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2025-2026学年下学期期末考试押题卷02
高二·数学
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．测试范围：选择性必修第二册。
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知，，且，则（ ）
A．9 B．0 C．1 D．
2．已知二项式展开式中所有项的二项式系数和为16，则展开式中所有项的系数和为（ ）
A．4 B．16 C．1 D．81
3．某高中高二年级要从1，2，3班中选取1名同学参加作文比赛，1班推荐了4人，2班推荐了6人，3班推荐了3人，则高二年级可选择的方案有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
4．对具有线性相关关系的变量x，y，测得一组数据如下表，根据表中数据，利用最小二乘法得到经验回归方程，据此模型预测当x=20时，y的估计值为（ ）
x 7 9 11 13
y 2 3 5 6
A．10 B．11 C．12 D．13
5．小张经常在某平台点外卖（他只选择甲、乙两家店），他点外卖选择甲店的概率为0.6，选择乙店的概率为0.4，甲、乙两家店的外卖准时送达的概率分别为0.9，0.95，则小张在这个平台点的外卖准时送达的概率为（ ）
A．0.93 B．0.91 C．0.94 D．0.92
6．已知随机变量X服从正态分布，且，则（ ）
A．0.2 B．0.4 C．0.6 D．0.8
7．某社区开展“绿色低碳”主题公益活动，活动设置了单次抽奖环节：在不透明的抽奖箱中装有4个小球，其中3个标有“环保达人”，1个标有“继续努力”；参与者从箱中随机抽取1个小球，抽到“环保达人”即可获得环保袋，抽到“继续努力”则无奖品．定义随机变量X：参与者获得环保袋时，未获得时，则（ ）
A． B． C． D．
8．若向量是平面的一个法向量，且平面经过点，则平面的方程为．已知球经过点，且与平面相切，则球的表面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．下列问题中哪些是排列问题（ ）
A．从全班40人中选出3人分别担任班长、副班长、学习委员三个职务，有多少种不同的选法
B．从全班40人中选出3人参加某项活动，有多少种不同的选法
C．平面内有共4个点，以其中2个点为端点的有向线段共有多少条
D．平面内有共4个点，以其中2个点为端点的线段共有多少条
10．某班组织由甲、乙、丙等名同学参加的演讲比赛，现采用抽签法决定演讲顺序，记事件为“学生甲不是第一个出场，学生乙不是最后一个出场”，事件为“学生丙第一个出场”，则下列结论中正确的是（）
A． B．
C． D．
11．如图，在棱长为2的正方体中，分别是线段和线段上的动点，且，则下列说法正确的有（ ）

A．
B．三棱锥的体积最大值为1
C．若为中点时，则点到直线的距离为
D．三棱锥外接球球心轨迹的长度为
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．的展开式中，的系数为______.
13．已知由样本数据组成的一个样本，得到回归直线方程为，且，去除两个样本点和后，新得到的回归直线方程斜率为3，则样本的残差为_______．
14．如图，粒子在四个容器中移动，当在容器时，每隔一小时等可能地移动到相邻容器中；当在容器时，粒子停止移动．当前时刻，在容器中，设小时后，停止移动，则______，______．

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）
已知的展开式中各二项式系数的和为32.
(1)求的值，并求展开式中二项式系数最大的项；
(2)展开式中是否有常数项？若有，请求出该项；若没有，请说明理由；
(3)求展开式中各项系数的和.
16．（15分）
为了解居民体育锻炼情况，某地区对辖区内居民体育锻炼进行抽样调查.统计其中200名居民体育锻炼的次数与年龄，得到如下的频数分布表.
年龄次数
每周0 2次 33 22 22 23
每周3 4次 12 17 25 22
每周5次及以上 3 3 12 6
(1)若把年龄在的锻炼者称为青年，年龄在的锻炼者称为中年，每周体育锻炼不超过2次的称为体育锻炼频率低，
不低于3次的称为体育锻炼频率高，根据小概率值的独立性检验判断体育锻炼频率的高低与年龄是否有关联；
(2)从每周体育锻炼5次及以上的锻炼者中，按照表中年龄段采用按比例分配的分层随机抽样，抽取8人，
再从这8人中随机抽取3人，记这3人中年龄在与的人数分别为，求ξ的分布列与期望；
参考公式：
附：
α 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
17．（15分）
如图，在三棱柱中，平面，D，E分别为，的中点，．
(1)求证：平面；
(2)求二面角的余弦值；
(3)求点到平面的距离．
18．（17分）
ACE球是指在网球对局中，一方发球，球落在有效区内，但接球方却没有触及到球而使发球方直接得分的发球.甲、乙两人进行发球训练，规则如下：每次由其中一人发球，若发出ACE球，则换人发球，若未发出ACE球，则两人等可能地获得下一次发球权.设甲，乙发出ACE球的概率均为，记事件表示“第n次发球的人是甲”．
(1)若，，
（i）求；
（ii）已知第三次发球的人是甲，求第二次发球的人是甲的概率；
(2)若，证明：
19．（17分）
如图1，在梯形中，，是线段 上的一点，，，将沿翻折到的位置．
(1)如图2，若是的中点，二面角为直二面角，证明：平面．
(2)如图2，若二面角为直二面角，，分别是，的中点，若直线与平面所成角为，，求平面与平面所成锐二面角余弦值的取值范围．
(3)我们把与两条异面直线都垂直相交的线段叫做两条异面直线的公垂线段，公垂线段的长度是两条异面直线上两点间距离的最小值．如图3所示，点为线段的中点，，分别在线段，上（不包含端点），且为，的公垂线段，记四面体的内切球半径为，比较与的大小，并证明你的结论．2025-2026学年下学期期末考试押题卷02
高二·数学
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．测试范围：选择性必修第二册。
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知，，且，则（ ）
A．9 B．0 C．1 D．
【答案】A
【解析】由题意得，解得.
2．已知二项式展开式中所有项的二项式系数和为16，则展开式中所有项的系数和为（ ）
A．4 B．16 C．1 D．81
【答案】D
【解析】因为二项式的展开式中所有项的二项式系数和为16
所以，解得，
所以展开式中所有项的系数和为.
3．某高中高二年级要从1，2，3班中选取1名同学参加作文比赛，1班推荐了4人，2班推荐了6人，3班推荐了3人，则高二年级可选择的方案有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
【答案】C
【解析】由题意，得若选中的同学来自1班，则有4种选择方案；
若选中的同学来自2班，则有6种选择方案；
若选中的同学来自3班，则有3种选择方案．
由分类加法计数原理，得共有种选择方案．
4．对具有线性相关关系的变量x，y，测得一组数据如下表，根据表中数据，利用最小二乘法得到经验回归方程，据此模型预测当x=20时，y的估计值为（ ）
x 7 9 11 13
y 2 3 5 6
A．10 B．11 C．12 D．13
【答案】B
【解析】由题意可得：，
因经验回归方程经过样本中心点,故，解得，
所以经验回归方程为，
当时，．
5．小张经常在某平台点外卖（他只选择甲、乙两家店），他点外卖选择甲店的概率为0.6，选择乙店的概率为0.4，甲、乙两家店的外卖准时送达的概率分别为0.9，0.95，则小张在这个平台点的外卖准时送达的概率为（ ）
A．0.93 B．0.91 C．0.94 D．0.92
【答案】D
【解析】由全概率公式，得小张在这个平台点的外卖准时送达的概率为.
6．已知随机变量X服从正态分布，且，则（ ）
A．0.2 B．0.4 C．0.6 D．0.8
【答案】C
【解析】因为随机变量X服从正态分布，所以，
又因为，所以，
所以.
7．某社区开展“绿色低碳”主题公益活动，活动设置了单次抽奖环节：在不透明的抽奖箱中装有4个小球，其中3个标有“环保达人”，1个标有“继续努力”；参与者从箱中随机抽取1个小球，抽到“环保达人”即可获得环保袋，抽到“继续努力”则无奖品．定义随机变量X：参与者获得环保袋时，未获得时，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题可知仅有两个取值0，1，且，，
所以服从两点分布，.
8．若向量是平面的一个法向量，且平面经过点，则平面的方程为．已知球经过点，且与平面相切，则球的表面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由平面的方程可化为，
则平面的一个法向量为，且过点，
又球经过点，则，
所以点到平面的距离为，
所以球半径最小值为，故球表面积的最小值为．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．下列问题中哪些是排列问题（ ）
A．从全班40人中选出3人分别担任班长、副班长、学习委员三个职务，有多少种不同的选法
B．从全班40人中选出3人参加某项活动，有多少种不同的选法
C．平面内有共4个点，以其中2个点为端点的有向线段共有多少条
D．平面内有共4个点，以其中2个点为端点的线段共有多少条
【答案】AC
【解析】对于A，从全班40人中选出3人，有明确的职务，即选出的元素有顺序，故是排列问题，故A正确；
对于B，从全班40人中选出3人参加某项活动，选出的元素无顺序，故是组合问题，即B不符合题意；
对于C，以4个点中的2个点为端点的有向线段，显然有顺序，故是排列问题，故C正确；
对于D，以4个点中的2个点为端点的线段无顺序，故是组合问题，即D不符合题意.
10．某班组织由甲、乙、丙等名同学参加的演讲比赛，现采用抽签法决定演讲顺序，记事件为“学生甲不是第一个出场，学生乙不是最后一个出场”，事件为“学生丙第一个出场”，则下列结论中正确的是（）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【解析】总共有名同学，全排列总数为：
选项A：事件为丙第一个出场，丙固定第一个后，剩余人全排列，共种，
因此：，A正确；
选项B：用容斥原理计算的排列数：总排列甲第一排列乙最后排列甲第一且乙最后排列，
即，
因此：，B正确；
选项C：由条件概率公式：
发生时丙已经第一个出场，自然满足“甲不是第一个”，因此只需满足“乙不是最后一个”，
，：乙不能在最后，乙有个位置可选，剩余人全排列，
即，因此：，C错误；
选项D：根据条件概率公式，已知，，
因此：，D正确.
11．如图，在棱长为2的正方体中，分别是线段和线段上的动点，且，则下列说法正确的有（ ）

A．
B．三棱锥的体积最大值为1
C．若为中点时，则点到直线的距离为
D．三棱锥外接球球心轨迹的长度为
【答案】AC
【解析】
如图，建立空间直角坐标系，
则，，，，，，，
设，，，
则，，
因，所以，故A正确；
，
当且仅当，即时成立，故B错误；
若为中点时，则,，，
，，
，，，
，故C正确；
设三棱锥的外接球球心为，
因为平面，则，
因为为直角三角形，球心在与平行的中垂线上，
所以，，
则球心为，球心的轨迹为一条线段，
当时，球心为，当时，球心为，
轨迹长度为，故D错误.
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．的展开式中，的系数为______.
【答案】
【解析】根据二项式定理，的展开式的通项公式为，其中，
的展开式的通项公式为，其中，
因此，要求的展开式中的系数，则，
当时，，系数为；
当时，，系数为；
当时，，系数为；
当时，，系数为；
因此的系数为.
13．已知由样本数据组成的一个样本，得到回归直线方程为，且，去除两个样本点和后，新得到的回归直线方程斜率为3，则样本的残差为_______．
【答案】
【解析】将代入，，
去除两个样本点和后，所以，，，
故去除样本点和后的回归直线方程为，
当时，，则样本的残差为．
14．如图，粒子在四个容器中移动，当在容器时，每隔一小时等可能地移动到相邻容器中；当在容器时，粒子停止移动．当前时刻，在容器中，设小时后，停止移动，则______，______．

【答案】 /0.25
【解析】解法一：(1)第0小时，在B；
第1小时，只能到A，概率为；
第2小时，可能到B，可能到D，概率为；
第3小时，到C，概率为；
故；
(2)由题意知；；；；
；
由此可得，偶数小时时，粒子都在B或D，无法停止，故；
奇数小时时：
由可知：，
即；
令，
则将式两边同时乘以可得：式减式可得：，
；
故，即．
解法二：
设表示n小时后，粒子首次进入C容器的概率，
分别设，，表示n小时后，粒子在A，B，D容器的概率.
当时，则，，，，
则，因为，，则，
则，则，化简得．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）
已知的展开式中各二项式系数的和为32.
(1)求的值，并求展开式中二项式系数最大的项；
(2)展开式中是否有常数项？若有，请求出该项；若没有，请说明理由；
(3)求展开式中各项系数的和.
【解析】（1）由题可知，所以，
则展开式中二项式系数最大的项为第3项和第4项，
所以，
（2）展开式的通项为，
令，解得，所以展开式中没有常数项；
（3）令，则，
展开式中各项系数的和为1
16．（15分）
为了解居民体育锻炼情况，某地区对辖区内居民体育锻炼进行抽样调查.统计其中200名居民体育锻炼的次数与年龄，得到如下的频数分布表.
年龄次数
每周0 2次 33 22 22 23
每周3 4次 12 17 25 22
每周5次及以上 3 3 12 6
(1)若把年龄在的锻炼者称为青年，年龄在的锻炼者称为中年，每周体育锻炼不超过2次的称为体育锻炼频率低，
不低于3次的称为体育锻炼频率高，根据小概率值的独立性检验判断体育锻炼频率的高低与年龄是否有关联；
(2)从每周体育锻炼5次及以上的锻炼者中，按照表中年龄段采用按比例分配的分层随机抽样，抽取8人，
再从这8人中随机抽取3人，记这3人中年龄在与的人数分别为，求ξ的分布列与期望；
参考公式：
附：
α 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
【解析】（1）零假设：体育锻炼频率的高低与年龄无关.
由题得列联表如下：
青年 中年 合计
体育锻炼频率低 55 45 100
体育锻炼频率高 35 65 100
合计 90 110 200
，
根据小概率值的独立性检验推断不成立，
即认为体育锻炼频率的高低与年龄有关，此推断犯错误的概率不大于0.01．
（2）由表知，利用分层抽样的方法抽取的8人中，年龄在，内的人数分别为1，2，
依题意，的所有可能取值分别为为0，1，2，
所以，
，
，
所以的分布列：
0 1 2
P
所以的数学期望为.
17．（15分）
如图，在三棱柱中，平面，D，E分别为，的中点，．
(1)求证：平面；
(2)求二面角的余弦值；
(3)求点到平面的距离．
【解析】(1)已知，为中点，可得，
又平面，平面，故，
分别为中点，三棱柱中，故，
又，平面，平面.
（2）由(1)可得平面，平面，故，
过作于，连接，因为，平面，
所以平面，又平面，故，
故即为二面角的平面角，
是中点，，则，；
且，，
故，
，得，
因为平面，又平面，故，
在中：，
故，即二面角的余弦值为.
（3）三棱锥的体积等价于三棱锥的体积，即：，
由平面，得：，
计算的面积：，，，
为等腰三角形，底边上的高，
因此：，
设点到平面的距离为，由得：，
解得，即点到平面的距离为.
18．（17分）
ACE球是指在网球对局中，一方发球，球落在有效区内，但接球方却没有触及到球而使发球方直接得分的发球.甲、乙两人进行发球训练，规则如下：每次由其中一人发球，若发出ACE球，则换人发球，若未发出ACE球，则两人等可能地获得下一次发球权.设甲，乙发出ACE球的概率均为，记事件表示“第n次发球的人是甲”．
(1)若，，
（i）求；
（ii）已知第三次发球的人是甲，求第二次发球的人是甲的概率；
(2)若，证明：
【解析】（1）（i）因为，，
所以.
（ii）第二次发球的人是甲的条件下，第三次发球的人是甲的概率为，
第二次发球的人是乙的条件下，第三次发球的人是甲的概率为，
第三次发球的人是甲的概率是，
第三次发球的人是甲，第二次发球的人是甲的概率为.
（2），
因为，，
所以，
因为，，
所以，.
19．（17分）
如图1，在梯形中，，是线段 上的一点，，，将沿翻折到的位置．
(1)如图2，若是的中点，二面角为直二面角，证明：平面．
(2)如图2，若二面角为直二面角，，分别是，的中点，若直线与平面所成角为，，求平面与平面所成锐二面角余弦值的取值范围．
(3)我们把与两条异面直线都垂直相交的线段叫做两条异面直线的公垂线段，公垂线段的长度是两条异面直线上两点间距离的最小值．如图3所示，点为线段的中点，，分别在线段，上（不包含端点），且为，的公垂线段，记四面体的内切球半径为，比较与的大小，并证明你的结论．
【解析】(1)连接，由题意知，
，而，是的中点，所以，
又，，所以四边形为平行四边形，故，
所以，
又平面平面，平面平面，平面，
所以平面
（2）在平面内作的垂线作为轴，所以轴，
如图以为坐标原点，分别以，为，轴正半轴建立空间直角坐标系：
因为，，设，
所以，，，，，
则，，
所以，，
，，．
设平面的法向量，
得，取，
，解得．
设平面的法向量，
得，取，得，
设平面与平面所成锐二面角为，则
，
由于在上单调递增，故，
故，
所以平面与平面所成锐二面角余弦值的取值范围是．
(3)，证明如下：
是四面体的表面积，，令与面所成角为，
，
，，
因为是公垂线，上的点和上的点的最短距离是，
，（取不到等号），
，，
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