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四川省南江中学2025-2026学年高一下学期期中检测数学试题
一、单选题
1．已知复数，则复数的虚部为（ ）
A． B． C． D．
2．已知向量，则向量在上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
3．已知，且，则（ ）
A． B． C． D．
4．根据下列情况，判断三角形解的情况，其中正确的是（ ）
A．，，，有两解
B．，，，有一解
C．，，，有一解
D．，，，无解
5．在平行四边形ABCD中，为AB中点，为BC上一点，且，则（ ）
A． B． C． D．
6．在中，，，，为边AC上一点，且BD平分，则（ ）
A． B． C． D．
7．如图，设，线段DE与BC交于点，且，则的最小值为（ ）
A．8 B．9 C． D．
8．将函数的图象先向右平移个单位长度，再把所得函数图象的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若函数在上没有零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．下列代数式的值为的是（ ）
A． B．
C． D．
10．函数的部分图象如图所示，，是相邻的两个零点，则（ ）
A．
B．
C．函数的图象关于直线对称
D．若函数在区间上至少有10个零点，则实数t的最小值为
11．平面直角坐标系中，为坐标原点，点，，，则下列说法正确的是（ ）
A． B．当时，
C． D．
三、填空题
12．函数的值域为______
13．水滴是刘慈欣的科幻小说《三体Ⅱ》中提到的由三体文明使用强互作用力（SIM）材料所制成的宇宙探测器，因为其外形与水滴相似，所以被人类称为水滴．如图所示，水滴是由线段，和圆的优弧围成，其中，恰好与圆弧相切．若圆弧所在圆的半径为2，点到圆弧所在圆圆心的距离为4，则该封闭图形的面积为________．
14．如图，给定两个长度为1的平面向量和，其夹角为，点在以为圆心的圆弧上变动，若，则的最大值是______．
四、解答题
15．已知向量，满足，，，，的夹角为.
(1)；
(2)若与的夹角为钝角，求实数k的取值范围.
16．在△中，.
(1)求；
(2)若，且△的面积为，求的值.
17．已知函数图象的两条相邻的对称轴之间的距离为．
(1)求的值和在区间上的单调递减区间；
(2)当时，关于的方程有两个不相等的实数根，求实数的取值范围．
18．已知锐角三角形中，角、、的对边分别为、、，且满足.
(1)求证：；
(2)若，求的取值范围；
(3)若，求三角形面积的取值范围．
19．人工智能和大模型的领域内，文字、图象等信息常常是由向量表示的，通过计算向量之间的相似度，就可以说明两段文字或两张图片所表达内容的关联度．非零向量之间的相似度的一种定义为．
(1)菱形ABCD中，，动点在直线CD上．
（ⅰ）当时，求；
（ⅱ）求的取值范围．
(2)在信息处理的过程中，有时为了增加的相似度，会选取合适的正实数，将调整为后再纳入模型计算，证明：对任意不共线的向量，及任意正实数，总有．
参考答案
1．A
【详解】因为,所以复数的虚部为，选A.
2．C
【详解】向量在上的投影向量为.
3．A
【详解】由二倍角余弦公式可知，
即.
4．C
【详解】A中，因为，所以，
又，所以，即只有一解，故A错误；
B中，因为，所以，
且，所以，故有两解，故B错误；
C中，因，所以，
又，所以角B只有一解，故C正确；
D中，因为,,，所以，有解，故D正确.
故选：C.
5．B
【详解】因为是的中点，，
因为，所以，又，
由题意得，故B正确.
6．B
【详解】
因为BD平分，所以，
又因为，所以，，
在中，,
在中，，
所以．
7．D
【详解】解：由，，又，故，所以.
因为，所以，又三点共线，
所以.
因此，当，时，，
当且仅当，即时取等号，所以最小值为.
8．A
【详解】将函数的图象先向右平移个单位长度，得到
再把所得函数图象的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，
得到函数
由函数在上没有零点，则，则
由，可得
假设函数在上有零点，
则，则
由，可得
又，则
则由函数在上没有零点，且，可得
故选：A
9．BC
【详解】选项A：由二倍角余弦公式，
得，A错误.
选项B：由二倍角正弦公式，
得，B正确.
选项C：由同角三角函数关系，
代入得，C正确.
选项D：结合诱导公式和二倍角正弦公式计算：，D错误.
10．AD
【详解】由图可得，解得，
且有，则，即，
则，解得，
又，则，故；
对A：由上知，，故A正确；
对B：令，则，
则或，
即或，
则或，故B错误；
对C：当时，，
由不是函数的对称轴，
故不是函数的对称轴，故C错误；
对D：当时，，
令，
由B得，或，
由函数在区间上至少有10个零点，
则，解得，
故实数t的最小值为，故D正确.
11．ACD
【详解】对于A，，，所以，A正确；
对于B，，当时，，B错误；
对于C，，
因为，
所以，
因为向量夹角范围为，所以，C正确；
对于D，，
所以
，
令，则，
所以，故，D正确．
12．
【详解】，由，
得，令，则，
，函数在上单调递减，
当时，；
当时，，故函数的值域为.
13．;
【详解】取优弧所在圆的圆心，连接，，则⊥，⊥，
则，所以，则，
，
故优弧对应的圆心角为，对应的扇形面积为，
而，
所以该封闭图形的面积为.
故答案为：.
14．2
【详解】以为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系如下：
由已知条件可知，，，设，，则，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：2．
15．(1)；
(2)且.
【详解】（1）由，，，的夹角为，得，
所以.
（2）由与的夹角为钝角，得，且与不共线，
由，得，
即，解得；
由与共线，不共线，得，解得，
因此由与不共线，得，则且，
所以的取值范围为且.
16．(1)
(2)
2
【详解】（1）在△中，由及正弦定理，得，
而，则，又，所以.
（2）由及的面积为，得，解得，
因此，即为正三角形，所以.
17．(1)
(2)
【详解】（1）
由相邻对称轴间距为，得周期.
由，且得，即.
令， 解得.
结合定义域，对整数分类讨论：
取时，得区间，该区间完全包含在内，符合要求；
取时，得区间，与无交集，舍去；
取时，得区间，与无交集，舍去。
同理易得取非零整数时， 单调区间均与无交集.
综上所述，在上的单调递减区间为.
（2）方程可化为， 即函数与直线的图象有个不同交点，时， .
令， 在有最大值，最小值.
故.
如图所示：
当时，一个函数值对应个不同；
当或时，一个函数值对应个.
要使有个不等实根，需满足， 解得.
18．(1)证明见解析；
(2)
(3)
【详解】（1）∵ ，由正弦定理（为外接圆半径），
得，，
代入得，即.
∵ 在中，，∴ ，
∴ 代入上式得，
整理得，即.
∵ 为锐角三角形，∴ ，，∴ ，
∴ 若，
则或 （后者得 ，不符合三角形内角要求，舍去），
∴ ，得证.
（2）为锐角三角形，
∴ ，解得.
由正弦定理，，得.
∵ ，∴ ，，， .
∴ ，，且，
∴ .
∵ ，代入得.
令，∵ ，∴ ，则.
任取，
则.
∵ ，∴ ，又，∴ ，
∴ ，即，∴ 在上单调递增.
∴ 当时，；
当时，，
∴ .
（3）三角形面积，由正弦定理，，，
∴ ，又，，
∴ .
代入， ，
∴ .
令，由得，则，
∴ ，，
则.
令，，则，
该二次函数开口向上，对称轴为，故在上单调递增，
当；
当
∴ ，又，故，
即三角形ABC面积的取值范围为.
19．(1)（ⅰ）；（ⅱ）
(2)证明见解析
【详解】（1）如图：以为原点，建立平面直角坐标系，不妨设（）.
则，，所以
（ⅰ）因为点在直线CD上，当时，，所以.
所以，，，
所以.
（ⅱ）因为点在直线CD上，可设，则.
所以，，.
所以.
设，由，所以函数为奇函数.
当时，（当且仅当时取等号）.
所以.
所以.
（2）因为，
，.
所以.
设，，，.
则，.
问题转化为证明，即.
只需证.
因为不共线，所以，
所以，即成立.
所以成立.

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