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第01讲 空间向量及其运算
目录
01 题型归纳目录 2
02 知识点梳理 3
知识点1：空间向量及其加减运算 3
知识点2：空间向量的数乘运算 3
知识点3：空间向量的数量积运算 4
知识点4：空间向量的坐标运算及应用 5
03 重难点题型 7
题型一：空间向量基础概念辨析 7
题型二：空间向量的线性表达 7
题型三：空间向量共线判定与应用 9
题型四：空间向量共面问题探究 10
题型五：空间向量数乘运算及应用 10
题型六：空间向量数量积的运算与运用 11
04 过关检测 15
知识点1：空间向量及其加减运算
（1）空间向量
在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的长度或模．空间向量也可用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的模，若向量的起点是，终点是，则向量也可以记作，其模记为或．
（2）零向量与单位向量
规定长度为0的向量叫做零向量，记作．当有向线段的起点与终点重合时，．
模为1的向量称为单位向量．
（3）相等向量与相反向量
方向相同且模相等的向量称为相等向量．在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量．空间任意两个向量都可以平移到同一个平面，成为同一平面内的两个向量．
与向量长度相等而方向相反的向量，称为的相反向量，记为．
（4）空间向量的加法和减法运算
①，．如图所示．
②空间向量的加法运算满足交换律及结合律
，
知识点2：空间向量的数乘运算
（1）数乘运算
实数与空间向量的乘积称为向量的数乘运算．当时，与向量方向相同；当时，向量与向量方向相反．的长度是的长度的倍．
（2）空间向量的数乘运算满足分配律及结合律
，．
（3）共线向量与平行向量
如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，平行于，记作．
（4）共线向量定理
对空间中任意两个向量，，的充要条件是存在实数，使．
（5）直线的方向向量
如图8-153所示，为经过已知点且平行于已知非零向量的直线．对空间任意一点，点在直线上的充要条件是存在实数，使①，其中向量叫做直线的方向向量，在上取，则式①可化为②
①和②都称为空间直线的向量表达式，当，即点是线段的中点时，，此式叫做线段的中点公式．
（6）共面向量
如图8-154所示，已知平面与向量，作，如果直线平行于平面或在平面内，则说明向量平行于平面．平行于同一平面的向量，叫做共面向量．
（7）共面向量定理
如果两个向量，不共线，那么向量与向量，共面的充要条件是存在唯一的有序实数对，使．
推论：①空间一点位于平面内的充要条件是存在有序实数对，使；或对空间任意一点，有，该式称为空间平面的向量表达式．
②已知空间任意一点和不共线的三点，，，满足向量关系式（其中）的点与点，，共面；反之也成立．
知识点3：空间向量的数量积运算
（1）两向量夹角
已知两个非零向量，，在空间任取一点，作，，则叫做向量，的夹角，记作，通常规定，如果，那么向量，互相垂直，记作．
（2）数量积定义
已知两个非零向量，，则叫做，的数量积，记作，即．零向量与任何向量的数量积为0，特别地，．
（3）空间向量的数量积满足的运算律：
，（交换律）；
（分配律）．
知识点4：空间向量的坐标运算及应用
（1）设，，则；
；
；
；
；
．
（2）设，，则．
这就是说，一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示该向量的有向线段的终点的坐标减起点的坐标．
（3）两个向量的夹角及两点间的距离公式．
①已知，，则；
；
；
；
②已知，，则，
或者．其中表示与两点间的距离，这就是空间两点的距离公式．
（4）向量在向量上的投影为．
题型一：空间向量基础概念辨析
例1．（25-26高二下·江苏淮安·阶段检测）与向量共线的单位向量可以为（ ）
A． B． C． D．
例2．（25-26高二上·广东江门·阶段检测）空间向量中，下列结论错误的是（ ）
A． B．
C．单位向量的长度为1 D．零向量的方向任意
例3．（25-26高二上·贵州毕节·阶段检测）下列说法错误的是（ ）
A．同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小
B．是向量的必要不充分条件
C．只有零向量的模等于0
D．共线的单位向量都相等
变式1．（25-26高二上·重庆·期中）关于空间向量，下列四个结论正确的是（ ）
A．共线的单位向量都相等
B．不相等的两个空间向量的模必不相等
C．相反向量指方向相反的两个向量
D．任意两个空间向量一定共面
变式2．（25-26高二上·天津·阶段检测）下列关于空间向量的命题中，正确的是（ ）
A．空间中所有的单位向量都相等 B．长度相等且方向相反的两个向量是相反向量
C．若满足，且同向，则 D．两个向量相等，则它们的起点与终点相同
题型二：空间向量的线性表达
例4．（25-26高二下·江苏徐州·期中）如图，在空间四边形中，，连接，则（ ）

A． B． C． D．
例5．（25-26高二下·河南新乡·期中）如图，在三棱锥中，为的中点，，则（ ）
A． B．
C． D．
例6．（25-26高二下·河南平顶山·期中）如图，在正八面体中，四边形为平行四边形，，分别为，的中点，设，，，则（ ）
A． B． C． D．
变式3．（25-26高二下·江苏苏州·阶段检测）如图，分别是四面体的棱的中点，且，记，则（ ）
A． B．
C． D．
变式4．（25-26高二上·内蒙古包头·期中）如图，在平行六面体中，与的交点为点，设，，，下列向量中与相等的向量是（ ）
A． B． C． D．
题型三：空间向量共线判定与应用
例7．（24-25高二上·贵州黔东南·期中）在正方体中，下列向量与平行的是（ ）
A． B． C． D．
例8．（17-18高二·甘肃武威·课后作业）下列条件中，能说明空间中不重合的三点A、B、C共线的是（ ）
A． B．
C． D．
例9．（23-24高二上·贵州·开学考试）如图，在三棱柱中，为空间一点，且满足， ，则下列说法错误的是（　　）
A．当时，点在棱上
B．当时，点在线段上
C．当时，点在棱上
D．当时，点在线段上
变式5．（25-26高二下·江苏淮安·期中）已知向量，，若A，B，C三点共线，则（ ）
A． B．2 C． D．
变式6．（25-26高二下·江苏扬州·期中）已知，，且，则（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
题型四：空间向量共面问题探究
例10．（25-26高二下·江苏泰州·期中）已知，，，，则“”是“A，B，C，M四点共面”的（ ）
A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
例11．（25-26高二下·江苏南京·期中）已知点、、不共线，为平面外一点，下列能够确定、、、四点共面的是（ ）
A． B．
C． D．
例12．（25-26高二上·安徽滁州·期末）若四点共面，其中，则（ ）
A．9 B．12 C．15 D．18
变式7．（25-26高二下·福建宁德·期中）已知四点共面，则的最大值为（ ）
A． B． C．1 D．2
变式8．（25-26高二上·安徽·期末）已知空间向量，若共面，则实数的值为（ ）
A．0 B．-1 C．1 D．
题型五：空间向量数乘运算及应用
例13．（24-25高二上·辽宁丹东·期末）在四面体中，，，，点满足，为的中点，且，则（ ）
A． B． C． D．
例14．（21-22高二上·浙江丽水·期末）如图，在长方体中，是线段中点，若，则（ ）
A． B．1 C． D．3
例15．（24-25高二上·广东东莞·阶段检测）《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱.如图，在堑堵中，M，N分别是的中点，是的中点，若，则（ ）

A． B． C． D．
变式9．（23-24高一下·安徽合肥·期末）如图，三棱柱中，分别为中点，过作三棱柱的截面交于，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．1
变式10．（24-25高一上·四川·期中）平行六面体中，，则实数的值为（ ）
A．1 B． C．2 D．3
题型六：空间向量数量积的运算与运用
例16．（25-26高二下·江苏扬州·期中）如图，在三棱柱中，底面边长和侧棱长都等于为的中点，为线段上靠近的三等分点.
(1)设，试用向量表示；
(2)求线段的长度.
例17．（24-25高二下·江苏常州·阶段检测）如图，在四棱柱中，四边形是正方形，，，点为的中点．
(1)用向量，，表示；
(2)求线段的长及向量与夹角的余弦值．
例18．（25-26高二上·湖北荆州·期末）如图，在平行六面体中，底面为正方形，，设为的中点．
(1)求的长；
(2)求．
变式11．（25-26高二上·湖北·阶段检测）如图，在空间四边形中，，点为的中点，设．
(1)试用向量表示向量；
(2)若，求的值．
变式12．（25-26高二上·四川遂宁·期中）如图，已知平行六面体中，底面是边长为1的正方形，，设．
(1)用表示，并求；
(2)求与的夹角．
变式13．（25-26高二上·浙江·期中）如图，已知四面体的所有棱长都等于2，分别是棱的中点.

(1)求与；
(2)求的长.
变式14．（25-26高二上·浙江·期中）如图，在平行六面体中，，，点为的中点.

(1)求的长；
(2)已知为上的动点，若，求的长.
1．（25-26高二下·江苏宿迁·期中）在三棱锥中，点、分别是棱、的中点，若，则（ ）
A． B． C．2 D．3
2．（25-26高二下·江苏宿迁·期中）若，则（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
3．（25-26高二上·广东潮州·期末）若向量，则（ ）
A．4 B． C． D．
4．（25-26高二上·河北秦皇岛·期末）已知向量，则（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
5．（25-26高二上·河南郑州·期末）在平行六面体中，，，，是的中点，则的长为（ ）
A． B． C． D．
6．（25-26高二上·江西南昌·期末）已知空间四点，则下列选项正确的是（ ）
A．
B．与夹角的余弦值为
C．⊥
D．
7．（25-26高二上·山东临沂·期末）在四面体中，为线段靠近的三等分点，为的中点，若，则（ ）
A． B． C． D．
8．（25-26高二下·江苏南京·期中）如图，在三棱柱中，，，，点为棱的中点，点为棱的中点，点在棱上．若，则线段的长度为（ ）
A． B．1 C． D．2
9．（多选题）（25-26高二上·广东潮州·期末）下列命题中正确的有（ ）
A．向量与向量方向相反
B．正方体的棱长为1，则
C．，，三点不共线，对空间任意一点，若，则，，，四点共面
D．若，向量，的夹角为，则向量在向量方向上的投影向量的模为2
10．（多选题）（25-26高二上·贵州铜仁·期末）在正方体中，是棱上的动点，则（ ）
A．
B．的面积为定值
C．向量在平面上的投影向量为
D．若为的中点，则
11．（多选题）（25-26高二下·江苏连云港·期中）已知向量，，则下列结论中正确的有（ ）
A．若，则
B．若，则
C．不存在实数，使得
D．若，则
12．（25-26高二上·上海·期末）如图，在棱长为1的正方体中，______．
13．（25-26高二上·安徽安庆·期末）已知点在平面内，且对于平面外一点，满足，则___________．
14．（25-26高二下·上海宝山·期中）在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点为，则___________．
15．（25-26高二下·江苏盐城·期中）如图，在三棱柱中，与相交于点，，则线段的长度为__________．
16．（24-25高二下·江苏宿迁·期中）如图，平行六面体的底面为正方形，棱长都为，且，设，，，，分别是棱，的中点，点为棱上的动点.

(1)用，，表示；
(2)若为棱的中点，求；
(3)是否存在点，使，若存在，试确定点的位置，若不存在，请说明理由.
17．（24-25高二下·江苏扬州·期中）如图，在空间四边形OABC中，D为棱BC上一点，且满足，E为线段AD的中点，设．
(1)试用向量表示向量；
(2)若，求的值．
18．（24-25高二下·上海宝山·阶段检测）如图所示，已知斜四棱柱的底面是菱形，且，且．

(1)求证：；
(2)当的值为多少时，能使平面？请给出证明．
19．（24-25高二上·河南开封·期末）如图，已知正四面体的棱长为1，是棱的中点，是线段的中点，记，，
(1)用，，表示向量
(2)求中小学教育资源及组卷应用平台
第01讲 空间向量及其运算
目录
01 题型归纳目录 2
02 知识点梳理 3
知识点1：空间向量及其加减运算 3
知识点2：空间向量的数乘运算 3
知识点3：空间向量的数量积运算 4
知识点4：空间向量的坐标运算及应用 5
03 重难点题型 7
题型一：空间向量基础概念辨析 7
题型二：空间向量的线性表达 8
题型三：空间向量共线判定与应用 11
题型四：空间向量共面问题探究 13
题型五：空间向量数乘运算及应用 14
题型六：空间向量数量积的运算与运用 18
04 过关检测 25
知识点1：空间向量及其加减运算
（1）空间向量
在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的长度或模．空间向量也可用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的模，若向量的起点是，终点是，则向量也可以记作，其模记为或．
（2）零向量与单位向量
规定长度为0的向量叫做零向量，记作．当有向线段的起点与终点重合时，．
模为1的向量称为单位向量．
（3）相等向量与相反向量
方向相同且模相等的向量称为相等向量．在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量．空间任意两个向量都可以平移到同一个平面，成为同一平面内的两个向量．
与向量长度相等而方向相反的向量，称为的相反向量，记为．
（4）空间向量的加法和减法运算
①，．如图所示．
②空间向量的加法运算满足交换律及结合律
，
知识点2：空间向量的数乘运算
（1）数乘运算
实数与空间向量的乘积称为向量的数乘运算．当时，与向量方向相同；当时，向量与向量方向相反．的长度是的长度的倍．
（2）空间向量的数乘运算满足分配律及结合律
，．
（3）共线向量与平行向量
如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，平行于，记作．
（4）共线向量定理
对空间中任意两个向量，，的充要条件是存在实数，使．
（5）直线的方向向量
如图8-153所示，为经过已知点且平行于已知非零向量的直线．对空间任意一点，点在直线上的充要条件是存在实数，使①，其中向量叫做直线的方向向量，在上取，则式①可化为②
①和②都称为空间直线的向量表达式，当，即点是线段的中点时，，此式叫做线段的中点公式．
（6）共面向量
如图8-154所示，已知平面与向量，作，如果直线平行于平面或在平面内，则说明向量平行于平面．平行于同一平面的向量，叫做共面向量．
（7）共面向量定理
如果两个向量，不共线，那么向量与向量，共面的充要条件是存在唯一的有序实数对，使．
推论：①空间一点位于平面内的充要条件是存在有序实数对，使；或对空间任意一点，有，该式称为空间平面的向量表达式．
②已知空间任意一点和不共线的三点，，，满足向量关系式（其中）的点与点，，共面；反之也成立．
知识点3：空间向量的数量积运算
（1）两向量夹角
已知两个非零向量，，在空间任取一点，作，，则叫做向量，的夹角，记作，通常规定，如果，那么向量，互相垂直，记作．
（2）数量积定义
已知两个非零向量，，则叫做，的数量积，记作，即．零向量与任何向量的数量积为0，特别地，．
（3）空间向量的数量积满足的运算律：
，（交换律）；
（分配律）．
知识点4：空间向量的坐标运算及应用
（1）设，，则；
；
；
；
；
．
（2）设，，则．
这就是说，一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示该向量的有向线段的终点的坐标减起点的坐标．
（3）两个向量的夹角及两点间的距离公式．
①已知，，则；
；
；
；
②已知，，则，
或者．其中表示与两点间的距离，这就是空间两点的距离公式．
（4）向量在向量上的投影为．
题型一：空间向量基础概念辨析
例1．（25-26高二下·江苏淮安·阶段检测）与向量共线的单位向量可以为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题知，
所以与向量共线的单位向量为，即或，
所以，选项中只有满足.
例2．（25-26高二上·广东江门·阶段检测）空间向量中，下列结论错误的是（ ）
A． B．
C．单位向量的长度为1 D．零向量的方向任意
【答案】A
【解析】A选项，，向量和为零向量，A选项错误.
B选项，，B选项正确.
C选项，单位向量的长度为1，C选项正确.
D选项，零向量的方向任意，D选项正确.
故选：A
例3．（25-26高二上·贵州毕节·阶段检测）下列说法错误的是（ ）
A．同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小
B．是向量的必要不充分条件
C．只有零向量的模等于0
D．共线的单位向量都相等
【答案】D
【解析】选项A：向量是兼具大小与方向的量，本身无法比较大小，仅模可以比较，此说法正确.
选项B：需满足模相等且方向相同，故是的必要不充分条件，此说法正确.
选项C：零向量的定义为模等于0的向量，不存在其他模为0的向量，此说法正确.
选项D：共线的单位向量方向可能相同或相反，方向相反时向量不相等，此说法错误.
故选：D.
变式1．（25-26高二上·重庆·期中）关于空间向量，下列四个结论正确的是（ ）
A．共线的单位向量都相等
B．不相等的两个空间向量的模必不相等
C．相反向量指方向相反的两个向量
D．任意两个空间向量一定共面
【答案】D
【解析】对于A，共线的单位向量方向可能相同也可能相反，即共线的单位向量可能是相等的向量也可能是相反向量，故A不正确；
对于B，不相等的两个空间向量的模可能相等，比如相反向量，故B错误；
对于C，相反向量指方向相反，模相等的两个向量，故C错误；
对于D，任意两个空间向量一定共面，故D正确.
故选：D
变式2．（25-26高二上·天津·阶段检测）下列关于空间向量的命题中，正确的是（ ）
A．空间中所有的单位向量都相等 B．长度相等且方向相反的两个向量是相反向量
C．若满足，且同向，则 D．两个向量相等，则它们的起点与终点相同
【答案】B
【解析】对于A，向量是既有大小又有方向的量，所有单位向量的模相等，方向不一定相同，
所以空间中所有的单位向量不一定相等，所以A错误；
对于B，由相反向量的定义知，长度相等且方向相反的两个向量是相反向量，所以B正确；
对于C，由向量的定义知，向量不能比较大小，所以C错误；
对于D，根据相等向量的定义知，长度相等且方向相同的两个向量是相等向量，但相等向量的起点和终点不一定相同，所以D错误.
故选：B.
题型二：空间向量的线性表达
例4．（25-26高二下·江苏徐州·期中）如图，在空间四边形中，，连接，则（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【解析】在空间四边形中，，
则.
例5．（25-26高二下·河南新乡·期中）如图，在三棱锥中，为的中点，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】因为为的中点，所以，
因为，
所以．
例6．（25-26高二下·河南平顶山·期中）如图，在正八面体中，四边形为平行四边形，，分别为，的中点，设，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】为正八面体，四边形为正方形；
；
是的中点，，则，
为的中点，四边形为平行四边形， ，
.
变式3．（25-26高二下·江苏苏州·阶段检测）如图，分别是四面体的棱的中点，且，记，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】因为
又因为分别是棱的中点，所以.
变式4．（25-26高二上·内蒙古包头·期中）如图，在平行六面体中，与的交点为点，设，，，下列向量中与相等的向量是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】，
故选：B.
题型三：空间向量共线判定与应用
例7．（24-25高二上·贵州黔东南·期中）在正方体中，下列向量与平行的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如图，在正方体中，.
故选：A.
例8．（17-18高二·甘肃武威·课后作业）下列条件中，能说明空间中不重合的三点A、B、C共线的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】对于空间中的任意向量，都有 ，说法A错误；
若，则，而，据此可知，即两点重合，选项B错误；
，则线段的长度与线段的长度相等，不一定有A、B、C三点共线，选项C错误；
，则A、B、C三点共线，选项D正确；
故选：D.
例9．（23-24高二上·贵州·开学考试）如图，在三棱柱中，为空间一点，且满足， ，则下列说法错误的是（　　）
A．当时，点在棱上
B．当时，点在线段上
C．当时，点在棱上
D．当时，点在线段上
【答案】B
【解析】对于，当时，，，
所以，则点在棱上，故正确；
对于，当时， ， ，
即，即
所以点在线段上，故错误；
对于，当时，，，
所以，所以，即，
所以点在棱上，故正确；
对于，当时，
所以，，
所以，
即，即，
所以点在线段上，故正确．
故选：．
变式5．（25-26高二下·江苏淮安·期中）已知向量，，若A，B，C三点共线，则（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】A
【解析】由题意可知，即，解得.
变式6．（25-26高二下·江苏扬州·期中）已知，，且，则（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【解析】由题意可设，即，
所以，解得，
所以.
题型四：空间向量共面问题探究
例10．（25-26高二下·江苏泰州·期中）已知，，，，则“”是“A，B，C，M四点共面”的（ ）
A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】，，，
设，
则，解得，
则“”是“A，B，C，M四点共面”的充要条件.
例11．（25-26高二下·江苏南京·期中）已知点、、不共线，为平面外一点，下列能够确定、、、四点共面的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】对于A：根据给定线性关系式有，A错误；
对于B：根据给定线性关系式有，B错误；
对于C：根据给定线性关系式有，C错误；
对于D：根据给定线性关系式有，D正确.
例12．（25-26高二上·安徽滁州·期末）若四点共面，其中，则（ ）
A．9 B．12 C．15 D．18
【答案】A
【解析】因为四点共面，
所以存在实数使得，且.
设，则由，得，
故，
又，解得．
故选：A
变式7．（25-26高二下·福建宁德·期中）已知四点共面，则的最大值为（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】A
【解析】由题可知，存在实数，使得，
又，，，所以，
解得，，所以，
当且仅当时取等号．
变式8．（25-26高二上·安徽·期末）已知空间向量，若共面，则实数的值为（ ）
A．0 B．-1 C．1 D．
【答案】C
【解析】共面，
，
，解得.
故选：C
题型五：空间向量数乘运算及应用
例13．（24-25高二上·辽宁丹东·期末）在四面体中，，，，点满足，为的中点，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意
，
所以，解得，
故选：B
例14．（21-22高二上·浙江丽水·期末）如图，在长方体中，是线段中点，若，则（ ）
A． B．1 C． D．3
【答案】C
【解析】
如图，连接，，
∵是线段中点，
∴，
∴，
∴.
故选：C.
例15．（24-25高二上·广东东莞·阶段检测）《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱.如图，在堑堵中，M，N分别是的中点，是的中点，若，则（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【解析】连接，因为是的中点，所以，
因为底面为直角三角形的直棱柱，
所以四边形为长方形，
又因M，N分别是的中点，
所以，
则，
又因，所以可得，解得，
所以.
故选：A.
变式9．（23-24高一下·安徽合肥·期末）如图，三棱柱中，分别为中点，过作三棱柱的截面交于，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】B
【解析】
如图，延长交于点，连接交于，
连接，则四边形所求截面．
取的中点，连接.
∵，
∴是△APC的中位线，
∴为的中点．
又分别为的中点，
∴，则，即，
∴为上靠近的三等分点，故．
故选：B.
变式10．（24-25高一上·四川·期中）平行六面体中，，则实数的值为（ ）
A．1 B． C．2 D．3
【答案】C
【解析】
，
所以，
故选：C.
题型六：空间向量数量积的运算与运用
例16．（25-26高二下·江苏扬州·期中）如图，在三棱柱中，底面边长和侧棱长都等于为的中点，为线段上靠近的三等分点.
(1)设，试用向量表示；
(2)求线段的长度.
【解析】（1）
.
（2）依题意，，
则
.
例17．（24-25高二下·江苏常州·阶段检测）如图，在四棱柱中，四边形是正方形，，，点为的中点．
(1)用向量，，表示；
(2)求线段的长及向量与夹角的余弦值．
【解析】（1）方法一：由题意知，
；
方法二：因为为的中点，所以
．
（2）因为四边形是正方形，，，
所以，，，
所以
，
所以，即线段的长为．
因为，
所以
，所以．
又
，
则向量，夹角的余弦值为.
例18．（25-26高二上·湖北荆州·期末）如图，在平行六面体中，底面为正方形，，设为的中点．
(1)求的长；
(2)求．
【解析】（1），
，
．
（2）由题意得，
又由（1）可知，
则
又，
．
变式11．（25-26高二上·湖北·阶段检测）如图，在空间四边形中，，点为的中点，设．
(1)试用向量表示向量；
(2)若，求的值．
【解析】（1），．
．
点为的中点，
．
（2），
，
，
．
变式12．（25-26高二上·四川遂宁·期中）如图，已知平行六面体中，底面是边长为1的正方形，，设．
(1)用表示，并求；
(2)求与的夹角．
【解析】（1）因为，且，
所以，
又因为底面ABCD是边长为1的正方形且，
所以
．
（2）因为底面是边长为1的正方形，且，，
又由，
所以，
所以，故与的夹角为．
变式13．（25-26高二上·浙江·期中）如图，已知四面体的所有棱长都等于2，分别是棱的中点.

(1)求与；
(2)求的长.
【解析】（1）因为分别是棱的中点，
所以是的中位线，则，
得到，
同理可得，而四面体的所有棱长都等于2，
得到，故.
（2）因为分别是棱的中点，
所以
，
而，
同理可得，
可得
，故.
变式14．（25-26高二上·浙江·期中）如图，在平行六面体中，，，点为的中点.

(1)求的长；
(2)已知为上的动点，若，求的长.
【解析】（1）由题意可知：，，，
因为，
则
，
即，所以的长为.
（2）设，则
可得
，
若，则，解得，
所以，即的长为2.
1．（25-26高二下·江苏宿迁·期中）在三棱锥中，点、分别是棱、的中点，若，则（ ）
A． B． C．2 D．3
【答案】B
【解析】因为点、分别是棱、的中点，
所以
，
又，、、不共面，
所以，所以.
2．（25-26高二下·江苏宿迁·期中）若，则（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】C
【解析】由题意得.
3．（25-26高二上·广东潮州·期末）若向量，则（ ）
A．4 B． C． D．
【答案】C
【解析】由向量的模长公式可得.
4．（25-26高二上·河北秦皇岛·期末）已知向量，则（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】C
【解析】由题意可得，则．
5．（25-26高二上·河南郑州·期末）在平行六面体中，，，，是的中点，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
，
，，，
,
．
6．（25-26高二上·江西南昌·期末）已知空间四点，则下列选项正确的是（ ）
A．
B．与夹角的余弦值为
C．⊥
D．
【答案】D
【解析】AD选项，，
故，故，A错误，D正确；
BC选项，，
故，
故与夹角的余弦值为，BC均错误.
故选：D
7．（25-26高二上·山东临沂·期末）在四面体中，为线段靠近的三等分点，为的中点，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如下图所示：
因为为的中点，所以，由题意可知，
所以，
在三棱锥中，、、不共面，且，
所以，，故.
故选：A.
8．（25-26高二下·江苏南京·期中）如图，在三棱柱中，，，，点为棱的中点，点为棱的中点，点在棱上．若，则线段的长度为（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】B
【解析】由题意，因为点为棱的中点，
所以，
又因为点为棱的中点，点在棱上，
设，
所以，
因为，，，
所以，，，
因为，
所以，
所以，
所以，解得，
因为，所以.
9．（多选题）（25-26高二上·广东潮州·期末）下列命题中正确的有（ ）
A．向量与向量方向相反
B．正方体的棱长为1，则
C．，，三点不共线，对空间任意一点，若，则，，，四点共面
D．若，向量，的夹角为，则向量在向量方向上的投影向量的模为2
【答案】ABD
【解析】对于A，因为，，所以，所以向量与方向相反，故A正确；
对于B，因为在正方体中，两两夹角为，
所以，
，
所以，故B正确；
对于C，若，由于，所以，，，四点不共面，故C不正确；
对于D，因为，向量，的夹角为，
所以向量在向量方向上投影向量的模为，故D正确.
故选：ABD.
10．（多选题）（25-26高二上·贵州铜仁·期末）在正方体中，是棱上的动点，则（ ）
A．
B．的面积为定值
C．向量在平面上的投影向量为
D．若为的中点，则
【答案】ACD
【解析】
如图所示，在正方体中，平面，平面，则，
又，，平面，则平面，
又平面，所以，故A正确；
作于点，则平面，又平面，则，
作于点，又平面，则平面，
又平面，则，所以是的高，因 ，
因为点是棱上的动点，则垂足也在动，则点到的距离也在变，即长度变，
虽然的长不变，但在变，而，则的面积不是定值，故B错误；
因为点A，P在平面上的投影分别为点，，所以向量在平面上的投影向量为，故C正确；
因为为的中点，且，所以，故D正确.
故选：ACD
11．（多选题）（25-26高二下·江苏连云港·期中）已知向量，，则下列结论中正确的有（ ）
A．若，则
B．若，则
C．不存在实数，使得
D．若，则
【答案】BCD
【解析】对于A，，解得，A错误；
对于B，由，得，解得，B正确；
对于C，假设存在实数，使得，则，
由第一个式子得，代入第二个式子得，很显然不满足，C正确；
对于D，，解得，
所以，，所以，D正确．
12．（25-26高二上·上海·期末）如图，在棱长为1的正方体中，______．
【答案】2
【解析】因为，，
所以，
，
.
13．（25-26高二上·安徽安庆·期末）已知点在平面内，且对于平面外一点，满足，则___________．
【答案】
【解析】因为点在平面内，且，所以，解得．
故答案为：.
14．（25-26高二下·上海宝山·期中）在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点为，则___________．
【答案】
【解析】已知点 ，则其关于平面的对称点的坐标为 ，
因此 ， ，
15．（25-26高二下·江苏盐城·期中）如图，在三棱柱中，与相交于点，，则线段的长度为__________．
【答案】
【解析】是平行四边形，是对角线交点，
则，
已知，
，
．
16．（24-25高二下·江苏宿迁·期中）如图，平行六面体的底面为正方形，棱长都为，且，设，，，，分别是棱，的中点，点为棱上的动点.

(1)用，，表示；
(2)若为棱的中点，求；
(3)是否存在点，使，若存在，试确定点的位置，若不存在，请说明理由.
【解析】（1）；
（2）若P为棱的中点，则，，
所以
；
（3）设，
则，由（1）知
所以，
即，
化简得，解得，
所以这样的点存在，且为的中点.
17．（24-25高二下·江苏扬州·期中）如图，在空间四边形OABC中，D为棱BC上一点，且满足，E为线段AD的中点，设．
(1)试用向量表示向量；
(2)若，求的值．
【解析】（1）因为，由向量的线性运算法则，
可得：
.
（2）由，
所以
.
18．（24-25高二下·上海宝山·阶段检测）如图所示，已知斜四棱柱的底面是菱形，且，且．

(1)求证：；
(2)当的值为多少时，能使平面？请给出证明．
【解析】（1）证明：设，，，则，
底面是菱形，有，
则，
∴，即.
（2）要使平面，只需且.
欲使，则可证明，即，
也就是，
即，
由于，显然当时，上式成立.
同理可得，当时，.
因此，当时，能使平面.
19．（24-25高二上·河南开封·期末）如图，已知正四面体的棱长为1，是棱的中点，是线段的中点，记，，
(1)用，，表示向量
(2)求
【解析】（1）因为，，，
所以；
（2）依题意，得，，
所以，
，
所以.

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