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第10讲 实际情境概率综合建模问题
目录
01 题型归纳目录 2
02 知识点梳理 3
知识点1：方法总结 3
03 重难点题型 4
题型一：概率与期望的决策应用问题 4
题型二：概率与期望的最值求解问题 8
题型三：顺序排位类概率计算问题 12
题型四：比赛赛制类概率应用问题 16
题型五：概率递推模型的构建与应用问题 19
题型六：期望递推关系的求解问题 23
题型七：高尔顿板问题 30
题型八：随机游走模型 35
04 过关检测 42
知识点1：方法总结
解决概率综合问题，核心遵循 “建模 — 拆解 — 运算 — 验证” 思路。先精准审题，区分放回 / 不放回、独立 / 不独立试验，判定对应两点、超几何、二项或正态分布，匹配对应公式。赛制、排位类问题按事件逻辑分步拆解，用分类加法、分步乘法原理计算。递推类问题找准状态关联，建立概率或期望的递推式求解。决策类问题以期望、方差为依据，结合场景判断最优方案。解题后验证结果合理性，规避分类不全、模型误判等易错点。
题型一：概率与期望的决策应用问题
例1．（2026·高三·辽宁·期中）一款热销的电子产品是由两种零配件（零配件1和零配件2）组装而成．只要其中一种零配件不合格，则组装出的成品一定不合格；如果两种零配件均合格，组装出的成品也不一定合格．对于不合格的成品，只能报废．已知两种零配件和成品的次品率如表所示（单价和成本单位为元）．
零配件1 零配件2 成品 不合格品
次品率 购买单价 检测成本 次品率 购买单价 检测成本 两种零配件均合格时的次品率 装配成本 检测成本 市场售价 退货运费
4元 2元 18元 3元 6元 3元 56元 6元
为争取收益最大化，企业需要做出决策：①对零配件（零配件1或零配件2）是否进行检测．如果对某种零配件不检测，这种零配件将直接进入到组装环节；否则将检测出的不合格零配件丢弃．如果其中一个零配件检测为合格品，另一个为不合格品，则不能组装为成品，这种情况中的合格品会用于下一套成品组装，因此相关费用此处不予考虑，只考虑不合格品的相关支出即可．②对组装好的每一件成品是否进行检测．如果不检测，组装后的成品直接进入市场；否则只有检测合格的成品进入市场，对检测出的不合格成品直接丢弃．对用户购买的不合格品，企业将无条件予以退货，并承担运费，且将退回的不合格品丢弃．
(1)如果不进行任何检测，求生产出的成品中的次品率；
(2)如果全部不检测，求每个单件产品的预期收益；
(3)如果对零配件1、零配件2和成品全部进行检测，求每个单件产品的企业预期收益．
【解析】（1）设事件成品为合格品，则成品为不合格品，
可得，
所以．
（2）设预期收益为X，分2种情况：
①成品是合格的，
收益为，概率为；
②成品是不合格的，
收益为，概率为；
于是预期收益X的数学期望为（元）．
（3）设预期收益为Y，分5种情况：
①所有检测都是合格的，
收益为，概率为；
②零配件1，2都是合格的，但是成品不合格，
收益为，概率为；
③零配件1不合格，零配件2合格，扔掉零配件1，没有成品，
收益为，概率为；
④零配件2不合格，零配件1合格，扔掉零配件2，没有成品，
收益为，概率为；
⑤零配件1，2都不合格，全部扔掉，没有成品，
收益为，概率为；
于是预期收益Y的数学期望为
（元）．
例2．（2026·全国·模拟预测）在某项体育比赛中，从第2局开始，选手每次对局获胜的概率受到前一局的影响．现甲、乙两位运动员对局，第一局甲胜的概率为；若前一局甲负，则下一局甲胜的概率是；若前一局甲胜，则下一局甲胜的概率为．比赛没有平局．
(1)求甲在第3局中获胜的概率；
(2)现设置300万元奖金，若甲在前3局中已经胜了2局，如果停止比赛，那么甲拿走奖金的，如果再继续比赛一局，第4局甲获胜，甲拿走奖金的，第4局甲失败，甲拿走奖金的，请问甲将如何决策，以期拿走更多的奖金．
【解析】（1）站在甲的角度，甲在第3局中获胜包含4种情况：胜胜胜，胜负胜，负胜胜，负负胜，
所以甲在第3局中获胜的概率；
（2）方案一：停止比赛，甲拿到奖金的期望为（万元）．
方案二；设甲在前3局中已经胜了2局的情况下第4局获胜的事件为，
前三局的情况有：
胜胜负，概率；
胜负胜，概率；
负胜胜，概率．
再继续比赛，第4局甲获胜的概率
，
第4局甲失败的概率，
所以甲拿到奖金的期望（万元）．
因为，所以选择停止比赛，拿到奖金的期望更高．
例3．（2026·高二·甘肃临夏·期末）某种药材的种植加工过程，受天气、施肥、管理等因素影响，农民按照药材色泽、大小等将药材分为上等药材、中等药材、普通药材，并分类装箱，已知去年生产了8箱药材，其中上等药材2箱，中等药材2箱，其他为普通药材.
(1)若在去年生产的药材中随机抽取4箱，设X为上等药材的箱数，求X的分布列和数学期望；
(2)已知每箱药材的利润如表：
等级 上等药材 中等药材 普通药材
利润（元/箱） 4000 2000 -1200
今年市场需求增加，某农户计划增加产量，且生产的上等药材、中等药材、普通药材所占比例不变，但需要的人力成本增加，每增加m箱，成本相应增加元，假设你为该农户决策，你觉得目前应不应该增加产量？如果需要增加产量，增加多少箱最好？如果不需要增加产量，请说明理由.
【解析】（1）X的可能取值为0，1，2，
，，，
X的分布列如表：
X 0 1 2
P
.
（2）按原计划生产药材每箱平均利润为（元），
则增加箱药材，利润增加为元，成本相应增加元，
所以增加净利润为.
设（或），则，
当时，，
当时，，且，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
当时，取得最大值，
所以需要增加产量，增加20箱最好.
变式1．（2026·高二·北京通州·期末）某农产品经销商计划分别在甲、乙两个市场销售某种农产品（两个市场的销售互不影响），为了了解该种农产品的销售情况，现分别调查了该农产品在甲、乙两个市场过去10个销售周期内的销售情况，得下表：
销售量 销售周期个数 市场 3吨 4吨 5吨
甲 3 4 3
乙 2 5 3
(1)从过去10个销售周期中随机抽取一个销售周期，求甲市场销售量为4吨的概率；
(2)以市场销售量的频率代替销售量的概率．设（单位：吨）表示下个销售周期两个市场的总销售量，求随机变量概率分布列；
(3)在（2）的条件下，设该经销商计划在下个销售周期购进吨该产品，在甲、乙两个市场同时销售，已知该产品每售出1吨获利1000元，未售出的产品降价处理，每吨亏损200元．以销售利润的期望作为决策的依据，判断与应选用哪一个．
【解析】（1）设甲市场销售量为4吨的事件为A，则.
（2）设甲市场销售量为吨的概率为，乙市场销售量为吨的概率为，
则由题意得，，；
，，，
设两个市场总需求量为的概率为，所有可能的取值为6，7，8，9，10，
，
，
，
，
，
所以的分布列如下表：
6 7 8 9 10
0.06 0.23 0.35 0.27 0.09
（3）由（2）知，，，
当时，销售利润，当时，，当时，，
因此的分布列为：
0.06
则元；
当时，，，，
销售利润，当时，，
当时，，当时，，
因此的分布列为：
0.06 0.71
则元；
因为，所以应选.
题型二：概率与期望的最值求解问题
例4．（2026·湖南长沙·三模）某种植户对一块地的个坑进行播种，每个坑播种3粒种子，每粒种子发芽的概率均为且每粒种子是否发芽相互独立，对每一个坑而言，如果至少有两粒种子发芽，则不需要进行补播种，否则要补播种.
(1)当时，用表示要补播种的坑的个数，求X的分布列与数学期望.
(2)当取何值时，有个坑要补播种的概率最大 最大概率为多少
【解析】（1）当时,的可能取值为，那么，
得到，分布列如下：
0 1 2 3
故.
（2）由（1）可知，用X表示要补播种的坑的个数，则，
当时，，
设，则，
令，得；令，得 ,
，故 ,
所以当时，单调递增；当时，单调递减，
故当或6时，概率最大，最大概率为.
例5．（2026·高二·江苏镇江·期中）近年来，全球数字化进程持续加速，人工智能（Artificial Intelligence，简称AI）已然成为科技变革的核心驱动力，有媒体称DeepSeek开启了我国AI新纪元．某地区随机调查了经常使用某AI工具的360名用户，统计他们的年龄，得到如下的统计表：
第一组 第二组 第三组 第四组 第五组
年龄
人数 30 150 90 60 30
(1)利用统计表中的数据试估计该AI工具用户的平均年龄；
(2)已知用分层随机抽样的方法，从上面360名用户中随机抽取了12人，现从这12人中随机抽取4人，记抽到第一组的人数为，第二组的人数为．求的概率；
(3)已知该AI工具对某20个问题能准确答对其中的（，）个，其余个问题均无法答对．若从这20个问题中随机抽取10个对该工具提问，记事件为“抽取的10个问题中，AI恰好答对3个问题”，若对于不同的，要使概率最大，求此时的值．
【解析】（1）估计平均年龄；
（2）由题意得，这12人中，年龄在第一组内的有（人），
年龄在第二组内的有（人），
设“”为事件A，
所以；
（3）从这20个问题中随机抽取10个对该工具提问，
恰好答对3个问题的概率为，
设，由，且，得，
所以，
显然，
令，
当时，有，即，
此时：
当时，有，即，
此时，即，所以．
例6．（2026·高二·黑龙江绥化·期中）设某批产品中，编号为1，2，3的三个厂生产的产品分别占、、，各厂产品的次品率分别为、、．现从中任取一件，
(1)求取到的是次品的概率；
(2)经检验发现取到的为次品，问该次品来自哪个厂的可能性最大．
【解析】（1）事件A表示“取到的是一件次品”，事件表示“取到的产品是由第i家工厂生产的”（），
显然，，是样本空间S的一个划分，且有，，，
，，．
由全概率公式得
．
（2）由贝叶斯公式得
，
，
．
所以，发现取到的为次品，该次品由编号为2的工厂生产的可能性最大．
变式2．（2026·高三·广西·期末）为促进消费，某电商平台和生产商在本周联合推出“有奖闯关”活动．活动规则如下：消费者成功闯过第一关获得基础券（获得元基础券的概率为，获得元基础券的概率为）．闯过第一关后，可进行第二关闯关，成功闯过第二关后可获得进阶券元，且这两种优惠券可叠加使用抵扣支付金额．已知消费者闯过第一关的概率为，闯过第二关的概率为．某生产商将商品定价元，成本元；优惠券成本由生产商承担基础券面额的，进阶券面额的．
(1)若，，记消费者购买一件该商品的实际支付金额为（单位：元），求的分布列和数学期望；
(2)设所有消费者均闯过第一关获得了基础券，推出活动后商品购买概率为，记生产商销售一件该商品的期望利润为（单位：元）．（期望利润购买概率（支付金额的期望商品成本）优惠券成本的期望）
（i）求关于的函数表达式；
（ii）证明：在内存在唯一极大值点，并求当为何值时，商家期望利润最大？最大期望利润是多少 （结果保留位小数）
【解析】（1）实际支付金额的所有可能取值为，
，
，
，
，
，
的分布列为：
.
（2）(i)求的函数表达式已知所有消费者都闯过第一关，按题目期望利润公式分步计算：
支付金额期望：，
商品成本，
优惠券成本期望：基础券成本，
进阶券成本，
总成本期望，
购买概率，
代入公式：
.
(ii)对求导得：
令，整理得，解得根为，（舍去，不在内），
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
因此在内存在唯一极大值点，且该点为最大值点，
计算最大期望利润：.
题型三：顺序排位类概率计算问题
例7．（2026·高三·湖南·阶段检测）2026年2月，雅礼中学举办了“情系雅礼蓝”的活动，来自全国高校的雅礼校友回到母校开展线下宣讲，介绍各自大学的专业、录取政策、校园生活等.宣讲活动按时间顺序分为四场，每场均安排了10所不同的大学，各场的大学均不相同.
(1)若甲、乙、丙三名同学均打算从第二场的10所大学中选择一所来了解，已知甲、乙所选的大学不同，则丙与甲、乙的选择均不同的概率是多少
(2)若甲、乙、丙三名同学均打算从四场宣讲中选择两场参加，设共有个人参加了第一场宣讲活动，求的分布列和数学期望.
【解析】（1）由题意得甲、乙所选的大学不同，丙有10种选择，
当丙与甲、乙的选择均不同，丙有8种选择，
所以已知甲、乙所选的大学不同，则丙与甲、乙的选择均不同的概率为；
（2）由题意得选择第一场的概率为，所以，
所以，
，
所以的分布列为：
所以.
例8．（2026·高三·浙江温州·期末）有和两道谜语，张某猜对谜语的概率为0.8，猜对得奖金10元；猜对谜语的概率为0.5，猜对得奖金20元．若规定只有猜对第一道谜语的情况下，才有资格猜第二道，且猜谜语的顺序由张某选择．
(1)求张某猜对两道谜语的概率；
(2)张某该选择先猜哪一道？请说明理由．
【解析】（1）记张某先猜对后猜对为事件，
先猜对后猜对为事件，
所以张某猜对两道谜语的概率为.
（2）若张某先猜获得的奖金为元，则
0 10 30
0.2 0.4 0.4
先猜获得奖金为元，则
0 20 30
0.5 0.1 0.4

因此张某应选择先猜谜语.
例9．（2026·高二·江苏盐城·阶段检测）有和两道谜语，张某猜对谜语的概率为，猜对得奖金元；猜对谜语的概率为，猜对得奖金元．若规定第一道谜语猜错没有奖金，只有猜对第一道谜语的情况下，才有资格猜第二道，且猜谜语的顺序由张某选择．
(1)求张某猜对两道谜语的概率；
(2)张某选择先猜哪一道谜语，使获得奖金的数学期望最大？（张某先猜获得的奖金为元，先猜获得奖金为元）
【解析】（1）设猜对第一道谜语为事件,猜到第二道谜语为事件,
两道谜语猜对为独立事件，
因此猜对两道谜语的概率.
（2）① 先猜A，奖金为
的可能取值为，对应概率：
，
，
，
期望.
② 先猜B，奖金为，
的可能取值为，对应概率：
，
，
，
期望，
因为，因此先猜的期望更大.
变式3．（2026·高二·湖北咸宁·期末）现有枚质地不同的游戏币，，，，向上抛出游戏而后，落下时正面朝上的概率为.甲、乙两人用这枚游戏币玩游戏.
(1)甲将游戏币向上抛出10次，用表示落下时正面朝上的次数，求的期望，并求出当为何值时，最大；
(2)甲将游戏币，向上抛出，用表示落下时正面朝上的游戏币的个数，求的分布列；
(3)将这枚游戏币按，，，的顺序依次向上抛出，规定若落下时正面朝上的个数为奇数，则甲获胜，否则乙获胜，请判断这个游戏规则是否公平，并说明理由.
【解析】（1）依题意得，每次抛游戏币落下时正面向上的概率均为，
故，于是.
，
，
当时，，当时，，
当时，最大.
（2）记事件为“第枚游戏币向上抛出后，正面朝上”，
则，，2，可取0，1，2.
由事件相互独立，
则，
，
，
故的分布列为11分
Y 0 1 2
（3）记抛第枚游戏币后，正面朝上的游戏币个数为奇数的概率为，，
表示抛后，正面朝上的游戏币个数为奇数的概率，故，
故当时，
，
即，即，.
记，则，，
故数列是首项为，公差为1的等差数列，
故，则，
故，，则，因此不公平.
题型四：比赛赛制类概率应用问题
例10．（2026·甘肃定西·模拟预测）甲 乙两位同学进行一场乒乓球比赛，约定采用五局三胜制，当一人赢得三局胜利时，该同学获胜，比赛结束，在每局比赛中，都不会出现平局，且甲同学先发球该局甲获胜的概率为，乙同学先发球该局甲获胜的概率为．经抽签，第一局甲先发球，第二局乙先发球，依次轮流发球．
(1)求甲连胜三局的概率．
(2)求需要进行第五局比赛的概率．
(3)比赛结束时，设甲获胜局数为X，求X的分布列和数学期望．
【解析】（1）甲连胜三局的概率．
（2）需要进行第五局比赛，说明前四局甲胜两局负两局，有三种情况：
甲发球的两局甲都胜，其余都负，其概率为；
乙发球的两局甲都胜，其余都负，其概率为；
甲发球的两局甲胜一局，乙发球的两局甲胜一局，其余都负，其概率为
，
故需要进行第五局比赛的概率为．
（3）X的所有可能取值为0，1，2，3
．
的情况是比赛四局，前三局甲胜一局负两局，第四局甲负，
则甲发球胜一局的概率为，
乙发球甲胜一局的概率为，
所以；
；
．
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P
所以．
例11．（2026·高二·湖南长沙·期中）雅礼中学某社团组织知识问答比赛，每名参赛选手都赋予6分的初始积分，每答对一题加1分，每答错一题减1分，已知小王每道题答对的概率为，答错的概率为，且每道题答对与否互不影响.
(1)求小王答3道题后积分小于6的概率；
(2)设小王答4道题后积分为，求；
(3)若小王一直答题，直到积分为0或12时停止，记小王的积分为时，最终积分为12的概率为，请直接写出和的值，并求出的值.
【解析】（1）小王答3道题后积分小于6，有两种情况：3题都答错；答对1题，答错2题.
3题都答错的概率为；答对1题，答错2题的概率为：.
所以小王答3道题后积分小于6的概率为：
（2）法一：设小王答对的题数为，则他答错的题数为，所以.
由题意知，所以，所以.
法二：的可能取值为2，4，6，8，10.
则：；；；
；
所以，.
（3）当积分已为0时，游戏已停止，无法再达到12分，故；
当积分已为12时，游戏已停止，已是目标状态，故.
（i）当小王的积分为时，
若小王接下来一题答对，则积分变为，若小王接下来一题答错，则积分变为.
由全概率公式有，即，整理可得.
又，所以为等比数列.
（ii）由（i）可得，
所以，
又，所以.
所以
.
例12．（2026·安徽阜阳·二模）随着2025年世界羽毛球锦标赛在法国巴黎举行，国内掀起了新一波的羽毛球热，激起了民众参加羽毛球运动的热情.某大学羽毛球协会组织了羽毛球双人比赛，已知有甲、乙、丙等8支球队参赛，现将这8支球队随机分为A，B两组，每组4支球队.
(1)求甲、乙、丙恰好分在同一组的概率；
(2)在甲、乙、丙中至少有2支球队分在A组的条件下，求甲、乙、丙均分在A组的概率.
【解析】（1）从参赛的8支球队随机选4支进入A组，其余4支进入B组，共有种分组情况，
甲、乙、丙恰好分在同一组的情况种数为.
设事件E为“甲、乙、丙恰好分在同一组”，则，
即甲、乙、丙恰好分在同一组的概率为.
（2）解法一：记事件M为“甲、乙、丙中至少有2支球队分在A组”，事件N为“甲、乙、丙均分在A组”，
则，，
所以，
故在甲、乙、丙中至少有2支球队分在A组的条件下，甲、乙、丙均分在A组的概率为.
解法二：记事件M为“甲、乙、丙中有2支球队分在A组”，事件N为“甲、乙、丙均分在A组”，
则，
故在甲、乙、丙中至少有2支球队分在A组的条件下，甲、乙、丙均分在A组的概率为.
变式4．（2026·高三·山西·阶段检测）甲 乙两位同学进行纸飞机比赛，设各局比赛的结果相互独立，且每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为.比赛规则如下：三局两胜制指有一方获胜两局，比赛结束；四局三胜制指有一方获胜三局，比赛结束.
(1)若，比赛采用三局两胜制，求甲获胜的概率；
(2)若，甲、乙进行了局比赛，表示甲获胜的局数，当且仅当时，取得最大值，其中，求满足条件的的值.
【解析】（1）根据题意可知，每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，
若采用三局两胜制，则最终获胜的两种可能的比分为或.
因为每局比赛的结果是独立的，
所以甲最终获胜的概率；
（2）易得，，，
记，
则，
由，得，
即当时，，
当时，，
故当时，最大，所以的估计值为.
题型五：概率递推模型的构建与应用问题
例13．（2026·高二·江苏泰州·阶段检测）甲、乙、丙、丁四人进行台球游戏，约定游戏规则如下：
①每轮游戏均将四人分成两组，进行一对一对打；
②第一轮甲乙对打，丙丁对打；
③每轮游戏结束后，两名胜者组成一组在下一轮对打，两名负者组成一组在下一轮对打；
④每组比赛均无平局出现，且每组比赛结果相互独立.甲胜乙、丙胜丁的概率均为，甲胜丙、甲胜丁、乙胜丙、乙胜丁的概率均为.
(1)在前三轮游戏中，甲乙对打的次数为，求的数学期望；
(2)求在第轮游戏中，甲乙对打的概率；
(3)求在第轮游戏中，甲获胜的概率.
【解析】（1）第1轮甲乙对打，故第2轮甲乙不可能对打，则第2轮甲只能和丙或丁对打.
若第3轮甲乙对打，则甲乙在第2轮都胜或都负；故的所有可能取值为1，2，
第2轮甲丙对打，则甲和丙在第1轮都胜或都负，其概率为，
第3轮甲乙对打，则第2轮甲和丙打，乙和丁打，此时甲和乙同胜或同负；甲和丁打，乙和丙打，此时甲和乙同胜或同负；此时，
则，所以.
（2）设在第轮游戏中，甲乙对打的概率为，甲丙对打的概率为，甲丁对打的概率为，
在第轮游戏中，甲和乙对打，则第轮游戏中，甲丙对打，或者甲丁对打，
故，故，
又，所以是以为首项，为公比的等比数列，
所以，即.
（3）同理可知，故，
又，则，故，
所以在第轮游戏中，甲获胜的概率为.
例14．（2026·甘肃白银·三模）某太空探测器配备两套通信系统：激光通信模组与射频通信模组．每次向地球发送数据包时，若当前使用的模组发送成功，则下一次继续使用该模组，若发送失败，则下一次自动切换至另一模组，每个模组的工作相互独立．已知激光模组发送成功的概率为，射频模组发送成功的概率为．发送成功记1分，失败记0分，第1次发送使用激光模组．
(1)记为前2次发送的总得分，求．
(2)设为第次发送使用激光模组的概率．
（ⅰ）求数列的通项公式；
（ⅱ）设，求数列的前项和．
【解析】（1）由题意可知：随机变量的可能取值为0，1，2，
则，，，
所以.
（2）（ⅰ）由题意可知：，且，
可得，且，
可知数列是以首项为，公比为的等比数列，
则，所以；
（ⅱ）由（ⅰ）可知：，
则
，
所以.
例15．（2026·福建南平·二模）在棱长为个单位的正四面体中，一个质点从顶点出发，每次等可能地沿着棱移动个单位，移动的方向是随机的.
(1)若质点移动了次，记其经过点的次数为，求的分布列及数学期望；
(2)若质点移动了次，质点回到点的概率为.
（ⅰ）求数列的通项公式；
（ⅱ）设，证明：.
【解析】（1）依题意可得，的所有可能取值为，
则，，
，
则的分布列为
X
P
所以.
（2）（ⅰ）由质点每次等可能地随机沿棱移动个单位可知，若质点移动了次，次后质点到三点的概率相同，记为，易知，，
若质点移动了次，，
若质点移动了次，由三点等可能地向点移动，故，
则，即，所以，，
数列是首项为，公比为的等比数列，
所以，即.
（ⅱ），
，所以，是递减数列，
设，，，
所以函数在上单调递增，
所以由得，
即，
所以，
则.
变式5．（2026·安徽·模拟预测）某智能温室大棚采用自动控制系统调节遮阳帘．每天系统会根据前一天的日照强度选择“高透光模式”（记为状态A）或“低透光模式”（记为状态B）．统计表明：若某天为高透光模式，则次日仍保持高透光模式的概率为0.2；若某天为低透光模式，则次日转为高透光模式的概率为0.8．假设第1天系统处于高透光模式．设第n天系统处于高透光模式的概率为．
(1)求和的值；
(2)求数列的通项公式；
(3)为防止作物光照不足，技术人员设置了自动补光机制：若连续两天出现低透光模式，则立即强制启动补光灯．记X为前3天内强制启动补光灯的次数（即连续两天为低透光模式的事件发生次数，若第1、2天为低透光模式，第2、3天也为低透光模式，则计为2次），求X的分布列和数学期望．
【解析】（1），，，，
第2天为高透光模式的概率：，
第3天为高透光模式有两种情况：
①第2天为且第3天为：
①第2天为且第3天为：，
所以.
（2）由全概率公式：
构造等比数列：设，展开得，
对比系数：，所以，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以，
（3）X为“连续两天为低透光模式（）”的事件发生次数，
第天固定为，枚举所有可能：
，
0 1
.
题型六：期望递推关系的求解问题
例16．（2026·高二·湖北·阶段检测）重庆张雪机车创始人张雪，从草根摩托爱好者成长为国产机车领军人物．2013年，他怀揣2万元积蓄创业．2024年创立自主品牌，抵押身家深耕自研技术．2026年，其自主研发的820RR车型在世界顶级摩托车赛事中夺冠，打破欧美日品牌长期垄断，让国产机车首次站上国际顶级赛场领奖台．张雪机车推出新款820RR后，某车队为了对刚购入的A，B两种型号机车的操纵稳定性进行检测，设计了如下测试：由某种型号的机车每次独立执行一个任务，若该型号机车试验成功，则下一轮继续使用该型号机车进行试验；若试验失败，则下一轮更换另外一种型号的机车进行试验．已知A型号机车试验成功的概率为，失败的概率为；B型号机车试验成功的概率为，失败的概率为．每次试验成功记1分，失败记0分，且第1轮使用A型号机车进行试验．
(1)记为前3轮试验的总得分，求的数学期望；
(2)设为第轮试验使用A型号机车的概率．
①求数列的通项公式；
②记为前轮试验的总得分期望，求关于的表达式．（若第轮得分期望记为(,2…n)，则）
【解析】（1）设第轮试验得分为 ，则总得分，满足
第1轮期望得分：首轮固定使用A型车，成功概率，因此;
第2轮期望得分：若第1轮成功（概率），第2轮继续用A型车；若第1轮失败（概率），第2轮换B型车.
;
第3轮期望得分：第3轮使用A型车的概率：,
第3轮使用B型车的概率：,
.
总期望得分.
（2）①由题意，表示第轮使用A型车的概率，表示第轮使用B型车的概率.
第轮使用A型车分为两种情况：
1、第轮用A型车且成功的概率为；2、第轮用B型车且失败的概率为 ，
则得递推关系式：
初始条件：
令 ，即，
所以，即，
数列 为等比数列，首项，公比，
故，即.
②设第轮得分期望为，则
将代入上式得：
前轮得分期望和为：
例17．（2026·高二·贵州黔南·阶段检测）不透明的盒子中装有除颜色不同外其他均相同的4个红球和3个白球．按如下规则进行操作：从盒子中随机摸出1个球，若摸到红球，则将该球放回盒子中并摇匀；若摸到白球，则将该球取出不再放回盒子中，同时补1个红球放入盒子中并摇匀．记操作n次后，盒子中红球的个数为，操作了n次，摸到白球的次数为．
(1)求．
(2)求．
(3)假若规则修改如下：若摸到白球，则将该球取出不再放回盒子中，同时补个红球放入盒子中并摇匀，其余规则不变．记操作n次后，盒子中红球的个数为，若，，求的取值范围．
参考公式：对任意X，Y，恒有．
【解析】（1）的所有可能取值为4，5．
表示操作1次后，摸到红球，其概率为，即．
表示操作1次后，摸到白球，其概率为，即．
故．
（2）记．已操作次后，盒中共有7个球，其中红球个数为，白球个数为．
下一次操作时，若摸到红球，则红球个数不变；若摸到白球，则红球个数增加1．
因此，在已知的条件下，.
两边取期望，得，即.
整理得.
又，所以．
因此数列是首项为3，公比为的等比数列．
所以
即，．
（3）先取．修改规则后，第一次操作仍然以的概率摸到红球，以的概率摸到白球．
若摸到白球，红球个数由4增加到，
所以.
因此.
由题意必须有解得．因为，所以．
下面说明也是充分条件．
把原规则看成的情形．若某一时刻已经摸到个白球，则只能取0，1，2，3．
在修改规则下，此时盒中白球数为，球的总数为，
所以下一次摸到白球的概率为.
若下一次摸到白球，则红球数增加个，
因此下一次操作带来的红球数期望增量为.
原规则下对应的红球数期望增量为.
当且时，均有.
这说明从相同的已摸白球个数出发，修改规则下一步红球数的期望增量不小于原规则．
同时，时，修改规则下会放入更多红球，白球比例不大于原规则，
因此继续操作时这一期望优势不会减小．
于是关于不减，其最小值出现在．
当时，
从而对任意，都有．
故．
例18．（2026·山东淄博·三模）盒中有4个黑球2个红球，每个球除颜色外均相同.甲、乙进行摸球游戏，两人轮流从盒中摸球，每次由其中一人随机摸出2个球，若有黑球，则黑球放回盒中；若有红球，则红球不再放回盒中.直至盒中红球已被全部取出，游戏结束.第一次摸球从甲开始，记为第n次摸球后游戏结束的概率.
(1)求，；
(2)求；
(3)若摸球次，游戏恰好结束，将此情况下乙摸到的红球个数记为随机变量，证明：.
【解析】（1），
.
（2）若盒中有4个黑球，2个红球，一次性摸出两个球，
摸到0，1，2个红球的概率分别为，
若盒中有4个黑球，1个红球，一次性摸出两个球，
摸到0，1个红球的概率分别为，
则摸球次，记在第次摸出第一个红球、在第次摸出第二个红球从而结束游戏的概率为，
则，
摸球次，记第次摸到两个红球的概率为，则，
则
.
（3）法一：设摸球次，在第次和第次分别摸到一个红球的概率为
，
记，则，
可能取值为1，2，且，
，故.
法二：设摸球次，在第次和第次分别摸到一个红球的概率为
，
摸球次，第次摸到两个红球的概率为，
①若，
此时当为奇数且时，；当时，，
则，
故，
记，
则，
可能取值为1，2，且，
，故.
②当时，，结论也成立；
综上，.
变式6．（2026·湖北武汉·模拟预测）某商场举行回馈顾客的抽奖游戏．箱子里有10张奖券，其中4张“金券”，6张“银券”．每张“金券”面值均为100元；每张“银券”面值不同，分别为元，元，…，元．顾客从箱中不放回地依次抽取奖券，直至抽到3张“金券”时停止，不可中途退出游戏．游戏停止时，顾客抽到的所有奖券的面值之和作为顾客的奖金．现有一顾客参加了此次抽奖游戏．
(1)求游戏停止时该顾客共抽取5次的概率；
(2)求该顾客的奖金不低于元的概率；
(3)已知随机变量的期望具有线性可加性，即对于随机变量X，Y，有，求该顾客的奖金的期望．
【解析】（1）游戏停止时共抽取5次，即前四次抽到2金2银，且第五次抽到金券，
故所求的概率为；
（2）奖金不低于270元，则可能为300元，290元，280元，270元．
①若奖金为300元，即连续抽到3次金券，其概率为；
②若奖金为290元，即前三次抽到两张金券和一张－10元银券，且第四次抽到金券，其概率为；
③若奖金为280元，即前三次抽到两张金券和一张－20元银券，且第四次抽到金券，同②知；
④若奖金为270元，一种情况是前三次抽到两张金券和一张－30元银券，且第四次抽到金券，同②知其概率为；
另一种情况是前四次抽到两张金券、一张－10元银券和一张－20元银券，且第五次抽到金券，其概率为，
所以；
综上所述，奖金不低于270元的概率为.
（3）方法一：记银券分别为，，…，，对应面值－10元，－20元，…，－60元．
记，
银券与4张金券被抽到的先后次序是等可能的，表示在与4张金券一起排列时，排在了前三个位置上，所以，，
所以，，
因为奖金，
所以，
即奖金的期望为174元．
方法二：记为停止时抽到银券的张数，则的可能取值为0，1，2，3，4，5，6，且.
由已知得，，，
，，
，，
计算得．
又因为，所以，
因为每张银券被抽到是等可能的，所以，，
所以，
即奖金的期望为174元．
题型七：高尔顿板问题
例19．（2026·湖北襄阳·模拟预测）如图，某人设计了一个类似于高尔顿板的游戏：将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的中间入口处，小球将自由下落，小球在下落的过程中，将次遇到黑色障碍物，已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是，最后落入袋或袋中.一次游戏中小球落入袋记分，落入袋记分，游戏可以重复进行.游戏过程中累计得分的概率为.
(1)求、、；
(2)求出的通项公式.
【解析】（1）小球三次碰撞全部向左偏或者全部向右偏落入袋，
故概率，
小球落入袋中的概率.
故，，.
（2）游戏过程中累计得分可以分为两种情况：
得到分后的一次游戏小球落入袋中（分），
或得到分后的一次游戏中小球落入袋中（分），
故，
故为常数列且，故即.
，
故是以为首项，以为公比的等比数列，
故，
所以的通项公式为.
例20．（2026·高三·全国·专题练习）高尔顿板是英国生物统计学家高尔顿设计用来研究随机现象的模型，在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃.将小球从顶端放入，小球下落的过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中.如图所示的高尔顿板有7层小木块，小球从通道口落下，第一次与第2层中间的小木块碰撞，以的概率向左或向右滚下，依次经过6次与小木块碰撞，最后掉入编号为1，2，…，7的球槽内. 如图进行一次高尔顿板试验，求小球落入6号球槽的概率.
【解析】记事件：小球落入6号球槽，
由于小球下落需经历6次碰撞，事件发生，则在6次碰撞中有1次向左，5次向右，
所以，
故答案为：
例21．（2026·高三·江苏苏州·期末）如图是一块高尔顿板的示意图，在一块木板上钉着若干行相互平行但相互错开的圆柱型小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃．将小球从顶端放入，小球下落的过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中．当高尔顿板共有行小木钉时，第行的空隙从左到右分别编号为0，1，2，…，（），底部格子从左到右分别编号为0，1，2，…，，用表示小球最后落入格子的号码．
(1)若，求小球在第3行落入编号为2的空隙的条件下，最后落入编号为5的格子的概率；
(2)记的数学期望为，记．
①设数列的前项和为，求证：；
②设与最接近的整数为，求数列的前项和．
【解析】（1）设“小球在第3行落入编号为2的空隙”为事件A，“小球最后落入编号为5的格子”为事件B，
设向右下落次数为．
因为小球在第3行落入编号为2的空隙的条件下，最后落入编号为5的格子，
所以在接下来的8次下落过程中一定有5次向左、3次向右，
所以，
小球在第3行落入编号为2的空隙的条件下，最后落入编号为5的格子的概率为；
（2）①，则，
所以，所以．
因为，所以．
故数列的前项和．
②因为，所以．
当为奇数时，为整数，故，当为偶数时，为偶数，故．
所以，
当时，，所以，
由于，故，
当时，，所以，
由于，故，
所以.
变式7．（2026·高二·河南新乡·阶段检测）高尔顿板又称豆机、梅花机等，是英国生物统计学家高尔顿设计用来研究随机现象的模型．如图所示的高尔顿板为一块木板自上而下钉着6层圆柱形小木块，最顶层有2个小木块，以下各层小木块的个数依次递增，各层小木块互相平行但相互错开，小木块之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块透明玻璃．让小球从高尔顿板上方的通道口落下，小球在下落过程中与层层小木块碰撞，且等可能向左或者向右滚下，最后落入高尔顿板下方从左至右编号为1，2，…，6的球槽内．

(1)某商店将该高尔顿板改良成游戏机，针对某商品推出促销活动．凡是入店购买该商品一件，就可以获得一次游戏机会．若小球落入号球槽，该商品可立减元，其中．若该商品的成本价是10元，从期望的角度考虑，为保证该商品总体能盈利，求该商品的最低定价．（结果取整数）
(2)将79个小球依次从高尔顿板上方的通道口落下，试问3号球槽中落入多少个小球的概率最大？
附：设随机变量，则的分布列为，．
．
【解析】（1）的取值可能为1，2，3，4，5，6．
，，
．
因为，所以的取值可能为0，5，10，15．
，，
，．
的分布列为
0 5 10 15
，
则顾客玩一次游戏，立减金额的均值约为4.7元，又该商品成本价是10元，
所以该商品的最低定价约为15元．
（2）由（1）得．
进行79次试验，设小球落入3号球槽的个数为，则．
．
当时，，即；
当时，，即；
当时，，即．
所以当时，，此时这两项概率均为最大值．
故3号球槽中落入24或25个小球的概率最大．
题型八：随机游走模型
例22．（2026·山东·模拟预测）在棱长为1个单位的正方体中，一个质点从顶点出发，每隔1秒等可能地沿着棱移动1个单位，移动的方向是随机的．设第秒后，质点回到点的概率为．
(1)求和；
(2)设第秒后，质点移动到点的概率为，移动到点的概率为，移动到点的概率为．
（i）证明：存在常数，使得；
（ii）记的前项和为，证明：存在常数，使得．
【解析】（1）当时，从A出发，第1秒只能移动到相邻的3个顶点（B，D，C），
第2秒要回到A，必须从这3个顶点之一沿原路返回.每个顶点有3条棱，返回A的概率是.
所以.
当时，第2秒时，质点在(B，D，C)三点的概率均为.
从这三点出发，第3秒无法回到A（因为它们与A距离为1，第3秒移动后距离为2），所以.
故，.
（2）（i）由对称性可知第秒后质点恰好走到三点的概率相同，都为；
第秒后质点恰好走到三点的概率也相同，都为；
第秒后质点恰好走到点的概率为．记第秒后质点的位置为，
则，
即，
再由，即．
于是存在常数，使得．
（ii）由可知，
由可知，
于是——①，——②，——③，——④.
由①②得，即——⑤，
再由①③④得——⑥，由⑤得，代入⑥
，化简得.
因为，
则．
由，于是．所以.
所以当为奇数时，，，……，
，上述个式子相乘得．
又由，即可知．
所以，解得，
即当为奇数时，，所以当为偶数时，
当为偶数时，，，
，上述个式子相乘得,即.
又由可知．解得，即当为奇数时，．
因此，当为奇数时，；当为偶数时，．
当时，，
则．
当时，，
即．
所以存在常数，使得．
例23．（2026·高三·江苏·阶段检测）如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点出发，每次等可能地向左或向右移动一个单位.
(1)移动4次后，质点最终所在的位置的坐标为多少的概率最大？
(2)若移动次后，质点最终所在位置的坐标为，求的数学期望与方差.
【解析】（1）设随机变量为次移动后的坐标值，可取值为：，，，，
，
，
·
所以质点最终所在的位置的坐标为的概率最大
（2）设随机变量为次移动后的坐标值，质点次移动中向右移动的次数为，则 ，
，
则的期望为： ，
则的方差为； ，
所以移动 次后，质点最终所在位置的坐标的数学期望为，方差为.
例24．（2026·高一·全国·专题练习）已知正四面体顶点处有一质点，点每次会随机地沿一条棱向相邻的某个顶点移动，且向每个顶点移动的概率相同．从一个顶点沿一条棱移动到相邻顶点称为移动一次．若质点的初始位置位于顶点A处，记点移动n次后仍在底面上的概率为．
(1)求的值．
(2)求证：数列是等比数列，并求的表达式．
【解析】（1）由题意，质点的初始位置为A，A不在底面上．
移动1次后，质点的位置．
从顶点A出发，有3条棱，分别通向，
这三个顶点都在底面上．故．
移动2次后，质点的位置．
第1次移动后，质点必在三点之一，且等可能性，概率均为；
若第1次到了B（概率）：从B出发，有3条棱，分别通向．
其中在底面，A不在．所以从B出发，下一步仍在底面的概率为；
若第1次到了C或情况与B完全对称，下一步仍在底面的概率也为；
由全概率公式得．
（2）由题意知移动n次后，质点在底面上的概率为．则质点在顶点A的概率为．
若第n次后在底面（概率），且第次移动后仍留在底面．
从底面任意一点出发，有2条棱连向底面另两点，1条棱连向A，故留在底面的概率为；
若第n次后在顶点A（概率），且第次移动后到达底面．
从A出发，3条棱都连向底面，故到达底面的概率为1．
由全概率公式得，
令，即，
得．则，
所以数列是以为公比的等比数列，又．
所以，得.
变式8．（2026·江西南昌·模拟预测）在平面直角坐标系中，点从坐标原点出发，进行次移动，每次移动以下两种方式等可能随机选择一种执行：方式①：将当前点的横坐标加，纵坐标不变；方式②：将当前点的横坐标、纵坐标都加.记第次移动后，点的位置为 （）.
(1)记点到直线的距离为，求随机变量的数学期望.
(2)求点落在区域 内的概率；
(3)若，记事件 ，求事件发生的概率 .
【解析】（1）点到直线的距离为
因此数学期望，
因为， ，所以其分布列为：
0 1 2 3 4
=，
所以；
（2）设前 次移动中选择方式②的次数为 ，则横坐标恒为 （两种方式横坐标均加 1），纵坐标恒为 （仅方式②纵坐标加 1），
服从二项分布 ，即 ，
点落在区域 内
将，代入不等式，得，
由于是整数，因此等价于（向下取整），
二项分布关于对称，即，
当为奇数时，设（），则，此时，
当为偶数时，设（），则，此时
，
所以点落在区域 内的概率；
（3）将 、 代入事件 的条件：
对 ：（因 为整数，等价于 ），
对 ：，
进一步分析第 10 步的两种可能：
若第 10 步选方式①：则 ，但 时要求 ，矛盾，此情况不可能发生，
若第 10 步选方式②：则 ，满足 ，此为唯一可能情况
因此，事件 等价于：前 9 次移动中恰好有 4 次方式②，且对所有 ，前 次移动中方式②的次数 ，第 10 次移动选方式②
定义 为：前 次移动中恰好有 次方式②，且满足所有 ， 的路径数,
递推规则
初始条件：（0 次移动，0 次方式②，1 种路径）,
递推公式：
表示第次选方式①，表示第次选方式②(时后者是0)，
逐行计算过程
0 1 0 0 0 0 0
1 1 0 0 0 0 0
2 1 1 0 0 0 0
3 1 2 0 0 0 0
4 1 3 2 0 0 0
5 1 4 5 0 0 0
6 1 5 9 5 0 0
7 1 6 14 14 0 0
8 1 7 20 28 14 0
9 1 8 27 48 42 0
结果计算
满足前 9 步条件的路径数：，
第 10 步选方式②的概率：,
总路径数：,
因此事件 的概率：.
1．（2026·高二·广东佛山·阶段检测）某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰，在购买机器时，可以一次性额外购买几次维修服务，每次维修服务费用300元，另外，实际维修一次还需向维修人员支付小费，小费每次60元．在机器使用期间，如果维修次数超过购机时购买的维修服务次数，则每维修一次需支付维修费用720元，无需支付小费．现需决策在购买机器时应同时一次性购买几次维修服务，根据大数据统计显示，每台机器在三年使用期内的维修次数可能是4次，5次或6次，其概率分别是，，．记X表示2台机器在三年使用期内的维修次数，n表示购买2台机器时，一次性购买的维修服务次数．
(1)求X的分布列；
(2)以机器维修所需费用的期望值为决策依据，在和之中选取其一，应选用哪个？
【解析】（1）X的取值为8，9，10，11，12．
．
．
．
．
．
所以X的分布列为
X 8 9 10 11 12
P
（2）法1：当时，设为机器维修所需费用，则的分布列为
3180 3240 3960 4680 5400
P
于是．
当时，设为机器维修所需费用，则的分布列为
3480 3540 3600 4320 5040
P
于是，
因为3645<3670，所以应选用．
法2：当时，机器维修所需费用的期望值为，
当时，机器维修所需费用的期望值为．
因为，所以应选用．
2．（2026·河北保定·二模）某农家乐园为增加客流量，计划在五一期间举行农产品的团购活动，每位参与团购且购买金额不低于100元的顾客均可以参加抽奖活动.抽奖方案如下：开始时箱子中放有除颜色外完全相同的4个红球与12个白球，每位参与抽奖的顾客均可抽取2次，每次从箱子中随机取1个球，第1次顾客从箱子中随机取出1个球，确定颜色后放回箱子，同时往箱子中放入2个与第1次取出的球颜色相同的球，然后进行第2次抽取.已知顾客每次取出白球没有奖励，取出红球奖励20元.
(1)求顾客第2次取出红球的概率.
(2)记每位参与抽奖的顾客获得奖励的总金额为X元，求E(X).
(3)该农家乐园计划增加一种抽奖方案，此方案要求参与抽奖的顾客通过扫描二维码进入小程序回答问题，每位顾客最少回答 2个问题，最多回答 3个问题，若前 2个问题至少回答正确 1个，则不再回答第 3个问题，若前2个问题都回答错误，则需回答第 3个问题，且第 1个问题回答正确奖励 6元，第 2个和第3个问题回答正确均奖励 12元.已知顾客甲正确回答这 3个问题的概率依次为 且这3个问题回答正确与否相互独立.为使顾客甲获得奖励的总金额的数学期望最大，顾客甲应该选择原抽奖方案还是新增抽奖方案 请说明理由.
【解析】（1）设＂第1次取出红球＂为事件 ，则 ，
设＂第2次取出红球＂为事件 ，
若第1次取出红球，则箱子中有 6 红 12 白，共 18 个球，此时 ，
若第1次取出白球，则箱子中有4红14白，共18个球，此时 ，
由全概率公式得：
答：顾客第2次取出红球的概率为 .
（2）由题意知， 的可能取值为0,20,40；
，
，
所以 的分布列为：
0 20 40
,
（3）设顾客甲获得奖励的总金额为 元。
由题意， 的可能取值为。
，
，
，
，
所以 的分布列为：
0 6 12 18
，
因为 ，
所以顾客甲应该选择新增抽奖方案.
3．（2026·北京朝阳·二模）2026年春季，北方进入花粉过敏高发期．某市疾控中心针对该市青少年春季花粉过敏情况开展专项调查．现从该市青少年中随机抽取2000人作为样本，统计样本中不同过敏程度的人数，得到下表：
过敏程度 无过敏 轻度过敏 中度过敏 重度过敏 极重度过敏
城区 220 180 150 50
郊区 500 120 80 70 30
用频率估计概率．
(1)从该市青少年中随机抽取一人，估计此人春季花粉“无过敏”的概率；
(2)从该市城区和郊区的青少年中各随机抽取2人，估计抽到的青少年中恰有一人春季花粉“无过敏”的概率；
(3)该市疾控中心规定过敏程度评分如下表：
过敏程度 无过敏 轻度过敏 中度过敏 重度过敏 极重度过敏
过敏程度评分 0 1 2 3 4
该市疾控中心对该市A、B两个地区同步开展调查，已知A地区与B地区青少年人数之比为3：2，地区青少年的过敏程度平均评分为，地区青少年的过敏程度平均评分为0.6．疾控中心对这两个地区的青少年开展专项过敏防护干预，干预后A地区青少年的过敏程度平均评分降低了地区青少年的过敏程度平均评分不变．记为干预后这两个地区青少年的过敏程度平均评分．若干预后（该市青少年的过敏程度平均评分），直接写出的最小正整数值．（结论不要求证明）
【解析】（1）由题意得，
解得，
从该市青少年中随机抽取一人，估计此人春季花粉“无过敏”的概率为；
（2）频率估计概率，
该市城区青少年春季花粉“无过敏”的概率为，
该市郊区青少年春季花粉“无过敏”的概率为，
各随机抽取2人，
抽到的城区青少年中恰有1人“无过敏”且郊区青少年两人均不是“无过敏”的概率为
，
抽到的郊区青少年中恰有1人“无过敏”且城区青少年两人均不是“无过敏”的概率为
，
估计抽到的青少年中恰有一人春季花粉“无过敏”的概率为；
（3）的最小正整数值为6，理由如下：
由题意得，
解得，
的最小正整数值为6.
4．（2026·高二·江苏无锡·期中）一个猜谜语活动中有A和B两道谜语，小明猜对谜语A的概率为，猜对获得奖金10元，猜对谜语B的概率为，猜对获得奖金20元，猜不出不给奖金，小明是否猜对两道谜语相互独立.
(1)设事件“小明恰好猜对一道谜语”，求事件M发生的概率；
(2)如果按照如下规则猜谜：先选一道猜测，只有在猜对的情况下，才有资格猜下一道．
（i）若猜谜语顺序由小明选择，小明应该先猜哪一道呢；
（ii）在（i）顺序下，小明可以花元购买提示机会，购买一次对两道谜语都生效，提示后小明猜对两道谜语的概率均会提高个百分点()，问、满足什么关系，小明才值得购买提示（购买后收益期望减去元大于购买前收益期望）．
【解析】（1）根据题意，得
（2）（i）设小明先猜谜语得到的奖金为X元，则X的可能取值为0，10，30，
可得，，，
所以X的分布列为
X 0 10 30
P
．
设小明先猜谜语得到的奖金为Y元，则Y的可能取值为0，20，30，
可得，，，
所以Y的分布列为
Y 0 20 30
P
因为，所以小明应该先猜谜语
（ii）设小明购买提示后先猜谜语A得到的奖金为Z元（不含支出元），
则Z的可能取值为0，10，30，
可得，
，
，
所以
所以小明最终获得元，
若要值得购买则即．
5．（2026·高三·北京·阶段检测）某校举办知识竞赛，已知学生甲是否做对每个题目相互独立，做对三道题目的概率以及做对时获得相应的奖金如表所示.
题目 A
做对的概率
获得的奖金/元 20 40 80
规则如下：按照的顺序做题，只有做对当前题目才有资格做下一题.
[注：甲最终获得的奖金为答对的题目相对应的奖金总和.]
(1)求甲没有获得奖金的概率；
(2)求甲最终获得的奖金的分布列及期望；
(3)如果改变做题的顺序，最终获得的奖金期望是否相同？如果不同，你认为哪个顺序最终获得的奖金期望最大？（不需要具体计算过程，只需给出判断）
【解析】（1）甲没有获得奖金，则题目A没有做对，
设甲没有获得奖金为事件，则.
（2）分别用表示做对题目的事件，则相互独立.
由题意，的可能取值为.
;
.
所以甲最终获得的奖金的分布列为
0 20 60 140
（元）.
（3）不同，按照的顺序获得奖金的期望最大，理由如下：
由（2）知，按照的顺序获得奖金的期望为40元，
若按照的顺序做题，
则奖金的可能取值为.
;
.
故期望值为元；
若按照的顺序做题，
则奖金的可能取值为.
;
.
故期望值为元；
若按照的顺序做题，
则奖金的可能取值为.
;
.
故期望值为元，
若按照的顺序做题，
则奖金的可能取值为.
;
.
故期望值为元，
若按照的顺序做题，
则奖金的可能取值为.
;
.
故期望值为元，
显然按照的顺序获得奖金的期望最大.
6．（2026·河南开封·模拟预测）甲、乙两支排球队进行一场比赛，比赛采取5局3胜制，每局比赛甲获胜的概率均为，比赛没有平局，且每局比赛的结果相互独立．
(1)求前2局比赛甲、乙两队各胜一局的概率；
(2)在甲获得比赛胜利的条件下，求甲在第3局获胜的概率；
(3)记比赛结束时所进行的局数为，求的分布列及数学期望．
【解析】（1）设事件表示甲队第局获胜，
则前局比赛甲、乙两队各胜一局的概率为
．
（2）设事件为甲获得本场比赛的胜利，
则，
，
故．
（3）根据题意得的所有可能取值为，，，
其中，
，
，
则的分布列为
所以．
7．（2026·江西宜春·模拟预测）某中学航天科技小组利用假期进行一项新型火箭模型的发射试验，根据以往数据可知，单次发射成功的概率为，失败的概率为，发射结果相互独立．计划发射多次．
(1)若某次发射失败，则整个试验终止；若发射成功，则继续发射且至多发射4次．记发射的次数为，求的分布列与期望；
(2)若在一次发射中发射失败，能够成功进行现场修复并确保后续发射不受此次失败影响的概率为（即修复后，系统恢复到正常发射状态）．修复失败的概率为．考虑一个简化的连续发射模型，从第1次发射开始．若发射成功，则继续进行下一次发射；若发射失败但成功修复．则继续进行下一次发射；若发射失败且修复失败，则试验终止；此外，若连续2次发射失败，试验也终止．
①求至少发射3次的概率；
②定义为第次发射成功的概率，是否存在实数使得数列为等比数列？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【解析】（1）由题知，的所有可能取值分别为1，2，3，4，
则，
，
所以的分布列为
1 2 3 4
．
（2）①记第次发射成功为事件，第次发射失败后修复成功为事件，
则，，，
记至少发射3次为事件，则，
所以
．
②第次发射成功有2种情形：第次、第次发射成功，
或第次发射成功，第次发射失败且发射失败后修复成功，第次发射成功，
所以，
设，则，
所以，解得，或，
因为，，所以时，
是等比数列，
所以．
8．（2026·陕西咸阳·一模）某无人机执行飞行挑战任务，规则如下：挑战按阶段依次进行，若连续两个阶段任务都执行失败，则挑战结束；每一个阶段系统随机分配一个低空任务或高空任务，分配到低空任务的概率为，分配到高空任务的概率为.已知该无人机成功完成低空任务与高空任务的概率分别为和，且各阶段任务完成情况相互独立.
(1)求该无人机在一个阶段中成功完成任务的概率；
(2)记为该无人机在执行完第个阶段任务后，整个挑战还未结束的概率.
①求，；
②证明：数列单调递减.若对系统分配任务进行设置，在执行完第个阶段任务后，当时，系统停止分配任务，求该无人机最多能挑战多少个阶段的任务
【解析】（1）设事件“分配到低空任务”，则“分配到高空任务”，
事件“在一个阶段中成功完成任务”，
依题意，，，，，
因此，
所以该无人机在一个阶段任务中成功完成任务的概率为.
（2）①设事件“该无人机在第个阶段中成功完成任务”，则，
当时，挑战显然不会终止，即，
又各阶段完成任务与否相互独立，
故当时，则第1、2阶段至少成功完成一次，，
，
同理.
②当时，，经计算，，
所以该无人机最多能挑战6个阶段的任务.
9．（2026·江西宜春·一模）在平面直角坐标系中，动点M从原点出发，每秒向左、向右、向上或向下移动一个单位长度，且向四个方向移动的概率均为.例如在1秒末，点M会等可能地出现在，，，四点处.
(1)已知点M在第2秒末没有回到原点，求此时点M位于坐标轴上的概率；
(2)记第n秒末点M回到原点的概率为.
（i）求，并利用公式求；
（ii）令，记为数列的前n项和，若对任意实数，存在，使得，则称点M是常返的.利用公式：，证明：点M是常返的.
【解析】（1）记事件A：点M在第2秒末没有回到原点，事件B：点M位于坐标轴上，
由于在第2秒末点M回到原点的情况有4种，则事件A包含的情况共有种，
其中点M没有回到原点且在坐标轴上的情况有4种，即点这四种情况.
则，
故点M在第2秒末没有回到原点，且此时点M位于坐标轴上的概率为.
（2）（i）点M在第4秒末回到原点，有以下三种情况：四个方向各移动一次的情况有种，
左右方向各移动两次的情况有种，上下方向各移动两次的情况有种，
所以；
若点M在第2n秒末回到原点，则需左右移动次数相等，且上下移动次数也相等，
设左右各移动次，则上下各移动次，
所以
，
（ii）由可知：
，
则，
所以，
令，则，
即函数在上单调递减，
所以，即，则，
所以，，
记为不超过x的最大整数，
则对任意的实数，当时，，即，
综上，当时，成立，所以点M是常返的.
10．（2026·高二·浙江宁波·期中）马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，为状态空间中经过从一个状态到另一个状态的转换的随机过程.该过程要求具备“无记忆”的性质：下一状态的概率分布只能由当前状态决定，在时间序列中它前面的事件均与之无关甲、乙两口袋中各装有1个黑球和2个白球，现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋重复进行次这样的操作，记口袋甲中黑球的个数为，其中恰有1个黑球的概率为，恰有2个黑球的概率为.
(1)求，，的值；
(2)求的值（用n表示）；
(3)求的数学期望.
【解析】（1）根据题意可得恰有0个黑球的概率为，
根据古典概型可得，，
所以.
（2）由题意得，
进一步整理可以得到下式：
又
故可以确定是以首项为，公比为的等比数列，
所以
；
（3）由题意可得①，
②，
①-②，得，
因为，所以.
所以，的概率分布列为：
0 1 2
，
所以的数学期望为定值1.
11．（2026·湖南益阳·三模）某校班主任利用周末时间对该班级2019年最后一次月考的语文作文分数进行了一次统计，发现分数都位于20﹣55之间，现将所有分数情况分为[20，25），[25，30），[30，35），[35，40），[40，45），[45，50），[50，55）七组，其频率分布直方图如图所示，已知m＝2n，[30，35）这组的参加者是12人．
（1）根据此频率分布直方图求图中m，n的值，并求该班级这次月考作文分数的中位数；
（2）组织者从[35，40）这组的参加者（其中共有5名女学生，其余为男学生）中随机选出1人（为公平起见，把每个人编号，通过号码确定），如果选到男学生，则该学生留在本组，如果选到女生，则该女生交换一个男生到该组中去（已知本班男生人数多于女生人数），重复上述过程n次后，该组中的男生人数为Xn．
①求随机变量X1的概率分布及数学期望E（X1）；
②求随机变量Xn的数学期望E（Xn）关于n的表达式．
【解析】（1）由题可知：
由，所以可知中位数为
（2）由题可知：
这组人数有：，其中女生5名，男生3名
①随机变量X1的所有可能结果为3，4
所以
所以的分布列为
数学期望
②设，则
，，
，，
，
所以的分布列为
3 4 5 6 7 8
所以
所以
即
则
所以，又
所以
12．（2026·江苏苏州·三模）袋子里有编号的个小球，除编号外完全一样，现随机从中取出个，记取出个小球的最大编号为.
(1)当，时，求的分布列；
(2)当时，求；
(3)求.
【解析】（1）当，时，随机从编号的4个小球中取出2个共有种情况，
的可能取值为2，3，4，
，，，
分布列如表所示
2 3 4
（2）的可能取值为或，
，，
所以，
因此.
（3）选取个不同的元素，有种方法，
要满足，则需取出元素，其余个元素是从小于的个元素中选出的，
所以，
因为，
所以
.
13．（2026·高二·重庆·阶段检测）在平面直角坐标系上的一只蚂蚁从原点出发，每次随机地向上下左右四个方向移动1个单位长度，记蚂蚁所到达的点为，且对任意的，均有，．现规定只要蚂蚁到达的点满足，则称蚂蚁成功了一次，设蚂蚁第次成功时所移动的总步数为，．
(1)求的概率；
(2)求随机变量的数学期望；
(3)求随机变量的数学期望；
参考公式：①若，则当时，；②对离散型随机变量，，有：．
【解析】（1）当点满足时，记其为，，1，2．
蚂蚁奇数次移动后必然到达点，之后有的概率到达点，有的概率到达点，
蚂蚁在或时，下一步必然到达．故．
（2）解法一：由题知，可取2，4，6，8，…，，…．且，
故而．
设，
于是，
则
于是，得．
解法二：蚂蚁在两次移动后，有的概率经过到达点，有的概率经过到达点，
于是
（3）解法一：则当时，蚂蚁第次到达所经历的步数可能为：
，，，…，，…
当蚂蚁通过步第次到达时，前面的步中，在奇数步中，必然到达，
偶数步中，有次到达，对应的概率为，最后2步移动以的概率回到．
于是，故
记，则，
于是
又由，有，
所以
又由也符合上式知，对于一切，有．
解法二：设初始位置为时第次到达时移动的总次数为，
设初始位置为时第次到达时移动的总次数为，
由题，初始位置为时第次到达时移动的总次数为，则当时，
有，
即
即得，又由有
即，又由得．
解法三：由题，有，
结合知，，于是．
解法四：将每两次移动视为一次操作，易知1次操作中，必然有1次到达，有1次到达或者，
即每次操作有的概率发生“到达”，有的概率不发生“到达”．于是为使事件“到达”发生次，
平均需要进行次操作，于是需要移动次，即．
14．（2026·湖南长沙·模拟预测）某班级开展一次卡片抽奖活动，在一个不透明的箱子中共有6张卡片，其中有4张普通卡片，2张稀有卡片，学生随机从箱子中取出一张卡片，如果取出普通卡片，则把它放回箱子中；如果取出稀有卡片，则该稀有卡片不再放回，并且另补一张普通卡片放到箱子中.重复上述过程次后，箱子中普通卡片的张数记作，的数学期望记为.
(1)求随机变量的分布列；
(2)设.
（ⅰ）用含的式子表示；
（ⅱ）证明：是等比数列，并求.
【解析】（1）根据题意，的可能取值为.
即二次抽卡均抽到普通卡片，，
即二次抽卡恰好抽到一普通一稀有卡片，，
即二次抽卡均抽到稀有卡片，，
所以的分布列为
4 5 6
（2）（ⅰ）设第次抽卡抽到稀有卡片为事件，
则，
.
.
（ⅱ）略
15．（2026·湖南株洲·模拟预测）某棋类游戏有不同规格的地图，规格为的地图共有个格子，编号为0，1，2，．．．，，如下图所示．
0 1 2 …
游戏规则如下：
①玩家首先选定地图规格，并获得2枚金币，棋子位于起点（0号格子）；
②玩家掷一枚质地均匀的骰子，向上点数不超过2时，棋子向前跳1格；否则，向前跳2格；如此重复操作直至游戏成功或失败；
③每当棋子落到非零偶数格时，就相应扣除1枚金币．当金币被扣光或棋子落到号格子时，游戏终止，视为失败，无奖励；当棋子落到号格子时，游戏终止，视为成功，获得奖励元．
(1)若选定规格为的地图，求游戏成功的概率；
(2)若选定规格为的地图，若进行两次求棋子落到号格子且游戏成功至少一次的概率；
(3)为使获得奖励的期望最大，玩家应选择何种规格的地图．
【解析】（1）由题意得，向前跳1格的概率为，向前跳2格的概率为，
游戏起点为偶数格0，成功终点为奇数格，
每次走1步会改变所在格子的奇偶性，走2步保持奇偶性不变，
由于起点到终点奇偶性改变了，因此整个过程中“走1步”的总次数必须是奇数次，
玩家初始有2枚金币，落入非零偶数格扣1枚，金币扣光即失败，
这意味着在到达之前，玩家最多只能落到1个非零偶数格，
设走1步的次数为，
情况一：当时，需要走次2步，总步数和为：，
若第1步走1步，后续全走2步，步序为：1，2，2，…，2，
经过的格子为：，
落到的非零偶数格数量为0，满足条件，
该路径概率为：，
若第1步走2步，第2步走1步，后续全走2步，
步序为：2，1，2，…，2，
经过的格子为：，
落到的非零偶数格仅有2号格子，数量为1，满足条件，
该路径概率为：，
若在更靠后的位置走1步（如步序为2，2，1，…），
则必定会经过2号和4号格子，扣除2枚金币导致失败，不满足条件，
故时，成功的概率为：，
情况二：当时需要走次2步，
总步数和为：，
这3次走1步会带来3次奇偶状态的改变：偶→奇，奇→偶，偶→奇，
中间那次“奇→偶”必然会导致玩家落到一个非零偶数格，消耗1枚金币，
为了不消耗第2枚金币，在这处于偶数格的状态下，
绝对不能再走2步（否则会落到下一个偶数格导致失败），
必须立即走1步回到奇数格状态，
同时，首步不能走2步
（否则直接消耗1金币，后续的“奇→偶”会消耗第2枚导致失败），
所以首步必须是走1步，
因此，合法的步序模式必须是：
第1步为1，随后是在若干个2之间插入一个连续的“1,1”组合，
即结构为：1，然后是个2，然后是1，1，
最后是个2（其中），
这种模式共有种排法（将连续的1,1看作一个整体，在个位置中选1个插入），
每种排法的概率均为：，
故时，成功的概率为：，
情况三：当时，前4次走1步会带来状态改变：偶→奇→偶→奇→偶，
玩家必定会经历至少2次从奇变偶的过程，
从而落到至少2个非零偶数格，金币被扣光，游戏必然提前失败，
综上所述，任意规格地图下游走成功的概率为通项公式，
，
将代入通项公式得到.
所以游戏成功的概率为.
（2）先求单次游戏中“棋子落到号格子且最终成功”的概率．
因为号格子是非零偶数格，棋子落到该格子时会扣除枚金币．
要想之后还能成功，在此之前不能落到其他非零偶数格．
因此路径只能是
也就是先跳格，然后跳次格，再连续跳两次格．
所以单次游戏中该事件发生的概率为
进行两次游戏且至少发生一次该事件的概率为
（3）由第（1）问，规格为的地图中单次游戏成功的概率为．
成功时获得奖励元，失败时奖励为，所以奖励的数学期望为
比较相邻两项，得
当时，，即．
因为为大于的正整数，所以当时，；当时，．
因此在时取得最大值，故玩家应选择规格为的地图．
16．（2026·高二·浙江台州·期中）高尔顿板是英国生物统计学家高尔顿设计用来研究随机现象的模型．在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃．将一个小球从顶端放入，小球下落的过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中．格子从左到右分别编号为，用表示小球最后落入格子的号码．
(1)求的分布列；
(2)小州同学在研究了高尔顿板后，想利用该图中的高尔顿板在学校社团文化节上进行盈利性“抽奖”活动．若2元可以玩一次高尔顿板游戏，小球掉入号格子得到的奖金为元，其中，你觉得小州同学能盈利吗？
【解析】（1）由题知，的取值为1，2，3，4，5，6，7．
，
，
，
，
则的分布列为：
1 2 3 4 5 6 7
P
（2）由（1）得，，
的分布列为：
Y 0 1 5 10
P
则，
小州同学能盈利．
17．（2026·高二·湖南·期中）如图为英国生物学家高尔顿设计的“高尔顿板”示意图，每一个黑点代表钉在板上的一颗钉子，下方有从左至右依次编号为的格子（此时钉子层数为）.当小球从板口下落时，它将碰到钉子并有的概率向左或向右滚下，继续碰至下一层钓子，依次类推落入底部格子.记小球落入格子的编号为.定义.
(1)直接写出时的分布列；
(2)证明：；
(3)改变格子个数（钉子层数相应改变），进行次实验，第且次实验中向格子最大编号为的高尔顿板中投入个小球，记所有实验中所有小球落入的格子编号之和为.已知无交集的独立事件的期望具有累加性，设每次实验 每次投球相互独立，求关于的表达式.
【解析】（1）时的分布列为：
1 2 3
（2）由题得，
倒序有，两式相加有
由于，依次类推，上式可化简为，
由组合数性质，有，故有，化简得，得证.
（3）设向格子最大编号为的高尔顿板中投入的一个球落入格子的编号为，
由于无交集的独立事件的期望具有累加性，则有，
其中，由（2）有.
即，
则，
两式相减得，
化简得.
18．（2026·高三·浙江杭州·期末）在坐标平面内，点的初始位置为若某一时刻点位于，则经过秒，点将做出以下四种运动之一：
①以的概率，点移动到点关于轴的对称点处；
②以的概率，点移动到点关于轴的对称点处；
③以的概率，点移动到点关于直线的对称点处；
④以的概率，点移动到点关于直线的对称点处
(1)直接写出在运动过程中，点可能经过的所有点的坐标；
(2)设（）为正整数，记事件为“秒后点移动到点”，事件为“秒后点移动到点”
（i）证明：；
（ii）求（用表示）.
【解析】（1）点所有可能经过的点有：
；
（2）记分别表示秒后点移动到相应点的概率，
即对应对应对应对应，
对应对应对应对应
则
（i）由全概率公式，有：
，
故，即，证毕；
（ii）由（2）同理可得：，故结合全概率公式，有：
，
一方面，（1）+（3），（2）+（4），有：，
即：，
又，故，
即当为奇数时，，
另一方面，（1）-（3），（2）-（4），有：，
故，
又，
故当为偶数时，，
此时，，
综上所述：.
19．（2026·四川成都·模拟预测）在平面直角坐标系中，一个质点在随机外力的作用下，从原点出发，每秒等可能地向左、向右、向上或向下移动一个单位．
(1)若质点只能在x轴上移动，记第n秒末质点回到原点的概率为，求，；
(2)从原点出发，每秒等可能地向左、向右、向上或向下移动一个单位．
①设质点在第2秒末移动到点，记的取值为随机变量X，求X的分布列和数学期望；
②记第n秒末质点回到曲线上的概率为，求．
参考公式：
【解析】（1）若质点只能在x轴上移动，每秒有2种可能，4秒移动方式共有种，
第4秒末质点回到原点，则必定向左移动2步，向右移动2步，有种，
故；
第秒末质点回到原点，则必定向左移动n步，向右移动n步，故.
（2）①因在1秒末，质点会等可能地出现在，，，四点处，
故在第2秒末可能运动到点，，，各两种情形，
，，，各一种情形，有4种情形，共计16种情形，
随机变量X表示的取值，故X的可能取值为0，2，4，
对应的概率分别为：，，，
故X的分布列为：
X 0 2 4
P
期望为.
②第秒末质点要回到原点，则必定向左移动k步，向右移动k步，向上移动步，
向下移动步．
设第秒末质点回到原点的概率为，则
.
记第n秒末质点的位置为，定义，，
则，，
易知与取的概率均为．
又因为，故或，
则，
又易知，，
所以.
20．（2026·河南·模拟预测）如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点出发，每次向左或向右移动一个单位，每次向右移动的概率为（）．

(1)若
①求质点移动6次后回到原点的概率；
②在质点第1次向右移动的条件下，求质点移动4次后回到原点的概率；
(2)若移动3次后，质点最终所在位置的坐标为，若随机变量的期望，求的取值范围．
【解析】（1）①质点运动6次回到原点，则必定右移3次，左移3次，
则可看作质点作6次运动，表示向右移动的次数，则，
则质点回到原点的概率为．
②设质点第一次向右移动为事件，则；
质点移动4次后回到原点为事件，质点运动4次回到原点，质点第1次向右移动，则剩下3次必定右移1次，左移2次，则；
∴在质点第1次向右移动的条件下，质点移动4次后回到原点0的概率为：．
（2）方法1：
所有可能的取值为，，1，3，
，
，
，
，
由 ，
解得，
又，故的取值范围为．
方法2：
设在移动3次中，向右移动的次数为，则， ，
∵向右移动的次数为，则向左移动次，
∴质点最终所在位置的坐标为，
，
即随机变量的数学期望为 ．解得，
又，故的取值范围为．中小学教育资源及组卷应用平台
第10讲 实际情境概率综合建模问题
目录
01 题型归纳目录 2
02 知识点梳理 3
知识点1：方法总结 3
03 重难点题型 4
题型一：概率与期望的决策应用问题 4
题型二：概率与期望的最值求解问题 6
题型三：顺序排位类概率计算问题 8
题型四：比赛赛制类概率应用问题 9
题型五：概率递推模型的构建与应用问题 10
题型六：期望递推关系的求解问题 12
题型七：高尔顿板问题 13
题型八：随机游走模型 16
04 过关检测 18
知识点1：方法总结
解决概率综合问题，核心遵循 “建模 — 拆解 — 运算 — 验证” 思路。先精准审题，区分放回 / 不放回、独立 / 不独立试验，判定对应两点、超几何、二项或正态分布，匹配对应公式。赛制、排位类问题按事件逻辑分步拆解，用分类加法、分步乘法原理计算。递推类问题找准状态关联，建立概率或期望的递推式求解。决策类问题以期望、方差为依据，结合场景判断最优方案。解题后验证结果合理性，规避分类不全、模型误判等易错点。
题型一：概率与期望的决策应用问题
例1．（2026·高三·辽宁·期中）一款热销的电子产品是由两种零配件（零配件1和零配件2）组装而成．只要其中一种零配件不合格，则组装出的成品一定不合格；如果两种零配件均合格，组装出的成品也不一定合格．对于不合格的成品，只能报废．已知两种零配件和成品的次品率如表所示（单价和成本单位为元）．
零配件1 零配件2 成品 不合格品
次品率 购买单价 检测成本 次品率 购买单价 检测成本 两种零配件均合格时的次品率 装配成本 检测成本 市场售价 退货运费
4元 2元 18元 3元 6元 3元 56元 6元
为争取收益最大化，企业需要做出决策：①对零配件（零配件1或零配件2）是否进行检测．如果对某种零配件不检测，这种零配件将直接进入到组装环节；否则将检测出的不合格零配件丢弃．如果其中一个零配件检测为合格品，另一个为不合格品，则不能组装为成品，这种情况中的合格品会用于下一套成品组装，因此相关费用此处不予考虑，只考虑不合格品的相关支出即可．②对组装好的每一件成品是否进行检测．如果不检测，组装后的成品直接进入市场；否则只有检测合格的成品进入市场，对检测出的不合格成品直接丢弃．对用户购买的不合格品，企业将无条件予以退货，并承担运费，且将退回的不合格品丢弃．
(1)如果不进行任何检测，求生产出的成品中的次品率；
(2)如果全部不检测，求每个单件产品的预期收益；
(3)如果对零配件1、零配件2和成品全部进行检测，求每个单件产品的企业预期收益．
例2．（2026·全国·模拟预测）在某项体育比赛中，从第2局开始，选手每次对局获胜的概率受到前一局的影响．现甲、乙两位运动员对局，第一局甲胜的概率为；若前一局甲负，则下一局甲胜的概率是；若前一局甲胜，则下一局甲胜的概率为．比赛没有平局．
(1)求甲在第3局中获胜的概率；
(2)现设置300万元奖金，若甲在前3局中已经胜了2局，如果停止比赛，那么甲拿走奖金的，如果再继续比赛一局，第4局甲获胜，甲拿走奖金的，第4局甲失败，甲拿走奖金的，请问甲将如何决策，以期拿走更多的奖金．
例3．（2026·高二·甘肃临夏·期末）某种药材的种植加工过程，受天气、施肥、管理等因素影响，农民按照药材色泽、大小等将药材分为上等药材、中等药材、普通药材，并分类装箱，已知去年生产了8箱药材，其中上等药材2箱，中等药材2箱，其他为普通药材.
(1)若在去年生产的药材中随机抽取4箱，设X为上等药材的箱数，求X的分布列和数学期望；
(2)已知每箱药材的利润如表：
等级 上等药材 中等药材 普通药材
利润（元/箱） 4000 2000 -1200
今年市场需求增加，某农户计划增加产量，且生产的上等药材、中等药材、普通药材所占比例不变，但需要的人力成本增加，每增加m箱，成本相应增加元，假设你为该农户决策，你觉得目前应不应该增加产量？如果需要增加产量，增加多少箱最好？如果不需要增加产量，请说明理由.
变式1．（2026·高二·北京通州·期末）某农产品经销商计划分别在甲、乙两个市场销售某种农产品（两个市场的销售互不影响），为了了解该种农产品的销售情况，现分别调查了该农产品在甲、乙两个市场过去10个销售周期内的销售情况，得下表：
销售量 销售周期个数 市场 3吨 4吨 5吨
甲 3 4 3
乙 2 5 3
(1)从过去10个销售周期中随机抽取一个销售周期，求甲市场销售量为4吨的概率；
(2)以市场销售量的频率代替销售量的概率．设（单位：吨）表示下个销售周期两个市场的总销售量，求随机变量概率分布列；
(3)在（2）的条件下，设该经销商计划在下个销售周期购进吨该产品，在甲、乙两个市场同时销售，已知该产品每售出1吨获利1000元，未售出的产品降价处理，每吨亏损200元．以销售利润的期望作为决策的依据，判断与应选用哪一个．
题型二：概率与期望的最值求解问题
例4．（2026·湖南长沙·三模）某种植户对一块地的个坑进行播种，每个坑播种3粒种子，每粒种子发芽的概率均为且每粒种子是否发芽相互独立，对每一个坑而言，如果至少有两粒种子发芽，则不需要进行补播种，否则要补播种.
(1)当时，用表示要补播种的坑的个数，求X的分布列与数学期望.
(2)当取何值时，有个坑要补播种的概率最大 最大概率为多少
例5．（2026·高二·江苏镇江·期中）近年来，全球数字化进程持续加速，人工智能（Artificial Intelligence，简称AI）已然成为科技变革的核心驱动力，有媒体称DeepSeek开启了我国AI新纪元．某地区随机调查了经常使用某AI工具的360名用户，统计他们的年龄，得到如下的统计表：
第一组 第二组 第三组 第四组 第五组
年龄
人数 30 150 90 60 30
(1)利用统计表中的数据试估计该AI工具用户的平均年龄；
(2)已知用分层随机抽样的方法，从上面360名用户中随机抽取了12人，现从这12人中随机抽取4人，记抽到第一组的人数为，第二组的人数为．求的概率；
(3)已知该AI工具对某20个问题能准确答对其中的（，）个，其余个问题均无法答对．若从这20个问题中随机抽取10个对该工具提问，记事件为“抽取的10个问题中，AI恰好答对3个问题”，若对于不同的，要使概率最大，求此时的值．
例6．（2026·高二·黑龙江绥化·期中）设某批产品中，编号为1，2，3的三个厂生产的产品分别占、、，各厂产品的次品率分别为、、．现从中任取一件，
(1)求取到的是次品的概率；
(2)经检验发现取到的为次品，问该次品来自哪个厂的可能性最大．
变式2．（2026·高三·广西·期末）为促进消费，某电商平台和生产商在本周联合推出“有奖闯关”活动．活动规则如下：消费者成功闯过第一关获得基础券（获得元基础券的概率为，获得元基础券的概率为）．闯过第一关后，可进行第二关闯关，成功闯过第二关后可获得进阶券元，且这两种优惠券可叠加使用抵扣支付金额．已知消费者闯过第一关的概率为，闯过第二关的概率为．某生产商将商品定价元，成本元；优惠券成本由生产商承担基础券面额的，进阶券面额的．
(1)若，，记消费者购买一件该商品的实际支付金额为（单位：元），求的分布列和数学期望；
(2)设所有消费者均闯过第一关获得了基础券，推出活动后商品购买概率为，记生产商销售一件该商品的期望利润为（单位：元）．（期望利润购买概率（支付金额的期望商品成本）优惠券成本的期望）
（i）求关于的函数表达式；
（ii）证明：在内存在唯一极大值点，并求当为何值时，商家期望利润最大？最大期望利润是多少 （结果保留位小数）
题型三：顺序排位类概率计算问题
例7．（2026·高三·湖南·阶段检测）2026年2月，雅礼中学举办了“情系雅礼蓝”的活动，来自全国高校的雅礼校友回到母校开展线下宣讲，介绍各自大学的专业、录取政策、校园生活等.宣讲活动按时间顺序分为四场，每场均安排了10所不同的大学，各场的大学均不相同.
(1)若甲、乙、丙三名同学均打算从第二场的10所大学中选择一所来了解，已知甲、乙所选的大学不同，则丙与甲、乙的选择均不同的概率是多少
(2)若甲、乙、丙三名同学均打算从四场宣讲中选择两场参加，设共有个人参加了第一场宣讲活动，求的分布列和数学期望.
例8．（2026·高三·浙江温州·期末）有和两道谜语，张某猜对谜语的概率为0.8，猜对得奖金10元；猜对谜语的概率为0.5，猜对得奖金20元．若规定只有猜对第一道谜语的情况下，才有资格猜第二道，且猜谜语的顺序由张某选择．
(1)求张某猜对两道谜语的概率；
(2)张某该选择先猜哪一道？请说明理由．
例9．（2026·高二·江苏盐城·阶段检测）有和两道谜语，张某猜对谜语的概率为，猜对得奖金元；猜对谜语的概率为，猜对得奖金元．若规定第一道谜语猜错没有奖金，只有猜对第一道谜语的情况下，才有资格猜第二道，且猜谜语的顺序由张某选择．
(1)求张某猜对两道谜语的概率；
(2)张某选择先猜哪一道谜语，使获得奖金的数学期望最大？（张某先猜获得的奖金为元，先猜获得奖金为元）
变式3．（2026·高二·湖北咸宁·期末）现有枚质地不同的游戏币，，，，向上抛出游戏而后，落下时正面朝上的概率为.甲、乙两人用这枚游戏币玩游戏.
(1)甲将游戏币向上抛出10次，用表示落下时正面朝上的次数，求的期望，并求出当为何值时，最大；
(2)甲将游戏币，向上抛出，用表示落下时正面朝上的游戏币的个数，求的分布列；
(3)将这枚游戏币按，，，的顺序依次向上抛出，规定若落下时正面朝上的个数为奇数，则甲获胜，否则乙获胜，请判断这个游戏规则是否公平，并说明理由.
题型四：比赛赛制类概率应用问题
例10．（2026·甘肃定西·模拟预测）甲 乙两位同学进行一场乒乓球比赛，约定采用五局三胜制，当一人赢得三局胜利时，该同学获胜，比赛结束，在每局比赛中，都不会出现平局，且甲同学先发球该局甲获胜的概率为，乙同学先发球该局甲获胜的概率为．经抽签，第一局甲先发球，第二局乙先发球，依次轮流发球．
(1)求甲连胜三局的概率．
(2)求需要进行第五局比赛的概率．
(3)比赛结束时，设甲获胜局数为X，求X的分布列和数学期望．
例11．（2026·高二·湖南长沙·期中）雅礼中学某社团组织知识问答比赛，每名参赛选手都赋予6分的初始积分，每答对一题加1分，每答错一题减1分，已知小王每道题答对的概率为，答错的概率为，且每道题答对与否互不影响.
(1)求小王答3道题后积分小于6的概率；
(2)设小王答4道题后积分为，求；
(3)若小王一直答题，直到积分为0或12时停止，记小王的积分为时，最终积分为12的概率为，请直接写出和的值，并求出的值.
例12．（2026·安徽阜阳·二模）随着2025年世界羽毛球锦标赛在法国巴黎举行，国内掀起了新一波的羽毛球热，激起了民众参加羽毛球运动的热情.某大学羽毛球协会组织了羽毛球双人比赛，已知有甲、乙、丙等8支球队参赛，现将这8支球队随机分为A，B两组，每组4支球队.
(1)求甲、乙、丙恰好分在同一组的概率；
(2)在甲、乙、丙中至少有2支球队分在A组的条件下，求甲、乙、丙均分在A组的概率.
变式4．（2026·高三·山西·阶段检测）甲 乙两位同学进行纸飞机比赛，设各局比赛的结果相互独立，且每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为.比赛规则如下：三局两胜制指有一方获胜两局，比赛结束；四局三胜制指有一方获胜三局，比赛结束.
(1)若，比赛采用三局两胜制，求甲获胜的概率；
(2)若，甲、乙进行了局比赛，表示甲获胜的局数，当且仅当时，取得最大值，其中，求满足条件的的值.
题型五：概率递推模型的构建与应用问题
例13．（2026·高二·江苏泰州·阶段检测）甲、乙、丙、丁四人进行台球游戏，约定游戏规则如下：
①每轮游戏均将四人分成两组，进行一对一对打；
②第一轮甲乙对打，丙丁对打；
③每轮游戏结束后，两名胜者组成一组在下一轮对打，两名负者组成一组在下一轮对打；
④每组比赛均无平局出现，且每组比赛结果相互独立.甲胜乙、丙胜丁的概率均为，甲胜丙、甲胜丁、乙胜丙、乙胜丁的概率均为.
(1)在前三轮游戏中，甲乙对打的次数为，求的数学期望；
(2)求在第轮游戏中，甲乙对打的概率；
(3)求在第轮游戏中，甲获胜的概率.
例14．（2026·甘肃白银·三模）某太空探测器配备两套通信系统：激光通信模组与射频通信模组．每次向地球发送数据包时，若当前使用的模组发送成功，则下一次继续使用该模组，若发送失败，则下一次自动切换至另一模组，每个模组的工作相互独立．已知激光模组发送成功的概率为，射频模组发送成功的概率为．发送成功记1分，失败记0分，第1次发送使用激光模组．
(1)记为前2次发送的总得分，求．
(2)设为第次发送使用激光模组的概率．
（ⅰ）求数列的通项公式；
（ⅱ）设，求数列的前项和．
例15．（2026·福建南平·二模）在棱长为个单位的正四面体中，一个质点从顶点出发，每次等可能地沿着棱移动个单位，移动的方向是随机的.
(1)若质点移动了次，记其经过点的次数为，求的分布列及数学期望；
(2)若质点移动了次，质点回到点的概率为.
（ⅰ）求数列的通项公式；
（ⅱ）设，证明：.
变式5．（2026·安徽·模拟预测）某智能温室大棚采用自动控制系统调节遮阳帘．每天系统会根据前一天的日照强度选择“高透光模式”（记为状态A）或“低透光模式”（记为状态B）．统计表明：若某天为高透光模式，则次日仍保持高透光模式的概率为0.2；若某天为低透光模式，则次日转为高透光模式的概率为0.8．假设第1天系统处于高透光模式．设第n天系统处于高透光模式的概率为．
(1)求和的值；
(2)求数列的通项公式；
(3)为防止作物光照不足，技术人员设置了自动补光机制：若连续两天出现低透光模式，则立即强制启动补光灯．记X为前3天内强制启动补光灯的次数（即连续两天为低透光模式的事件发生次数，若第1、2天为低透光模式，第2、3天也为低透光模式，则计为2次），求X的分布列和数学期望．
题型六：期望递推关系的求解问题
例16．（2026·高二·湖北·阶段检测）重庆张雪机车创始人张雪，从草根摩托爱好者成长为国产机车领军人物．2013年，他怀揣2万元积蓄创业．2024年创立自主品牌，抵押身家深耕自研技术．2026年，其自主研发的820RR车型在世界顶级摩托车赛事中夺冠，打破欧美日品牌长期垄断，让国产机车首次站上国际顶级赛场领奖台．张雪机车推出新款820RR后，某车队为了对刚购入的A，B两种型号机车的操纵稳定性进行检测，设计了如下测试：由某种型号的机车每次独立执行一个任务，若该型号机车试验成功，则下一轮继续使用该型号机车进行试验；若试验失败，则下一轮更换另外一种型号的机车进行试验．已知A型号机车试验成功的概率为，失败的概率为；B型号机车试验成功的概率为，失败的概率为．每次试验成功记1分，失败记0分，且第1轮使用A型号机车进行试验．
(1)记为前3轮试验的总得分，求的数学期望；
(2)设为第轮试验使用A型号机车的概率．
①求数列的通项公式；
②记为前轮试验的总得分期望，求关于的表达式．（若第轮得分期望记为(,2…n)，则）
例17．（2026·高二·贵州黔南·阶段检测）不透明的盒子中装有除颜色不同外其他均相同的4个红球和3个白球．按如下规则进行操作：从盒子中随机摸出1个球，若摸到红球，则将该球放回盒子中并摇匀；若摸到白球，则将该球取出不再放回盒子中，同时补1个红球放入盒子中并摇匀．记操作n次后，盒子中红球的个数为，操作了n次，摸到白球的次数为．
(1)求．
(2)求．
(3)假若规则修改如下：若摸到白球，则将该球取出不再放回盒子中，同时补个红球放入盒子中并摇匀，其余规则不变．记操作n次后，盒子中红球的个数为，若，，求的取值范围．
参考公式：对任意X，Y，恒有．
例18．（2026·山东淄博·三模）盒中有4个黑球2个红球，每个球除颜色外均相同.甲、乙进行摸球游戏，两人轮流从盒中摸球，每次由其中一人随机摸出2个球，若有黑球，则黑球放回盒中；若有红球，则红球不再放回盒中.直至盒中红球已被全部取出，游戏结束.第一次摸球从甲开始，记为第n次摸球后游戏结束的概率.
(1)求，；
(2)求；
(3)若摸球次，游戏恰好结束，将此情况下乙摸到的红球个数记为随机变量，证明：.
变式6．（2026·湖北武汉·模拟预测）某商场举行回馈顾客的抽奖游戏．箱子里有10张奖券，其中4张“金券”，6张“银券”．每张“金券”面值均为100元；每张“银券”面值不同，分别为元，元，…，元．顾客从箱中不放回地依次抽取奖券，直至抽到3张“金券”时停止，不可中途退出游戏．游戏停止时，顾客抽到的所有奖券的面值之和作为顾客的奖金．现有一顾客参加了此次抽奖游戏．
(1)求游戏停止时该顾客共抽取5次的概率；
(2)求该顾客的奖金不低于元的概率；
(3)已知随机变量的期望具有线性可加性，即对于随机变量X，Y，有，求该顾客的奖金的期望．
题型七：高尔顿板问题
例19．（2026·湖北襄阳·模拟预测）如图，某人设计了一个类似于高尔顿板的游戏：将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的中间入口处，小球将自由下落，小球在下落的过程中，将次遇到黑色障碍物，已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是，最后落入袋或袋中.一次游戏中小球落入袋记分，落入袋记分，游戏可以重复进行.游戏过程中累计得分的概率为.
(1)求、、；
(2)求出的通项公式.
例20．（2026·高三·全国·专题练习）高尔顿板是英国生物统计学家高尔顿设计用来研究随机现象的模型，在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃.将小球从顶端放入，小球下落的过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中.如图所示的高尔顿板有7层小木块，小球从通道口落下，第一次与第2层中间的小木块碰撞，以的概率向左或向右滚下，依次经过6次与小木块碰撞，最后掉入编号为1，2，…，7的球槽内. 如图进行一次高尔顿板试验，求小球落入6号球槽的概率.
例21．（2026·高三·江苏苏州·期末）如图是一块高尔顿板的示意图，在一块木板上钉着若干行相互平行但相互错开的圆柱型小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃．将小球从顶端放入，小球下落的过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中．当高尔顿板共有行小木钉时，第行的空隙从左到右分别编号为0，1，2，…，（），底部格子从左到右分别编号为0，1，2，…，，用表示小球最后落入格子的号码．
(1)若，求小球在第3行落入编号为2的空隙的条件下，最后落入编号为5的格子的概率；
(2)记的数学期望为，记．
①设数列的前项和为，求证：；
②设与最接近的整数为，求数列的前项和．
变式7．（2026·高二·河南新乡·阶段检测）高尔顿板又称豆机、梅花机等，是英国生物统计学家高尔顿设计用来研究随机现象的模型．如图所示的高尔顿板为一块木板自上而下钉着6层圆柱形小木块，最顶层有2个小木块，以下各层小木块的个数依次递增，各层小木块互相平行但相互错开，小木块之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块透明玻璃．让小球从高尔顿板上方的通道口落下，小球在下落过程中与层层小木块碰撞，且等可能向左或者向右滚下，最后落入高尔顿板下方从左至右编号为1，2，…，6的球槽内．

(1)某商店将该高尔顿板改良成游戏机，针对某商品推出促销活动．凡是入店购买该商品一件，就可以获得一次游戏机会．若小球落入号球槽，该商品可立减元，其中．若该商品的成本价是10元，从期望的角度考虑，为保证该商品总体能盈利，求该商品的最低定价．（结果取整数）
(2)将79个小球依次从高尔顿板上方的通道口落下，试问3号球槽中落入多少个小球的概率最大？
附：设随机变量，则的分布列为，．
．
题型八：随机游走模型
例22．（2026·山东·模拟预测）在棱长为1个单位的正方体中，一个质点从顶点出发，每隔1秒等可能地沿着棱移动1个单位，移动的方向是随机的．设第秒后，质点回到点的概率为．
(1)求和；
(2)设第秒后，质点移动到点的概率为，移动到点的概率为，移动到点的概率为．
（i）证明：存在常数，使得；
（ii）记的前项和为，证明：存在常数，使得．
例23．（2026·高三·江苏·阶段检测）如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点出发，每次等可能地向左或向右移动一个单位.
(1)移动4次后，质点最终所在的位置的坐标为多少的概率最大？
(2)若移动次后，质点最终所在位置的坐标为，求的数学期望与方差.
例24．（2026·高一·全国·专题练习）已知正四面体顶点处有一质点，点每次会随机地沿一条棱向相邻的某个顶点移动，且向每个顶点移动的概率相同．从一个顶点沿一条棱移动到相邻顶点称为移动一次．若质点的初始位置位于顶点A处，记点移动n次后仍在底面上的概率为．
(1)求的值．
(2)求证：数列是等比数列，并求的表达式．
变式8．（2026·江西南昌·模拟预测）在平面直角坐标系中，点从坐标原点出发，进行次移动，每次移动以下两种方式等可能随机选择一种执行：方式①：将当前点的横坐标加，纵坐标不变；方式②：将当前点的横坐标、纵坐标都加.记第次移动后，点的位置为 （）.
(1)记点到直线的距离为，求随机变量的数学期望.
(2)求点落在区域 内的概率；
(3)若，记事件 ，求事件发生的概率 .
1．（2026·高二·广东佛山·阶段检测）某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰，在购买机器时，可以一次性额外购买几次维修服务，每次维修服务费用300元，另外，实际维修一次还需向维修人员支付小费，小费每次60元．在机器使用期间，如果维修次数超过购机时购买的维修服务次数，则每维修一次需支付维修费用720元，无需支付小费．现需决策在购买机器时应同时一次性购买几次维修服务，根据大数据统计显示，每台机器在三年使用期内的维修次数可能是4次，5次或6次，其概率分别是，，．记X表示2台机器在三年使用期内的维修次数，n表示购买2台机器时，一次性购买的维修服务次数．
(1)求X的分布列；
(2)以机器维修所需费用的期望值为决策依据，在和之中选取其一，应选用哪个？
2．（2026·河北保定·二模）某农家乐园为增加客流量，计划在五一期间举行农产品的团购活动，每位参与团购且购买金额不低于100元的顾客均可以参加抽奖活动.抽奖方案如下：开始时箱子中放有除颜色外完全相同的4个红球与12个白球，每位参与抽奖的顾客均可抽取2次，每次从箱子中随机取1个球，第1次顾客从箱子中随机取出1个球，确定颜色后放回箱子，同时往箱子中放入2个与第1次取出的球颜色相同的球，然后进行第2次抽取.已知顾客每次取出白球没有奖励，取出红球奖励20元.
(1)求顾客第2次取出红球的概率.
(2)记每位参与抽奖的顾客获得奖励的总金额为X元，求E(X).
(3)该农家乐园计划增加一种抽奖方案，此方案要求参与抽奖的顾客通过扫描二维码进入小程序回答问题，每位顾客最少回答 2个问题，最多回答 3个问题，若前 2个问题至少回答正确 1个，则不再回答第 3个问题，若前2个问题都回答错误，则需回答第 3个问题，且第 1个问题回答正确奖励 6元，第 2个和第3个问题回答正确均奖励 12元.已知顾客甲正确回答这 3个问题的概率依次为 且这3个问题回答正确与否相互独立.为使顾客甲获得奖励的总金额的数学期望最大，顾客甲应该选择原抽奖方案还是新增抽奖方案 请说明理由.
3．（2026·北京朝阳·二模）2026年春季，北方进入花粉过敏高发期．某市疾控中心针对该市青少年春季花粉过敏情况开展专项调查．现从该市青少年中随机抽取2000人作为样本，统计样本中不同过敏程度的人数，得到下表：
过敏程度 无过敏 轻度过敏 中度过敏 重度过敏 极重度过敏
城区 220 180 150 50
郊区 500 120 80 70 30
用频率估计概率．
(1)从该市青少年中随机抽取一人，估计此人春季花粉“无过敏”的概率；
(2)从该市城区和郊区的青少年中各随机抽取2人，估计抽到的青少年中恰有一人春季花粉“无过敏”的概率；
(3)该市疾控中心规定过敏程度评分如下表：
过敏程度 无过敏 轻度过敏 中度过敏 重度过敏 极重度过敏
过敏程度评分 0 1 2 3 4
该市疾控中心对该市A、B两个地区同步开展调查，已知A地区与B地区青少年人数之比为3：2，地区青少年的过敏程度平均评分为，地区青少年的过敏程度平均评分为0.6．疾控中心对这两个地区的青少年开展专项过敏防护干预，干预后A地区青少年的过敏程度平均评分降低了地区青少年的过敏程度平均评分不变．记为干预后这两个地区青少年的过敏程度平均评分．若干预后（该市青少年的过敏程度平均评分），直接写出的最小正整数值．（结论不要求证明）
4．（2026·高二·江苏无锡·期中）一个猜谜语活动中有A和B两道谜语，小明猜对谜语A的概率为，猜对获得奖金10元，猜对谜语B的概率为，猜对获得奖金20元，猜不出不给奖金，小明是否猜对两道谜语相互独立.
(1)设事件“小明恰好猜对一道谜语”，求事件M发生的概率；
(2)如果按照如下规则猜谜：先选一道猜测，只有在猜对的情况下，才有资格猜下一道．
（i）若猜谜语顺序由小明选择，小明应该先猜哪一道呢；
（ii）在（i）顺序下，小明可以花元购买提示机会，购买一次对两道谜语都生效，提示后小明猜对两道谜语的概率均会提高个百分点()，问、满足什么关系，小明才值得购买提示（购买后收益期望减去元大于购买前收益期望）．
5．（2026·高三·北京·阶段检测）某校举办知识竞赛，已知学生甲是否做对每个题目相互独立，做对三道题目的概率以及做对时获得相应的奖金如表所示.
题目 A
做对的概率
获得的奖金/元 20 40 80
规则如下：按照的顺序做题，只有做对当前题目才有资格做下一题.
[注：甲最终获得的奖金为答对的题目相对应的奖金总和.]
(1)求甲没有获得奖金的概率；
(2)求甲最终获得的奖金的分布列及期望；
(3)如果改变做题的顺序，最终获得的奖金期望是否相同？如果不同，你认为哪个顺序最终获得的奖金期望最大？（不需要具体计算过程，只需给出判断）
6．（2026·河南开封·模拟预测）甲、乙两支排球队进行一场比赛，比赛采取5局3胜制，每局比赛甲获胜的概率均为，比赛没有平局，且每局比赛的结果相互独立．
(1)求前2局比赛甲、乙两队各胜一局的概率；
(2)在甲获得比赛胜利的条件下，求甲在第3局获胜的概率；
(3)记比赛结束时所进行的局数为，求的分布列及数学期望．
7．（2026·江西宜春·模拟预测）某中学航天科技小组利用假期进行一项新型火箭模型的发射试验，根据以往数据可知，单次发射成功的概率为，失败的概率为，发射结果相互独立．计划发射多次．
(1)若某次发射失败，则整个试验终止；若发射成功，则继续发射且至多发射4次．记发射的次数为，求的分布列与期望；
(2)若在一次发射中发射失败，能够成功进行现场修复并确保后续发射不受此次失败影响的概率为（即修复后，系统恢复到正常发射状态）．修复失败的概率为．考虑一个简化的连续发射模型，从第1次发射开始．若发射成功，则继续进行下一次发射；若发射失败但成功修复．则继续进行下一次发射；若发射失败且修复失败，则试验终止；此外，若连续2次发射失败，试验也终止．
①求至少发射3次的概率；
②定义为第次发射成功的概率，是否存在实数使得数列为等比数列？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
8．（2026·陕西咸阳·一模）某无人机执行飞行挑战任务，规则如下：挑战按阶段依次进行，若连续两个阶段任务都执行失败，则挑战结束；每一个阶段系统随机分配一个低空任务或高空任务，分配到低空任务的概率为，分配到高空任务的概率为.已知该无人机成功完成低空任务与高空任务的概率分别为和，且各阶段任务完成情况相互独立.
(1)求该无人机在一个阶段中成功完成任务的概率；
(2)记为该无人机在执行完第个阶段任务后，整个挑战还未结束的概率.
①求，；
②证明：数列单调递减.若对系统分配任务进行设置，在执行完第个阶段任务后，当时，系统停止分配任务，求该无人机最多能挑战多少个阶段的任务
9．（2026·江西宜春·一模）在平面直角坐标系中，动点M从原点出发，每秒向左、向右、向上或向下移动一个单位长度，且向四个方向移动的概率均为.例如在1秒末，点M会等可能地出现在，，，四点处.
(1)已知点M在第2秒末没有回到原点，求此时点M位于坐标轴上的概率；
(2)记第n秒末点M回到原点的概率为.
（i）求，并利用公式求；
（ii）令，记为数列的前n项和，若对任意实数，存在，使得，则称点M是常返的.利用公式：，证明：点M是常返的.
10．（2026·高二·浙江宁波·期中）马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，为状态空间中经过从一个状态到另一个状态的转换的随机过程.该过程要求具备“无记忆”的性质：下一状态的概率分布只能由当前状态决定，在时间序列中它前面的事件均与之无关甲、乙两口袋中各装有1个黑球和2个白球，现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋重复进行次这样的操作，记口袋甲中黑球的个数为，其中恰有1个黑球的概率为，恰有2个黑球的概率为.
(1)求，，的值；
(2)求的值（用n表示）；
(3)求的数学期望.
11．（2026·湖南益阳·三模）某校班主任利用周末时间对该班级2019年最后一次月考的语文作文分数进行了一次统计，发现分数都位于20﹣55之间，现将所有分数情况分为[20，25），[25，30），[30，35），[35，40），[40，45），[45，50），[50，55）七组，其频率分布直方图如图所示，已知m＝2n，[30，35）这组的参加者是12人．
（1）根据此频率分布直方图求图中m，n的值，并求该班级这次月考作文分数的中位数；
（2）组织者从[35，40）这组的参加者（其中共有5名女学生，其余为男学生）中随机选出1人（为公平起见，把每个人编号，通过号码确定），如果选到男学生，则该学生留在本组，如果选到女生，则该女生交换一个男生到该组中去（已知本班男生人数多于女生人数），重复上述过程n次后，该组中的男生人数为Xn．
①求随机变量X1的概率分布及数学期望E（X1）；
②求随机变量Xn的数学期望E（Xn）关于n的表达式．
12．（2026·江苏苏州·三模）袋子里有编号的个小球，除编号外完全一样，现随机从中取出个，记取出个小球的最大编号为.
(1)当，时，求的分布列；
(2)当时，求；
(3)求.
13．（2026·高二·重庆·阶段检测）在平面直角坐标系上的一只蚂蚁从原点出发，每次随机地向上下左右四个方向移动1个单位长度，记蚂蚁所到达的点为，且对任意的，均有，．现规定只要蚂蚁到达的点满足，则称蚂蚁成功了一次，设蚂蚁第次成功时所移动的总步数为，．
(1)求的概率；
(2)求随机变量的数学期望；
(3)求随机变量的数学期望；
参考公式：①若，则当时，；②对离散型随机变量，，有：．
14．（2026·湖南长沙·模拟预测）某班级开展一次卡片抽奖活动，在一个不透明的箱子中共有6张卡片，其中有4张普通卡片，2张稀有卡片，学生随机从箱子中取出一张卡片，如果取出普通卡片，则把它放回箱子中；如果取出稀有卡片，则该稀有卡片不再放回，并且另补一张普通卡片放到箱子中.重复上述过程次后，箱子中普通卡片的张数记作，的数学期望记为.
(1)求随机变量的分布列；
(2)设.
（ⅰ）用含的式子表示；
（ⅱ）证明：是等比数列，并求.
15．（2026·湖南株洲·模拟预测）某棋类游戏有不同规格的地图，规格为的地图共有个格子，编号为0，1，2，．．．，，如下图所示．
0 1 2 …
游戏规则如下：
①玩家首先选定地图规格，并获得2枚金币，棋子位于起点（0号格子）；
②玩家掷一枚质地均匀的骰子，向上点数不超过2时，棋子向前跳1格；否则，向前跳2格；如此重复操作直至游戏成功或失败；
③每当棋子落到非零偶数格时，就相应扣除1枚金币．当金币被扣光或棋子落到号格子时，游戏终止，视为失败，无奖励；当棋子落到号格子时，游戏终止，视为成功，获得奖励元．
(1)若选定规格为的地图，求游戏成功的概率；
(2)若选定规格为的地图，若进行两次求棋子落到号格子且游戏成功至少一次的概率；
(3)为使获得奖励的期望最大，玩家应选择何种规格的地图．
16．（2026·高二·浙江台州·期中）高尔顿板是英国生物统计学家高尔顿设计用来研究随机现象的模型．在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃．将一个小球从顶端放入，小球下落的过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中．格子从左到右分别编号为，用表示小球最后落入格子的号码．
(1)求的分布列；
(2)小州同学在研究了高尔顿板后，想利用该图中的高尔顿板在学校社团文化节上进行盈利性“抽奖”活动．若2元可以玩一次高尔顿板游戏，小球掉入号格子得到的奖金为元，其中，你觉得小州同学能盈利吗？
17．（2026·高二·湖南·期中）如图为英国生物学家高尔顿设计的“高尔顿板”示意图，每一个黑点代表钉在板上的一颗钉子，下方有从左至右依次编号为的格子（此时钉子层数为）.当小球从板口下落时，它将碰到钉子并有的概率向左或向右滚下，继续碰至下一层钓子，依次类推落入底部格子.记小球落入格子的编号为.定义.
(1)直接写出时的分布列；
(2)证明：；
(3)改变格子个数（钉子层数相应改变），进行次实验，第且次实验中向格子最大编号为的高尔顿板中投入个小球，记所有实验中所有小球落入的格子编号之和为.已知无交集的独立事件的期望具有累加性，设每次实验 每次投球相互独立，求关于的表达式.
18．（2026·高三·浙江杭州·期末）在坐标平面内，点的初始位置为若某一时刻点位于，则经过秒，点将做出以下四种运动之一：
①以的概率，点移动到点关于轴的对称点处；
②以的概率，点移动到点关于轴的对称点处；
③以的概率，点移动到点关于直线的对称点处；
④以的概率，点移动到点关于直线的对称点处
(1)直接写出在运动过程中，点可能经过的所有点的坐标；
(2)设（）为正整数，记事件为“秒后点移动到点”，事件为“秒后点移动到点”
（i）证明：；
（ii）求（用表示）.
19．（2026·四川成都·模拟预测）在平面直角坐标系中，一个质点在随机外力的作用下，从原点出发，每秒等可能地向左、向右、向上或向下移动一个单位．
(1)若质点只能在x轴上移动，记第n秒末质点回到原点的概率为，求，；
(2)从原点出发，每秒等可能地向左、向右、向上或向下移动一个单位．
①设质点在第2秒末移动到点，记的取值为随机变量X，求X的分布列和数学期望；
②记第n秒末质点回到曲线上的概率为，求．
参考公式：
20．（2026·河南·模拟预测）如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点出发，每次向左或向右移动一个单位，每次向右移动的概率为（）．

(1)若
①求质点移动6次后回到原点的概率；
②在质点第1次向右移动的条件下，求质点移动4次后回到原点的概率；
(2)若移动3次后，质点最终所在位置的坐标为，若随机变量的期望，求的取值范围．

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