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第07讲 二项式定理综合应用专题复习
目录
01 题型归纳目录 2
02 知识点梳理 3
知识点1、定义 3
知识点2、二项式（a+b）n的展开式的特点： 3
知识点3、二项展开式的通项： 3
知识点4、二项式系数及其性质 3
知识点5、二项式定理的应用 4
03 重难点题型 5
题型一：展开式特定项及系数求解 5
题型二：三项式与多项式展开问题 5
题型三：两个二项式乘积的系数问题 5
题型四：赋值法求展开式系数和 6
题型五：整除性证明与余数求解 6
题型六：二项式系数与项的系数最值 7
题型七：杨辉三角性质应用问题 7
题型八：展开式有理项求解问题 8
04 过关检测 9
知识点1、定义
一般地，对于任意正整数，都有：
（），
这个公式所表示的定理叫做二项式定理，等号右边的多项式叫做的二项展开式．
式中的做二项展开式的通项，用Tr+1表示，即通项为展开式的第r+1项：，
其中的系数（r=0，1，2，…，n）叫做二项式系数
知识点2、二项式（a+b）n的展开式的特点：
（1）项数：共有n+1项，比二项式的次数大1；
（2）二项式系数：第r+1项的二项式系数为，最大二项式系数项居中；
（3）次数：各项的次数都等于二项式的幂指数n．字母a降幂排列，次数由n到0；字母b升幂排列，次数从0到n，每一项中，a，b次数和均为n；
知识点3、二项展开式的通项：
（）
公式特点：
①它表示二项展开式的第r+1项，该项的二项式系数是；
②字母b的次数和组合数的上标相同；
知识点4、二项式系数及其性质
（1）的展开式中各项的二项式系数、、…具有如下性质：
①对称性：二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即；
②增减性与最大值：二项式系数在前半部分逐渐增大，在后半部分逐渐减小，在中间取得最大值．其中，当n为偶数时，二项展开式中间一项的二项式系数最大；当n为奇数时，二项展开式中间两项的二项式系数，相等，且最大．
③各二项式系数之和为，即；
④二项展开式中各奇数项的二项式系数之和等于各偶数项的二项式系数之和，
即．
考点诠释：
二项式系数与展开式的系数的区别
二项展开式中，第r+1项的二项式系数是组合数，展开式的系数是单项式的系数，二者不一定相等．
（2）展开式中的系数求法（的整数且）
考点诠释：
三项或三项以上的展开式问题，把某两项结合为一项，利用二项式定理解决．
知识点5、二项式定理的应用
（1）求展开式中的指定的项或特定项（或其系数）．
（2）利用赋值法进行求有关系数和．
（3）利用二项式定理证明整除问题及余数的求法．
（4）证明有关的不等式问题．
（5）进行近似计算．
题型一：展开式特定项及系数求解
例1．（2026·高二·新疆伊犁·期中）的展开式的第项的系数是（ ）．
A．210 B．－210 C．－252 D．252
例2．（2026·高二·天津南开·期中）若的展开式中常数项为15，则实数a的值为（ ）
A．2 B．1 C． D．
例3．（2026·高二·安徽安庆·期中）已知多项式，则（ ）
A．15 B．20 C．60 D．80
变式1．（2026·高二·江苏泰州·阶段检测）的展开式中的常数项为（ ）
A． B． C． D．
题型二：三项式与多项式展开问题
例4．（2026·高二·重庆·阶段检测）在的展开式中项的系数是（ ）
A． B． C．24 D．48
例5．（2026·高二·河南郑州·期中）的展开式中的系数为（ ）
A．30 B．60 C．120 D．240
例6．（2026·高二·河北承德·阶段检测）展开式中的系数为（ ）
A．40 B． C．120 D．
变式2．（2026·高二·吉林四平·阶段检测）的展开式中的常数项为（ ）
A．61 B．29 C．309 D．308
题型三：两个二项式乘积的系数问题
例7．（2026·高二·山东济南·期中）展开式中含项的系数为（ ）
A． B． C．220 D．380
例8．（2026·高二·山西临汾·期中）的展开式中的系数为（ ）
A．120 B．－120 C．110 D．－110
例9．（2026·高二·广东深圳·期中）展开式中的系数为（ ）
A．5 B．10
C．12 D．15
变式3．（2026·高二·陕西榆林·期中）在的展开式中，一次项的系数为（ ）
A．32 B．16 C． D．
题型四：赋值法求展开式系数和
例10．（多选题）（2026·高二·河北邢台·期中）已知，若，则（ ）
A．
B．
C．
D．
例11．（多选题）（2026·高二·湖北省直辖县级单位·阶段检测）已知，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
例12．（多选题）（2026·高二·河北唐山·期中）若，则（ ）
A． B．
C． D．
变式4．（多选题）（2026·高二·广东东莞·期中）已知，且第5项与第8项的二项式系数相等，则（ ）
A． B．展开式的二项式系数和为
C．展开式的各项系数和为 D．
题型五：整除性证明与余数求解
例13．（2026·上海黄浦·三模）利用二项式定理，被8除所得的余数为________．
例14．（2026·高二·河南·阶段检测）若数列满足，且当为奇数时，，当为偶数时，，则被除所得余数为______．
例15．（2026·高二·河北衡水·阶段检测）已知，则a被26除的余数为__________．
变式5．（2026·高二·山东济宁·期中）除以8所得的余数为______．
题型六：二项式系数与项的系数最值
例16．（2026·高二·河北石家庄·期中）在 的二项式展开式中，系数最大的项是______.(写出具体的项)
例17．（2026·高二·广东·期末）写出的展开式中系数最大的项：____．
例18．（2026·高三·广东深圳·阶段检测）在的展开式中，仅第项的二项式系数最大，则展开式中系数最大的项是______．
变式6．在的展开式中，的系数等于，则该展开式各项的系数中最大值为______．
题型七：杨辉三角性质应用问题
例19．（2026·高二·河北唐山·期中）杨辉是我国古代数学史上一位著述丰富的数学家，著有《详解九章算法》 《日用算法》和《杨辉算法》，杨辉在1261年所著的《详解九章算法》给出了如下图1所示的表，我们称这个表为杨辉三角，图2是杨辉三角的数字表示，杨辉三角的发现要比欧洲早500年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的.根据以上材料
（1）杨辉三角中第8行的各数之和为_______.
（2）记第行的第个数为，则_______.
例20．（2026·高二·河北承德·阶段检测）南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中画了一张表示二项展开式的系数构成的三角形数阵（部分行如图所示），在“杨辉三角”中，第20行所有数字的平方和等于______．（用一个组合数作答）杨辉三角展示内容：
－第0行：1
－第1行：1 1
－第2行：1 2 1
－第3行：1 3 3 1
－第4行：1 4 6 4 1
－第5行：1 5 10 10 5 1
例21．南宋数学家杨辉发明的“杨辉三角”（如图所示）是我国数学史上的一个伟大创造，它展现了二项式系数在三角形中的几何排列．按照这一规律，第9行第8个数是______．
变式7．（2026·高二·北京海淀·期中）将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，得到如图所示的0-1三角数表.从上往下数，第1次全行的数都为1的是第1行，第2次全行的数都为1的是第3行，第3次全行的数都为1的是第_______行，…，当第n次出现全行的数都为1时，该行共有______个1.

题型八：展开式有理项求解问题
例22．（2026·高二·河南驻马店·开学考试）的展开式中所有有理项的系数之和为________．
例23．的展开式中所有有理项的二项式系数和为______.
例24．的展开式中，有理项的个数为______.
变式8．（2026·高二·河北·期末）在的展开式中，所有有理项的系数和等于__________.（用数字作答）
1．（2026·高二·河北邢台·期中）的展开式中的系数是（ ）
A． B．8 C． D．32
2．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）二项式的展开式中，常数项为（ ）
A．40 B．80 C．90 D．100
3．（2026·浙江·二模）的展开式中，的系数为（ ）
A．60 B．120 C．240 D．360
4．（2026·高二·重庆·期中）在的展开式中，常数项为（ ）
A． B．31 C． D．
5．（2026·高二·吉林·期中）的展开式中的系数为（ ）
A． B．0 C．20 D．40
6．（2026·高二·广东广州·期中）的展开式中的系数为（ ）
A． B． C． D．15
7．（多选题）（2026·高二·江苏南通·阶段检测）已知的展开式中，的系数记为，则（ ）
A．该展开式共有15项
B．
C．
D．的最大值为240
8．（多选题）（2026·高二·江苏盐城·期中）已知函数，则（ ）
A．
B．
C．
D．
9．（2026·高二·吉林·期中）已知恰能被1000整除，，则的最小值为________.
10．（2026·高二·湖北武汉·期中）除以得到的余数是________
11．（2026·高二·山西大同·阶段检测）已知的展开式中，只有第6项的二项式系数最大，则该展开式中系数最大的项为________．
12．（2026·高二·山东泰安·阶段检测）在的展开式中，若第7项系数最大，则n的值可能等于______.
13．（2026·高二·河北·期中）如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角形中，第______行中从左至右第8与第9个数的比为.
14．（2026·高二·上海·期中）“杨辉三角”是数学史上的一个伟大成就．在如图所示的“杨辉三角”中，去掉所有的数字1，余下的数逐行从左到右排列，得到数列为2，3，3，4，6，4，5，10，…，若，，则的最大值为________．
15．在的展开式中，共有______项的系数为有理数．
16．（2026·广东汕头·模拟预测）的展开式中的有理项个数为______.中小学教育资源及组卷应用平台
第07讲 二项式定理综合应用专题复习
目录
01 题型归纳目录 2
02 知识点梳理 3
知识点1、定义 3
知识点2、二项式（a+b）n的展开式的特点： 3
知识点3、二项展开式的通项： 3
知识点4、二项式系数及其性质 3
知识点5、二项式定理的应用 4
03 重难点题型 5
题型一：展开式特定项及系数求解 5
题型二：三项式与多项式展开问题 6
题型三：两个二项式乘积的系数问题 7
题型四：赋值法求展开式系数和 8
题型五：整除性证明与余数求解 10
题型六：二项式系数与项的系数最值 11
题型七：杨辉三角性质应用问题 12
题型八：展开式有理项求解问题 14
04 过关检测 16
知识点1、定义
一般地，对于任意正整数，都有：
（），
这个公式所表示的定理叫做二项式定理，等号右边的多项式叫做的二项展开式．
式中的做二项展开式的通项，用Tr+1表示，即通项为展开式的第r+1项：，
其中的系数（r=0，1，2，…，n）叫做二项式系数
知识点2、二项式（a+b）n的展开式的特点：
（1）项数：共有n+1项，比二项式的次数大1；
（2）二项式系数：第r+1项的二项式系数为，最大二项式系数项居中；
（3）次数：各项的次数都等于二项式的幂指数n．字母a降幂排列，次数由n到0；字母b升幂排列，次数从0到n，每一项中，a，b次数和均为n；
知识点3、二项展开式的通项：
（）
公式特点：
①它表示二项展开式的第r+1项，该项的二项式系数是；
②字母b的次数和组合数的上标相同；
知识点4、二项式系数及其性质
（1）的展开式中各项的二项式系数、、…具有如下性质：
①对称性：二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即；
②增减性与最大值：二项式系数在前半部分逐渐增大，在后半部分逐渐减小，在中间取得最大值．其中，当n为偶数时，二项展开式中间一项的二项式系数最大；当n为奇数时，二项展开式中间两项的二项式系数，相等，且最大．
③各二项式系数之和为，即；
④二项展开式中各奇数项的二项式系数之和等于各偶数项的二项式系数之和，
即．
考点诠释：
二项式系数与展开式的系数的区别
二项展开式中，第r+1项的二项式系数是组合数，展开式的系数是单项式的系数，二者不一定相等．
（2）展开式中的系数求法（的整数且）
考点诠释：
三项或三项以上的展开式问题，把某两项结合为一项，利用二项式定理解决．
知识点5、二项式定理的应用
（1）求展开式中的指定的项或特定项（或其系数）．
（2）利用赋值法进行求有关系数和．
（3）利用二项式定理证明整除问题及余数的求法．
（4）证明有关的不等式问题．
（5）进行近似计算．
题型一：展开式特定项及系数求解
例1．（2026·高二·新疆伊犁·期中）的展开式的第项的系数是（ ）．
A．210 B．－210 C．－252 D．252
【答案】C
【解析】二项式的展开式通项为
要求第6项，令，解得，
代入通项得第6项为：，化简得：
因此第项的系数为.
例2．（2026·高二·天津南开·期中）若的展开式中常数项为15，则实数a的值为（ ）
A．2 B．1 C． D．
【答案】C
【解析】首先写出展开式的通项，
要求常数项，令的指数为0，即，解得.
将代入通项，得常数项为 ，计算得，因此常数项为.
由题知常数项为15，故 ，解得，即.
例3．（2026·高二·安徽安庆·期中）已知多项式，则（ ）
A．15 B．20 C．60 D．80
【答案】C
【解析】由，
则，
所以其二项式展开式的通项为，
令，则的系数为．
变式1．（2026·高二·江苏泰州·阶段检测）的展开式中的常数项为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根据二项式定理，的展开式通项为，
令的幂次为，即，解得，因此常数项系数为.
题型二：三项式与多项式展开问题
例4．（2026·高二·重庆·阶段检测）在的展开式中项的系数是（ ）
A． B． C．24 D．48
【答案】D
【解析】，
中项的系数为，项的系数为，常数项为，
中项的系数为，项的系数为，常数项为，
所以展开式中含有项的系数为．
例5．（2026·高二·河南郑州·期中）的展开式中的系数为（ ）
A．30 B．60 C．120 D．240
【答案】C
【解析】的展开式通项为，，
的展开式通项为，，
当，时，展开式中含的项为，即对应系数为.
例6．（2026·高二·河北承德·阶段检测）展开式中的系数为（ ）
A．40 B． C．120 D．
【答案】D
【解析】，
要生成项，相当于从6个括号中选取2个括号取，
剩下的4个括号中的1个括号取，另外3个括号取，
故为，
所以展开式中的系数为
变式2．（2026·高二·吉林四平·阶段检测）的展开式中的常数项为（ ）
A．61 B．29 C．309 D．308
【答案】C
【解析】的展开式中的常数项为．
题型三：两个二项式乘积的系数问题
例7．（2026·高二·山东济南·期中）展开式中含项的系数为（ ）
A． B． C．220 D．380
【答案】A
【解析】的展开式的通项公式为，
所以展开式含项的系数为.
例8．（2026·高二·山西临汾·期中）的展开式中的系数为（ ）
A．120 B．－120 C．110 D．－110
【答案】D
【解析】展开式的通项公式为，
的展开式中的系数为.
例9．（2026·高二·广东深圳·期中）展开式中的系数为（ ）
A．5 B．10
C．12 D．15
【答案】D
【解析】，
中，含的系数即中含项的系数，即，
中，含的系数即中含项的系数，即，
所以展开式中的系数为.
变式3．（2026·高二·陕西榆林·期中）在的展开式中，一次项的系数为（ ）
A．32 B．16 C． D．
【答案】B
【解析】，
的展开式的通项为.
令，得；
令，得.
所以的展开式中，一次项为.
所以一次项的系数为.
题型四：赋值法求展开式系数和
例10．（多选题）（2026·高二·河北邢台·期中）已知，若，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BC
【解析】对于A，因为，所以，，
即，
再令，得，
令，得，
所以，解得，故A错误.
对于B，令，得，故B正确.
对于C，令，得，
令，得，
则
,故C正确.
对于D，设，
则，
再令，得，
所以，故D错误.
例11．（多选题）（2026·高二·湖北省直辖县级单位·阶段检测）已知，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【解析】对于A，，A错误；
对于B，令，则，故B正确；
对于C，，，所以，C正确；
对于D，，
令，则，D错误.
例12．（多选题）（2026·高二·河北唐山·期中）若，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【解析】选项A：令，代入原式得，故A错误；
选项B：令得①式：；
令得②式：，
①+②得，即，故B正确；
选项C：①②得，即，故C正确；
选项D：令，代入原式得，移项得，故D正确.
变式4．（多选题）（2026·高二·广东东莞·期中）已知，且第5项与第8项的二项式系数相等，则（ ）
A． B．展开式的二项式系数和为
C．展开式的各项系数和为 D．
【答案】ABD
【解析】已知二项式的第5项与第8项的二项式系数相等，则，则，故A正确；
，故展开式的二项式系数和为，故B正确；
令，则，故C错误；
令，得，
令，得，
，故D正确．
题型五：整除性证明与余数求解
例13．（2026·上海黄浦·三模）利用二项式定理，被8除所得的余数为________．
【答案】7
【解析】
.
所以被8除所得的余数为7.
例14．（2026·高二·河南·阶段检测）若数列满足，且当为奇数时，，当为偶数时，，则被除所得余数为______．
【答案】
【解析】当为奇数时，设，则①，
当为偶数时，设，则②，
由①②可得，即，
由题意可得，
由题意可得，，，，
累加得，
所以，
因为，
则，
故被除所得余数为.
例15．（2026·高二·河北衡水·阶段检测）已知，则a被26除的余数为__________．
【答案】25
【解析】由二项式定理可知：
由于最后一项为，所以a被26除的余数为.
变式5．（2026·高二·山东济宁·期中）除以8所得的余数为______．
【答案】1
【解析】因为，
令，可得，
又因为，
所以除以8所得的余数为.
题型六：二项式系数与项的系数最值
例16．（2026·高二·河北石家庄·期中）在 的二项式展开式中，系数最大的项是______.(写出具体的项)
【答案】和
【解析】（其中），
假设第r+1项的系数最大，则，解得，
故系数最大的项是第4项和第5项，分别为和.
例17．（2026·高二·广东·期末）写出的展开式中系数最大的项：____．
【答案】
【解析】的展开式中系数最大的项也即是二项式系数最大的项，
即．
例18．（2026·高三·广东深圳·阶段检测）在的展开式中，仅第项的二项式系数最大，则展开式中系数最大的项是______．
【答案】
【解析】由的展开式中，仅第项的二项式系数最大，得展开式共项，则，
所以的展开式的通项公式，
设展开式中系数最大项是，则，即
解得，而，所以，，
所以展开式中系数最大的项是,
故答案为：.
变式6．在的展开式中，的系数等于，则该展开式各项的系数中最大值为______．
【答案】10
【解析】的展开式的通项为，
令，得，所以，即，
展开式中第2，4，6项的系数为负数，第1，3，5项的系数为正数，
故各项的系数中最大值为．
故答案为：10.
题型七：杨辉三角性质应用问题
例19．（2026·高二·河北唐山·期中）杨辉是我国古代数学史上一位著述丰富的数学家，著有《详解九章算法》 《日用算法》和《杨辉算法》，杨辉在1261年所著的《详解九章算法》给出了如下图1所示的表，我们称这个表为杨辉三角，图2是杨辉三角的数字表示，杨辉三角的发现要比欧洲早500年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的.根据以上材料
（1）杨辉三角中第8行的各数之和为_______.
（2）记第行的第个数为，则_______.
【答案】 256
【解析】杨辉三角中第8行的各数之和为
记第行的第个数为，则，
则.
例20．（2026·高二·河北承德·阶段检测）南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中画了一张表示二项展开式的系数构成的三角形数阵（部分行如图所示），在“杨辉三角”中，第20行所有数字的平方和等于______．（用一个组合数作答）杨辉三角展示内容：
－第0行：1
－第1行：1 1
－第2行：1 2 1
－第3行：1 3 3 1
－第4行：1 4 6 4 1
－第5行：1 5 10 10 5 1
【答案】
【解析】依题意，在“杨辉三角”中，第20行所有数字的平方和等于，可视为按升幂展开与按降幂展开的两个多项式乘积展开式的含项的系数，即展开式含项的系数，而，展开式中含项的系数为，所以.
例21．南宋数学家杨辉发明的“杨辉三角”（如图所示）是我国数学史上的一个伟大创造，它展现了二项式系数在三角形中的几何排列．按照这一规律，第9行第8个数是______．
【答案】36
【解析】由图分析，第0行的数为1，第1行的数为，
第2行的数为，
第3行的数为……
因此，第n行第m个数为，所以第9行第8个数是.
故答案为：
变式7．（2026·高二·北京海淀·期中）将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，得到如图所示的0-1三角数表.从上往下数，第1次全行的数都为1的是第1行，第2次全行的数都为1的是第3行，第3次全行的数都为1的是第_______行，…，当第n次出现全行的数都为1时，该行共有______个1.

【答案】 7
【解析】由题意，第1次全行的数都为1的是第1行，
第2次全行的数都为1的是第3行，
杨辉三角中，第7行的数依次为1,7,21,35,35,21,7,1，
故对应0-1三角数表中，第7行的数全部为1，
第3次全行的数都为1的是第7行；
寻找规律，其中，，，
经验证，第行全行的数均为1，第行全行的数均为1，
所以第n次出现全行的数都为1的是第行，共有个1.
故答案为：7；
题型八：展开式有理项求解问题
例22．（2026·高二·河南驻马店·开学考试）的展开式中所有有理项的系数之和为________．
【答案】
【解析】由二项式知，其展开式通项为，
所以，当时对应项为有理项，故所有有理项的系数之和为.
例23．的展开式中所有有理项的二项式系数和为______.
【答案】85
【解析】的展开式的通项公式为，.
所以当为整数，即时，二项式展开式第项为有理项，
其对应的二项式系数分别为：，，，
故所有有理项的二项式系数和为.
故答案为：85.
例24．的展开式中，有理项的个数为______.
【答案】3
【解析】的展开式的通项为，，
当时，为有理项，故有理项的个数为3.
故答案为：3.
变式8．（2026·高二·河北·期末）在的展开式中，所有有理项的系数和等于__________.（用数字作答）
【答案】512
【解析】展开式的通项为，
是偶数0，2，4， ，10时是有理项，
所以有理项的系数和等于，
故答案为：512.
1．（2026·高二·河北邢台·期中）的展开式中的系数是（ ）
A． B．8 C． D．32
【答案】C
【解析】展开式的通项是，
根据题意，得，解得，
所以的系数是.
2．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）二项式的展开式中，常数项为（ ）
A．40 B．80 C．90 D．100
【答案】B
【解析】根据题意，，
令，得，
所以常数项为.
3．（2026·浙江·二模）的展开式中，的系数为（ ）
A．60 B．120 C．240 D．360
【答案】B
【解析】要得到这一项，相当于从6个含有三项的因式中的3个因式取，1个因式取，2个因式取，
即这一项为.
故的系数为.
故选：B
4．（2026·高二·重庆·期中）在的展开式中，常数项为（ ）
A． B．31 C． D．
【答案】C
【解析】由题意变形得，
则根据展开式通项得，代入，
则常数项为.
故选：C.
5．（2026·高二·吉林·期中）的展开式中的系数为（ ）
A． B．0 C．20 D．40
【答案】D
【解析】，
的展开式通项为，
的展开式中的系数即展开式中的系数，
由得系数为；
的展开式中的系数即展开式中的系数
由得系数为，
所以的展开式中的系数为.
6．（2026·高二·广东广州·期中）的展开式中的系数为（ ）
A． B． C． D．15
【答案】D
【解析】的展开式通项为，，，，，，，
则的展开式有，，
分别取和时可得，，
所以的展开式中的系数为
7．（多选题）（2026·高二·江苏南通·阶段检测）已知的展开式中，的系数记为，则（ ）
A．该展开式共有15项
B．
C．
D．的最大值为240
【答案】BCD
【解析】对于A，展开式中共有4项，展开式中共有6项，
故展开式共有24项，故A错误；
对于B，，故B正确；
对于C，对于，令，则可得展开式的各项系数和为，
即，
，故C正确；
，令，解得，
故当或时，的值最大，
为，故D正确．
8．（多选题）（2026·高二·江苏盐城·期中）已知函数，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BCD
【解析】令，则，
，
令，则，故A错误；
当时，则，
当时，则，
，故B正确；
展开式通项为，
则对应，即，故C正确；
令，则，
令，则，
，故D正确．
9．（2026·高二·吉林·期中）已知恰能被1000整除，，则的最小值为________.
【答案】1
【解析】，
前9项中都含有，因此都能被整除，
第10项，能被整除，第11项，
故的余数为1，即（为整数），
因为恰能被1000整除，所以（为整数），
又，所以最小值为1.
10．（2026·高二·湖北武汉·期中）除以得到的余数是________
【答案】
【解析】将改写为，由二项式展开得： ，
展开式中，除第一项外，其余所有项都含有因数，均为的倍数，
因此余数就是第一项的.
11．（2026·高二·山西大同·阶段检测）已知的展开式中，只有第6项的二项式系数最大，则该展开式中系数最大的项为________．
【答案】
【解析】由题意可知，解得n＝10，
故展开式的通项为．
设第r＋1项的系数最大，
则
即，解得，
，
∴展开式中的系数最大的项为.
故答案为：.
12．（2026·高二·山东泰安·阶段检测）在的展开式中，若第7项系数最大，则n的值可能等于______.
【答案】11、12、13
【解析】在的展开式中，每项的系数等于其二项式系数，
①当只有第7项系数最大时，即只有最大时，则n＝12；
②当第6项和第7项的系数相等且最大时，即最大时，则n＝11；
③当第7项和第8项的系数相等且最大时，即最大时则n＝13，
综合①②③可得n的值可能等于11、12、13，
故答案为：11、12、13.
13．（2026·高二·河北·期中）如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角形中，第______行中从左至右第8与第9个数的比为.
【答案】31
【解析】第行从左到右第8个数为，第9个数为，
依题意得，即，解得.
故答案为：31.
14．（2026·高二·上海·期中）“杨辉三角”是数学史上的一个伟大成就．在如图所示的“杨辉三角”中，去掉所有的数字1，余下的数逐行从左到右排列，得到数列为2，3，3，4，6，4，5，10，…，若，，则的最大值为________．
【答案】
【解析】依据“杨辉三角”的分布规律及可知最后一个出现在第行的第个数，
去掉所有之后是第行第个数，所以的最大值为，
故答案为：.
15．在的展开式中，共有______项的系数为有理数．
【答案】3
【解析】，
要使系数为有理数，则且即，6，12．故共有3项．
故答案为：3.
16．（2026·广东汕头·模拟预测）的展开式中的有理项个数为______.
【答案】3
【解析】的展开式通项为，
由可得.
故答案为：3.

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