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第05讲 用空间向量破解立体几何中的范围与最值难题
目录
01 题型归纳目录 2
02 知识点梳理 3
知识点1：方法总结 3
03 重难点题型 4
题型一：截面的范围与最值问题 4
题型二：体积与面积的范围与最值问题 4
题型三：向量数量积的范围与最值问题 5
题型四：空间距离的范围与最值问题 6
题型五：空间角的范围与最值问题 7
题型六：线段和的范围与最值问题 8
04 过关检测 11
知识点1：方法总结
1、利用空间向量法求解立体几何中的距离和角度问题，求解的取值范围的关键是能够将所求转化为关于变量的函数的形式，从而利用函数值域的求解方法求得取值范围.
2、对于立体几何的综合问题的解答方法：
（1）立体几何中的动态问题主要包括：空间动点轨迹的判断，求解轨迹的长度及动态角的范围等问题，解决方法一般根据线面平行，线面垂直的判定定理和性质定理，结合圆或圆锥曲线的定义推断出动点的轨迹，有时也可以利用空间向量的坐标运算求出动点的轨迹方程；
（2）对于线面位置关系的存在性问题，首先假设存在，然后在该假设条件下，利用线面位置关系的相关定理、性质进行推理论证，寻找假设满足的条件，若满足则肯定假设，若得出矛盾的结论，则否定假设；
（3）对于探索性问题用向量法比较容易入手，一般先假设存在，设出空间点的坐标，转化为代数方程是否有解的问题，若有解且满足题意则存在，若有解但不满足题意或无解则不存在.
题型一：截面的范围与最值问题
例1．（2026·高二·河南新乡·阶段检测）在正方体中，平面经过点，平面经过点，当平面，分别截正方体所得截面面积最大时，平面与平面的夹角的余弦值是（ ）
A． B． C． D．
例2．（2026·江苏·模拟预测）已知正三棱锥的侧棱长为，为线段上一点，，．设三棱锥外接球为球，过点作球的截面，则截面面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
例3．（2026·浙江·三模）在棱长为的正方体中，、分别为、的中点，过直线的平面截该正方体所得截面，则当平面与平面的所成角为最小时，截面的面积为（ ）
A． B． C． D．
变式1．（2026·高三·北京·阶段检测）正方体的棱长为1，是空间中任意一点，给出下列4个结论.正确的个数有（ ）
①若点在线段上运动，则始终有；
②若点在线段上运动，则过、、三点的正方体的截面面积最小值为；
③若点在线段上运动，则的最小值为；
④若点在线段上运动，则直线CP与平面所成最大角的正切值为.
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
题型二：体积与面积的范围与最值问题
例4．（2026·云南昆明·模拟预测）已知平行四边形，，，将沿对角线折起，使以A，B，C，D四点为顶点的三棱锥体积最大，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）．
A． B． C． D．
例5．（2026·高三·安徽阜阳·阶段检测）在三棱锥中，分别是棱的中点，则当三棱锥的体积最大时，二面角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
例6．（2026·高三·湖北·期末）正方体的棱长为3，平面内一动点满足，当三棱锥的体积取最大值时，该三棱锥外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
变式2．如图，在四棱锥中，平面，，，，已知是四边形内部一点（包括边界），且二面角的平面角大小为，则面积的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
变式3．（2026·高二·福建·期中）在空间直角坐标系中，已知．若，分别是三棱锥在坐标平面上的正投影图形的面积，则（ ）
A． B． C． D．
题型三：向量数量积的范围与最值问题
例7．（2026·上海静安·二模）设、分别是棱长为的正方体的两个不同顶点，点在该正方体的表面上（含棱和顶点）运动，且不与、两点重合．关于，给出下列两个结论：
①存在最小值，且最小值小于零；
②存在最大值，且最大值大于零．
则下列判断正确的选项是（ ）．
A．①正确，②错误 B．①错误，②正确
C．①和②都错误 D．①和②都正确
例8．（2026·高二·上海·阶段检测）已知在底面半径为2且高为10的圆柱体的表面上有三个动点A、B、C，则的最小值为_________．
例9．（2026·高二·辽宁辽阳·期末）在正方体中，，P是棱的中点，E，F是矩形内的任意两点（包括边界），则的最小值是__________.
变式4．（2026·高二·广东茂名·期中）已知是棱长为1的正方体表面上不同的三点，则的最小值是________
题型四：空间距离的范围与最值问题
例10．（2026·高二·辽宁辽阳·期末）在正三棱柱中，，P是线段上的一动点，则点P到直线的距离的最小值是（ ）
A． B． C． D．
例11．（2026·高二·云南曲靖·阶段检测）如图，在长方体中，，，P为侧面内一点.若点P到平面的距离与到直线的距离相等，则的最小值是（ ）
A．1 B． C． D．2
例12．（2026·高三·上海徐汇·阶段检测）如图所示，直角三角形所在平面垂直于平面，一条直角边在平面内，另一条直角边长为且，若平面上存在点，使得的面积为，则下列命题正确的有（ ）
①：点P在平面上的轨迹为椭圆
②：线段长度的最小值为1
③：线段长度的最大值为3
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
变式5．（2026·高二·湖北·阶段检测）正方体的棱长为1，若点在上，点在上，则的长度最小值为（ ）
A． B． C． D．
题型五：空间角的范围与最值问题
例13．（2026·高二·北京顺义·期末）如图，在正方体中，E是棱上的动点，则下列结论正确的是（ ）
A．直线与所成角的范围是
B．直线与平面所成角的最大值为
C．二面角的大小不确定
D．直线与平面不垂直
例14．（2026·广西南宁·模拟预测）如图，在正方体 中，为棱上的动点，则直线与平面所成角（过点作平面的垂线，设垂足为．连接，直线与直线相交所形成不大于的角）的正弦值的范围是（ ）
A． B． C． D．
例15．（2026·高二·四川遂宁·期末）如图，棱长为2的正方体中，P为线段上动点（包括端点）．
①当点P为中点时，异面直线与所成角为
②三棱锥中，点P到面的距离为定值
③过点P且平行于面的平面被正方体截得的多边形的面积为
④直线与面所成角的正弦值的范围为
以上命题为真命题的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
变式6．（2026·高二·四川遂宁·期末）如图，棱长为2的正方体中，P为线段上动点（包括端点）．
①三棱锥中，点P到面的距离为定值
②过点P且平行于面的平面被正方体截得的多边形的面积为
③ 直线与面所成角的正弦值的范围为
④当点P为中点时，三棱锥的外接球表面积为
以上命题为真命题的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
题型六：线段和的范围与最值问题
例16．（2026·高一·北京丰台·期末）如图，在棱长为1的正方体中，P，E分别为线段，AB上的动点，M为线段的中点，给出下列四个结论：
①三棱锥的体积为定值；
②的最小值为；
③不存在点E，使得与所成的角为45°；
④面积的取值范围为．
其中所有正确结论的序号是______.
例17．（2026·高二·福建南平·期末）如图，在棱长为2的正方体中，点，分别是平面和平面内的动点，若点为棱的中点，则的最小值为______ .

例18．（2026·高二·贵州贵阳·期中）如图，在棱长为2的正方体中，为边的中点，点为线段上的动点，设，则正确结论的序号为________

①当时，平面；②当时，取得最小值，其值为；
③的最小值为；④当平面时，
变式7．已知正四面体ABCD的棱长为2，点M、N分别为和的重心，P为线段CN上一点，则下列结论正确的是______．（填序号）
①直线平面ACD；
②若，则平面ABC；
③若取得最小值，则．
1．（2026·四川宜宾·模拟预测）已知分别是棱长为2的正四面体的对棱的中点.过的平面与正四面体相截，得到一个截面多边形，则正确的选项是（ ）
①截面多边形可能是三角形或四边形.
②截面多边形周长的取值范围是.
③截面多边形面积的取值范围是.
④当截面多边形是一个面积为的四边形时，四边形的对角线互相垂直.
A．①③ B．②④ C．①②③ D．①③④
2．（2026·高二·北京·阶段检测）如图，在棱长为2的正方体中，，分别是棱，的中点，点在线段上运动，给出下列四个结论：
①平面截正方体所得的截面图形是五边形；
②直线到平面的距离是；
③存在点，使得；
④面积的最小值是.
其中所有正确结论的序号是（ ）
A．②③ B．②④ C．①③ D．①④
3．（2026·高二·北京·阶段检测）《九章算术》中将底面是长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”.现有“阳马”如下图所示，其中平面，，点在棱上运动.下列说法正确的是（ ）
A．存在点，使得
B．存在点，使得
C．点到平面距离的最大值为
D．当时，三棱锥的体积是四棱锥体积的
4．（2026·高二·山西临汾·阶段检测）已知正方体的棱长为分别为棱的中点，点在线段上，则当的面积最小时，点到直线的距离为（ ）
A． B． C． D．
5．（2026·高二·河北邢台·期末）如图，棱长为1的正方体中，为线段上的动点（不含端点），则下列结论错误的是（ ）
A．直线与所成角的范围是
B．平面平面
C．三棱锥的体积为定值
D．平面截正方体所得的截面可能是直角三角形
6．（2026·高二·四川内江·期中）已知四面体的所有棱长均为，分别为棱的中点，为棱上异于的动点．有下列结论：
①线段的长度为； ②点到面的距离范围为；
③周长的最小值为； ④的余弦值的取值范围为．
其中正确结论的个数为（ ）
A． B． C． D．
7．（2026·高二·江苏宿迁·期中）在正方体中，点为线段的中点.点在线段上，直线与平面所成的角为，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
8．（多选题）（2026·高二·山东聊城·期中）四边形为正方形，平面.（ ）
A．平面
B．点到的距离为
C．点到平面的距离为
D．点在线段上（不含端点），则与平面所成角的正弦值的范围为
9．（多选题）（2026·高二·江苏南京·阶段检测）在棱长为1的正方体中，点满足，，，则以下说法正确的是（ ）
A．当时，
B．当时，直线与平面所成角的最大值为
C．当时，线段长度的范围是
D．当时，不存在点使得直线与直线所成的角为
10．（多选题）（2026·高二·安徽·阶段检测）如图，在棱长为2的正方体中，为线段的中点，为与的交点，是线段上的动点，则下列结论正确的是（　　）
A．
B．在上的投影向量的模长为定值
C．存在点，使得平面
D．点到直线的距离的范围是
11．（多选题）（2026·高二·四川成都·期末）如图，在长方体中，，，若是的中点．则（ ）
A．过三点作长方体的截面，则截面为菱形
B．存在实数，使得直线与平面垂直
C．直线平面，则
D．点到直线的距离的范围为
12．（多选题）（2026·高二·浙江杭州·期中）已知正方体的边长为，、两点分别在线段和线段上运动，则（ ）
A．
B．三棱锥的体积是定值
C．直线与直线所成角的范围是
D．周长的最小值为
13．（多选题）（2026·高二·江苏南京·期中）在棱长为2的正方体中，点为棱的中点，动点满足，，则下列说法正确的是（ ）
A．若，，则平面与平面夹角的余弦值为
B．若，则平面平面
C．若，则点到直线的距离的最小值为
D．存在唯一有序实数对，使得
14．（多选题）（2026·高二·江苏泰州·阶段检测）如图，四面体中，，，，，为该四面体表面上一点（包含边界），则（ ）
A．若，，则点存在且唯一
B．若，则点在内的轨迹长度为
C．若，则的最小值为1
D．的最小值为
15．（多选题）（2026·高二·重庆·阶段检测）在棱长为2的正方体 中，已知， 分别为线段 ， 的中点，点在四边形内运动，则（ ）
A．
B．当点在上运动时，三棱锥的体积为
C．
D．周长的最小值为
16．（多选题）（2026·高二·江苏南京·期中）已知平行六面体的所有棱长均为，点在线段上，如图所示，则（ ）
A．
B．平面
C．四边形为正方形
D．的最小值为
17．（2026·高二·广东深圳·阶段检测）在三棱锥中，和都是等边三角形，，，为棱上一点，则的最小值是______．
18．（2026·高二·北京·期中）如图，在长方体中，，，点为线段上一动点，则的最小值为______．
19．在正方体中，，为平面内一点，则的最小值是______．
20．（2026·高二·山东淄博·阶段检测）如图，在棱长为2的正方体中，点E为BC的中点，点P在线段上，则面积的最小值为________.中小学教育资源及组卷应用平台
第05讲 用空间向量破解立体几何中的范围与最值难题
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01 题型归纳目录 2
02 知识点梳理 3
知识点1：方法总结 3
03 重难点题型 4
题型一：截面的范围与最值问题 4
题型二：体积与面积的范围与最值问题 9
题型三：向量数量积的范围与最值问题 14
题型四：空间距离的范围与最值问题 18
题型五：空间角的范围与最值问题 22
题型六：线段和的范围与最值问题 28
04 过关检测 36
知识点1：方法总结
1、利用空间向量法求解立体几何中的距离和角度问题，求解的取值范围的关键是能够将所求转化为关于变量的函数的形式，从而利用函数值域的求解方法求得取值范围.
2、对于立体几何的综合问题的解答方法：
（1）立体几何中的动态问题主要包括：空间动点轨迹的判断，求解轨迹的长度及动态角的范围等问题，解决方法一般根据线面平行，线面垂直的判定定理和性质定理，结合圆或圆锥曲线的定义推断出动点的轨迹，有时也可以利用空间向量的坐标运算求出动点的轨迹方程；
（2）对于线面位置关系的存在性问题，首先假设存在，然后在该假设条件下，利用线面位置关系的相关定理、性质进行推理论证，寻找假设满足的条件，若满足则肯定假设，若得出矛盾的结论，则否定假设；
（3）对于探索性问题用向量法比较容易入手，一般先假设存在，设出空间点的坐标，转化为代数方程是否有解的问题，若有解且满足题意则存在，若有解但不满足题意或无解则不存在.
题型一：截面的范围与最值问题
例1．（2026·高二·河南新乡·阶段检测）在正方体中，平面经过点，平面经过点，当平面，分别截正方体所得截面面积最大时，平面与平面的夹角的余弦值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如图：因为正方体中过体对角线的截面面积最大，所以题目转化为求平面与平面夹角的余弦值，
以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，
设正方体棱长为1，平面与平面的夹角为，
因为平面，平面，
所以，且，，，平面，
所以平面，同理平面，
所以为平面的一个法向量，为平面的一个法向量，
，，，，，
则.
故选：D.
例2．（2026·江苏·模拟预测）已知正三棱锥的侧棱长为，为线段上一点，，．设三棱锥外接球为球，过点作球的截面，则截面面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图在正三棱锥中，平面，且为的中心，为中线，
如图以点为原点，的平行线为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
设，则
所以，
由于，所以，则，
所以，
因为，则
解得，
设，则，则，得，
所以，
过点作球的截面，当时，截面面积的最小，
，所以截面圆半径为，
则面积为.
故选：B
例3．（2026·浙江·三模）在棱长为的正方体中，、分别为、的中点，过直线的平面截该正方体所得截面，则当平面与平面的所成角为最小时，截面的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、，设平面交直线于点，
则，，
设平面的一个法向量为，则，
取，可得，
易知平面的一个法向量为，
设平面与平面的所成角为，
，
当且仅当时，取最大值，此时平面与平面所成角最小，
则，
设平面交棱于点，，
因为，则，解得，即点，
结合图形可知，平面分别交棱、于点、，
先证明射影面积法：设点在平面内的射影点为，如下图所示：
过点在平面内作，连接，
因为平面，平面，所以，
因为，，、平面，故平面，
因为平面，所以，
故为锐二面角的平面角，
在中，，
推广到其他多边形的面积也成立，
本题中，，
设截面的面积为，由射影面积法可得，
故.
故选：B.
变式1．（2026·高三·北京·阶段检测）正方体的棱长为1，是空间中任意一点，给出下列4个结论.正确的个数有（ ）
①若点在线段上运动，则始终有；
②若点在线段上运动，则过、、三点的正方体的截面面积最小值为；
③若点在线段上运动，则的最小值为；
④若点在线段上运动，则直线CP与平面所成最大角的正切值为.
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【解析】对于①：如下图，连接，所以，又，所以，
因为平面，所以，平面，由线面垂直的判定可知，
平面，因为平面，所以，故①正确；
对于②：在上取一点，使得，连接，
易知，且，即四点共面，
即过，，三点的截面为截面.
以点为坐标原点，建立如下图所示的坐标系：
，，
因为，，
所以截面的面积为
，
当时，，，三点的正方体截面面积最小值为，故②错误；
对于③：如下图，将与四边形沿展开在同一平面上，由图可知，线段
的长度即为的最小值，在中，
，故③正确；
对于④：连接，过作，交于，连接，
由于平面，所以平面，
所以是直线CP与平面所成角，
，由于，所以当最小时，最大，
当，即是的中点时，最小，且最小值为，
所以的最大值为，④正确.
综上所述，正确的个数有3个.
故选：B
题型二：体积与面积的范围与最值问题
例4．（2026·云南昆明·模拟预测）已知平行四边形，，，将沿对角线折起，使以A，B，C，D四点为顶点的三棱锥体积最大，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设，，
因为，所以，而，所以，
所以，，所以，
当以A，B，C，D四点为顶点的三棱锥体积最大时，平面平面，
所以平面，
以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
所以，，
设，的夹角为，则，
故选：C．
例5．（2026·高三·安徽阜阳·阶段检测）在三棱锥中，分别是棱的中点，则当三棱锥的体积最大时，二面角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】在三棱锥中，，
分别是棱的中点，
当三棱锥的体积最大时，平面平面，
如图：取中点，连接，，则 ，，
平面平面，平面平面，，平面，
则平面，
故以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，
，，，，
所以设平面的一个法向量为
则，即，令，则，，
故，
设平面的一个法向量为
则，即，令，则，，
故，
所以.
由图知，二面角为锐二面角，
故二面角的余弦值为.
故选：C.
例6．（2026·高三·湖北·期末）正方体的棱长为3，平面内一动点满足，当三棱锥的体积取最大值时，该三棱锥外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如图，以点为原点建立空间直角坐标系，
，，，由可知，
，
整理为，
所以点的轨迹是平面内，以为圆心，2为半径的圆，
如下图，点到平面的最大值为6，此时点在的延长线上，且，
所以平面，，
等腰直角三角形的外接圆的半径为，
所以三棱锥的外接球的半径，
所以三棱锥外接球的表面积
故选：C
变式2．如图，在四棱锥中，平面，，，，已知是四边形内部一点（包括边界），且二面角的平面角大小为，则面积的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如图，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，则，，．
由二面角的平面角大小为，平面与平面的交线为直线，可知的轨迹是过点的一条直线，又是四边形内部一点（包括边界），则的轨迹是以为端点的一条线段（不含点）．
设的轨迹与轴的交点坐标为，连接，根据点分别是平面与轴的交点，易得平面的一个法向量为．
易知平面的一个法向量为，则二面角的平面角的余弦值为，解得．因为在线段上运动，，所以面积的取值范围为．
故选：D.
变式3．（2026·高二·福建·期中）在空间直角坐标系中，已知．若，分别是三棱锥在坐标平面上的正投影图形的面积，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意可知：点在坐标平面上的正投影分别为，
因为，则，可知三点共线，
可得，，，
所以.
故选：B.
题型三：向量数量积的范围与最值问题
例7．（2026·上海静安·二模）设、分别是棱长为的正方体的两个不同顶点，点在该正方体的表面上（含棱和顶点）运动，且不与、两点重合．关于，给出下列两个结论：
①存在最小值，且最小值小于零；
②存在最大值，且最大值大于零．
则下列判断正确的选项是（ ）．
A．①正确，②错误 B．①错误，②正确
C．①和②都错误 D．①和②都正确
【答案】A
【解析】设中点为，
若、为同一平面的相邻顶点，则，
则，即，
，
此时存在最小值，且最小值小于零，存在最大值，且最大值大于零；
若、为同一平面的不相邻顶点，则，
则，即，
此时存在最小值，且最小值小于零，存在最大值，且最大值大于零；
若、为体对角线上两顶点，则，
则，即，
则，
此时存在最小值，且最小值小于零，存在最大值，最大值等于零；
综上可得：①正确；②错误.
例8．（2026·高二·上海·阶段检测）已知在底面半径为2且高为10的圆柱体的表面上有三个动点A、B、C，则的最小值为_________．
【答案】
【解析】如图：过点、、分别作与圆柱底面平行的平面截圆柱得圆，，，
设点在圆，上的射影点为，，点在圆上的射影点为，点在圆上的射影点为，
则
由，
则，当且仅当时取等，
如图在圆所在平面，取点为圆与轴负半轴交点，建立平面直角坐标系.
则，设，，
所以，，
则
当，时，等号成立.
故，
所以的最小值为.
例9．（2026·高二·辽宁辽阳·期末）在正方体中，，P是棱的中点，E，F是矩形内的任意两点（包括边界），则的最小值是__________.
【答案】
【解析】设正方体的中心为，连接，设，连接，
因为正方体中，所以平面，
因为平面，，
又平面，所以平面，
因为P是棱的中点，正方体的中心为，
所以，则四边形为平行四边形，则，
故平面，由于平面，
则，，
所以，
因为，，所以，
因为，所以|，所以，
因为E，F是矩形内的任意两点，所以，当且仅当E，F为或的两端点时，等号成立，
则，即的最小值是.
故答案为：.
变式4．（2026·高二·广东茂名·期中）已知是棱长为1的正方体表面上不同的三点，则的最小值是________
【答案】/
【解析】法一：
根据正方体的性质，可不妨设在下底面的棱上动点，又设中点为，
则
当与中点重合时，取到最小值，
当为底面对角线的顶点时，取到最大值，
所以当为底面中心，为底面对角线的顶点时, 取到最小值；
法二、如图建立空间直角坐标系，
设，，，其中，，.
则，.
则
，
当在正方体同一面上时，则当，，时，取得最小值，
，
即当为正方体一面的对角线，为对角线中点时，取得最小值；
当、、不在正方体同一面上时，由对称性，不妨设，，不同时为0，
此时
；
因为，，，则，
所以，
综上，的最小值是.
题型四：空间距离的范围与最值问题
例10．（2026·高二·辽宁辽阳·期末）在正三棱柱中，，P是线段上的一动点，则点P到直线的距离的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】以A为原点，AB，所在直线分别为x轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
因为，所以，，，，
所以，，.
设（），则，
故点P到直线的距离
.
故选：A.
例11．（2026·高二·云南曲靖·阶段检测）如图，在长方体中，，，P为侧面内一点.若点P到平面的距离与到直线的距离相等，则的最小值是（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】C
【解析】以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
设，其中，，则点到平面的距离为，
所以，，
点到直线的距离为：，
所以，
则，
，故当，时，取得最小值为.
故选：C.
例12．（2026·高三·上海徐汇·阶段检测）如图所示，直角三角形所在平面垂直于平面，一条直角边在平面内，另一条直角边长为且，若平面上存在点，使得的面积为，则下列命题正确的有（ ）
①：点P在平面上的轨迹为椭圆
②：线段长度的最小值为1
③：线段长度的最大值为3
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】B
【解析】因为平面平面，平面平面，平面，，
所以平面.
如图建立空间直角坐标系，
在直角三角形中，由，，可得，
所以，设，
则，
所以点到的距离为：
所以的面积为，
平方化简上式得：，
由上可得：点P在平面上的轨迹为椭圆，故①正确；
由，则，把代入可得：
因为，所以，
即当时，，故②错误；
当时，，故③正确；
综上正确的是：①③，
故选：B.
变式5．（2026·高二·湖北·阶段检测）正方体的棱长为1，若点在上，点在上，则的长度最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】点在上，点在上，
则的长度最小值即异面直线和的距离，
以为原点建立如图所示空间直角坐标系，
则，
设为直线和的法向量，
又因为，，，
则，令，则，
所以异面直线和的距离为，
即的长度最小值为.
故选：C.
题型五：空间角的范围与最值问题
例13．（2026·高二·北京顺义·期末）如图，在正方体中，E是棱上的动点，则下列结论正确的是（ ）
A．直线与所成角的范围是
B．直线与平面所成角的最大值为
C．二面角的大小不确定
D．直线与平面不垂直
【答案】D
【解析】以为原点，分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系：
不妨设正方体棱长为1， ，
对于A，，
不妨设直线与所成角为，
所以，
当增大时，分别减小，增大，所以关于单调递减，
所以，所以，故A错误；
对于B，由题意，且显然平面的法向量为，
不妨设直线与平面所成角为，
则单调递增，，
所以，所以，故B错误；
对于C，，
所以，
不妨设平面与平面的法向量分别为，
所以有和，令，解得，
即取平面与平面的法向量分别为，
二面角为锐角，不妨设为，
则，
所以二面角的大小为，故C错误；
对于D，，
所以，
所以与不垂直，所以直线与平面不垂直.
故选：D.
例14．（2026·广西南宁·模拟预测）如图，在正方体 中，为棱上的动点，则直线与平面所成角（过点作平面的垂线，设垂足为．连接，直线与直线相交所形成不大于的角）的正弦值的范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】连接，则为直线PB与平面所成的角，
设正方体的棱长为a，，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，∴ ，
∴ ，则 ，
即直线与平面所成角的正弦值的范围是.
故选：A.
例15．（2026·高二·四川遂宁·期末）如图，棱长为2的正方体中，P为线段上动点（包括端点）．
①当点P为中点时，异面直线与所成角为
②三棱锥中，点P到面的距离为定值
③过点P且平行于面的平面被正方体截得的多边形的面积为
④直线与面所成角的正弦值的范围为
以上命题为真命题的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【解析】如图所示建立空间直角坐标系，则，，，，
，，，，设，，
对①：，，故，正确；
对②：设平面的法向量为，则，取，得到，，点P到面的距离为，正确；
对③：如图所示，连接，则，平面，平面，故平面，同理平面，，故平面平面，故截面即为，为等边三角形，面积为，正确；
对④：，线与面所成角为，则，，故，正确.
故选：D
变式6．（2026·高二·四川遂宁·期末）如图，棱长为2的正方体中，P为线段上动点（包括端点）．
①三棱锥中，点P到面的距离为定值
②过点P且平行于面的平面被正方体截得的多边形的面积为
③ 直线与面所成角的正弦值的范围为
④当点P为中点时，三棱锥的外接球表面积为
以上命题为真命题的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【解析】
以A为坐标原点，分别以为轴建系如图：
,，
，
设,
则，
所以
设面的一个法向量为，
则
令得，
对于①：到平面的距离为，故①正确；
对于②：连接，因为四边形为平行四边形，
，又面，面，
面，
同理可证面，
又，所以面面，
所以过点P且平行于面的平面被正方体截得的多边形为，
它是边长为的等边三角形，故面积为，故②正确；
对于③：设直线与面所成角为，则，
，，
所以直线与面所成角的正弦值的范围为，故③正确；
对于④：当点P为中点时，设三棱锥的外接球球心，
，
，
解得，
所以外接球半径满足：，
三棱锥的外接球表面积为，故④正确；
综上：①②③④均正确.
故选：D
题型六：线段和的范围与最值问题
例16．（2026·高一·北京丰台·期末）如图，在棱长为1的正方体中，P，E分别为线段，AB上的动点，M为线段的中点，给出下列四个结论：
①三棱锥的体积为定值；
②的最小值为；
③不存在点E，使得与所成的角为45°；
④面积的取值范围为．
其中所有正确结论的序号是______.
【答案】①②④
【解析】对①，点到平面的距离是定值，为定值，所以三棱锥的体积为定值，正确；
对②，将平面沿着旋转到平面，如图：
，，则，
所以，，
所以，
，正确；
对③，建立空间直角坐标系：
，设，
所以，
若与所成的角为45°，则（舍），
所以存在点E，使得与所成的角为45°，错误；
对④，设，，
所以，点到直线的距离为，
由，当时，有；当时，有.
所以面积，正确.
故答案为：①②④
例17．（2026·高二·福建南平·期末）如图，在棱长为2的正方体中，点，分别是平面和平面内的动点，若点为棱的中点，则的最小值为______ .

【答案】/
【解析】
以为坐标原点，以分别为轴建立直角坐标系，
在延长线上取，使，所以，
表示到平面的距离，
所以，
当平面，平面，此时取的最小值，
因为，所以，
设平面的法向量为，则，
所以，令，则，
所以.
故答案为：.
例18．（2026·高二·贵州贵阳·期中）如图，在棱长为2的正方体中，为边的中点，点为线段上的动点，设，则正确结论的序号为________

①当时，平面；②当时，取得最小值，其值为；
③的最小值为；④当平面时，
【答案】②③
【解析】如图，以点为坐标原点，分别以，，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系.
则，，，，，，
，，，
设点，因为，
所以，即，
解之可得，所以.
当时，，
所以，，，
设平面的法向量为，
则，即，
取，则，，
所以.
因为，
所以，所以与平面不平行.故①错误；
因为，
所以
，
所以当时，取得最小值，且最小值为.故②正确；
因为
，
所以当时，取得最小值，且最小值为.故③正确；
当平面时，点平面，
因为，，，
设平面的法向量为，
则，即，
取，则，，所以.
因为，
点平面，所以，所以.故④错误.
故答案为：②③
变式7．已知正四面体ABCD的棱长为2，点M、N分别为和的重心，P为线段CN上一点，则下列结论正确的是______．（填序号）
①直线平面ACD；
②若，则平面ABC；
③若取得最小值，则．
【答案】①②
【解析】如图，将正四面体放入正方体中，以点为坐标原点，分别以、、所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系．
因为正四面体的长为2，
所以正方体的棱长为，
则，，．
因为点、分别为和的重心，所以点的坐标为，
点的坐标为，
所以．
设平面的法向量为．
因为，，所以取，则．
因为，且直线不在平面上，所以直线平面，故①正确；
若，则，所以，
因为，，设平面的法向量为，
则，取，则．因为，所以平面，即平面，故②正确；
点的坐标为，，则．
设，则，所以
，
所以
，
因为，
，
所以，
当，即，时，取得最小值，故③错误．
故答案为：①②．
1．（2026·四川宜宾·模拟预测）已知分别是棱长为2的正四面体的对棱的中点.过的平面与正四面体相截，得到一个截面多边形，则正确的选项是（ ）
①截面多边形可能是三角形或四边形.
②截面多边形周长的取值范围是.
③截面多边形面积的取值范围是.
④当截面多边形是一个面积为的四边形时，四边形的对角线互相垂直.
A．①③ B．②④ C．①②③ D．①③④
【答案】D
【解析】对于①，当平面过或时，截面为三角形.
易知正四面体关于平面对称，将平面从平面开始旋转与交于点时，
由对称性可知，此时平面与交于点，且，
此时截面为四边形，①正确；
对于②，设，由余弦定理得，
，
由两点间距离公式知，表示动点到定点和的距离之和，
当三点共线时取得最小值，
由二次函数单调性可知，当或时，取得最大值，
所以截面多边形周长的取值范围是，所以②错误；
对于③，记与的交点为，由对称性，，
所以，，
因为，
所以，所以，
记，
则，
因为，
所以
，
由二次函数性质可知，，即，
所以，③正确；
对于④，由③知，当截面为四边形时，对角线，垂直，所以④正确．
故选：D
2．（2026·高二·北京·阶段检测）如图，在棱长为2的正方体中，，分别是棱，的中点，点在线段上运动，给出下列四个结论：
①平面截正方体所得的截面图形是五边形；
②直线到平面的距离是；
③存在点，使得；
④面积的最小值是.
其中所有正确结论的序号是（ ）
A．②③ B．②④ C．①③ D．①④
【答案】C
【解析】对于①，连接分别于的延长线分别交于，连接分别交于，连接，如下图所示：
易知平面与平面为同一平面，
其截正方体所得的截面图形是，为五边形，即①正确；
对于②，以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如下图所示：
易知，
则，显然，
又平面，平面，所以平面；
因此直线到平面的距离即为点到平面的距离，
设平面的一个法向量为，
则，令，可得，即；
易知，
则直线到平面的距离是，即②错误；
对于③，由点在线段上运动，可设，
因此，则，
可得，
假设存在点，使得，可得，
整理可得，解得或（舍去），
故存在点，使得，即③正确.
对于④，易知，，
所以点到直线的距离为，
可知当时，点到直线的距离最小为，
所以面积的最小值是，即④错误.
故选：C
3．（2026·高二·北京·阶段检测）《九章算术》中将底面是长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”.现有“阳马”如下图所示，其中平面，，点在棱上运动.下列说法正确的是（ ）
A．存在点，使得
B．存在点，使得
C．点到平面距离的最大值为
D．当时，三棱锥的体积是四棱锥体积的
【答案】C
【解析】依题意，直线两两垂直，以点为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，
令，，
对于A，，若，则，必有，
此时与不共线，矛盾，A错误；
对于B，，
，则不成立，即不垂直，B错误；
对于C，设平面的法向量，而，
则，令，得，
点到平面距离，当且仅当，即与重合时取等号，C正确；
对于D，当时，，点到平面与平面的距离都为，
而，则，D错误.
故选：C
4．（2026·高二·山西临汾·阶段检测）已知正方体的棱长为分别为棱的中点，点在线段上，则当的面积最小时，点到直线的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如图，建立空间直角坐标系，因为正方体的棱长为分别为棱的中点，
则，所以，，
又点在线段上，设，则，
所以，设点到直线的距离为，
则，
由题易知，，则当的面积最小时，即最小，
由二次函数的性质知，时，最小，此时，
故选：C.
5．（2026·高二·河北邢台·期末）如图，棱长为1的正方体中，为线段上的动点（不含端点），则下列结论错误的是（ ）
A．直线与所成角的范围是
B．平面平面
C．三棱锥的体积为定值
D．平面截正方体所得的截面可能是直角三角形
【答案】D
【解析】
对于A，以D为原点，DA为轴，DC为轴，DD1为轴，建立空间直角坐标系， D1(0,0,1)，A(1,0,0)，C(0,1,0)，
设,，，
，
令，则，上式化为，
根据二次函数的性质知：，
直线D1P与AC所成的角为 ，故A正确;
对于B，正方体中，且面，
∴平面，平面，
∴平面平面，故B正确;
对于C，，P到平面的距离BC=1，
∴三棱锥的体积:为定值，故C正确;
对于D，为线段上的动点（不含端点），连接并延长，
若的延长线交于，如下图截面为四边形，
若的延长线交于，设交点为，如下图截面为，
设，则，，故，
故不为直角三角形，故D错误.
故选：D
6．（2026·高二·四川内江·期中）已知四面体的所有棱长均为，分别为棱的中点，为棱上异于的动点．有下列结论：
①线段的长度为； ②点到面的距离范围为；
③周长的最小值为； ④的余弦值的取值范围为．
其中正确结论的个数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】四面体所有棱长均为，四面体为正四面体；
对于①，作平面，垂足为，
四面体为正四面体，为的中心，且；
取中点，连接，则，且平面；
，，；
平面，平面，，，①正确；
对于②，在上取点，使得，则，，
则以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，，，，，，
设，，
，，，，，
，，
设平面的法向量，
则，令，解得：，，
，
点到平面的距离，
令，则，，
，，即点到平面的距离的取值范围为，②正确；
对于③，将等边三角形与沿展开，可得展开图如下图所示，
则（当且仅当为中点时取等号），
四边形为菱形，分别为中点，，
，
则在四面体中，周长的最小值为，③正确；
对于④，设为中点，若点在线段上，设，则，其中，
在中，；
在中，同理可得：，
；
当时，；
当时，，，
，；
的取值范围为；
同理可得：当在线段上时，的取值范围为；
综上所述：的余弦值的取值范围为，④正确.
故选：D.
7．（2026·高二·江苏宿迁·期中）在正方体中，点为线段的中点.点在线段上，直线与平面所成的角为，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设正方体边长为2，以D为原点建立空间直角坐标系如图所示，
则,,,,
设,则,,
设平面的法向量为,则由得
取，则,
所以为平面的一个法向量，
所以直线与平面所成的角的正弦值
又由，所以,
所以，
又因,所以,所以最小值为
故选：A
8．（多选题）（2026·高二·山东聊城·期中）四边形为正方形，平面.（ ）
A．平面
B．点到的距离为
C．点到平面的距离为
D．点在线段上（不含端点），则与平面所成角的正弦值的范围为
【答案】ACD
【解析】因为四边形为正方形，平面，
所以建立如图所示的空间直角坐标系，
.
A：设平面的法向量为，
，，，
所以有，
显然，CE不在平面内，所以平面，因此本选项正确；
B：，，
于是，
所以点到的距离为，所以本选项不正确；
C：设平面的法向量为，
，，，
所以有，
点到平面的距离为，
所以本选项说法正确；
D：，设，
，
设与平面所成角为，
，
设，，
二次函数的对称轴为，
所以当时，有，于是有，
于是有，所以本选项说法正确，
故选：ACD
9．（多选题）（2026·高二·江苏南京·阶段检测）在棱长为1的正方体中，点满足，，，则以下说法正确的是（ ）
A．当时，
B．当时，直线与平面所成角的最大值为
C．当时，线段长度的范围是
D．当时，不存在点使得直线与直线所成的角为
【答案】AC
【解析】如图，以为轴建立空间直角坐标系，
则，，，，，
由得，即，
选项A，时，，，
则，所以，A正确；
选项BC，，，
由，所以，所以，
由平面的一个法向量是，
则，
设直线与平面所成角为，则，
由，则，则，，B错误、C正确；
选项D，，，，，
令，则，
又，∴，即点存在，D错误.
10．（多选题）（2026·高二·安徽·阶段检测）如图，在棱长为2的正方体中，为线段的中点，为与的交点，是线段上的动点，则下列结论正确的是（　　）
A．
B．在上的投影向量的模长为定值
C．存在点，使得平面
D．点到直线的距离的范围是
【答案】ABD
【解析】对于A，，故A正确；
对于B，因为，所以在上的投影向量为，其模长为定值，故B正确；
以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系如图所示，
则，.
设．
对于C,，
设平面的法向量为，
则，
令，则，从而，
若平面，则，显然与不平行，故不存在，故C错误；
对于D，
点到直线的距离为
，
由知．
故点到直线的距离的范围是，故D正确．
故选：ABD．
11．（多选题）（2026·高二·四川成都·期末）如图，在长方体中，，，若是的中点．则（ ）
A．过三点作长方体的截面，则截面为菱形
B．存在实数，使得直线与平面垂直
C．直线平面，则
D．点到直线的距离的范围为
【答案】ABC
【解析】对于选项A：因为平面与平面平行，
则平面与平面的交线和平面与平面的交线平行，
同理可得平面与平面的交线和平面与平面的交线平行，
取的中点，连接，则四边形为平行四边形，
又因为，
所以截面为菱形，故A正确；
对于选项C：连接交于点，连接，
因为平面平面，则，
可知，则，
所以，故C正确；
对于选项BC：以为坐标原点，所在直线分别为轴建系，
则，，，
可得，
若直线与平面垂直，则，解得，
所以存在实数，使得直线与平面垂直，故B正确；
因为，
则，
又因为，则，，可得，故D错误；
故选：ABC．
12．（多选题）（2026·高二·浙江杭州·期中）已知正方体的边长为，、两点分别在线段和线段上运动，则（ ）
A．
B．三棱锥的体积是定值
C．直线与直线所成角的范围是
D．周长的最小值为
【答案】ACD
【解析】选项A：连接，
因为正方体，
所以，平面ABCD，
因为平面ABCD，所以，
又平面，
所以平面，
因为平面，所以，
同理可证，
因为，平面，
所以平面，
因为P在AC上运动，则平面，
所以，故A正确；
选项B ：三棱锥的体积
，故B错误；
选项C：以D为原点，DA、DC、为x，y，z轴正方向建系，如图所示，
则，设，
则，
因为P在AC上运动，所以设，
所以，解得，所以，
所以，
所以，
当时，，则直线与直线所成角为，
当时，，
因为，所以，
令，所以，则，
所以直线与直线所成角，
综上，直线与直线所成角的范围是，故C正确；
选项D：将平面沿AC翻折至处，使平面与平面ABCD共面，
将平面沿BC翻折至处，使平面与平面ABCD共面，
如图所示，
因为的周长为，
所以翻折后周长为，
由图象可得，当共线时，的周长最小，
过作BA的延长线于E，
因为，
所以，，
在中，，
在中，，
所以，故D正确.
故选：ACD
13．（多选题）（2026·高二·江苏南京·期中）在棱长为2的正方体中，点为棱的中点，动点满足，，则下列说法正确的是（ ）
A．若，，则平面与平面夹角的余弦值为
B．若，则平面平面
C．若，则点到直线的距离的最小值为
D．存在唯一有序实数对，使得
【答案】BC
【解析】依题意，以为坐标原点，以，，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，
由正方体的棱长为，且点为棱的中点，
则，，，，，，，
对于A，若，，则，即点与点重合，即，
则，，，
设平面的法向量为，
则，
令，则，，即，
设平面的法向量为，
则，
令，则，，即，
设平面与平面夹角为，则，
所以平面与平面夹角的余弦值为，故A错误；
对于B，若，则，即，
则，，
设平面的法向量为，
则，
令，则，，即，
结合选项A知平面的法向量为，
所以，即，即平面平面，故B正确；
对于C，若，则，与三点共线，即在线段上，
设，，则，
则，，
所以点到直线的距离为，
所以当，即为线段的中点时，点到直线的距离取最小值，且最小值为，故C正确；
对于D，易知与均垂直于平面，连接，，
则，，若，则，
所以点在以为圆心，为半径的圆上，
若，则，则点在以为圆心，为半径的圆上（均为侧面内部），
两圆的圆心距，故两圆弧相交（如图所示），
故符合条件的点有两个，对应的有两组，故D错误．
14．（多选题）（2026·高二·江苏泰州·阶段检测）如图，四面体中，，，，，为该四面体表面上一点（包含边界），则（ ）
A．若，，则点存在且唯一
B．若，则点在内的轨迹长度为
C．若，则的最小值为1
D．的最小值为
【答案】BCD
【解析】对于A：若，，则为线段的中垂面与线段的中垂面的交线与表面的交点，如图，有两个点，故A错误；
对于B：由题意知是边长为的等边三角形，记的中心为，则平面，
，
又因为，所以要使，只需，
即在内是以为圆心，为半径的圆在内的部分，
如图，取的中点，因为，，
所以，所以，
所以点在内形成的轨迹所对应的圆心角为，
由弧长公式知轨迹长度为，故B正确；
对于C：若点在平面内，则，
故点在以为焦点，为长轴的椭圆上，即.
而，故点在椭圆内，
在空间中将该椭圆绕旋转一周得到椭球面，则椭球面上任一点，
都有，而，故点在椭球面外，
因此与椭球面必有交点，根据两点之间线段距离最短，故的最小值为1，故C正确；
对于D：如图建立空间直角坐标系，则，
设，则，
则，
① 若点在坐标平面上，由对称性，不妨设平面，
则，
此时，
当且仅当时取等号；
② 若点平面，因为，
设平面的法向量为，则，
取，则可得，
由得，且，消去整理得，
因为，
则，
当且仅当时取等号.
综上，，故D正确.
15．（多选题）（2026·高二·重庆·阶段检测）在棱长为2的正方体 中，已知， 分别为线段 ， 的中点，点在四边形内运动，则（ ）
A．
B．当点在上运动时，三棱锥的体积为
C．
D．周长的最小值为
【答案】ABD
【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，，，
选项A：，，，故，A正确；
选项B：连接，在中，易知为中位线，则，
因为平面,平面，所以平面.
故直线到平面的距离即为三棱锥的高.
，，，
设平面的法向量为，则，
令，得，即，
所以直线到平面的距离.
因为，
，
，
所以，
可得，
所以
故，B正确；
选项C：设（满足，），，
当时，有最小值为，即，C错误；
选项D：，周长最小等价于最小，
作关于平面的对称点，，
故周长最小值为，且交点在四边形内，D正确.
16．（多选题）（2026·高二·江苏南京·期中）已知平行六面体的所有棱长均为，点在线段上，如图所示，则（ ）
A．
B．平面
C．四边形为正方形
D．的最小值为
【答案】BCD
【解析】对于A，因为，
所以
，
所以，故A错误；
对于B，由题可知，，
因为，
，
所以，
又平面，，
所以平面，故B正确；
对于C，由题可知，四边形为平行四边形，
又因为，
所以，
所以平行四边形为菱形，
又，
所以，则菱形为正方形，故C正确；
对于D，设，
则，
所以
，
所以的最小值为，故D正确．
17．（2026·高二·广东深圳·阶段检测）在三棱锥中，和都是等边三角形，，，为棱上一点，则的最小值是______．
【答案】/
【解析】如图，设，，
在中，，
所以
，当且仅当时，等号成立.
故答案为：.
18．（2026·高二·北京·期中）如图，在长方体中，，，点为线段上一动点，则的最小值为______．
【答案】1
【解析】依题意以为坐标原点，分别为轴建立空间直角坐标系，如下图所示：
则，设，
所以，
因此，当时，取得最小值1.
故答案为：1
19．在正方体中，，为平面内一点，则的最小值是______．
【答案】
【解析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、、、、，
取线段的中点，
设平面的一个法向量为，，，
则，取可得，
易得，
，
当平面时，取最小值，此时即为点到平面的距离，
且，故，
故.
故答案为：.
20．（2026·高二·山东淄博·阶段检测）如图，在棱长为2的正方体中，点E为BC的中点，点P在线段上，则面积的最小值为________.
【答案】
【解析】如图，以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系，
则，设，，
可得，
则，，
可得点到直线的距离，
则面积，
当且仅当时，等号成立，
所以面积的最小值为.
故答案为：.

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