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第08讲 条件概率、全概率公式与贝叶斯公式的综合应用
目录
01 题型归纳目录 2
02 知识点梳理 3
知识点1、条件概率的概念 3
知识点2、概率的乘法公式 3
知识点3、条件概率的性质 3
知识点4、全概率公式 3
知识点5、贝叶斯公式 3
03 重难点题型 5
题型一：条件概率的基本计算 5
题型二：条件概率的性质及应用 6
题型三：全概率公式与贝叶斯公式 7
题型四：乘法公式及其应用 10
题型五：条件概率综合应用问题 12
04 过关检测 17
知识点1、条件概率的概念
条件概率揭示了，，三者之间“知二求一”的关系
一般地，设A，B为两个随机事件，且，我们称为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称条件概率．
知识点2、概率的乘法公式
由条件概率的定义，对任意两个事件A与B，若，则．我们称上式为概率的乘法公式．
知识点3、条件概率的性质
设，则
（1）；
（2）如果B与C是两个互斥事件，则；
（3）设和B互为对立事件，则．
知识点4、全概率公式
在全概率的实际问题中我们经常会碰到一些较为复杂的概率计算，这时，我们可以用“化整为零”的思想将它们分解为一些较为容易的情况分别进行考虑
一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，，且，i＝1，2，…，n，则对任意的事件，有．
我们称上面的公式为全概率公式，全概率公式是概率论中最基本的公式之一．
知识点5、贝叶斯公式
设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，，且，i＝1，2，…，n，则对任意事件，，
在贝叶斯公式中，和分别称为先验概率和后验概率．
题型一：条件概率的基本计算
例1．（2026·高二·安徽蚌埠·阶段检测）甲、乙、丙、丁四人计划6月份去安徽的黄山、宏村、九华山景区游览，每个景区至少去1人，且每人只游览一个景区．在甲游览黄山的条件下，甲、乙不去同一景区的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设事件为“甲游览黄山”，事件为“甲、乙不去同一景区”．
事件对应的分配方案：甲去黄山景区，剩余3人分配至3个景区，且每个景区至少1人，，
事件对应的分配方案：甲去黄山景区且乙不去该景区，
①黄山景区仅甲1人，剩余3人分为2组分配至另外2个景区，有种方案，
②黄山景区有甲和1名其他成员（丙或丁），剩余2人分配至另外2个景区，有种方案，
所以．所以．
例2．（2026·高二·湖北省直辖县级单位·阶段检测）甲，乙两人向同一目标各射击1次，已知甲命中目标的概率为0.6，乙命中目标的概率为0.5，已知目标至少被命中1次，则甲命中目标的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】记事件为“甲命中目标”，事件为“目标至少被命中1次”，
则，且，
所以.
例3．（2026·高二·江苏无锡·阶段检测）现有无锡某高中组织高二年级学生研学，全年级学生需从灵山大佛、三国城、鼋头渚、竹海、南禅寺、拈花湾、梅里古镇这个景点中随机选择个作为目的地．现从全年级中随机抽取两个班级进行调查，记事件“这两个班级选择的目的地中至少有一个选择鼋头渚”，事件“这两个班级选择的目的地不同”，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意得，事件的对立事件为“两个班级都不选择鼋头渚”，因此 ，
事件即“恰好一个班级选择鼋头渚，另一个选择其余个景点之一”，因此 ，
代入条件概率公式得 ，故D正确.
变式1．（2026·高二·河北保定·期中）某AI项目组有2名算法工程师（含工程师甲）和6名实习生，共8名成员．现从中随机选取5人组成项目攻坚小组，参与AI大模型优化任务，则在攻坚小组中既有工程师又有实习生的条件下，工程师甲被选中的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】既有算法工程师又有实习生的安排方法有种不同的方法，
其中工程师甲被选中的有，
所以在攻坚小组中既有工程师又有实习生的条件下，工程师甲被选中的概率为.
题型二：条件概率的性质及应用
例4．（2026·湖北随州·模拟预测）已知随机事件A，B，，，，则＝（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为，，，
所以，则，
所以.
例5．（2026·高二·四川德阳·阶段检测）假设，是两个事件，且，，则下列结论一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】对A：由，故，故A正确；
对B：成立的条件为，为相互独立事件，故B错误；
对C：，，
成立的条件为，故C错误；
对D：，若，则，
成立的条件为，为相互独立事件，故D错误.
例6．（2026·山东临沂·一模）对于事件A，B，，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由条件概率公式，可得，
故，
又因，则.
变式2．（2026·高二·四川广元·期末）已知事件和满足，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由概率的乘法公式可得，
由条件概率公式可得.
故选：B.
题型三：全概率公式与贝叶斯公式
例7．（2026·高二·河北石家庄·期中）中国机器人产业已形成完整的产业链体系，2025年人形机器人市场规模突破85亿元，占全球市场规模50%以上，工业机器人国内市场占有率首次突破50%，产业正从“拼硬件”向“拼智能”转型，进入规模化量产与场景化应用的关键阶段．某机器人商店出售的机器人中，甲品牌占50%，合格率为98%；乙品牌占30%，合格率为95%；丙品牌占20%，合格率为95%，在该商店随机买一台机器人．
(1)求该机器人是甲品牌合格品的概率；
(2)求该机器人是合格品的概率．
【解析】（1）用表示机器人是甲品牌，用表示机器人是合格品，
则，
所以该机器人是甲品牌合格品的概率
（2）用表示机器人是乙品牌，用表示机器人是丙品牌，结合（1）得
．
例8．（2026·高二·湖北省直辖县级单位·阶段检测）据调查，某校学生大约40%的人近视，而该校大约有20%的学生每天玩手机超过1小时，这些人的近视率约为50%．
(1)现从该校学生中任选一名学生，求该名学生每天玩手机超过1小时且近视的概率．
(2)现从每天玩手机不超过1小时的学生中任意调查一名学生，求他近视的概率．
【解析】（1）记事件“该生每天玩手机超过1小时”，“该生近视”，
，，
每天玩手机超过1小时的学生近视率约为50%，即，
根据条件概率公式，
可得
（2），
由全概率公式
，，代入得：
例9．（2026·高二·山东济南·期中）甲、乙、丙三个袋子中，各放有大小和形状相同的小球若干．甲、乙每个袋子中有标号为的小球个，标号为的个，标号为的个．丙袋子中有标号为的小球有个，标号为的小球有个，从甲袋子中任取两个球，取到的标号都是的概率是．
(1)求的值；
(2)从甲袋中任取两个球，已知其中一个标号是，求另一个标号也是的概率；
(3)从甲袋子中取出一个小球，如果标号小于，则在乙袋子中取个球；如果标号不小于，则在丙袋子中取个球，如果第二次取出的小球标号为，那么称实验成功，求实验成功的概率．
【解析】（1）由题意，甲袋子中球的总数为，从甲袋子中任取个球的总组合数为，
甲袋子中标号为的球有个，取到个球的组合数为，
又从甲袋子中任取两个球，取到的标号都是的概率是，得，
整理得，解得或（舍去）．
（2）设事件表示“从甲袋中任取两个球，至少有一个标号是1”，事件表示“从甲袋中任取两个球，两个标号都是1”.
因为，，
所以.
（3）设事件表示“甲袋子中取出小球的标号小于”，事件表示“第二次取出的小球标号为”，
则，，
若第一次取出的小球标号小于，则在乙袋子中取球，乙袋子中球的总数为个，
其中标号为的球有个，所以，
若第一次取出的小球标号不小于，则在丙袋子中取球，丙袋子中球的总数为个，
其中标号为的球有个，所以，
所以.
变式3．（2026·高二·河北保定·期中）某花艺工作室承接中式花艺和现代花艺这两类花艺设计，根据以往的设计作品数据，中式花艺作品占，现代花艺作品占．设计师设计的中式花艺作品达到设计标准的概率为，且达标作品中，仍有的作品因细节瑕疵不被客户采纳；未达标作品中，有的作品因意境独特仍被客户采纳．设计师设计的现代花艺作品达到设计标准的概率为，且达标作品中，仍有的作品因搭配疏漏不被客户采纳；未达标作品中，有的作品因创意新颖仍被客户采纳．现从设计师以往所有的花艺作品中随机抽取一单花艺作品．
(1)求这单花艺作品达到设计标准的概率；
(2)若这单花艺作品未被客户采纳，求该单花艺作品是中式花艺作品的概率；（结果用分数表示）
(3)求这单花艺作品达到标准且被客户采纳的概率．
【解析】（1）设事件：这单花艺作品达到设计标准,事件: 抽取一单花艺作品为中式花艺作品，
事件: 抽取一单花艺作品为现代花艺作品，那么
.
（2）设事件：单花艺作品未被客户采纳，那么
，
所以，若这单花艺作品未被客户采纳，求该单花艺作品是中式花艺作品的概率为
;
（3）设事件：单花艺作品达到标准且被客户采纳,那么
.
题型四：乘法公式及其应用
例10．（2026·江苏无锡·三模）一个不透明的口袋中放有大小相同的4个红球 4个黄球.
(1)若每次从口袋中随机抽取一球，确定颜色后放回口袋中.求摸球10次，摸到红球个数的期望；
(2)若每次从口袋中随机抽取一球，确定颜色后不放回口袋中，且连续摸到2个红球时停止，否则继续摸球.记恰好第次摸球时结束为事件，求.
【解析】（1） 每次有放回摸球时，摸到红球的概率为，
设10次摸球中摸到红球的个数为，则，
由二项分布期望公式得：.
（2）恰好第4次摸球结束需满足两个条件：
①第3、4次均为红球，触发停止规则；
②第2次为黄球，否则第2、3次均为红球时第3次就已停止，且第2次为黄球时前2次不可能出现连续红球，自动满足前2次未停止的要求，分两种情况计算：
第1次摸到黄球，序列为黄、黄、红、红，概率为：
第1次摸到红球，序列为红、黄、红、红，概率为：
故.
例11．（2026·高二·浙江·阶段检测）甲、乙、丙三人进行传球游戏，规则如下：甲每次有 概率传给乙， 概率传给丙；乙每次等可能传给甲或丙；谁传给丙，丙就会把球传回给谁；已知传球游戏开始前，球在甲手中.
(1)经过2次传球之后，球在甲、乙、丙手中的概率分别是多少
(2)经过n次传球之后，球在甲手中的概率是多少
【解析】（1）经过2次传球之后，球在甲手中，则第一次甲传给乙，第二次乙传给甲，或者第一次甲传给丙，第二次丙传给甲，所以球在甲手中的概率是；
经过2次传球之后，球肯定不会在乙手中，所以球在乙手中的概率是0；
经过2次传球之后，球在丙手中，则第一次甲传给乙，第二次乙传给丙，所以球在丙手中的概率是；
（2）设为第次传球后球在甲手中的概率，为在乙手中的概率，为在丙手中的概率，
当为奇数时，球不可能在甲手中,因为每次传球球都会从一个人传到另一个人，初始球在甲手中，奇数次传球后球一定在乙或丙手中，故 ；
当为偶数时，设，令，推导递推关系，
第次传球后：球在甲手中的概率为，在丙手中的概率为（乙手中概率为 0）。
第次传球后：甲传给乙：
甲传给丙：，
丙传给乙：
因此，，
第次传球后：
乙传给甲：
丙传给甲：
因此递推式为：,
所以), ，所以
所以，所以
所以经过n次传球之后，球在甲手中的概率是；
例12．（2026·湖南郴州·一模）湘绣，是中国优秀的民族传统工艺之一，有着两千多年的历史.湘绣的制作工艺繁杂，一幅湘绣作品要经过设计图案和刺绣两大主要环节，且只有设计图案通过后才能进行刺绣，两个环节相互独立.只有同时通过这两个环节才能成为成品.某绣坊准备制作三幅不同的湘绣作品，已知三幅作品通过设计图案环节的概率依次为，通过刺绣环节的概率依次为.
(1)求三幅中恰有一幅作品通过设计图案环节的概率；
(2)若已知三幅中恰有一幅作品通过设计图案环节，求通过的作品为的概率；
(3)经过设计图案和刺绣两个环节后，三幅作品成为成品作品的件数为.求随机变量的分布列及数学期望.
【解析】（1）记三幅作品通过设计图案环节分别为事件，记三幅中恰有一幅作品通过设计图案环节为事件，
则．
（2）．
（3）记三幅作品成为成品的事件分别为，
则，
由可取，
则，
，
，
，
则的分布列为
0 1 2 3
则数学期望．
题型五：条件概率综合应用问题
例13．（2026·高二·吉林·期中）ACE球是指在网球对局中，一方发球，球落在有效区内，但接球方却没有触及到球而使发球方直接得分的发球.甲、乙两人进行发球训练，规则如下：每次由其中一人发球，若发出ACE球，则换人发球，若未发出ACE球，则两人等可能地获得下一次发球权.设甲，乙发出ACE球的概率均为，记事件表示“第n次发球的人是甲”．
(1)若，，
（i）求；
（ii）已知第三次发球的人是甲，求第二次发球的人是甲的概率；
(2)若，证明：
【解析】（1）（i）因为，，
所以.
（ii）第二次发球的人是甲的条件下，第三次发球的人是甲的概率为，
第二次发球的人是乙的条件下，第三次发球的人是甲的概率为，
第三次发球的人是甲的概率是，
第三次发球的人是甲，第二次发球的人是甲的概率为.
（2），
因为，，
所以，
因为，，
所以，.
例14．（2026·高二·安徽芜湖·期中）某学校有A，B两家餐厅，经过统计分析发现：学生第一天会随机地选择一家餐厅用餐，然后前一天选择了A餐厅的学生第二天选择A餐厅的概率为，选择B餐厅的概率为；前一天选择B餐厅的学生第二天选择A餐厅的概率为，选择B餐厅的概率也是，如此往复.记同学甲第n天选择B餐厅的概率为.
(1)求同学甲第二天选择B餐厅的概率；
(2)证明：数列为等比数列，并求出.
【解析】（1）设“同学甲第i天选择B餐厅”，
根据题意可知：， ，.
由全概率公式可得
即同学甲第二天选择B餐厅的概率为.
（2）设“甲第n天选择B餐厅”，则，，，
当时，由全概率公式可得
则，
整理得
又因为，
所以是以为首项，为公比的等比数列，
所以.
例15．（2026·高二·重庆·期中）某学校有C、D两个图书馆，某学生每天都会在这两个图书馆中选择一个去学习，已知该学生第一天选择C图书馆的概率是，若在前一天选择C图书馆的条件下，后一天继续选择C图书馆的概率为，而在前一天选择D图书馆的条件下，后一天继续选择D图书馆的概率为，如此往复.
(1)求该学生第一天和第二天都选择C图书馆的概率；
(2)求该学生第二天选择C图书馆的概率；
(3)记该学生第n天选择C图书馆的概率为，求数列的通项公式.
【解析】（1）由题意，第一天和第二天都选择C图书馆的概率为
（2）第一天选C图书馆，第二天选C图书馆的概率为，
第一天选D图书馆，第二天选C图书馆的概率为，
故第二天选C图书馆的概率为.
（3）由题意，当时，，则，
即，
故是以为首项，为公比的等比数列，
故，解得
变式4．（2026·高二·江苏南京·阶段检测）小明同学上学期间每天都在学校食堂用午餐．学校食堂有、两家餐厅，已知他第一天选择食堂的概率为，而前一天选择了食堂后一天继续选择食堂的概率为，前一天选择食堂后继续选择食堂的概率为，如此往复．
(1)求该同学第2天中午选择食堂就餐的概率：
(2)记该同学第天选择食堂就餐的概率为；
①证明：为等比数列；
②若存在n∈N*，使得成立，求实数m的取值范围．
【解析】（1）设为“第1天选择食堂”，为“第2天选择食堂”，
则为“第1天不选择食堂”，
根据题意，，，，
由全概率公式得：．
（2）①设为“第天选择食堂”，则，，
根据题意，，
由全概率公式得：
，
则．
因为，
所以是以为首项，为公比的等比数列．
②由①得，，
当为正奇数时，，，
当为正偶数时，．
综上，当时，，
存在，使得成立，则，所以，
所以实数m的取值范围是．
1．（2026·高二·江苏泰州·期中）盒子里放着五张卡片，两面都是红色的卡片一张，两面都是黑色的卡片两张，一面是红色一面是黑色的卡片两张.现在随机抽出一张卡片，并展示它一面的颜色.假设这一面的颜色是红色，那么剩下一面的颜色也是红色的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】记抽出一张卡片，展示的这一面的颜色是红色为事件,
剩下一面的颜色是红色为事件，抽出一张卡片展示一面是红色且剩下一面也是红色为事件.
两面都是红色的卡片有1张，共个红色面；
两面都是黑色的卡片有2张，无红色面；
一面红色一面黑色的卡片有2张，共个红色面；
总面数：面，其中红色面总数为面；
随机抽一张卡片并展示一面，所有可能的面有10种（等可能），
其中红色面有4种，因此 ，因此 ，
根据条件概率公式代入得：
.
2．（2026·高二·江苏南通·阶段检测）现从含甲、乙在内的8名志愿者中选出3人去参加抢险，则在甲被选中的前提下，乙也被选中的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】在甲被选中的前提下，再从余下7人中选出2人，有种方法，
其中乙被选中的情况，有种方法，
所以所求概率为.
3．（2026·高二·重庆·期中）学校一楼到二楼共有15级台阶，某同学每一步可以走一级或两级台阶，事件表示“用13步走完15级台阶”，事件表示“走楼梯的过程没有连续2步走两级台阶”，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设13步中，有x步走两级台阶，有y步走一级台阶，
则，解得，即用13步走完15级台阶，需13步中选2步走两级台阶，11步走一级台阶，
走法数为，即得；
事件表示用13步走完15级台阶且没有连续2步走两级台阶，
即选出的走2级台阶的2步不能相邻，即11步走的一级台阶先排好，产生12个空隙，
选2个空隙插入走2级台阶的2步，走法数为，即，
故.
4．（2026·高二·山东潍坊·期中）已知随机事件A，B，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，故，而，故，
故，同理，
故，
故选：B.
5．（2026·高二·浙江·期中）对于随机事件、，若，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为，.
故选：D
6．（2026·高二·辽宁·期末）设，是一个随机试验中的两个事件，且，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，即，解得，
又因为，即，解得，
且，可得，所以.
故选：A
7．（2026·高二·广东深圳·期中）（1）袋中装有4个红球，5个白球，从中不放回地任取两次，每次取一球．
①求在第一次取出红球的条件下，第二次取出红球的概率．
②求第二次才取到红球的概率．
（2）同一种产品由甲、乙、丙三个厂供应.由长期的经验知，三家的正品率分别为0.95、0.90、0.80，三家产品数所占比例为．从中任取一件，求此产品为正品的概率．
【解析】（1）①设事件：第一次取出红球，事件：第二次取出红球,那么
;
②设事件: 第二次才取到红球,那么
.
（2）设事件:此产品为正品,事件,,分别代表产品由甲、乙、丙三个厂供应，那么
.
8．（2026·高二·安徽蚌埠·阶段检测）随着“低空经济”的蓬勃发展，某农业大省全面推广使用植保无人机（农林植物保护作业无人驾驶飞机），该省植保无人机由甲、乙、丙三个品牌提供．据统计，甲、乙、丙品牌的市场占有率分别为50%，30%，20%，作业成功率分别为98%，90%，95%，现从该省随机选取一台正在作业的无人机．
(1)求该无人机作业成功的概率；
(2)若已知该无人机作业成功，求该无人机是丙品牌的概率．
【解析】（1）设事件表示“选到甲品牌无人机”，事件表示“选到乙品牌无人机”，
事件表示“选到丙品牌无人机”，事件表示“无人机作业成功”．
根据全概率公式得
．
故该无人机作业成功的概率为0.95．
（2）由题意得．
故该无人机是丙品牌的概率为0.2．
9．（2026·高二·山西晋中·阶段检测）有3台车床加工同一型号的零件，第台加工的次品率分别为6%，5%，4%，加工出来的零件混放在一起.已知第台车床加工的零件数的比为，任取一个零件，记事件“零件为第台车床加工”（），事件“零件为次品”.求：
(1)的值；
(2)求的值；
(3)求的值
【解析】（1）已知，，.
，，.
由全概率公式：.
（2）由题意直接得：.
（3）由贝叶斯公式：.
10．从数列中随机抽取一项，将记为随机变量.
(1)若数列是等差数列，记随机变量的数学期望为，证明：数列是等差数列.
(2)若的通项公式为，从不大于的正整数中随机抽取一项，并记为随机变量.
（ⅰ）若，求；
（ⅱ）求.
【解析】（1）由题意得.
所以.
设的公差为，则由等差数列的求和公式得，
所以（常数），所以数列是等差数列.
（2）由题意得，.
（ⅰ）当时，，，
所以.
（ⅱ）由全概率公式可知，
；
；
……
；
.
所以
．
11．（2026·高三·云南·阶段检测）小明同学上学期间每天都在学校食堂用午餐．学校食堂有、两家餐厅，小明第1天随机等可能选择一家用午餐．若他在前一天选择去餐厅的条件下，接着一天继续选择餐厅的概率为；而在前一天选择去餐厅的条件下，接着一天继续选择去餐厅的概率为．记小明同学第天选择去餐厅用午餐的概率为．
(1)求；
(2)证明：数列是等比数列，并求的通项公式．
【解析】（1）设“第天去餐厅用午餐”，“第天去餐厅用午餐”，，
与互斥．由题意，，，，
所以，
由全概率公式得；
（2）“第天去餐厅用午餐”，“第天去餐厅用午餐”，．
与互斥且对立．由题意，，当，时，
，，，，，
所以li
，
所以，
又，故，所以，
所以数列是首项为，公比为的等比数列，
故，所以．中小学教育资源及组卷应用平台
第08讲 条件概率、全概率公式与贝叶斯公式的综合应用
目录
01 题型归纳目录 2
02 知识点梳理 3
知识点1、条件概率的概念 3
知识点2、概率的乘法公式 3
知识点3、条件概率的性质 3
知识点4、全概率公式 3
知识点5、贝叶斯公式 3
03 重难点题型 5
题型一：条件概率的基本计算 5
题型二：条件概率的性质及应用 5
题型三：全概率公式与贝叶斯公式 6
题型四：乘法公式及其应用 7
题型五：条件概率综合应用问题 8
04 过关检测 10
知识点1、条件概率的概念
条件概率揭示了，，三者之间“知二求一”的关系
一般地，设A，B为两个随机事件，且，我们称为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称条件概率．
知识点2、概率的乘法公式
由条件概率的定义，对任意两个事件A与B，若，则．我们称上式为概率的乘法公式．
知识点3、条件概率的性质
设，则
（1）；
（2）如果B与C是两个互斥事件，则；
（3）设和B互为对立事件，则．
知识点4、全概率公式
在全概率的实际问题中我们经常会碰到一些较为复杂的概率计算，这时，我们可以用“化整为零”的思想将它们分解为一些较为容易的情况分别进行考虑
一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，，且，i＝1，2，…，n，则对任意的事件，有．
我们称上面的公式为全概率公式，全概率公式是概率论中最基本的公式之一．
知识点5、贝叶斯公式
设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，，且，i＝1，2，…，n，则对任意事件，，
在贝叶斯公式中，和分别称为先验概率和后验概率．
题型一：条件概率的基本计算
例1．（2026·高二·安徽蚌埠·阶段检测）甲、乙、丙、丁四人计划6月份去安徽的黄山、宏村、九华山景区游览，每个景区至少去1人，且每人只游览一个景区．在甲游览黄山的条件下，甲、乙不去同一景区的概率为（ ）
A． B． C． D．
例2．（2026·高二·湖北省直辖县级单位·阶段检测）甲，乙两人向同一目标各射击1次，已知甲命中目标的概率为0.6，乙命中目标的概率为0.5，已知目标至少被命中1次，则甲命中目标的概率为（ ）
A． B． C． D．
例3．（2026·高二·江苏无锡·阶段检测）现有无锡某高中组织高二年级学生研学，全年级学生需从灵山大佛、三国城、鼋头渚、竹海、南禅寺、拈花湾、梅里古镇这个景点中随机选择个作为目的地．现从全年级中随机抽取两个班级进行调查，记事件“这两个班级选择的目的地中至少有一个选择鼋头渚”，事件“这两个班级选择的目的地不同”，则（ ）
A． B． C． D．
变式1．（2026·高二·河北保定·期中）某AI项目组有2名算法工程师（含工程师甲）和6名实习生，共8名成员．现从中随机选取5人组成项目攻坚小组，参与AI大模型优化任务，则在攻坚小组中既有工程师又有实习生的条件下，工程师甲被选中的概率为（ ）
A． B． C． D．
题型二：条件概率的性质及应用
例4．（2026·湖北随州·模拟预测）已知随机事件A，B，，，，则＝（　　）
A． B． C． D．
例5．（2026·高二·四川德阳·阶段检测）假设，是两个事件，且，，则下列结论一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
例6．（2026·山东临沂·一模）对于事件A，B，，，，则（ ）
A． B． C． D．
变式2．（2026·高二·四川广元·期末）已知事件和满足，，，则（ ）
A． B． C． D．
题型三：全概率公式与贝叶斯公式
例7．（2026·高二·河北石家庄·期中）中国机器人产业已形成完整的产业链体系，2025年人形机器人市场规模突破85亿元，占全球市场规模50%以上，工业机器人国内市场占有率首次突破50%，产业正从“拼硬件”向“拼智能”转型，进入规模化量产与场景化应用的关键阶段．某机器人商店出售的机器人中，甲品牌占50%，合格率为98%；乙品牌占30%，合格率为95%；丙品牌占20%，合格率为95%，在该商店随机买一台机器人．
(1)求该机器人是甲品牌合格品的概率；
(2)求该机器人是合格品的概率．
例8．（2026·高二·湖北省直辖县级单位·阶段检测）据调查，某校学生大约40%的人近视，而该校大约有20%的学生每天玩手机超过1小时，这些人的近视率约为50%．
(1)现从该校学生中任选一名学生，求该名学生每天玩手机超过1小时且近视的概率．
(2)现从每天玩手机不超过1小时的学生中任意调查一名学生，求他近视的概率．
例9．（2026·高二·山东济南·期中）甲、乙、丙三个袋子中，各放有大小和形状相同的小球若干．甲、乙每个袋子中有标号为的小球个，标号为的个，标号为的个．丙袋子中有标号为的小球有个，标号为的小球有个，从甲袋子中任取两个球，取到的标号都是的概率是．
(1)求的值；
(2)从甲袋中任取两个球，已知其中一个标号是，求另一个标号也是的概率；
(3)从甲袋子中取出一个小球，如果标号小于，则在乙袋子中取个球；如果标号不小于，则在丙袋子中取个球，如果第二次取出的小球标号为，那么称实验成功，求实验成功的概率．
变式3．（2026·高二·河北保定·期中）某花艺工作室承接中式花艺和现代花艺这两类花艺设计，根据以往的设计作品数据，中式花艺作品占，现代花艺作品占．设计师设计的中式花艺作品达到设计标准的概率为，且达标作品中，仍有的作品因细节瑕疵不被客户采纳；未达标作品中，有的作品因意境独特仍被客户采纳．设计师设计的现代花艺作品达到设计标准的概率为，且达标作品中，仍有的作品因搭配疏漏不被客户采纳；未达标作品中，有的作品因创意新颖仍被客户采纳．现从设计师以往所有的花艺作品中随机抽取一单花艺作品．
(1)求这单花艺作品达到设计标准的概率；
(2)若这单花艺作品未被客户采纳，求该单花艺作品是中式花艺作品的概率；（结果用分数表示）
(3)求这单花艺作品达到标准且被客户采纳的概率．
题型四：乘法公式及其应用
例10．（2026·江苏无锡·三模）一个不透明的口袋中放有大小相同的4个红球 4个黄球.
(1)若每次从口袋中随机抽取一球，确定颜色后放回口袋中.求摸球10次，摸到红球个数的期望；
(2)若每次从口袋中随机抽取一球，确定颜色后不放回口袋中，且连续摸到2个红球时停止，否则继续摸球.记恰好第次摸球时结束为事件，求.
例11．（2026·高二·浙江·阶段检测）甲、乙、丙三人进行传球游戏，规则如下：甲每次有 概率传给乙， 概率传给丙；乙每次等可能传给甲或丙；谁传给丙，丙就会把球传回给谁；已知传球游戏开始前，球在甲手中.
(1)经过2次传球之后，球在甲、乙、丙手中的概率分别是多少
(2)经过n次传球之后，球在甲手中的概率是多少
例12．（2026·湖南郴州·一模）湘绣，是中国优秀的民族传统工艺之一，有着两千多年的历史.湘绣的制作工艺繁杂，一幅湘绣作品要经过设计图案和刺绣两大主要环节，且只有设计图案通过后才能进行刺绣，两个环节相互独立.只有同时通过这两个环节才能成为成品.某绣坊准备制作三幅不同的湘绣作品，已知三幅作品通过设计图案环节的概率依次为，通过刺绣环节的概率依次为.
(1)求三幅中恰有一幅作品通过设计图案环节的概率；
(2)若已知三幅中恰有一幅作品通过设计图案环节，求通过的作品为的概率；
(3)经过设计图案和刺绣两个环节后，三幅作品成为成品作品的件数为.求随机变量的分布列及数学期望.
题型五：条件概率综合应用问题
例13．（2026·高二·吉林·期中）ACE球是指在网球对局中，一方发球，球落在有效区内，但接球方却没有触及到球而使发球方直接得分的发球.甲、乙两人进行发球训练，规则如下：每次由其中一人发球，若发出ACE球，则换人发球，若未发出ACE球，则两人等可能地获得下一次发球权.设甲，乙发出ACE球的概率均为，记事件表示“第n次发球的人是甲”．
(1)若，，
（i）求；
（ii）已知第三次发球的人是甲，求第二次发球的人是甲的概率；
(2)若，证明：
例14．（2026·高二·安徽芜湖·期中）某学校有A，B两家餐厅，经过统计分析发现：学生第一天会随机地选择一家餐厅用餐，然后前一天选择了A餐厅的学生第二天选择A餐厅的概率为，选择B餐厅的概率为；前一天选择B餐厅的学生第二天选择A餐厅的概率为，选择B餐厅的概率也是，如此往复.记同学甲第n天选择B餐厅的概率为.
(1)求同学甲第二天选择B餐厅的概率；
(2)证明：数列为等比数列，并求出.
例15．（2026·高二·重庆·期中）某学校有C、D两个图书馆，某学生每天都会在这两个图书馆中选择一个去学习，已知该学生第一天选择C图书馆的概率是，若在前一天选择C图书馆的条件下，后一天继续选择C图书馆的概率为，而在前一天选择D图书馆的条件下，后一天继续选择D图书馆的概率为，如此往复.
(1)求该学生第一天和第二天都选择C图书馆的概率；
(2)求该学生第二天选择C图书馆的概率；
(3)记该学生第n天选择C图书馆的概率为，求数列的通项公式.
变式4．（2026·高二·江苏南京·阶段检测）小明同学上学期间每天都在学校食堂用午餐．学校食堂有、两家餐厅，已知他第一天选择食堂的概率为，而前一天选择了食堂后一天继续选择食堂的概率为，前一天选择食堂后继续选择食堂的概率为，如此往复．
(1)求该同学第2天中午选择食堂就餐的概率：
(2)记该同学第天选择食堂就餐的概率为；
①证明：为等比数列；
②若存在n∈N*，使得成立，求实数m的取值范围．
1．（2026·高二·江苏泰州·期中）盒子里放着五张卡片，两面都是红色的卡片一张，两面都是黑色的卡片两张，一面是红色一面是黑色的卡片两张.现在随机抽出一张卡片，并展示它一面的颜色.假设这一面的颜色是红色，那么剩下一面的颜色也是红色的概率是（ ）
A． B． C． D．
2．（2026·高二·江苏南通·阶段检测）现从含甲、乙在内的8名志愿者中选出3人去参加抢险，则在甲被选中的前提下，乙也被选中的概率为（ ）
A． B． C． D．
3．（2026·高二·重庆·期中）学校一楼到二楼共有15级台阶，某同学每一步可以走一级或两级台阶，事件表示“用13步走完15级台阶”，事件表示“走楼梯的过程没有连续2步走两级台阶”，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2026·高二·山东潍坊·期中）已知随机事件A，B，若，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2026·高二·浙江·期中）对于随机事件、，若，，，则（ ）
A． B． C． D．
6．（2026·高二·辽宁·期末）设，是一个随机试验中的两个事件，且，，，则（ ）
A． B． C． D．
7．（2026·高二·广东深圳·期中）（1）袋中装有4个红球，5个白球，从中不放回地任取两次，每次取一球．
①求在第一次取出红球的条件下，第二次取出红球的概率．
②求第二次才取到红球的概率．
（2）同一种产品由甲、乙、丙三个厂供应.由长期的经验知，三家的正品率分别为0.95、0.90、0.80，三家产品数所占比例为．从中任取一件，求此产品为正品的概率．
8．（2026·高二·安徽蚌埠·阶段检测）随着“低空经济”的蓬勃发展，某农业大省全面推广使用植保无人机（农林植物保护作业无人驾驶飞机），该省植保无人机由甲、乙、丙三个品牌提供．据统计，甲、乙、丙品牌的市场占有率分别为50%，30%，20%，作业成功率分别为98%，90%，95%，现从该省随机选取一台正在作业的无人机．
(1)求该无人机作业成功的概率；
(2)若已知该无人机作业成功，求该无人机是丙品牌的概率．
9．（2026·高二·山西晋中·阶段检测）有3台车床加工同一型号的零件，第台加工的次品率分别为6%，5%，4%，加工出来的零件混放在一起.已知第台车床加工的零件数的比为，任取一个零件，记事件“零件为第台车床加工”（），事件“零件为次品”.求：
(1)的值；
(2)求的值；
(3)求的值
10．从数列中随机抽取一项，将记为随机变量.
(1)若数列是等差数列，记随机变量的数学期望为，证明：数列是等差数列.
(2)若的通项公式为，从不大于的正整数中随机抽取一项，并记为随机变量.
（ⅰ）若，求；
（ⅱ）求.
11．（2026·高三·云南·阶段检测）小明同学上学期间每天都在学校食堂用午餐．学校食堂有、两家餐厅，小明第1天随机等可能选择一家用午餐．若他在前一天选择去餐厅的条件下，接着一天继续选择餐厅的概率为；而在前一天选择去餐厅的条件下，接着一天继续选择去餐厅的概率为．记小明同学第天选择去餐厅用午餐的概率为．
(1)求；
(2)证明：数列是等比数列，并求的通项公式．

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