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2025-2026学年下学期期末考试押题卷01
高二·数学
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．测试范围：选择性必修第二册。
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若，则（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
2．若，则（ ）
A．6 B．16 C．26 D．36
3．在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了解到A大学有5个自己感兴趣的专业，B大学有6个自己感兴趣的专业，C大学有3个自己感兴趣的专业，这三个大学他感兴趣的专业各不相同，若他只能从这三个大学中选1个专业，则他的选择共有（ ）
A．3种 B．14种 C．30种 D．90种
4．某电子商城统计了最近5个月某品牌电脑的实际销量，如下表所示：
时间x（月份） 1 2 3 4 5
销量y（百台） 0.3 0.4 0.6 0.7 0.9
若y与x线性相关，且经验回归方程为：，则下列说法错误的是（ ）
A．变量x，y正相关
B．回归直线一定过样本中心
C．
D．可以预测当时，商城内该电脑的销量为1百台
5．设，且，则（ ）
A．0.3 B．0.35 C．0.4 D．0.45
6．某学校参加社会实践活动的1名教师和甲、乙、丙、丁4名学生站成一排合影留念，在教师不站在两端的条件下，甲、乙相邻的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．下图是一块高尔顿板示意图：在一块木块上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放入，小球在下落过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中，格子从左到右分别编号为1，2，3，……，6，用X表示小球落入格子的号码，则（ ）
A． B．
C． D．
8．斜三棱柱中，是边长为2的正三角形，侧棱，，点为棱上动点，则异面直线与所成角的最小值为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．75°
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知，则（ ）
A． B．
C． D．
10．如图，点，分别是棱长为2的正四面体的边和的中点，点在线段上，且.则（ ）
A．
B．
C．
D．向量在方向上的投影向量为
11．已知一个袋子中放有个不同的红球和个不同的黄球，现从中逐个摸取个小球．方案一：有放回地摸球，记取得红球个数为；方案二：不放回地摸球，记取得红球个数为．下列说法中，正确的有（ ）
A．
B．
C．，其中
D．
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．在检验喜欢某项体育运动与性别是否有关的过程中，某研究员搜集数据并计算得到，则根据小概率值所对应的临界值，分析喜欢该体育运动与性别________（填“有关”或“无关”）．
13．年月日某市新冠疫情爆发以来，某住宿制中学为做好疫情防控工作，组织名教师组成志愿者小组，分配到高中三个年级教学楼楼门口配合医生给学生做核酸，由于高二年级学生人数较多，要求高二教学楼志愿者人数均不少于另外两栋教学楼志愿者人数，若每栋教学楼门至少分配名志愿者，每名志愿者只能在个楼门进行服务，则不同的分配方法种数为______.（用数字作答）
14．已知正方体的棱长为4．为棱的中点，为侧面的中心，过点的平面垂直于，则平面截正方体所得的截面面积为____________．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）
近年来，我国制氧机产业迅速发展，下表是某地区某品牌制氧机的年销售量与年份的统计表：
年份 2021 2022 2023 2024 2025
年份代码x 1 2 3 4 5
销量y（万台） 2 3.5 2.5 8 9
(1)求这种品牌制氧机的销量y关于年份代码x的线性回归方程；
(2)为了研究不同性别的学生对制氧机知识的了解情况，某校组织了一次有关制氧机知识的竞赛活动，随机抽取了男生和女生各100名，得到如下2×2列联表.根据小概率值的独立性检验，判断该校学生对制氧机知识的了解情况与性别是否有关联.
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为
，，
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
学生 制氧机知识 合计
了解 不了解
男生 80 20 100
女生 40 60 100
合计 120 80 200
16．（15分）
随着人工智能技术的快速发展，AI芯片的性能评估成为关键环节．某科技公司对一款新型AI芯片进行性能测试，测试得分X（满分为150分）近似服从正态分布，且，测试成绩为114分及以上的被认定为“卓越”等级．
(1)若该芯片共生产了27000片，试估计其中测试成绩为80分及以上的芯片的数量；（结果四舍五入保留到整数）
(2)从该批次芯片中随机抽取3片，记其中等级为“卓越”的芯片的数量为Y，求Y的分布列和期望．
附：若随机变量，则，，．
17．（15分）
已知直三棱柱中，侧面为正方形，AB＝BC＝2，E，F分别为AC，的中点，D为棱上的点，．
(1)证明：AB⊥平面；
(2)证明：BF⊥DE；
(3)当为何值时，平面与平面DFE所成角的余弦值最大？并求出这个最大值．
18．（17分）
甲、乙两人玩轮流掷骰子（质地均匀）的游戏，游戏规则为：①每次掷一枚骰子；②若甲掷出的点数小于，则下一次仍由甲掷骰子，否则下一次由乙掷骰子；若乙掷出的点数为偶数，则下一次仍由乙掷骰子，否则下一次由甲掷骰子．现由甲第一次抛掷．
(1)记前次中甲掷骰子的次数为，求的分布列与数学期望；
(2)记第次由乙掷骰子的概率为．
（ⅰ）证明：数列为等比数列；
（ⅱ）求数列的前项和．
19．（17分）
在篮球比赛中，一个赛季结束后，学校球队的成绩为次赢次输；为深入挖掘球队潜力，可研究比赛输赢序列中蕴含的规律，其中一种研究方法是分析输赢的游程情况；游程是指由相同符号组成的连续序列，该序列前后连接的是不同的符号或无符号；游程长度指该连续序列中数据的个数；一个序列中有若干游程，这些游程的总个数记为；假设校篮球队比赛的输赢序列具有个赢的游程，表示第个赢的游程长度，其中，且，则记向量；表示第个赢的游程以前连续输的次数，表示最后一个赢的游程后面输的次数，其中，且，记向量.例如，用表示赢，表示输，当，一个输赢序列记为：这个序列共有7个游程，其中4个赢的游程，故，游程的长度依次为，向量.
(1)已知；写出对应的输赢序列；
(2)已知篮球队的比赛成绩为3次赢，2次输，即，若，请写出所有满足条件的输赢序列，以及对应的向量和；
(3)若篮球队有6次赢，4次输；求具有7个游程的概率；中小学教育资源及组卷应用平台
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2025-2026学年下学期期末考试押题卷01
高二·数学
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．测试范围：选择性必修第二册。
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若，则（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】C
【解析】由题意得.
2．若，则（ ）
A．6 B．16 C．26 D．36
【答案】D
【解析】因为，展开式的通项为，
令，可得，
所以.
故选：D.
3．在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了解到A大学有5个自己感兴趣的专业，B大学有6个自己感兴趣的专业，C大学有3个自己感兴趣的专业，这三个大学他感兴趣的专业各不相同，若他只能从这三个大学中选1个专业，则他的选择共有（ ）
A．3种 B．14种 C．30种 D．90种
【答案】B
【解析】根据分类加法计数原理可得他的选择共有种.
4．某电子商城统计了最近5个月某品牌电脑的实际销量，如下表所示：
时间x（月份） 1 2 3 4 5
销量y（百台） 0.3 0.4 0.6 0.7 0.9
若y与x线性相关，且经验回归方程为：，则下列说法错误的是（ ）
A．变量x，y正相关
B．回归直线一定过样本中心
C．
D．可以预测当时，商城内该电脑的销量为1百台
【答案】D
【解析】对于A，由，得变量x，y正相关，A正确；
对于B，样本中心点一定在回归直线上，B正确；
对于C，，因此，C正确；
对于D，，当时，（百台），D错误.
5．设，且，则（ ）
A．0.3 B．0.35 C．0.4 D．0.45
【答案】A
【解析】因为，
所以，
设，则，又，
所以，
因为，所以，
解得，所以.
6．某学校参加社会实践活动的1名教师和甲、乙、丙、丁4名学生站成一排合影留念，在教师不站在两端的条件下，甲、乙相邻的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设“甲、乙相邻”为事件A，“教师不站在两端”为事件B，则“教师不站在两端且甲乙相邻”为事件，
因为两端不能站教师，教师只能从中间3个位置选1个，剩余4名学生全排列，
所以；
将甲乙看作1个整体，内部排列有种，此时共4个“元素”（甲乙整体、丙、丁、教师），
要求教师不站在两端，教师只能从4个元素排列的中间2个位置选1个，剩余3个元素全排列： ，
根据条件概率公式： .
7．下图是一块高尔顿板示意图：在一块木块上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放入，小球在下落过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中，格子从左到右分别编号为1，2，3，……，6，用X表示小球落入格子的号码，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】设 “向右下落”，则“向左下落”，且，
设，因为小球在下落过程中共碰撞5次，所以，
于是（）.
所以，A错误；
，
，
所以，B错误，D正确；
，C错误.
8．斜三棱柱中，是边长为2的正三角形，侧棱，，点为棱上动点，则异面直线与所成角的最小值为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．75°
【答案】B
【解析】设，，，则，
，，
，.
因为点为棱上动点，设，，
则，，
，
，则，
，
，，
设异面直线与所成角为，则，
因为函数在上单调递增，
所以，当时，取得最大值，此时，所以取得最小值为，
即异面直线与所成角的最小值为.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【解析】由，
令 ，得 ，故A正确；
令 ，得 ，
因此： ，故B正确；
由，所以，故C错误；
令 ，得 ，
结合，两式相减得：，
解得，故D正确.
10．如图，点，分别是棱长为2的正四面体的边和的中点，点在线段上，且.则（ ）
A．
B．
C．
D．向量在方向上的投影向量为
【答案】AC
【解析】选项A，由点在线段上，且，所以，
所以，即，所以，
由点，分别是边和的中点，连接，如图所示：
所以，
所以，故A正确；
选项B，由题意知，且向量两两夹角为，
所以，
由，
所以
，
所以，故B错误；
选项C，由，故C正确，
选项D，向量在方向上的投影向量为：，故D错误.
11．已知一个袋子中放有个不同的红球和个不同的黄球，现从中逐个摸取个小球．方案一：有放回地摸球，记取得红球个数为；方案二：不放回地摸球，记取得红球个数为．下列说法中，正确的有（ ）
A．
B．
C．，其中
D．
【答案】AD
【解析】方案一中，有放回地摸球，每次取到红球的概率为，
摸次球，则取得红球个数，
∴，；
方案二中，不放回地摸球，取得红球个数服从超几何分布，
则，，
所以，，故A，D正确；
当时， ，
，即，故C错误；
，
∵ ，；
∴ ，
，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故，故B错误.
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．在检验喜欢某项体育运动与性别是否有关的过程中，某研究员搜集数据并计算得到，则根据小概率值所对应的临界值，分析喜欢该体育运动与性别________（填“有关”或“无关”）．
【答案】有关
【解析】因为，所以根据小概率值的独立性检验，喜欢该体育运动与性别有关．
13．年月日某市新冠疫情爆发以来，某住宿制中学为做好疫情防控工作，组织名教师组成志愿者小组，分配到高中三个年级教学楼楼门口配合医生给学生做核酸，由于高二年级学生人数较多，要求高二教学楼志愿者人数均不少于另外两栋教学楼志愿者人数，若每栋教学楼门至少分配名志愿者，每名志愿者只能在个楼门进行服务，则不同的分配方法种数为______.（用数字作答）
【答案】80
【解析】根据题意，名教师组成志愿者小组，分配到高中三个年级教学楼楼门口配合医生给学生做核酸，
则可分为和两类，
第一类，按分组，有种分组方法，
再分到三个教学楼且高二教学楼志愿者人数均不少于另外两栋教学楼志愿者人数，
则人组去高二，则有种分配方法，
则共有种方法；
第二类，按，有种分组方法，
再分到三个教学楼且高二教学楼志愿者人数均不少于另外两栋教学楼志愿者人数，
则2人组去高二，则有种分配方法，
则共有种方法，
则不同的分配方法共有种.
14．已知正方体的棱长为4．为棱的中点，为侧面的中心，过点的平面垂直于，则平面截正方体所得的截面面积为____________．
【答案】
【解析】以为坐标原点，以所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，因为正方体棱长为4，
所以，则，
设截面上的点为，则，
因为过点的平面垂直于，所以是平面的一个法向量，
所以，即，整理得：，
当点在棱上时，，则，得；
当点在棱上时，，则，得；
当点在棱上时，，则，得，
所以截面为四边形，
又因为，
同理可得，所以四边形为菱形，
又因为对角线，
所以面积.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）
近年来，我国制氧机产业迅速发展，下表是某地区某品牌制氧机的年销售量与年份的统计表：
年份 2021 2022 2023 2024 2025
年份代码x 1 2 3 4 5
销量y（万台） 2 3.5 2.5 8 9
(1)求这种品牌制氧机的销量y关于年份代码x的线性回归方程；
(2)为了研究不同性别的学生对制氧机知识的了解情况，某校组织了一次有关制氧机知识的竞赛活动，随机抽取了男生和女生各100名，得到如下2×2列联表.根据小概率值的独立性检验，判断该校学生对制氧机知识的了解情况与性别是否有关联.
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为
，，
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
学生 制氧机知识 合计
了解 不了解
男生 80 20 100
女生 40 60 100
合计 120 80 200
【解析】（1）年份代码x的平均数，
销量y的平均数 ，
所以，
，
所以，所以，
所以这个地区某品牌制氧机的销量y关于年份代码x的线性回归方程为；
（2）零假设：该校学生对制氧机知识的了解情况与性别无关.
根据列联表中的数据，经计算得到，
.
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，
即认为该校学生对制氧机知识的了解情况与性别有关联，
此推断犯错误的概率不大于0.005.
16．（15分）
随着人工智能技术的快速发展，AI芯片的性能评估成为关键环节．某科技公司对一款新型AI芯片进行性能测试，测试得分X（满分为150分）近似服从正态分布，且，测试成绩为114分及以上的被认定为“卓越”等级．
(1)若该芯片共生产了27000片，试估计其中测试成绩为80分及以上的芯片的数量；（结果四舍五入保留到整数）
(2)从该批次芯片中随机抽取3片，记其中等级为“卓越”的芯片的数量为Y，求Y的分布列和期望．
附：若随机变量，则，，．
【解析】（1）因为，所以，，
所以
，
则，
所以估计该批次芯片中测试成绩为80分及以上的芯片的数量为22716；
（2）因为，，
所以，
由题意得，
Y的可能取值为0，1，2，3，
则，
，
，
，
所以Y的分布列为：
Y 0 1 2 3
P 0.729 0.243 0.027 0.001
．
17．（15分）
已知直三棱柱中，侧面为正方形，AB＝BC＝2，E，F分别为AC，的中点，D为棱上的点，．
(1)证明：AB⊥平面；
(2)证明：BF⊥DE；
(3)当为何值时，平面与平面DFE所成角的余弦值最大？并求出这个最大值．
【解析】（1）因为为正方形，所以，
又，且，平面，
所以平面，
因为直三棱柱，所以，所以平面.
（2）取BC中点G，连接，如图所示，
因为E、G分别为AC、BC的中点，所以，
则平面，
因为平面，所以，
因为，所以，
则，则，所以，
因为平面，
所以平面，
因为平面，所以，
因为，且平面，
所以平面，
因为D为棱上的点，所以平面，
所以.
（3）由（1）得两两垂直，以B为原点，为轴正方向建系，如图所示，
设，则，
则，
设平面DEF的法向量，则，
所以，令，则，所以，
因为平面，所以平面的法向量为，
所以，
所以当时，有最大值，
所以当时，平面与平面DFE所成角的余弦值最大，最大值为
18．（17分）
甲、乙两人玩轮流掷骰子（质地均匀）的游戏，游戏规则为：①每次掷一枚骰子；②若甲掷出的点数小于，则下一次仍由甲掷骰子，否则下一次由乙掷骰子；若乙掷出的点数为偶数，则下一次仍由乙掷骰子，否则下一次由甲掷骰子．现由甲第一次抛掷．
(1)记前次中甲掷骰子的次数为，求的分布列与数学期望；
(2)记第次由乙掷骰子的概率为．
（ⅰ）证明：数列为等比数列；
（ⅱ）求数列的前项和．
【解析】（1）由题设的所有可能取值为，
当时，前次只有次是甲掷，序列是甲乙乙，
则第次甲掷，第次乙掷的概率是，第次乙掷，第次乙掷的概率是，因此；
当时，前次有次是甲掷，序列是甲甲乙或甲乙甲，
对于甲甲乙，则第次甲掷，第次甲掷的概率是，第次甲掷，第次乙掷的概率是，
对于甲乙甲，则第次甲掷，第次乙掷的概率是，第次乙掷，第次甲掷的概率是，因此；
当时，前次有次是甲掷，序列是甲甲甲，
则第次甲掷，第次甲掷的概率是，第次甲掷，第次甲掷的概率是，因此，
故的分布列为
数学期望.
（2）已知第次由乙掷的概率为，则第次由甲掷的概率为，因此第次由乙掷的概率可以表示为，
（ⅰ）由于，则，
又因为，所以，
所以数列是首项为，公比为的等比数列
（ⅱ）由（ⅰ）得，故
所以.
19．（17分）
在篮球比赛中，一个赛季结束后，学校球队的成绩为次赢次输；为深入挖掘球队潜力，可研究比赛输赢序列中蕴含的规律，其中一种研究方法是分析输赢的游程情况；游程是指由相同符号组成的连续序列，该序列前后连接的是不同的符号或无符号；游程长度指该连续序列中数据的个数；一个序列中有若干游程，这些游程的总个数记为；假设校篮球队比赛的输赢序列具有个赢的游程，表示第个赢的游程长度，其中，且，则记向量；表示第个赢的游程以前连续输的次数，表示最后一个赢的游程后面输的次数，其中，且，记向量.例如，用表示赢，表示输，当，一个输赢序列记为：这个序列共有7个游程，其中4个赢的游程，故，游程的长度依次为，向量.
(1)已知；写出对应的输赢序列；
(2)已知篮球队的比赛成绩为3次赢，2次输，即，若，请写出所有满足条件的输赢序列，以及对应的向量和；
(3)若篮球队有6次赢，4次输；求具有7个游程的概率；
【解析】（1）因为，
所以，赢的游程数为，赢的次数，输的次数
根据定义：由得第个赢的游程以前连续输2次，对应序列为；
接着第一个赢游程长度：对应序列为；
然后，第个赢的游程以前连续输1次，对应序列为；
接着第二个赢游程长度：对应序列为；
最后，表示没有输.
所以输赢序列为：
（2）由，得所求序列有两个赢的游程，
设，则，，故可能为，，
，则，，
同时，为保证两个赢游程不合并，中间必须有至少一个输，即，故可能为或，
所以，满足条件的输赢顺序及对应向量分别为：
（3）篮球队有6次赢，4次输，共10场，即“个，个的排列”，
所以，所有可能的输赢序列共有种，
设赢游程数为，输游程数为，
因为游程总数，且输赢序列交替出现，
所以，且，
所以或，
当时，
将6个赢分成4个非空游程：在6个赢之间的5个空隙中选3个放入隔板，有种；
将4个输分成3个非空游程：在4个输之间的3个空隙中选2个放入隔板，有种，
所以，此序列共有种，
当时，
将6个赢分成3个非空游程：在6个赢之间的5个空隙中选2个放入隔板，有种；
将4个输分成4个非空游程：在4个输之间的3个空隙中选3个放入隔板，有种，
所以，此序列共有种，
所以，满足条件的序列总数有种，
所求概率为，篮球队有6次赢，4次输且具有7个游程的概率为

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