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第03讲 立体几何大题常考经典模型归类整理
目录
01 题型归纳目录 2
02 知识点梳理 3
知识点1：立体几何解答题常考模型 3
03 重难点题型 4
题型一：不规则空间几何体综合题型 4
题型二：立体几何开放性与探究性问题 5
题型三：立体几何翻折变换类问题 7
题型四：立体几何空间作图类题型 9
题型五：几何法推导空间关系、构建空间直角坐标系 11
题型六：空间点位坐标求解难点题型 13
题型七：立体几何创新定义类新题型 15
04 过关检测 18
知识点1：立体几何解答题常考模型
立体几何解答题的核心考查模型主要涵盖柱体、锥体、球体、旋转体及各类多面体，围绕这些基础几何体，考题常涉及表面积与体积运算、截面形态分析、几何体组合拼接与相交切割等典型问题。
除几何体模型运算外，空间位置关系的判定与推证是高频必考题型，重点考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行、垂直关系证明。同时，空间角度的量化计算是高考立体几何的核心重难点，主要包含异面直线夹角、线面角与二面角三类核心角度求解问题。
除此之外，空间距离的计算也是解答题的常规考查方向，以点到平面的距离、两平行平面间的距离为主要考法。熟练掌握各类几何体的基础性质、核心规律与通用解题方法，是突破高考立体几何大题、提升解题准确率与速度的关键。
题型一：不规则空间几何体综合题型
例1．（25-26高二下·陕西安康·期中）如图，三棱台中，上、下底面均为正三角形，，，侧棱底面，且．
(1)求三棱台的体积；
(2)求异面直线与所成角的余弦值；
(3)若点在线段上，且与平面所成角的正弦值为，求的长．
例2．（25-26高二下·浙江温州·期中）如图，在正三棱台中，，，点为的重心．
(1)求证：．
(2)求直线与平面所成角的正弦值．
例3．（24-25高二下·江苏连云港·期末）如图，几何体是圆柱的四分之一部分，其中底面是半径为的扇形，母线长为，是的中点，为的中点，是上的动点（不与、重合），是圆柱的母线．
(1)证明：平面；
(2)求三棱锥的体积的最大值；
(3)求二面角余弦值的取值范围．
变式1．（24-25高二下·江苏宿迁·期中）在三棱台中，，，，，，平面.
(1)若平面平面，求证：；
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
题型二：立体几何开放性与探究性问题
例4．（25-26高二下·江苏连云港·期中）如图，等边三角形的边长为8，分别为所在边的中点，为线段的中点，现将三角形沿直线折起，使得二面角为直二面角．
(1)求线段的长度；
(2)求直线与平面所成角的余弦值；
(3)棱上是否存在异于端点的点，使得点到平面的距离为．若存在，请指出点的位置；若不存在，请说明理由．
例5．（25-26高二下·江苏扬州·期中）如图，已知四棱锥的底面是直角梯形，，， ，平面，．
(1)设钝二面角大小为，求的值；
(2)在棱上是否存在一点（不与端点重合），使得与平面所成角的正弦值为？若存在，求的值；如不存在，试说明理由；
(3)在上，在上，求最小值．
例6．（25-26高二下·福建宁德·期中）如图，在三棱锥中，底面，，，，为棱上的点，.
(1)求证：平面；
(2)设与底面所成角的正切值为.
（i）求面与面所成的二面角的正弦值；
（ii）棱上是否存在点，使得点到面的距离为？若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由.
变式2．（25-26高二上·福建厦门·期末）如图，在四棱锥中，底面是直角梯形.，且，，为中点.
(1)证明：平面；
(2)已知线段上存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为，求到直线的距离.
题型三：立体几何翻折变换类问题
例7．（25-26高二上·四川宜宾·期末）如图1，等腰直角的斜边，D为BC的中点，沿BC上的高AD折叠，使得二面角为60°，如图2，M为CD的中点．
(1)求三棱锥的体积．
(2)求平面MAB和平面DAB所成角的余弦值．
例8．（25-26高二上·全国·期末）如图1，在边长为2的正方形中，为的中点，分别将，沿，所在直线折叠，使，两点重合于点，如图2，在三棱锥中，为的中点.
(1)证明：；
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
例9．（25-26高二上·湖南长沙·期末）如图1，在中，已知的平分线交的外接圆于点D.

(1)证明：为等边三角形；
(2)证明：；
(3)如图2，将沿BC折叠，当时，求直线与底面所成角的正弦值.
变式3．（24-25高二上·河北邢台·期中）如图，在矩形中，，取中点，将和分别沿直线，折叠，使，两点重合于点得到三棱锥．
(1)当时，求证：；
(2)若二面角的平面角为，是否存在上一点，使得与平面所成角的正弦值为？若存在，请求出点的位置；若不存在，请说明理由．
题型四：立体几何空间作图类题型
例10．（23-24高二下·福建漳州·期末）如图，多面体是三棱台和四棱锥的组合体，底面四边形为正方形，，，，平面平面.

(1)证明：平面；
(2)若平面与平面的交线为，
（i）作出交线（需要写出必要的作图步骤，保留作图痕迹，无需证明）；
（ii）求直线与平面所成角的正弦值.
例11．（25-26高二上·四川成都·期中）在斜三棱柱中，为棱的中点.
(1)若与交于点，作图并证明：平面；
(2)在中，，.
①若平面，，求二面角的余弦值；
②若，，求四面体的外接球的表面积.
例12．（22-23高二上·山东潍坊·期中）已知正四棱锥中，O为底面ABCD的中心，如图所示．
(1)作出过点O与平面PAD平行的截面，在答题卡上作出该截面与四棱锥表面的交线，写出简要作图过程及理由；
(2)设PD的中点为G，，求AG与平面PAB所成角的正弦值．
变式4．（25-26高二上·江西南昌·阶段检测）如图，已知在正三棱柱中，，三棱柱外接球半径为，且点分别为棱，的中点．
(1)求棱AB的长；
(2)过点作三棱柱截面，求截面图形的周长；
(3)求平面与平面的夹角的余弦值．
题型五：几何法推导空间关系、构建空间直角坐标系
例13．（25-26高二下·江苏淮安·期中）如图，在三棱柱中，所有棱长均为，，．
(1)证明：平面平面；
(2)求直线与所成角的余弦值；
(3)求二面角的正弦值．
例14．（25-26高二下·江苏泰州·期中）如图，平行六面体的底面是菱形，，，且平面.

(1)求的长.
(2)当时，求直线与平面所成的角的正弦值的取值范围.
(3)当时，已知动点M到点A的距离是它到平面的距离的倍.若动点M的轨迹、平面和平面三者相交于两点P，Q，求.
例15．（25-26高二下·江苏南京·期中）如图，在菱形中，，，为的中点，将沿翻折至，得到四棱锥．
(1)证明：面平面；
(2)当二面角为120°时，求和平面所成角的正弦值．
变式5．（25-26高二上·广东深圳·阶段检测）如图1，在平行四边形中，为的中点．将沿折起，连接与，如图2．
(1)当三棱锥的体积最大时，求此时线段的长度；
(2)当时，
（i）设，是否存在实数，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；
（ii）求三棱锥的内切球的半径．
题型六：空间点位坐标求解难点题型
例16．（25-26高二下·河南新乡·期中）如图，在四棱锥中，为正三角形，．
(1)证明：平面平面；
(2)若，且平面与平面的夹角的余弦值为，求的长．
例17．（25-26高二下·湖南郴州·阶段检测）如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，，，，，为正三角形．
(1)求证：平面平面；
(2)设点是三棱锥外接球的球心，求该外接球的半径；
(3)在第（2）问的条件下，求直线与平面所成角的正弦值．
例18．（25-26高三下·黑龙江绥化·开学考试）如图，三棱台中，侧面四边形为等腰梯形，底面三角形为正三角形，且，设为棱上的点.
(1)若为棱的中点，求证；
(2)若三棱台两底面间的距离为，且侧面底面，试探究是否存在点，使直线与平面所成角的正弦值为？若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由.
变式6．（25-26高三下·云南怒江·开学考试）如图，在几何体ABCDEF中，平面，，，，，.
(1)证明：是等边三角形；
(2)求平面ADE与平面BCF所成二面角的正弦值；
(3)已知点M在直线AE上，且平面，求的值.
题型七：立体几何创新定义类新题型
例19．（25-26高二下·江苏徐州·期中）在空间直角坐标系中，定义：过点，且方向向量为的直线的点方向式方程为；过点，且法向量为的平面的点法向式方程为将其整理为一般式方程为，其中.
(1)已知直线的点方向式方程为，平面的一般式方程为，求直线与平面所成角的正弦值；
(2)请利用法向量和投影向量的相关知识证明：点到平面的距离为；
(3)已知斜三棱柱中，侧面所在平面经过三点，，侧面所在平面的一般式方程为，侧面所在平面的一般式方程为，求平面与平面夹角的余弦值.
例20．（25-26高二上·上海松江·期中）在空间中，两两互相垂直且有公共原点的三条数轴构成直角坐标系，如果坐标系中有两条坐标轴不垂直，那么这样的坐标系称为“斜坐标系”．现有一种空间斜坐标系，它任意两条数轴的夹角均为，我们将这种坐标系称为“斜坐标系”．我们类比空间直角坐标系，定义“空间斜坐标系”下向量的斜坐标：，，分别为“斜坐标系”下三条数轴（轴、轴、轴）正方向的单位向量，若向量，则与有序实数组相对应，称向量的斜坐标为，记作．
(1)若，，求的斜坐标；
(2)在平行六面体中，，，，如图，以为基底建立“空间斜坐标系”．
①若，求向量的斜坐标；
②若，且，求．
例21．（25-26高二上·四川成都·期中）（1）在平面直角坐标系中，为坐标原点，定义集合，点，对任意的点，求的取值范围；
（2）在空间直角坐标系中，定义集合，，点是集合内任意一点．
①求的最小值；
②求点的轨迹形成图形的全面积．
注：若平面的法向量为，点是平面上一定点，则对于平面上任一点，点满足方程：．
变式7．（24-25高二上·福建福州·期中）新定义：已知，.空间向量的叉积.若在空间直角坐标系中，直线的方向向量为，且过点，直线的方向向量为，且过点，则与方向向量的叉积为，与的混合积为.混合积性质：若，则与共面；若，则与异面.已知直线的一个方向向量为，且过点，直线的一个方向向量为，且过点.
(1)用混合积性质证明：与是异面直线；
(2)若点，求的长的最小值；
(3)若为坐标原点，直线，求的坐标.
1．（2025·广东·模拟预测）如图为正四棱台与正四棱锥拼接而成的几何体．
(1)证明：平面；
(2)若该四棱台的高为2，，，，求二面角的正弦值．
2．（25-26高二下·湖南·期中）如图，已知四棱锥S-ABCD的底面ABCD是直角梯形，，，，平面ABCD，.
(1)设钝二面角大小为a，求的值；
(2)在棱上是否存在一点（不与端点重合），使得与平面所成角的正弦值为？若存在，求的值；如不存在，试说明理由；
(3)E点在上，F点在上，G点在上，求的面积取值范围.
3．（25-26高二上·广东广州·期末）如图，两个正方形ABCD，ABEF的边长都是1，平面平面，，，其中，.
(1)当时，证明：平面BEM；
(2)是否存在实数，使得平面AMN与平面ABN的夹角为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；
(3)求的最小值.
4．（23-24高二上·江西九江·期末）如图，在中，，于现将沿折叠，使为直二面角如图，是棱的中点，连接、、．
(1)证明：平面平面；
(2)若，且棱上有一点满足，求二面角的正弦值．
5．（24-25高二上·辽宁·期末）如图，四边形是正方形，四边形是直角梯形且，，，，，，的中点分别为，，.
(1)画出过点，，的截面（不必写出证明过程）；
(2)求直线与平面所成角的正弦值；
(3)若是（1）中过点，，的截面上一点，二面角的余弦值为，求满足题意的点轨迹的长度.
6．（25-26高二下·江苏淮安·期中）如图，在四棱锥中，底面ABCD为菱形，．
(1)证明：平面PAC；
(2)已知，点满足平面PEC．
（i）求；
（ii）求平面PBD与平面PEC的夹角．
7．（2026高二上·浙江温州·专题练习）如图，在三棱柱中，，直线平面，平面平面.
(1)求证：；
(2)点为中点，求四棱锥的体积；
(3)棱上是否存在一点，使二面角的余弦值为 若存在，求的值；若不存在，请说明理由.
8．（25-26高二上·重庆·开学考试）已知圆心在原点，且与直线相切，它与x轴分别相交于A，B，过点的直线l交圆O于M，N.
(1)求弦长MN的最小值，并求此时直线l的方程；
(2)当的面积取得最大值时，将圆沿轴折成直二面角，如图，在上半圆上是否存在点，使平面与平面的夹角的正弦值为，若存在，求的长，若不存在，说明理由；
(3)在圆上任取一点，过作轴的垂线段，为垂足，当在圆上运动时，线段的中点的轨迹记为曲线，曲线与直线交于，直线与直线相交于，在定直线上，直线与直线相交于，在定直线上，判断直线，的位置关系，并证明.
9．（24-25高二上·重庆·阶段检测）“曼哈顿距离”是十九世纪的赫尔曼闵可夫斯基所创词汇，它是一种使用几何度量空间的几何用语，定义如下：在平面直角坐标中的任意两点，的曼哈顿距离为.已知在四边形中，，，，且平分，若将沿线段向上折叠，使二面角为直二面角，如图所示，折叠后点在新图形中对应点记为.
(1)计算的大小；
(2)若所在平面为，设，且，记点的轨迹为曲线.
（i）判断是什么曲线，并求出对应的方程；
（ii）设为平面上过点且与直线垂直的直线，已知在直线上，在上，求的最小值.
10．（25-26高二上·河南郑州·期末）如图，在棱长为的正四面体（四个面都是正三角形）中，是的中点，是棱上的动点（不与重合）．
(1)当是棱的中点时，求直线与夹角的正弦值；
(2)当时，求平面与平面夹角的余弦值．
11．（25-26高二上·新疆乌鲁木齐·期末）如图，在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，侧面是正三角形．侧面底面，是的中点．
(1)证明：平面平面．
(2)求二面角的余弦值．
(3)求点到平面的距离．
12．（25-26高二上·浙江杭州·期末）如图，正方形与梯形所在的平面互相垂直，，，，，为的中点．
(1)求证：平面；
(2)求二面角的正切值．
13．（25-26高二上·湖南湘潭·期末）如图，在三棱台中，，平面，．
(1)证明：平面平面；
(2)若，点满足，求平面与平面夹角的余弦值．
14．（25-26高二上·山西运城·期末）如图，已知斜三棱柱，底面为等腰直角三角形，，的中点为，底面.
(1)求证：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
15．（25-26高二上·云南保山·期末）如图，在矩形中，，点为边的中点．将沿着翻折，使得平面平面，点为线段上的动点．
(1)求证：平面；
(2)①当点运动到何处时，线段的长度最短？最短长度是多少？
②在①的条件下，求二面角的正弦值．中小学教育资源及组卷应用平台
第03讲 立体几何大题常考经典模型归类整理
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01 题型归纳目录 2
02 知识点梳理 3
知识点1：立体几何解答题常考模型 3
03 重难点题型 4
题型一：不规则空间几何体综合题型 4
题型二：立体几何开放性与探究性问题 11
题型三：立体几何翻折变换类问题 18
题型四：立体几何空间作图类题型 23
题型五：几何法推导空间关系、构建空间直角坐标系 30
题型六：空间点位坐标求解难点题型 37
题型七：立体几何创新定义类新题型 45
04 过关检测 51
知识点1：立体几何解答题常考模型
立体几何解答题的核心考查模型主要涵盖柱体、锥体、球体、旋转体及各类多面体，围绕这些基础几何体，考题常涉及表面积与体积运算、截面形态分析、几何体组合拼接与相交切割等典型问题。
除几何体模型运算外，空间位置关系的判定与推证是高频必考题型，重点考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行、垂直关系证明。同时，空间角度的量化计算是高考立体几何的核心重难点，主要包含异面直线夹角、线面角与二面角三类核心角度求解问题。
除此之外，空间距离的计算也是解答题的常规考查方向，以点到平面的距离、两平行平面间的距离为主要考法。熟练掌握各类几何体的基础性质、核心规律与通用解题方法，是突破高考立体几何大题、提升解题准确率与速度的关键。
题型一：不规则空间几何体综合题型
例1．（25-26高二下·陕西安康·期中）如图，三棱台中，上、下底面均为正三角形，，，侧棱底面，且．
(1)求三棱台的体积；
(2)求异面直线与所成角的余弦值；
(3)若点在线段上，且与平面所成角的正弦值为，求的长．
【解析】（1）由题意可知，，，
因为侧棱底面，且，
故
.
（2）因为底面，且为等边三角形，
以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴，
平面内过点且垂直于的直线为轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、、、，
所以，，
，
所以异面直线与所成角的余弦值为.
（3）易知点、、、、，
设，其中，
设平面的法向量为，，，
则，取，则，
，
由题意可得，
整理可得，解得，符合题意，
此时.
例2．（25-26高二下·浙江温州·期中）如图，在正三棱台中，，，点为的重心．
(1)求证：．
(2)求直线与平面所成角的正弦值．
【解析】（1）如图，延长交于点，取的中点，连接和，
∵点为的重心，为正三角形，
∴点为的中点，，
又点为的中点，侧面是等腰梯形，
，
，平面，平面，
平面，.
（2）法1：
如图，以点为坐标原点建立空间直角坐标系．
则，，．
在梯形中，作交于点，作交于点，
由正三角形的性质可得，，由勾股定理得，
由，
即可得，由勾股定理得．
，，
，，.
设平面的法向量为．
由得，令，则，．
．
，
∴直线与平面所成角的正弦值为．
法2：
如图，过点作交于点，连接．
平面平面，
∴平面平面.
又平面平面，平面，，
平面，
是直线与平面所成角．
在梯形中，作交于点，作交于点，
由正三角形的性质可得，，由勾股定理得，
由，
即可得，
所以，所以．
．
在中，，即直线与平面所成角的正弦值为．
法3：
如图，补形为正三棱锥．
设点到平面的距离为，直线与平面所成角为．
，，
由，，知，，
由勾股定理得，即，
，即直线与平面所成角的正弦值为．
例3．（24-25高二下·江苏连云港·期末）如图，几何体是圆柱的四分之一部分，其中底面是半径为的扇形，母线长为，是的中点，为的中点，是上的动点（不与、重合），是圆柱的母线．
(1)证明：平面；
(2)求三棱锥的体积的最大值；
(3)求二面角余弦值的取值范围．
【解析】（1）由题意可知，，平面，
以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、、、，所以，
易知平面的一个法向量为，则，即，
又因为平面，所以平面.
（2）不妨设点，其中，
则、、，
，，，
设平面的一个法向量为，则，
取，可得，所以，
所以点到平面的距离为，
因为为是圆柱的一条母线，故平面，
因为平面，故，则，
所以
，
因为，则，故，所以，
则，
即三棱锥的体积的最大值为.
（3）设平面的一个法向量为，
，，则，
取，则，
所以
，
因为，则，故.
结合图形可知，二面角的平面角为锐角，
因此，二面角余弦值的取值范围为.
变式1．（24-25高二下·江苏宿迁·期中）在三棱台中，，，，，，平面.
(1)若平面平面，求证：；
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
【解析】（1）因为，，所以为的中位线，
故，又，故，
因为平面，平面，所以平面，
因为平面平面，平面，所以
（2）因为，，所以，
因为平面，平面，所以，
故以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
设，则，
，
设平面的一个法向量为，
则，
解得，令，则，故，
设直线与平面所成角为，
则，
直线与平面所成角的正弦值为.
题型二：立体几何开放性与探究性问题
例4．（25-26高二下·江苏连云港·期中）如图，等边三角形的边长为8，分别为所在边的中点，为线段的中点，现将三角形沿直线折起，使得二面角为直二面角．
(1)求线段的长度；
(2)求直线与平面所成角的余弦值；
(3)棱上是否存在异于端点的点，使得点到平面的距离为．若存在，请指出点的位置；若不存在，请说明理由．
【解析】（1）连接，因为为线段的中点，所以，
由题意知面面，且面面，
又面，所以平面，取边的中点记为，则．
以点为原点，以为轴建立空间直角坐标系，
易知，所以；
（2）由（1）可知，
所以，，，
记平面的一个法向量，
所以 ，不妨取，得，即，
记直线与平面所成角为，
则，
考虑到，有，从而，
所以直线与平面所成角的余弦值为．
（3）设，其中．
，
，
，记平面的一个法向量为，
则有，
不妨取，解得，即，
则点到平面的距离，
整理得：，即，
解得或（舍去），
所以当点位于线段的靠近点的三等分点时，
点到平面的距离为．
例5．（25-26高二下·江苏扬州·期中）如图，已知四棱锥的底面是直角梯形，，， ，平面，．
(1)设钝二面角大小为，求的值；
(2)在棱上是否存在一点（不与端点重合），使得与平面所成角的正弦值为？若存在，求的值；如不存在，试说明理由；
(3)在上，在上，求最小值．
【解析】（1）以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
所以，
设平面的法向量为，则，即，
令，则可得；
令平面的法向量为，则，即，
令，则可得，
所以，
因为二面角为钝二面角，所以.
（2）若存在，设，,
则，故，所以，
设与平面所成角为，
所以，
即，所以或（舍去），
所以存在点，且.
（3）设，
则，
这是关于的二次函数，最小值在时取得，
即，
所以当时，，故.
例6．（25-26高二下·福建宁德·期中）如图，在三棱锥中，底面，，，，为棱上的点，.
(1)求证：平面；
(2)设与底面所成角的正切值为.
（i）求面与面所成的二面角的正弦值；
（ii）棱上是否存在点，使得点到面的距离为？若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由.
【解析】（1）因为底面，面，所以，
又为棱上的点，，
取的中点，所以，
又，所以，
又因为，，所以，所以，
所以，所以，所以，
又，平面，
所以平面；
（2）（i）因为底面，所以与底面所成角为，
所以在中，，
又，所以，
如图，以为轴，轴，轴，以1为单位长度，建立空间直角坐标系，
则，，，，
，，，
设平面的一个法向量，
由，即，即，
取，可得，
又由（1）可知为平面的一个法向量，
设平面与平面所成的二面角为，
所以，
所以，
又由（1）可知为平面的一个法向量，
设平面与平面所成的二面角为，
所以平面与平面所成的二面角的正弦值为；
（ii）假设存在点，使得点到平面的距离为，
设，由（i）可得，
所以，
又由（i）可知平面的一个法向量，
所以点到平面的距离，
所以，所以为的中点，
变式2．（25-26高二上·福建厦门·期末）如图，在四棱锥中，底面是直角梯形.，且，，为中点.
(1)证明：平面；
(2)已知线段上存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为，求到直线的距离.
【解析】（1）记中点为，连接，，
则四边形为正方形，且根据勾股定理得，
所以，则，所以.
又，，，平面，
所以平面.
因为平面，所以，
易知，所以，
又因为，，平面，
所以平面.
（2）由（1）知平面，且，所以，，两两相互垂直.
以为坐标原点，以，，分别为，，轴建立如图空间直角坐标系，
则，，，，，
设，，则，
则，，，
设平面与平面的法向量分别为和，
则，令，得.
，令，得.
设平面与平面的夹角为，，
则，解得.
因此，，
所以到直线的距离为.
题型三：立体几何翻折变换类问题
例7．（25-26高二上·四川宜宾·期末）如图1，等腰直角的斜边，D为BC的中点，沿BC上的高AD折叠，使得二面角为60°，如图2，M为CD的中点．
(1)求三棱锥的体积．
(2)求平面MAB和平面DAB所成角的余弦值．
【解析】（1）在图1中的等腰直角中，为的中点，可得，
所以在图2中，可得，
因为，且平面，所以平面，
所以是二面角的平面角，即，
所以为等边三角形，所以.
所以.
（2）以为原点，垂直于的直线为轴，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
如图所示，则，
则，
设平面的法向量为，则，
取，可得，所以，
设平面的法向量为，则，
取，可得，所以，
所以，
所以平面和平面所成角的余弦值为.
例8．（25-26高二上·全国·期末）如图1，在边长为2的正方形中，为的中点，分别将，沿，所在直线折叠，使，两点重合于点，如图2，在三棱锥中，为的中点.
(1)证明：；
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
【解析】（1）由条件易知，所以，
而平面，所以平面，
又平面，所以；
（2）因为，取的中点，连接，则，
过O作的平行线，则，
所以，以O为原点，直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，所以，
即，
设平面的一个法向量为，
则有，令，则，
所以，，
设直线与平面所成角为，
则.
所以直线与平面所成角的正弦值为.
例9．（25-26高二上·湖南长沙·期末）如图1，在中，已知的平分线交的外接圆于点D.

(1)证明：为等边三角形；
(2)证明：；
(3)如图2，将沿BC折叠，当时，求直线与底面所成角的正弦值.
【解析】（1）因为平分，且，
所以，
所以为等边三角形.
（2）方法一：如图，在线段上取点，使得，连接，
因为平分，且，
所以，所以为等边三角形，所以，①
所以，②
又因为，③
由①②③可知（AAS），
所以，
所以.
方法二：在中，由余弦定理得：
，解得.
在中，由正弦定理得，即，
解得，则.
.
在中，由正弦定理得，又，
所以.
（3）以的中点为原点，为轴正方向，为轴正方向，过且与
轴垂直向上方向为轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系，
则.
设，因为，
所以解得
即.
取平面的一个法向量，则点到平面的距离，
所以直线与底面所成角的正弦值为.
变式3．（24-25高二上·河北邢台·期中）如图，在矩形中，，取中点，将和分别沿直线，折叠，使，两点重合于点得到三棱锥．
(1)当时，求证：；
(2)若二面角的平面角为，是否存在上一点，使得与平面所成角的正弦值为？若存在，请求出点的位置；若不存在，请说明理由．
【解析】（1）由题可知，，，，
又因为，所以．
所以．即，
且，平面，可得平面，
由平面，所以．
（2）存在，理由如下：
因为，，，平面，
所以平面，二面角的平面角为，
如图所示，以为原点，垂直于所在的直线为轴，、方向为和轴．
则，，，，
可得，，
设，
则
平面的一个法向量为，
设直线与平面的夹角，
可得，解得，
故位于中点时，满足条件.
题型四：立体几何空间作图类题型
例10．（23-24高二下·福建漳州·期末）如图，多面体是三棱台和四棱锥的组合体，底面四边形为正方形，，，，平面平面.

(1)证明：平面；
(2)若平面与平面的交线为，
（i）作出交线（需要写出必要的作图步骤，保留作图痕迹，无需证明）；
（ii）求直线与平面所成角的正弦值.
【解析】（1）如图，

在上取点，使，连接，，
因为，所以，
所以，且，
又在正方形中，，
所以，，
又在三棱台中，，
所以，且，所以四边形为平行四边形，
所以，
又平面，平面，
所以平面.
（2）（i）延长和交于一点，连接，如图，

则直线即为平面与平面的交线.
（ii）由平面平面，平面平面，，
平面，
所以平面，又，所以，，两两垂直，
以为坐标原点，分别以，，为轴，轴，轴的正方向，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，
，，，
，
又因为，，所以在中，，
所以，
，
取直线的方向向量为，
设平面的法向量为，
由得，取，
设直线与平面所成的角为，
则，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
例11．（25-26高二上·四川成都·期中）在斜三棱柱中，为棱的中点.
(1)若与交于点，作图并证明：平面；
(2)在中，，.
①若平面，，求二面角的余弦值；
②若，，求四面体的外接球的表面积.
【解析】（1）证明：如图连接，
在中，
，，
，
又平面，平面，
平面；
（2）如图，以为坐标原点，CA，CB所在直线分别为轴、轴，过点且垂直于平面的直线为轴建立空间直角坐标系，
则，，，，
①由题意，，
设平面的法向量为，
，，
，取，
设平面的法向量为，
，，
，取，
，
二面角为锐二面角，
二面角的余弦值为；
②设，由题意得，
解得，，，
，
记四面体的外接球球心为点，
则点在平面内的射影点为，
设，
由，得，
解得，
记四面体的外接球半径为，
则，
故四面体的外接球的表面积为.
例12．（22-23高二上·山东潍坊·期中）已知正四棱锥中，O为底面ABCD的中心，如图所示．
(1)作出过点O与平面PAD平行的截面，在答题卡上作出该截面与四棱锥表面的交线，写出简要作图过程及理由；
(2)设PD的中点为G，，求AG与平面PAB所成角的正弦值．
【解析】（1）如图所示，
取PC中点E，DC的中点F，连接EF，FO，并延长FO交AB于M，
截面EFN交侧棱PB于N，则，
连接AC，O为AC的中点，所以，
又，，
截面EFMN，截面EFMN，
平面PAD，平面PAD，所以平面平面EFMN．
所以平面EFMN为所求截面．
（2）不妨设四棱锥的所有棱长均为2，以O为原点，过O点且分别与AB，BC平行的直线为x轴、y轴，OP为z轴，建立如图所示空间直角坐标系（图）．
可得，，，．
则，，
，
设平面PAB的一个法向量为，
则，即，取，则，
设AG与平面PAB所成角为，则，
所以AG与平面PAB所成角的正弦值为．
变式4．（25-26高二上·江西南昌·阶段检测）如图，已知在正三棱柱中，，三棱柱外接球半径为，且点分别为棱，的中点．
(1)求棱AB的长；
(2)过点作三棱柱截面，求截面图形的周长；
(3)求平面与平面的夹角的余弦值．
【解析】（1）如图，三棱柱外接球球心为，三角形外接圆圆心为，
由正三棱柱中，，则，且，
因为三棱柱外接球半径为，则，
因为为正三角形，又底面正的外接圆的半径为，
所以，
又
则，
解得.
（2）因为点分别为棱，的中点，可得，
如图所示，延长交于点，连接交于点，四边形为所求截面，
取的中点，
则，所以，
在中，由余弦定理得，所以可得，
所以截面图形的周长为.
（3）以点为原点，以所在的直线分别为轴，以过点垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示，
因为，可得，
则
设平面的法向量为，则，
取，则，所以，
取的中点，因为为等边三角形，可得，
又因为平面，且平面，所以，
因为且平面，所以平面，
又由，可得，
所以平面的一个法向量为，
设两个平面所成角为，则，
所以平面与平面的夹角的余弦值．
题型五：几何法推导空间关系、构建空间直角坐标系
例13．（25-26高二下·江苏淮安·期中）如图，在三棱柱中，所有棱长均为，，．
(1)证明：平面平面；
(2)求直线与所成角的余弦值；
(3)求二面角的正弦值．
【解析】（1）取中点，连接，
在三棱柱中，所有棱长均为，，
都为边长为的等边三角形，
，，，
，，，
，平面，平面，
平面，平面平面.
（2）以为坐标原点，正方向为轴正方向，可建立如图空间直角坐标系，
则，，，，
，，
，
直线与所成角的余弦值为.
（3）由（2）得：，，
设平面的法向量，
则，令，则，，；
轴，平面的一个法向量，
，，
即二面角的正弦值为.
例14．（25-26高二下·江苏泰州·期中）如图，平行六面体的底面是菱形，，，且平面.

(1)求的长.
(2)当时，求直线与平面所成的角的正弦值的取值范围.
(3)当时，已知动点M到点A的距离是它到平面的距离的倍.若动点M的轨迹、平面和平面三者相交于两点P，Q，求.
【解析】（1）在平行六面体中，令，令，
由四边形是菱形，得，由，
得，又，
平面，则，
整理得，而，解得，
所以的长为1.
（2）当时，由（1）得，
，则，，
，而为平面的法向量，
则直线与平面所成角的正弦值
，
而，即，则，
，因此，
所以直线与平面所成角的正弦值的取值范围是.
（3）当时，（1）得平行六面体为正方体，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，平面方程为，平面方程为，
设平面内任意一点，，
则，即，于是平面方程为，
设动点，由动点M到点A的距离是它到平面的距离的倍，
得，整理得点M的轨迹方程为，
由，整理得，设，
则，因此
，
所以长为.
例15．（25-26高二下·江苏南京·期中）如图，在菱形中，，，为的中点，将沿翻折至，得到四棱锥．
(1)证明：面平面；
(2)当二面角为120°时，求和平面所成角的正弦值．
【解析】（1）由题意得，为等边三角形，
又为中点，所以，，由翻折性质，翻折至，垂直关系不变，故 ，
又因为，所以平面.又因为平面，所以平面平面.
（2）如图，以为原点，，以及垂直于平面的直线为，，轴，建立空间直角坐标系，
由（1）知，，又，所以即为二面角的平面角，即. 则，，，.
，，，设平面的法向量，
则，即，令，则，所以 ，
设直线与平面所成的角为，
，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
变式5．（25-26高二上·广东深圳·阶段检测）如图1，在平行四边形中，为的中点．将沿折起，连接与，如图2．
(1)当三棱锥的体积最大时，求此时线段的长度；
(2)当时，
（i）设，是否存在实数，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；
（ii）求三棱锥的内切球的半径．
【解析】（1）设点到平面的距离为，
则，其中为定值，
要使三棱锥的体积最大时，则点到平面的距离取最大值，
取中点，连接，
由题意得，
则为等边三角形，，
则，
即平面时，点到平面的距离最大，
此时，由平面，则平面平面，连接，
在中，
由余弦定理得，
所以，而，则，故．
由平面平面平面，则平面，
由平面，则，所以；
（2）（i）由（1）知，当时，平面平面．
在平面内过作，平面平面平面，
所以平面平面，则．
如图，以点为原点，以所在直线分别为轴，
过点做垂直于平面的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
故，
由，
，
因为轴垂直平面，故可取平面的一个法向量为，
设直线与平面所成角为，
所以，
化简可得，解得，或（舍）
故时，存在，使直线与平面所成角的正弦值为；
（ii）由（1）可知，为直角三角形，．
则，
，
，
在中，，取中点，
则，且，
所以，
设内切球球心为，内切球半径为，
由等体积法知
其中，，
故，
故当时，三棱锥的内切球的半径为.
题型六：空间点位坐标求解难点题型
例16．（25-26高二下·河南新乡·期中）如图，在四棱锥中，为正三角形，．
(1)证明：平面平面；
(2)若，且平面与平面的夹角的余弦值为，求的长．
【解析】（1）如图：取的中点，连接.
因为，所以，在中，．
由余弦定理得，
因为为等边三角形，所以，
在中，，则，所以，
因为，平面，所以平面，
因为平面，所以平面平面；
（2）以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
因为，
因为，
根据圆心角与圆周角关系可判断点在以点为圆心，半径为2的圆上，所以，
三角形为正三角形，所以.
由（1）可知，平面，所以轴，
所以由题设得，
设，故，
则．
设平面的一个法向量，平面的一个法向量，
则，即，
可取，
记平面与平面的夹角为，
则，
其中
，
所以，
原式可约分得.
两边平方：，化简得，
解得，，由图可知.
所以，所以，则．
例17．（25-26高二下·湖南郴州·阶段检测）如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，，，，，为正三角形．
(1)求证：平面平面；
(2)设点是三棱锥外接球的球心，求该外接球的半径；
(3)在第（2）问的条件下，求直线与平面所成角的正弦值．
【解析】（1）证明：设为的中点，连接，，，
在中，.
又，所以为正三角形，所以.
又为正三角形，则，.
又，，所以.
又平面，，所以平面.
因为平面，所以平面平面．
（2）由（1）可知，，两两垂直，
故以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，如图，
则，，，，，
取的中点，则.
在中，外接圆的圆心为的中点，连接，则平面，
设，
则外接球的半径，即，
解得，所以，.
故三棱锥外接球的半径．
（3）由（2）得，，，
设平面的法向量为，
则，即，令，则，，则，
设直线与平面所成角为，
则．
直线与平面所成角的正弦值为.
例18．（25-26高三下·黑龙江绥化·开学考试）如图，三棱台中，侧面四边形为等腰梯形，底面三角形为正三角形，且，设为棱上的点.
(1)若为棱的中点，求证；
(2)若三棱台两底面间的距离为，且侧面底面，试探究是否存在点，使直线与平面所成角的正弦值为？若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由.
【解析】（1）如图：取中点，连接，
因为四边形为等腰梯形，且为中点，所以.
又为正三角形，所以，
平面，所以平面，
又平面，所以.
（2）解法1：延长三棱台侧棱交于点，补成三棱锥，
取中点，中点，连接；
侧面为等腰梯形，故；
侧面底面，交线为，平面，
因此平面；
已知两底面距离为，即；
由相似比，得；
底面为正三角形，，则，；
在中，；
在中，；
设点到平面（即平面 ）的距离，
由，即，
，，
代入得：，解得；
设点到平面的距离，
由相似比，得；
设，点到平面的距离，由相似性：，、
得，其中；
作于，则，，，
由余弦定理：，
，
设直线与平面所成角为，则，
代入得：，化简得，
解得或（舍去），即点与重合,
所以存在点，当与点重合时，直线与平面所成角的正弦值为.
解法2：设中点为，连接，则，
又侧面底面，侧面底面侧面，
所以底面，
又底面，所以，
又，所以两两垂直，
故可以为原点，所在的直线分别为轴建立如图空间直角坐标系.
因为三棱台两底面间的距离为，即，
又三角形为正三角形，且，
则，设，
则，
设平面的法向量为，
则，
可取
设直线与平面所成的角为，
则，
由，
所以，故或（因为，故舍去），
此时与点重合，
所以存在点，当与点重合时，直线与平面所成角的正弦值为.
变式6．（25-26高三下·云南怒江·开学考试）如图，在几何体ABCDEF中，平面，，，，，.
(1)证明：是等边三角形；
(2)求平面ADE与平面BCF所成二面角的正弦值；
(3)已知点M在直线AE上，且平面，求的值.
【解析】（1）证明：因为平面，平面，
所以.
在直角梯形中，，.
同理，.
因为，，所以是等边三角形.
（2）记的中点为，在等边三角形中，.
因为平面，平面，所以平面平面.
因为平面平面，所以平面.
以为原点，，所在直线分别为，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，.
，.
设平面的法向量为，
则，即，取，得.
平面的一个法向量为.
，
故平面与平面所成二面角的正弦值为.
（3）设，则，.
因为平面，所以，
即，解得.
故的值为.
题型七：立体几何创新定义类新题型
例19．（25-26高二下·江苏徐州·期中）在空间直角坐标系中，定义：过点，且方向向量为的直线的点方向式方程为；过点，且法向量为的平面的点法向式方程为将其整理为一般式方程为，其中.
(1)已知直线的点方向式方程为，平面的一般式方程为，求直线与平面所成角的正弦值；
(2)请利用法向量和投影向量的相关知识证明：点到平面的距离为；
(3)已知斜三棱柱中，侧面所在平面经过三点，，侧面所在平面的一般式方程为，侧面所在平面的一般式方程为，求平面与平面夹角的余弦值.
【解析】（1）由直线的点方向式方程为，
可知直线的一个方向向量坐标为.
由平面的一般式方程为，
可知平面的一个法向量为，
设直线与平面所成角为，
所以有；
（2）由于不全为0，
不妨设，在平面内取一点，
则向量，
取平面的一个法向量，
所以点到平面的距离为：
．
同理可证和时，．
（3）因平面经过三点，，
可得，，
设侧面所在平面的法向量为
则，令，解得，，可得，
由平面的一般式方程，
可知平面的一个法向量为，
设平面与平面的交线的方向向量为，
则，令，则，，可得，
侧面所在平面的一般式方程为，
可知平面的一个法向量为，
由，，则，，
解得，即，
故平面与平面夹角的余弦值为：
．
例20．（25-26高二上·上海松江·期中）在空间中，两两互相垂直且有公共原点的三条数轴构成直角坐标系，如果坐标系中有两条坐标轴不垂直，那么这样的坐标系称为“斜坐标系”．现有一种空间斜坐标系，它任意两条数轴的夹角均为，我们将这种坐标系称为“斜坐标系”．我们类比空间直角坐标系，定义“空间斜坐标系”下向量的斜坐标：，，分别为“斜坐标系”下三条数轴（轴、轴、轴）正方向的单位向量，若向量，则与有序实数组相对应，称向量的斜坐标为，记作．
(1)若，，求的斜坐标；
(2)在平行六面体中，，，，如图，以为基底建立“空间斜坐标系”．
①若，求向量的斜坐标；
②若，且，求．
【解析】（1），
的斜坐标为．
（2）设分别为与同方向的单位向量，
则，，
①
；
②由题，
由，知，
由，
，
，解得，
则．
例21．（25-26高二上·四川成都·期中）（1）在平面直角坐标系中，为坐标原点，定义集合，点，对任意的点，求的取值范围；
（2）在空间直角坐标系中，定义集合，，点是集合内任意一点．
①求的最小值；
②求点的轨迹形成图形的全面积．
注：若平面的法向量为，点是平面上一定点，则对于平面上任一点，点满足方程：．
【解析】（1）将替换成，原方程不变，于是点M形成的轨迹关于y轴对称，
不妨令，，
若，则，即，点M的轨迹是一条线段；
若，则，即，点M的轨迹是另一条线段；
再利用图象关于y轴对称，最终点M形成的轨迹图形如下：
由得，即,
则点M形成的轨迹图形关于点成中心对称图形且该图形为菱形，
由图及对称性可知，最短距离是点Q到直线的距离；
而最大距离是点Q到的距离，，
所以的取值范围为；
（2）①先证明柯西不等式：
设，，由于，
于是，当且仅当时，等号成立，
于是令，，则，
所以，当且仅当取等号，所以的最小值为；
②将x替换成，原方程不变，于是点N形成的轨迹关于平面对称，
将y替换成，原方程不变，于是点N形成的轨迹关于平面对称，
将z替换成，原方程不变，于是点N形成的轨迹关于平面对称，
于是点N形成的轨迹关于点成中心对称图形，
去绝对值后可以得到8个平面的方程，
当时，为,
与三个平面围城三角形，顶点为，
则为正三角形，边长，其面积为 ，
则最终点的轨迹形成图形的全面积为.
变式7．（24-25高二上·福建福州·期中）新定义：已知，.空间向量的叉积.若在空间直角坐标系中，直线的方向向量为，且过点，直线的方向向量为，且过点，则与方向向量的叉积为，与的混合积为.混合积性质：若，则与共面；若，则与异面.已知直线的一个方向向量为，且过点，直线的一个方向向量为，且过点.
(1)用混合积性质证明：与是异面直线；
(2)若点，求的长的最小值；
(3)若为坐标原点，直线，求的坐标.
【解析】（1）由题意得，
因为，
所以，
故与是异面直线.
（2）设与都垂直的向量，
由，可取，
则的长的最小值为.
（3）由题意可设，
，
则，
由（2）得共线，则，解得，
故.
1．（2025·广东·模拟预测）如图为正四棱台与正四棱锥拼接而成的几何体．
(1)证明：平面；
(2)若该四棱台的高为2，，，，求二面角的正弦值．
【解析】（1）记与的交点为O，由平面，平面，
可知，
而，，平面，平面，
故平面．
由题易得平面与平面为同一平面，故平面．
（2）显然，
以O为坐标原点，的方向为x轴正方向，的方向为y轴正方向，的方向为z轴正方向，建立空间直角坐标系，
则，，，，
则，，，
记平面与平面的法向量分别为，，
则，即，
令，则，
所以取，
又，即，
令，则，
所以取，
记二面角的平面角为，则，
可知，
所以二面角的正弦值为．
2．（25-26高二下·湖南·期中）如图，已知四棱锥S-ABCD的底面ABCD是直角梯形，，，，平面ABCD，.
(1)设钝二面角大小为a，求的值；
(2)在棱上是否存在一点（不与端点重合），使得与平面所成角的正弦值为？若存在，求的值；如不存在，试说明理由；
(3)E点在上，F点在上，G点在上，求的面积取值范围.
【解析】（1）以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
所以，
设平面的法向量为，则，即，
令，则可得；
令平面的法向量为，则，即，
令，则可得，
所以，
因为二面角为钝二面角，所以，则，
所以；
（2）若存在，设，,
则，故，所以，
设与平面所成角为，
所以，
即，所以或（舍去），
所以存在点，且.
（3）因为E点在上，F点在上，G点在上，所以
设，
则，
到的距离为，
所以的面积为
，
对固定的，关于在上二次函数，
可以趋近一条直线，所以面积无最小值，
当时，面积取得最大值，
故.
3．（25-26高二上·广东广州·期末）如图，两个正方形ABCD，ABEF的边长都是1，平面平面，，，其中，.
(1)当时，证明：平面BEM；
(2)是否存在实数，使得平面AMN与平面ABN的夹角为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；
(3)求的最小值.
【解析】（1）当时，，则为的中点，
连接，在正方形ABCD中，，
因为平面平面，平面平面，平面，，
所以平面，又平面，所以，
因为平面BEM，
所以平面BEM.
（2）以为原点，以所在直线轴建立空间直角坐标系，
则，
所以，，，
则，
即，，，
设平面AMN的一个法向量为，
则，取，得，
易得平面ABN的一个法向量为，
因为平面AMN与平面ABN的夹角为，
所以，解得，
所以存在实数，使得平面AMN与平面ABN的夹角为.
（3）由（2）知， ，，，，
则，
所以，
函数（看作关于的二次函数）开口向上，对称轴为，
则时，函数取得最小值为，
此时函数（看作关于的二次函数）开口向上，对称轴为，
则时，函数取得最小值为，
所以的最小值为.
4．（23-24高二上·江西九江·期末）如图，在中，，于现将沿折叠，使为直二面角如图，是棱的中点，连接、、．
(1)证明：平面平面；
(2)若，且棱上有一点满足，求二面角的正弦值．
【解析】（1）证明：在图中，，是的中点，，
而，，故为二面角的平面角，
又为直二面角，，
而平面，故平面，
而平面，，且，平面，
因此平面，又平面，平面平面.
（2）以、、所在的直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
因，所以，那么，
设平面的法向量，
由且，得，取，则，
设平面的一个法向量，，
则，即，令，则，所以，
于是，
所以二面角的正弦值为．
5．（24-25高二上·辽宁·期末）如图，四边形是正方形，四边形是直角梯形且，，，，，，的中点分别为，，.
(1)画出过点，，的截面（不必写出证明过程）；
(2)求直线与平面所成角的正弦值；
(3)若是（1）中过点，，的截面上一点，二面角的余弦值为，求满足题意的点轨迹的长度.
【解析】（1）取中点，连接，则五边形为过，，的截面，
理由，因为，，的中点分别为，，.
所以，又平面，平面，
所以平面，平面，
又，且平面，所以平面平面，
由平面平面，所以，又的中点.
所以为的中点，同理可得为的中点.
（2）由（1）可知直线与平面所成的角即为直线与平面所成的角，
由题意可得，，平面，
所以平面，所以为直线与平面所成的角，
由，，可得，又，
所以，又，所以，
所以，所以直线与平面所成角的正弦值为；
（3）以为坐标原点，为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，
设，则，
所以，
设平面的法向量为，
则，令，则，，
所以平面的一个法向量为，
又平面，所以平面的一个法向量为，
又因为二面角的余弦值为，
所以，
所以，两边平方得，
所以，解得或（舍去），
当时，，当，，
所以满足题意的点轨迹的长度为.
6．（25-26高二下·江苏淮安·期中）如图，在四棱锥中，底面ABCD为菱形，．
(1)证明：平面PAC；
(2)已知，点满足平面PEC．
（i）求；
（ii）求平面PBD与平面PEC的夹角．
【解析】（1）因为ABCD为菱形，所以，
设AC，BD交于点，则，
又因为，所以，
因为，AC，平面PAC，
所以BD平面PAC；
（2）（i）取PC中点，则且，由知，
所以，即四点共面，
因为平面PEC，平面OBEF，平面平面，
所以，
因此OFEB是平行四边形，故，即；
（ii）由（1）可知，BD平面PAC，因为平面ABCD，所以平面平面PAC，
因为平面平面，所以在平面PAC内作Oz垂直于AC，如图，
以为原点，建立空间直角坐标系，
由题意可知，，，，
因为，且，所以，，
因此，，，
，，
由此可知，设平面PBD的一个法向量，
则，也即，
令，得，
设平面PEC的一个法向量，
则，也即，
令，得，
所以，
所以平面PBD与平面PEC的夹角为.
7．（2026高二上·浙江温州·专题练习）如图，在三棱柱中，，直线平面，平面平面.
(1)求证：；
(2)点为中点，求四棱锥的体积；
(3)棱上是否存在一点，使二面角的余弦值为 若存在，求的值；若不存在，请说明理由.
【解析】（1）
过点作，垂足为，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，又因为平面，所以，
又因为平面，平面，所以，
又，平面，所以平面，
又平面，所以.
（2）由（1）知平面，则平面，
所以点到平面的距离，
又点为中点，所以点到平面的距离为.
又，所以
（3）
过点作，由，，得，，
由（1）知平面，平面，则，即直线，，两两垂直，
以点为原点，直线，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，
由，得，，，，，，
假设在棱上存在一点，使二面角的余弦值为，
令，，则，，
设平面的一个法向量，则，令，得，显然平面的一个法向量，
依题意，，解得，即，
8．（25-26高二上·重庆·开学考试）已知圆心在原点，且与直线相切，它与x轴分别相交于A，B，过点的直线l交圆O于M，N.
(1)求弦长MN的最小值，并求此时直线l的方程；
(2)当的面积取得最大值时，将圆沿轴折成直二面角，如图，在上半圆上是否存在点，使平面与平面的夹角的正弦值为，若存在，求的长，若不存在，说明理由；
(3)在圆上任取一点，过作轴的垂线段，为垂足，当在圆上运动时，线段的中点的轨迹记为曲线，曲线与直线交于，直线与直线相交于，在定直线上，直线与直线相交于，在定直线上，判断直线，的位置关系，并证明.
【解析】（1）由题意得圆的半径，则圆O的方程为，
当直线l的斜率为0时，此时，
当直线l的斜率不为0，设，即，
则圆心到直线的距离，
又，当且仅当时等号成立，
此时直线l的方程为，
所以弦长MN的最小值为，直线l的方程为.
（2）易知直线l的斜率不为0，设，即，
由（1），，，
又，化简得，
令，则，所以，
又，故最大时，由对勾函数的单调性可得，故此时，
建立空间直角坐标系，如图，则，，，
所以，，
设平面BMN的法向量为，
则，即，取，则，
设，其中，
则，，
设平面ONQ的法向量为，
则，即，取，
易得，
所以，
解得，所以，则.
（3）法一：设，，，联立，
化简得，
，所以，，
所以，
设，，联立，
得，
又，代入得，
即点T在定直线上，
设线段的中点为，则，
因为在圆上，则有 ，
联立，化简得，
设，，则，，
所以，同理，S在定直线上，所以与重合.
法二： ，过定点，
所以，，，联立得：；
，过定点，
所以，，，联立得：；
所以与重合.
9．（24-25高二上·重庆·阶段检测）“曼哈顿距离”是十九世纪的赫尔曼闵可夫斯基所创词汇，它是一种使用几何度量空间的几何用语，定义如下：在平面直角坐标中的任意两点，的曼哈顿距离为.已知在四边形中，，，，且平分，若将沿线段向上折叠，使二面角为直二面角，如图所示，折叠后点在新图形中对应点记为.
(1)计算的大小；
(2)若所在平面为，设，且，记点的轨迹为曲线.
（i）判断是什么曲线，并求出对应的方程；
（ii）设为平面上过点且与直线垂直的直线，已知在直线上，在上，求的最小值.
【解析】（1）
在中，平分，，
则，设，则，
由勾股定理，，解得，即，则，
在中，，，
在中，由余弦定理，，即，
又因二面角为直二面角，且平面平面，，故有平面，
因平面，故，则，
在中，由余弦定理，，
因，故得；
（2）（i）曲线是椭圆.
由（1）已得，如图1，不妨取的中点为，以为轴，
为轴，过点作的平行线为轴建立空间直角坐标系.
则点，，
设，，，
由（1）可知，
从而，
化简可得：，即为的方程.
（ii）将立体几何平面化，只需研究平面上的几何关系.
不妨将（i）中椭圆所在坐标系逆时针旋转得到图2，
在新坐标系下椭圆方程为，直线的方程为，
引理：点与直线上一动点的最小曼哈顿距离为.
证明：如图3，当，即时，
由于，
当点在点处取得等号成立，即，
同理可以得出时的最小曼哈顿距离，综上得证.
设点.
由引理可知： ，
其中，
则当时，，
故的最小值为.
10．（25-26高二上·河南郑州·期末）如图，在棱长为的正四面体（四个面都是正三角形）中，是的中点，是棱上的动点（不与重合）．
(1)当是棱的中点时，求直线与夹角的正弦值；
(2)当时，求平面与平面夹角的余弦值．
【解析】（1）由题意得，故以为原点，,所在直线分别为轴、轴，
以垂直于且垂足为的直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系，
因为正四面体棱长为2，则，
所以，，，，
易得点在底面的投影为等边三角形的中心，则，
则，即，
因为是棱的中点，所以，即，
所以，，
所以
故直线与夹角的正弦值为.
（2）由题意得，设，，，
则，解得，
设平面的法向量为，
因为，，
所以，所以，
令，则，所以，
设平面的法向量为，
因为，，
所以，
令，则，，所以，
所以，
所以平面与平面夹角的余弦值.
11．（25-26高二上·新疆乌鲁木齐·期末）如图，在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，侧面是正三角形．侧面底面，是的中点．
(1)证明：平面平面．
(2)求二面角的余弦值．
(3)求点到平面的距离．
【解析】（1）已知底面是正方形，所以，
又因为平面平面，且平面底面，
底面，所以平面.
因为平面，所以.
又因为是正三角形，是的中点，所以.
因为，且平面，所以平面，
又因为平面，所以平面平面.
（2）
以为坐标原点，分别以所在直线为轴，过作平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系.
已知底面边长为4，是正三角形，
所以：
因为是的中点，故，所以 ，
设平面的法向量为 ，
所以 ，即 ，
令，，即，
又因为平面的一个法向量为，
设二面角的平面角为，则，
又因为所成角为锐角，所以二面角的余弦值为.
（3），
设平面的法向量为，则，即，
令，则，即，
又因为，所以点到平面的距离为.
12．（25-26高二上·浙江杭州·期末）如图，正方形与梯形所在的平面互相垂直，，，，，为的中点．
(1)求证：平面；
(2)求二面角的正切值．
【解析】（1）正方形中，.
因为平面，平面，所以平面.
梯形中，.
因为平面，平面，所以平面.
又，平面，，所以平面平面.
又平面，所以平面.
（2）正方形中，，
因为正方形与梯形所在的平面互相垂直，平面平面，
所以平面.
又平面，所以.
又，所以，，两两垂直，
所以以为原点，以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，
则，，，，
因为为的中点，所以.
则，.
设平面的法向量为,
则，即，令，则，，所以.
因为平面，即为平面的一个法向量.
又二面角为锐二面角吗，设锐二面角的平面角为，
则，
所以，，
所以二面角的正切值为.
13．（25-26高二上·湖南湘潭·期末）如图，在三棱台中，，平面，．
(1)证明：平面平面；
(2)若，点满足，求平面与平面夹角的余弦值．
【解析】（1）因为平面平面，所以，
又平面平面，
所以平面，
又平面，所以；
易得是直角梯形，且，则，
则，于是，
又因，又平面，故平面，
因为平面，所以平面平面．
（2）以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向，建立空间直角坐标系，
由题意得，，
则，
设，则，，
因为，则，
即，解得，
于是，
设平面的一个法向量为，
则，即，；
由（1）知平面的一个法向量可取为．
记平面与平面的夹角为，
则．
14．（25-26高二上·山西运城·期末）如图，已知斜三棱柱，底面为等腰直角三角形，，的中点为，底面.
(1)求证：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
【解析】（1）因为平面，又平面，所以，
因为底面为等腰直角三角形，，所以，
又，平面，
所以平面，
又平面，所以，
因为，所以侧面为菱形，所以
又，平面，所以平面．
（2）取的中点，连接，则，所以面，
以为坐标原点，所在直线分别为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，
因为，，所以 ，
则，所以，，
由（1）可知平面，
所以平面的一个法向量，
所以，
所以直线与平面所成角正弦值．
15．（25-26高二上·云南保山·期末）如图，在矩形中，，点为边的中点．将沿着翻折，使得平面平面，点为线段上的动点．
(1)求证：平面；
(2)①当点运动到何处时，线段的长度最短？最短长度是多少？
②在①的条件下，求二面角的正弦值．
【解析】（1）证明：因为矩形，，点为边的中点，
所以，
所以，即，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，又平面，
所以，
又，平面，
所以平面.
（2）①因为，所以以E为原点，为x，y轴正方向，
过E作垂直平面为z轴正方向建系，如图所示，
取AE中点F，连接，因为，
所以，且，
则，
所以，
因为点为线段上，所以设，
则，
则，
所以当时，有最小值，此时点P为CD的中点.
②由①得，又，
所以，
设平面PBE的法向量为，
则，令，则，所以，
又平面，所以即为平面的法向量，
所以，
则，
所以二面角的正弦值为

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