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2026伊朗国家队选拔考试
译者注：在伊朗，自然数和自然数集N均不包括0.
第一天
题目1.对正整数的移位操作是指删去其（从左到右的)第一个非零
数码，并将其放在该数的右侧.例如，对13025进行三次移位操作后，
我们将得到5132.证明：对于所有满足gcd(a,10)=1的a,k∈N,都
存在k个两两不同的正整数n1,n2,,nk,使得gcd(n1,n2,.,nk)=a,
且对于它们中的任意两个数，其中一个数可以通过对另一个数进行若
干次移位操作得到：
题目2.在一棵个顶，点上的树上定义三角形操作如下：从树T开
始，首先添加一条边使得存在一个长度为3的圈，然后从该圈中删除
另一条边，得到一棵新的树.所得到的新树就是对T进行三角形操作
的结果.图中展示了一个三角形操作的例子
证明：存在一个正整数N,使得对于所有满足n>N的整数n和
任意两棵n个顶，点上的树T1,T2,都可以通过使用至多2n-1405次
三角形操作从T1得到T2.
题目3.在三角形ABC中，点D,E,F分别在边BC,AC,AB上，满足
BD=DE=EA且CD=DF=FA.
设BE和CF交于点P.证明：△PEF的垂心在BC上.
第二天
题目4.给定正实数a个次实系数多项式，然后他和巴拉玩以下的游戏：
在每轮中，阿拉什选择一个区间（α，b)中的数c,并将其告诉巴拉
然后巴拉选择当前黑板上的多项式的n+1个系数中的一个，将c加
到该系数上，并把新的多项式写在黑板上，替换原本的多项式.证明：
无论阿拉什如何选择，巴拉总可以进行适当的操作，使得在有限步之
后，黑板上的多项式总有n个实根.
题目5.两圆w1和w2相交于点A和B.定点C在ω1上，点P在
直线AB上且在线段AB外.点R和S分别是过点P作ω2点切线，
切点分别为，点R和S,点Q是直线CP与ω1的第二个交点.设点O
是w2的圆心.证明：当点P运动时，△QRS的外接圆总过一个直线
OC上的定点.
题目6.给定自然数n.阿里位于平面的一个点上，而平面中有n个，点
已经被涂成了蓝色.他可以按照如下规则移动.他的目标是逃离蓝色
的点！
在每次移动中，阿里可以选择一个等边三角形，满足三角形的一
个顶，点在他当前所在的位置，且没有蓝色的点在该三角形内部，然后
他可以移动到该三角形周界上的任意一点.（注意：我们不认为周界上
的点是在三角形内部，阿里所在的位置也可能就是一个蓝色点)如果
他到达了一个满足以下性质的点，则我们说他已经逃离了：对于每个
正实数C,他都可以进行一次移动，抵达一个与所有蓝色点距离均至
少为C的点.
试求最小的k的值（用含n的式子表示)，使得无论初始的n个
蓝色点如何放置，阿里都可以在至多飞步内逃离.
第三天
题目7.给定自然数n,k,粉红豹和大鼻子先生在一个n×n的棋盘上
玩回合制游戏.开始时，所有格子都是白色的.粉红豹先手.在粉红豹
的每个回合中，其选取一行或者一列，将其中所有格子染成粉色（无论
它们此前是白色还是粉色).在大鼻子先生的每个回合中，其选取一行
或一列中连续的n-1个格子，将它们染成白色.
若任何一次大鼻子先生的回合结束后，棋盘上至少有飞个粉色的
格子，则粉红豹获得游戏胜利.否则游戏继续.试求最大的k的值（用
含的式子表示)，使得无论大鼻子先生如何操作，粉红豹都可以在有
限个回合内获得胜利.
题目8.给定正整数N和正实数a1,2,,aw.对大于W的下标，我
们按如下方式递推地定义数列(a)1·
若对m≥N,数列中的数a1,a2,.,am已定义，则我们考虑所有
m+个形如a,+aj的数，其中1≤i≤j≤m.将这些数按从大到小的
顺序排列，并记它们为t≥互≥…≥tmm+山·现在我们定义am+1=tm
证明：对所有实数C,都存在一个正整数M,使得对于所有n>M,都

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