程，再求解即可.
17．一辆汽车匀速通过某段公路，所需时间与行驶速度满足函数关系：，其图象为如图所示的一段曲线且端点为和．
求k和m的值；
若行驶速度不得超过，则汽车通过该路段最少需要多少时间？
【答案】解：（1）由题意可知函数经过点（40，1），
把（40，1）代入t=，解得：k=40，
故可得：解析式为t=，再把（m，0.5）代入t=，解得：m=80；
（2）把v=60代入t=，解得：t=，
答：汽车通过该路段最少需要小时．
【解析】【分析】（1）将点A的坐标代入函数解析式，就可以计算出常数k的值，得到完整的函数解析式后，再将点B的坐标代入解析式，即可求出m的值；
（2）先计算出当行驶速度时对应的t值，根据路段对汽车限速的要求，汽车通过该路段的全程用时不小于这个计算结果.
18． 已知关于的一元二次方程．
（1）若方程的一个根为2，求的值；
（2）若方程有实数根，求的取值范围．
【答案】（1）解：把代入，
得4-4（k+1）+k2+2=0，
整理得，
解得；
（2）解： 关于的一元二次方程 有实数根，
，
．
的取值范围为．
【解析】【分析】（1）根据方程根的定义，将x=2代入题干给出的方程可得关于字母k的方程，进而利用公式法解该方程可求出k的值；
（2）对于一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”中，当b2-4ac＞0时方程有两个不相等的实数根，当b2-4ac=0时方程有两个相等的实数根，当b2-4ac＜0时方程没有实数根，据此并结合题意列出关于字母k的不等式，求解可得k的取值范围.
19．广西水果全国产量第一，而蓬勃发展的快递业，为广西的新鲜水果及时走进千家万户提供了极大便利．不同的快递公司在配送、服务、收费和投递范围等方面各具优势．火龙果种植户小丽经过初步了解，打算从甲、乙两家快递公司中选择一家合作，为此，小丽收集了10家火龙果种植户对两家公司的相关评价，并整理、描述、分析如下：
a．配送速度得分：
甲：6、6、7、7、7、8、9、9、9、10
乙：6、7、7、8、8、8、8、9、9、10
c．配送速度和服务质量得分统计表：
统计量快递公司 配送速度得分 服务质量得分
平均数 中位数 平均数 方差
甲 m 7
乙 8 8 7
b．服务质量得分统计图：
根据以上信息，回答下列问题：
（1）表格中的 ； （填“”“=”或“”)．
（2）综合上表中的统计量，你认为小丽应选择哪家公司？请说明理由．
【答案】（1）
（2）解：小丽应选择甲公司，理由见解析解：小丽应选择甲公司.
∵配送速度得分甲和乙的得分相差不大，
服务质量得分甲和乙的平均数相同，但是甲的方差明显小于乙的方差，
∴甲更稳定，
∴小丽应选择甲公司.
【解析】【解答】解：（1）将甲快递公司的配送速度得分按从小到大进行排序后，第5个数和第6个数的平均数即为中位数，
则，
，
，
则，
故答案为：．
（2）解：小丽应选择甲公司.
∵配送速度得分甲和乙的得分相差不大，
服务质量得分甲和乙的平均数相同，但是甲的方差明显小于乙的方差，
∴甲更稳定，
∴小丽应选择甲公司.
【分析】（1）根据中位数和方差的公式可分别求得，，，进而即可得出答案；
（2）根据中位数、平均数和方差的意义，配送速度得分甲和乙的得分相差不大，服务质量得分甲和乙的平均数相同，根据甲的方差明显小于乙的方差，即可得出甲更稳定，所以小丽应选择甲公司.
（1）解：将甲快递公司的配送速度得分按从小到大进行排序后，第5个数和第6个数的平均数即为中位数，
则，
，
，
则，
故答案为：．
（2）解：小丽应选择甲公司.
∵配送速度得分甲和乙的得分相差不大，
服务质量得分甲和乙的平均数相同，但是甲的方差明显小于乙的方差，
∴甲更稳定，
∴小丽应选择甲公司.
20．如图，直线y=x+b与反比例函数y=的图象相交于A，B两点，已知点A的纵坐标为6．
（1）求b的值；
（2）若点C是x轴上一点，且△ABC的面积为3，求点C的坐标．
【答案】（1）∵点A在反比例函数y=的图象上，且点A的纵坐标为6，
∴点A的坐标为(2，6)．∵直线y=x+b经过点A，∴6=×2+b，∴b=9．
（2）如图，
设直线AB与x轴的交点为D，
设点C(a，0)．∵直线AB与x轴的交点为D，∴点D(6，0)，由题意可得
解得或
∵已知点A的纵坐标为6，
∴点B的坐标为(4，3)．
∵S△ACB=S△ACD-S△BCD，
∴3=CD×(6-3)，
∴CD=2．∴点C的坐标为(4，0)或(8，0)．
【解析】【分析】（1）根据点A的纵坐标可求出点A坐标，然后代入解析式可求即可解答；
（2）先联立直线和反比例函数解析式求出点D坐标，然后由面积的和差关系可求CD＝2，即可解答．
21．杠杆原理在生活中应用广泛，我国早在春秋时期就有使用，相传商人范蠡观农夫从井中取水受到启发，发明了称，其中就利用了杠杆原理．（杠杆原理为：阻力×阻力臂＝动力×动力臂．）现某数学兴趣小组利用所学的函数知识对以上原理进行探究：如图1，利用秤杆研究杠杆原理．用细绳绑在秤杆上的点O处并将其吊起来，在点O右侧的秤钩上挂一个物体，在点O左侧的秤杆上有一个动点A（最大距离为80cm），在点A处用一个弹簧秤向下拉．当秤杆处于水平状态时，分别测得弹簧秤的示数y（单位：N）与的长度x（单位：cm）的五组对应值，已在平面直角坐标系中描点如图2．
（1）在图2中画出y与x的函数图象，并直接写出y关于x的函数表达式为 ，自变量x的取值范围是 ．
（2）若点O的位置不变，在不改变点O与物体的距离及物体的质量的前提下，移动弹簧秤的位置，若秤杆仍处于水平状态，求弹簧秤的示数y的最小值．
【答案】（1）y，；
（2）解：由题意，∵当时，中y随x的增大而减小．
∴当x的值最大时，y最小．
∴当时．弹簧的示数最小为3．
【解析】【解答】解：（1）如图，
设这个反比例函数的表达式为y，
又过，
∴．
∴反比例函数的解析式为，自变量x的取值范围是；
故答案为：；；
【分析】（1）首先根据一个点的坐标，用待定系数法即可得出，并根据图象的位置，得出x的取值范围；
（2）根据反比例函数的增减性，即可得出当时．弹簧的示数最小为3．
（1）解：如图，
设这个反比例函数的表达式为y，
又过，
∴．
∴反比例函数的解析式为，自变量x的取值范围是；
（2）解：由题意，∵当时，中y随x的增大而减小．
∴当x的值最大时，y最小．
∴当时．弹簧的示数最小为3．
22．深圳地铁线路延长段工程正在紧锣密鼓施工，原计划40天完成一段轨道铺设任务．由于采用了新的施工技术，实际只用了25天就全部完工，并且实际每天铺设的轨道长度比原计划多150米．
（1）求原计划每天铺设轨道多少米．
（2）该地铁线路某站点的装修设计图中，要在一块矩形的墙面区域内，嵌入两个相同的正方形装饰图案．已知矩形墙面的长为8米，宽为6米，嵌入装饰图案后剩余可利用的墙面面积是原来矩形墙面面积的．求正方形装饰图案的边长为多少米．
【答案】（1）解：设原计划每天铺设轨道米，则实际每天摊铺沥青米
根据题意，得
解之得，
所以，原计划每天铺设轨道米
（2）解：设正方形装饰图案的边长为米，
根据题意，得，
解之，得（不合题意，舍去）
所以，正方形装饰图案的边长为米
【解析】【分析】（1）设原计划每天铺设轨道米，则实际每天摊铺沥青米，根据轨道总长度相等列出方程，解方程即可求出答案.
（2）设正方形装饰图案的边长为米，根据面积的熟练关系，列出方程，解方程即可求出答案.
（1）解：设原计划每天铺设轨道米，则实际每天摊铺沥青米
根据题意，得
解之得，
所以，原计划每天铺设轨道米．
（2）解：设正方形装饰图案的边长为米，
根据题意，得，
解之，得（不合题意，舍去）
所以，正方形装饰图案的边长为米．
23．如图所示，已知四边形ABCD是平行四边形，AD＝3，CD＝5，若AF，BE分别是∠DAB，∠CBA的平分线．求EF的长.
【答案】解：∵平行四边形ABCD
∴AB // CD，AD = BC
∵ AF ，BE分别是∠DAB，∠CBA的平分线
【解析】【分析】由平行四边形性质可得AB∥CD，AD = BC，从而得∠DFA＝∠FAB，∠CEB=∠EBA，再由角平分线定义得∠DAF＝∠FAB，∠CBE=∠EBA，从而得出∠DAF＝∠DFA，∠CEB=∠CBE，即DA＝DF=3，CE＝CB=3，最后由EF＝DF+EC﹣DC，代入数据计算EF的值即可．
24．已知反比例函数y＝ （k≠0）的图象经过点（﹣2，8）.求这个反比例函数的解析式.
【答案】解：∵反比例函数y＝ （k≠0）的图象经过点（﹣2，8）.
∴8＝ ，
∴k＝﹣16，
∴反比例函数的解析式为y＝ .
【解析】【分析】将点（-2，8）代入反比例函数解析式求出k的值，可得到函数解析式.
25．已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为，.
（1）求的取值范围；
（2）若，满足，求实数的值.
【答案】（1）解：由得，
（2）解：，
，
解得：，
∵，∴
【解析】【分析】(1)根据 关于的一元二次方程的两个实数根分别为， ，列出关于k的不等式求解；
（2）根据两根的和与积，结合关系式 ， 得出关于k方程求解.
26．已知a＋b＝－6，ab＝5，求b ＋a 的值.
【答案】解：∵a＋b＝－6，ab＝5，
∴a＜0，b＜0.
∴原式=
= .
【解析】【分析】首先对每一项根式进行分母有理化进行化简，然后通分，进行分式的加法运算，再用对分母提取公因式后，运用配方法对提取公因式后的分母进行整理，最后再入求值即可.
27．如图，四边形中，、相交于点，是的中点，，，．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，则的面积是　 　．
【答案】（1）证明：∵是的中点，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形；
（2）24
【解析】【解答】（2）解：∵四边形是平行四边形，，，，
∴四边形是菱形，
∴的面积．
故答案为：24．
【分析】本题考查平行线的性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定、菱形的判定与性质．
（1）根据中点的性质可得：，根据，利用平行线的性质：两直线平行，内错角相等可得，再根据，OA=OC，利用全等三角形的判定定理“”可证明，利用全等三角形的性质可得：，再根据，利用“有一组对边平行且相等的四边形为平行四边形”可证明结论；
（2）根据四边形是平行四边形，，，，利用菱形的判定定理可证明四边形是菱形，再利用菱形面积公式进行计算可求出的面积；
（1）证明：∵是的中点，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：∵四边形是平行四边形，，，，
∴四边形是菱形，
∴的面积．
故答案为：24．
28．网络购物已经被越来越多的人接受，快递行业也进入了高速发展期，某快递公司今年10月份投递快递的数量为10万件，12月份投递快递的数量为12.1万件，设每月投递快递数量的增长率相同．求该快递公司投递快递数量的月平均增长率．
【答案】解：设每月投递快递数量的增长率为 则
或
或
经检验： 不合题意，舍去，取
答：该快递公司投递快递数量的月平均增长率为10%
【解析】【分析】根据12月份投递快递的数量为12.1万件，可列方程
进行计算求解即可。
29． 如图， 的对角线相交于点 ， 点 在边 的延长线上， 且 ， 连结 ．
（1）求证： ．
（2） 设 与 相交于点 ， 若 ， 求线段 的长．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB=OD，
（2）解：由（1）知OE=OD，
∴△OFD为直角三角形，且∠OFD=90°.
在Rt△CED中，
在Rt△CEF中，根据勾股定理得CF=.
【解析】【分析】
（1）根据平行四边形对角线互相平分，结合OB＝OE可得出OD＝OB＝OE，根据等边对等角及三角形内角和推导出∠BED＝90°；
（2）先证明△OFD是直角三角形，∠OFD＝90°，用勾股定理计算出CD的长，再用面积法计算出EF，再用勾股定理计算出CF。
30．如图，分别以a，b，m，n为边长作正方形 ．
（1）若，，求图1中两个正方形的面积之和；
（2）若，，求图2中的长；
（3）已知且满足，．若图1中两个正方形的面积和为2，图2中四边形的面积为3，求的面积．
【答案】（1）解：由题意知，，
∴图1中两个正方形的面积之和为；
（2）解：由题意知，，，
∴，
由勾股定理得，，，
∴，
∴的长为4；
（3）解：由题意知，，，
∵，，
∴，，
整理得，，
解得，，
∴，
解得，，
∴的面积为1．
【解析】【分析】（1）将，， 代入正方形的面积计算公式求解即可；
（2）由题意可推导出∠ACF=90°，先由勾股定理求出AC、CF的长，再由勾股定理求出AF的长即可；
（3）根据两个正方形的面积和为2，四边形的面积为3，可得，，据此将已知的两个等式分别平方，求和后可求出，据此代入即可求出的面积.
31．某学校举办的“青春之歌”主题歌手大赛分为初赛和决赛两个阶段．初赛由10名教师评委和45名学生评委给每位选手打分（百分制）．对评委给某位选手的打分进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．
a．教师评委打分：84 90 90 91 91 91 91 92 94 96；
b．学生评委打分的频数分布直方图如下（数据分6组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，第6组）；
c．评委打分的平均数、中位数、众数如下：
平均数 中位数 众数
教师评委 91 91 m
学生评委 90.8 n 93
根据以上信息，回答下列问题：
（1）m的值为______，n的值位于学生评委打分数据分组的第______组；
（2）若去掉教师评委打分中的最高分和最低分，求其余8名教师评委打分的平均数，并比较与原平均数的大小；
（3）决赛由5名专业评委给每位选手打分（百分制）．对每位选手，计算5名专业评委给其打分的平均数，平均数较大的选手排序靠前，5名专业评委给进入决赛的甲、乙、丙三位选手的打分如下：
评委1 评委2 评委3 评委4 评委5
甲 91 92 92 92 92
乙 90 90 92 93 92
丙 90 94 90 94 k
若丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，则这三位选手中排序最靠前的是_____，表中k（k为整数）的值为 ．
【答案】（1）91；4
（2）解：若去掉教师评委打分中的最高分和最低分，记其余8名教师评委打分的平均数为：，
∴，
∴比原平均数大
（3）甲，90
【解析】【解答】（1）解：由题意得，教师评委打分中91出现的次数最多，故众数，
45名学生评委打分数据的中位数是第23个数，故n的值位于学生评委打分数据分组的第4组；
故答案为：91；4；
（3）解：甲选手的平均数为，
乙选手的平均数为，
∵丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，
∴这三位选手中排序最靠前的是甲，丙选手的平均数大于乙选手的平均数且小于甲选手的平均数，
∴，
∴，
∵k为整数，
∴k的值为90．
故答案为：甲，90．
【分析】（1）众数是指一组数据中重复出现次数最多的数据，可以是一个也可能是多个；中位数需要先对所有数据按照从小到大顺序排序，再根据样本容量取最中间的一个或最中间的两个数据的平均值；
（2）直接利用算术平均数的定义求出其余8名教师评委打分的平均数，再与原平均数进行比较即可；
（3）先由平均数的计算公式求出甲、乙的平均数，再根据丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中可得关于k的不等式，再解不等式求出满足条件的整数解即可．
（1）解：由题意得，教师评委打分中91出现的次数最多，故众数，
45名学生评委打分数据的中位数是第23个数，故n的值位于学生评委打分数据分组的第4组；
故答案为：91；4；
（2）解：若去掉教师评委打分中的最高分和最低分，记其余8名教师评委打分的平均数为：
，
∴，
∴比原平均数大；
（3）解：甲选手的平均数为，
乙选手的平均数为，
∵丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，
∴这三位选手中排序最靠前的是甲，丙选手的平均数大于乙选手的平均数且小于甲选手的平均数，
∴，
∴，
∵k为整数，
∴k的值为90．
故答案为：甲，90．
32．在学校组织的跳绳达人比赛中，七、八两个年级参赛人数相同，成绩分为五个等级，依次为100分，90分，80分，70分和60分，王老师选取了七、八两个年级的成绩整理并绘制了统计图：（单位：分)
中位数 众数 平均数 方差
七年级 a 70 80.8 199.36
八年级 80 b c 120
（1）根据以上信息，求出表中a，b，c的值：a=　 　，b=　 　，c=　 　；
（2）根据表格中的统计量，你认为在此次跳绳比赛中，哪个年级的成绩更好？请说明理由.
【答案】（1）70；80；80
（2）解：从中位数看，八年级的成绩更好；从众数看，八年级的众数更高；从方差看八年级的方差更小，因此更稳定，因此八年级成绩更好
【解析】【解答】解：（1）七年级参加跳绳比赛的人数为：4+22+4+6+14=50（人），
其中第25和26人的成绩都是70分，故中位数是70，
即a=70；
八年级学生成80分的学生占比最多，故众数是80，
即b=80；
八年级学生的平均成绩为：60×10%+70×20%+80×40%+90×20%+100×10%=80（分），
即c=80；
故答案为：70；80；80.
【分析】（1）先计算出总人数，再根据中位数的定义计算中位数即可；在扇形统计图中，占比最大的，即为众数；根据加权平均数的计算公式，即可得到八年级成绩的平均值；
（2）
33．已知某平台在售的故宫文创产品书灯有A，B两个系列，A系列产品比B系列产品的售价低50元，1000元购买A系列产品的数量与1500元购买B系列产品的数量相等．按定价销售一段时间后发现：B系列产品按定价销售，每天可以卖500件，若B系列产品每降1元，则每天可以多卖10件．
（1）A系列产品和B系列产品的售价各是多少？
（2）为了使B系列产品每天的销售额为96000元，而且尽可能让顾客得到实惠，求B系列产品的实际售价应定为多少元/件？
【答案】（1）解：设A系列单价为x元，B系列单价为元，
根据题意，得，
解方程，得，
经检验，是原方程的根，此时元，
答：A系列单价为100元，B系列单价为150元.
（2）解：设B系列定价为y元，则单件降价为元，每天的销售量为件，
根据题意，得，
整理得，
解得，
∵尽可能让顾客得到实惠，
∴定价为80元．
答：B系列产品的实际售价应定为80元．
【解析】【分析】（1）设A系列单价为x元，B系列单价为元，根据“ 1000元购买A系列产品的数量与1500元购买B系列产品的数量相等 ”列出方程，再求解即可；
（2）设B系列定价为y元，则单件降价为元，根据“ 使B系列产品每天的销售额为96000元 ”列出方程，再求解即可.
（1）设A系列单价为x元，B系列单价为元，
根据题意，得，
解方程，得，
经检验，是原方程的根，此时元，
答：A系列单价为100元，B系列单价为150元；
（2）设B系列定价为y元，则单件降价为元，
每天的销售量为件，
根据题意，得，
整理得，
解得，
∵尽可能让顾客得到实惠，
∴定价为80元．
答：B系列产品的实际售价应定为80元．
34．杠杆原理在生活中被广泛应用（杠杆原理：阻力阻力臂动力动力臂），小明利用这一原理制作了一个称量物体质量的简易“秤”（如图．制作方法如下：
第一步：在一根匀质细木杆上标上均匀的刻度（单位长度，确定支点，并用细麻绳固定，在支点左侧的处固定一个金属吊钩，作为秤钩；
第二步：取一个质量为的金属物体作为秤砣．
（1）图1中，把重物挂在秤钩上，秤砣挂在支点右侧的处，秤杆平衡，就能称得重物的质量．当重物的质量变化时，的长度随之变化．设重物的质量为，的长为．写出关于的函数解析式；若，求的取值范围．
（2）调换秤砣与重物的位置，把秤砣挂在秤钩上，重物挂在支点右侧的处，使秤杆平衡，如图2．设重物的质量为，的长为，写出关于的函数解析式，完成下表，画出该函数的图象．
0.25 0.5 1 2 4
▲ ▲ ▲ ▲ ▲
【答案】（1）解：阻力阻力臂动力动力臂，
重物秤砣，
，重物的质量为，的长为，秤砣为，
，
，
，
随的增大而增大，
当时，；当时，，
（2）解阻力阻力臂动力动力臂，
秤砣重物，
，重物的质量为，的长为，秤砣为，
，
，
当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
作函数图象如图：
【解析】【分析】
(1)根据题干公式阻力阻力臂动力动力臂，代入数据，重物的质量，的长，秤砣，得到等式，变形得到，再根据一次函数的性质：随的增大而增大，计算当时，；当时，，写出x的范围解答即可；
（2）类比（1）的方法得到，再分别代入表格中x的值计算可得y的值，再根据表格画出函数图象解答即可.
35．在 中， 相交于点 ，分别过点 作 于点 ， 于点 ，且 ．
（1）求证：四边形 是平行四边形；
（2）若 ，求 的长．
【答案】（1）解： 四边形 是平行四边形，
，
又 ，
，
，
又 ，
四边形 是平行四边形 .
（2）解： ，
，
在 中，由勾股定理得， ，
，
，
四边形 是平行四边形，
，
在 中，由勾股定理得， ，
.
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的对角线互相平分可得OA=OC，OB=OD，结合题意求得OE=OF，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形即可证明；
（2）根据勾股定理：直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方；求得AE=9，推出BF=BE+EF=18，平行四边形的对边平行且相等可得CF=AE=9，根据勾股定理即可求解.
36．如图，D是△ABC边BC上的点，连接AD，∠BAD＝∠CAD，BD＝CD.
用两种不同方法证明AB＝AC.
【答案】证法1：如图，过D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，
∵ ∠BAD＝∠CAD，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴ DE＝DF，∠BED＝90°，∠DFC＝90°，
∵ BD＝CD，
∴ Rt△BDE≌Rt△CDF，
∴ ∠B＝∠C，
∴ AB＝AC.
证法2：如图，延长AD到E，使DE＝AD.
∵ DE＝AD，BD＝CD，
∴ 四边形ABEC是平行四边形.
∴ AC＝BE，AC∥BE.
∴ ∠BED＝∠CAD.
又 ∠BAD＝∠CAD，
∴ ∠BED＝∠BAD.
∴ AB＝BE.
∴ AB＝AC.
【解析】【分析】（1）过D作DE⊥AB，DF⊥AC，利用角平分线的性质得DE＝DF，然后根据HL定理证Rt△BDE≌Rt△CDF，得∠B=∠C，根据“等角对等边”即可证明AB=AC；
（2）延长AD到E，使DE＝AD得四边形ABEC是平行四边形，利用平行四边形的性质得AC＝BE，AC∥BE，得∠BED＝∠CAD进而有∠BED＝∠BAD，所以 AB＝BE，等量代换得到A B=AC .
37．如图，在四边形 ABCD中，AB∥CD，点E在边AB 上， ▲ .请从“①∠B=∠AED；②BE=CD”这两组条件中任选一组作为已知条件，填在横线上（填序号)，再解决下列问题：
（1）求证：四边形 BCDE为平行四边形.
（2）若AD⊥CD，AD=8，BC=10，AE=CD，求平行四边形 BCDE 的面积.
【答案】（1）证明：两个条件均可，
如选①，则证明过程如下：
因为∠B=∠AED.
所以 DE∥BC.
又因为 AB∥CD.
所以四边形BCDE为平行四边形.
如选②，则证明过程如下：
因为BE=CD.又因为AB∥CD，
所以四边形BCDE为平行四边形
（2）解：因为AB‖CD且AD⊥CD，根据平行线的性质，可得AD⊥AB，即∠A=90°，
所以△ADE是直角三角形。
因为四边形BCDE是平行四边形，
所以DE=BC=10。
在Rt△ADE中，由勾股定理AD2+AD2=DE2，代入AD=8，DE=10，得AD2+82=102，
解得AE=6。
因为AE=CD，
所以平行四边形BCDE的底边CD=6，高为AD=8.
根据平行四边形面积公式S=底×高，得S平行四边形BCDE=CD×AD=6×8=48。
综上，平行四边形BCDE的面积为48。
【解析】【分析】(1)证明四边形BCDE为平行四边形，核心依据是一组对边平行且相等或两组对边分别平行。选①时，利用同位角相等证DE||BC，结合已知AB‖CD得证；选②时，直接利用BECD且BE=CD得证；
(2)求平行四边形面积，根据AD⊥CD及AB||CD得∠A=90°，结合AE=CD与BCDE是平行四边形(DE=BC=10)，在Rt△ADE中用勾股定理求高AE(即平行四边形的底边上的高)，再用面积公式S=底×高计算。
38．如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB=AD.
（1）求证：AC⊥BD.
（2）若点E，F分别为AD，AO的中点，连结EF，且求BD的长及四边形ABCD的周长.
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB=OD，
∵AB=AD，
∴AC⊥BD；
（2）解：∵点E，F分别为AD，AO的中点，EF=，
∴OD=2EF=3，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BD=2OD=6；
由（1）得：AC⊥BD，
∴平行四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD，
∵OA=2，
∴AD=，
∴四边形ABCD的周长=4AD=4.
【解析】【分析】（1）由平行四边形的对角线互相平分可得OB=OD，然后根据等腰三角形的三线合一可求解；
（2）由三角形的中位线定理得OD=2EF可求出OD的长，则BD=2OD；根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形可得平行四边形ABCD是菱形，在Rt△AOD中，用勾股定理求出AD的值，于是根据菱形的周长等于四边之和可求解.
39．小明同学从一张面积为5的正方形Ⅰ中剪出一个面积为2的小正方形Ⅱ，并按如图所示摆放，其中A，B，C三点共线，求线段AD的长．
【答案】解：由题意可知：，
∴，
∴，
∵，
∴.
【解析】【分析】根据正方形的面积分别求出Ⅰ和Ⅱ正方形边长，即可得到AC和CD的长，再利用勾股定理可得AD2=AC2+CD2，再代入数据计算即可求解.
40．如图，，是正方形的对角线上的两点，且．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若正方形边长为，，求菱形的面积．
【答案】（1）证明：如图，连接BD交AC于点O，
四边形ABCD为正方形，
，，
，
，即，
四边形BEDF为平行四边形，且，
四边形BEDF为菱形；
（2）解：正方形边长为，
，
，
，
．
【解析】【分析】（1）连接BD交AC于点O，根据正方形的性质得BD⊥AC，OA=OB=OC=OD，再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形证明四边形BEDF为平行四边形，进而根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形得到四边形BEDF是菱形 ；
（2）根据正方形的性质和勾股定理求得菱形的对角线长，进而根据菱形的面积等于两对角线乘积的一半求得菱形BEDF面积.
41．已知：直角，．
求作：矩形，使为矩形的一个内角，矩形的其余各顶点都在的各边上，且点到两点的距离相等．
【答案】解：如图，
∵到两点的距离相等，
∴分别以、为圆心大于长度为半径画弧，相交点，，连接，交于点，交于点，然后以为圆心，任意长度为半径画弧，交两点，再分别以交点为圆心，大于交点距离的一半为半径画弧交于点，连接交于点，
∴矩形即为所求．
【解析】【分析】分别以、为圆心大于长度为半径画弧，相交点，，连接，交于点，交于点，然后以为圆心，任意长度为半径画弧，交两点，再分别以交点为圆心，大于交点距离的一半为半径画弧交于点，连接交于点，矩形即为所求.
42．已知某可变电阻两端的电压为定值，使用该可变电阻时，电流与电阻是反比例函数关系，函数图象如图所示．
（1）求关于的函数表达式．
（2）若要求电流不超过，则该可变电阻应控制在什么范围？
【答案】（1）解：设，
图象经过，
，
；
（2）解：，，
．
用电器可变电阻应控制在以上．
【解析】【分析】（1）利用待定系数法可求出I关于R的函数关系式 ；
（2）根据I≤4列出不等式，求解可得R的取值范围.
43．如图，△PAB的直角顶点P在第四象限，顶点A、B分别落在反比例函数 图象的两个分支上，且PB⊥x轴于点C，PA⊥y轴于点D，AB分别与x轴，y轴相交于点E、F已知B（1，3）
（1）k=　 　；
（2）试说明AE=BF；
（3）当四边形ABCD的面积为 时，求点P的坐标。
【答案】（1）3
（2）解：设A点坐标为(a， )，则D(0， )，P(1， )，C(1，0)，∴PB=3- ，PC=- ，PA=1-a，PD=1，易证△PCD∽△PBA，所以CD∥BA.而BC∥DF，AD∥EC，
∴四边形BCDE、ADCF都是平行四边形，
∴BE=CD，AF=CD，∴BF=AE
（3）解：∵四边形ABCD的面积=
∴ ，
整理得a+ ，
∴P点坐标为(1，-2).
【解析】【解答】解：（1）把(1，3)代入
【分析】（1）将B点坐标代入反比例函数，可求得K的值。
（2）可根据边长关系证得△PCD∽△PBA，从而得出四边形BCDE、ADCF都是平行四边形，得出BF=AE。
（3）用坐标表示出边长和面积，解得a的值。
44．已知一次函数的图象与反比例函数 图象相交于，两点， 其中点的横坐标与点的纵坐标都是，如图：
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）在轴是否存在一点使为等腰三角形？若存在，请求出符合条件的点坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：反比例函数的图象经过，两点，且点的横坐标与点的纵坐标都是；
当时，；当时，
点的坐标为，点的坐标为；
经过，两点；
把，代入得：
，
解得：；
∴；
（2）解：∵，
∴
假设存在点，使为等腰三角形，分三种情况，
①，以为圆心，的长为半径画圆弧，与轴的交点即为符合条件的点，则， ；
②，以为圆心，为半径画圆弧，与轴的交点即为符合条件的点，作轴交轴与点，
，
；
③，作的垂直平分线分别交轴于点，交于点，垂直平分线与轴的交点即为符合条件的点
设
，
，
综上所述，，，，．
【解析】【分析】（1）根据题意可得点A点的坐标为，点的坐标为，再根据待定系数法将点A，B坐标代入一次函数解析式即可求出答案.
（2）根据两点间的距离公式可得，再根据等腰三角形性质得分情况讨论：①②，③，再结合源的性质即可求出答案.
（1）解：反比例函数的图象经过，两点，且点的横坐标与点的纵坐标都是；
当时，；当时，
点的坐标为，点的坐标为；
经过，两点；
把，代入得：
，
解得：；
∴；
（2）∵，
∴
假设存在点，使为等腰三角形，分三种情况，
①，以为圆心，的长为半径画圆弧，与轴的交点即为符合条件的点，则， ；
②，以为圆心，为半径画圆弧，与轴的交点即为符合条件的点，作轴交轴与点，
，
；
③，作的垂直平分线分别交轴于点，交于点，垂直平分线与轴的交点即为符合条件的点
设
，
，
综上所述，，，，．
45．若x，y为实数，且 ，化简： .
【答案】解：由题意， ，解得x=2，当x=2时，y>2，∴y-2>0，
则原式= = =-1+2=1.
【解析】【分析】根据二次根式的被开方数为非负数，列出不等式组 求解得出x的值，进而求出y的取值范围，然后根据二次根式的性质将代数式中的二次根式化简，最后根据分式除法约分，利用有理数的加减法法则算出答案。
46．设a>b>c>0，已知关于a的方程x2-（a+b+c）x+ab+bc+ca=0.
（1）若方程有实根，求证：a，b，c不能成为一个三角形的三条边长；
（2）若方程有实根x0，求证：b+c（3）当方程的两个实根分别为6，9时，求正整数a，b，c的值.
【答案】（1）解：由方程有实根得，
即
-b-c)-
由 得 即
所以 a， b，c不能成为一个三角形的三边
（2）解：设 则且
由 (1) 知
所以二次方程的实根x0都在l 与a之间，
即
（3）解：由根与系数关系有 ， ab+ bc+ ca=54，
得 -108=117<112
由 (2) 知a>9， 故得
∴a= 10.
∴b+c=5， bc=4，
由b>c，
解得
∴
【解析】【分析】(1)若一元二次方程有实根，则根的判别式 建立a、b、c的关系，则能证明.(2) 设 ，由二次函数性质可证.
(3) 由根与系数关系可得a、b、c的关系， 进而解得a、b、c的值.
47．如图1，图2，图3，将一块含角的直角三角尺放置在锐角三角形上，使得该三角板的两条直角边，恰好分别经过点D，E．
（1）如图1，若，，，求的度数；
（2）如图2，改变的位置，使点C在外，且在边的左侧，边与边交于点P，求与之间的数量关系；
（3）如图3，若，，且边与边在同一条直线上，固定三角尺，将绕点D按顺时针方向以每秒的速度进行旋转．
①在绕点D旋转一周的过程中，当边恰好与边平行时，求旋转时间；
②若绕点D不停旋转，在旋转过程中，若边和的一条边平行（不包括共线的情况），则称之为一次“边平行”，直接写出第15次边平行时旋转的时间．
【答案】（1）解：∵，，
∴，，
∵，
∴∠EFD=∠FEC+∠CED=50°.
又∵，
∴．
（2）解：由题意知，，
，∠CPD=∠FCE，
∴，
∴．
（3）解：∵△DEF中，，，
∴∠FDE=180°－∠DFE－∠FED=70°，
①当边恰好与边平行，且EF在AB下方时，记作E1F1，设BA的延长线与DE1相交于点G，AB与DF1相交于点P，如图：
∵E1F1//AB，
∴∠DPA=∠DF1E1=60°，
∴∠ADP=180°－∠DPA－∠DAP=180°－60°－∠CAB=60°.
故旋转角度为∠FDF1=180°－∠ADP=120°，
故旋转的时间为120÷20=6（秒）.
当边恰好与边平行，且EF在AB上方时，记作E2F2，如图：
∴E2F2//AB//E1F1，
∴从DF1旋转到DF2，旋转180°，
故此时旋转角度为120°+180°=300°.
∴旋转的时间为300÷20=15（秒）.
综上，当边恰好与边平行时，旋转时间为6或15秒．
②43.5秒
【解析】【解答】解：（3）②绕点D不停旋转，在旋转一周过程中，边和的一条边平行（不包括共线的情况），共有3种情况，即，，，每种情况平行两次，即旋转一周的过程中会平行六次，依次为：，，，，，；
又∵，
∴当第15次边平行时，，延长CA交EF于点G，如图所示：
∴∠DGF=∠C=90°，△GDF是直角三角形，
∴∠GDF=90°－∠DFE=30°，
∴旋转角为∠CDF=180°－∠GDF=150°，
旋转时间为150÷20=7.5（秒）
而旋转一周需要（秒），
∴第15次边平行时旋转的时间为（秒）．
故答案为：43.5秒
【分析】（1）先根据平行线的性质得到，，然后利用三角形的内角和定理解题即可；
（2）利用三角形的内角和定理和对顶角的性质可得，再移项即可得到结论；
（3）①分为在的下方和在的上方两种情况，利用平行线的性质求出旋转角∠FDF1和∠FDF2，再计算旋转时间即可；
②根据题意可知，旋转一周的过程中，会平行六次，依次为：，，，，，；然后运用，第15次平行时是，求出旋转的时间为旋转一周需要秒，以及每旋转一周的过程中EF第一次平行BC时时间，即可得到答案．
（1）解：由题意可得，，
∵，
∴，，
又∵，，
∴．
（2）由题意知，，
∵，
∴，即．
（3）①∵，，
∴，
如图，当时，设的延长线交交于点G，
则，，
∵，
∴，
∴旋转的角度为，
∴旋转时间为（秒）；
如图，当时，
则，，
∵，
∴，
∴旋转的角度为，
∴旋转时间为（秒）．
综上，当边恰好与边平行时，旋转时间为6或15秒．
②绕点D不停旋转，在旋转一周过程中，
边和的一条边平行（不包括共线的情况），共有四种情况，依次为：，，，，
而旋转一周需要（秒），
又∵，
∴当第15次边平行时，，
由①知，在旋转一周过程中，第二次时，此时旋转时间为15秒，
∴第15次边平行时旋转的时间为（秒）．
48．如图1，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，，现同时将点A，B分别向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到A，B的对应点C，D，连接，，．
（1）写出点C，D的坐标并求出四边形的面积．
（2）在x轴上是否存在一点F，使得三角形的面积是三角形面积的2倍，若存在，请求出F的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）如图2，点P是直线上一个动点，连接，，当点P在直线上运动时，请直接写出与，的数量关系．
【答案】（1）解：点，的坐标分别为，，
将点，分别向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度得，；
，，
四边形为平行四边形，
四边形的面积为：.
（2）解：存在，，，
，
三角形的面积是三角形面积的2倍，
．
点的坐标为，
点的坐标为或.
（3）当点在线段上运动时，；当点在线段的延长线上运动时，；当点在的延长线上运动时，．
【解析】【解答】解：（3）解：当点在线段上运动时，如图，延长交轴于点，
，
，
，
；
当点在线段的延长线上运动时，如图，
，
，
，
；
当点在的延长线上运动时，如图，
，
，
，
．
综上：当点在线段上运动时，；
当点在线段的延长线上运动时，；
当点在的延长线上运动时，．
故答案为：当点在线段上运动时，；当点在线段的延长线上运动时，；当点在的延长线上运动时，．
【分析】（1）先求出点平移的特征求出点C、D的坐标，再利用四边形的面积公式求解即可；
（2）利用“三角形的面积是三角形面积的2倍”可得，再结合点B的坐标求出点F的坐标即可；
（3）分类讨论：①当点在线段上运动时，②当点在线段的延长线上运动时，③当点在的延长线上运动时，再分别画出图形并利用角的运算求解即可.
49．下面是证明三角形中位线定理的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明．
三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
已知：如图，在中，点D，E分别是，边的中点．求证：，且．
（1）方法一：证明：如图，延长到点，使，连接，，．
（2）方法二：证明：如图，取中点，连接并延长到点，使，连接．
【答案】（1）解：方法一
证明：如图，延长到点，使，连接，，．
∵点D，E分别是，边的中点，
∴，，
∴四边形是平行四边形．
∴，，
∴，
∴四边形DBCF是平行四边形．
∴，．
又∵，
∴，且．
（2）解：方法二
证明：如图，取中点，连接并延长到点，使，连接．
∵点D，E分别是，边的中点，
∴，．
又∵，
∴．
∴，，
∴．
∵，
∴，，
∴四边形是平行四边形．
∴，．
∵，，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，且．
【解析】【分析】（1）延长到点，使，连接，，，先根据中点得到，，进而根据平行四边形的判定与性质得到，，四边形DBCF是平行四边形，再结合题意即可求解；
（2）取中点，连接并延长到点，使，连接，先根据中点得到，，进而运用三角形全等的判定与性质证明即可得到，，从而结合平行四边形的判定与性质即可求解。
50．如图，在四边形中，，，对角线，交于点，平分，过点作交的延长线于点，连接．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，求的长；
（3）在（2）的条件下，已知点是线段上一点，且，求的长．
【答案】（1），，
为的平分线，，
，
，四边形是平行四边形，
，平行四边形是菱形．
（2）四边形是菱形，，，
，，，，
在中，，．
（3）如图，在（2）的条件下，
，．
，，
或．
【解析】【分析】（1）先根据， 判断∠OAB=∠DCA，进而判断∠DAC=∠DAC，得出CD=AD=AB，即可得出结论；
（2）先判断出OE=OA=OA，再求出OB=1，运用勾股定理求出OA，即可求解；
（3）已知 ，利用勾股定理可得OM=1，因为M为动点，则可分两种情况求解。
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